| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Эквивариантные пополнения аффинных пространств И. В. Аржанцев, Ю. И. Зайцева Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10046e 
Реферативные базы данных:
    ВведениеОбзор посвящён изучению таких пополнений аффинного пространства $\mathbb{C}^n$ алгебраическими многообразиями $X$, что действие сдвигами векторной группы $\mathbb{G}_a^n$ на $\mathbb{C}^n$ может быть продолжено до регулярного действия $\mathbb{G}_a^n\times X\to X$. Для получения такого пополнения необходимо построить эффективное регулярное действие с открытой орбитой коммутативной унипотентной группы $\mathbb{G}_a^n$ на полном алгебраическом многообразии $X$. Мы называем эффективное регулярное действие $\mathbb{G}_a^n\times X\to X$ с открытой орбитой аддитивным действием на $X$. Другая интерпретация происходит из теории групповых вложений. Пусть $G$ – линейная алгебраическая группа. Групповое вложение – это такое вложение группы $G$ в качестве открытого подмножества в алгебраическое многообразие $X$, что действия группы $G$ на себе левыми и правыми сдвигами могут быть продолжены до регулярного действия группы $G\times G$ на $X$. В этих терминах мы планируем изучать групповые вложения коммутативных унипотентных групп. История вопроса берёт начало в работе Хирцебруха. В [64; разд. 3.2] автор рассматривает комплексно-аналитические компактификации аффинного пространства $\mathbb{C}^n$. В задаче 26 предлагается найти все комплексно-аналитические компактификации $\mathbb{C}^2$, а в задаче 27 тот же вопрос ставится для произвольного $\mathbb{C}^n$ при условии, что второе число Бетти компактификации равно 1. Эти задачи стимулировали изучение открытых вложений аффинных пространств как в аналитической, так и в алгебраической категориях. Больше информации об алгебраических компактификациях аффинных пространств можно найти, например, в работах [56], [96], [33] и по ссылкам внутри них. Ясно, что алгебраическое многообразие $X$, содержащее открытое изоморфное аффинному пространству подмножество $U$, обладает некоторыми специальными свойствами. В частности, $X$ рационально, каждая обратимая регулярная функция на $X$ постоянна и группа классов дивизоров $\operatorname{Cl}(X)$ является свободной конечно порождённой абелевой группой. Более точно, группа $\operatorname{Cl}(X)$ свободно порождается классами неприводимых компонент дополнения $X\setminus U$. В то же время класс всех компактификаций аффинных пространств слишком широк, и естественно изучать компактификации, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям. Первый вариант – рассмотреть алгебраические многообразия $X$ в наивном смысле, т. е. многообразия $X$, которые могут быть покрыты открытыми подмножествами $U_1,\dots,U_m$, каждое из которых изоморфно аффинному пространству. Многообразия такого типа рассматривались Громовым в [59; разд. 3.5.D]. В [48; разд. 6.4] такие многообразия называются многообразиями класса $\mathcal{A}_0$. Они появляются в связи с принципом Ока и алгебраической эллиптичностью. Известно, что класс $\mathcal{A}_0$ включает в себя гладкие проективные рациональные поверхности, гладкие полные торические многообразия, многообразия флагов и, более общо, гладкие полные сферические многообразия. Более того, этот класс замкнут относительно операции раздутия точки. В [9; теорема A.1] доказано, что любое гладкое полное рациональное многообразие с действием тора сложности $1$ принадлежит классу $\mathcal{A}_0$. Более широким является класс униформно рациональных многообразий. Многообразие $X$ называется униформно рациональным, если каждая точка в $X$ имеет открытую в топологии Зарисского окрестность, изоморфную открытому в топологии Зарисского подмножеству аффинного пространства. Недавние результаты об униформно рациональных многообразиях можно найти в [81]. Второй вариант – включить в рассмотрение действия алгебраических групп. А именно, если алгебраическая группа $G$ действует на аффинном пространстве $\mathbb{C}^n$, то мы можем изучать такие открытые вложения $\mathbb{C}^n$ в полные многообразия $X$, что действие группы $G$ на $\mathbb{C}^n$ продолжается до действия $G$ на $X$. Взяв $G=\mathbb{G}_a^n$ с действием $\mathbb{G}_a^n\times\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$ параллельными переносами, мы получим теорию аддитивных действий, т. е. предмет настоящего обзора. Ещё одна мотивация к изучению эквивариантных пополнений аффинных пространств происходит из арифметической геометрии. Шамбер-Луа и Чинкель [28], изучая гипотезу Манина о распределении рациональных точек на алгебраических многообразиях, нашли асимптотические формулы для числа рациональных точек ограниченной высоты на гладких проективных эквивариантных компактификациях векторной группы. Более общо, асимптотические формулы для числа рациональных точек ограниченной высоты на квазипроективных эквивариантных вложениях векторной группы получены в [29]. Ограниченный объём обзора не позволяет нам обсудить эти результаты. Мы рекомендуем читателю статьи [28], [29], [93], [102], [106] и ссылки в них. Естественно сравнить теорию аддитивных действий с теорией торических многообразий. На первый взгляд, две теории должны быть похожи, так как формулировки задач почти одинаковы: в торическом случае мы изучаем открытые эквивариантные вложения группы $\mathbb{G}_m^n$, а в теории аддитивных действий заменяем мультипликативную группу $\mathbb{G}_m$ основного поля на аддитивную группу $\mathbb{G}_a$. Но оказывается, что торическая геометрия и теория аддитивных действий не имеют почти ничего общего. Остановимся на этом подробнее. Теория торических многообразий играет важную роль в современных алгебре, комбинаторике, геометрии и топологии. Это связано с красивым описанием торических многообразий в терминах рациональных полиэдральных конусов и вееров таких конусов [37], [55]. Есть несколько способов обобщить теорию торических многообразий. Например, можно рассматривать произвольные действия тора на алгебраических многообразиях. Недавно в работах [1], [2] было получено полукомбинаторное описание таких действий в терминах так называемых полиэдральных дивизоров на многообразиях меньшей размерности. Другой вариант – ограничить действие (комплексного) алгебраического тора на торическом многообразии на максимальный компактный подтор $(S^1)^n$, аксиоматизировать этот класс $(S^1)^n$-действий и рассмотреть такие действия на более широких классах топологических пространств. Это активно развивающееся направление, называемое торической топологией [24]. Далее, можно рассмотреть действия линейных алгебраических групп с открытой орбитой, заменяя тор $T$ неабелевой связной редуктивной группой $G$. Другими словами, можно изучать открытые эквивариантные вложения однородных пространств $G/H$, где $H$ – алгебраическая подгруппа $G$. Теория хорошо развита в случае сферического однородного пространства $G/H$ – когда борелевская подгруппа $B$ в $G$ действует на $G/H$ с открытой орбитой. Здесь также известно описание эквивариантных вложений в терминах выпуклой геометрии в рамках теории Луны и Вуста, но оно более сложное, чем в торическом случае [84], [107]. Возвращаясь к “аддитивному аналогу” торической геометрии, т. е. к случаю, в котором действующий тор $T$ заменён на коммутативную унипотентную группу $\mathbb{G}_a^n$, мы приходим к принципиальным отличиям. Во-первых, хорошо известно, что каждая орбита действия унипотентной группы на аффинном многообразии замкнута [95; разд. 1.3]. В частности, если унипотентная группа действует на аффинном многообразии с открытой орбитой, то это действие транзитивно. Это означает, что, в отличие от торического случая, неприводимое алгебраическое многообразие с нетранзитивным действием унипотентной группы $U$, содержащее открытую $U$-орбиту, не может быть покрыто $U$-инвариантными открытыми аффинными картами. Во-вторых, любое торическое многообразие содержит конечное число $T$-орбит, и если два торических многообразия изоморфны как абстрактные алгебраические многообразия, то они изоморфны и в категории торических многообразий [19; теорема 4.1]. В аддитивном случае эти два свойства не выполняются: можно рассмотреть два действия группы $\mathbb{G}_a^2$ на проективной плоскости $\mathbb{P}^2$, заданные в однородных координатах формулами
$$
\begin{equation*}
(a_1,a_2)\cdot [z_0:z_1:z_2]=[z_0:z_1+a_1z_0:z_2+a_2z_0]
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
(a_1,a_2)\cdot [z_0:z_1:z_2]=\biggl[z_0:z_1+a_1z_0:z_2+a_1z_1+ \biggl(\frac{a_1^2}{2}+a_2\biggr)z_0\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
В первом случае имеется прямая, состоящая из неподвижных точек, а у второго действия есть ровно три $\mathbb{G}_a^2$-орбиты. В то же время, отсутствие аналогии с торической геометрией определённо не является приговором для теории аддитивных действий. В течение последних десятилетий было получено много структурных и классификационных результатов о многообразиях с аддитивным действием и были развиты оригинальные методы для работы с этим классом действий. Целью настоящего обзора является обсуждение этих результатов и методов. Опишем содержание статьи. В разделе 1 мы изучаем аддитивные действия на проективных пространствах. Довольно удивительно, что пространство $\mathbb{C}^n$ может быть эквивариантно вложено в $\mathbb{P}^n$ многими способами. Хассетт и Чинкель [62] установили, что такие вложения находятся в биекции с локальными коммутативными ассоциативными алгебрами с единицей размерности $n+1$. Этот результат также следует из более общего соответствия между конечномерными коммутативными ассоциативными алгебрами с единицей и открытыми эквивариантными вложениями коммутативных линейных алгебраических групп в проективные пространства, установленного Кнопом и Ланге [76]. Мы начинаем с хорошо известной структурной теории и классификационных результатов о конечномерных коммутативных ассоциативных алгебрах и строим соответствие Хассетта–Чинкеля в полной общности. В частности, оно включает в себя красивое соответствие с определёнными подпространствами в алгебре многочленов, инвариантными относительно некоторых дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. В разделе 2 мы показываем, как техника Хассетта–Чинкеля может быть применена к изучению аддитивных действий на проективных многообразиях, отличных от проективных пространств. Такие применения возникли уже в статье [62], где были описаны проективные кривые, гладкие проективные поверхности и специальный класс гладких проективных трёхмерных многообразий с аддитивным действием. Мы приводим доказательство теоремы Шаройко [103] с использованием этой техники. Теорема утверждает, что, в отличие от проективных пространств, любая невырожденная проективная квадрика допускает единственное аддитивное действие. Мы также объясняем, как можно описать аддитивные действия на вырожденных проективных квадриках [12], [10], и получаем обобщение соответствия Хассетта–Чинкеля на произвольные проективные гиперповерхности в терминах инвариантных полилинейных форм [10], [18]. В теореме 2.30 мы устанавливаем соответствие между аддитивными действиями на невырожденных проективных гиперповерхностях и горенштейновыми локальными алгебрами. Наконец, теорема 2.32 обобщает результат Шаройко и утверждает, что любая невырожденная проективная гиперповерхность допускает не более одного аддитивного действия. Теоремы 2.30, 2.32 и некоторые другие утверждения в разделе 2 являются оригинальными результатами этой статьи. Раздел 3 начинается с общих фактов о многообразиях с аддитивным действием. Далее мы показываем, что если многообразие флагов $G/P$ простой линейной алгебраической группы $G$ допускает аддитивное действие, то параболическая подгруппа $P$ максимальна. Следуя [3], мы перечисляем все многообразия $G/P$, допускающие аддитивное действие. Затем мы обсуждаем теорему единственности: если многообразие флагов не изоморфно проективному пространству, то оно допускает не более одного аддитивного действия. Эта теорема доказана Фу и Хваном [51] и независимо другим способом Девятовым [41]. В последнем пункте представлена конструкция Фейгина [45], которая вырождает произвольное многообразие флагов в многообразие с аддитивным действием. В разделе 4 мы изучаем аддитивные действия на торических многообразиях, следуя статье [11]. Доказано, что если полное торическое многообразие допускает аддитивное действие, то оно допускает аддитивное действие, нормализуемое действующим тором. Более того, мы показываем, что любые два нормализуемых аддитивных действия эквивалентны, и приводим комбинаторный критерий существования нормализуемого аддитивного действия на торическом многообразии. Эти результаты основаны на теории колец Кокса и понятии корня Демазюра торических многообразий. Также обсуждаются два результата Джунусова. Первый – классификация аддитивных действий на полных торических поверхностях [43], а второй – критерий единственности аддитивного действия на полном торическом многообразии [42]. В последнем разделе мы обсуждаем недавние классификационные результаты об аддитивных действиях на обобщённых поверхностях дель Пеццо, трёхмерных многообразиях Фано и многообразиях с высоким индексом, полученные Фу, Хваном, Хуангом, Монтеро и Нагаока [51], [53], [54], [65], [89]. Отдельный пункт посвящён эйлерово-симметрическим проективным многообразиям, введённым Фу и Хваном. Каждое эйлерово-симметрическое многообразие допускает аддитивное действие. Более того, для широких классов многообразий, включая торические многообразия и многообразия флагов, эйлерово-симметричность равносильна существованию аддитивного действия. Текст завершается списком открытых проблем и указанием возможных направлений дальнейших исследований. 1. Эквивариантные вложения в проективные пространстваВ этом разделе мы изучаем аддитивные действия на проективных пространствах. В 1999 г. Хассетт и Чинкель [62] установили замечательное соответствие между такими действиями и коммутативными ассоциативными локальными артиновыми алгебрами с единицей. Это соответствие привело к классификационным результатам и позволило применить новые методы, которые позже были обобщены на некоторые другие классы проективных многообразий. Основная цель этого раздела – ввести все объекты и понятия, которые нужны для соответствия Хассетта–Чинкеля, сформулировать соответствие в полной общности и с детальным доказательством, а также обсудить близкие результаты и следствия. Мы работаем над алгебраически замкнутым полем $\mathbb{K}$ нулевой характеристики. В п. 1.1 мы начинаем с базовых фактов о конечномерных коммутативных ассоциативных алгебрах. Любая конечномерная коммутативная ассоциативная алгебра является прямой суммой локальных алгебр. Поэтому конечномерные локальные алгебры являются важными объектами для многих задач алгебры и геометрии, сопоставимыми по значению с конечными простыми группами или конечными полями. Хотя классификация локальных алгебр малых размерностей известна давно, найти её в явном виде в литературе непросто. В табл. 1 мы перечисляем все локальные алгебры размерностей не более1 шести. Мы также рассматриваем последовательность Гильберта–Самюэля локальной алгебры и определяем горенштейновы локальные алгебры. Пункт 1.2 посвящён результатам Супруненко и Тышкевич [105]. Мы объясняем, как информация о максимальных коммутативных нильпотентных подалгебрах алгебры матриц может быть использована при изучении абстрактных коммутативных алгебр и групп. В частности, можно вывести классификацию локальных алгебр из табл. 1 как следствие классификационных результатов, полученных в книге [105]. Эта книга содержит много важных фактов и наблюдений, полезных для наших целей, но нелегко извлекаемых из текста. Мы надеемся, что пункт с единообразными формулировками и, где это возможно, короткими доказательствами позволит читателю лучше понимать результаты Супруненко и Тышкевич. В п. 1.3 мы доказываем результат Кнопа и Ланге [76]. Этот результат устанавливает биективное соответствие между эффективными действиями коммутативных линейных алгебраических групп с открытой орбитой на проективном пространстве $\mathbb{P}^n$ и коммутативными ассоциативными алгебрами $A$ с единицей размерности $n+1$. Также мы получаем характеризацию действий с конечным числом орбит. Пункт 1.4 содержит вводные результаты о двойственности между подпространствами алгебры многочленов $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ и алгебры $\mathbb{K}\biggl[\dfrac{\partial}{\partial x_1}\,,\dots, \dfrac{\partial}{\partial x_n}\biggr]$ дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. В целом двойственность не биективна, но она даёт биекцию при ограничении на конечномерные подпространства в $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ и подпространства в $\mathbb{K}\biggl[\dfrac{\partial}{\partial x_1}\,,\dots, \dfrac{\partial}{\partial x_n}\biggr]$ конечной коразмерности. Более того, определим порождающее подпространство в $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ как подпространство, инвариантное относительно сдвигов и порождающее алгебру $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$. Оказывается, что двойственность определяет биекцию между порождающими подпространствами размерности $m$ и невырожденными идеалами коразмерности $m$ в $\mathbb{K}\biggl[\dfrac{\partial}{\partial x_1}\,,\dots, \dfrac{\partial}{\partial x_n}\biggr]$ с носителем в нуле. В п. 1.5, следуя Хассетту и Чинкелю [62], мы устанавливаем соответствие между
В п. 1.6 показано, что при специализации как теоремы Кнопа–Ланге на случай унипотентной группы, так и соответствия Хассетта–Чинкеля на случай $m=n+1$ мы получаем биекцию между аддитивными действиями на $\mathbb{P}^n$ и локальными коммутативными ассоциативными алгебрами $A$ с единицей размерности $n+1$. Они соответствуют замечательному классу порождающих подпространств, которые мы называем базовыми подпространствами. Такое подпространство представляет автоморфизм открытой орбиты $\mathbb{G}_a^n$ в $\mathbb{P}^n$, который переводит аддитивное действие в стандартное действие параллельными переносами в группе автоморфизмов аффинного пространства. Показано, что существует единственное аддитивное действие на $\mathbb{P}^n$ с конечным числом орбит, и описаны аддитивные действия модальности 1. Наконец, мы отмечаем, что аддитивное действие имеет единственную неподвижную точку тогда и только тогда, когда соответствующая локальная алгебра горенштейнова. 1.1. Конечномерные алгебрыВ этом пункте мы напоминаем базовые структурные и классификационные результаты об артиновых коммутативных алгебрах или, эквивалентно, конечномерных коммутативных ассоциативных алгебрах с единицей над основным полем $\mathbb{K}$; см. также [14; гл. 8]. Далее под алгеброй мы подразумеваем конечномерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей. Основное поле $\mathbb{K}$ вложено в алгебру как линейная оболочка единицы. Определение 1.1. Алгебра $A$ называется локальной, если она содержит единственный максимальный идеал $\mathfrak{m}$. Лемма 1.2. Алгебра $A$ локальна тогда и только тогда, когда $A$ является прямой суммой своих подпространств $\mathbb{K}\oplus\mathfrak{m}$, где $\mathfrak{m}$ – идеал, состоящий из нильпотентных элементов. Доказательство. Пусть $A=\mathbb{K}\oplus\mathfrak{m}$. Идеал $\mathfrak{m}$ максимальный, так как имеет коразмерность 1. Любой элемент из $A \setminus \mathfrak{m}$ является суммой обратимого скаляра и нильпотентного элемента, т. е. обратим и не может принадлежать никакому собственному идеалу. Таким образом, идеал $\mathfrak{m}$ является единственным максимальным идеалом. Обратно, пусть $A$ – локальная алгебра с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$. Покажем, что любой элемент $a \in \mathfrak{m}$ нильпотентен. Так как алгебра $A$ конечномерна, мы имеем равенство идеалов $(a^k)=(a^{k+1})$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}_{>0}$, т. е. $a^k=a^{k+1}b$ и $a^k(ab-1)=0$ для некоторого $b \in A$. Заметим, что $ab-1 \notin \mathfrak{m}$. Тогда $ab-1$ не принадлежит никакому собственному идеалу и, следовательно, обратим. Это влечёт равенство $a^k=0$. Обозначим через $L_a\colon A \to A$ оператор умножения на $a \in A$. Пусть $\lambda$ – некоторое собственное значение оператора $L_a$. Тогда оператор $L_{a-\lambda\cdot1}$ необратим, поэтому элемент $a-\lambda\cdot1$ необратим и принадлежит максимальному идеалу $\mathfrak{m}$. Вместе с условием $\mathbb{K} \cap \mathfrak{m}=0$ это означает, что $A=\mathbb{K}\oplus\mathfrak{m}$. Лемма 1.2 доказана. Следующая лемма является частным случаем теоремы 8.7 в [14]. Доказательство. Как и выше, обозначим через $L_a\colon A \to A$ оператор умножения на элемент $a \in A$. Напомним, что корневым подпространством оператора $L\in \operatorname{End}(V)$ относительно собственного значения $\lambda$ называется подпространство $V^\lambda=\{v\in V\colon (L-\lambda\operatorname{id}_V)^kv=0 \text{ для некоторого }k\in \mathbb{Z}_{>0}\}$. Докажем, что $A$ является прямой суммой своих идеалов $V_i$, лежащих в корневых подпространствах операторов $L_a$ для всех $a \in A$. Действительно, возьмём элемент $a \in A$ и рассмотрим разложение $A=\bigoplus V'_i$ на корневые подпространства относительно оператора $L_a$. Все корневые подпространства являются идеалами, так как алгебра $A$ коммутативна. Повторяя процедуру разложения для тех корневых подпространств $V'_i$, которые не лежат в корневых подпространствах оператора $L_b$ для некоторого $b \in A$, мы получаем требуемое разложение. Компоненты $\varepsilon_i \in V_i$ единицы в $A$ являются единицами в $V_i$. По построению $V_i$ для каждого элемента $a_i \in V_i$ существует такое число $\lambda \in \mathbb{K}$, что оператор $(L_{a_i}-\lambda\operatorname{id}_A)\big|_{V_i}= L_{a_i-\lambda\varepsilon_i}\big|_{V_i}$ действует на $V_i$ нильпотентно. Применяя этот оператор к $\varepsilon_i \in V_i$, мы получаем, что $a_i-\lambda\varepsilon_i$ нильпотентен в $V_i$. Значит, алгебра $V_i$ локальна по лемме 1.2; лемма 1.3 доказана. Пусть $A$ – локальная алгебра и $\mathfrak{m}$ – её максимальный идеал. Рассмотрим следующую цепочку идеалов в $A$:
$$
\begin{equation*}
A \supset \mathfrak{m} \supset \mathfrak{m}^2 \supset \cdots \supset \mathfrak{m}^{l-1} \supset \mathfrak{m}^l=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Число $l$ называется длиной алгебры $A$. Обозначим $r_i:=\dim \mathfrak{m}^i-\dim \mathfrak{m}^{i+1}$. В частности, $r_0=1$. Последовательность $r_0,r_1,r_2,\dots,r_{l-1}$ называется последовательностью Гильберта–Самюэля алгебры $A$. Цоколь $A$ – это идеал $\operatorname{Soc}A=\{a \in A \colon \mathfrak{m} a=0\}$. Локальные алгебры, удовлетворяющие условию $\dim \operatorname{Soc} A=1$, называются горенштейновыми. Заметим, что $\mathfrak{m}^{l-1} \subseteq \operatorname{Soc} A$, но включение может быть строгим. Таким образом, $A$ горенштейнова тогда и только тогда, когда $\mathfrak{m}^{l-1}=\operatorname{Soc} A$ и $\dim \mathfrak{m}^{l-1}=r_{l-1}=1$. Теорема 1.4. Количество классов изоморфизма локальных алгебр размерности $m$ конечно при $m \leqslant 6$. Для $m \geqslant 7$ существует бесконечное семейство неизоморфных локальных алгебр. Число таких классов приведено в таблице: Локальные алгебры размерности не выше $6$ выписаны в табл. 1. Горенштейновы алгебры помечены буквой “G”. В статье [62] замечено, что этот результат может быть извлечён из книги Супруненко и Тышкевич 1968 г. [105], см. более подробно 2)–5) в следующем пункте. Эта же классификация была получена независимо другими методами в статье Маццолы 1980 г. [88; разд. 2], где изучались схемы, параметризующие коммутативные нильпотентные ассоциативные умножения на аффинном пространстве. Ещё один подход к данной классификации можно найти в [94]. Таблица 1.Локальные алгебры размерности не более 6
Известно много классификационных результатов о горенштейновых локальных алгебрах (см., например, [26], [44], [74]). В целом, локальные алгебры и их последовательности Гильберта–Самюэля активно изучаются в связи с пунктуальными схемами Гильберта и наборами коммутирующих нильпотентных матриц (см., например, работы [69], [70], [71], [90], [16] и ссылки в них). 1.2. Классификация Супруненко–ТышкевичВ этом пункте мы излагаем и обсуждаем некоторые результаты книги [105]. Эта монография посвящена изучению наборов коммутирующих элементов алгебры матриц $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$. Наша цель – продемонстрировать приложения этих результатов к изучению абстрактных коммутативных алгебр и групп. В частности, классификация максимальных коммутативных нильпотентных подалгебр алгебры $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ для $m \leqslant 6$ приводит к классификации локальных алгебр размерности не более $6$ (см. теорему 1.4 выше). Начнём с небольшого исторического обзора. Имеется большое число результатов и публикаций о максимальных коммутативных подалгебрах и подгруппах в различных контекстах и при тех или иных ограничениях. Одна из первых публикаций – статья Фробениуса [50]. В 1920–1935 гг. Кравчук изучал каноническую форму максимальных коммутативных подалгебр, называемую авторами книги [105] нормальной формой Кравчука, и получил много результатов о критериях сопряжённости с помощью этой формы (см. [105; разд. 2.5 и 2.6]). Вычисление размерности коммутативных подалгебр $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ берёт начало в работе Шура [98], где установлена верхняя граница $[m/4]^2+1$ для размерности в случае поля $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. Якобсон [73] обобщил этот результат на случай произвольного поля. В [57] Герстенхабер доказал, что размерность алгебры, порождённой двумя коммутирующими матрицами в $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$, не превосходит $m$ (см. также в [15], [109], [78] другие доказательства этого факта и дальнейшие обсуждения). В [78], [60] изучались оценки размерности алгебр, порождённых парой или тройкой элементов. Двойственная проблема о минимальной размерности обсуждалась в [35], [77]. Оказывается, существуют максимальные коммутативные подалгебры алгебры $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ размерности меньше $m-1$. Различные конструкции максимальных коммутативных подалгебр алгебры $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ можно найти в [22], [21], [104]. Согласно Хандельману [61], связи между максимальными коммутативными подалгебрами и максимальными коммутативными подгруппами были впервые установлены в работах Шарля [30]–[32] и систематически изучены в [105]. Ниже мы рассмотрим соответствующие результаты. Как и ранее, все алгебры предполагаются конечномерными, коммутативными и ассоциативными. Если про алгебру не сказано, что она нильпотентна, то мы также предполагаем, что она содержит единицу. Все результаты сформулированы над алгебраически замкнутым полем $\mathbb{K}$ характеристики нуль. 1) Локальные алгебры и неразложимые подалгебры. Введём некоторые обозначения. Множество $A$ элементов из $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ называется разложимым, если $\mathbb{K}^m$ является прямой суммой собственных подпространств, инвариантных относительно тавтологического действия множества $A$ на $\mathbb{K}^m$; в противном случае $A$ называется неразложимым. В [105; разд. 2.2] (см. теорему 2.2 в [105] и следующий за ней текст) доказано, что каждая максимальная коммутативная подалгебра алгебры $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ является прямой суммой неразложимых максимальных коммутативных подалгебр алгебр $\operatorname{Mat}_{m_i}(\mathbb{K})$ для некоторых $m_1,\dots,m_r$, $m_1+\cdots+m_r=m$. Алгебра $A$ является неразложимой максимальной коммутативной подалгеброй алгебры $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ тогда и только тогда, когда $A=\mathbb{K} \oplus \mathfrak{m}$, где $\mathbb{K}$ – подалгебра скалярных матриц, $\mathfrak{m}$ – максимальная коммутативная нильпотентная подалгебра алгебры $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ (см. [105; теоремы 2.3, 2.4]). Вместе с леммой 1.2 это означает, что множество неразложимых максимальных коммутативных подалгебр алгебры $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ совпадает с множеством локальных максимальных коммутативных подалгебр алгебры $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$. 2) Классификация нильпотентных подалгебр. В разделе 3.3 книги [105] получена классификация максимальных коммутативных нильпотентных подалгебр алгебры $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ для $m \leqslant 6$ с точностью до сопряжения. Число классов сопряжённости таких подалгебр указано в таблице:
$$
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
m & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \geqslant 7
\\ \hline
& 1 & 1 & 3 & 7 & 18 & 57 & \infty
\\
\end{array}$$
\notag
$$
Обозначим через $l$ индекс нильпотентности алгебры $\mathfrak{m}$, т. е. такое число $l$, что $\mathfrak{m}^l=0$ и $\mathfrak{m}^{l-1} \ne 0$. Классификация выводится из следующих случаев: классификация максимальных коммутативных нильпотентных подалгебр алгебры $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ для $l=2$ (раздел 2.3, теорема 2.7), $l=m$ (раздел 2.4, теорема 2.8), $l=m - 1$ (раздел 3.1, теорема 3.1), $l=m - 2$ (раздел 3.2, теорема 3.2) для произвольного $m$ и коммутативных нильпотентных алгебр размерности $5$ с $l=3$ (раздел 2.9, теорема 2.18 и раздел 3.3) с точностью до сопряжённости. 3) Регулярные подгруппы и подалгебры. Назовём коммутативную подгруппу $G \subseteq \operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ регулярной, если тавтологическое действие $G$ на $\mathbb{K}^{n+1}$ имеет открытую орбиту, т. е. существует $v \in \mathbb{K}^{n+1}$ с открытой орбитой $Gv \subseteq \mathbb{K}^{n+1}$. Коммутативная подалгебра $A \subseteq \operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ регулярна, если существует циклический вектор $v \in \mathbb{K}^{n+1}$, т. е. $Av=\mathbb{K}^{n+1}$. Коммутативная нильпотентная подалгебра $\mathfrak{m} \subseteq \operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ называется регулярной, если существует такой вектор $v \in \mathbb{K}^{n+1}$, что $\dim \mathfrak{m} v=n$; в этом случае вектор $v$ тоже назовём циклическим. Лемма 1.5. Пусть $G$ – коммутативная алгебраическая группа, действующая эффективно на неприводимом алгебраическом многообразии $X$ с открытой орбитой. Тогда $G$ связна и $\dim G=\dim X$. Доказательство. Пусть $Gx_0 \subseteq X$ – открытая орбита. Так как группа $G$ коммутативна, стабилизаторы всех точек в $Gx_0$ совпадают. Любой элемент группы $G$, действующий тривиально на $Gx_0$, действует тривиально и на $X$. Из эффективности действия следует, что стабилизатор точки $x_0$ тривиален, тогда отображение $G \hookrightarrow X$, определённое формулой $g \mapsto gx_0$, является эквивариантным открытым вложением. Это доказывает лемму. Лемма 1.6. Любая регулярная подгруппа $G\! \subseteq \! \operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ / регулярная подалгебра $A \subseteq \operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ / регулярная нильпотентная подалгебра $\mathfrak{m} \subseteq \operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ является максимальной среди коммутативных подгрупп $\operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ / коммутативных подалгебр $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ / коммутативных нильпотентных подалгебр $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$. Более того, $G$ связна, $\dim G=\dim A=n+1$ и $\dim \mathfrak{m}=n$. Доказательство. Согласно лемме 1.5, применённой к тавтологическому действию группы $G$ на $\mathbb{K}^{n+1}$, группа $G$ связна и имеет размерность $n+1$. Любая коммутативная подгруппа $\widetilde G \subseteq \operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$, для которой $\widetilde G \supseteq G$, тоже регулярна, поэтому $G$ и $\widetilde G$ являются связными алгебраическими группами размерности $n+1$ и тем самым $\widetilde G=G$. Это доказывает максимальность. Если $A$ – регулярная подалгебра алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ с циклическим вектором $v$, то отображение $A \to \mathbb{K}^{n+1}$, $a \mapsto av$, является сюръекцией. Любой элемент $a \in A$ из ядра этого отображения равен нулю, так как выполнено $a\mathbb{K}^{n+1}=aAv=Aav=0$. Таким образом, пространства $A$ и $\mathbb{K}^{n+1}$ изоморфны. Максимальность может быть доказана так же, как выше. Для регулярной нильпотентной подалгебры $\mathfrak{m} \subseteq \operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ рассмотрим прямую сумму $\mathbb{K} \oplus \mathfrak{m}$ с подпространством скалярных матриц. Это регулярная подалгебра с единицей. Действительно, пусть $\dim \mathfrak{m} v=n$ для некоторого $v \in \mathbb{K}^{n+1}$; тогда $\dim (\mathbb{K}+\mathfrak{m})v=n+1$, так как $v \notin \mathfrak{m} v$ в силу нильпотентности $\mathfrak{m}$. Лемма доказана. 4) Регулярные представления. Обсудим связь между абстрактными коммутативными алгебрами и коммутативными подалгебрами алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$. Для любой алгебры $A$ размерности $n+1$ имеется регулярное представление $R\colon A \to \operatorname{End}(A)$, определяемое операторами умножения. Различные отождествления $\varphi\colon A \xrightarrow{\sim} \mathbb{K}^{n+1}$ приводят к сопряжённым подалгебрам $R'(A)$ в алгебре $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$: Будем говорить, что подалгебра $A$ происходит из регулярного представления, если $A=R'(A)$ при некотором отождествлении ${A \cong \mathbb{K}^{n+1}}$. Для алгебры $A$ с единицей регулярное представление является точным. Если $\mathfrak{m}$ – нильпотентная алгебра размерности $n$, то можно добавить к ней элемент $e$ и построить алгебру с единицей $A=\mathbb{K} e \oplus \mathfrak{m}$ размерности $n+1$, определённую соотношениями $e^2=e$ и $ae=ea=a$ для любого $a \in \mathfrak{m}$. Регулярное представление $A$ индуцирует точное представление $\mathfrak{m}$ в $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$, которое тоже называется регулярным.Лемма 1.7. Коммутативная подалгебра / коммутативная нильпотентная подалгебра в $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ происходит из регулярного представления тогда и только тогда, когда это регулярная подалгебра / регулярная нильпотентная подалгебра. В частности, имеется биекция между классами изоморфизма коммутативных алгебр размерности $n+1$ / коммутативных нильпотентных алгебр размерности $n$ и классами сопряжённости регулярных подалгебр / регулярных нильпотентных подалгебр в $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$. Доказательство. Рассмотрим сначала алгебры с единицей. Любая подалгебра $R'(A)$ алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$, происходящая из регулярного представления, регулярна с циклическим вектором $v=\varphi(1)$, так как $R'(A)\varphi(1)=\varphi(A)$; см. диаграммы выше. Обратно, если $A$ – регулярная подалгебра и $Av=\mathbb{K}^{n+1}$, $v \in \mathbb{K}^{n+1}$, то $A$ происходит из своего регулярного представления при отождествлении $\varphi(a)=av$. Пусть нильпотентная подалгебра $R'(\mathfrak{m})$ происходит из регулярного представления. Тогда ${\mathbb{K} \oplus R'(\mathfrak{m})}$ – регулярная подалгебра алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$, и $R'(\mathfrak{m})$ регулярна с тем же циклическим вектором $v=\varphi(1)$, так как $R'(\mathfrak{m})\varphi(1)=\varphi(\mathfrak{m})$. Обратно, если $\mathfrak{m} \subseteq \operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ – регулярная нильпотентная подалгебра, то $A=\mathbb{K} \oplus \mathfrak{m}$ является регулярной подалгеброй и происходит из регулярного представления по причинам, указанным выше. 5) Классификационные результаты об абстрактных алгебрах. В соответствии с написанным выше, классификация локальных алгебр размерности $n+1$ эквивалентна классификации образов регулярных представлений их максимальных нильпотентных идеалов, т. е. регулярных нильпотентных подалгебр алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$. Таким образом, если мы хотим получить классификацию локальных алгебр размерности не более $6$ с точностью до изоморфизма, мы должны выбрать такие подалгебры из списка в [105; разд. 3.3] (см. п. 2) выше), которые являются регулярными. Более того, теорема 2.15 в [105] утверждает, что максимальная коммутативная нильпотентная подалгебра алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ является регулярной тогда и только тогда, когда так называемое первое число Кравчука $\nu=n+1-\dim \mathfrak{m}\mathbb{K}^{n+1}$ равно единице, т. е. $\dim \mathfrak{m}\mathbb{K}^{n+1}=n$. Таким образом, табл. 1 может быть получена из результатов книги [105; разд. 3.3]. Пример 1.8. Рассмотрим случай $n+1=4$. Согласно классификации в [105; разд. 3.3], есть семь максимальных коммутативных нильпотентных подалгебр алгебры $\operatorname{Mat}_4(\mathbb{K})$, см. п. 2) выше): 6) Бесконечные серии. В то время как число нильпотентных алгебр размерности $n$ и индексов нильпотентности $2$, $n-2$, $n-1$, $n$ конечно, существует бесконечно много неизоморфных нильпотентных алгебр размерности $6$ и индекса нильпотентности $3$. Отсюда следует, что существует бесконечное число локальных алгебр в размерностях не меньше 7. Более точно, рассмотрим алгебры с последовательностью Гильберта–Самюэля $(1,4,2)$. Так как индекс нильпотентности максимального идеала такой алгебры равен $3$, умножение определяется билинейным симметрическим отображением $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \times \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \to \mathfrak{m}^2$. Так как $\dim \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=4$ и $\dim \mathfrak{m}^2=2$, такие отображения образуют пространство размерности $20=4(4+1)/2 \cdot 2$. Изоморфизм между такими алгебрами соответствует замене координат в пространствах $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ и $\mathfrak{m}^2$, т. е. мы рассматриваем отображения с точностью до действия группы $\operatorname{GL}_4(\mathbb{K}) \times \operatorname{GL}_2(\mathbb{K})$. Она имеет размерность $20=4^2+2^2$ и действует на пространстве отображений с одномерным ядром неэффективности. Так как $19 < 20$, существует бесконечно много попарно неизоморфных алгебр такого типа. Рассуждения об алгебрах похожего типа можно также прочитать в [62; пример 3.6] и абзацах до и после него. Больше информации о последовательностях Гильберта–Самюэля, соответствующих бесконечному числу неизоморфных локальных алгебр, можно найти в [83]. Приведём явный пример. Для $n=7$ рассмотрим алгебры $A_\alpha$ вида
$$
\begin{equation*}
A_\alpha=\mathbb{K}[x_1,x_2,x_3,x_4]/(x_1^2+x_3^2-2x_2^2,x_4^2-x_2^2- \alpha(x_3^2-x_2^2),x_ix_j,\, i \ne j).
