| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Что образуют абелевы категории? Д. Б. Калединab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10044 
Реферативные базы данных:
     ВведениеДавным-давно, когда математика была “наукой о числах” – что, кстати, до сих пор верно в восточноазиатских языках, по крайней мере терминологически, – объекты ее изучения, как правило, были элементами множества. В наши дни они чаще образуют категорию. Но что, если эти объекты сами являются категориями? Разумеется, просто малые категории без излишеств образуют $2$-категорию, и все: для любых малых категорий $I$, $I'$ имеем категорию функторов $\operatorname{Fun}(I,I')$, эти категории снабжены функторами композиции, единичными объектами и изоморфизмами ассоциативности и унитальности – на этом история заканчивается. Но если мы рассматриваем категории с дополнительными структурами и/или категории специального вида, все гораздо сложнее. Пример этого – современная “некоммутативная” или же “категорная” алгебраическая геометрия в духе, скажем, работы Концевича и Сойбельмана [21]. В трех словах, она представляет собой “геометрию производных категорий”: алгебраическое многообразие $X$ изучается через его производную категорию когерентных пучков $\mathcal{D}(X)$. Но $\mathcal{D}(X)$ – не просто категория. Как минимум она снабжена триангулированной структурой в смысле Вердье [28], но хорошо известно, что этого недостаточно – в частности, триангулированные функторы между триангулированными категориями не образуют триангулированную категорию и, что еще хуже, хотя более-менее понятно, что́ должно быть “триангулированной категорией функторов” из $\mathcal{D}(X)$ в $\mathcal{D}(X')$, ее невозможно восстановить исходя только из $\mathcal{D}(X)$ и $\mathcal{D}(X')$. Правильный объект изучения – триангулированная категория “с оснащением”, и точный смысл “оснащения” надо выбрать. Один довольно радикальный выбор, который приобретает все большую популярность, – это подняться на один уровень и сказать, что на самом деле вообще все категории следует снабдить оснащением. Тогда триангулированные категории отвечают стабильным оснащенным категориям, причем стабильность – свойство, а не дополнительная структура. Стабильные функторы между стабильными категориями уже образуют стабильную категорию, и теория выглядит в разумной степени завершенной и естественной. Однако на практике во всех существующих формализмах вроде квазикатегорий и полных пространств Сигала оснащенная категория представляет собой нечто весьма большое и зависящее от произвольных выборов, и ее имеет смысл рассматривать только с точностью до “слабой эквивалентности” в надлежащем смысле. Поэтому для работы с оснащенными категориями приходится использовать тяжеловесную машинерию абстрактной теории гомотопий – модельные категории, симплициальную теорию гомотопий и т. д. Это не является проблемой в топологии, где вся эта машинерия в любом случае нужна, но выглядит чрезмерным в более алгебраических приложениях, где люди привыкли к простой и мощной гомологической технике, введенной в [10], и решительно предпочитают цепные комплексы симплициальным множествам. Возможно, именно по этой причине в категорной геометрии наиболее популярна техника оснащений, основанная на понятии дифференциально-градуированной (или же $DG$-) категории; очень хороший обзор этого предмета дан в статье [20]. В этом контексте вопрос, вынесенный в заголовок настоящей статьи, обсуждался в новаторской работе [26]. Среди прочего, Тамаркин построил правильную DG-категорию DG-функторов между двумя DG-категориями над фиксированным полем $k$, а затем подробно изучил функторы композиции и всевозможные высшие структуры, которые здесь возникают. В частности, если ограничиться одной DG-категорией $A_{ \bullet }$, то ее когомологии Хохшильда $HH^{ \bullet }(A_{ \bullet })$ определяются как алгебра $\operatorname{RHom}^{ \bullet }(\operatorname{Id},\operatorname{Id})$, где $\operatorname{Id}$ есть единичный эндофунктор $A_{ \bullet }$, и снабжены дополнительной структурой $E_2$-алгебры или, что эквивалентно, $B_\infty$-алгебры (см. [20; п. 5.4]). Это играет ключевую роль в построении теории деформаций для $A_{ \bullet }$, причем деформации первого порядка описываются классами в $HH^2(A_{ \bullet })$. Цель настоящей статьи в некотором смысле дополнительна к тому, что было сделано в [26]. А именно, мы замечаем, что если не все, то многие триангулированные категории, которые встречаются в геометрии, не только происходят из DG-категорий, но также являются производными категориями от абелевых. Предположим, что мы рассматриваем производные категории $\mathcal{D}(\mathcal{C})$, $\mathcal{D}(\mathcal{C}')$ абелевых категорий $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$. Можем ли мы восстановить “правильную” категорию функторов из $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ в $\mathcal{D}(\mathcal{C}')$, если мы помним не только $\mathcal{D}(\mathcal{C})$, $\mathcal{D}(\mathcal{C}')$, но и сами абелевы категории $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$? Если да, то есть ли удобная модель для этой категории функторов в терминах $\mathcal{C}$ и $\mathcal{C}'$? В некотором смысле это выглядит как игрушечная модель для всей теории, поскольку производные категории – это довольно частный случай, а помнить абелеву категорию $\mathcal{C}$ еще более ограничительно. Одно преимущество такой игрушечной модели в том, что