| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества Замечание о матрицах Грама систем равномерно ограниченных функций и одной задаче Олевского Б. С. Кашинab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10045 
Реферативные базы данных:
     Ниже $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ и $|\,\cdot\,|$ – скалярное произведение и евклидова норма в $\mathbb R^N$, $S^{N-1}=\{x\in \mathbb R^N\colon |x|=1\}$, $\mu_{N-1}$ – нормированная мера Лебега на $S^{N-1}$, $N=2,3,\dots$ . Для $(N\times N)$-матрицы $G$ через $\|G\|_{\mathrm{op}}$ обозначим норму $G$ как оператора в $(\mathbb R^N,|\,\cdot\,|)$. Мы используем также следующие обозначения: $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – скалярное произведение в функциональном пространстве $L^2$ и $\|\,\cdot\,\|_\infty$ – норма в $L^\infty(0,1)$. Для набора векторов $Z=\{z_j\}_{j=1}^N\subset \mathbb R^N$ рассмотрим матрицу Грама $G_Z=\{\langle z_j,z_k\rangle\}$, $1\leqslant j,k\leqslant N$. Задача о нахождении для данного набора $Z$ системы функций $F=\{f_j\} _{j=1}^N \subset L^\infty(0,1)$ с как можно меньшими равномерными нормами такой, что
$$
\begin{equation}
\langle z_j,z_k\rangle=(f_j,f_k),\qquad 1\leqslant j,k\leqslant N,
\end{equation}
\tag{1}
$$
представляет интерес для различных областей анализа и дискретной математики. Впервые подобные вопросы возникли в 1920–1930-х годах в теории ортогональных рядов при решении некоторых задач о продолжении “почти ортогональной” системы функций на более широкое множество до ортонормированной системы (см. подробнее [1], [2]). В этой связи А. М. Олевским в [1] была поставлена следующая задача. Пусть матрица Грама набора $Z$ такова, что $\|G_Z\|_{\mathrm{op}}\leqslant1$. Верно ли, что найдется система функций $\{f_j\}_{j=1}^N$ со свойством (1) и такая, что $\|f_j\|_\infty\leqslant K$, $j=1,\dots,N$ (постоянная $K$ – абсолютная, не зависит от $N$)? Указанные вопросы непосредственно связаны также с теоремами факторизации и классическим неравенством Гротендика (см. [3]–[5]). В последнее время, особенно после введения в работе [4] так называемой константы Гротендика для графа, рассматриваются и задачи, в которых требуется обеспечить равенства не для всех пар $(j,k)$, а лишь для определенного их подмножества. Известно (см. [3], [4]), что для любого набора $Z=\{z_j\}_{j=1}^N$ с $|z_j|\leqslant1$, $j=1,\dots,N$, найдутся функции $\{f_j\}_{j=1}^N$ со свойством (1), для которых $\|f_j\|_\infty\leqslant C(\log N)^{1/2}$, $j=1,\dots,N$. Эта оценка точна. Более того, в [4] построены примеры наборов $\{z_j\}_{j=1}^N$, $|z_j|\leqslant1$, $j=1,\dots,N$, таких, что выполнение равенств (1) лишь вне диагонали, т. е. при $j\ne k$, влечет оценку снизу $\max_j\|f_j\|_\infty\geqslant c(\log N)^{1/2}$, где $c>0$ – абсолютная постоянная, а $N=2,3,\dots$ . Теорема 1. Пусть для матрицы Грама набора $Z =\{z_j\}_{j=1}^N\subset\mathbb R^N$ имеем $\|G_Z\|_{\mathrm{op}}=R$. Тогда найдется набор функций $F=\{f_j\}_{j=1}^N\subset L^\infty(0,1)$ такой, что 1) $|f_j(x)|=(2R)^{1/2}$ для почти всех $x\in (0,1)$ и $j=1,\dots,N$; 2) $(f_j,f_k)=\langle z_j,z_k\rangle \equiv g_{jk}$ при $j\ne k$, $1\leqslant j,k\leqslant N$. Замечание. (a) Так как при $j=k$ равенства (1) теоремой 1 не гарантируются, задача Олевского остается открытой. Однако для большинства конкретных приложений результатов об ортогонализации функциональных систем теоремы 1 достаточно. (b) В случае, когда $|z_j|\leqslant1$, $j=1,\dots,N$, утверждение теоремы представляет интерес лишь при $R<\log N$. Лемма. В условиях теоремы 1 матрица $B=\{b_{jk}\}_{j,k=1}^N$ с элементами (где $\{\delta_{jk}\}_{j,k=1}^N=:I_N$ – единичная матрица) положительно определена, т. е. $B>0$. Доказательство. Разлагая при $j\ne k$ синусы в (2) в ряд Тейлора в нуле, имеем: $B=I_N+Q-T+\sum_{s=2}^\infty C_s$, где $Q=\pi(4R)^{-1}G_Z\geqslant0$, $T=\{t_{jk}\}$ – диагональная матрица с $t_{jj}=\pi(4R)^{-1}g_{jj}$, $1\leqslant j \leqslant N$, и $C_s=\{c_{jk}^s\}$, $s=2,3,\dots$, – матрицы с элементами $c_{jj}^s=0$, $1\leqslant j \leqslant N$, и $c_{jk}^s=(-1)^{s-1}(\pi/2)^{2s-1}[(2s-1)!]^{-1}(2R)^{-(2s-1)}g_{jk}^{2s-1}$ при $j\ne k$.
Легко проверить, что $I_N-T\geqslant 0.21I_N$. Очевидно также, что справедливо неравенство $\|C_2\|_{\mathrm{op}}\leqslant (\pi/2)^3 \|\widetilde{C}\|_{\mathrm{op}}/6$, где $\widetilde{C}=\{\tilde c_{jk}\}$, $\tilde{c}_{jk}=|g_{jk}|^3(2R)^{-3}$, $1\leqslant j,k\leqslant N$. По теореме Перрона–Фробениуса (см. [6; с. 24]), утверждение которой в данном случае легко проверить непосредственно, $\|\widetilde{C}\|_{\mathrm{op}}\leqslant(2R)^{-3}\max_j \sum_{k=1}^N|g_{jk}|^3\leqslant 1/8$, а потому $\|C_2\|_{\mathrm{op}}\leqslant1/12$. (Мы учли, что при каждом $j$ выполнено $\sum_{k=1}^N g_{jk}^2=(G_Z^2)_{jj}\leqslant \|G_Z\|_{\mathrm{op}}^2=R^2$.) Наконец, $\sum_{s=3}^\infty\|C_s\|_{\mathrm{op}}\leqslant (\|\widetilde{C}\|_{\mathrm{op}}/4)\sum_{s=3}^\infty(\pi/2)^{2s-1}[(2s-1)!]^{-1}\leqslant 10^{-2}$. В итоге имеем $B \geqslant 0.21I_N-I_N/12-I_N/100\geqslant0.11I_N$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 1 использует равенство из первого доказательства неравенства Гротендика (см. [7], [5]): для $u,v\subset S^{N-1}$
$$
\begin{equation}
\int_{S^{N-1}} \operatorname{sign} \langle x,u\rangle \operatorname{sign} \langle x,v\rangle\,d\mu_{N-1}=\frac{2}{\pi}\arcsin \langle u,v\rangle,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где значения арксинуса берутся в промежутке от $-\pi/2$ до $\pi/2$. Из леммы вытекает существование набора векторов $\{u_j\}_{j=1}^N\subset S^{N-1}$, для которых $\langle u_j,u_k\rangle=b_{jk}$, $1\leqslant j,k\leqslant N$. Пусть $f_j(x)=(2R)^{1/2}\operatorname{sign}\langle x,u_j\rangle$, $j=1,\dots,N$. В силу (3) и построения матрицы $B$ значения функций $f_j$ и их попарные скалярные произведения удовлетворяют требованиям теоремы 1. Возможность переноса этих функций в $L^\infty(0,1)$ с сохранением нужных свойств следует из наличия канонического изоморфизма пространств $L^p(S^{N-1})$ и $L^p(0,1)$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kas22} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|