\end{equation*}
\notag
$$
В [105; разд. 2.8] показано, что в каждом классе может содержаться лишь конечное число алгебр вида $A_\alpha$. Для $n > 7$ можно добавить образующие $x_5,\dots,x_{n-3}$ к алгебре $A_\alpha$ с соотношениями $x_ix_k=0$ для всех $1 \leqslant i \leqslant n-3$, $5 \leqslant k \leqslant n-3$ и получить бесконечную серию попарно неизоморфных алгебр размерности $n$. 1.3. Теорема Кнопа–ЛангеВ этом пункте мы изучаем действия с открытой орбитой произвольных связных коммутативных линейных алгебраических групп на проективных пространствах. Хорошо известно, что такая группа $G$ изоморфна $\mathbb{G}_m^r \times \mathbb{G}_a^s$ для некоторых $r,s \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ (см. [66; теорема 15.5]). Числа $r$ и $s$ называются рангом и корангом группы $G$ соответственно. Определение 1.9. Действия $\alpha_i\colon G_i \times X_i \to X_i$ алгебраических групп $G_i$ на алгебраических многообразиях $X_i$, $i=1,2$, называются эквивалентными, если существуют такие изоморфизм групп $\psi\colon G_1 \to G_2$ и изоморфизм многообразий $\varphi\colon X_1 \to X_2$, что $\varphi\circ\alpha_1= \alpha_2\circ(\psi\times\varphi)$. Следующая теорема доказана в [76; предложение 5.1]. Теорема 1.10. Имеется биекция между следующими объектами: Таблица 2.Число алгебр малых размерностей
Доказательство. (b) $\to$ (a) Группа $A^\times$ обратимых элементов алгебры $A$ является связной коммутативной линейной алгебраической группой, открытой в $A$. Факторгруппа $G=\mathbb{P}(A^\times):= A^\times / \mathbb{K}^\times$ по подгруппе обратимых скаляров $\mathbb{K}^\times \cdot 1$ – тоже связная коммутативная линейная алгебраическая группа. Она канонически действует на $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}^n$ с открытой орбитой, изоморфной $\mathbb{P}(A^\times)$. Эквивалентность. Изоморфизм алгебр $\varphi\colon A_1 \to A_2$ индуцирует изоморфизм групп $\mathbb{P}(A_1^\times)\to\mathbb{P}(A_2^\times)$ и изоморфизм многообразий $\mathbb{P}(A_1) \to \mathbb{P}(A_2)$. Они определяют эквивалентность между действиями $\mathbb{P}(A_i^\times)$ на $\mathbb{P}(A_i)$, $i=1,2$. (a) $\to$ (b) Из леммы 1.5 следует равенство $\dim G=n$. Так как группа $G$ действует на $\mathbb{P}^n$ эффективно, можно рассматривать $G$ как подгруппу группы $\operatorname{Aut}(\mathbb{P}^n)=\operatorname{PGL}_{n+1}(\mathbb{K})$. Обозначим через $\pi\colon \operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K}) \to \operatorname{PGL}_{n+1}(\mathbb{K})$ каноническую проекцию и положим $H:=\pi^{-1}(G)$. Докажем, что $H$ – связная коммутативная линейная алгебраическая группа размерности $n+1$. Сначала заметим, что $H$ содержит группу $\mathbb{K}^\times$ обратимых скалярных матриц, так как $G \ni 1$. Тогда Далее, $H$ связна, так как группы $\pi(H)=G$ и $\operatorname{Ker}\pi\big|_H$ связны. Наконец, докажем, что $H$ коммутативна. Рассмотрим коммутант $[H,H]$ группы $H$. Так как $G$ коммутативна, то $[H,H] \subseteq \operatorname{Ker}\pi\big|_H=\mathbb{K}^\times$. С другой стороны, группа $[H,H]$ связна как коммутант связной группы, и поэтому $[H,H]=\{1\}$ или $[H,H]=\mathbb{K}^\times$. Но последнее невозможно, так как коммутант состоит из матриц с определителем $1$. Отсюда следует, что коммутант $[H,H]$ тривиален и группа $H$ коммутативна.Рассмотрим $\operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ как открытое подмножество в $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ и обозначим через $A$ ассоциативную подалгебру алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$, порождённую $H$. Ясно, что $A$ – коммутативная алгебра с единицей. Докажем, что $\dim A=n+1$. Заметим, что тавтологическое действие $H \subseteq \operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ на $\mathbb{K}^{n+1}$ имеет открытую орбиту. Группа обратимых элементов $A^\times \subseteq \operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ открыта в $A$. Она коммутативна, действует эффективно на $\mathbb{K}^{n+1}$, и это действие имеет открытую орбиту, так как действие $H \subseteq A^\times$ имеет открытую орбиту. Из леммы 1.5 имеем $\dim A^\times=\dim \mathbb{K}^{n+1}=n+1$, и, значит, $\dim A=n+1$. Более того, $H=A^\times$, так как $H$ – алгебраическая подгруппа в $A^\times$ той же размерности. Эквивалентность. Пусть изоморфизмы $\psi\colon G_1 \to G_2$ и $\varphi\colon \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n$ определяют эквивалентность двух действий. Так как $\varphi \in \operatorname{PGL}_n(\mathbb{K})$, существует оператор $\Phi\in\operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$, индуцирующий отображение $\varphi$ на $\mathbb{P}(\mathbb{K}^{n+1})$. Изоморфизм векторных пространств $\Phi$ индуцирует изоморфизм алгебр операторов $\Psi\colon\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K}) \to \operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$, $\Psi(X)=\Phi X\Phi^{-1}$. Рассматривая $G_i$ как подгруппы $\operatorname{PGL}_n(\mathbb{K})$ и полагая $H_i=\pi^{-1}(G_i)$, $i=1,2$, мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\Psi(H_1)=\Phi \pi^{-1}(G_1)\Phi^{-1}=\pi^{-1}(\varphi G_1 \varphi^{-1})= \pi^{-1}(G_2)=H_2,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $\Psi(A_1)=A_2$ является требуемым изоморфизмом алгебр. Проверим, что построенные отображения обратны друг другу. Пусть $A$ – алгебра как в п. (b). Тогда имеется действие группы $G=A^\times / \mathbb{K}^\times$ на $\mathbb{P}(A)$ как в п. (a). Мы можем рассмотреть $G$ как подгруппу в $\operatorname{PGL}(A)$, и согласно переходу (a) $\to$ (b) это действие соответствует ассоциативной подалгебре алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$, порождённой множеством $\pi^{-1}(A^\times / \mathbb{K}^\times)=A^\times$, т. е. подалгебре, совпадающей с $A$. Обратно, пусть $G$ действует на $\mathbb{P}^n$ с открытой орбитой. Тогда мы имеем алгебру $A$ как в переходе (a) $\to$ (b), в частности, $A^\times=H=\pi^{-1}(G)$. Тогда подгруппа $A^\times / \mathbb{K}^\times$ совпадает с $G$ в $\operatorname{PGL}_{n+1}(\mathbb{K})$. Для доказательства второго утверждения теоремы заметим, что если алгебра $A=\mathbb{K} \oplus \mathfrak{m}$ локальна, то её группой обратимых элементов является $A^\times=\mathbb{K}^\times \oplus \mathfrak{m}={\mathbb{K}^\times \times (1+\mathfrak{m})}$, где $(1+\mathfrak{m},\times) \cong (\mathfrak{m},+) \cong \mathbb{G}_a^n$ с помощью экспоненциального отображения и $\mathbb{K}^\times \cong \mathbb{G}_m$. Так как по лемме 1.3 любая коммутативная алгебра $A$ является суммой локальных алгебр, ранг группы $A^\times$ равен числу её локальных слагаемых, которое равно числу максимальных идеалов. По построению ранг $A^\times=H$ на единицу больше ранга $G$. Число классов изоморфизма алгебр размерности $n+1$ может быть найдено прямыми вычислениями с использованием информации о количестве локальных алгебр фиксированной размерности, приведённых в табл. 1. Более точно, любая алгебра размерности $n+1$ раскладывается в сумму локальных алгебр, и это разложение определяется неупорядоченными наборами локальных алгебр размерностей $m_1,\dots,m_r$, где $n+1=m_1+\cdots+m_r$. Теорема 1.10 доказана. Замечание 1.11. В [76; предложение 5.1] первая часть теоремы 1.10 доказана для произвольного основного поля $\mathbb{K}$. Замечание 1.12. Теорема 2.1 монографии Супруненко и Тышкевич [105] утверждает, что есть взаимно однозначное соответствие между максимальными коммутативными подалгебрами алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ и максимальными коммутативными подгруппами группы $\operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$. Более точно, для подалгебры $A \subseteq \operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ и подгруппы $H \subseteq \operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ биекция определяется отображениями $A \mapsto A^\times$ и $\operatorname{Span} H \leftarrowtail H$. Переформулируем доказательство теоремы Кнопа–Ланге в этих терминах. Легко видеть, что соответствие из теоремы 2.1 в [105] ограничивается до биекции между регулярными подалгебрами алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ и регулярными подгруппами групы $\operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$. С одной стороны, регулярные подалгебры алгебры $\operatorname{Mat}_{n+1}(\mathbb{K})$ соответствуют абстрактным алгебрам размерности $n+1$ по лемме 1.7. С другой стороны, аргументы из доказательства теоремы Кнопа–Ланге показывают, что регулярные подгруппы $H \subseteq \operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ находятся в биекции с такими коммутативными подгруппами $G \subseteq \operatorname{PGL}_{n+1}(\mathbb{K})= \operatorname{Aut}(\mathbb{P}^n)$, что соответствующее действие группы $G$ на $\mathbb{P}^n$ имеет открытую орбиту: соответствие задано равенствами $G=\pi(H)$ и $H=\pi^{-1}(G)$, где $\pi$ – каноническая проекция $\pi\colon \operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K}) \to \operatorname{PGL}_{n+1}(\mathbb{K})$. Таким образом, мы получаем биекцию между действиями $G$ на $\mathbb{P}^n$ с открытой орбитой и алгебрами размерности $n+1$. Приведём описание орбит коммутативной группы, действующей на $\mathbb{P}^n$, в терминах соответствующей алгебры. Следствие 1.13. Соответствие из теоремы 1.10 определяет биекцию между орбитами группы $G$ на $\mathbb{P}^n$ и ненулевыми главными идеалами алгебры $A$. Доказательство. Сначала установим биекцию между орбитами группы $G$ на $\mathbb{P}^n$ и классами ассоциированности ненулевых элементов в алгебре $A$. Если для $a,b \in A$ существует такой $c \in A^\times$, что $a=cb$, то $[b] \in \mathbb{P}(A)$ получается из $[a] \in \mathbb{P}(A)$ действием элемента $[c] \in A^\times / \mathbb{K}^\times$. Обратно, если $[a]=[c] \cdot [b]$ для $a,b \in A$, $c \in A^\times$, то $a=\lambda cb$, $\lambda \in \mathbb{K}^\times$, и, значит, $a$ и $b$ ассоциированы. Осталось заметить, что порождающий главного идеала определён с точностью до ассоциированности. Следующее утверждение см. в [62; предложение 3.5]. Следствие 1.14. Существует единственное действие группы $\mathbb{G}_a^n$ на $\mathbb{P}^n$ с конечным числом орбит. Оно соответствует усечённой алгебре многочленов $A=\mathbb{K}[S]/(S^{n+1})$. Доказательство. Согласно следствию 1.13, мы должны исследовать локальные $(n+1)$-мерные алгебры $A$ с конечным числом главных идеалов. Сначала заметим, что алгебра $\mathbb{K}[S] / (S^{n+1})$ локальна и имеет конечное число главных идеалов $(S^k)$, $0 \leqslant k \leqslant n+1$. Обратное утверждение докажем индукцией по $n$. Пусть $A$ – локальная алгебра размерности $n+1$ с конечным числом главных идеалов. Множество неподвижных точек в $\mathbb{P}^n=\mathbb{P}(A)$ совпадает с $\mathbb{P}(\operatorname{Soc} A)$, так что $\dim \operatorname{Soc} A=1$. Заметим, что $\operatorname{Soc} A$ является идеалом в $A$, поэтому можно рассмотреть факторалгебру $A / \operatorname{Soc} A$. Она $n$-мерна и также имеет конечное число главных идеалов, т. е. по предположению индукции изоморфна алгебре $\mathbb{K}[s] / (s^{n})$. Пусть элементу $s$ соответствует смежный класс $S+\operatorname{Soc} A \in A / \operatorname{Soc} A$. Тогда $A$ – прямая сумма векторных пространств $\operatorname{Soc} A$ и $\langle S^k, 0 \leqslant k \leqslant n-1\rangle$. Более того, $S^n \in \operatorname{Soc} A$, откуда следует, что $S^{n+1}=0$. Если $S^n=0$, то равенства $S^{n-1}\cdot S=0$ и $S^{n-1}\operatorname{Soc} A=0$ влекут $S^{n-1}\mathfrak{m}=0$, что противоречит $S^{n-1} \notin \operatorname{Soc} A$. Таким образом, $A=\langle S^k, 0 \leqslant k \leqslant n\rangle$. Для натуральных чисел $n$ и $r$ обозначим через $p_r(n)$ число таких разбиений $n=n_1+\cdots+n_r$, что $n_1 \geqslant \cdots \geqslant n_r \geqslant 1$. Следствие 1.15. Пусть $G$ – связная коммутативная линейная алгебраическая группа размерности $n$ и ранга $r$. Тогда существует в точности $p_r(n)$ эффективных действий $G$ на $\mathbb{P}^n$ с конечным числом орбит. Соответствующие алгебры $A$ – это все алгебры вида $\mathbb{K}[S]/(f(S))$, где $f(S)$ – многочлен степени $n$ с ровно $r$ различными корнями. Доказательство. Согласно следствию 1.13 число орбит группы $G$ в $\mathbb{P}^n$ равно числу главных идеалов в соответствующей алгебре $A$. Пусть – разложение в сумму локальных идеалов (см. лемму 1.3). Главными идеалами в $A$ являются суммы главных идеалов в $A_i$, так что число главных идеалов в $A$ конечно тогда и только тогда, когда оно конечно для каждого локального слагаемого. Согласно следствию 1.14 это выполнено тогда и только тогда, когда каждый идеал $A_i$ изоморфен алгебре $\mathbb{K}[S]/(S^{n_i})$, где $n_i=\dim A_i$. Значит, алгебра $A$ имеет требуемый вид и однозначно определяется размерностями $n_1,\dots,n_r$. Пример 1.16. Рассмотрим алгебру $A=\mathbb{K}^{n+1}$ с покоординатным умножением. Тогда $A^\times=(\mathbb{K}^\times)^{n+1}$ и группа $A^\times / \mathbb{K}^\times$ изоморфна группе $\mathbb{G}_m^n$: элемент $(t_1,\dots,t_n) \in \mathbb{G}_m^n$ соответствует классу элемента $(1,t_1,\dots,t_n) \in A^\times$ и действует на классах элементов $(z_0,\dots,z_n) \in A$ умножением: Это действие группы $\mathbb{G}_m^n$ на $\mathbb{P}^n$ с открытой орбитой $\{z_i \ne 0, 0 \leqslant i \leqslant n\}$. Другие орбиты параметризованы множеством таких индексов $0 \leqslant i \leqslant n$, что $z_i=0$, т. е. у этого действия $2^{n+1}-1$ орбита. Пример 1.17. Рассмотрим локальную алгебру $A=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_1^2,S_1S_2,S_2^2)$, $\mathfrak{m}=\langle S_1, S_2\rangle$. Найдём соответствующее действие группы $A^\times / \mathbb{K}^\times$ на $\mathbb{P}(A)$. Так как $A^\times / \mathbb{K}^\times=(1+\mathfrak{m},\times) \cong (\mathfrak{m},+) \cong \mathbb{G}_a^2$ с помощью экспоненциального отображения, действие элемента $(x_1,x_2) \in \mathbb{G}_a^2$ задаётся умножением на класс элемента $\exp(x_1S_1+x_2S_2) \in A^\times$. Применяя его к точке $[z_0:z_1:z_2] \in \mathbb{P}^2$, отождествлённой с классом элемента $z_0+z_1S_1+z_2S_2 \in A$, получаем Это действие группы $\mathbb{G}_a^2$ на $\mathbb{P}^2$ с открытой орбитой $\{z_0 \ne 0\}$. Другие орбиты суть неподвижные точки, они образуют прямую $\{z_0=0\}$. В этом случае у действия бесконечно много орбит. Пример 1.18. Рассмотрим оставшуюся локальную алгебру размерности 3: $A=\mathbb{K}[S] / (S^3)$ с $\mathfrak{m}=\langle S, S^2\rangle$. Как выше, действие элемента $(x_1,x_2) \in \mathbb{G}_a^2$ на $[z_0:z_1:z_2] \in \mathbb{P}^2$ задано формулой 1.4. Многочлены и дифференциальные операторыМы начнём с некоторых вспомогательных определений и биекций, требуемых для соответствия Хассетта–Чинкеля. Похожие результаты объясняются в [72] со ссылкой на [86]. Пусть $\mathbb{K}$ – поле характеристики нуль. Зафиксируем $n \in \mathbb{Z}_{>0}$ и рассмотрим две алгебры многочленов $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ и $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$. Если мы отождествим $S_i$ с $\dfrac{\partial}{\partial x_i}$ , $1 \leqslant i \leqslant n$, то $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$ можно рассматривать как алгебру $\mathbb{K}\biggl[\dfrac{\partial}{\partial x_1}\,,\dots, \dfrac{\partial}{\partial x_n}\biggr]$ дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Конструкция 1.19. Рассмотрим следующее спаривание между алгебрами $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ и $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$: В частности, $\langle S_1^{i_1}\cdots S_n^{i_n} \mid x_1^{j_1}\cdots x_n^{j_n}\rangle$ равно $i_1!\cdots i_n!$, если $i_k=j_k$, $1 \leqslant k \leqslant n$, и равно нулю в остальных случаях. Спаривание невырождено: Более того, это невырожденное спаривание индуцирует совершенное спаривание ${\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]_{\leqslant d} \times \mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]_{\leqslant d} \to \mathbb{K}}$ между многочленами и дифференциальными операторами степени не выше $d$, так как эти пространства конечномерны и ограничение спаривания также невырождено. Для подпространства $V \subseteq \mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ можно определить подпространство а для подпространства $I \subseteq \mathbb{K}[S_1,\dots, S_n]$ можно рассмотретьПример 1.20. Пусть $V=\langle x_1^2\rangle \subseteq \mathbb{K}[x_1]$. Тогда $I_V$ состоит из таких элементов $g=\displaystyle\sum_{i \geqslant 0}\alpha_iS_1^i$, что $\langle g \mid x_1^2\rangle=2!\,\alpha_2=0$, т. е. $I_V=\langle S_1^i,i \ne 2\rangle$. Обратно, для $I=\langle S_1^i,i \ne 2\rangle \subseteq \mathbb{K}[S_1]$ получаем $V_I=\langle x_1^2\rangle$, так как для любого многочлена $f=\displaystyle\sum_{i \geqslant 0}\alpha_ix_1^i \in V_I$ выполнено равенство $\langle S_1^i \mid f \rangle=i!\,\alpha_i=0$ при всех $i \ne 2$. Пример 1.21. Рассмотрим идеал $I=(S_1^2-1)=\langle S_1^{i+2}-S_1^{i}, i \geqslant 0\rangle \subseteq \mathbb{K}[S_1]$. Для любого $f=\displaystyle\sum_{i \geqslant 0}\alpha_ix_1^i \in V_I$ выполнено равенство Лемма 1.22. Для фиксированных $d,m\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ конструкция 1.19 определяет биекцию между и Доказательство. Легко видеть, что $I_V \supseteq \mathbb{K}[S_1,\dots, S_n]_{>d}$. Заметим, что $\dim V=\operatorname{codim}_{\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]} I_V$, так как спаривание между векторными пространствами $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]_{\leqslant d}$ и $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]_{\leqslant d}$ совершенно. Так как $V \subseteq V_{(I_V)}$ и $\dim V=\operatorname{codim} I_V=\dim V_{(I_V)}$, то $V=V_{(I_V)}$. Аналогично, $I=I_{(V_I)}$. Лемма доказана. В следующей серии лемм мы уточним построенное соответствие. Основной результат этого пункта сформулирован в предложении 1.33. Заметим, что имеется каноническое действие группы $\mathbb{G}_a^n$ на линейной оболочке $\langle x_1,\dots,x_n\rangle$ с помощью сдвигов. Оно может быть продолжено до действия группы $\mathbb{G}_a^n$ на $\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$: элемент группы $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_n) \in \mathbb{G}_a^n$ отображает многочлен $f(x)=f(x_1,\dots,x_n)$ в многочлен Напомним формулу Тейлора: $f(x+\beta)=\displaystyle\sum_{i_1,\dots,i_n} \dfrac{\beta_1^{i_1}\cdots\beta_n^{i_n}}{i_1!\cdots i_n!}\, \dfrac{\partial^{i_1+\cdots+i_n}f(x)} {\partial x_1^{i_1}\cdots\partial x_n^{i_n}}$ . Она показывает, что Определение 1.23. Подпространство $V \subseteq \mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ называется инвариантным относительно сдвигов, если выполнены следующие эквивалентные условия: Эквивалентность условий 1) и 2) в этом определении следует из того, что подпространство $V$ является $\mathbb{G}_a^n$-инвариантным тогда и только тогда, когда оно является ($\operatorname{Lie}\mathbb{G}_a^n$)-инвариантным. Пример 1.24. Рассмотрим подпространство $V=\langle 1,x_1,x_2\rangle \subseteq \mathbb{K}[x_1,x_2]$. Оно инвариантно относительно $\partial/\partial x_1$ и $\partial/\partial x_2$. С другой стороны, оно инвариантно относительно действия сдвигами: соответствующее представление элемента $(\beta_1,\beta_2) \in \mathbb{G}_a^2$ в $V$ задаётся матрицей в базисе $1, x_1, x_2$. Пример 1.25. Пусть $V=\langle1,x_1,x_2+x_1^2/2\rangle \subseteq \mathbb{K}[x_1,x_2]$. Это подпространство инвариантно относительно сдвигов в соответствии с обоими определениями. Так как элемент $(\beta_1,\beta_2) \in \mathbb{G}_a^2$, применённый к базисным векторам $1, x_1, x_2+x_1^2/2$, даёт соответственно то получаемое представление группы $\mathbb{G}_a^2$ в $V$ задаётся матрицей Лемма 1.26. Лемма 1.22 определяет биекцию между подпространствами $V$ в $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$, инвариантными относительно сдвигов, и идеалами $I$ в $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$. Более того, в этом случае выполнены равенства Доказательство. Пусть $I$ – идеал и $f \in V_I$, т. е. $\langle g \mid f\rangle=0$ для любого $g \in I$. Так как $\widetilde gg \in I$ для любого $\widetilde g \in \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$, имеют место равенства $0=\langle\widetilde gg \mid f\rangle=\langle\widetilde g \mid g[f]\rangle$, откуда в силу невырожденности $\langle\,\cdot\,\mid\,\cdot\,\rangle$ получаем $g[f]=0$. Это даёт первую формулу в (1.2), и, таким образом, $V_I$ является $\partial/\partial x_i$-инвариантным для любого $1 \leqslant i \leqslant n$. Обратно, пусть $V$ – подпространство, инвариантное относительно сдвигов, и $g \in I_V$. Так как $\widetilde g[f] \in V$ для любого $\widetilde g \in \mathbb{K}[S_1,\dots, S_n]$ и $f \in V$, то выполнено $0=\langle g \mid \widetilde g[f]\rangle= \langle \widetilde g \mid g[f]\rangle$, и, значит, $g[f]=0$. Это даёт вторую формулу в (1.2), из которой следует, что $I_V$ – идеал. Лемма доказана. Пример 1.27. Подпространство $V=\langle 1,x_1,x_1^2\rangle \subseteq \mathbb{K}[x_1]$, инвариантное относительно сдвигов, соответствует идеалу $I=(S_1^3) \subseteq \mathbb{K}[S_1]$. Определение 1.28. Назовём подпространство $V \subseteq \mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ невырожденным, если никакой ненулевой оператор из $\langle S_1,\dots, S_n\rangle$ не аннулирует $V$. Подпространство $I \subseteq \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$ будем называть невырожденным, если выполнено равенство $I \cap \langle S_1,\dots,S_n\rangle=0$. Следующая лемма может быть доказана прямой проверкой. Лемма 1.29. Биекция в лемме 1.22 индуцирует биекцию между невырожденными подпространствами в $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ и $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$. Определение 1.30. Назовём подпространство $V \subseteq \mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ порождающим, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий: Докажем эквивалентность условий 1) и 2) в определении 1.30. Пусть $V$ инвариантно относительно сдвигов и порождает $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$. Не существует ненулевого оператора в $\langle S_1,\dots,S_n\rangle$, аннулирующего $V$, так как иначе он бы аннулировал $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$. Обратно, пусть инвариантное относительно сдвигов невырожденное подпространство $V$ порождает подалгебру $A \subsetneq \mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$, $W:=A \cap \langle x_1,\dots,x_n\rangle$. Выбором подходящих переменных в $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ можно добиться того, чтобы выполнялось равенство $W=\langle x_1,\dots,x_k\rangle$ для некоторого $k < n$. Заметим, что $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_k] \subseteq A$, так как алгебра $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_k]$ порождается подпространством $W \subseteq A$. Докажем, что $A=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_k]$. Предположим противное, пусть $f$ – многочлен минимальной степени в $A \setminus \mathbb{K}[x_1,\dots,x_k]$. Так как $V$ инвариантно относительно действия сдвигами, то $A$ тоже инвариантна относительно действия сдвигами. Тогда многочлены $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$ принадлежат $A$ и имеют степень меньше, чем степень $f$, откуда следует включение $\dfrac{\partial f}{\partial x_i} \in \mathbb{K}[x_1,\dots,x_k]$ для любого $1 \leqslant i \leqslant n$. Пусть
$$
\begin{equation*}
f=\sum_j b_j x_n^j,\qquad b_j \in \mathbb{K}[x_1,\dots,x_{n-1}].