получается абсолютная теория: хотя абелевы категории можно рассматривать над фиксированным полем $k$, можно работать и без базового поля. На самом деле, если $k$ зафиксировать, то ответ на наш вопрос давно известен: если $\mathcal{C}$ мала, а область значений достаточно велика – например, представляет собой инд-пополнение $\operatorname{Ind}(\mathcal{C}')$ малой абелевой категории $\mathcal{C}'$, – то $k$-линейные точные слева функторы $\mathcal{C} \to \operatorname{Ind}(\mathcal{C}')$ образуют абелеву категорию (это в сущности следует из знаменитой теоремы Габриэля–Попеску 1960-х годов, см. точное утверждение ниже в примере 5.2). Ее производная категория – ровно то, что нам нужно. В частности, она дает правильные когомологии Хохшильда $HH^{ \bullet }(\mathcal{C})= \operatorname{RHom}^{ \bullet }(\operatorname{Id},\operatorname{Id})$, изоморфные тем, что дает DG-формализм, а теория деформаций в этом контексте была успешно построена в [22] и последующих работах. В качестве альтернативы вместо функторов $\mathcal{C} \to \operatorname{Ind}(\mathcal{C}')$ можно рассматривать функторы $\operatorname{Ind}(\mathcal{C}) \to \operatorname{Ind}(\mathcal{C}')$, которые непрерывны, т. е. коммутируют с фильтрованными копределами. Это дает ту же категорию, но ее можно определить в большей общности: вместо инд-пополнений малых абелевых категорий можно рассматривать произвольные конечно представимые абелевы категории (подробнее см. ниже в п. 1.2). В абсолютном случае все эти вещи изучены хуже или, по крайней мере, на них труднее найти ссылки в литературе. С точки зрения теории деформаций базовый пример деформации первого порядка, которая не линейна над полем, дается кольцом $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$, рассмотренным как расширение с квадратом нуль простого поля $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Чтобы получить в этом случае класс деформации, группу когомологий Хохшильда надо заменить на группу так называемых когомологий Маклейна $HM^{ \bullet }(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. Одна из попыток распространить это на произвольные абелевы категории – работа [18], где построены категории функторов нескольких видов и связанные с ними обобщения когомологий Хохшильда, а также доказаны теоремы сравнения, позволяющие найти в этом формализме когомологии Маклейна и некоторые другие обобщения. Однако главный предмет изучения в [18] – сами эти теории когомологий и морфизмы сравнения. В настоящей статье мы хотим сосредоточиться на $2$-категорной структуре. Для любых конечно представимых абелевых категорий $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ мы предъявляем одну конкретную категорию функторов $\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ и ее производную версию $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, а затем мы строим функторы композиции и показываем, что объекты $\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ и $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ в самом деле естественно действуют на $\mathcal{C}$ и $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ соответственно. Основная идея конструкции в некотором смысле удивительна, но совсем не нова; она тоже в сущности восходит к теореме Габриэля–Попеску. Если дан аддитивный функтор $E\colon\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ между абелевыми категориями, то условие точности слева на него можно интерпретировать как требование того, что $E$ является пучком по отношению к подходящей топологии Гротендика (иногда называемой эпитопологией). Затем замечаем, что условие аддитивности можно отбросить – условие пучка и условие аддитивности независимы, причем каждое из них имеет смысл и без другого. Теперь берем конечно представимые абелевы категории $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ и рассматриваем категорию $\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ всех непрерывных функторов $\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$. Категория $\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ абелева, а наша $\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \subset \operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ есть полная подкатегория, образованная пучками. Эта категория также абелева, имеем точный слева полный строгий функтор вложения $e\colon\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \to \operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, а сопряженный к нему слева функтор ассоциированного пучка $a\colon\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}') \to \operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ точен. Чтобы перейти к производным категориям, начинаем с положительной части $\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C})$ производной категории $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ и используем классическую технику продолжения, введенную Дольдом [6]. А именно, для любой абелевой $\mathcal{A}$ эквивалентность Дольда–Кана отождествляет категорию $\operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{A})$ косимплициальных объектов в $\mathcal{A}$ с категорией $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ цепных комплексов в $\mathcal{A}$, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях. Тогда функтор $E\colon\mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ в какую-нибудь абелеву категорию $\mathcal{A}'$ мы можем