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\dfrac{\partial f}{\partial x_n}=\displaystyle\sum_j jb_j x_n^{j-1}$ является элементом $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_k]$, то выполнено равенство $f=b_1x_n+b_0$. Для каждого $1 \leqslant i < n$ многочлен $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}=\dfrac{\partial b_1}{\partial x_i} x_n+ \dfrac{\partial b_0}{\partial x_i}$ тоже не содержит $x_n$, откуда следует, что $\dfrac{\partial b_1}{\partial x_i}=0$ для любого $i$, т. е. $b_1 \in \mathbb{K}$. Таким образом, $x_n$ входит в $f$ только в линейном члене. То же выполнено для $x_{k+1},\dots,x_{n-1}$, т. е. $f$ является суммой линейного многочлена от переменных $x_{k+1},\dots,x_n$ и элемента $f_0 \in \mathbb{K}[x_1,\dots,x_k]$. Так как $f,f_0 \in A$, этот линейный многочлен принадлежит $W$. Но $W=\langle x_1,\dots,x_k\rangle$, поэтому линейный многочлен равен нулю, т. е. $f=f_0 \in \mathbb{K}[x_1,\dots,x_k]$, противоречие. Таким образом, $A=\mathbb{K}[x_1,\dots x_k]$. Тогда $\dfrac{\partial}{\partial x_n}$ аннулирует $A$ и, следовательно, аннулирует $V$, что противоречит невырожденности $V$. Доказательство эквивалентности условий 1) и 2) завершено. Рассмотрим каноническое действие группы $\operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$ на векторном пространстве $\langle x_1,\dots,x_n\rangle$: $x \mapsto \varphi x$, $x \in \langle x_1,\dots,x_n\rangle$, $\varphi \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$. Это действие индуцирует действие группы $\operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$ на алгебре $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$: $(\varphi f)(x_1,\dots,x_n):=f(\varphi x_1,\dots,\varphi x_n)$. Определим действие группы $\operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$ на $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$ следующим образом: для $g \in \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$ и $\varphi \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$ положим $(\varphi g)[f]=g[\varphi^{-1}f]$ для любого $f \in \mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$. Определение 1.31. Подпространства $V_1,V_2 \subseteq \mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ (соответственно $I_1,I_2 \subseteq \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$) называются $\operatorname{GL}$-эквивалентными, если существует такое $\varphi \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$, что $\varphi V_1=V_2$ (соответственно $\varphi I_1=I_2$). Лемма 1.32. Биекция из леммы 1.22 корректно определяет биекцию на классах $\operatorname{GL}$-эквивалентности. Доказательство. Пусть $\varphi V_1=V_2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{V_2}&=\{h \in \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]\colon \langle h \mid \varphi f\rangle=0 \ \forall\,f \in V_1\} \\ &=\{h \in \mathbb{K}[S_1,\dots, S_n]\colon \langle\varphi^{-1}h \mid f\rangle=0 \ \forall\,f \in V_1\} \\ &=\{\varphi g \in \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]\colon \langle g \mid f\rangle=0 \ \forall\,f \in V_1\}=\varphi I_{V_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично $\varphi I_1=I_2$ влечёт $\varphi V_1=V_2$. Будем говорить, что идеал $I \subseteq \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$ имеет носитель в нуле, если $I$ содержит некоторые степени переменных $S_i$ для любого $1 \leqslant i \leqslant n$. Легко проверить, что идеал $I$ имеет носитель в нуле тогда и только тогда, когда $I$ содержит $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]_{>d}$ для некоторого $d$. Из лемм 1.22, 1.26, 1.29 и 1.32 мы получаем следующий результат. Предложение 1.33. Пусть $m\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Формулы (1.2) определяют биекцию между классами $\operatorname{GL}$-эквивалентности для: Пример 1.34. Порождающее подпространство соответствует идеалу так как последний состоит из таких $g=\displaystyle\sum_{i,j \geqslant 0} \alpha_{ij}S_1^iS_2^j$, что $\alpha_{00}=\alpha_{01}=\alpha_{11}=0$. Пример 1.35. Порождающее подпространство соответствует идеалу так как $g=\displaystyle\sum_{i,j \geqslant 0} \alpha_{ij}S_1^iS_2^j$ принадлежит $I$ тогда и только тогда, когда $\alpha_{00}=\alpha_{10}=\alpha_{01}+{2!\,\alpha_{20}}/{2}=0$. 1.5. Соответствие Хассетта–ЧинкеляВ этом пункте мы описываем и изучаем соответствие Хассетта–Чинкеля, приведённое в [62; разд. 2.4]. Определение 1.36. Пусть $G$ – алгебраическая группа. Два представления $\rho_1\colon G \to \operatorname{GL}(V_1)$ и $\rho_2\colon G \to \operatorname{GL}(V_2)$ называются эквивалентными, если существуют такие автоморфизм $\psi\colon G \to G$ и изоморфизм векторных пространств $\varphi\colon V_1 \to V_2$, что $\varphi(\rho_1(g)v)=\rho_2(\psi(g))\varphi(v)$ для любых $g \in G$, $v\in V_1$. Определение 1.37. Рассмотрим пары $(A,U)$, где $A$ – алгебра и $U \subseteq A$ – подпространство. Две такие пары $(A_1,U_1)$ и $(A_2,U_2)$ эквивалентны, если существует изоморфизм алгебр $\varphi\colon A_1 \to A_2$, для которого $\varphi(U_1)=U_2$. Ниже сформулирован основной результат этого пункта. Теорема 1.38. Пусть $n,m\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Существует взаимно однозначное соответствие между Доказательство. (a) $\to$ (b) Здесь мы следуем изложению в [12; разд. 1]. Пусть $\rho\colon \mathbb{G}_a^n \to \operatorname{GL}_m(\mathbb{K})$ – точное представление. Дифференциал даёт представление $d\rho\colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}_m(\mathbb{K})$ касательной алгебры $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(\mathbb{G}_a^n)$, которое в свою очередь определяет представление $\tau\colon \mathbb{U}(\mathfrak{g}) \to \operatorname{Mat}_{m}(\mathbb{K})$ универсальной обёртывающей алгебры $\mathbb{U}(\mathfrak{g})=\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$. Пусть $A:=\tau(\mathbb{U}(\mathfrak{g}))$ и $U:=\tau(\mathfrak{g})$. Подпространство $U$ порождает алгебру $A$, так как $\mathfrak{g}$ порождает $\mathbb{U}(\mathfrak{g})$. Группа $\mathbb{G}_a^n$ коммутативна, так что $\mathfrak{g}$ – коммутативная алгебра Ли. Таким образом, алгебра $\mathbb{U}(\mathfrak{g})$ изоморфна алгебре многочленов от $n$ переменных с максимальным идеалом $(\mathfrak{g})$, состоящим из многочленов без свободного члена. Алгебра $A$ коммутативна, ассоциативна и имеет единицу. Так как $\mathbb{G}_a^n$ – унипотентная группа, образ $d\rho(\mathfrak{g}) \subseteq \mathfrak{gl}_m(\mathbb{K})$ состоит из коммутирующих нильпотентных матриц. По определению $\tau\big|_\mathfrak{g}=d\rho$, так что $(U)=\tau((\mathfrak{g}))$ является нильпотентным идеалом в $A$ коразмерности 1 и алгебра $A$ локальна. Так как $\rho$ точно, то $\tau\big|_\mathfrak{g}\colon \mathfrak{g} \to U$ является изоморфизмом векторных пространств и $\dim U=n$. Пусть $v$ – циклический вектор, т. е. $\langle\rho(\mathbb{G}_a^n)v\rangle=\mathbb{K}^m$. Заметим, что подпространство $Av=\tau(\mathbb{U}(\mathfrak{g}))v$ является $\mathfrak{g}$- и $\mathbb{G}_a^n$-инвариантным и содержит $v$, поэтому $Av=\mathbb{K}^m$. Рассмотрим $\pi\colon A \to \mathbb{K}^m$, $a \mapsto av$. Заметим, что $\operatorname{Ker}\pi=0$. Действительно, если $av=0$ для некоторого $a \in A$, то $a\mathbb{K}^m=aAv=Aav=0$, откуда следует, что $a=0$. Таким образом, $\pi$ является изоморфизмом векторных пространств и $\dim A=m$. Эквивалентность. Пусть $\rho_1\colon \mathbb{G}_a^n \to \operatorname{GL}_m(\mathbb{K})$ и $\rho_2\colon \mathbb{G}_a^n \to \operatorname{GL}_m(\mathbb{K})$ – эквивалентные представления, т. е. существуют такие изоморфизмы $\varphi\colon \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}^m$ и $\psi\colon \mathbb{G}_a^n \to \mathbb{G}_a^n$, что первая из диаграмм коммутативна для любого $g \in \mathbb{G}_a^n$. Если мы её продифференцируем и продолжим $d\psi\colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ до $\Psi\colon \mathbb{U}(\mathfrak{g}) \to \mathbb{U}(\mathfrak{g})$, то мы получим центральную часть второй диаграммы для любого $y \in \mathbb{U}(\mathfrak{g})$. Обозначим через $v_1$ циклический вектор представления $\rho_1$ и положим $v_2=\varphi(v_1)$. Тогда $v_2$ является циклическим вектором для $\rho_2$. Отождествляя $A_i$ с $\mathbb{K}^m$ при помощи соответствующего $\pi_i$, $i=1,2$, и применяя вторую диаграмму к $1 \in A_1$, мы получим, что $\pi_2^{-1}\varphi\pi_1$ отображает $\tau_1(y)$ в $\tau_2(\Psi(y))$ для любого $y \in \mathbb{U}(\mathfrak{g})$, поэтому $\pi_2^{-1}\varphi\pi_1$ является изоморфизмом алгебр. Из третьей диаграммы следует, что $\pi_2^{-1}\varphi\pi_1(U_1)=U_2$, так как $d\psi=\Psi\bigr|_\mathfrak{g}$ отображает $\mathfrak{g}$ в $\mathfrak{g}$.(b) $\to$ (a) Пусть $A$ – локальная алгебра с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$, подпространство $U \subseteq \mathfrak{m}$ порождает $A$, $\dim A=m$ и $\dim U=n$. Так как $U$ состоит из нильпотентных элементов, можно рассмотреть подгруппу $\exp U \cong \mathbb{G}_a^n$ в $A^\times$ и её представление $\rho\colon \exp U \to \operatorname{GL}(A)$, которое отображает $a \in \exp U \subseteq A$ в оператор умножения на $a$ в $A$. Ясно, что $\rho$ точно. Докажем, что $\rho$ циклическое с циклическим вектором $1 \in A$. Пусть $W:=\langle\exp U\rangle$. Заметим, что подпространство $W$ является $(\exp U)$-инвариантным и, значит, $\operatorname{Lie}(\exp U)$-инвариантным, т. е. $W$ инвариантно относительно умножения на элементы из $U$. Так как $U$ порождает алгебру $A$, мы получаем $W=A$. Эквивалентность. Пусть $\varphi\colon A_1 \to A_2$ – такой изоморфизм алгебр, что $\varphi(U_1)=U_2$. Тогда $\varphi(\exp U_1)=\exp U_2$ и для любого $u \in U_1$ выполнено равенство $\rho_1(\exp u)\circ\varphi=\varphi\circ\rho_2(\varphi(\exp u))$. Покажем, что два построенных отображения обратны друг другу. Для данного представления $\rho$ получаем $A=\tau(\mathbb{U}(\mathfrak{g}))\subseteq\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ и $U=\tau(\mathfrak{g})=d\rho(\mathfrak{g})$. Соответствующее представление отображает $\exp U$ в операторы умножения на $\exp U$ в $A$. Оно эквивалентно исходному представлению, так как $\exp U \subseteq \operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})$ совпадает с $\exp d\rho(\mathfrak{g})=\rho(\mathbb{G}_a^n)$. Обратно, для данной пары $(A,U)$ пусть $\rho\colon \exp U \to \operatorname{GL}(A)$ – соответствующее представление. Тогда $d\rho\colon U \to \mathfrak{gl}(A)$ отображает $u$ в оператор умножения на $u$. Так как образ $\tau$ совпадает с ассоциативной алгеброй, порождённой $d\rho(U)$, и $U$ порождает $A$, то мы получаем алгебру операторов умножения на элементы из $A$, которая изоморфна $A$. (b) $\to$ (c) Обозначим через $s_1,\dots,s_n$ базис векторного пространства $U$. Так как $U$ порождает $A$, алгебра $A$ является образом алгебры многочленов при проекции $\pi\colon \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n] \to A$, $S_i \mapsto s_i$. Тогда $A \cong \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n] / I$ для некоторого идеала $I \subseteq \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$. Поскольку $s_i$ нильпотентны в $A$, идеал $I$ содержит некоторые степени всех $S_i$. Так как $s_i$ образуют базис $U$, то $I \cap \langle S_1,\dots,S_n\rangle=0$ и $I$ невырожден. Из $\dim A=m$ следует $\operatorname{codim} I=m$. Эквивалентность. Сначала проверим, что результат в конструкции выше не зависит от выбора базиса в $U$. Пусть $(s_1,\dots,s_n)$ и $(\widetilde s_1,\dots,\widetilde s_n)$ – два базиса $U$, соответствующие идеалам $I$ и $\widetilde I$. Тем самым, $(s_1,\dots,s_n)=(\varphi\widetilde s_1,\dots,\varphi\widetilde s_n)$ для некоторого $\varphi\in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$. Тогда $g(S_1,\dots,S_n) \in I$ в том и только том случае, когда $(\varphi g)(S_1,\dots,S_n)=g(\varphi S_1,\dots,\varphi S_n) \in \widetilde I$, откуда следует, что $I$ эквивалентен $\widetilde I$. Теперь пусть пара $(A_1,U_1)$ эквивалентна $(A_2,U_2)$, т. е. существует такой изоморфизм $\varphi\colon A_1 \to A_2$, что $\varphi(U_1)=U_2$. В соответствии с написанным выше, мы можем выбрать в качестве базиса в $U_2$ образ базиса в $U_1$ при отображении $\varphi$ и получить $I_1=I_2 \subseteq \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$. (c) $\to$ (b) Для данного идеала $I \subseteq\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$ пусть $A:=\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]/I$, $s_i:=S_i+I$ и $U:=\langle s_1,\dots,s_n\rangle$. Элементы $s_i$ нильпотентны, так как некоторые степени переменных $S_i$ принадлежат идеалу $I$. Это означает, что идеал $(s_1,\dots,s_n)$ нильпотентен и имеет коразмерность 1, а следовательно, алгебра $A$ локальна. Как и выше, $\dim U=n$, так как идеал $I$ невырожден и $\dim A=\operatorname{codim}I=m$. Эквивалентность. Если идеалы $I_1$ и $I_2$ эквивалентны, то существует автоморфизм алгебры $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$, который индуцирует требуемый изоморфизм факторалгебр $A_1 \to A_2$. Ясно, что два построенных отображения обратны друг другу. (c) $\leftrightarrow$ (d) См. предложение 1.33. Покажем, как вычислить порождающее подпространство $V$, соответствующее данной паре $(A,U)$ (см. [62; предложение 2.11]). Конструкция 1.39. Предположим, что $A$ – локальная алгебра размерности $m$ с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$, и пусть подпространство $U \subseteq \mathfrak{m}$ размерности $n$ порождает алгебру $A$ (см. теорему 1.38, (b)). Эти данные определяют представление алгебры $A$ в виде факторалгебры $A=\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]/I$: для базиса $s_1,\dots,s_n$ подпространства $U$ возьмём в качестве идеала $I$ ядро сюръективного гомоморфизма $\pi\colon\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n] \to A$, $S_i \mapsto s_i$. Для дальнейшего нам потребуется базис алгебры $A$. Рассмотрим однородный лексикографический порядок на $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$. Пусть $\mu_1,\dots,\mu_k$ – одночлены, не являющиеся старшими членами многочленов из $I$. Докажем, что $\mu_i$ образуют базис алгебры $A$. Они линейно независимы в $A$, так как линейная комбинация одночленов $\mu_i$ имеет один из $\mu_i$ в качестве старшего члена и не может принадлежать $I$. Далее, рассмотрим любой элемент алгебры $A$. Он является линейной комбинацией некоторых одночленов; если некоторый из этих одночленов не равен $\mu_i$, то он является старшим членом некоторого многочлена $f \in I$ и мы можем редуцировать данный элемент с помощью $f$. Действуя таким образом, мы получим представление элемента в виде линейной комбинации некоторых $\mu_i$. Так как элемент $x_1s_1+\cdots+x_ns_n \in U \subseteq \mathfrak{m}$ является нильпотентным для любых $x_1,\dots,x_n \in \mathbb{K}$ и $\mu_i$ образуют базис алгебры $A$, мы можем записать
$$
\begin{equation*}
\exp(x_1s_1+\cdots+x_ns_n)=\sum_{i=1}^m f_i(x_1,\dots,x_n)\mu_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Для многочлена $g \in \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$ обозначим через $g_x$ такой же многочлен от переменных $\partial/\partial x_i$. Легко проверить, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial x_i}[\exp(x_1S_1+\cdots+x_nS_n)]= S_i\exp(x_1S_1+\cdots+x_nS_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Это даёт тождество
$$
\begin{equation*}
g_x[\exp(x_1S_1+\cdots+x_nS_n)]=g \exp(x_1S_1+\cdots+x_nS_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в это тождество $S_i=s_i$, получим
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^m g_x[f_i(x_1,\dots,x_n)]\mu_i= \pi(g)\sum_{i=1}^m f_i(x_1,\dots,x_n)\mu_i.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Заметим, что $\Bigl\{\displaystyle\sum f_i(x_1,\dots,x_n)\mu_i\colon x_i \in \mathbb{K}\Bigr\}=\exp U$ согласно определению и $\langle\exp U\rangle=A$ в силу доказательства соответствия (b) $\to$ (a) в теореме 1.38. В частности, $f_i$ линейно независимы. Тогда правая часть равенства (1.3) равна нулю для любых $x_i \in \mathbb{K}$ в том и только том случае, когда $\pi(g)=0$ в $A$, т. е. $g \in I$. С другой стороны, левая часть равна нулю для любых $x_i \in \mathbb{K}$ в том и только том случае, когда $g_x[f_i]=0$ для любых $1 \leqslant i \leqslant m$. Следовательно, $f_i \in V$, где $V$ является порождающим подпространством, соответствующим идеалу $I$ (см. лемму 1.26). Таким образом, мы получаем следующий результат. Лемма 1.40. Многочлены $f_i$, $1 \leqslant i \leqslant m$, образуют базис порождающего подпространства $V$, соответствующего данной паре $(A,U)$. Пример 1.41. Рассмотрим локальную алгебру $A=\mathbb{K}[S]/(S^3)$ с максимальным идеалом $\mathfrak{m}=\langle S,S^2\rangle$. (i) Возьмём $U=\mathfrak{m}$. В соответствии с конструкцией 1.39, выберем базис $s_1=S+(S^3)$, $s_2=S^2+(S^3)$ подпространства $U$ и возьмём в качестве идеала $I$ ядро проекции $\pi\colon \mathbb{K}[S_1,S_2] \to A$, $S_i \mapsto s_i$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I=(S_1^2 -S_2, S_1S_2), \qquad A=\mathbb{K}[S_1, S_2] / I, \\ s_1 = S_1+I, \qquad s_2=S_2+I. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для удобства будем опускать “$+I$”. Элементы $\mu_1=1$, $\mu_2=S_1$, $\mu_3=S_2$ образуют базис алгебры $A$. Так как $S_2=S_1^2$ и $S_1^3=0$ в $A$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \exp(x_1s_1+x_2s_2)&=\exp(x_1S_1+x_2S_1^2) \\ &=1+x_1S_1+\biggl(x_2+\frac{x_1^2}{2}\biggr)S_1^2=1+x_1\mu_1+ \biggl(x_2+\frac{x_1^2}{2}\biggr)\mu_2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $f_1=1$, $f_2=x_1$ и $f_3=x_2+x_1^2/2$. Тогда $V=\langle 1,x_1,x_2+x_1^2/2\rangle$ по лемме 1.40. Это согласуется с примером 1.35. (ii) Возьмём $U=\langle S\rangle$. Его базису $s_1=S+(S^3)$ соответствуют
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I=(S_1^3) \subseteq \mathbb{K}[S_1], \qquad A=\mathbb{K}[S_1]/I, \\ s_1=S_1+I. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\mu_1=1$, $\mu_2=S_1$, $\mu_3=S_1^2$ получаем откуда следует, что $V=\langle 1,x_1,x_1^2\rangle$ в $\mathbb{K}[x_1]$. Это согласуется с примером 1.27. Пример 1.42. Аналогично алгебра $A=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_1^2,S_1S_2,S_2^2)$ с подпространством $U=\mathfrak{m}=\langle S_1,S_2\rangle$ соответствуют порождающему подпространству $\langle 1,x_1,x_2\rangle \subseteq \mathbb{K}[x_1,x_2]$, что согласуется с примером 1.34. Других подпространств $U \subseteq \mathfrak{m}$, порождающих алгебру $A$, нет. Обсудим теперь свойства двойственности для рассматриваемых модулей. В частности, мы приводим полные доказательства результатов, упомянутых в [62; замечание 2.13]. Напомним, что порождающее подпространство $V$ содержит константы, поэтому действие сдвигами группы $\mathbb{G}_a^n$ на $V$ линейно. Лемма 1.43. В обозначениях теоремы 1.38 представление, двойственное к $\rho\colon\mathbb{G}_a^n \to \operatorname{GL}_m(\mathbb{K})$, эквивалентно представлению $\tau\colon \mathbb{G}_a^n \to \operatorname{GL}(V)$ сдвигами. Доказательство. Пусть $\langle\,\cdot\,|\,\cdot\,\rangle$ – спаривание между алгебрами $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$ и $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$, как в конструкции 1.19. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\bigl\langle \exp(\beta_1S_1+\cdots+\beta_nS_n)g \mid f(x)\bigr\rangle= \bigl\langle g \mid f(x+\beta)\bigr\rangle
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
для любых $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_n) \in \mathbb{G}_a^n$, $f \in \mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$, $g \in \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]$. Действительно, левая часть равна $\langle g \mid \exp(\beta_1S_1+\cdots+\beta_nS_n)[f(x)]\rangle$, что совпадает с ${\langle g \mid f(x+\beta)\rangle}$ по формуле Тейлора. Так как $\langle I_V \mid V\rangle=0$, можно рассматривать $\langle\,\cdot\,\mid\,\cdot\,\rangle$ как спаривание между $A=\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]/I_V$ и $V \subseteq \mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$. Согласно доказательству теоремы 1.38 мы имеем $\rho\colon \exp U \to \operatorname{GL}(A)$, где $U=\langle S_1,\dots,S_n\rangle$, так что уравнение (1.4) влечёт для любых $\beta \in \mathbb{G}_a^n$, $f \in V$, $g \in A$ (мы отождествляем $\beta_1S_1+\cdots+\beta_nS_n$ с $-\beta$ для $\exp U \cong \mathbb{G}_a^n$). Отсюда следует, что представления $\rho$ и $\tau$ двойственны. Пример 1.44. Пусть Другими словами, лемма 1.43 утверждает, что $A$ и $V$ являются двойственными $\mathbb{G}_a^n$-модулями. Предложение 1.45. В обозначениях теоремы 1.38 следующие условия эквивалентны: Доказательство. (a) $\Rightarrow$ (b) Модуль $V \cong A$ циклический, так как алгебра $A$ содержит единицу. (b) $\Rightarrow$ (a) Так как структура модуля на $V$ определяется операторами сдвига из $\exp U$, $U=\langle S_1,\dots,S_n\rangle$ и $V$ циклический, то существует такой многочлен $f_0 \in V$, что $V=\langle(\exp U)[f_0]\rangle=(\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n])[f_0]$. Значит, ядро отображения вычисления $\pi\colon \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n] \to V$, $g \mapsto g[f_0]$, равно
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ker}\pi=\{g \in \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]\colon g[f_0]=0\}= \{g \in \mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]\colon g[V]=0\}=I.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\pi$ определяет изоморфизм между $A=\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]/I$ и $V$, который является изоморфизмом $\mathbb{G}_a^n$-модулей, так как структура модуля на $A$ также задана с помощью $\exp U$. (b) $\Leftrightarrow$ (c) Инвариантные одномерные подпространства $\langle a\rangle$ в $A$ соответствуют инвариантным гиперплоскостям $\langle a\rangle^\perp$ в двойственном модуле $V$. Так как группа $\mathbb{G}_a^n$ унипотентна, одномерное векторное пространство инвариантно тогда и только тогда, когда оно состоит из неподвижных точек. Заметим, что $\operatorname{Soc}A$ является множеством неподвижных точек в $A$. Действительно, $\exp U \cdot a=a$ тогда и только тогда, когда $Ua=0$, т. е. $\mathfrak{m}a=0$. Если $\dim \operatorname{Soc} A > 1$, то соответствующие инвариантные гиперплоскости покрывают $V$. Действительно, любой элемент $f \in V$ содержится в $\langle a\rangle^\perp$, где $a \in \operatorname{Soc} A \cap \langle f\rangle^\perp$. Так что в этом случае циклического вектора нет. Если $\dim \operatorname{Soc} A=1$, то существует единственная инвариантная гиперплоскость в $V$. Докажем, что любой вектор в дополнении к этой гиперплоскости является циклическим. Достаточно показать, что любое собственное инвариантное подпространство в $V$ содержится в инвариантной гиперплоскости. Действительно, для $W \subseteq V$ рассмотрим инвариантное подпространство $W^\perp \subseteq A$; по теореме Ли–Колчина существует инвариантное одномерное подпространство $\langle a\rangle \subseteq W^\perp$, которое соответствует инвариантной гиперплоскости $\langle a\rangle^\perp \supseteq W$. 1.6. Случай аддитивных действийВ этом пункте мы комбинируем результаты двух предыдущих пунктов. Определение 1.45. Порождающее подпространство $V \subseteq \mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ называется базисным, если $\dim V=n+1$. Базисные подпространства являются минимальными порождающими подпространствами алгебры многочленов. Пример 1.47. Можно проверить, что следующие подпространства в алгебре $\mathbb{K}[x_1,x_2,x_3,x_4]$ являются базисными: Соответствие Хассетта–Чинкеля для $m=n+1$ (см. [62; предложение 2.15]) или теорема Кнопа–Ланге для $r=0$ дают описание аддитивных действий на проективных пространствах. С учётом соответствия (b) $\to$ (d) в теореме 1.38, базисные подпространства определяются только алгеброй $A$, так как мы должны выбрать $U=\mathfrak{m}$. Теорема 1.48. Имеется взаимно однозначное соответствие между следующими объектами: Из теоремы 1.4 получаем следующее утверждение. Следствие 1.49. Проективное пространство $\mathbb{P}^n$ допускает конечное число аддитивных действий тогда и только тогда, когда $n \leqslant 5$. Пример 1.50. В соответствии с табл. 1 существуют две локальные алгебры размерности $3$. Соответствующие аддитивные $\mathbb{G}_a^2$-действия на $\mathbb{P}^2$ найдены в примерах 1.17 и 1.18, а базисные подпространства – в примерах 1.41, (i), и 1.42. Точные циклические представления приведены в примере 1.44. Эти результаты собраны в табл. 3. Таким же образом можно доказать, что базисные подпространства из примера 1.47 соответствуют четырём локальным алгебрам размерности $4$ из табл. 1 и других базисных подпространств в этом случае нет. Таблица 3.
Напомним, что по следствию 1.14 существует единственное аддитивное действие на $\mathbb{P}^n$ с конечным числом орбит; оно соответствует локальной алгебре $A=\mathbb{K}[S]/(S^{n+1})$. Можно рассмотреть обобщение этого результата. А именно, модальностью действия связной алгебраической группы $G$ на многообразии $X$ называется максимальное значение минимальной коразмерности орбиты группы $G$ в $Y$ по всем неприводимым $G$-инвариантным подмногообразиям $Y$ в $X$. Другими словами, модальность – это максимальное число параметров в непрерывном семействе орбит группы $G$ на $X$. В частности, модальность равна нулю тогда и только тогда, когда число орбит группы $G$ на $X$ конечно. Классификация аддитивных действий на $\mathbb{P}^n$ модальности 1 получена в [12; теорема 3.1]. Такие действия соответствуют следующим 2-порождённым попарно неизоморфным локальным алгебрам:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} A_{a,b}&=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_1^{a+1},S_2^{b+1},S_1S_2),&\qquad a&\geqslant b\geqslant 1; \\ B_{a,b}&=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_1S_2,S_1^a-S_2^b), &\qquad a&\geqslant b\geqslant 2; \\ C_a&=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_1^{a+1},S_2^2-S_1^3),&\qquad a &\geqslant 3; \\ C_a^1&=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_1^{a+1},S_2^2-S_1^3,S_1^aS_2), &\qquad a&\geqslant 3; \\ C_a^2&=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_1^{a+1},S_2^2-S_1^3,S_1^{a-1}S_2), &\qquad a &\geqslant 3; \\ C_a^3&=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_2^2-S_1^3,S_1^{a-2}S_2), &\qquad a&\geqslant 4; \\ D&=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_1^3, S_2^2);&& \\ E&=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_1^3, S_2^2 ,S_1^2S_2).&& \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Понятно, что максимально возможное значение модальности нетривиального действия связной алгебраической группы на неприводимом $n$-мерном алгебраическом многообразии равно $n-1$. Согласно следствию 1.13 максимальное значение достигается только для одного аддитивного действия на $\mathbb{P}^n$. Это действие соответствует локальной алгебре $A$ с условием $\mathfrak{m}^2=0$, т. е. $A=\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]/(S_iS_j, \ 1\leqslant i\leqslant j\leqslant n)$. В таком случае гиперплоскость $\mathbb{P}(\mathfrak{m})$, которая является дополнением к открытой орбите в $\mathbb{P}^n$, состоит из неподвижных точек относительно действия $\mathbb{G}_a^n$. В этом случае можно рассмотреть раздутие $X$ проективного пространства $\mathbb{P}^n$ вдоль произвольного гладкого подмногообразия, содержащегося в $\mathbb{P}(\mathfrak{m})$, и поднять аддитивное действие с $\mathbb{P}^n$ на $X$. Это доказывает следующий результат, который доставляет много примеров проективных многообразий, допускающих аддитивное действие. Предложение 1.51. Пусть $X$ – раздутие проективного пространства $\mathbb{P}^n$ вдоль гладкого подмногообразия, содержащегося в гиперплоскости в $\mathbb{P}^n$. Тогда $X$ допускает аддитивное действие. Мы завершим этот раздел характеризацией горенштейновых локальных алгебр в терминах соответствия Хассетта–Чинкеля. У любого действия линейной алгебраической группы $G$ на многообразии $X$ существует замкнутая орбита. Если многообразие $X$ полно, то любая замкнутая орбита также полна. Если группа $G$ унипотентна, то такая орбита является неподвижной точкой относительно $G$. Следовательно, действие унипотентной группы $G$ на полном многообразии $X$ всегда имеет неподвижную точку. Предложение 1.52. В обозначениях теоремы 1.48 следующие условия эквивалентны: Доказательство. Как было отмечено в доказательстве эквивалентности (b) $\Leftrightarrow$ (c) предложения 1.45, множеством неподвижных точек действия группы $\mathbb{G}_a^n$ на $A$ является $\operatorname{Soc}A$. Так как унипотентная группа не имеет нетривиальных характеров, множество неподвижных точек соответствующего аддитивного действия на $\mathbb{P}^n=\mathbb{P}(A)$ равно $\mathbb{P}(\operatorname{Soc} A)$. Значит, неподвижная точка единственна тогда и только тогда, когда идеал $\operatorname{Soc} A$ одномерен. По определению это означает, что алгебра $A$ горенштейнова.