продолжить до функтора $\operatorname{\sf D}(E)\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}')$, переходя к косимплициальным объектам и применяя $E$ поточечно. Более общо, если дан функтор $E\colon\mathcal{A} \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}') \cong \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{A}')$, определяем его продолжение по Дольду $\operatorname{\sf D}(E)\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}')$, применяя $E$ поточечно, а затем ограничивая полученный бисимплициальный объект на $\Delta \subset \Delta \times \Delta$. Если $\mathcal{A}=\mathcal{C}$, $\mathcal{A}'=\mathcal{C}'$ конечно представимы, то эта конструкция переводит непрерывные функторы в непрерывные функторы, и она всегда переводит поточечные квазиизоморфизмы в поточечные квазиизоморфизмы и тем самым спускается до функтора
$$
\begin{equation*}
\operatorname{\sf D}\colon\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\operatorname{Fun}_c (\mathcal{C},\mathcal{C}')) \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\operatorname{Fun}_c (C^{\geqslant 0}(\mathcal{C}),\mathcal{C}')),
\end{equation*}
\notag
$$
где мы отождествляем $C^{\geqslant 0}(\operatorname{Fun}(-,-)) \cong \operatorname{Fun}(-,C^{\geqslant 0}(-))$ и локализуем по поточечным квазиизоморфизмам. Теперь обозначаем через $\operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ производную категорию нашей категории функторов $\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, а через $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ ее положительную часть и замечаем, что производный функтор $R^{ \bullet }e$ вложения $e$ дает полное вложение $R^{ \bullet } e\colon \operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}'))$. С другой стороны, функтор $C^{\geqslant 0}(\mathcal{C}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{C}')$ назовем гомотопическим, если он переводит квазиизоморфизмы в квазиизоморфизмы, и обозначим через $\operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \subset \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\operatorname{Fun}_c (C^{\geqslant 0}(\mathcal{C}),\mathcal{C}'))$ полную подкатегорию, образованную гомотопическими функторами. Тогда, в этих обозначениях, мы доказываем следующее (точные утверждения см. в теореме 5.5 и следствии 5.6): Интересно отметить, что сам Дольд применял свою процедуру продолжения несколько по-другому. Он обнаружил, что для совершенно любого $E\colon\mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ функтор $\operatorname{\sf D}(E)$ переводит гомотопные отображения комплексов в гомотопные (на нашем языке это лемма 4.6), а затем определил производные функторы $D^i(E)$, $i \geqslant 0$, применяя $\operatorname{\sf D}(E)$ к инъективной резольвенте объекта $A \in \mathcal{A}$ и беря гомологии получающегося комплекса. На самом деле это отлично согласуется с подходом, основанным на пучках: для любого $E$ функтор $D^0(E)$ является пучком, причем $E \cong D^0(E)$ в том и только том случае, если сам $E$ был пучком. Высшие производные функторы $D^{ \bullet }(E)$ суть объекты гомологий $R^{ \bullet } e(a(E))$ (это предложение 4.8). Чтобы продолжить наши функторы на всю производную категорию $\mathcal{D}(\mathcal{C})$, надо знать, что продолжение по Дольду $\operatorname{\sf D}(E)$ коммутирует с гомологическими сдвигами; однако в общем случае это неверно, и не должно быть верным. Причина этого – отброшенное нами условие аддитивности, и теперь мы восстанавливаем его на уровне производных категорий. Это можно сделать несколькими эквивалентными способами (см. предложение 6.3), но самое простое – потребовать, чтобы $E\colon\mathcal{C} \to C^{ \bullet }(\mathcal{C}')$ становился аддитивным после проекции в $\mathcal{D}(\mathcal{C}')$. Это выделяет полную триангулированную подкатегорию $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \subset \operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ стабильных объектов, и они – если, по техническим причинам, они ограничены снизу – естественным образом действуют функторами $\mathcal{D}(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}(\mathcal{C}')$. Отметим, что $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ наследует $t$-структуру из $\operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, причем ее сердцевина $\operatorname{Mor}_{\rm st}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ есть просто категория аддитивных точных слева непрерывных функторов $\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$, в точности как в $k$-линейной ситуации. Однако вся категория не есть производная категория от своей сердцевины. Отличие появляется уже в степени $2$, и включает в себя классы когомологий Маклейна, ответственные за нелинейные деформации. Теперь, чтобы закончить введение, дадим пораздельный обзор того, что мы делаем в статье, но сначала скажем, чего мы не делаем:
Обзор статьиРаздел 1 содержит предварительные сведения. Его не следует воспринимать как замкнутое в себе введение в теорию категорий и гомологическую алгебру; наша цель – зафиксировать обозначения, точно объяснить нестандартную терминологию и выделить полезные факты, которые обычно не выделяют (например, то, что аддитивность – это условие на категорию, а не дополнительная структура). Пункт 1.1 посвящен общей теории категорий; нестандартная терминология здесь – это “замкнутые слева подкатегории” и “пунктированные слева категории”. Пункт 1.2 посвящен представимости и инд- и пропополнениям, в духе книги [19]. Пункт 1.3 описывает абелевы категории, а п. 1.4 – производные. Мы предполагаем известным весь стандартный материал, который можно найти в любом учебнике по гомологической алгебре, но обсуждаем такие менее стандартные темы, как гомотопические пределы и копределы и связь между короткими точными последовательностями и бидекартовыми квадратами (замечание 1.9), а затем – между выделенными треугольниками и гомотопически бидекартовыми квадратами (пример 1.11). Второе, разумеется, вдохновлено понятием стабильности в гомотопически оснащенном мире, но полезно и без оснащений. Раздел 2 посвящен топологиям Гротендика. В п. 2.1 мы даем очень краткий обзор, снабженный поучительными примерами вроде топологий на конечных частично упорядоченных множествах. Среди прочего мы напоминаем, что для любой малой категории $I$, снабженной топологией, и любой конечно представимой абелевой категории $\mathcal{E}$ категория $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ $\mathcal{E}$-значных пучков на $I$ абелева, причем вложение $e\colon\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E}) \to \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$ точное слева и допускает точный сопряженный слева функтор ассоциированного пучка $a$. Затем в п. 2.2 мы описываем один конкретный класс топологий, а именно те, что порождены покрытиями, состоящими из одного морфизма. Чтобы аксиоматизировать ситуацию, мы вводим понятие покрывающего класса $F$ и доказываем один общий результат о существовании некоторых специальных покрытий (лемма 2.11). В разделе 3 мы переходим к гиперпокрытиям. Их обычно понимают как аугментированные симплициальные множества некоторого конкретного вида, но на самом деле большая часть теории существует в куда большей общности (а именно, при замене $\Delta$ на более общую малую категорию $I$), причем доказательства, освобожденные от симплициальной комбинаторики, становятся проще. Поэтому мы позволили себе потратить некоторое время на гиперпокрытия разных видов, для разных $I$. В п. 3.1 изучены конечные частично упорядоченные множества, в п. 3.2 все продолжено на категории из класса, включающего в себя как $\Delta$, так и категорию $\operatorname{Pos}$ конечных частично упорядоченных множеств, и, наконец, в п. 3.3 мы возвращаемся к обычной симплициальной истории. Этот раздел – единственное место в статье, где некоторые результаты могут быть новыми. И раздел 2, и раздел 3 чисто категорные; гомологическая алгебра появляется в разделе 4. Мы начинаем со стандартных фактов про эквивалентность Дольда–Кана (доказательства опущены). Затем мы вводим наш основной объект, эпитопологию на абелевой категории $\mathcal{A}$ (в терминологии п. 2.2, она отвечает покрывающему классу эпиморфизмов). Мы показываем, что, благодаря эквивалентности Дольда–Кана, гиперпокрытия в эпитопологии можно отождествить с левыми резольвентами в смысле гомологической алгебры. Затем мы доказываем общий результат, предложение 4.8, которое для любой малой категории $I$ с покрывающим классом $F$ и любой конечно представимой абелевой категории $\mathcal{E}$ вычисляет производный функтор $R^{ \bullet } e$ от функтора вложения $e\colon\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E}) \to \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$ в терминах гиперпокрытий на $I$. Результат на самом деле стандартный и верен для более общих топологий – “локальные когомологии можно вычислять с помощью гиперпокрытий”, – но доказательство в нашей ситуации несложное, а конечный результат симпатичный: если $I=\mathcal{A}$ с эпитопологией, то, поскольку гиперпокрытия суть левые резольвенты, объекты гомологий $R^{ \bullet } e(a(E))$ для функтора $E\colon\mathcal{A}^o \to \mathcal{E}$ суть просто производные функторы в смысле Дольда функтора $E$. Покончив с предварительными сведениями и результатами, мы переходим к главному предмету статьи, а именно к категориям функторов. В разделе 5 мы определяем категорию функторов $\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ для любых конечно представимых абелевых категорий $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$, а также ее производную категорию $\operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ и доказываем наши главные результаты о продолжении, теорему 5.5 и следствие 5.6. Они дают действие положительной части $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ функторами $\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C}')$. Затем в разделе 6 мы вводим условие стабильности на функторы в нескольких эквивалентных формах, приведенных в предложении 6.3, и показываем, что полная подкатегория $\operatorname{DMor}_{\rm st}^+(\mathcal{C},\mathcal{C}') \subset \operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, порожденная стабильными объектами, ограниченными снизу, действует функторами $\mathcal{D}^+(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}^+(\mathcal{C}')$. 