2. Обобщения соответствия Хассетта–ЧинкеляВ этом разделе мы применяем метод Хассетта–Чинкеля к изучению аддитивных действий на проективных многообразиях $X$, отличных от проективных пространств. Мы вводим понятие индуцированного аддитивного действия как аддитивного действия на $X$, которое может быть продолжено на объемлющее проективное пространство. Оказывается, что каждое такое действие можно получить из аддитивного действия на проективном пространстве путём ограничения на подгруппу действующей векторной группы. Поэтому такие действия задаются парами $(A,U)$, где $A$ – локальная алгебра, определяющая аддитивное действие на проективном пространстве, и $U$ – подпространство в $\mathfrak{m}$, которое представляет подгруппу. В п. 2.2 мы рассматриваем случай, когда проективное подмногообразие $X$ является гиперповерхностью, и описываем способ явно выписать однородное уравнение, задающее $X$ в терминах пары $(A,U)$. В частности, степень этого уравнения равна такому максимальному числу $d$, что идеал $\mathfrak{m}^d$ не содержится в $U$. Эта техника позволяет доказать, что гладкие проективные гиперповерхности, допускающие аддитивное действие, – это в точности гиперплоскости и невырожденные квадрики. Кроме того, если гиперповерхность в $\mathbb{P}^n$ допускает аддитивное действие, то её степень не превосходит $n$. В следующих трёх пунктах мы применяем методы полилинейной алгебры к изучению аддитивных действий на проективных гиперповерхностях. А именно, мы рассматриваем $d$-линейную форму на алгебре $A$, являющуюся поляризацией уравнения, определяющего гиперповерхность $X$, и приводим характеризацию аддитивных действий на $X$ в терминах этой формы. Это позволяет описать аддитивные действия на невырожденных и вырожденных квадриках, некоторых кубиках и доказать (см. теорему 2.32), что любая невырожденная проективная гиперповерхность допускает не более одного аддитивного действия. Также показано, что индуцированные аддитивные действия на невырожденных гиперповерхностях происходят из горенштейновых локальных алгебр. 2.1. Аддитивные действия на проективных подмногообразияхПусть $X$ – замкнутое подмногообразие размерности $n$ в проективном пространстве $\mathbb{P}^{m-1}$. В этом разделе мы будем по умолчанию предполагать, что $X$ не содержится ни в какой гиперплоскости в $\mathbb{P}^{m-1}$, т. е. подмногообразие $X$ линейно невырожденное. В этом пункте мы вводим понятие индуцированного аддитивного действия и приводим обобщение соответствия Хассетта–Чинкеля для индуцированных аддитивных действий. Определение 2.1. Аддитивное действие $\mathbb{G}_a^n \times X \to X$ называется индуцированным, если оно может быть продолжено до действия $\mathbb{G}_a^n \times \mathbb{P}^{m-1} \to \mathbb{P}^{m-1}$. Индуцированные аддитивные действия $\alpha_i\colon\mathbb{G}_a^n \times X_i \to X_i$, $X_i \subseteq \mathbb{P}^{m-1}$, $i=1,2$, называются эквивалентными, если существуют такие автоморфизмы групп $\psi\colon \mathbb{G}_a^n \to \mathbb{G}_a^n$ и многообразий $\varphi\colon\mathbb{P}^{m-1}\to\mathbb{P}^{m-1}$, что выполнены равенства $\varphi(X_1)=X_2$ и $\varphi\circ\alpha_1=\alpha_2\circ(\psi\times\varphi)$. Пример 2.2. Рассмотрим плоскую каспидальную кубическую кривую Покажем, что $X$ допускает аддитивное действие, но не допускает индуцированное аддитивное действие. Будем действовать на аффинной карте $\{z_0 \ne 0\}$ сдвигом координаты $z_1/z_0$, т. е. элемент $a \in \mathbb{G}_a$ действует так: Этот пример также рассмотрен в [62; п. 4.1], где действие на $X$ строится из аддитивного действия на нормализации $\mathbb{P}^1$ кривой $X$. Замечание 2.3. Мы обозначаем третью координату $z_3$, а не $z_2$ неслучайно (см. замечание 2.11). Рассмотрим случай гладкой гиперповерхности $X \subseteq \mathbb{P}^{m-1}$ степени $d$. Обозначим через $\operatorname{Aut}(X)$ группу (регулярных) автоморфизмов гиперповерхности $X$ и через $\operatorname{Aut}_l(X) \subseteq \operatorname{PGL}_m(X)$ группу линейных автоморфизмов $X$. Согласно теореме 2 в [87] выполнено равенство $\operatorname{Aut}(X)=\operatorname{Aut}_l(X)$, если $m \geqslant 5$ или $d \ne m$. В этих предположениях если гиперповерхность $X$ допускает аддитивное действие, то она допускает и индуцированное аддитивное действие. Эта теорема покрывает все гладкие гиперповерхности за исключением случаев $(d,m)=(3,3)$ и $(d,m)=(4,4)$. В случае $(d,m)=(3,3)$ мы имеем кубическую кривую рода 1. Она не допускает аддитивного действия, так как любое многообразие, допускающее аддитивное действие, рационально. Из теоремы 4 в [87] следует, что в случае $(d,m)=(4,4)$ связная компонента $\operatorname{Aut}(X)^0$ группы автоморфизмов тривиальна, т. е. здесь тоже нет аддитивного действия. Согласно теореме 1 в [87] если $m \geqslant 4$ и $d \geqslant 3$, то группа $\operatorname{Aut}_l(X)$ конечна, т. е. $X$ не допускает индуцированного аддитивного действия. Таким образом, мы приходим к следующему результату. Предложение 2.4. Не существует аддитивных действий на гладких гиперповерхностях $X \subseteq \mathbb{P}^{m-1}$ степени $d$ для $m \geqslant 3$ и $d \geqslant 3$. Как мы увидим в теореме 2.25, на невырожденной квадрике любой размерности существует единственное аддитивное действие. Неприводимое подмногообразие $X \subseteq \mathbb{P}^{m-1}$ называется линейно нормальным, если отображение $H^0(\mathbb{P}^{m-1},\mathcal{O}(1)) \to H^0(X,\mathcal{O}(1))$ сюръективно или, эквивалентно, подмногообразие не содержится ни в какой гиперплоскости и не является линейной проекцией подмногообразия из большего проективного пространства. Предложение 2.5 [10; разд. 2]. Пусть $X$ линейно нормально в $\mathbb{P}^{m-1}$ и допускает аддитивное действие. Тогда это действие индуцированное. Напомним, что в разделе 1 мы установили соответствие Хассетта–Чинкеля между точными циклическими $\mathbb{G}_a^n$-представлениями, парами $(A,U)$ локальных алгебр и их подпространств, идеалами и подпространствами в алгебрах многочленов при некоторых условиях с точностью до эквивалентностей (см. пп. (a)–(d) теоремы 1.38). Теперь мы готовы добавить ещё один пункт (e) к этой теореме; он характеризует индуцированные аддитивные действия на проективных подмногообразиях. Теорема 2.6. Пусть $n,m\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Существует взаимно однозначное соответствие между Доказательство. Построим соответствие из (a) в (e). Рассмотрим канонические проекции $p\colon \mathbb{K}^m \setminus \{0\} \to \mathbb{P}^{m-1}$ и $\pi\colon \operatorname{GL}_m(\mathbb{K}) \to \operatorname{PGL}_m(\mathbb{K})$. Точное представление $\mathbb{G}_a^n \to \operatorname{GL}_m(\mathbb{K})$ определяет подгруппу $\mathbb{G}_a^n \subseteq \operatorname{GL}_m(\mathbb{K})$. Для группы $\mathbb{K}^\times$ ненулевых скалярных матриц имеется прямое произведение $H=\mathbb{K}^\times \times \mathbb{G}_a^n$ в $\operatorname{GL}_m(\mathbb{K})$. Пусть $v$ – циклический вектор в $\mathbb{K}^m$ и $X$ – проективизация замыкания орбиты $Hv \subseteq \mathbb{K}^m \setminus \{0\}$, т. е. Рассмотрим эффективное действие группы $\pi(H) \subseteq \operatorname{PGL}_m(\mathbb{K})=\operatorname{Aut}(\mathbb{P}^{m-1})$ на $X$. Заметим, что $\pi(H) \cong \mathbb{G}_a^n$, так как $\operatorname{Ker} \pi=\mathbb{K}^\times \subseteq H$. Тогда $p(Hv)$ – открытая орбита в $X$, и $X$ не содержится ни в какой гиперплоскости, так как $v$ является циклическим вектором. Ниже мы увидим, что полученное подмногообразие $X$ и аддитивное действие на нём не зависят от выбора циклического вектора $v$.Обратно, пусть подмногообразие $X \subseteq \mathbb{P}^{m-1}$ допускает индуцированное аддитивное действие. Тогда $X$ является замыканием орбиты эффективного действия $\mathbb{G}_a^n \times \mathbb{P}^{m-1} \to \mathbb{P}^{m-1}$. Рассмотрим $\mathbb{G}_a^n$ как подгруппу в $\operatorname{PGL}_m(\mathbb{K})$ и положим $H=\pi^{-1}(\mathbb{G}_a^n) \subseteq \operatorname{GL}_m(\mathbb{K})$. Тогда $H \cong \mathbb{K}^\times \times \mathbb{G}_a^n$, где $\mathbb{K}^\times$ – подгруппа скалярных матриц, как выше, и подгруппа $\{1\} \times \mathbb{G}_a^n \subseteq H$ определяет соответствующее точное представление группы $\mathbb{G}_a^n$. Пусть $\langle v\rangle \in \mathbb{P}^{m-1}$ – точка в открытой орбите $X$ для некоторого $v \in \mathbb{K}^m$. Так как подмногообразие $X$ не содержится ни в какой гиперплоскости, то же выполнено и для его открытой орбиты $\mathbb{G}_a^n\langle v\rangle$, т. е. орбита $Hv=p^{-1}(\mathbb{G}_a^n\langle v\rangle) \subseteq \mathbb{K}^m$ не содержится ни в какой гиперплоскости пространства $\mathbb{K}^m$ и $v$ – циклический вектор для $\mathbb{G}_a^n$. Таким образом, подмногообразие в $\mathbb{P}^{m-1}$ размерности $n$ с индуцированным аддитивным действием является проективизацией замыкания орбиты циклического вектора для представления группы $\mathbb{K}^\times \times \mathbb{G}_a^n$ в $\mathbb{K}^m$. Чтобы показать, что конструкция не зависит от выбора циклического вектора, мы используем п. (b). Представление $\mathbb{G}_a^n \to \operatorname{GL}_m(\mathbb{K})$, соответствующее паре $(A,U)$, строится следующим образом: $\exp U \cong \mathbb{G}_a^n$ действует на $A \cong \mathbb{K}^m$ умножением в алгебре $A$. В этих терминах представление группы $\mathbb{K}^\times \times \mathbb{G}_a^n$, которое нас интересует, является представлением группы $\mathbb{K}^\times \exp U$ в $A$ операторами умножения, и орбита элемента $a \in A$ – это множество $\mathbb{K}^\times\exp U\cdot a$. Напомним, что любой элемент максимального идеала $\mathfrak{m}$ локальной алгебры $A$ нильпотентен и любой элемент в $A \setminus \mathfrak{m}$ обратим. Если $a \in \mathfrak{m}$, то $a$ нильпотентен и все элементы в $\mathbb{K}^\times\exp U\cdot a$ также нильпотентны, т. е. $\mathbb{K}^\times \exp U\cdot a \subseteq \mathfrak{m}$. Это означает, что $X \subseteq \mathbb{P}(A)$ содержится в гиперплоскости $\mathbb{P}(\mathfrak{m})$, так что мы не рассматриваем этот случай. Если $a \in A \setminus \mathfrak{m}$, то $a$ обратим, и тогда орбита $\mathbb{K}^\times \exp U \cdot 1$ изоморфна орбите $\mathbb{K}^\times\exp U\cdot a$ с помощью линейного оператора $L_a$ умножения на $a$. Этот изоморфизм коммутирует с $\mathbb{G}_a^n$-действиями на орбитах в силу коммутативности умножения в $A$. Таким образом, для любой пары $(A,U)$ с точностью до эквивалентности индуцированных аддитивных действий существует единственное индуцированнное аддитивное действие, соответствующее этой паре; это действие не зависит от выбора циклического вектора. Теорема доказана. Завершим обсуждение построением соответствия (b) $\to$ (e) между парами $(A,U)$ и индуцированными аддитивными действиями. Конструкция 2.7. Предположим, что $A$ – локальная коммутативная ассоциативная алгебра размерности $m$ с единицей и с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$, а $U \subseteq \mathfrak{m}$ – подпространство размерности $n$, порождающее алгебру $A$, и пусть $p\colon A \setminus \{0\} \to \mathbb{P}(A)=\mathbb{P}^{m-1}$ – каноническая проекция. Согласно доказательству теоремы 2.6 соответствующее проективное подмногообразие является проективизацией орбиты циклического вектора, т. е. аддитивное действие на $X$ задано операторами умножения на элементы из $\mathbb{G}_a^n \cong \exp U \subseteq A$, а множество $p(\mathbb{K}^\times \exp U)=p(\exp U)$ является открытой орбитой в $X$. Обозначим через $z_0$ координату в $A=\mathbb{K} \oplus \mathfrak{m}$ вдоль $\mathbb{K}$ и рассмотрим аффинную карту $\{z_0=1\}=1+\mathfrak{m}$ проективного пространства $\mathbb{P}^{m-1}=\mathbb{P}(A)$. Заметим, что в ней множество $(\mathbb{K}^\times\exp U) \cap (1+\mathfrak{m})=\exp U$ замкнуто как орбита унипотентной группы, откуда следует, что $X \cap \{z_0\ne0\}=p(\exp U)$ является открытой орбитой. Пример 2.8. Пусть $n=1$, т. е. мы интересуемся индуцированными действиями группы $\mathbb{G}_a$ на кривых в $\mathbb{P}^{m-1}$. По теореме 2.6 классы эквивалентности таких действий находятся в биекции с классами эквивалентности пар $(A,U)$, где $A$ – локальная коммутативная алгебра размерности $m$ с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$ и $U$ – прямая в $\mathfrak{m}$, порождающая алгебру $A$. Тогда с точностью до автоморфизма алгебры $A$ мы можем предполагать, что $A=\mathbb{K}[S]/(S^m)$ и $U=\langle S\rangle$. Пара $(A,U)$ соответствует аддитивному действию на рациональной нормальной кривой степени $m-1$ в $\mathbb{P}^{m-1}$. В частности, существует единственный класс эквивалентности индуцированных аддитивных $\mathbb{G}_a$-действий на кривых в $\mathbb{P}^{m-1}$. Явные вычисления в случае $m=4$ можно найти в примере 2.10 ниже. 2.2. Случай проективных гиперповерхностей: уравненияВ этом пункте мы находим уравнение проективной гиперповерхности $X \subseteq \mathbb{P}^{n+1}$, допускающей индуцированное аддитивное действие, в терминах соответствующей пары $(A,U)$ (см. теорему 2.6 и определение 2.12). Сначала мы рассматриваем подмногообразие, не обязательно являющееся гиперповерхностью. Следующее предложение содержит условие, обеспечивающее наличие открытой орбиты $\exp U \subseteq 1+\mathfrak{m}$ (см. конструкцию 2.7). Через $\ln$ мы обозначаем стандартный логарифмический ряд обратный к экспоненциальному отображению $\exp$. Применяя $\ln$ к $1+z$ для нильпотентного элемента $z$, мы получаем многочлен от $z$.Предложение 2.9. Пусть $A$ – локальная коммутативная ассоциативная алгебра размерности $m$ с единицей и с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$, а $U \subseteq \mathfrak{m}$ – подпространство размерности $n$, порождающее алгебру $A$. Обозначим через $\pi\colon \mathfrak{m} \to \mathfrak{m}/U$ каноническую проекцию векторных пространств. Тогда $\exp U$ в $1+\mathfrak{m}$ задано условием для $1+z \in A=\mathbb{K} \oplus \mathfrak{m}$, $z \in \mathfrak{m}$. Доказательство. Элемент $1+z \in 1+\mathfrak{m}$ принадлежит $\exp U$ тогда и только тогда, когда $\ln(1+z) \in U$. Это предложение помогает находить подмногообразие $X \subseteq \mathbb{P}^{m-1}$, соответствующее данной паре $(A,U)$. Пример 2.10. Пусть $A=\mathbb{K}[S]/(S^4)$ и $U=\langle S\rangle \subseteq \mathfrak{m}=\langle S,S^2,S^3\rangle$. Пусть $\pi\colon \mathfrak{m} \to \mathfrak{m}/U$ – проекция на $\langle S^2,S^3\rangle$ вдоль $\langle S\rangle$. Согласно предложению 2.9 множество точек $z=z_1S+z_2S^2+z_3S^3$, принадлежащих $\exp U \subseteq 1+\mathfrak{m}$, задаётся условием т. е. открытая орбита подмногообразия $X$ в аффинной карте $\{z_0=1\}$ задана системой $z_2-z_1^2/2=0$, $z_3-z_1z_2+z_1^3/3=0$, или, если подставить первое уравнение во второе, параметризацией Переходя к замыканию, мы добавляем ещё одну (неподвижную) точку $[0:0:0:1]$ и получаем скрученную кубику в $\mathbb{P}^3$. Заметим, что замыкание пересечения гиперповерхностей может не совпадать с пересечением их замыканий, поэтому $X$ может не задаваться системой гомогенизированных уравнений. Например, в нашем случае система уравнений $z_0z_2-z_1^2/2=0$, $z_0^2z_3-z_0z_1z_2+z_1^3/3=0$ вне рассматриваемой аффинной карты $\{z_0=1\}$ даёт прямую $z_0=z_1=0$, а не точку. Замечание 2.11. Аддитивное действие из примера 2.2 не индуцированное, но оно является проекцией индуцированного действия из примера 2.10 вдоль координаты $z_2$. Применим эти результаты к случаю коразмерности 1. Предположим, что $X \subseteq \mathbb{P}^{m-1}$ – проективная гиперповерхность, которая не является гиперплоскостью, и пусть $(A,U)$ – соответствующая пара, т. е. $A$ – локальная коммутативная ассоциативная алгебра размерности $m$ с единицей и с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$, а $U \subseteq \mathfrak{m}$ – подпространство размерности $m-2$, порождающее алгебру $A$. Следующее определение взято из [12]. Определение 2.12. H-пара, соответствующая индуцированному аддитивному действию на гиперповерхности $X \subseteq \mathbb{P}^{n+1}$, – это соответствующая пара $(A,U)$, где $A$ – локальная коммутативная ассоциативная алгебра размерности $n+2$ с единицей и с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$, а $U \subseteq \mathfrak{m}$ – подпространство размерности $n$, порождающее алгебру $A$. Докажем техническую лемму. Лемма 2.13. Пусть $\mathfrak{m}$ – максимальный идеал локальной коммутативной ассоциативной алгебры $A$ и $U$ – подпространство в $\mathfrak{m}$. Тогда $\mathfrak{m}^d \subseteq U$ в том и только том случае, когда $z^d \in U$ для всех $z \in \mathfrak{m}$. Доказательство. Пусть – многочлен с коэффициентами в $A$ и $f_d(t) \in U$ для любого $t \in \mathbb{K}$. Покажем, что $z_0,z_1,\dots,z_d \in U$. Прежде всего, мы имеем $z_0=f_d(0) \in U$. Тогда для многочлена $f_{d-1}(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^d z_kt^{k-1}$ выполнено $f_{d-1}(t)=\dfrac{f_d(t)-f_d(0)}{t} \in U$ при каждом $t \in \mathbb{K}^\times$. Заметим, что при $t=0$ также $f_{d-1}(t) \in U$, так как множество $\{t \in \mathbb{K} \colon f_{d-1}(t) \in U\}$ замкнуто в $\mathbb{K}$. Значит, $z_1=f_{d-1}(0)=0$. Рассуждая таким же образом для многочленов $f_{d-1}(t)$ степени $d-1$, $f_{d-2}(t)$ степени $d-2,\dots,f_0(t)$ степени $0$, мы получим, что $z_0,z_1,\dots,z_d \in U$. Пусть теперь $z^d \in U$ для любого $z \in \mathfrak{m}$. Тогда для всех $t_1,\dots,t_d \in \mathbb{K}$ и $z_1,\dots,z_d \in \mathfrak{m}$. Зафиксировав любые $t_2,\dots,t_d \in \mathbb{K}$ и применив написанное выше, мы получим, что все коэффициенты многочлена $f$ как многочлена от переменной $t_1$ принадлежат $U$ для любых $t_2,\dots,t_d \in \mathbb{K}$. Рассматривая эти коэффициенты с фиксированными $t_3,\dots,t_d$ как многочлены от $t_2$, получим, что они тоже лежат в $U$ для любых $t_3,\dots,t_d \in \mathbb{K}$. Продолжая таким образом, в конце концов получим, что все коэффициенты многочлена $f$ принадлежат $U$. В частности, коэффициент $d!\,z_1\cdots z_d$ при $t_1\cdots t_d$ является элементом $U$, откуда следует, что $\mathfrak{m}^d \subseteq U$. Обратное утверждение леммы 2.13 очевидно.Если уравнение $f(1+z)=0$, $z \in \mathfrak{m}$, является уравнением степени $d$, определяющим открытую орбиту $\exp U$ в аффинной карте $1+\mathfrak{m}$, то $X \subseteq \mathbb{P}^{n+1}$ задаётся гомогенизацией $h f$ многочлена $f$: $h f(z_0+z)=z_0^d f(1+z/z_0)$, $z_0 \in \mathbb{K}$, $z \in \mathfrak{m}$. В частности, степень проективной гиперповерхности $X$ равна степени $d$ аффинной гиперповерхности $\exp U \subseteq 1+\mathfrak{m}$. Первое утверждение следующей теоремы доказано в [12; теорема 5.1]. Теорема 2.14. Пусть $X \subseteq \mathbb{P}^{n+1}$ – проективная гиперповерхность, допускающая индуцированное аддитивное действие, и $(A, U)$ – соответствующая H-пара. Обозначим через $\pi\colon \mathfrak{m} \to \mathfrak{m}/U \cong \mathbb{K}$ каноническую проекцию. Тогда 1) степень гиперповерхности $X$ равна максимальному числу $d$, для которого $\mathfrak{m}^d \nsubseteq U$; 2) $X$ задаётся однородным уравнением степени $d$ для $z_0+z \in A=\mathbb{K} \oplus \mathfrak{m}$, $z_0 \in \mathbb{K}$, $z \in \mathfrak{m}$. Доказательство. Согласно предложению 2.9 открытая орбита в аффинной карте $\exp U \subseteq 1+\mathfrak{m}$ задаётся многочленом $f(1+z)=\pi(\ln(1+z))$, $z \in \mathfrak{m}$. По определению числа $d$ для всех $k > d$ выполнено $\mathfrak{m}^k \subseteq U$. Тогда $f$ имеет степень не больше $d$, так как $\pi$ отображает все слагаемые логарифмического ряда степени больше $d$ в нуль. С другой стороны, $\mathfrak{m}^d \nsubseteq U$, поэтому по лемме 2.13 существует такой элемент $z \in \mathfrak{m}$, что $\pi(z^d) \ne 0$. Таким образом, степень многочлена $f$ равна $d$. Докажем, что $f$ неприводим. Так как $\mathfrak{m}^d \nsubseteq U$, то $\mathfrak{m}^d \cap U \subsetneq \mathfrak{m}^d$. Коразмерность $U$ в $\mathfrak{m}$ равна 1, поэтому коразмерность $\mathfrak{m}^d \cap U$ в $\mathfrak{m}^d$ не больше 1, и, значит, в соответствии с написанным выше мы можем рассмотреть разложение $\mathfrak{m}^d=(\mathfrak{m}^d \cap U) \oplus \langle S \rangle$ для некоторого элемента $S \in \mathfrak{m}^d$. Так как $S \notin U$ и $U$ имеет в $\mathfrak{m}$ коразмерность 1, в этом случае мы также имеем $\mathfrak{m}=U \oplus \langle S \rangle$. Пусть
$$
\begin{equation*}
z=z_U+z_{n+1}S,\qquad z_U \in U,\quad z_{n+1} \in \mathbb{K},
\end{equation*}
\notag
$$
– соответствующее разложение элемента $z \in \mathfrak{m}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\pi(\ln(1+z))=\pi\biggl(\,\sum_{k=1}^d\frac{(-1)^{k-1}}{k} (z_U+z_{n+1}S)^k\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и можно увидеть, что отображение $\pi$ отображает все $z_{n+1}$ в нуль, кроме $z_{n+1}$ в слагаемом с $k=1$, так как $\mathfrak{m} S \subseteq \mathfrak{m}^{d+1} \subseteq U$. Значит, переменная $z_{n+1}$ входит в многочлен $f$ только в линейной части, откуда следует, что многочлен $f$ неприводим. Таким образом, $\exp U$ задаётся неприводимым многочленом $f$ степени $d$, т. е. степень гиперповерхности $X$ равна $d$ и $X$ задано гомогенизацией $h f$, как в (2.2). Теорема доказана. Пример 2.15. Пусть $A=\mathbb{K}[S_1,S_2,S_3]/(S_1^2,S_2^2,S_1S_3,S_2S_3,S_1S_2-S_3^3)$ – шестимерная алгебра № 30 из табл. 1. Тогда $A=\langle 1,S_1,S_2,S_3,S_3^2,{S_3^3=S_1S_2}\rangle$. Рассмотрим $U=\langle S_1,S_2,S_3,S_3^2\rangle \subseteq \mathfrak{m}$. Так как $\mathfrak{m}^3=\langle S_3^3\rangle \nsubseteq U$ и $\mathfrak{m}^4=0$, то H-пара $(A,U)$ соответствует индуцированному аддитивному действию на кубической гиперповерхности $X \subseteq \mathbb{P}^5$. В соответствии с (2.2) для проекции $\pi\colon \mathfrak{m} \to \langle S_3^3\rangle$ вдоль $U$, левая часть уравнения гиперповерхности $X$ равна Следствие 2.16 [12; следствие 5.2]. Если $X \subseteq \mathbb{P}^{n+1}$ – гиперповерхность степени $d$, допускающая аддитивное действие, то $d \leqslant n+1$. Доказательство. Так как $\mathfrak{m} \supsetneq \mathfrak{m}^2 \supsetneq \cdots$ и $\dim \mathfrak{m}=n+1$, то $\mathfrak{m}^{n+2}=0 \subseteq U$. Проиллюстрируем разработанный метод на примере доказательства версии предложения 2.4. Следствие 2.17 [10; предложение 4]. Если $X$ – гладкая гиперповерхность, допускающая индуцированное аддитивное действие, то $X$ – невырожденная квадрика или гиперплоскость. Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 2.14, выберем $S \in \mathfrak{m}^d \setminus U$ и получим разложение векторных пространств Для согласованных координат $z_0,\dots,z_{n+1}$ переменная $z_{n+1}$ входит в уравнение $h f(z_0,\dots,z_{n+1})=0$ гиперповерхности $X$ только в слагаемом $z_0^{d-1}z_{n+1}$, так как $z_{n+1}$ входит в многочлен $f$ только в линейной части. Таким образом, точка $[0:\cdots:0:1]$ принадлежит $X$ и является особой при $d \geqslant 3$. Осталось заметить, что гладкими квадриками являются только невырожденные квадрики. Следствие доказано. Следствие 2.18. Если гиперповерхность $X$ степени $d$ допускает индуцированное аддитивное действие и $(A, U)$ – соответствующая H-пара, то дополнение в $X \subseteq \mathbb{P}(A)$ к открытой орбите равно где $p\colon A\setminus\{0\} \to \mathbb{P}(A)$ – каноническая проекция. Доказательство. В соответствии с конструкцией 2.7, дополнение к открытой орбите состоит из точек $z \in X$ с нулевой координатой $z_0$. Подстановка $z_0=0$ в уравнение (2.2) аннулирует все слагаемые логарифмического ряда, за исключением последнего, имеющего степень $d$, т. е. мы получаем уравнение $\pi\biggl(\dfrac{(-1)^d}{d!}(0+z)^d\biggr)=0$, или $z^d \in U$. Следствие доказано. 2.3. Случай проективных гиперповерхностей: инвариантные полилинейные формыХорошо известно, что квадратичные формы $f(z)$ на векторном пространстве $V$ находятся во взаимно однозначном соответствии с билинейными отображениями $F\colon V \times V \to \mathbb{K}$. Если $X$ – квадрика, заданная квадратным уравнением $f(z)=0$, то соответствующая билинейная форма $F$ даёт много информации об $X$. Напомним, что таким же образом любой однородный многочлен $f(z)$ степени $d$ соответствует $d$-линейной симметрической форме $F\colon \underbrace{V \times \cdots \times V}_{d} \to \mathbb{K}$, а именно, любая $d$-линейная форма $F$ определяет многочлен $f(z)=F(z,\dots,z)$, и, обратно, форма $F(z^{(1)},\dots,z^{(d)})$ может быть найдена по $f$ как коэффициент при $t_1\cdots t_d$ в многочлене $f(t_1z^{(1)}+\cdots+t_dz^{(d)})$. Этот факт позволяет изучать гиперповерхности, допускающие индуцированные аддитивные действия, в терминах полилинейных форм. Предположим, что $(A,U)$ – это H-пара. Следуя [10; разд. 4], мы называем $d$-линейную форму $F\colon \underbrace{A \times \cdots \times A}_{d} \to \mathbb{K}$ инвариантной, если выполнены следующие условия: Предположим, что H-пара $(A,U)$ соответствует индуцированному аддитивному действию на гиперповерхности $X \subseteq \mathbb{P}^{n+1}=\mathbb{P}(A)$, заданной многочленом $f$ степени $d$ на $A$. Согласно написанному выше, существует $d$-линейная форма $F\colon \underbrace{A \times \cdots \times A}_{d} \to \mathbb{K}$, соответствующая многочлену $f$. Это инвариантная $d$-линейная форма на $(A,U)$. Действительно, свойство (i) следует из конструкции: мы выбираем $1$ в качестве циклического вектора в $A$, поэтому $F(1,\dots,1)=f(1)=0$. Для получения равенства (2.3) заметим, что гиперповерхность $X=\{f(x)=0\}$ инвариантна относительно действия группы $\mathbb{G}_a^n \cong \exp U$, т. е. многочлен $f$ полуинвариантен. Но группа $\mathbb{G}_a^n$ не имеет нетривиальных характеров, поэтому $f$ инвариантен относительно $\mathbb{G}_a^n \cong \exp U$ и, значит, относительно алгебры Ли $U$, т. е. выполнено (2.3). Инвариантная $d$-линейная форма, соответствующая гиперповерхности $X \subseteq \mathbb{P}(A)$, определена с точностью до умножения на константу. Заметим также, что число $d$ однозначно определяется парой $(A,U)$.Пусть $F$ – это $d$-линейная форма на векторном пространстве $V$. Определим
Лемма 2.19. Пусть $F\colon \underbrace{A \times \cdots \times A}_{d} \to \mathbb{K}$ – инвариантная $d$-линейная форма на H-паре $(A,U)$. Тогда Доказательство. Утверждение (a) следует из равенства (2.3) при $z^{(1)}=z^{(2)}=\cdots=z^{(d)}=1$. Докажем утверждение (b). Сначала покажем, что $\operatorname{Ker} F$ – идеал алгебры $A$. Если $z \in \operatorname{Ker} F$ и $u \in U$, то
$$
\begin{equation*}
F(uz,z^{(2)},\dots,z^{(d)})=-F(z,uz^{(2)},\dots,z^{(d)})-\cdots-F(z,z^{(2)}, \dots, uz^{(d)})=0
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $z^{(2)},\dots,z^{(d)} \in A$, поэтому $uz \in \operatorname{Ker} F$ для любого $u \in U$. Так как $U$ порождает $A$ как алгебру, то $Az \subseteq \operatorname{Ker}F$. Теперь докажем, что $\operatorname{Ker}F \subseteq U$. Поскольку $\operatorname{Ker}F$ – идеал в $A$ и форма $F$ ненулевая, то ядро $\operatorname{Ker} F$ не содержит обратимых элементов, т. е. $\operatorname{Ker} F \subseteq \mathfrak{m}$. Предположим противное, пусть $\operatorname{Ker} F \nsubseteq U$. Так как $\dim \mathfrak{m}=n+1$ и $\dim U=n$, то $\mathfrak{m}=\operatorname{Ker} F+U$. Докажем индукцией по $k$, что $F(u^{(1)},\dots,u^{(k)},1,\dots,1)=0$ для любых элементов $u^{(1)},\dots, u^{(k)} \in U$. Для $k=0$ выполнено равенство $F(1,\dots,1)=0$. Пусть утверждение доказано для некоторого $k$. В соответствии с равенством (2.3), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^k F(u^{(1)},\dots,u^{(k+1)}u^{(i)},\dots,u^{(k)},1,\dots,1) \\ &\qquad+\sum_{i=k+1}^d F(u^{(1)},\dots,u^{(k)},1,\dots, \underset{i\;\;}{u^{(k+1)}},\dots,1)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Каждое из $d-k$ слагаемых второй суммы равно $F(u^{(1)},\dots,u^{(k+1)},1,\dots,1)$, так как $F$ – симметрическая форма. Докажем, что первая сумма равна нулю. Для этого представим элемент $u^{(k+1)}u^{(i)} \in \mathfrak{m}$ в виде $u^{(k+1)}u^{(i)}=z_i+u_i$, где $z_i \in \operatorname{Ker} F$, $u_i \in U$. Тогда слагаемое в первой сумме равно
$$
\begin{equation*}
F(u^{(1)},\dots,z_i,\dots,u^{(k)},1,\dots,1)+ F(u^{(1)},\dots,u_i,\dots,u^{(k)},1,\dots,1),
\end{equation*}
\notag
$$