1. Общие сведения1.1. Категории и функторыМы обозначаем через $\mathsf{pt}$ одноточечную категорию (один объект, один морфизм). Для любой категории $I$ мы обозначаем через $I^o$ противоположную категорию. Для любого функтора $\gamma\colon I\to\mathcal{E}$ мы обозначаем через $\gamma^o\colon I^o \to \mathcal{E}^o$ противоположный функтор. Для любого объекта $E \in \mathcal{E}$ мы обозначаем через $E_I\colon I \to \mathcal{E}$ постоянный функтор со значением $E$. Несколько нестандартно мы говорим, что полная подкатегория $I' \subset I$ замкнута слева, если для любого морфизма $f\colon i' \to i$ в $I$ с $i \in I'$ имеем также $i' \in I'$, и что $I' \subset I$ замкнута справа, если ${I'}^o \subset I^o$ замкнута слева. Категория $I$ связна, если любые два объекта можно соединить цепью морфизмов. Для любого объекта $e \in \mathcal{E}$ мы обозначаем через $I /_\gamma e$ левый комма-слой функтора $\gamma$ (т. е. категорию пар $\langle i,\alpha \rangle$, где $i \in I$ и $\alpha\colon \gamma(i) \to e$ – морфизм), а через $\sigma(e)\colon I /_\gamma e\to I$ функтор забывания, и мы опускаем $\gamma$, когда оно ясно из контекста (в частности, для любого $i \in I$ мы сокращаем $I/_{\operatorname{\mathsf{id}}}i$ до $I/i$). Двойственным образом, правый комма-слой – это $e \setminus_\gamma I=(I^o/e)^o$, а слой $I_e$ – это полная подкатегория $I_e\subset I/e$ таких объектов $\langle i,\alpha \rangle$, что $\alpha$ является изоморфизмом. Мы рассматриваем частично упорядоченное множество $J$ как малую категорию обычным образом (объекты суть элементы $j \in J$, и есть единственный морфизм из $j$ в $j'$ тогда и только тогда, когда $j' \geqslant j$). Малая категория эквивалентна частично упорядоченному множеству тогда и только тогда, когда между любыми двумя объектами есть не более одного морфизма, и, допуская некоторую вольность в терминологии, мы будем просто говорить, что $I$ есть частично упорядоченное множество. Отметим, что в этом случае для любого $i \in I$ комма-слой $I / i$ есть замкнутая слева полная подкатегория $I / i \subset I$ и, поскольку она полна, она также является частично упорядоченным множеством. Другой нестандартный термин, который окажется полезным, таков: мы говорим, что категория $I$ пунктирована слева, если у нее есть начальный объект $o \in I$, причем $\{o\} \subset I$ замкнута слева. Любую категорию $I$ можно превратить в пуктированную слева, формально добавив начальный объект $o$, и мы обозначаем полученную категорию через $I^<$. Так получается любая пунктированная слева категория $I$ (а именно, имеем $I \cong (I \setminus \{o\})^<$). Произведение $I_0 \times I_1$ пунктированных слева категорий $I_0$, $I_1$ пунктировано слева, и для любых двух категорий $I_0$, $I_1$ мы определяем расширенное произведение как
$$
\begin{equation}
I_0 * I_1=(I^<_0 \times I^<_1) \setminus \{o \times o\},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
так что $I^<_0 \times I^<_1 \cong (I_0 * I_1)^<$. Пример 1.1. Категория $\mathsf{pt} * \mathsf{pt}$ естественным образом отождествляется с множеством $\mathsf{V}^o$, противоположным к частично упорядоченному множеству $\mathsf{V}=\{0,1\}^<$ с тремя элементами $o$, $0$, $1$ и порядком $0,1 \geqslant o$. Функтор между пунктированными слева категориями пунктирован слева, если он переводит $o$ в $o$ и для любых категорий $I_0$, $I_1$ функтор $\varphi\colon I_0 \to I_1^<$ канонически продолжается до пунктированного слева функтора $\varphi^<\colon I_0^< \to I_1^<$. Аугментированный функтор из категории $I$ в категорию $\mathcal{E}$ есть функтор $E^<\colon I^< \to \mathcal{E}$. Он $e$-аугментирован для объекта $e \in \mathcal{E}$, если $E^<(o)=e$, а аугментация данного функтора $E\colon I \to \mathcal{E}$ есть аугментированный функтор $E^<\colon I^< \to \mathcal{E}$, снабженный изоморфизмом $E^<\big|_I \cong E$. Аугментации заданного функтора $E$ образуют категорию; по определению конечный объект $E^<$ в ней есть тогда и только тогда, когда существует предел $\operatorname{\mathsf{lim}}_IE$, причем имеем $E^<(o) \cong \operatorname{\mathsf{lim}}_IE$. В таком случае мы говорим, что аугментация универсальна. Задать $e$-аугментацию функтора $E\colon I \to \mathcal{E}$ – это то же самое, что задать отображение $e_I \to E$ из постоянного функтора со значением $e$. Двойственным образом, мы обозначаем $I^>=(I^{o<})^o$, а коаугментированный функтор $I \to \mathcal{E}$ – это функтор $I^>\to \mathcal{E}$; универсальная коаугментация дается копределом $\operatorname{\mathsf{colim}}_I$ (если он существует). Категория $\mathcal{E}$ полна (соответственно конечно полна), если $\operatorname{\mathsf{lim}}_IE$ существует для любой малой (соответственно конечной) категории $I$ и функтора $E\colon I \to \mathcal{E}$, и кополна (соответственно конечно кополна), если $\mathcal{E}^o$ полна (соответственно конечно полна). Например, категория $\operatorname{Sets}$ всех множеств полна и кополна. Ретрактом объекта $i \in I$ категории $I$ называется объект $i' \in I$, снабженный такими отображениями $a\colon i' \to i$, $b\colon i \to i'$, что $b \circ a=\operatorname{\mathsf{id}}$. Тогда композиция $p=a \circ b\colon i \to i$ идемпотентна, $p^2=p$, и $i'$ называется образом идемпотентного эндоморфизма $p$. Образ, если он существует, единственный, и его автоматически сохраняет любой функтор. Категория замкнута по Каруби, если для любого идемпотентного эндоморфизма любого объекта существует образ. Если категория $I$ замкнута по Каруби, то такова же и противоположная категория $I^o$. Полная либо кополная категория замкнута по Каруби. Для любой малой категории $I$ и произвольной категории $\mathcal{E}$ мы обозначаем через $\operatorname{Fun}(I,\mathcal{E})$ категорию функторов $E\colon I \to \mathcal{E}$. Для любого функтора $\gamma\colon I' \to I$ из малой $I'$ мы обозначаем $\gamma^*E=E \circ \gamma \in \operatorname{Fun}(I',\mathcal{E})$. Имеем $\operatorname{Fun}(\mathsf{pt},\mathcal{E})=\mathcal{E}$. Для любых $E_0,E_1\colon I \to \mathcal{E}$ мы обозначаем через $\operatorname{Hom}_I(E_0,E_1)$ множество отображений из $E_0$ в $E_1$, и мы опускаем индекс $I$, когда он ясен из контекста. Мы также определяем функтор $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}_I(E_0,E_1) \colon I \to \operatorname{Sets}$ как
$$
\begin{equation}
\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}_I(E_0,E_1)(i)= \operatorname{Hom}_{i \setminus I}(\sigma(i)^{o*}E_0,\sigma(i)^{o*}E_1);
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
отметим, что $\operatorname{Hom}_I(E_0,E_1)= \operatorname{\mathsf{lim}}_I\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}_I(E_0,E_1)$. Для любого $E \in \operatorname{Fun}(I',\mathcal{E})$ левое расширение Кана $\gamma_!E$ есть функтор $\gamma_!E\colon I \to \mathcal{E}$, снабженный отображением $E \to \gamma^*\gamma_!\mathcal{E}$, которое удовлетворяет обычному свойству универсальности. Если $\operatorname{\mathsf{colim}}_{I'/i}\sigma(i)^*E$ существует для любого $i \in I$, то левое расширение Кана также существует и задается как
$$
\begin{equation}
\gamma_!E(i)=\operatorname{\mathsf{colim}}_{I'/i}\sigma(i)^*E, \qquad i \in I.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Если это верно для любого $E$ (например, если область значений $\mathcal{E}$ кополна), то $\gamma_!\colon\operatorname{Fun}(I',\mathcal{E}) \to \operatorname{Fun}(I,\mathcal{E})$ сопряжен слева к $\gamma^*$. Если $\gamma=\tau\colon I \to \mathsf{pt}$ есть тавтологическая проекция в точку, то $\tau_!=\operatorname{\mathsf{colim}}_I$ есть сам копредел. Двойственным образом, правое расширение Кана $f_*E$ есть $(\gamma_!E^o)^o$, и имеется двойственная версия (1.3), выражающая $\gamma_*E$ через пределы по правым комма-слоям. Замечание 1.2. Левое расширение Кана $\gamma_!E$ может существовать даже тогда, когда некоторых копределов в (1.3) не существует. А именно, для любого функтора $E'\colon I \to \mathcal{E}$ и объекта $i \in I$ отображение $E \to \gamma^*E'$ задает $E'(i)$-коаугментацию функтора $\sigma(i)^*E\colon I'/i \to \mathcal{E}$, и мы будем говорить, что $E'$ есть универсальное левое расширение Кана, если все эти коаугментации универсальны. Тогда универсальное левое расширение Кана существует в том и только том случае, когда существуют все копределы в (1.3); универсальное левое расширение Кана является, в частности, левым расширением Кана. При некоторых предположениях (например, если $I=\mathsf{pt}$ или если $\mathcal{E}$ имеет произвольные произведения) любое левое расширение Кана универсально, но в общем случае это неверно. Например, если $\mathcal{E}$ – дискретная категория с более чем одним объектом, то $\operatorname{Fun}(I,\mathcal{E}) \cong\mathcal{E}$ тогда и только тогда, когда малая категория $I$ связна, но, поскольку в $\mathcal{E}$ нет начального объекта, $\operatorname{\mathsf{colim}}_IE$ не существует ни для какого функтора $E\colon I \to \mathcal{E}$ из пустой категории $I$. Поэтому для любого функтора $\gamma\colon I' \to I$ между связными малыми категориями и любого $E\colon I' \to \mathcal{E}$ левое расширение Кана $\gamma_!E$ существует по тавтологическим причинам, но, если хотя бы один комма-слой $I'/i$ пуст, оно не универсально. Пример 1.3. Для любой малой категории $I$ и функтора $X\colon I^o\to\operatorname{Sets}$ определим категорию элементов $IX$ как категорию пар $\langle i,x\rangle$, $i \in I$, $x \in X(i)$, причем морфизмы $\langle i,x\rangle \to \langle i',x' \rangle$ даются такими морфизмами $f\colon i \to i'$, что $f(x')=x$. Тогда имеем забывающий функтор $\pi\colon IX \to I$, $\langle i,x \rangle \mapsto i$, и для любого функтора $E\colon I^o \to \mathcal{E}$ в полную категорию $\mathcal{E}$ можно определить Для любого целого числа $n \geqslant 0$ мы обозначаем через $[n]$ ординал $\{0,\dots,n\}$ с обычным порядком; при необходимости мы рассматриваем его как частично упорядоченное множество или как категорию. Имеем $[n]^o \cong [n]$ и $[n]^< \cong [n]^> \cong [n+1]$. Например, $[0]=\mathsf{pt}$ есть точка, а $[1]$ есть “однострелочная категория” с двумя объектами $0$, $1$ и единственной нетривиальной стрелкой $0 \to 1$; функторы $[1] \to \mathcal{E}$ в какую-либо $\mathcal{E}$ отвечают стрелкам в $\mathcal{E}$. Функторы $[2] \to \mathcal{E}$ отвечают компонуемым парам стрелок $f$, $f'$; имеем вложения $s,t\colon[1] \to [2]$ на начальный (соответственно конечный) сегмент ординала $[2]$, и функтор $[2] \to \mathcal{E}$ дает $f$ (соответственно $f'$) при ограничении на $s$ (соответственно на $t$). Имеем также вложение $m\colon [1] \to [2]$ на $\{0,2\} \subset [2]$, и ограничение на $m$ дает композицию $f' \circ f$. Более общо, для любой категории $I$ и функторов $E_0,E_1\colon I \to \mathcal{E}$ задать морфизм $f\colon E_0 \to E_1$ – это то же самое, что задать функтор $\iota(f)\colon[1] \times I \to \mathcal{E}$, ограничение которого на $\{l\} \times I$, $l=0,1$, отождествлено с $E_l$. Компонуемая пара морфизмов $f$, $f'$ задает функтор $\iota(f,f')\colon[2] \times I \to \mathcal{E}$, снабженный изоморфизмами
$$
\begin{equation*}
(s \times \operatorname{\mathsf{id}})^*\iota(f,f') \cong \iota(f),\qquad (t \times \operatorname{\mathsf{id}})^*\iota(f,f') \cong \iota(f'),
\end{equation*}
\notag
$$
причем имеем каноническое отождествление
$$
\begin{equation*}
\iota(f' \circ f) \cong (m \times\operatorname{\mathsf{id}})^*\iota(f,f').