где первый член равен нулю в силу условия на ядро, а второй член равен нулю по предположению индукции. Таким образом, что завершает шаг индукции. Так как форма $F$ полилинейна, то $1\in\langle1,U\rangle^\perp$. Более того, $1 \in (\operatorname{Ker} F)^\perp$ и $\mathfrak{m}=\operatorname{Ker} F+U$, поэтому $1 \in A^\perp=\operatorname{Ker} F \subseteq \mathfrak{m}$, противоречие. Осталось доказать максимальность. Пусть $J \subseteq U$ – идеал алгебры $A$. Докажем индукцией по $k$, что $F(z^{(1)},\dots,z^{(k)},y,1,\dots,1)=0$ для любых $y \in J$ и $z^{(1)},\dots,z^{(k)} \in A$. Для $k=0$ равенство (2.3) влечёт $\displaystyle\sum_{k=1}^d F(1,\dots,\underset{i}{y},\dots,1)=0$, так как $y \in J \subseteq U$. Отсюда следует, что $F(y,1,\dots,1)=0$, так как форма $F$ симметрическая. Предположим, что утверждение доказано для $k-1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{k}F(z^{(1)},\dots,yz^{(i)},\dots,z^{(k)},1,\dots,1)+ \sum_{i=k+1}^d F(z^{(1)},\dots,z^{(k)},1,\dots,\underset{i}{y},\dots,1)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Все $d-k$ слагаемых второй суммы равны $F(z^{(1)},\dots,z^{(k)},y,1,\dots,1)$, поскольку $F$ симметрическая. Слагаемые первой суммы равны нулю по предположению индукции, так как $yz^{(i)} \in J$. Таким образом, $F(z^{(1)}\!,\dots,z^{(k)},y,1,\dots,1)= 0$, что завершает шаг индукции. Для $k=d-1$ получаем $F(z^{(1)},\dots,z^{(d-1)},y)=0$ для любых ${z^{(1)},\dots,z^{(d-1)}\! \in \!A}$ и $y \in J$. Тогда $y \in \operatorname{Ker} F$, т. е. для любого идеала $J \subseteq U$ алгебры $A$ выполнено $J \subseteq \operatorname{Ker} F$. Лемма доказана. Определим редукцию индуцированного аддитивного действия. Сначала вернёмся к общему случаю проективного подмногообразия, которое не обязательно является гиперповерхностью. Предложение 2.20. Пусть пара $(A,U)$ соответствует индуцированному аддитивному действию на проективном подмногообразии $X \subseteq \mathbb{P}(A)$. Предположим, что существует такой идеал $J$ алгебры $A$, что $J \subseteq U$. Тогда пара $(A/J,U/J)$ соответствует индуцированному аддитивному действию на некотором проективном подмногообразии $X_0 \subseteq \mathbb{P}(A/J)$ и $X$ – проективный конус над $X_0$. Другими словами, если мы выберем координаты в $\mathbb{P}^{n+1}=\mathbb{P}(A)$ согласованно с включениями $A=\mathbb{K} \oplus \mathfrak{m} \supseteq \mathfrak{m} \supseteq J$, то $X$ не зависит от координат на $J$. Более того, аддитивное действие на $X$ согласовано с аддитивным действием на $X_0$, т. е. для проекции $\varphi\colon A \to A/J$ следующая диаграмма коммутативна: Доказательство. Если $J$ – идеал в локальной коммутативной алгебре $A=\mathbb{K} \oplus \mathfrak{m}$ с единицей и с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$, то $A/J=\mathbb{K} \oplus (\mathfrak{m}/J)$ – локальная коммутативная алгебра с единицей и с максимальным идеалом $\mathfrak{m}/J$. Так как подпространство $U \subseteq \mathfrak{m}$ порождает алгебру $A$, то подпространство $U/J$ порождает алгебру $A/J$. Зафиксируем некоторое разложение $\mathfrak{m}=J \oplus \mathfrak{m}'$, так что для $z \in \mathfrak{m}$ имеем $z=z_J+z'$. Найдём уравнение подмногообразия $X$, используя предложение 2.9. Так как $J$ – идеал алгебры $A$, то т. е. $\pi(\ln(1+z))$ не зависит от координат на $J$. Для доказательства согласованности зафиксируем разложение $U=J \oplus U'$, и пусть проекция $\varphi\colon A \to A/J$ будет проекцией на $U'$ вдоль $J$. Для любого $u=u_J+u' \in U=J \oplus U'$ заметим, что так как $J$ – идеал алгебры $A$. Отсюда следует, что $\varphi(\exp U)=\exp U'$. Рассмотрим элемент $a \in A$. Тогда что доказывает коммутативность диаграммы.Предложение 2.20 мотивирует следующее определение (см. [12; разд. 4]). Определение 2.21. Индуцированное аддитивное действие, соответствующее паре $(A,U)$, редуцируется к индуцированному аддитивному действию, соответствующему паре $(A',U')$, если существует такой гомоморфизм алгебр $\varphi\colon A \to A'$, что $\varphi(U)=U'$ и $\operatorname{codim}_A U=\operatorname{codim}_{A'}U'$. В таком случае гомоморфизм $\varphi$ сюръективен, так как $U'$ порождает $A'$. Поэтому существует такой идеал $J=\operatorname{Ker} \varphi$ алгебры $A$, что $J \subseteq U$ и факторизация $A \to A/J \cong A'$ отображает $U$ в $U'$, т. е. мы попадаем в ситуацию предложения 2.20. Определение 2.22. Пусть проективная гиперповерхность $X \subseteq \mathbb{P}(V)$ степени $d$ задана уравнением $f(z_1,\dots,z_n)=0$ и $F$ – соответствующая $d$-линейная форма. Гиперповерхность $X$ называется невырожденной, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий: Следствие 2.23. Любое индуцированное аддитивное действие на гиперповерхности редуцируется к индуцированному аддитивному действию на невырожденной гиперповерхности. Более точно, индуцированное аддитивное действие, соответствующее H-паре $(A,U)$, редуцируется к индуцированному аддитивному действию, соответствующему H-паре $(A/\operatorname{Ker} F,U/\operatorname{Ker} F)$, где $F$ – инвариантная полилинейная форма гиперповерхности $X$. В [10; лемма 1] получена явная формула для формы $F$, соответствующей паре $(A,U)$. Так как $A=\mathbb{K} \oplus \mathfrak{m}$ и форма $F$ полилинейна, то достаточно определить $F$ для аргументов, которые принадлежат $\mathfrak{m}$ или равны $1$. Пусть $\pi\colon \mathfrak{m} \to \mathfrak{m}/U \cong \mathbb{K}$ – каноническая проекция. Тогда
$$
\begin{equation}
F(z^{(1)}, z^{(2)},\dots,z^{(d)})=(-1)^k k!\,(d-k-1)!\, \pi(z^{(1)}\cdots z^{(d)}),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $k$ – количество аргументов, равных 1, среди $z^{(1)},z^{(2)},\dots,z^{(d)}$, остальные аргументы принадлежат $\mathfrak{m}$, и для $k=d$ мы полагаем $F(1,\dots,1)=0$. Можно проверить, что это согласуется с уравнением $f(z_0+z)=z_0^d\pi(\ln(1+z/z_0))= 0$, полученным в теореме 2.14. Действительно, для полилинейной формы $F$, определённой формулой (2.4), и любого элемента $z_0+z \in A=\mathbb{K}\oplus\mathfrak{m}$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &F(z_0+z,\dots,z_0+z)=\sum_{k=0}^d \begin{pmatrix} d \\ k\end{pmatrix} F(\underbrace{z_0,\dots,z_0}_{k},\underbrace{z,\dots,z}_{d-k}) \\ &\qquad=\sum_{k=0}^d z_0^k \frac{d!}{k!\,(d-k)!}(-1)^k k!\,(d-k-1)!\, \pi(z^{d-k})=d!(-1)^d\, z_0^d\pi \biggl(\ln\biggl(1+\frac{z}{z_0}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.4. Случай квадрик и кубикНачнем со следующего хорошо известного факта. Лемма 2.24. Группа автоморфизмов невырожденной квадрики $Q_n \subseteq \mathbb{P}^{n+1}$ равна $\operatorname{PSO}_{n+2}(\mathbb{K})$. Доказательство. Заметим, что группа Пикара квадрики $\operatorname{Pic}Q_n \cong \mathbb{Z}$ порождена линейным расслоением $\mathcal{O}(1)$ для $n \geqslant 3$. Любой автоморфизм квадрики $Q_n$ индуцирует автоморфизм группы Пикара, который может отображать порождающую $\mathcal{O}(1)$ либо в $\mathcal{O}(1)$, либо в $\mathcal{O}(-1)$. Последнее невозможно, так как $\mathcal{O}(-1)$ не имеет глобальных сечений, поэтому любое гиперплоское сечение $Q_n$ отображается в гиперплоское сечение. Последнее утверждение выполняется и для $n=1,2$. Таким образом, любой автоморфизм квадрики $Q_n$ соответствует преобразованию пространства гиперплоских сечений квадрики $\mathbb{P}(H^0(\mathcal{O}(1)))=(\mathbb{P}^{n+1})^*$. Сопряжённое к этому преобразованию будет продолжением исходного автоморфизма квадрики $Q_n$ до автоморфизма проективного пространства $\mathbb{P}^{n+1}$. Следующая теорема отвечает на вопрос 3.1, (4), статьи [62]. Теорема 2.25 [103; теорема 4]. Пусть $Q_n$ – невырожденная квадрика в проективном пространстве $\mathbb{P}^{n+1}$. Тогда существует единственное, с точностью до эквивалентности, аддитивное действие на $Q_n$. Оно соответствует H-паре $(A_n,U_n)$, где Доказательство. По лемме 2.24 любое аддитивное действие на $X$ является индуцированным. Пусть $(A,U)$ – соответствующая H-пара, т. е. $A$ – локальная алгебра размерности $n+2$ и $U \subseteq \mathfrak{m}$ – подпространство размерности $n$, порождающее алгебру $A$. Согласно утверждению 1) теоремы 2.14, мы имеем $\mathfrak{m}^2 \nsubseteq U$ и $\mathfrak{m}^3 \subseteq U$. Так как квадрика $Q_n$ невырождена, соответствующая полилинейная форма имеет тривиальное ядро (см. определение 2.22). По лемме 2.19, (b), это означает, что подпространство $U$ не содержит ненулевых идеалов алгебры $A$. Тогда из включения $\mathfrak{m}^3 \subseteq U$ следует равенство $\mathfrak{m}^3=0$. Значит, $\mathfrak{m}^2 \cap U$ является идеалом алгебры $A$, содержащимся в $U$. Следовательно, $\mathfrak{m}^2 \cap U=0$. Из условия $\mathfrak{m}^2 \nsubseteq U$ следует, что $\mathfrak{m}^2 \ne 0$, поэтому $\mathfrak{m}=U \oplus \mathfrak{m}^2$ и $\dim \mathfrak{m}^2=1$ из соображений размерности. Осталось доказать, что существует единственная пара $(A,U)$, удовлетворяющая указанным условиям. Заметим, что умножение в алгебре $A=\mathbb{K} \oplus U \oplus \mathfrak{m}^2$ определяется ограничением $B\colon U \times U \to \mathfrak{m}^2$. Действительно, из $U \subseteq \mathfrak{m}$ следует $U \cdot U \subseteq \mathfrak{m}^2$, с учётом $\mathfrak{m}^3=0$ получаем $U \cdot \mathfrak{m}^2=0$ и $\mathfrak{m}^2\cdot\mathfrak{m}^2=0$, а $1 \cdot x=x$ для любого $x \in A$. Так как $\dim \mathfrak{m}^2=1$, то $B$ – билинейная форма на $U$, и далее мы докажем, что эта форма невырожденная. Невырожденная билинейная форма на векторном пространстве единственна с точностью до линейной замены переменных, поэтому невырожденность формы $B$ влечёт единственность пары $(A,U)$ и соответствующего аддитивного действия. В нашей ситуации левая часть уравнения (2.2) квадрики $Q_n$ превращается в
$$
\begin{equation*}
z_0^2\pi\biggl(\ln\biggl(1+\frac{z}{z_0}\biggr)\biggr)= z_0^2\pi\biggl(\frac{z}{z_0}-\frac{1}{2}\,\frac{z^2}{z_0^2}\biggr)= z_0\pi(z)-\frac{1}{2}\pi(z^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pi\colon \mathfrak{m} \to \mathfrak{m}/U \cong \mathbb{K}$ – проекция. Напомним, что $\mathfrak{m}=U \oplus \mathfrak{m}^2$, так что $\pi$ может быть выбрана как проекция $\pi\colon \mathfrak{m} \to \mathfrak{m}^2$ вдоль $U$. Для элемента $z \in \mathfrak{m}$ пусть $z=z_U+z_{\mathfrak{m}^2}$, где $z_U \in U$, $z_{\mathfrak{m}^2} \in \mathfrak{m}^2$. Тогда $z^2=z_U^2$ согласно условию $\mathfrak{m}^3=0$. Значит, уравнение $z_0\pi(z)-\pi(z^2)/2=0$ квадрики $Q_n$ можно записать как Это определяет невырожденную квадрику тогда и только тогда, когда форма $B$ невырождена, т. е. мы доказали требуемую единственность. Теперь несложно вычислить соответствующую пару $(A,U)$. Обозначим через $S$ базис пространства $\mathfrak{m}^2$ и выберем такой базис $S_1,\dots,S_n$ пространства $U$, что $B(z_U,z_U)=(z_1^2+\cdots+z_n^2)S$ для $z_U=z_1S_1+\cdots+z_nS_n$. По определению $B$ выполнены равенства $S_i^2=S_j^2=S$ и $S_iS_j=0$ для $i \ne j$, и $\mathfrak{m} S=0$, так как $S \in \mathfrak{m}^2$. Таким образом, алгебра $A$ изоморфна $\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n]/(S_i^2-S_j^2,S_iS_j,\, i \ne j)$ при $n\geqslant 2$ и $\mathbb{K}[S_1]/(S_1^3)$ при $n=1$, что и требовалось. Теорема доказана. Следующий результат был получен в [12; предложение 4.2]. Следствие 2.26. H-пара $(A,U)$ отвечает индуцированному аддитивному действию на квадрике тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм H-пар $(A,U) \to (A_n,U_n)$. Обозначим проективные квадрики в $\mathbb{P}^{n+1}$ через
$$
\begin{equation*}
Q(n,k)=\{[z_0:\cdots:z_{n+1}] \mid q(z_0,\dots,z_{n+1})=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $q$ – квадратичная форма ранга $k+2$, $1 \leqslant k \leqslant n$. В этих обозначениях невырожденная квадрика $Q_n \subseteq \mathbb{P}^{n+1}$ – это $Q(n,n)$. В [20] получено обобщение соответствия Хассетта–Чинкеля для индуцированных действий с открытой орбитой коммутативных линейных алгебраических групп на невырожденных квадриках. В [20; теорема 3] доказано, что помимо единственного аддитивного действия на квадрике из теоремы 2.25 возможны только три случая: действие группы $\mathbb{G}_m$ на $Q_1$, действие группы $\mathbb{G}_a \times \mathbb{G}_m$ на $Q_2$ и действие группы $\mathbb{G}_m^2$ на $Q_2$. В то же время аддитивное действие на вырожденных квадриках не единственно. В частности, есть бесконечное семейство попарно неэквивалентных индуцированных аддитивных действий на квадриках $Q(n,n-1)$ для $n \geqslant 4$ (см. [12; разд. 4]). Предложение 2.27 [10; предложение 7]. H-парами, соответствующими индуцированным аддитивным действиям на квадриках $Q(n,n-1) \subseteq \mathbb{P}^{n+1}$, являются: (a) $A=\mathbb{K}[S_1,\dots,S_n] \bigg/\!\begin{pmatrix}S_iS_j-\lambda_{ij}S_n,S_i^2-S_j^2 & \\ - (\lambda_{ii}-\lambda_{jj})S_n, & 1 \leqslant i < j \leqslant n-1\\ S_lS_n, & 1 \leqslant l \leqslant n\end{pmatrix}$, где $n \geqslant 3$ и $\lambda_{ij}$ – элементы симметричной блочно-диагональной матрицы $\Lambda$ размера $(n-1)\times(n-1)$, каждый блок $\Lambda_l$ которой имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \lambda_l & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & \lambda_l & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & \lambda_l & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & \lambda_l \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & \ldots & 0 & \imath/2 & 0 \\ \vdots & \ddots & \imath/2 & 0 & -\imath/2 \\ 0 & \ddots & 0 & -\imath/2 & 0 \\ \imath/2 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & -\imath/2 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}, \qquad \imath^2=-1,
\end{equation*}
\notag
$$
и $U=\langle S_1,\dots,S_n\rangle$; (b) $A=\mathbb{K}[S_1,S_2]/(S_1^3,S_1S_2,S_2^2)$, $U=\langle S_1, S_2\rangle$; (c) $A=\mathbb{K}[S_1]/(S_1^4)$, $U=\langle S_1,S_1^3\rangle$. Матрица $\Lambda$ определена с точностью до перестановки блоков, умножения на скаляры и прибавления скалярной матрицы. В [12; разд. 4] также рассматривается явное описание этих действий для $n=4$. В статье [82] с использованием этой же техники получена классификация аддитивных действий на квадрике коранга 2, которые имеют хотя бы одну особую точку, не являющуюся неподвижной относительно действия группы $\mathbb{G}_a^n$. Замечание 2.28. В [99; разд. 5] получена классификация аддитивных действий на квадриках малых размерностей. Доказано, что поверхность $Q(2,1)$ допускает два аддитивных действия (ср. с предложением 2.27, (b), (c)), а трёхмерные многообразия $Q(3,1)$ и $Q(3,2)$ допускают семь и три аддитивных действия соответственно. Число аддитивных действий на $Q(4,1)$ конечно, но не меньше $25$. Наконец, на $Q(4,2)$ есть бесконечно много аддитивных действий. Классификация приведена в терминах H-пар. В [18] изучается случай кубических гиперповерхностей и доказана следующая теорема. Теорема 2.29. Кубическая гиперповерхность $\{f=0\}$ в $\mathbb{P}^{n+1}$ допускает индуцированное аддитивное действие тогда и только тогда, когда для некоторых $k$ и $s$, $1 \leqslant k \leqslant s \leqslant n-k$, можно выбрать такие однородные координаты $z_0,z_1,\dots,z_s,w_0,w_1,\dots,w_{n-s}$ в $\mathbb{P}^{n+1}$, что многочлен $f$ имеет вид где $g$ – невырожденная кубическая форма от $k$ переменных. Более того, индуцированное аддитивное действие единственно тогда и только тогда, когда гиперповерхность невырождена, т. е. $k+s=n$. 2.5. Невырожденные гиперповерхности и горенштейновы алгебрыПусть $A$ – горенштейнова локальная алгебра. Цоколь алгебры $A$ равен одномерному идеалу $\mathfrak{m}^d$. Гиперплоскость $U$ в $\mathfrak{m}$ мы называем дополнительной, если $\mathfrak{m}=U\oplus\mathfrak{m}^d$. Теорема 2.30. Индуцированные аддитивные действия на невырожденных гиперповерхностях $X$ степени $d$ в $\mathbb{P}^{n+1}$ находятся в биекции с H-парами $(A,U)$, где $A$ – горенштейнова алгебра размерности $n+2$ с цоколем $\mathfrak{m}^d$ и $U$ – дополнительная гиперплоскость. Доказательство. Сначала покажем, что подпространство $U$ в максимальном идеале $\mathfrak{m}$ локальной алгебры $A$ не содержит ненулевых идеалов алгебры $A$ тогда и только тогда, когда $(\operatorname{Soc} A)\cap U=0$. Необходимость очевидна, так как $(\operatorname{Soc} A)\cap U$ является идеалом алгебры $A$ в $U$. Обратно, если $J$ – ненулевой идеал алгебры $A$ в $U$ и $s$ – такое максимального число, что идеал $J\mathfrak{m}^s$ ненулевой, то $J\mathfrak{m}^s\subseteq(\operatorname{Soc} A)\cap J \subseteq (\operatorname{Soc} A)\cap U$. Это показывает, что если $(A,U)$ – это H-пара, соответствующая индуцированному аддитивному действию на невырожденной гиперповерхности в $\mathbb{P}^{n+1}$, то $\mathfrak{m}=U \oplus (\operatorname{Soc} A)$ и $A$ горенштейнова, что следует из рассмотрения размерностей. Обратно, пусть $A$ – горенштейнова локальная алгебра размерности $n+2$ и $U$ – дополнительная гиперплоскость в $\mathfrak{m}$. Так как $A=\mathbb{K}\oplus U\oplus(\operatorname{Soc} A)$, то $U$ порождает алгебру $A$. Значит, $(A,U)$ является H-парой, соответствующей индуцированному аддитивному действию на некоторой гиперповерхности $X$ в $\mathbb{P}^{n+1}$. Так как $(\operatorname{Soc} A) \cap U=0$, то $U$ не содержит ненулевых идеалов, следовательно, гиперповерхность $X$ невырождена. Наконец, заметим, что по теореме 2.14 степень гиперповерхности $X$ равна $d$, где $\operatorname{Soc} A=\mathfrak{m}^d$. Замечание 2.31. У нас нет примера, в котором две разные дополнительные гиперплоскости $U$ и $U'$ в максимальном идеале $\mathfrak{m}$ одной и той же горенштейновой локальной алгебры $A$ определяли бы аддитивные действия на неизоморфных гиперповерхностях. В качестве применения теоремы 2.30 мы можем увидеть из табл. 1, что для $n\leqslant 5$ существуют индуцированные аддитивные действия на невырожденных гиперповерхностях в $\mathbb{P}^n$ всех степеней от $2$ до $n$. Более того, в $\mathbb{P}^5$ существует три типа невырожденных кубических гиперповерхностей, которые происходят из различных горенштейновых алгебр. Теперь докажем результат, обобщающий единственность аддитивного действия на невырожденных квадриках и кубиках. Теорема 2.32. Пусть $X \subseteq \mathbb{P}^{n+1}$ – невырожденная гиперповерхность. Тогда существует не более одного индуцированного аддитивного действия на $X$ с точностью до эквивалентности. Доказательство. Пусть $(A,U)$ – это H-пара, соответствующая индуцированному аддитивному действию на $X$. Гиперповерхность $X$ определяет соответствующую инвариантную полилинейную форму $F$ (см. п. 2.3). Мы должны доказать, что форма $F$ определяет единственную пару $(A,U)$ с точностью до эквивалентности (см. теорему 2.6). Обозначим через $d$ степень гиперповерхности $X$. Так как $X$ невырождена, по теореме 2.30 алгебра $A$ горенштейнова, $\mathfrak{m}^{d+1}=0$, $\mathfrak{m}=U \oplus \mathfrak{m}^d$ и $\dim \mathfrak{m}^d=1$. Так как $1 \cdot a=a$ для любого $a \in A$ и $\mathfrak{m}^{d}\cdot\mathfrak{m}=0$, осталось определить умножение на элементы из $U$. Пусть $\pi\colon \mathfrak{m} \to \mathfrak{m}^d \cong \mathbb{K}$ – каноническая проекция вдоль $U$ и $B\colon U \times U \to \mathfrak{m}^d \cong \mathbb{K}$ – билинейное отображение, определяемое формулой $B(u_1,u_2)=\pi(u_1u_2)$. Докажем, что $\operatorname{Ker} B$ – идеал алгебры $A$. Если $u \in \operatorname{Ker} B$, то $B(u,u_2)=\pi(uu_2)=0$ для любого $u_2 \in U$, т. е. $uu_2 \in U$ для любого $u_2 \in U$. Более того, из условия $uU \subseteq U$ следует, что $uA \subseteq U$, так как $u \cdot 1 \in U$ и $u \cdot \mathfrak{m}^d=0$. Тогда для любых элементов $a \in A$, $u_2 \in U$ выполнены включения $uau_2 \subseteq uA \subseteq U$, т. е. $B(ua, u_2)=\pi(uau_2)=0$. Таким образом, $ua \in \operatorname{Ker} B$ для любого $a \in A$, и $\operatorname{Ker} B$ является идеалом алгебры $A$. Поскольку $\operatorname{Ker}F$ по лемме 2.19, (b), является максимальным идеалом алгебры $A$, содержащимся в $U$, имеет место включение $\operatorname{Ker}B \subseteq \operatorname{Ker}F$. Но форма $F$ невырождена, так что $B$ тоже невырождена. Обозначим через $S$ ненулевой вектор в $\mathfrak{m}^d$, и пусть $S_1,\dots,S_n$ – такой базис пространства $U$, что $B(z_U,z_U)=(z_1^2+\cdots+z_n^2)S$ для $z_U=z_1S_1+\cdots+z_nS_n$. По определению формы $B$ выполнено $S_i^2-S \in U$ и $S_iS_j \in U$, $i \ne j$. Обозначим $S_i^2-S=\displaystyle\sum_l \alpha_{il}S_l$ и $S_iS_j=\displaystyle\sum_l \beta_{ijl}S_l$. В соответствии с уравнением (2.4) имеем $F(z^{(1)},\dots,z^{(d)})=(-1)^k k!\,(d-k-1)!\,\pi(z^{(1)}\cdots z^{(d)})$, где все аргументы либо равны $1$, либо нильпотентны, а $k$ – количество аргументов, равных $1$. В частности, $F(z^{(1)},z^{(2)},1,\dots,1)=(-1)^{d-2}(d-2)!\,\pi(z^{(1)}z^{(2)})$ для всех $z^{(1)},z^{(2)} \in \mathfrak{m}$, т. е. билинейная форма $B$ однозначно определяется полилинейной формой $F$. Заметим, что $B(S_i^2-S,S_l)=\alpha_{il}S$ и $B(S_iS_j,S_l)=\beta_{ijl}S$, т. е. коэффициенты $\alpha_{il}$ и $\beta_{ijl}$, а тогда и произведения $S_i^2$ и $S_iS_j$, $i \ne j$, однозначно определяются формой $F$. Таким образом, $F$ определяет умножение на $U$. Теорема доказана. Пример 2.33. Пусть $A=\mathbb{K}[S_1,S_2,S_3]/(S_1^2,S_2^2,S_1S_3,S_2S_3,S_1S_2-S_3^3)$ – шестимерная горенштейнова алгебра № 30 из табл. 1 и $U=\langle S_1,S_2,S_3,S_3^2\rangle \subseteq \mathfrak{m}$ (см. пример 2.15). Напомним, что $A=\langle 1,S_1,S_2,S_3,S_3^2,S_3^3=S_1S_2\rangle$ и H-пара $(A,U)$ соответствует индуцированному аддитивному действию на кубической гиперповерхности $X \subseteq \mathbb{P}^5$. Так как $\operatorname{Soc} A=\mathfrak{m}^3$ и $\mathfrak{m}=U\oplus\mathfrak{m}^3$, то $X$ является невырожденной. По теореме 2.32 существует единственное индуцированное аддитивное действие на $X$. Можно явно выписать его с использованием теоремы 2.6: отождествляя точку $[z_0:z_1:z_2:z_3:z_4:z_5] \in \mathbb{P}^5$ с элементом алгебры $z_0+z_1S_1+z_2S_2+z_3S_3+z_4S_3^2+z_5S_3^3 \in A$ и умножая на 3. Аддитивные действия на многообразиях флаговОсновной целью настоящего раздела является описание аддитивных действий на многообразиях флагов $G/P$ полупростой линейной алгебраической группы $G$. Мы начинаем с краткого обзора геометрических свойств многообразий $X$, допускающих аддитивное действие: каждое такое многообразие рационально и имеет свободную конечно порождённую группу классов дивизоров, порождённую классами граничных дивизоров. Если многообразие $X$ полно, то классы граничных дивизоров свободно порождают моноид классов эффективных дивизоров. Более того, для гладкого $X$ антиканонический класс $-K_X$ является целочисленной линейной комбинацией классов граничных дивизоров с коэффициентами $\geqslant 2$. Мы также показываем, что если коммутативная подгруппа группы автоморфизмов многообразия $X$ действует на $X$ с открытой орбитой, то она является максимальной коммутативной подгруппой в $\operatorname{Aut}(X)$. В п. 3.2 мы классифицируем многообразия флагов $G/P$, допускающие аддитивное действие. Оказывается, что в этом случае параболическая подгруппа $P$ максимальна и существование аддитивного действия на $G/P$ почти эквивалентно коммутативности унипотентного радикала $P_u$ за несколькими исключениями. В п. 3.3 мы обсуждаем теорему единственности: если многообразие флагов $G/P$ не изоморфно проективному пространству, то $G/P$ допускает не более одного аддитивного действия. Наконец, в п. 3.4 мы приводим конструкцию Фейгина, позволяющую вырождать произвольное многообразие флагов $G/P$ в проективное многообразие с аддитивным действием. 3.1. Общие факты об аддитивных действиях на полных многообразияхВ этом пункте мы кратко напоминаем базовые геометрические свойства многообразий, допускающих аддитивное действие. Ясно, что любое многообразие $X$ с аддитивным действием $\mathbb{G}_a^n\times X\to X$ содержит открытую $\mathbb{G}_a^n$-орбиту, изоморфную аффинному пространству. Это означает, что $X$ является рациональным многообразием. Хорошо известно, что дополнение $X\setminus\mathcal{U}$ к аффинному открытому подмножеству $\mathcal{U}$ неприводимого многообразия $X$ является объединением $D_1\cup\cdots\cup D_k$ простых дивизоров. Если $X$ – нормальное многообразие с аддитивным действием и $\mathcal{U}$ – открытая орбита, то мы называем классы $[D_1],\dots,[D_k]$ граничными классами в $\operatorname{Cl}(X)$. Предложение 3.1. Пусть $X$ – нормальное многообразие и $\mathcal{U}\subseteq X$ – открытое подмножество, изоморфное аффинному пространству. Тогда любая обратимая регулярная функция на $X$ постоянна и группа классов дивизоров $\operatorname{Cl}(X)$ является свободной конечно порождённой абелевой группой. Более того, граничные классы образуют базис в $\operatorname{Cl}(X)$. Доказательство. Если $f$ – обратимая регулярная функция на $X$, то её ограничение на $\mathcal{U}$ тоже является обратимой регулярной функцией. Значит, $f$ постоянна на $\mathcal{U}$, а тогда и на $X$. Так как все дивизоры на $\mathcal{U}$ главные, то каждый дивизор на $X$ линейно эквивалентен целочисленной линейной комбинации простых дивизоров из дополнения $X\setminus\mathcal{U}$. Если такая линейная комбинация даёт нуль в $\operatorname{Cl}(X)$, то она является главным дивизором, соответствующим некоторой рациональной функции $f$ на $X$. Функция $f$ не имеет ни нулей, ни полюсов в $\mathcal{U}$, т. е. является обратимой регулярной функцией на аффинном пространстве. Такие функции постоянны, значит, линейная комбинация тривиальна. Предложение доказано. В качестве следующего шага сформулируем результат, доказанный в [62; теоремы 2.5, 2.7]. Теорема 3.2. Пусть $X$ – полное нормальное многообразие с аддитивным действием. Тогда моноид классов эффективных дивизоров свободно порождается граничными классами. Более того, если $X$ гладкое, то антиканонический класс $-K_X$ является целочисленной линейной комбинацией граничных классов, в которой все коэффициенты $\geqslant 2$. Для получения первого утверждения теоремы 3.2 используется линеаризация произвольного дивизора относительно действия унипотентной группы. А именно, рассмотрим эффективный дивизор $D$ на $X$. Представление группы $\mathbb{G}_a^n$ на проективизации пространства $H^0(X,\mathcal{O}(D))$ имеет неподвижную точку, которая соответствует эффективному дивизору с носителем на границе, линейно эквивалентным дивизору $D$. Доказательство второго утверждения сложнее, оно требует вычислений с векторными полями и соответствующими точными последовательностями. Замечание 3.3. Полное нормальное многообразие $X$, допускающее аддитивное действие, не обязано быть проективным. Примеры аддитивных действий на гладких непроективных полных торических многообразиях $X$ произвольной размерности $\geqslant 3$ построены в [101]. Сделаем ещё одно наблюдение. Будем называть подгруппу $H$ в группе автоморфизмов $\operatorname{Aut}(X)$ алгебраического многообразия $X$ алгебраической, если на $H$ существует такая структура алгебраической группы, что действие $H\times X\to X$ регулярно. Заметим, что если группа $\operatorname{Aut}(X)$ сама имеет такую структуру алгебраической группы, что действие $\operatorname{Aut}(X)\times X\to X$ регулярно, то понятие алгебраической подгруппы совпадает со стандартным понятием алгебраической подгруппы в алгебраической группе. Предложение 3.4. Пусть коммутативная алгебраическая группа $H$ эффективно действует с открытой орбитой на неприводимом многообразии. Тогда подгруппа $H$ является максимальной по включению коммутативной алгебраической подгруппой группы $\operatorname{Aut}(X)$. Доказательство. Предположим, что $H$ содержится в большей коммутативной алгебраической подгруппе $F$, и пусть $g\in F\setminus H$. Тогда элемент $g$ переставляет $H$-орбиты на $X$ и, в частности, сохраняет открытую $H$-орбиту $\mathcal{U}$. Выберем точку $x\in \mathcal{U}$. Существует такой элемент $h\in H$, что $gx=hx$. Это показывает, что $h^{-1}g$ оставляет неподвижной точку $x$. Тогда $h^{-1}g$ тождественно действует на $\mathcal{U}$ и на $X$, противоречие. Предложение доказано. Этот результат показывает, что каждое аддитивное действие $\mathbb{G}_a^n\times X\to X$ определяет максимальную коммутативную унипотентную подгруппу в группе автоморфизмов $\operatorname{Aut}(X)$. В частности, соответствие Хассетта–Чинкеля позволяет построить много несопряжённых максимальных коммутативных унипотентных подгрупп размерности $n$ в группе $\operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$. В то же время существуют максимальные коммутативные унипотентные подгруппы в $\operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ других размерностей. В следующих пунктах мы изучаем аддитивные действия на (обобщённых) многообразиях флагов, т. е. на однородных пространствах $G/P$ связной полупростой группы $G$ по модулю параболической подгруппы $P$. Следующее предложение содержит дополнительную мотивацию для изучения многообразий этого типа. Хорошо известно, что связная компонента $\operatorname{Aut}(X)^0$ группы автоморфизмов полного многообразия является связной алгебраической группой. Ввиду важности проблемы существования метрики Кэлера–Эйнштейна, случаи редуктивной группы $\operatorname{Aut}(X)^0$ представляют особый интерес. Предложение 3.5 [10; предложение 1]. Пусть $X$ – полное многообразие, допускающее аддитивное действие. Предположим, что группа $\operatorname{Aut}(X)^0$ – редуктивная линейная алгебраическая группа. Тогда $X$ является многообразием флагов $G/P$ для некоторых полупростой группы $G$ и параболической подгруппы $P$. Доказательство. Пусть $X'$ – нормализация многообразия $X$. Действие группы $\operatorname{Aut}(X)^0$ на $X$ можно поднять на $X'$. Тогда некоторая коммутативная унипотентная группа действует на $X'$ с открытой орбитой. В частности, максимальная унипотентная подгруппа редуктивной группы $\operatorname{Aut}(X)^0$ действует на $X'$ с открытой орбитой. Это означает, что $X'$ является сферическим многообразием ранга нуль (см. подробности в [107; разд. 1.5.1]). Отсюда следует, что $X'$ является многообразием флагов $G/P$ (см. [107; предложение 10.1]) и $\operatorname{Aut}(X)^0$ действует на $X'$ транзитивно. Тогда $X=X'$. Предложение доказано. 3.2. Существование аддитивного действия на многообразии флаговВ этом пункте мы следуем работе [3] и классифицируем многообразия флагов, допускающие аддитивное действие. Пусть $G$ – связная полупростая линейная алгебраическая группа присоединённого типа над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль и $P$ – параболическая подгруппа группы $G$. Однородное пространство $G/P$ называется (обобщённым) многообразием флагов. Напомним, что многообразие $G/P$ проективно и действие унипотентного радикала $P_u^{-}$ противоположной параболической подгруппы $P^-$ на $G/P$ умножением слева имеет открытую орбиту. Эта открытая орбита $\mathcal{U}$ называется большой клеткой Шуберта на $G/P$. Так как $\mathcal{U}$ изоморфна аффинному пространству $\mathbb{A}^n$, где $n=\dim G/P$, то каждое многообразие флагов можно рассматривать как пополнение аффинного пространства. Наша цель – найти все многообразия флагов $G/P$, являющиеся эквивариантными пополнениями группы $\mathbb{G}_a^n$. Ясно, что это так, если группа $P_u^{-}$ или, эквивалентно, группа $P_u$ коммутативна. Известно, что связная компонента $\widetilde{G}$ группы автоморфизмов многообразия $G/P$ является полупростой группой присоединённого типа и $G/P=\widetilde{G}/Q$ для некоторой параболической подгруппы $Q\subseteq \widetilde{G}$. В большинстве случаев группа $\widetilde{G}$ совпадает с $G$, и все исключения хорошо известны (см., например, [92; теорема 7.1] или [108; с. 118]). Если $\widetilde{G} \ne G$, то мы говорим, что $(\widetilde{G},Q)$ является накрывающей парой исключительной пары $(G,P)$. Для простой группы $G$ исключительными парами являются $(\operatorname{PSp}_{2r},P_1)$, $(\operatorname{SO}_{2r+1},P_r)$ и $(G_2,P_1)$ с накрывающими парами $(\operatorname{PSL}_{2r},P_1)$, $(\operatorname{PSO}_{2r+2},P_{r+1})$ и $(\operatorname{SO}_7,P_1)$ соответственно, где через $PH$ обозначен фактор группы $H$ по центру, а $P_i$ – максимальная параболическая подгруппа, ассоциированная с $i$-м простым корнем. Оказывается, для простой группы $G$ из условия $\widetilde{G}\ne G$ следует, что унипотентный радикал $Q_u$ коммутативен, а подгруппа $P_u$ не коммутативна. В частности, в этом случае $G/P$ является эквивариантным пополнением группы $\mathbb{G}_a^n$. Наш основной результат состоит в том, что это единственные возможные исключения. Теорема 3.6 [3; теорема 1]. Пусть $G$ – связная полупростая группа присоединённого типа и $P$ – параболическая подгруппа в $G$. Тогда многообразие флагов $G/P$ является эквивариантным пополнением группы $\mathbb{G}_a^n$ в том и только том случае, когда для каждой пары $(G^{(i)},P^{(i)})$, где $G^{(i)}$ – простая компонента группы $G$ и $P^{(i)}=G^{(i)} \cap P$, выполнено одно из следующих условий: Для удобства читателя перечислим все пары $(G,P)$, где $G$ – простая группа (с точностью до локального изоморфизма) и $P$ – параболическая подгруппа с коммутативным унипотентным радикалом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\operatorname{SL}_{r+1},P_i), \quad i=1,\dots,r; \qquad (\operatorname{SO}_{2r+1},P_1); \qquad (\operatorname{Sp}_{2r},P_r); \\ (\operatorname{SO}_{2r},P_i), \quad i=1,r-1,r; \qquad (E_6,P_i), \quad i=1,6; \qquad (E_7,P_7) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [97; разд. 2]). Заметим, что унипотентный радикал группы $P_i$ коммутативен тогда и только тогда, когда простой корень $\alpha_i$ входит в старший корень $\rho$ с коэффициентом 1 (см. [97; лемма 2.2]). Ещё одно эквивалентное условие состоит в том, что фундаментальный вес $\omega_i$ двойственной группы $G^\vee$ является микровесом, т. е. система весов простого $G^\vee$-модуля $V(\omega_i)$ со старшим весом $\omega_i$ совпадает с орбитой $W\omega_i$ группы Вейля $W$. Доказательство теоремы 3.6. Если унипотентный радикал $P_u^-$ коммутативен, то действие радикала $P_u^-$ на $G/P$ левыми умножениями является требуемым аддитивным действием. Те же аргументы работают, когда для связной компоненты $\widetilde{G}$ группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}(G/P)$ выполнено $G/P=\widetilde{G}/Q$ и унипотентный радикал $Q_u^-$ коммутативен. Так как где $G^{(1)},\dots,G^{(k)}$ – простые компоненты группы $G$, то группа $\widetilde{G}$ изоморфна прямому произведению $\widetilde{G^{(1)}}\times \cdots \times \widetilde{G^{(k)}}$. Более того, $Q_u \cong Q_u^{(1)}\times \cdots \times Q_u^{(k)}$, где $Q^{(i)}=\widetilde{G^{(i)}}\cap Q$. Таким образом, группа $Q_u^-$ коммутативна тогда и только тогда, когда для любой пары $(G^{(i)},P^{(i)})$ либо $P_u^{(i)}$ коммутативна, либо пара $(G^{(i)},P^{(i)})$ исключительная. Обратно, предположим, что $G/P$ допускает аддитивное действие. Можно отождествить $\mathbb{G}_a^n$ с коммутативной унипотентной подгруппой $H$ группы $\widetilde{G}$, а многообразие флагов $G/P$ с $\widetilde{G}/Q$, где $Q$ – параболическая подгруппа группы $\widetilde{G}$. Пусть $T\subseteq B$ – такие максимальный тор и борелевская подгруппа группы $\widetilde{G}$, что $B\subseteq Q$. Рассмотрим систему корней $\Phi$ касательной алгебры ${\mathfrak g}=\operatorname{Lie}(\widetilde{G})$, определяемую тором $T$, её разложение $\Phi=\Phi^+ \cup \Phi^-$ на положительные и отрицательные корни относительно $B$, множество простых корней $\Delta \subseteq \Phi^+$, $\Delta=\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\}$, и корневое разложение
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak g}=\bigoplus_{\beta\in\Phi^-}{\mathfrak g}_{\beta} \oplus {\mathfrak t} \oplus \bigoplus_{\beta\in\Phi^+}{\mathfrak g}_{\beta},
\end{equation*}
\notag
$$
где ${\mathfrak t}=\operatorname{Lie}(T)$ является картановской подалгеброй в ${\mathfrak g}$ и
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak g}_{\beta}=\{x\in{\mathfrak g}\colon [y,x]=\beta(y)x\ \text{для всех} \ y\in{\mathfrak t}\}
\end{equation*}
\notag
$$
– корневые подпространства. Положим ${\mathfrak q}=\operatorname{Lie}(Q)$ и $\Delta_Q=\{\alpha\in\Delta\colon {\mathfrak g}_{-\alpha} \nsubseteq {\mathfrak q}\}$. Для каждого корня $\beta=a_1\alpha_1+\cdots+a_r\alpha_r$ определим $\deg \beta=\displaystyle\sum_{\alpha_i\in \Delta_Q} a_i$ и получим $\mathbb{Z}$-градуировку на алгебре Ли ${\mathfrak g}$:
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak g}=\bigoplus_{k\in\mathbb{Z}}{\mathfrak g}_k,\quad\text{где}\quad {\mathfrak t}\subseteq{\mathfrak g}_0 \quad\text{и} \quad {\mathfrak g}_{\beta} \subseteq {\mathfrak g}_k \quad\text{для}\quad k=\deg \beta.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak q}=\bigoplus_{k\geqslant 0} {\mathfrak g}_k\quad\text{и}\quad {\mathfrak q}_u^-=\bigoplus_{k<0} {\mathfrak g}_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что унипотентный радикал $Q_u^-$ не коммутативен, и рассмотрим ${\mathfrak g}_{\beta} \subseteq [{\mathfrak q}_u^-,{\mathfrak q}_u^-]$. Для любого элемента $x\in {\mathfrak g}_{\beta} \setminus \{0\}$ существуют такие $z'\in{\mathfrak g}_{\beta'}\subseteq{\mathfrak q}_u^-$ и $z''\in{\mathfrak g}_{\beta''}\subseteq{\mathfrak q}_u^-$, что $x=[z',z'']$. Тогда $\deg z'>\deg x$ и $\deg z'' >\deg x$. Подгруппа $H$ действует на $\widetilde{G}/Q$ с открытой орбитой, поэтому, сопрягая $H$, можно добиться того, чтобы $H$-орбита точки $eQ$ была открыта в $\widetilde{G}/Q$. Отсюда следует, что ${\mathfrak g}={\mathfrak q} \oplus {\mathfrak h}$, где ${\mathfrak h}=\operatorname{Lie}(H)$. С другой стороны, ${\mathfrak g}={\mathfrak q} \oplus {\mathfrak q}_u^-$. Таким образом, любой элемент $y\in{\mathfrak h}$ может быть единственным образом записан в виде $y=y_1+y_2$, где $y_1 \in {\mathfrak q}$, $y_2 \in {\mathfrak q}_u^-$ и линейное отображение ${\mathfrak h} \to {\mathfrak q}_u^-$, $y \mapsto y_2$, биективно. Возьмём такие элементы $y,y',y'' \in {\mathfrak h}$, что $y_2=x$, $y'_2=z'$, $y''_2=z''$. Так как подгруппа $H$ коммутативна, выполнено равенство $[y',y'']=0$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
[y'_1+y'_2,y''_1+y''_2]=[y'_1,y''_1]+[y'_2,y''_1]+[y'_1,y''_2]+[y'_2,y''_2]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако
$$
\begin{equation*}
[y'_2,y''_2]=x \quad \text{и} \quad [y'_1,y''_1]+[y'_2,y''_1]+[y'_1,y''_2] \in \bigoplus_{k>\deg x}{\mathfrak g}_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречие показывает, что группа $Q_u^-$ коммутативна. Как мы видели ранее, последнее условие означает, что для любой пары $(G^{(i)},P^{(i)})$ либо унипотентный радикал $P^{(i)}_u$ коммутативен, либо пара $(G^{(i)},P^{(i)})$ исключительная. Теорема 3.6 доказана. Хорошо известно, что если основное поле $\mathbb{K}$ является полем комплексных чисел, то эрмитовы симметрические пространства компактного типа – это в точности однородные пространства $G/P$, где параболическая подгруппа $P$ имеет коммутативный унипотентный радикал (см., например, [97]). Поэтому из теоремы 3.6 вытекает следующий результат. Следствие 3.7. Полное комплексное однородное многообразие $X$ допускает аддитивное действие тогда и только тогда, когда $X$ является эрмитовым симметрическим пространством компактного типа. 3.3. Результаты о единственностиСледующее утверждение является обобщением теоремы 2.25; в случае грассманианов эта теорема в форме гипотезы сформулирована в [12; разд. 6]. Теорема 3.8. Пусть $G$ – связная простая линейная алгебраическая группа и $P$ – параболическая подгруппа в $G$. Предположим, что многообразие флагов $X=G/P$ не изоморфно проективному пространству $\mathbb{P}^n$. Тогда $X$ допускает не более одного аддитивного действия с точностью до эквивалентности. Два различных доказательства этого результата были независимо получены Фу и Хваном [51] и Девятовым [41]. Мы кратко обсудим каждый из подходов. Доказательство Фу и Хвана основано на изучении многообразий минимальных рациональных касательных (VMRT). В статье [51] авторы доказали следующую теорему. Теорема 3.9. Пусть $X$ – гладкое многообразие Фано размерности $n$ с числом Пикара 1, не изоморфное $\mathbb{P}^n$. Предположим, что на $X$ есть семейство минимальных рациональных кривых, чьё многообразие минимальных рациональных касательных $C_x\subseteq \mathbb{P} T_x(X)$ в общей точке $x\in X$ является гладким. Тогда любые два аддитивных действия на $X$ эквивалентны. Следствие 3.10. Пусть $X\subseteq \mathbb{P}^N$ – гладкое проективное подмногообразие с числом Пикара 1, и пусть для общей точки $x\in X$ существует прямая в $\mathbb{P}^N$, проходящая через $x$ и лежащая в $X$. Если $X$ отлично от проективного пространства, то любые два аддитивных действия на $X$ эквивалентны. Можно показать, что если для $X$ существует проективное вложение, удовлетворяющее условиям следствия 3.10, то некоторое семейство прямых, лежащих в $X$, даёт семейство минимальных рациональных кривых, для которых VMRT $C_x$ в общей точке $x\in X$ является гладким (см., например, [68; предложение 1.5]). Таким образом, следствие 3.10 вытекает из теоремы 3.9. Это следствие может быть применено к гладким квадратичным гиперповерхностям и грассманианам, так как гладкая гиперквадрика может быть вложена в проективное пространство с соблюдением требуемого свойства. Подход Девятова совершенно иной: он основан на теории представлений алгебр Ли и классификации определённых умножений на конечномерных пространствах. Этот подход можно рассматривать как обобщение соответствия Хассетта–Чинкеля. Пусть $L$ – связная редуктивная алгебраическая группа, $V$ – конечномерный $L$-модуль и ${\mathfrak l}$ – алгебра Ли группы $L$. Будем называть ${\mathfrak l}$-согласованным умножением на $V$ такое ассоциативное коммутативное билинейное отображение $\mu\colon V\times V\to V$, что для любого $v\in V$ оператор $\mu_v\colon V\to V$, $\mu_v(w)=\mu(v,w)$, нильпотентен и для любого $v\in V$ существует такой $x\in{\mathfrak l}$, что оператор $\mu_v$ совпадает с действием элемента $x$ на $V$. Классификация ${\mathfrak l}$-согласованных умножений на произвольном модуле $V$ редуктивной группы $L$ приведена в [41; разд. 5, 6]. Она может представлять независимый интерес. После серии редукций к случаю простой группы $G$ и простого модуля $V$ в [41; теорема 21] доказано, что ненулевое ${\mathfrak l}$-согласованное умножение на $V$ существует тогда и только тогда, когда либо $L$ – группа типа $A$ и $V$ – тавтологический $L$-модуль или его двойственный, либо $L$ имеет тип $C$ и $V$ – тавтологический $L$-модуль. Пусть $X=G/P$ – многообразие флагов, где $G$ – связная простая линейная алгебраическая группа и $P$ – параболическая подгруппа в $G$. Не теряя общности, можно считать, что пара $(G,P)$ не исключительная. Тогда связная компонента группы $\operatorname{Aut}(X)$ совпадает с $G$. По теореме 3.6 мы можем считать, что группа $P_u$ коммутативна и, в частности, параболическая подгруппа $P$ максимальна. Как мы знаем из предыдущего пункта, аддитивные действия на $X$ соответствуют коммутативным подалгебрам Ли ${\mathfrak h}$, дополнительным к ${\mathfrak p}=\operatorname{Lie}(P)$ в ${\mathfrak g}=\operatorname{Lie}(G)$, т. е. ${\mathfrak g}={\mathfrak p}\oplus{\mathfrak h}$. Одной такой подалгеброй является ${\mathfrak p}_u^-$, и результат о единственности означает, что все остальные такие подалгебры ${\mathfrak h}$ сопряжены ${\mathfrak p}_u^-$. В [41; теорема 15] Девятов устанавливает соответствие между дополнительными к ${\mathfrak p}_u$ коммутативными подалгебрами ${\mathfrak h}$ в ${\mathfrak g}$ и ${\mathfrak l}$-согласованными умножениями ${\mathfrak p}_u^-\times{\mathfrak p}_u^-\to{\mathfrak p}_u^-$, где ${\mathfrak l}$ – подалгебра Леви алгебры ${\mathfrak p}$. При этом соответствии подалгебре ${\mathfrak h}={\mathfrak p}_u^-$ отвечает нулевое умножение. Таким образом, классификация согласованных умножений, упомянутая выше, показывает, что не сопряжённые ${\mathfrak p}_u^-$ дополнительные к ${\mathfrak p}_u$ коммутативные подалгебры ${\mathfrak h}$ появляются только в случаях, когда многообразие флагов $G/P$ изоморфно проективному пространству $\mathbb{P}^n$. Это доказывает теорему 3.8. Более детальный анализ показывает, что в терминах результатов Хассетта и Чинкеля согласованное умножение в случае тавтологического модуля $V$ группы типа $A$ – это в точности умножение $\mathfrak{m}\times\mathfrak{m}\to\mathfrak{m}$ на максимальном идеале локальной алгебры $A=\mathbb{K}\oplus\mathfrak{m}$, соответствующее данному аддитивному действию на $\mathbb{P}^n$. Завершая этот пункт, упомянем ещё одну близкую работу. В [34] доказана теорема единственности для эквивариантных пополнений некоммутативных унипотентных групп многообразиями флагов. Более точно, пусть $G$ – простая линейная алгебраическая группа над полем комплексных чисел и $P$ – параболическая подгруппа в $G$. Согласно разложению Брюа унипотентный радикал $P_u^-$ действует на $G/P$ с открытой орбитой, изоморфной $P_u^-$. Чванг [34] доказывает, что структура эквивариантного пополнения $P_u^-$ на $G/P$ единственна с точностью до изоморфизма, если $G/P$ не изоморфно проективному пространству и пара $(G,P)$ не исключительная в смысле предыдущего пункта. Доказательство использует понятие гладкого VMRT и в основном следует схеме доказательства Фу и Хвана [51]. Основное отличие состоит в инструментах, используемых для получения продолжения локально определённого отображения на объемлющее пространство (это продолжение наиболее существенно в доказательстве единственности): Фу и Хван используют теорему Картана–Фубини о продолжении, которая применима только к гладким многообразиям Фано с числом Пикара 1, а Чванг использует результат Ямагучи о продолжении простых градуированных алгебр Ли. Для исключительных пар $(G,P)$ вопрос о том, допускает ли $G/P$ единственную структуру эквивариантного пополнения $P_u^-$, остаётся открытым. 3.4. Вырождения многообразий флагов в эквивариантные пополненияСогласно теореме 3.6 не так много многообразий флагов допускают аддитивное действие. В то же время в статье [45] Фейгин предлагает конструкцию канонического плоского вырождения произвольного многообразия флагов в проективное многообразие с аддитивным действием. Этот результат можно рассматривать как аддитивный аналог активно изучаемых плоских вырождений многообразий флагов в торические многообразия (см. [25], [58], [79]). Пусть $G$ – простая линейная алгебраическая группа с алгеброй Ли ${\mathfrak g}$. Напомним, что каждое многообразие флагов $G/P$ может быть реализовано как $G$-орбита $G[v_{\lambda}]\subseteq\mathbb{P}(V(\lambda))$ в проективизации простого $G$-модуля $V(\lambda)$ со старшим вектором $v_{\lambda}$. Здесь мы обозначаем $[v_{\lambda}]=\mathbb{K} v_{\lambda}$ и полагаем $\mathcal{F}_{\lambda}:=G[v_{\lambda}]$. Фейгин вводит новое семейство многообразий $\mathcal{F}_{\lambda}^a$, являющихся плоскими вырождениями орбиты $\mathcal{F}_{\lambda}$; индекс $a$ означает абелевость. Многообразие $\mathcal{F}_{\lambda}^a$ определяется следующим образом. Пусть $\{F_s, \ s\geqslant 0\}$ – это PBW-фильтрация (фильтрация Пуанкаре–Биркгофа–Витта) на $V(\lambda)$:
$$
\begin{equation*}
F_s=\operatorname{Span}\{x_1\ldots x_lv_{\lambda}\colon x_i\in{\mathfrak g},\ l\leqslant s\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $V(\lambda)^a=F_0\oplus \displaystyle\bigoplus_{s\geqslant 0} F_{s+1}/F_s$. Пусть ${\mathfrak g}={\mathfrak n}\oplus{\mathfrak t}\oplus{\mathfrak n}^-$ – разложение Картана. Пространство $V(\lambda)^a$ имеет естественную структуру модуля над вырожденной алгеброй ${\mathfrak g}^a$, где алгебра ${\mathfrak g}^a$ изоморфна ${\mathfrak g}$ как векторное пространство и является полупрямой суммой двух подалгебр, первая из которых – борелевская подалгебра ${\mathfrak b}={\mathfrak n}\oplus{\mathfrak t}$, а вторая – абелев идеал $({\mathfrak n}^-)^a$, изоморфный ${\mathfrak n}$ как векторное пространство. Структура ${\mathfrak b}$-модуля на $({\mathfrak n}^-)^a$ определяется отождествлением пространства $({\mathfrak n}^-)^a$ с фактормодулем ${\mathfrak g}/{\mathfrak b}$. Соответствующая алгебраическая группа $G^a$ является полупрямым произведением $B\rightthreetimes \mathbb{G}_a^n$, где $n$ – размерность пространства ${\mathfrak n}$. Определим многообразие $\mathcal{F}_{\lambda}^a$ как замыкание орбиты старшего вектора относительно группы $\mathbb{G}_a^n$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{\lambda}^a:=\overline{\mathbb{G}_a^n[v_{\lambda}]}\subseteq \mathbb{P}(V(\lambda)^a).
\end{equation*}
\notag
$$
По определению это многообразие обладает аддитивным действием. Так как старший вектор $v_{\lambda}$ является $B$-полуинвариантным, многообразие $\mathcal{F}_{\lambda}^a$ также инвариантно относительно действия группы $G^a$. В отличие от случая обычных многообразий флагов, здесь действие группы $G^a$ на $\mathcal{F}_{\lambda}^a$ не всегда транзитивно. Пусть ${\mathfrak p}$ – параболическая подалгебра, аннулирующая вектор $v_{\lambda}$. Предположим на время, что нильпотентный радикал ${\mathfrak p}_u^-$ коммутативен. Тогда все корневые операторы из ${\mathfrak n}^-\setminus{\mathfrak p}_u^-$ аннулируют вектор $v_{\lambda}$, в то время как операторы из ${\mathfrak p}_u^-$ действуют как попарно различные коммутирующие операторы в $V(\lambda)$ даже до перехода к $V(\lambda)^a$. Тем самым, в этом случае нет разницы между исходным многообразием $\mathcal{F}_{\lambda}$ и вырожденным многообразием $\mathcal{F}_{\lambda}^a$. По теореме 3.6 это в точности случай, когда многообразие $\mathcal{F}_{\lambda}$ само допускает аддитивное действие. В случае группы типа $A$ многообразия $\mathcal{F}_{\lambda}$ изоморфны частичным многообразиям флагов. В частности, фундаментальным весам $\lambda$ соответствуют грассманианы $\operatorname{Gr}(d,n)$. Существует вложение многообразия частичных флагов в произведение проективных пространств, и образ этого вложения задан соотношениями Плюккера. Эти соотношения описывают координатные кольца на аффинных конусах над многообразиями флагов. В работе Фейгина [45] показано, что каждое вырожденное многообразие флагов может быть вложено в произведение грассманианов и, таким образом, в произведение проективных пространств. Фейгин показывает, что это вложение может быть описано в терминах явного множества мультиоднородных алгебраических уравнений, получаемых из соотношений Плюккера определённым вырождением. Он доказывает, что вырождение $\mathcal{F}_{\lambda}\to\mathcal{F}_{\lambda}^a$ является плоским. Дальнейшие результаты о многообразиях $\mathcal{F}_{\lambda}^a$ можно найти в работах [45], [46], [27] и ссылках в них. Статья [46] посвящена изучению многообразий $\mathcal{F}_{\lambda}^a$ для групп типа $A$. Авторы доказывают, что в этом случае многообразие $\mathcal{F}_{\lambda}^a$ имеет рациональные особенности, является нормальным и локально полным пересечением, а также явно строят разрешение особенностей $R_{\lambda}$ многообразия $\mathcal{F}_{\lambda}^a$. Многообразие $R_{\lambda}$ можно рассматривать как башню подходящих $\mathbb{P}^1$-расслоений, получая аналог классического разрешения особенностей Ботта–Самельсона–Демазюра–Хансена. Доказано, что многообразие $R_{\lambda}$ является расщепимым по Фробениусу. Это даёт расщепление Фробениуса для вырожденных многообразий флагов и позволяет доказать теорему типа Бореля–Вейля для $\mathcal{F}_{\lambda}^a$. Цель статьи [27] – связать вырожденные многообразия флагов с колчанными грассманианами. По определению колчанные грассманианы – это многообразия, параметризующие подпредставления в пространстве представлений колчана. Оказывается, определённые колчанные грассманианы для колчанов типа $A$ изоморфны вырожденным многообразиям флагов $\mathcal{F}_{\lambda}^a$. Это приводит к рассмотрению класса грассманианов подпредставлений прямой суммы проективного и инъективного представления колчана Дынкина. Доказано, что они являются (обычно особыми) неприводимыми нормальными локальными полными пересечениями, допускающими действие линейной алгебраической группы с конечным числом орбит и обладающими клеточным разбиением. 4. Аддитивные действия на торических многообразияхВ этом разделе мы изучаем аддитивные действия на торических многообразиях. Чтобы это сделать, нам нужно развить новую технику, а именно, мы рассматриваем градуированные алгебры и однородные локально нильпотентные дифференцирования таких алгебр. Для применения этой техники нам хотелось бы иметь глобальные координаты на любом торическом многообразии. Такие координаты могут быть получены с помощью колец Кокса. В случае торического многообразия $X$ кольцо Кокса $R(X)$ является кольцом многочленов от $m$ переменных, где $m$ – число простых инвариантных относительно тора дивизоров на $X$. Более того, кольцо $R(X)$ градуировано группой классов дивизоров $\operatorname{Cl}(X)$, и локально нильпотентные дифференцирования, соответствующие действиям группы $\mathbb{G}_a$ на $X$, нормализуемым действующим тором, представлены так называемыми корнями Демазюра соответствующего веера. Это позволяет охарактеризовать аддитивные действия на $X$, нормализуемые действующим тором, в терминах определённых наборов корней Демазюра. В частности, мы получаем комбинаторное описание вееров торических многообразий, допускающих нормализуемое аддитивное действие. Мы показываем, что с точностью до эквивалентности существует не более одного нормализуемого аддитивного действия на любом торическом многообразии. Далее, мы доказываем, что если полное торическое многообразие $X$ допускает аддитивное действие, то оно допускает и нормализуемое аддитивное действие. Более того, это выполнено тогда и только тогда, когда максимальная унипотентная подгруппа $U$ в $\operatorname{Aut}(X)$ действует на $X$ с открытой орбитой. Получена характеризация многогранников, соответствующих проективным торическим многообразиям, допускающим аддитивное действие. В п. 4.5 мы описываем аддитивные действия на полных торических поверхностях $X$. Оказывается, в этом случае существует не более двух аддитивных действий на $X$. Пункт 4.6 содержит критерий единственности аддитивного действия на полном торическом многообразии $X$ произвольной размерности: если $X$ допускает нормализуемое аддитивное действие, то любое аддитивное действие на $X$ эквивалентно нормализуемому аддитивному действию тогда и только тогда, когда максимальная унипотентная подгруппа $U$ в $\operatorname{Aut}(X)$ коммутативна. Последнее условие легко проверить в терминах веера. 4.1. Градуированные алгебры и локально нильпотентные дифференцированияВ этом пункте мы следуем изложению работы [11]. Рассмотрим неприводимое аффинное многообразие $X$ с эффективным действием алгебраического тора $T$. Пусть $M$ – решётка характеров тора $T$ и $N=\operatorname{Hom}(M,\mathbb{Z})$ – двойственная решётка однопараметрических подгрупп $T$. Обозначим через $B=\mathbb{K}[X]$ алгебру регулярных функций на $X$. Хорошо известно, что существует биекция между точными действиями тора $T$ на $X$ и эффективными $M$-градуировками на $B$. Фактически алгебра $B$ градуирована полугруппой точек решётки внутри выпуклого полиэдрального конуса $\omega\subseteq M_{\mathbb Q}=M\otimes_{\mathbb{Z}}{\mathbb Q}$. Имеется разложение где $\omega_{M}=\omega\cap M$ и $\chi^m$ – характер тора $T$, соответствующий точке $m\in M$.Дифференцирование $\partial$ алгебры $B$ называется локально нильпотентным (ЛНД), если для любого $f\in B$ существует такое $k\in\mathbb{Z}_{>0}$, что $\partial^k(f)=0$. Для любого ЛНД $\partial$ на $B$ отображение $\varphi_{\partial}\colon\mathbb{G}_a\times B\to B$, $\varphi_{\partial}(s,f)=\exp(s\partial)(f)$, определяет структуру рациональной $\mathbb{G}_a$-алгебры на $B$. Она даёт регулярное действие $\mathbb{G}_a\times X\to X$, где $X=\operatorname{Spec} B$. На самом деле любое регулярное действие группы $\mathbb{G}_a$ на $X$ получается таким образом (см. [49; разд. 1.5]). Дифференцирование $\partial$ на $B$ называется однородным, если оно сохраняет $M$-градуировку, т. е. отображает однородные элементы в однородные. Если элементы $f,h\in B\setminus \ker\partial$ однородны, то элемент $\partial(fh)=f\partial(h)+\partial(f)h$ также однороден и $\deg\partial(f)-\deg f=\deg\partial(h)-\deg h$. Таким образом, каждое однородное дифференцирование $\partial$ имеет корректно определённую степень, задаваемую как $\deg\partial=\deg\partial(f)-\deg f$ для любого однородного $f\in B\setminus \ker\partial$. Легко видеть, что ЛНД на $B$ однородно тогда и только тогда, когда соответствующая подгруппа $\mathbb{G}_a$ нормализуется тором $T$ в группе автоморфизмов $\operatorname{Aut}(X)$ (ср. [49; разд. 3.7]). Пусть $X$ – аффинное торическое многообразие, т. е. нормальное аффинное многообразие с эффективным действием тора $T$ с открытой орбитой. В этом случае
$$
\begin{equation*}
B=\bigoplus_{m\in \omega_{M}}\mathbb{K}\chi^m=\mathbb{K}[\omega_{M}]
\end{equation*}
\notag
$$
является полугрупповой алгеброй. Напомним, что для данного конуса $\omega\subseteq M_{\mathbb Q}$, его двойственный конус $\sigma\subseteq N_{\mathbb Q}$ определяется как
$$
\begin{equation*}
\sigma=\{p\in N_{\mathbb{Q}} \colon \langle p,v\rangle\geqslant0\ \forall v\in\omega\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ – спаривание $N_{\mathbb{Q}}\times M_{\mathbb{Q}}\to{\mathbb Q}$ между двойственными пространствами $N_{\mathbb{Q}}$ и $M_{\mathbb{Q}}$. Пусть $\sigma(1)$ – множество лучей конуса $\sigma$ и $p_{\rho}$ – примитивный вектор решётки на луче $\rho$. Для $\rho\in\sigma(1)$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{R}_{\rho}:=\{e\in M\colon \langle p_{\rho},e\rangle=-1\ \text{и}\ \langle p_{\rho'},e\rangle\geqslant0\ \forall\,\rho'\in \sigma(1), \ \rho'\ne\rho\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что множество $\mathfrak{R}_{\rho}$ бесконечно для любого $\rho\in\sigma(1)$ при размерности конуса $\sigma$ не меньше 2. Элементы множества $\mathfrak{R}:= \displaystyle\bigsqcup_{\rho\in\sigma(1)}\mathfrak{R}_{\rho}$ называются корнями Демазюра конуса $\sigma$. Пусть $e\in\mathfrak{R}_{\rho}$. Тогда $\rho$ называется лучом, ассоциированным с корнем $e$. Можно определить однородное ЛНД алгебры $B$ формулой
$$
\begin{equation*}
\partial_e(\chi^m)=\langle p_{\rho},m\rangle\chi^{m+e}.
\end{equation*}
\notag
$$
На самом деле любое однородное ЛНД на $B$ имеет вид $\alpha\partial_e$ для некоторых $\alpha\in\mathbb{K}$, $e\in \mathfrak{R}$ (см. [80; теорема 2.7]). Другими словами, действия группы $\mathbb{G}_a$ на $X$, нормализуемые действующим тором, находятся в биекции с корнями Демазюра конуса $\sigma$. Пример 4.1. Рассмотрим $X=\mathbb{K}^n$ со стандартным действием тора $(\mathbb{K}^{\times})^n$. Это торическое многообразие с конусом $\sigma={\mathbb Q}^n_{\geqslant0}$, имеющим лучи $\rho_i=\langle p_i\rangle_{{\mathbb Q}_{\geqslant0}}$ для Такое ЛНД определяет действие группы $\mathbb{G}_a$
$$
\begin{equation*}
x_i\mapsto x_i+sx^e, \qquad x_j\mapsto x_j \quad\text{для } j\ne i, \qquad s\in\mathbb{G}_a.