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом коммутативные квадраты в категории $\mathcal{E}$ отвечают функторам $[1]^2 \to \mathcal{E}$, где $[1]^2=[1] \times [1]$ есть декартов квадрат однострелочной категории $[1]$. Однострелочная категория $[1] \cong \mathsf{pt}^<$ пунктирована слева, а $\mathsf{pt} * \mathsf{pt} \cong [1]^2 \setminus \{0 \times 0\}$ есть частично упорядоченное множество $\mathsf{V}^o$ из примера 1.1, т. е. коммутативный квадрат $\gamma\colon[1]^2 \to \mathcal{E}$ задает аугментированный функтор из $\mathsf{V}^o$ в $\mathcal{E}$. Квадрат декартов, если эта аугментация универсальна (иными словами, $\operatorname{\mathsf{lim}}_{\mathsf{V}^o}\gamma$ существует, а отображение $\gamma(0 \times 0) \to \operatorname{\mathsf{lim}}_{\mathsf{V}^o}\gamma$ является изоморфизмом). Двойственным образом, имеем $[1]^o \cong [1]$, так что $[1]^2 \cong \mathsf{V}^>$, и коммутативный квадрат есть коаугментированный функтор из $\mathsf{V}$; квадрат кодекартов, если коаугментация универсальна. 1.2. Индуктивные пополненияНапомним некоторые более продвинутые результаты о пределах и индуктивных пополнениях, которые нам понадобятся (хорошее современное изложение этого материала есть в [19; гл. 6]). Для любой связной малой категории $I$ с тавтологической проекцией $\tau\colon I \to \mathsf{pt}$ функтор $\tau^*\colon\mathcal{E} \to \operatorname{Fun}(I,\mathcal{E})$ является полным и строгим, так что, по сопряженности, $\operatorname{\mathsf{colim}}_IE_I\cong \operatorname{\mathsf{lim}}_IE_I \cong E$ для любого $E \in \mathcal{E}$ (причем и предел, и копредел существуют). Функтор $\gamma\colon I' \to I$ кофинален, если $i \setminus I'$ связен для любого $i \in I$. В этом случае из двойственной версии равенства (1.3) ясно, что $\gamma_*E_{I'} \cong E_I$, $E \in \mathcal{E}$, и что для любого $E\colon I \to \mathcal{E}$ имеем изоморфизм сопряжения
$$
\begin{equation}
\operatorname{\mathsf{colim}}_{I'}\gamma^*E \cong \operatorname{\mathsf{colim}}_IE,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
причем обе части существуют или не существуют одновременно. Категория с начальным объектом тривиальным образом связна, так что любой функтор, допускающий сопряженный слева, кофинален. Полезный пример такой ситуации возникает, если $\gamma^o$ есть “расслоение Гротендика” в смысле [11] (недавний обзор с теми же обозначениями, что и в настоящей статье, см., например, в [17; п. 1.3]). В этом случае вложение $I'_i \to I'/i$ для любого $i \in I$ допускает сопряженный слева и левые комма-слои $I' / i$ в (1.3) можно заменить на обычные слои $I'_i$. Направленная категория очевидным образом связна, так что если правый комма-слой $i \setminus I'$ функтора $\gamma\colon I' \to I$ непуст и направлен для любого $i \in I$, то функтор $\gamma$ кофинален. Если $I'$ фильтрована, то все комма-слои автоматически удовлетворяют условию (ii) определения 1.4 и поэтому также фильтрованы. Если $I$ – частично упорядоченное множество, то условие (ii) определения 1.4, снова выполнено автоматически, а $I$ фильтрована тогда и только тогда, когда она направлена. Конечно кополная категория $I$ фильтрована по тривиальным причинам. Для любой фильтрованной $I$ функтор копредела $\operatorname{\mathsf{colim}}_I \colon\operatorname{Fun}(I,\operatorname{Sets}) \to \operatorname{Sets}$ сохраняет конечные пределы, и это свойство – главная причина полезности понятия фильтрованной категории. Замечание 1.5. Приятное упражнение – проверить, что обратное также верно: если $\operatorname{\mathsf{colim}}_I\colon \operatorname{Fun}(I,\operatorname{Sets}) \to \operatorname{Sets}$ сохраняет конечные пределы, то $I$ фильтрована. Объекты индуктивного пополнения $\operatorname{Ind}(\mathcal{C})$ категории $\mathcal{C}$ суть пары $\langle I,c \rangle$, образованные малой фильтрованной категорией $I$ и функтором $c\colon I \to \mathcal{C}$, а морфизмы задаются как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}(\langle I,c \rangle,\langle I',c'\rangle)= \operatorname{\mathsf{lim}}_{i \in I^o} \operatorname{\mathsf{colim}}_{i' \in I'}\operatorname{Hom}(c(i),c'(i')).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем тавтологическое полное вложение $\iota\colon\mathcal{C} \to \operatorname{Ind}(\mathcal{C})$, $c \mapsto \langle \mathsf{pt},c \rangle$. Категория $\operatorname{Ind}(\mathcal{C})$ имеет фильтрованные копределы и универсальна среди категорий с этим свойством. А именно, будем говорить, что функтор непрерывен, если он сохраняет фильтрованные копределы; тогда для любой категории $\mathcal{E}$ с фильтрованными копределами и любого функтора $E\colon\mathcal{C} \to \mathcal{E}$ левое расширение Кана $\iota_!E\colon\operatorname{Ind}(\mathcal{C}) \to \mathcal{E}$ существует, непрерывно и является единственным, с точностью до единственного изоморфизма, непрерывным продолжением $E$ на $\operatorname{Ind}(\mathcal{C})$. Для любого $C \in \operatorname{Ind}(\mathcal{C})$, представленного парой $\langle I,c \rangle$, естественная проекция $I \to \mathcal{C}/C$ кофинальна, так что $\iota_!(E)(C) \cong \operatorname{\mathsf{colim}}_{i \in I}E(c(i))$ по (1.3) и (1.6). Двойственным образом, проективное пополнение $\operatorname{Pro}(\mathcal{C})$ есть $\operatorname{Pro}(\mathcal{C})=\operatorname{Ind}(\mathcal{C}^o)^o$. Объекты в $\operatorname{Ind}(\mathcal{C})$ (соответственно в $\operatorname{Pro}(\mathcal{C})$) также известны как инд-объекты (соответственно прообъекты) в $\mathcal{C}$. Если $\mathcal{C}=I$ малая, имеем полное вложение Йонеды
$$
\begin{equation}
\mathsf{Y}\colon I \to \operatorname{Fun}(I^o,\operatorname{Sets}),\qquad \mathsf{Y}(i)(i')=\operatorname{Hom}(i',i),