\end{equation*}
\notag
$$
4.2. Кольца Кокса и корни ДемазюраМы сохраняем обозначения предыдущего пункта и продолжаем следовать [11]. Пусть $X$ – торическое многообразие размерности $n$ с действующим тором $T$. Сейчас мы не предполагаем, что $X$ аффинно, так что $X$ представлено веером $\Sigma$ выпуклых полиэдральных конусов в $N_{\mathbb Q}$ (см. подробнее в [55] или [37]). Пусть $\Sigma(1)$ – множество лучей веера $\Sigma$, и пусть $p_{\rho}$ – примитивный вектор решётки на луче $\rho$. Для $\rho\in\Sigma(1)$ мы рассматриваем множество $\mathfrak{R}_{\rho}$ всех таких векторов $e\in M$, что
Заметим, что (a) влечёт (b), если $\Sigma$ – веер с выпуклым носителем. Это выполнено в случае аффинного или полного многообразия $X$. Элементы множества $\mathfrak{R}:= \displaystyle\bigsqcup_{\rho\in\Sigma(1)}\mathfrak{R}_{\rho}$ называются корнями Демазюра веера $\Sigma$ (ср. [38; определение 4] и [91; разд. 3.4]). Снова элементы $e\in\mathfrak{R}$ находятся в биекции с действиями группы $\mathbb{G}_a$ на $X$, нормализуемыми действующим тором (см. [38; теорема 3] и [91; предложение 3.14]). Если $X$ аффинно, то действие группы $\mathbb{G}_a$, заданное корнем Демазюра $e$, совпадает с действием, соответствующим локально нильпотентному дифференцированию $\partial_e$ алгебры $\mathbb{K}[X]$, определённому в предыдущем пункте. Обозначим через $H_e$ образ в $\operatorname{Aut}(X)$ группы $\mathbb{G}_a$ при этом действии. Таким образом, $H_e$ является однопараметрической унипотентной подгруппой, нормализуемой тором $T$ в $\operatorname{Aut}(X)$. Напомним базовые факты торической геометрии. Существует биекция между конусами $\sigma\in\Sigma$ и $T$-орбитами $\mathcal{O}_{\sigma}$ на $X$, при которой $\sigma_1\subseteq\sigma_2$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{O}_{\sigma_2}\subseteq\overline{\mathcal{O}_{\sigma_1}}$. Здесь $\dim\mathcal{O}_{\sigma}=n-\dim\langle\sigma\rangle$. Более того, каждый конус $\sigma\in\Sigma$ определяет такое открытое аффинное $T$-инвариантное подмножество $U_{\sigma}$ на $X$, что $\mathcal{O}_{\sigma}$ является единственной замкнутой $T$-орбитой на $U_{\sigma}$, и $\sigma_1\subseteq\sigma_2$ тогда и только тогда, когда $U_{\sigma_1}\subseteq U_{\sigma_2}$. Пусть $\rho_e$ – луч, ассоциированный с корнем $e$, $p_e$ – примитивный вектор решётки на $\rho_e$ и $R_e$ – однопараметрическая подгруппа тора $T$, соответствующая вектору $p_e$. Обозначим через $X^{H_e}$ множество точек на $X$, неподвижных относительно действия группы $H_e$. Нашей целью является описание действия группы $H_e$ на $X$. Предложение 4.2 [11; предложение 1]. Для каждой точки $x\in X\setminus X^{H_e}$ орбита $H_ex$ пересекает в точности две $T$-орбиты $\mathcal{O}_1$ и $\mathcal{O}_2$ на $X$, где $\dim\mathcal{O}_1=\dim\mathcal{O}_2+1$. Пересечение $\mathcal{O}_2\cap H_ex$ состоит из одной точки, в то время как Доказательство. Из доказательства предложения 3.14 в [91] следует, что аффинные карты $U_{\sigma}$, где $\sigma\in\Sigma$ – конус, содержащий $\rho_e$, являются инвариантными относительно $H_e$, и дополнение к их объединению содержится в $X^{H_e}$. Это сводит доказательство к случаю аффинного $X$. Соответствующее утверждение доказано в [13; предложение 2.1]. Пара $T$-орбит $(\mathcal{O}_1,\mathcal{O}_2)$ на $X$ называется $H_e$-связанной, если $H_ex\subseteq\mathcal{O}_1\cup\mathcal{O}_2$ для некоторого $x\in X\setminus X^{H_e}$. Согласно предложению 4.2, для такой пары выполнено $\mathcal{O}_2\subseteq\overline{\mathcal{O}_1}$ (с точностью до перестановки) и $\dim\mathcal{O}_1=\dim\mathcal{O}_2+1$. Так как тор нормализует подгруппу $H_e$, любая точка в $\mathcal{O}_1\cup\mathcal{O}_2$ может выступать в качестве точки $x$. Лемма 4.3 [11; лемма 1]. Пара $T$-орбит $(\mathcal{O}_{\sigma_1},\mathcal{O}_{\sigma_2})$ является $H_e$-связанной тогда и только тогда, когда $e\big|_{\sigma_2}\leqslant 0$ и $\sigma_1$ является гранью конуса $\sigma_2$, заданной уравнением $\langle v,e\rangle=0$. Доказательство вновь сводится к аффинному случаю, который доказан в [13; лемма 2.2]. Теперь мы напомним базовые ингредиенты конструкции Кокса (см. подробности в [6; гл. 1]). Пусть $X$ – нормальное многообразие со свободной конечно порождённой группой классов дивизоров $\operatorname{Cl}(X)$, и пусть обратимыми регулярными функциями на $X$ являются только константы. Обозначим через $\operatorname{WDiv}(X)$ группу дивизоров Вейля на $X$ и зафиксируем подгруппу $K \subseteq \operatorname{WDiv}(X)$, которая отображается на $\operatorname{Cl}(X)$ изоморфно. Кольцо Кокса многообразия $X$ определяется как где $H^0(X,D)=\{f\in\mathbb{K}(X)^{\times}\colon \operatorname{div}(f)+ D\geqslant0\}\cup\{0\}$, умножение на однородных компонентах совпадает с умножением в поле рациональных функций $\mathbb{K}(X)$ и продолжается на $R(X)$ по линейности. Легко видеть, что с точностью до изоморфизма градуированное кольцо $R(X)$ не зависит от выбора подгруппы $K$.В [36] доказано, что если $X$ торическое, то $R(X)$ является алгеброй многочленов $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m]$, где переменные $x_i$ соответствуют $T$-инвариантным простым дивизорам $D_i$ на $X$ или, эквивалентно, лучам $\rho_i$ веера $\Sigma_X$. Градуировка группой $\operatorname{Cl}(X)$ на $R(X)$ определяется равенствами $\deg x_i=[D_i]$, $i=1,\dots,m$. Предположим, что кольцо Кокса $R(X)$ конечно порождено. Тогда многообразие $\overline{X}:=\operatorname{Spec}R(X)$ называется тотальным координатным пространством многообразия $X$. Это аффинное факториальное многообразие с действием тора $H_X:=\operatorname{Spec}\mathbb{K}[\operatorname{Cl}(X)]$. Существует такое открытое $H_X$-инвариантное подмножество $\widehat{X}\subseteq \overline{X}$, что дополнение $\overline{X}\setminus\widehat{X}$ имеет коразмерность не меньше 2 в $\overline{X}$, существует хороший фактор $p_X\colon\widehat{X}\to\widehat{X}/\!/H_{X}$ и факторпространство $\widehat{X}/\!/H_{X}$ изоморфно $X$ (см. [6; конструкция 1.6.3.1]). Если $X$ гладко, то отображение факторизации $p_X\colon\widehat{X}\to\widehat{X}/\!/H_{X}$ называется универсальным торсором над $X$. Таким образом, имеет место диаграмма Если $X$ торическое, то $\overline{X}$ изоморфно $\mathbb{K}^m$ и $\overline{X}\setminus\widehat{X}$ является объединением некоторых координатных плоскостей в $\mathbb{K}^m$ коразмерности не меньше 2 (см. [36]).Согласно [6; теорема 4.2.3.2] любое действие группы $\mathbb{G}_a$ на многообразии $X$ может быть поднято до действия группы $\mathbb{G}_a$ на многообразии $\overline{X}$, коммутирующего с действием тора $H_X$. Если $X$ торическое и действие группы $\mathbb{G}_a$ нормализуется действующим тором $T$, то поднятое действие группы $\mathbb{G}_a$ на $\mathbb{K}^m$ нормализуется диагональным тором $(\mathbb{K}^{\times})^m$. Обратно, любое действие группы $\mathbb{G}_a$ на $\mathbb{K}^m$, нормализуемое тором $(\mathbb{K}^{\times})^m$ и коммутирующее с тором $H_X$, индуцирует действие группы $\mathbb{G}_a$ на $X$. Это показывает, что действия группы $\mathbb{G}_a$ на $X$, нормализуемые тором $T$, находятся в биекции с локально нильпотентными дифференцированиями кольца Кокса $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m]$, однородными относительно стандартной градуировки решёткой $\mathbb{Z}^m$ и имеющими нулевую степень относительно $\operatorname{Cl}(X)$-градуировки. 4.3. Нормализуемые аддитивные действияПусть $X$ – нормальное многообразие, допускающее аддитивное действие с открытой орбитой $\mathcal{U}$. Согласно предложению 3.1 любая обратимая регулярная функция на $X$ постоянна и группа классов дивизоров $\operatorname{Cl}(X)$ свободно порождена классами $[D_1],\dots,[D_l]$ таких простых дивизоров, что $X\setminus\mathcal{U}=D_1\cup\cdots\cup D_l$. В частности, кольцо Кокса $R(X)$ для такого многообразия $X$ корректно определено. Теперь предположим, что $X$ – торическое многообразие и аддитивное действие $\mathbb{G}_a^n\times X\to X$ нормализуется действующим тором $T$. Тогда группа $\mathbb{G}_a^n$ является прямым произведением $n$ подгрупп $\mathbb{G}_a$, каждая из которых нормализуется тором $T$. Они соответствуют попарно коммутирующим однородным локально нильпотентным дифференцированиям на кольце Кокса $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m]$, имеющим степень нуль относительно $\operatorname{Cl}(X)$-градуировки. В свою очередь, такие дифференцирования с точностью до умножения на скаляры находятся в биекции с корнями Демазюра веера $\Sigma_X$. Рассмотрим множество однородных дифференцирований $\partial_{e}$ алгебры многочленов $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m]$, соответствующих некоторым корням Демазюра $e$ веера $\Sigma_X$. Лемма 4.4 [11; лемма 2]. Дифференцирования $\partial_e$ и $\partial_{e'}$ коммутируют тогда и только тогда, когда либо $\rho_e=\rho_{e'}$, либо $\langle p_e,e'\rangle=\langle p_{e'},e\rangle=0$. Теперь мы переходим к ключевому определению. Определение 4.5. Множество $e_1,\dots,e_n$ корней Демазюра веера $\Sigma$ размерности $n$ называется полным набором, если $\langle p_i,e_j\rangle=-\delta_{ij}$ для всех $1\leqslant i,j\leqslant n$, где $\delta_{ij}$ – символ Кронекера. В этом случае векторы $p_1,\dots,p_n$ образуют базис решётки $N$, а векторы $-e_1,\dots,-e_n$ составляют сопряжённый базис двойственной решётки $M$. Следующий результат можно рассматривать как комбинаторное описание нормализуемых аддитивных действий на торических многообразиях. Теорема 4.6 [11; теорема 1]. Пусть $X$ – торическое многообразие. Тогда аддитивные действия на $X$, нормализуемые действующим тором $T$, находятся в биекции с полными наборами корней Демазюра веера $\Sigma_X$. Как мы видели, нормализуемое аддитивное действие на $X$ определяет $n$ попарно коммутирующих однородных локально нильпотентных дифференцирований кольца Кокса $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m]$. Они имеют вид $\partial_e$ для некоторых корней Демазюра $e$. Поэтому теорема 4.6 напрямую вытекает из следующей леммы. Лемма 4.7 [11; лемма 3]. Однородные локально нильпотентные дифференцирования $\partial_1,\dots,\partial_n$ кольца Кокса $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m]$, соответствующие корням Демазюра $e_1,\dots,e_n$, определяют нормализуемое аддитивное действие на $X$ тогда и только тогда, когда $e_1,\dots,e_n$ образуют полный набор. Доказательство. Предположим, что дифференцирования $\partial_1,\dots,\partial_n$ определяют аддитивное действие $\mathbb{G}_a^n\times X\to X$. Если корни $e_i$ и $e_j$ при $i\ne j$ соответствуют одному лучу веера $\Sigma_X$, то действие группы $\mathbb{G}_a^n$ меняет не более $n-1$ координаты в кольце $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m]$ и никакая $\mathbb{G}_a^n$-орбита на $X$ не может иметь размерность $n$. Тогда из леммы 4.4 следует, что $\langle p_i,e_j\rangle=0$ для $i\ne j$. По определению $\langle p_i,e_i\rangle=-1$, и, значит, $e_1,\dots,e_n$ образуют полный набор. Обратно, если $e_1,\dots,e_n$ – полный набор, то соответствующие однородные локально нильпотентные дифференцирования коммутируют. Они определяют действие группы $\mathbb{G}_a^n$ на $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_m]$ и, значит, на $\mathbb{K}^m$. Это действие спускается на $X$. Надо показать, что действие группы $\mathbb{G}_a^n$ на $X$ имеет открытую орбиту. Для этого достаточно проверить, что группа $\mathbb{G}_a^n\times H_X$ действует на $\mathbb{K}^m$ с открытой орбитой. По построению группа $\mathbb{G}_a^n$ меняет ровно $n$ из координат $x_1,\dots,x_m$, в то время как веса оставшихся $m-n$ координат относительно $\operatorname{Cl}(X)$-градуировки образуют базис решётки характеров тора $H_X$. Это показывает, что стабилизатор точки $(1,\dots,1)\in\mathbb{K}^m$ в группе $\mathbb{G}_a^n\times H_X$ тривиален. Так как $\dim(\mathbb{G}_a^n\times H_X)=n+m-n=m$, мы получаем, что $(\mathbb{G}_a^n\times H_X)$-орбита точки $(1,\dots,1)$ открыта в $\mathbb{K}^m$. Лемма доказана. Следствие 4.8. Торическое многообразие $X$ допускает нормализуемое аддитивное действие тогда и только тогда, когда существует полный набор корней Демазюра веера $\Sigma_X$. Замечание 4.9. В работе [8] можно найти ещё одно применение корней Демазюра к теории эквивариантных пополнений коммутативных линейных алгебраических групп. Следующая теорема показывает, что нормализуемое аддитивное действие на торическом многообразии по существу единственно. Теорема 4.10 [11; теорема 2]. Любые два нормализуемых аддитивных действия на торическом многообразии эквивалентны. Пусть $X$ – полное торическое многообразие с действующим тором $T$. Хорошо известно, что группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}(X)$ – линейная алгебраическая группа, для которой $T$ является максимальным тором (см. [38], [36]). В частности, $\operatorname{Aut}(X)$ содержит максимальную унипотентную подгруппу $U$, и все такие подгруппы сопряжены в $\operatorname{Aut}(X)$. Теорема 4.11 [11; теорема 3]. Пусть $X$ – полное торическое многообразие с действующим тором $T$. Следующие условия эквивалентны: Таким образом, следствие 4.8 характеризует полные торические многообразия, допускающие некоторое аддитивное действие. Следствие 4.12. Полное торическое многообразие $X$ допускает аддитивное действие тогда и только тогда, когда существует полный набор корней Демазюра веера $\Sigma_X$. В терминах веера $\Sigma_X$ это условие означает, что с точностью до перенумерации первые $n$ примитивных векторов $p_1,\dots,p_n$ на лучах $\Sigma_X$ образуют базис решётки $N$, а оставшиеся примитивные векторы $p_{n+1},\dots,p_m$ имеют неположительные координаты в этом базисе. 4.4. Проективные торические многообразия и многогранникиКак хорошо известно, существует соответствие между выпуклыми целочисленными многогранниками и проективными торическими многообразиями. Целью этого пункта является характеризация многогранников, соответствующих торическим многообразиям, допускающим аддитивное действие. Мы начинаем с предварительных сведений; см. подробнее в [37; гл. 2] и [55; разд. 1.5]. Пусть $M$ – решётка ранга $n$ и $P$ – полноразмерный выпуклый многогранник в пространстве $M_{\mathbb Q}$. Мы говорим, что $P$ является целочисленным многогранником, если все его вершины принадлежат $M$. Подполугруппа $S\subseteq M$ называется насыщенной, если $S$ совпадает с пересечением группы $\mathbb{Z}S$ и конуса ${\mathbb Q}_{\geqslant 0}S$, которые она порождает. Целочисленный многогранник $P$ называется очень обильным, если для любой вершины $v\in P$ полугруппа $S_{P,v}:=\mathbb{Z}_{\geqslant 0}(P\cap M-v)$ насыщенная. Известно, что для любого целочисленного многогранника $P$ и любого $k\geqslant n-1$ многогранник $kP$ очень обилен (см. [37; следствие 2.2.19]). Рассмотрим в качестве $M$ решётку характеров тора $T$. Пусть $P\subseteq M_{\mathbb Q}$ – очень обильный многогранник и $P\cap M=\{m_1,\dots,m_s\}$. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
T\to\mathbb{P}^{s-1}, \quad t\mapsto [\chi^{m_1}(t):\cdots:\chi^{m_s}(t)],
\end{equation*}
\notag
$$
и определим многообразие $X_P$ как замыкание образа этого отображения в $\mathbb{P}^{s-1}$. Известно, что $X_P$ является проективным торическим многообразием с действующим тором $T$ и любое проективное торическое многообразие получается таким образом. Определение 4.13. Будем говорить, что очень обильный многогранник $P$ вписан в прямоугольник (см. рис. 2), если существует такая вершина $v_0\in P$, что Теорема 4.14 [11; теорема 4]. Пусть $P$ – очень обильный многогранник и $X_P$ – соответствующее проективное торическое многообразие. Тогда $X_P$ допускает аддитивное действие в том и только том случае, когда многогранник $P$ вписан в прямоугольник. Доказательство. По следствию 4.12 торическое многообразие $X$ допускает аддитивное действие тогда и только тогда, когда веер $\Sigma_X$ обладает полным набором корней Демазюра. Согласно [37; предложение 3.1.6] веер $\Sigma_{X_P}$ торического многообразия $X_P$, соответствующего многограннику $P$, совпадает с нормальным веером $\Sigma_P$ многогранника $P$. Напрямую проверяется, что два условия определения 4.13 – это в точности условия того, что векторы $-e_1,\dots,-e_n$ образуют полный набор корней Демазюра веера $\Sigma_P$. Замечание 4.15. Результат теоремы 4.14 может быть также получен с использованием языка политопальных линейных алгебраических групп, развитого в [23]. Проиллюстрируем этот подход двумя примерами. Отрезок $P=[0,d]$ в ${\mathbb Q}^1$ при $d\in\mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ является многогранником, вписанным в прямоугольник, и многообразие
$$
\begin{equation*}
X_P=\overline{\{[1:a:\cdots:a^d] \mid a\in\mathbb{K}\}}\subseteq\mathbb{P}^d
\end{equation*}
\notag
$$
является рациональной нормальной кривой степени $d$. Далее, многогранник, изображённый на рис. 3, определяет поверхность
$$
\begin{equation*}
X_P=\overline{\{[1:a:a^2:b:ab:a^2b:b^2:ab^2:b^3] \mid a,b\in\mathbb{K}\}} \subseteq\mathbb{P}^8,
\end{equation*}
\notag
$$
изоморфную поверхности Хирцебруха $\mathbb{F}_1$. Приведём некоторые явные формулы для аддитивных действий на торических многообразиях в терминах колец Кокса. Пример 4.16. Веер проективного пространства $X=\mathbb{P}^n$ порождён базисом $p_1,\dots,p_n$ решётки $\mathbb{Z}^n$ и вектором $p_0=-p_1-\cdots-p_n$. Полный набор корней Демазюра $e_i$, $1 \leqslant i \leqslant n$, состоящий из векторов, противоположных векторам базиса, сопряжённого к $p_1,\dots,p_n$, соответствует попарно коммутирующим локально нильпотентным дифференцированиям $\partial_{e_i}=x_0\,\partial/\partial x_i$, $1\leqslant i \leqslant n$, на кольце Кокса $R(X)=\mathbb{K}[x_0,\dots,x_n]$. Они задают действие Рассмотрим подробнее случай $n=2$. Максимальная унипотентная подгруппа группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}(\mathbb{P}^2)$ изоморфна подгруппе верхних унитреугольных матриц в $\operatorname{GL}_3(\mathbb{K})$ и состоит из преобразований вида
$$
\begin{equation*}
[z_0:z_1:z_2]\mapsto [z_0:z_1+a_{12}z_0:z_2+a_{23}z_1+a_{13}z_0], \qquad a_{12},a_{23},a_{13} \in \mathbb{K}.
\end{equation*}
\notag
$$
Двумерные (коммутативные) подгруппы этой группы имеют вид
$$
\begin{equation*}
H_{[\alpha:\beta]}=\left\{\begin{pmatrix} 1 & \alpha a & b \\ 0 & 1 & \beta a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\!, \ a,b \in \mathbb{K}\right\}
\end{equation*}
\notag
$$
для всевозможных точек $[\alpha:\beta] \in \mathbb{P}^1$. При $[\alpha:\beta]=[0:1]$ соответствующее действие группы $\mathbb{G}_a^2$ не имеет открытой орбиты, при $[\alpha:\beta]=[1:0]$ получаем нормализуемое аддитивное действие (4.1), а точки $[\alpha:\beta] \in \mathbb{P}^1 \setminus \{0,\infty\}$ задают попарно изоморфные ненормализуемые аддитивные действия с тремя орбитами (см. пример 1.50). Пример 4.17. Аналогично примеру 4.16 можно проверить, что нормализуемое аддитивное действие на произведении $\mathbb{P}^1\times\cdots\times\mathbb{P}^1$ и соответствующее ему действие на тотальном координатном пространстве $\mathbb{A}^{2n}$ задаются формулами Это показывает, что число $\mathbb{G}_a^n$-орбит на $\mathbb{P}^1\times\cdots\times\mathbb{P}^1$ равно $2^n$. Пример 4.18. Пусть $X$ – поверхность Хирцебруха $\mathbb{F}_d$. Её веер порождён векторами В этом случае корнями Демазюра являются векторы $(1,0)$, $(-1,0)$ и $(k,1)$, $0\leqslant k\leqslant d$, а соответствующие однородные локально нильпотентные дифференцирования – это
$$
\begin{equation*}
x_1\,\frac{\partial}{\partial x_3}\,, \quad x_3\,\frac{\partial}{\partial x_1}\,, \quad x_1^kx_2x_3^{d-k}\,\frac{\partial}{\partial x_4}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь имеется два полных набора корней Демазюра, а именно $(1,0)$, $(d,1)$ и $(-1,0)$, $(0,1)$. Они определяют два нормализуемых аддитивных действия на $X$, заданных на $\widehat{X}$ формулами
$$
\begin{equation*}
(x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto (x_1,x_2,x_3+s_1x_1,x_4+s_2x_1^dx_2)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
(x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto (x_1+s_1x_3,x_2,x_3,x_4+s_2x_2x_3^d)
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
и переходящих друг в друга при автоморфизме $(x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto (x_3,x_2,x_1,x_4)$. Согласно результатам [38] или [36] группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}(X)$ изоморфна $\mathbb{K}^{\times}\!\cdot \operatorname{PSL}_2 (\mathbb{K})\mathop{\rightthreetimes} \mathbb{G}_a^{d+1}$. Рассмотрим случай $d=1$. Тогда максимальная унипотентная подгруппа группы $\operatorname{Aut}(X)$ изоморфна подгруппе верхних унитреугольных матриц в $\operatorname{GL}_3(\mathbb{K})$ и действует следующим образом:
$$
\begin{equation*}
(x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto (x_1+a_{12}x_3,x_2,x_3,x_4+a_{23}x_1x_2+ a_{13}x_2x_3)
\end{equation*}
\notag
$$
с $a_{12},a_{23},a_{13} \in \mathbb{K}$. Её двумерные (коммутативные) подгруппы имеют вид $H_{[\alpha:\beta]}$ (см. пример 4.16). При $[\alpha:\beta]=[0:1]$ получаем действие $\mathbb{G}_a^2$ на $\mathbb{F}_1$ с однопараметрическим семейством одномерных орбит, при $[\alpha:\beta]=[1:0]$ – нормализуемое аддитивное действие (4.2), а точки $[\alpha:\beta] \in \mathbb{P}^1\setminus\{0,\infty\}$ задают попарно изоморфные ненормализуемые аддитивные действия на $\mathbb{F}_1$. Таким образом, существует ровно два класса эквивалентности аддитивных действий на $\mathbb{F}_1$. Этот результат получен в [62; предложение 5.5] с использованием геометрических соображений. Упомянем ещё один недавний результат об аддитивных действиях на торических многообразиях. В работе [99] Шафаревич классифицирует торические проективные гиперповерхности, допускающие аддитивное действие. Каждая торическая гиперповерхность размерности $n$ может быть представлена целочисленным многогранником в решётке $M$, внутри которого находятся ровно $n+2$ точки решётки. Поэтому вопрос состоит в том, когда такой многогранник вписан в прямоугольник. В [99; предложение 1] найдены все такие многогранники. Оказывается, что помимо проективного пространства существуют две торические проективные гиперповерхности, допускающие аддитивное действие в любой размерности $n\geqslant 2$; это квадрики рангов 3 и 4 (см. [99; теорема 2]). Используя результаты работы [36], Шафаревич вычисляет группы автоморфизмов этих квадрик. Затем он применяет соответствие между аддитивными действиями на проективных гиперповерхностях и парами $(A,U)$, где $A$ – локальная алгебра и $U$ – гиперплоскость в максимальном идеале алгебры $A$, порождающая алгебру $A$ (см. теорему 2.6), и находит (см. [99; разд. 5]) число неэквивалентных аддитивных действий на квадриках ранга 3 и 4 в размерностях от 2 до 4 (см. замечание 2.28). 4.5. Аддитивные действия на полных торических поверхностяхМы отмечали, что, последовательно раздувая неподвижные точки, можно получить бесконечно много различных (гладких) полных торических поверхностей, допускающих аддитивное действие. В этом пункте мы обсуждаем результат Джунусова [43], показывающий, как много аддитивных действий может быть на полной торической поверхности. Пусть $X_{\Sigma}$ – полное торическое многообразие размерности $n$, допускающее аддитивное действие, и $\Sigma$ – соответствующий веер. Начнём, следуя [43; разд. 5], с некоторых результатов о структуре множества корней Демазюра конуса $\Sigma$. Обозначим примитивные векторы на лучах веера $\Sigma$ через $p_i$, где $1\leqslant i\leqslant m$. Из теоремы 4.6 следует, что мы можем упорядочить векторы $p_i$ таким образом, что первые $n$ векторов образуют базис решётки $N$, а оставшиеся векторы $p_j$ ($n < j \leqslant m$) равны $\displaystyle\sum_{i=1}^n(-\alpha_{ji}p_i)$ для некоторых целых неотрицательных чисел $\alpha_{ji}$. Обозначим двойственный базис к базису $p_1,\dots, p_n$ через $p_1^*,\dots,p_n^*$ и положим ${\mathfrak R}_i={\mathfrak R}_{\rho_i}$. Лемма 4.19 [43; лемма 2]. Множество ${\mathfrak R}_i$ при $1\leqslant i\leqslant n$ является подмножеством множества $-p_i^*+\displaystyle\sum_{l=1,l\ne i}^n\mathbb{Z}_{\geqslant 0} p_j^*$, и вектор $-p_i^*$ принадлежит множеству ${\mathfrak R}_i$. Разделим множество корней Демазюра ${\mathfrak R}$ на два класса:
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak S}={\mathfrak R}\cap -{\mathfrak R} \quad \text{и} \quad {\mathfrak U}={\mathfrak R}\setminus{\mathfrak S}.
\end{equation*}
\notag
$$
Корни в ${\mathfrak S}$ и ${\mathfrak U}$ называются полупростыми и унипотентными соответственно. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Reg}({\mathfrak S})=\{u\in N \colon \langle u,e\rangle\ne 0 \ \forall\,e\in{\mathfrak S}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Любой элемент $u$ из $\operatorname{Reg}({\mathfrak S})$ делит множество полупростых корней ${\mathfrak S}$ на два класса следующим образом:
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak S}^+_u=\{e\in {\mathfrak S}\colon v=\langle u,e\rangle>0\}, \quad {\mathfrak S}^-_u=\{e\in {\mathfrak S} \colon v=\langle u,e\rangle<0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Элементы класса ${\mathfrak S}^+_u$ называются положительными, а элементы класса ${\mathfrak S}^-_u$ – отрицательными. Лемма 4.20 [43; предложение 2]. Пусть $X_{\Sigma}$ – полное торическое многообразие, допускающее аддитивное действие. Тогда Теперь рассмотрим полную торическую поверхность $X_{\Sigma}$ с веером $\Sigma$, допускающую аддитивное действие. Мы по-прежнему предполагаем, что $p_1$, $p_2$ образуют базис решётки $N$, а оставшиеся векторы $p_3,\dots,p_m$ являются неположительными целочисленными комбинациями векторов $p_1$, $p_2$. Будем называть веер $\Sigma$ широким, если существуют индексы $2 < i_1,i_2\leqslant m$, для которых $\alpha_{i_11} > \alpha_{i_12}$ и $\alpha_{i_21}<\alpha_{i_22}$. Можно проверить, что это условие означает, что ${\mathfrak R}_1=\{-p_1^*\}$ и ${\mathfrak R}_2=\{-p_2^*\}$. Теперь мы готовы сформулировать основной результат. Теорема 4.21 [43; теорема 3]. Пусть $X_{\Sigma}$ – полная торическая поверхность, допускающая аддитивное действие. Тогда аддитивное действие на $X_{\Sigma}$ единственно в том и только том случае, когда веер $\Sigma$ широкий; в противном случае существует ровно два неэквивалентных аддитивных действия, одно из которых нормализуемое, а другое – нет. Леммы 4.19, 4.20 показывают, что для широкого веера $\Sigma$ максимальная унипотентная подгруппа линейной алгебраической группы $\operatorname{Aut}(X_{\Sigma})$ имеет размерность 2 и поэтому является единственным кандидатом на роль коммутативной унипотентной группы, действующей на $X_{\Sigma}$ с открытой орбитой. Чтобы разобраться со случаем не широкого веера, Джунусов классифицирует пары коммутирующих однородных ЛНД на кольце Кокса многообразия $X_{\Sigma}$ и показывает, что ровно один класс эквивалентности таких пар соответствует ненормализуемому аддитивному действию на $X_{\Sigma}$. 4.6. Критерий единственностиЭтот пункт содержит критерий единственности аддитивного действия на полном торическом многообразии произвольной размерности, доказанный Джунусовым [42]. Этот результат также основан на леммах 4.19, 4.20. Мы сохраняем обозначения предыдущего пункта. Теорема 4.22 [42; теорема 4]. Пусть $X_{\Sigma}$ – полное торическое многообразие, допускающее аддитивное действие. Тогда любое аддитивное действие на многообразии $X$ эквивалентно нормализуемому аддитивному действию в том и только том случае, когда множество ${\mathfrak R}_i$ есть $\{-p_i^*\}$ для любого $1\leqslant i\leqslant n$. В доказательстве Джунусов показывает, что второе утверждение теоремы означает, что максимальная унипотентная подгруппа линейной алгебраической группы $\operatorname{Aut}(X_{\Sigma})$ является коммутативной группой размерности $n$ и снова это единственный возможный кандидат на роль коммутативной унипотентной группы, действующей на $X_{\Sigma}$ с открытой орбитой. Для случая, когда это условие не выполнено, в [42; разд. 6] построен набор из $n$ попарно коммутирующих однородных ЛНД кольца Кокса многообразия $X_{\Sigma}$ и доказано, что этот набор определяет аддитивное действие на $X_{\Sigma}$, не эквивалентное нормализуемому. Более точно, если нормализуемое аддитивное действие соответствует набору однородных ЛНД
$$
\begin{equation*}
(\partial_{-p_1^*},\partial_{-p_2^*},\partial_{-p_3^*},\dots, \partial_{-p_n^*}),
\end{equation*}
\notag
$$
то второй набор задаётся как
$$
\begin{equation*}
(\partial_{-p_1^*},\partial_{-p_2^*}+\partial_{-p_1^*+dp_2^*}, \partial_{-p_3^*},\dots,\partial_{-p_n^*})
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого целого положительного числа $d$. Следствие 4.23. Пусть $X_{\Sigma}$ – полное торическое многообразие, допускающее аддитивное действие. Если ранг группы классов дивизоров $\operatorname{Cl}(X_{\Sigma})$ равен 1, то существует хотя бы два неэквивалентных аддитивных действия на $X_{\Sigma}$. Следствие 4.23 покрывает случай взвешенных проективных пространств. Из [11; предложение 2] следует, что взвешенное проективное пространство $\mathbb{P}(a_0,a_1,\dots,a_n)$, $a_0\leqslant a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$, допускает аддитивное действие тогда и только тогда, когда $a_0=1$. Значит, на взвешенном проективном пространстве $\mathbb{P}(1,a_1,\dots,a_n)$ существует не меньше двух неэквивалентных аддитивных действий. Явное описание аддитивных действий на взвешенных проективных плоскостях приведено в [5; предложение 7]. Оказывается, что, как и в случае проективной плоскости $\mathbb{P}^2$, каждая взвешенная проективная плоскость $\mathbb{P}(1,a_1,a_2)$ допускает ровно два неэквивалентных аддитивных действия. 5. Дальнейшие результаты и вопросы об эквивариантных пополненияхЦель п. 5.1 – собрать недавние геометрические и классификационные результаты об аддитивных действиях на многообразиях Фано. Мы начинаем со случая поверхностей и перечисляем все особые и обобщённые поверхности дель Пеццо, допускающие аддитивное действие. В размерности 3 мы напоминаем классификацию Хассетта и Чинкеля гладких проективных трёхмерных многообразий с неприводимым граничным дивизором, допускающих аддитивное действие. Следующим шагом является классификация гладких трёхмерных многообразий Фано с числом Пикара не меньше 2, допускающих аддитивное действие. Существует 17 многообразий, удовлетворяющих всем этим условиям. В размерностях начиная с 4 соответствующие классификации возможны только при ограничениях на индекс многообразия Фано. Это результаты Фу и Монтеро. В п. 5.2 кратко обсуждаются так называемые эйлерово-симметрические многообразия. Такое многообразие определяется следующим условием: для точки $P$ общего положения существует такой одномерный тор $\mathbb{G}_m$ в группе автоморфизмов, что $P$ является изолированной неподвижной точкой для $\mathbb{G}_m$ и тор $\mathbb{G}_m$ действует на касательном пространстве в точке $P$ умножениями на скаляры. Известно, что любое эйлерово-симметрическое многообразие допускает аддитивное действие, и есть гипотеза, что таким образом можно описать все гладкие многообразия Фано, допускающие аддитивное действие. В п. 5.3 мы формулируем несколько открытых проблем и гипотез об эквивариантных пополнениях аффинных пространств. Они касаются всех тем, обсуждаемых в этой статье. 5.1. Классификационные результаты об аддитивных действиях на многообразиях ФаноНачнём этот пункт со случая поверхностей. В [39] приведена классификация поверхностей дель Пеццо, которые являются эквивариантными компактификациями группы $\mathbb{G}_a^2$. Напомним, что поверхности дель Пеццо определяются как гладкие проективные поверхности $X$, чей антиканонический класс $-K_X$ обилен. Особая поверхность дель Пеццо – это нормальная особая проективная поверхность с особенностями только типов ADE, чей антиканонический класс обилен. Обобщённая поверхность дель Пеццо – это либо гладкая поверхность дель Пеццо, либо минимальное разрешение особенностей особой поверхности дель Пеццо. Основной результат работы [39] утверждает, что если $S$ – (возможно, особая или обобщённая) поверхность дель Пеццо степени $d$, определённая над полем $\mathbb{K}$ характеристики нуль, то $S$ допускает аддитивное действие в точности в следующих случаях:
Более общо, в [40] авторы определяют все (возможно, особые) поверхности дель Пеццо, являющиеся эквивариантными компактификациями однородных пространств двумерных линейных алгебраических групп. Хорошо известно, что кроме тора $\mathbb{G}_m^2$ и векторной группы $\mathbb{G}_a^2$ связными двумерными линейными алгебраическими группами являются только полупрямые произведения $\mathbb{G}_m\rightthreetimes\mathbb{G}_a$. Согласно классификации поверхность дель Пеццо $S$ степени $d$ (возможно, особая с рациональными двойными точками) является эквивариантной компактификацией некоторого полупрямого произведения $\mathbb{G}_m\rightthreetimes\mathbb{G}_a$ тогда и только тогда, когда она имеет один из следующих типов:
Кроме того, доказано, что эквивариантными компактификациями однородных пространств для некоторого полупрямого произведения $\mathbb{G}_m\rightthreetimes\mathbb{G}_a$ являются в точности следующие типы: Как мы уже знаем, структура компактификации тора на торическом многообразии единственна с точностью до изоморфизма, в то время как уже проективная плоскость $\mathbb{P}^2$ допускает два различных аддитивных действия. В [40; теорема 3.3] доказано, что если $\mathbb{G}_m\rightthreetimes\mathbb{G}_a$ не является прямым произведением $\mathbb{G}_m\times\mathbb{G}_a$, то с точностью до эквивалентности $\mathbb{P}^2$ допускает ровно две различные структуры эквивариантной компактификации группы $\mathbb{G}_m\rightthreetimes\mathbb{G}_a$. Более того, показано, что $\mathbb{P}^2$ допускает бесконечно много различных структур эквивариантной компактификации однородного пространства для каждого $\mathbb{G}_m\rightthreetimes\mathbb{G}_a$. Характеризация полных $\mathbb{G}_m$-поверхностей, допускающих аддитивное действие, получена в [63; предложение 13.17]. Перейдём теперь от поверхностей к случаю размерности 3. В [62] приведена классификация гладких проективных трёхмерных многообразий с числом Пикара 1, допускающих аддитивное действие. Теорема 5.1 [62; теорема 6.1]. Пусть $X$ – гладкое проективное трёхмерное многообразие, допускающее аддитивное действие и имеющее неприводимый граничный дивизор $D$. Тогда $X$ – это либо Напомним, что для многообразия Фано $X$ размерности $n$ его индексом $i_X$ называется такое наибольшее целое число, что $-K_X=i_X H$ для некоторого дивизора $H$ на $X$. В доказательстве [62; теорема 6.1] авторы отмечают, что $-K_X=rD$, где $r\geqslant 2$. Значит, $X$ – рациональное многообразие Фано индекса $r\geqslant 2$. Они рассматривают случаи $r>2$ и $r=2$ отдельно и используют классификацию Фурушимы (неэквивариантных) компактификаций аффинного трёхмерного пространства. Классификация гладких трёхмерных многообразий Фано с числом Пикара не меньше 2, допускающих аддитивное действие, получена в [65]. Эта классификация включает 17 многообразий. Авторы сначала рассматривают случай гладких торических трёхмерных многообразий Фано. Они используют классификацию Батырева и Ватанабе–Ватанабе и применяют к ней критерий существования аддитивного действия на торическом многообразии из теоремы 4.6. Таким образом получается 13 гладких торических трёхмерных многообразий Фано, допускающих аддитивное действие. В неторическом случае авторы используют классификацию Мори и Мукая и проверяют существование аддитивного действия в каждом из её случаев. Этот анализ приводит к четырём гладким неторическим трёхмерным многообразиям Фано с аддитивным действием. В более высоких размерностях классификация гладких многообразий Фано, допускающих аддитивное действие, возможна только для многообразий с большим значением индекса. Хорошо известно, что индекс $i_X$ гладкого многообразия Фано размерности $n$ не превосходит $n+1$. Классификация гладких многообразий Фано индекса $i_X\geqslant n-2$ получена в работах Фуджиты, Мелла, Мукая и Вишневского. Основываясь на этой классификации, в работе [54] получен полный список гладких многообразий Фано размерности $n$ и индекса $i_X\geqslant n-2$, допускающих аддитивное действие. Начнём со случая числа Пикара, равного 1. Теорема 5.2 [54; теорема 1.1]. Пусть $X$ – гладкое проективное многообразие размерности $n$ с числом Пикара 1, допускающее аддитивное действие. Предположим, что $i_X\geqslant n-2$. Тогда $X$ изоморфно одному из следующих многообразий: Здесь $\mathbb{S}_5$ и $\operatorname{Lag}(6)$ обозначают $10$-мерное спинорное многообразие и $6$-мерный лагранжев грассманиан соответственно. Классификация гладких многообразий Фано размерности $n$ с $i_X \geqslant n-2$ и числом Пикара не меньше 2, допускающих аддитивное действие, получена в [54; разд. 3]. Здесь результат основан на классификации Вишневского гладких многообразий Фано размерности $n$ индекса $\geqslant (n+1)/2$ с числом Пикара не меньше 2 и классификации Мукая четырёхмерных многообразий с числом Пикара не меньше 2. 5.2. Эйлерово-симметрические многообразияВ этом пункте мы обсуждаем общую конструкцию Фу и Хвана [53] многообразий с аддитивным действием. Мы работаем над полем комплексных чисел. Определение 5.3. Пусть $Z\subseteq\mathbb{P}(V)$ – проективное многообразие. Для гладкой точки $x\in Z$ действие группы $\mathbb{G}_m$ на $Z$, происходящее из мультипликативной подгруппы в $\operatorname{GL}(V)$, называется действием эйлерова типа в точке $x$, если $x$ является изолированной неподвижной точкой действия группы $\mathbb{G}_m$, ограниченного на $Z$, и индуцированное действие группы $\mathbb{G}_m$ на касательном пространстве $T_x(Z)$ является умножениями на скаляры. Гладкая точка $x\in Z$ называется эйлеровой, если существует действие группы $\mathbb{G}_m$ на $Z$, имеющее эйлеров тип в точке $x$. Мы говорим, что $Z\subseteq\mathbb{P}(V)$ эйлерово-симметрично, если существует открытое плотное подмножество $W$ в $Z$, состоящее из эйлеровых точек. Замечание 5.4. Из условия на действие группы $\mathbb{G}_m$ на касательном пространстве $T_x(Z)$ следует, что $\mathbb{G}_m$-неподвижная точка $x$ автоматически изолирована. Действительно, так как действие группы $\mathbb{G}_m$ на $\mathbb{P}(V)$ диагонализуемо, точка $x$ содержится в $\mathbb{G}_m$-инвариантной открытой аффинной карте $X$ на $Z$. Поскольку точка $x$ гладкая в $X$, по [95; теорема 6.4] она является также гладкой в подмногообразии $\mathbb{G}_m$-неподвижных точек $X^{\mathbb{G}_m}$ и $T_x(X^{\mathbb{G}_m})=T_x(X)^{\mathbb{G}_m}$. Но группа $\mathbb{G}_m$ действует на $T_x(X)$ умножениями на скаляры, значит, точка $x$ является изолированной неподвижной точкой в $X$ и, следовательно, в $Z$. В [53; предложение 2.3] доказано, что для эйлерово-симметрического проективного многообразия $Z\subseteq\mathbb{P}(V)$ группа $\operatorname{Aut}_l(Z)\subseteq\operatorname{PGL}(V)$ линейных автоморфизмов, сохраняющих $Z$, действует на $Z$ с открытой орбитой. На самом деле, теорема 5.5 ниже даёт более конкретную версию этого результата. В [53; теорема 3.7] авторы показывают, что эйлерово-симметрические многообразия классифицируются определёнными алгебраическими данными, называемыми символьными системами. Такое описание даёт возможность изучать этот класс многообразий. Наш интерес к этим многообразиям объясняется следующим результатом, который открывает новые возможности для систематического изучения эквивариантных пополнений аффинных пространств (см., например, гипотезу 5.20 ниже). Теорема 5.5 [53; теорема 3.7, (i)]. Каждое эйлерово-симметрическое многообразие допускает аддитивное действие. Приведём схему доказательства теоремы 5.5. Пусть $Z \subseteq\mathbb{P}(V)$ является эйлерово-симметрическим многообразием размерности $n$ и $x \in Z$ – эйлерова точка. Выберем однородные координаты в $\mathbb{P}(V)=\mathbb{P}^m$ таким образом, чтобы $x$ имела координаты $[1:0:\cdots:0]$. Так как действие группы $\mathbb{G}_m$ эйлерова типа в $x$ линейно на $\mathbb{P}^m$, мы можем считать, что $\mathbb{G}_m$ действует в этих координатах диагонально. Пусть $y_i=z_i/z_0$, $1 \leqslant i \leqslant m$, – координаты на аффинной карте $U_0=\{z_0 \ne 0\}$ в $\mathbb{P}^m$. Можно считать, что касательное пространство $T_x(Z)$ задано уравнениями $y_{n+1}=\cdots=y_m=0$. Тогда тор $\mathbb{G}_m$ действует на $y_1,\dots,y_n$ умножениями на скаляры. По теореме о неявной функции существует аналитическая окрестность точки $x$, в которой $y_1,\dots,y_n$ являются координатами на $Z$, и $Z$ задано системой уравнений
$$
\begin{equation}
y_{n+i}=h_i(y_1,\dots,y_n), \qquad 1 \leqslant i \leqslant k=m-n,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
для некоторых голоморфных функций $h_i$. Любая функция $h_i$ разлагается в ряд Тейлора по $y_1,\dots,y_n$ в окрестности точки $x$. Обозначим через $h_1^0,\dots, h_k^0$ суммы ненулевых слагаемых минимальных степеней $d_1,\dots, d_k$ в рядах Тейлора функций $h_1,\dots,h_k$ соответственно. Так как функции $y_{n+1},\dots,y_m$ однородны относительно тора $\mathbb{G}_m$, то $h_i=h_i^0$ для любого $1\leqslant i\leqslant k$. В частности, функции $h_i$ являются однородными многочленами. Замечание 5.6. В [100; предложение 5] показано, что многообразие $Z$ является торическим тогда и только тогда, когда функции $h_i$ являются одночленами, соответствующими точкам решётки в некотором очень обильном вписанном в прямоугольник многограннике (см. определение 4.13). Так как $Z$ – неприводимое многообразие, пересечение $Z \cap U_0$ является неприводимым аффинным многообразием в $U_0$. С другой стороны, система уравнений (5.1) определяет неприводимое аффинное многообразие $Z'$ в $U_0$, изоморфное аффинному пространству $\mathbb{A}^n$ с координатами $y_1,\dots,y_n$. Так как неприводимые многообразия $Z'$ и $Z \cap U_0$ совпадают в некоторой окрестности, они равны друг другу, поэтому $Z \cap U_0$ задаётся системой уравнений $y_{n+i}=h_i(y_1,\dots,y_n)$, $1 \leqslant i \leqslant k$. В частности, многообразие $Z \cap U_0$ изоморфно $\mathbb{A}^n$. Рассмотрим функции $h_i$ как элементы пространств $\operatorname{Sym}^{d_i}T_x(Z)^*$. Тогда пространство
$$
\begin{equation*}
F_x=\mathbb{K} \oplus T_x(Z)^* \oplus \langle h_1^0,\dots,h_k^0\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
называется фундаментальной формой $Z$ в точке $x$. Это подпространство прямой суммы $\displaystyle\bigoplus_{l \geqslant 0}\operatorname{Sym}^lT_x(Z)^*$. Ниже нам понадобится следующий классический результат (см., например, [53; теорема 3.3]). Теорема 5.7 (Картан). Пусть $Z$ – проективное многообразие. Тогда существует такое открытое подмножество $W' \subseteq Z$, что для любой точки $x \in W'$ фундаментальная форма $F_x$ является символьной системой, т. е. для любых $h \in F_x$ и $v \in T_x(Z)$ дифференцирование $h$ вдоль $v$ принадлежит $F_x$. Таким образом, мы получаем в эйлерово-симметрическом многообразии $Z$ два открытых подмножества $W$ и $W'$ (см. определение 5.3). Эти подмножества имеют непустое пересечение. Значит, можно считать, что точка $x$ является эйлеровой и фундаментальная форма $F_x$ – символьная система. Так как $Z \cap U_0$ изоморфно $\mathbb{A}^n$, мы имеем аддитивное действие на $Z \cap U_0$ параллельными переносами. Это действие может быть продолжено до действия на $\mathbb{P}^m$ в том случае, если оно может быть продолжено до действия на $U_0$ аффинными преобразованиями. Покажем, что любая $\mathbb{G}_a$-подгруппа $H$ этого действия группы $\mathbb{G}_a^n$ на $Z\cap U_0$ может быть продолжена до $\mathbb{G}_a$-подгруппы аффинных преобразований $U_0$. Пусть $\partial$ – локально нильпотентное дифференцирование на $\mathbb{K}[Z \cap U_0]$, соответствующее подгруппе $H$. Так как $F_x$ является символьной системой, то результат применения дифференцирования $\partial$ к $h_i$ также принадлежит $F_x$. С другой стороны, $F_x=\mathbb{K} \oplus T_x(Z)^* \oplus \langle h_1,\dots, h_k\rangle=\langle 1,y_1,\dots,y_m\rangle$, так как $x$ является эйлеровой точкой. Тогда для любого $1 \leqslant i \leqslant k$ имеем
$$
\begin{equation*}
\partial(y_{n+i})=\partial(h_i(y_1,\dots,y_n))=\ell_i(1,y_1,\dots,y_m),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\ell_i$ – линейная форма. Значит, действие элемента $s \in \mathbb{G}_a$, задаваемое рядом $\exp (s\partial)$, является действием аффинными преобразованиями:
$$
\begin{equation*}
y_{n+i} \mapsto y_{n+i}+s\ell_{i,1}(1,y_1,\dots,y_m)+ \frac{s^2}{2}\ell_{i,2}(1,y_1,\dots,y_m)+\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
и все $\ell_{i,j}$ – линейные формы. Наконец, группа $H$ действует на $y_1,\dots,y_n$ сдвигами, а это также аффинные преобразования. Тем самым, аддитивное действие на $Z\cap U_0$ продолжается до действия на $\mathbb{P}^m$ и индуцирует аддитивное действие на $Z$, так как $Z$ является замыканием $Z\cap U_0$. Это завершает доказательство теоремы 5.5. Замечание 5.8. Можно привести много аргументов в пользу того, что действия групп $\mathbb{G}_m$ и $\mathbb{G}_a$ имеют совершенно разную природу. В то же время можно доказать, что существование действий группы $\mathbb{G}_m$ определённого типа влечёт существование действия группы $\mathbb{G}_a$. Например, если аффинное многообразие $X$ допускает два некоммутирующих действия тора $\mathbb{G}_m$, то $X$ допускает нетривиальное действие группы $\mathbb{G}_a$ (см. [47; разд. 3] и [7; доказательство теоремы 2.1]). Далее, в [4; теорема 1] показано, что существование действия группы $\mathbb{G}_m$ параболического типа на нормальном аффинном многообразии влечёт существование нетривиального действия группы $\mathbb{G}_a$. Теорема 5.5 также может рассматриваться как результат такого типа. Оказывается, что условие эйлеровой симметричности является критерием существования аддитивного действия для различных классов проективных многообразий. Начнём с торического случая. Теорема 5.9 [100; теорема 3]. Пусть $X$ – проективное торическое многообразие. Следующие условия эквивалентны: Приведём схему доказательства этой теоремы. Для импликации (i) $\Rightarrow$ (ii) используется линеаризация (очень обильного) линейного расслоения на нормальном многообразии относительно действия тора (см. [75; предложение 2.4]). Она позволяет продолжить действие группы $\mathbb{G}_m$ эйлерова типа с $X$ на объемлющее проективное пространство. Эта импликация не использует, что $X$ – торическое. Импликация (ii) $\Rightarrow$ (i) тривиальна. Импликация (i) $\Rightarrow$ (iii) следует из теоремы 5.5. Альтернативное доказательство этой импликации, использующее специфику торического случая – описание Бажова [17] орбит группы автоморфизмов полного торического многообразия и следствие 4.8, – дано в [100; предложение 4]. Доказательство импликации (iii) $\Rightarrow$ (i) разделено на три шага. На первом шаге в [100; предложение 2] проверяется, что любая гладкая $T$-неподвижная точка $x_0$ на проективном торическом многообразии $X$ эйлерова относительно некоторого линейно невырожденного линейно нормального проективного вложения. Второй шаг – утверждение о том, что точка $x\in X$ является эйлеровой тогда и только тогда, когда $x$ может быть перемещена в гладкую $T$-неподвижную точку $x_0$ на $X$ с помощью автоморфизма многообразия $X$ [100; предложение 3]. Наконец, если $X$ допускает аддитивное действие, то $X$ допускает аддитивное действие, нормализуемое действующим тором $T$ (см. теорему 4.11). Открытая орбита $\mathcal{U}$ последнего аддитивного действия является $T$-инвариантной и изоморфна аффинному пространству. Тогда $\mathcal{U}$ содержит (гладкую) $T$-неподвижную точку $x_0$. Мы знаем, что $x_0$ является эйлеровой относительно некоторого линейно невырожденного линейно нормального проективного вложения. Опять используя [75; предложение 2.4], можно продолжить аддитивное действие на $X$ до действия группы $\mathbb{G}_a^n$ на объемлющем проективном пространстве. Значит, все точки в $\mathcal{U}$ являются эйлеровыми на $X$, и, следовательно, $X$ – эйлерово-симметрическое многообразие. Замечание 5.10. Доказательство импликации (i) $\Rightarrow$ (ii) показывает, что условие эйлеровой симметричности нормального проективного многообразия $Z$ может быть определено во внутренних терминах, без использования вложения в проективное пространство. А именно, для гладкой точки $x\in Z$ назовём действие группы $\mathbb{G}_m$ на $Z$ действием эйлерова типа в точке $x$, если $x$ является изолированной неподвижной точкой данного действия и индуцированное действие группы $\mathbb{G}_m$ на касательном пространстве $T_x(Z)$ является умножениями на скаляры. Гладкая точка $x\in Z$ называется эйлеровой, если существует действие группы $\mathbb{G}_m$ на $Z$ эйлерова типа в $x$. Нормальное проективное многообразие $Z$ эйлерово-симметрическое, если существует открытое плотное подмножество в $Z$, состоящее из эйлеровых точек. В этом случае для любого линейно невырожденного линейно нормального вложения $Z\subseteq \mathbb{P}(V)$ можно продолжить действия группы $\mathbb{G}_m$ эйлерова типа на $Z$ до действия на $\mathbb{P}(V)$. Следовательно, любое такое вложение является эйлерово-симметрическим в смысле определения 5.3. Интересной задачей является доказательство теоремы 5.5 без использования вложения $Z$ в проективное пространство. На данный момент у нас нет такого доказательства. Замечание 5.11. Шафаревич [100] приводит несколько примеров, иллюстрирующих свойства множества эйлеровых точек на проективном торическом многообразии $X$. В частности, такие точки могут не образовывать одну орбиту группы $\operatorname{Aut}(X)$ [100; пример 1], и на гладком эйлерово-симметрическом проективном многообразии не каждая точка может быть эйлеровой [100; пример 2]. Следующий результат касается многообразия флагов. Он упомянут в [53; пример 3.13]; ниже мы приводим собственное доказательство. Теорема 5.12. Многообразие флагов $G/P$ эйлерово-симметрично тогда и только тогда, когда оно допускает аддитивное действие. Доказательство. Мы используем обозначения и результаты п. 3.2. Предположим, что $G$ – связная простая линейная алгебраическая группа, $P$ – максимальная параболическая подгруппа группы $G$, соответствующая простому корню $\alpha_i\in\Delta$, и $G$ – связная компонента группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}(G/P)$. С учётом теоремы 3.6 достаточно доказать, что $G/P$ эйлерово-симметрично тогда и только тогда, когда унипотентный радикал $P_u^-$ коммутативен. Последнее условие равносильно коммутативности касательной алгебры ${\mathfrak p}_u^-$. Мы знаем, что ${\mathfrak p}_u^-= \displaystyle\bigoplus_{\alpha\in\Phi^-_i}{\mathfrak g}_{\alpha}$, где $\Phi^-_i$ – множество отрицательных корней, чьё разложение в линейную комбинацию простых корней содержит корень $\alpha_i$. Так как многообразие $G/P$ однородно, оно является эйлерово-симметричным тогда и только тогда, когда существует действие группы $\mathbb{G}_m$ эйлерова типа в точке $x=eP$. Подгруппа $\mathbb{G}_m$ содержится в $P$, и с точностью до сопряжённости можно считать, что $\mathbb{G}_m$ является подгруппой максимального тора $T$. Так как действие тора $T$ на $G$ сопряжениями спускается на $G/P$ как действие левыми сдвигами, его дифференциал действует на касательном пространстве $T_x(G/P)={\mathfrak p}_u^-$ эндоморфизмами алгебры Ли. Если все операторы умножения на скаляры сохраняют скобку Ли, то скобка Ли нулевая. Обратно, предположим, что алгебра Ли ${\mathfrak p}_u^-$ коммутативна. Тогда любой корень в $\Phi^-_i$ содержит $\alpha_i$ с коэффициентом $-1$; иначе он был бы суммой двух корней из $\Phi^-_i$, и, значит, ${\mathfrak p}_u^-$ была бы некоммутативна. В этом случае $\mathbb{G}_m$-подгруппа в $T$, заданная уравнениями $\alpha_j(t)=1$ для всех $\alpha_j\in\Delta$, $j\ne i$, действует на ${\mathfrak p}_u^-$ умножениями на скаляры, и, следовательно, $G/P$ является эйлерово-симметрическим. Теорема доказана. С другой стороны, если проективная гиперповерхность $X$ допускает аддитивное действие, то она не обязана быть эйлерово-симметрической. Действительно, в [52; пример 3.14] доказано, что невырожденная гиперповерхность эйлерово-симметрична тогда и только тогда, когда она является гладкой квадрикой. Согласно предложению 2.4 это единственные гладкие гиперповерхности, допускающие аддитивное действие. Но имеются невырожденные особые гиперповерхности, допускающие аддитивное действие (см., например, теорему 2.29). В то же время в [99] можно найти примеры аддитивных действий на вырожденных торических квадриках. По теореме 5.9 такие квадрики являются эйлерово-симметрическими. Вопрос о том, когда эйлерово-симметрические многообразия являются полными пересечениями в проективных пространствах, рассматривается в недавнем препринте [85]. Приведём ещё несколько примеров эйлерово-симметрических многообразий. Гладкая эйлерово-симметрическая поверхность получается подходящей последовательностью раздутий проективной плоскости $\mathbb{P}^2$ или поверхности Хирцебруха $\mathbb{F}_d$ в неподвижных точках действия группы $\mathbb{G}_a^2$ [53; пример 3.12]. Про более высокие размерности в [53; пример 2.2] показано, что умножение на скаляры в $\mathbb{A}^n$ может быть продолжено до действия группы $\mathbb{G}_m$ эйлерова типа на раздутии гладкого подмногообразия в $\mathbb{P}^n\setminus\mathbb{A}^n$. Это доказывает, что такие раздутия являются эйлерово-симметрическими (ср. с предложением 1.51). Наконец, в [52] получена полная классификация эйлерово-симметрических многообразий ранга 2; здесь ранг определяется в терминах фундаментальных форм. Такие многообразия также называются квадратично-симметрическими. В [52] отмечается, что если рассматривать эйлерово-симметрические многообразия как квазиоднородные обобщения эрмитовых симметрических пространств, то квадратично-симметрические многообразия являются квазиоднородными обобщениями эрмитовых симметрических пространств ранга 2. 5.3. Открытые вопросыВ этом пункте мы формулируем некоторые открытые вопросы и гипотезы об аддитивных действиях. Мы надеемся, что они помогут стимулировать дальнейшее развитие этой области. Хорошо известно, что полное нормальное алгебраическое многообразие $X$ является торическим тогда и только тогда, когда кольцо Кокса $R(X)$ – это кольцо многочленов. Задача 5.13. Охарактеризовать полные нормальные алгебраические многообразия, допускающие аддитивное действие, в терминах их колец Кокса. Применяя результаты раздела 4, легко построить два таких полных торических многообразия $X_{\Sigma_1}$ и $X_{\Sigma_2}$, что веера $\Sigma_1$ и $\Sigma_2$ имеют одинаковое количество лучей и $X_{\Sigma_1}$ допускает аддитивное действие, а $X_{\Sigma_2}$ нет. Это показывает, что существование аддитивного действия не может быть охарактеризовано в терминах $R(X)$ как абстрактного кольца. Но кольцо $R(X)$ градуировано группой $\operatorname{Cl}(X)$, и мы надеемся, что есть характеризация в терминах этой градуировки. Если мы собираемся изучать аддитивные действия с помощью поднятия действия на тотальное координатное пространство, то решение следующей задачи может оказаться очень полезным. Задача 5.14. Зафиксируем целые положительные числа $r$ и $n$ и положим $d=r+n$. Описать все аффинные факториальные многообразия $X$ размерности $d$, снабжённые эффективным действием группы $\mathbb{G}_m^r\times\mathbb{G}_a^n$ с открытой орбитой. Случай $n=0$ соответствует аффинным факториальным торическим многообразиям, которые, как известно, являются прямыми произведениями тора и аффинного пространства. Случай $n=1$ также соответствует аффинным факториальным торическим многообразиям (см. [8]). В свою очередь, в случае $r=0$ многообразие $X$ является аффинным пространством с транзитивным действием группы $\mathbb{G}_a^n$. В остальных случаях вопрос остаётся открытым. Как мы знаем из следствия 1.49, проективное пространство $\mathbb{P}^n$ при $n\geqslant 6$ допускает бесконечно много неэквивалентных аддитивных действий. В то же время, результаты о единственности аддитивного действия на гладких проективных квадриках и, более общо, на многообразиях флагов наталкивают на мысль, что ситуация с проективными пространствами может быть в некотором смысле исключительной. Это мотивирует следующую задачу. Задача 5.15. Описать все полные торические многообразия, допускающие бесконечно много аддитивных действий. Естественно интересоваться описанием всех аддитивных действий на конкретных полных торических многообразиях. Задача 5.16. Описать все аддитивные действия на взвешенных проективных пространствах $\mathbb{P}(1,a_1,\dots,a_n)$. Случай взвешенных проективных плоскостей подсказывает идею, что количество аддитивных действий на $\mathbb{P}(1,a_1,\dots,a_n)$ зависит только от $n$, а не от значений $a_1,\dots,a_n$. Можно ожидать, что существует описание аддитивных действий на $\mathbb{P}(1,a_1,\dots,a_n)$ в терминах некоторого “взвешенного” соответствия Хассетта–Чинкеля. В предложении 3.4 мы отмечали связь между аддитивными действиями на данном полном многообразии $X$ и максимальными коммутативными унипотентными подгруппами в группе автоморфизмов $\operatorname{Aut}(X)$. Интересно сделать это соответствие более точным. Задача 5.17. Верно ли, что каждая максимальная коммутативная унипотентная подгруппа размерности $n$ в группе $\operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ действует на проективном пространстве $\mathbb{P}^n$ с открытой орбитой? Покажем, что ответ на тот же вопрос в случае действия группы $\operatorname{SO}_{n+2}(\mathbb{K})$ на квадрике $Q_n\subseteq\mathbb{P}^{n+1}$ отрицательный. Согласно теореме 2.25 существует только один класс сопряжённости максимальных коммутативных унипотентных подгрупп размерности $n$ в $\operatorname{SO}_{n+2}(\mathbb{K})$, действующих на квадрике $Q_n$ с открытой орбитой. В то же время в [103; разд. 6] приведён пример максимальной коммутативной унипотентной подгруппы размерности $n$ из другого класса сопряжённости в $\operatorname{SO}_{n+2}(\mathbb{K})$. Такая подгруппа соответствует так называемой free-rowed максимальной коммутативной нильпотентной подалгебре в алгебре Ли $\mathfrak{so}_{n+2}(\mathbb{K})$ при $n\geqslant 6$ (см. подробности в [67]). Задача 5.18. Пусть $G$ – связная линейная алгебраическая группа и $H$ – коммутативная унипотентная подгруппа группы $G$, максимальная среди коммутативных подгрупп в $G$. Существует ли такое $G$-многообразие $X$, что индуцированное действие группы $H$ на $X$ имеет открытую орбиту? Следующая гипотеза касается аддитивных действий на проективных гиперповерхностях. Она может стать хорошим дополнением к результату теоремы 2.32. Гипотеза 5.19. Пусть $X \subseteq \mathbb{P}^{n+1}$ – вырожденная гиперповерхность, допускающая индуцированное аддитивное действие. Тогда существует не менее двух индуцированных аддитивных действий на $X$ с точностью до эквивалентности. Наконец, приведём гипотетическую характеризацию класса многообразий с аддитивным действием. В [53; гипотеза 5.1] сформулировано следующее. Гипотеза 5.20. Пусть $X$ – гладкое многообразие Фано с числом Пикара 1, являющееся эквивариантной компактификацией векторной группы. Тогда $X$ может быть реализовано как эйлерово-симметрическое проективное многообразие при подходящем проективном вложении. Частичные положительные результаты по этой гипотезе можно найти в [53; разд. 5]. Авторы благодарны Антони Иарробино и Йоахиму Елисееву за полезные комментарии и ссылки на работы о локальных артиновых алгебрах. Обсуждения с Антоном Шафаревичем помогли нам понять результаты Фу и Хвана об эйлерово-симметрических многообразиях. Отдельная благодарность рецензентам за много ценных предложений и исправлений, которые способствовали улучшению текста.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ArzZai22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|