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
причем $\iota_!\mathsf{Y}\colon\operatorname{Ind}(I) \to \operatorname{Fun}(I^o,\operatorname{Sets})$ также есть полное вложение, отождествляющее $\operatorname{Ind}(I)$ с полной подкатегорией в $\operatorname{Fun}(I^o,\operatorname{Sets})$, состоящей из фильтрованных копределов представимых функторов. Отметим, что вложение Йонеды (1.7), а стало быть, и вложение $I \to \operatorname{Ind}(I)$, отражает мономорфизмы (т. е. отображение $f$ является мономорфизмом в $I$ тогда и только тогда, когда оно является мономорфизмом в $\operatorname{Ind}(I)$). Объект $c \in \mathcal{C}$ категории $\mathcal{C}$ конечно представим, или компактен, если копредставимый функтор $\operatorname{Hom}(c,-)$ сохраняет фильтрованные копределы. Пусть $\mathcal{C}_c \subset \mathcal{C}$ – полная подкатегория кополной категории $\mathcal{C}$, состоящая из всех компактных объектов; тогда для любой полной подкатегории $I \subset \mathcal{C}_c$ полное вложение $I \to \mathcal{C}_c \to \mathcal{C}$ канонически продолжается до полного строгого функтора
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ind}(I) \to \operatorname{Ind}(\mathcal{C}_c) \to \mathcal{C}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Категория $\mathcal{C}$ конечно представима, если она кополна и существует такая малая полная подкатегория $I \subset \mathcal{C}_c$, что функтор (1.8) существенно сюръективен. Поскольку он полный и строгий, он в таком случае автоматически является эквивалентностью. Более того, функтор $\mathsf{Y}_I\colon\mathcal{C} \to \operatorname{Fun}(I^o,\operatorname{Sets})$, индуцированный вложением Йонеды (1.7), – полное вложение, сохраняющее пределы и фильтрованные копределы; в частности, фильтрованные копределы $\mathcal{C}$ коммутируют с конечными пределами, как и в случае $\mathcal{C}=\operatorname{Sets}$. Для любых двух конечно представимых категорий $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ непрерывные функторы из $\mathcal{C}$ в $\mathcal{C}'$ образуют корректно определенную категорию $\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, причем
$$
\begin{equation}
\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}') \cong \operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}'),
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
где $I \subset\mathcal{C}_c \subset\mathcal{C}$ – такая малая подкатегория, что $\mathcal{C} \cong \operatorname{Ind}(I)$. Пример 1.6. Любой копредел в категории $\mathcal{C}$ можно представить как фильтрованный копредел конечных копределов. Поэтому для любой малой конечно кополной категории $I$ ее инд-пополнение $\operatorname{Ind}(I)$ конечно представимо. Вложение Йонеды $\mathsf{Y}_I$, индуцированное (1.7), отождествляет $\operatorname{Ind}(I)$ с полной подкатегорией $\operatorname{Fun}_\mathrm{ex}(I^o,\operatorname{Sets}) \subset \operatorname{Fun}(I^o,\operatorname{Sets})$ функторов $X\colon I^o \to \operatorname{Sets}$, сохраняющих конечные пределы. В самом деле, $\operatorname{Fun}_\mathrm{ex}(I^o,\operatorname{Sets})$ содержит представимые функторы $\mathsf{Y}(i)$ и замкнута относительно фильтрованных копределов, так что $\operatorname{Ind}(I) \subset \operatorname{Fun}_\mathrm{ex}(I^o,\operatorname{Sets})$. С другой стороны, для любого $X \in \operatorname{Fun}_\mathrm{ex}(I^o,\operatorname{Sets})$ категория элементов $IX$ из примера 1.3 конечно кополна и, стало быть, фильтрована, а потому $X \cong \operatorname{\mathsf{colim}}_{\langle i,x \rangle \in IX}\mathsf{Y}(i)$ лежит в $\operatorname{Ind}(I)$. Пример 1.7. Ситуация примера 1.6 на самом деле общая. А именно, для любой малой категории $I$ объект $c \in \operatorname{Ind}(I)$ компактен тогда и только тогда, когда он является ретрактом объекта $i \in I \subset \operatorname{Ind}(I)$ (по определению $c \cong \operatorname{\mathsf{colim}}_Ji$ для какой-то фильтрованной $J$ и функтора $i\colon J \to I$, и если $c$ компактен, то изоморфизм $c \to \operatorname{\mathsf{colim}}_Ji$ должен пропускаться сквозь $i(j) \in I$ для какого-то $j \in J$). Поэтому для любой конечно представимой категории $\mathcal{C} \cong \operatorname{Ind}(I)$, $I$ малая, ее подкатегория $\mathcal{C}_c \subset \mathcal{C}$ в существенном малая, и мы также имеем $\mathcal{C} \cong \operatorname{Ind}(\mathcal{C}_c) \cong \operatorname{Fun}_\mathrm{ex}(\mathcal{C}_c^o,\operatorname{Sets})$ (в частности, $\mathcal{C}$ автоматически полна). Поскольку фильтрованные копределы множеств коммутируют с конечными пределами, $\mathcal{C}_c \subset \mathcal{C}$ замкнута относительно конечных копределов, а потому конечно кополна. 1.3. Абелевы категорииКатегория $\mathcal{C}$ пунктирована, если у нее есть начальный объект $0$ и конечный объект $1$, причем единственное отображение $0 \to 1$ является изоморфизмом (так что $0$ – одновременно и начальный, и конечный объект, единственный с точностью до единственного изоморфизма). Для любых двух объектов $A,B \in \mathcal{C}$ пунктированной категории $\mathcal{C}$ имеется единственное отображение $0\colon A \to B$, которое пропускается через $0$, так что $\operatorname{Hom}$-множества $\operatorname{Hom}(-,-)$ естественным образом пунктированы. Если пунктированная категория $\mathcal{C}$ имеет конечные произведения и копроизведения, то имеем естественное отображение
$$
\begin{equation}
A \sqcup B\xrightarrow{(\operatorname{\mathsf{id}} \times 0) \sqcup (0 \times \operatorname{\mathsf{id}})} A \times B
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
для любых $A,B \in \mathcal{C}$. Будем говорить, что категория предаддитивна, если она пунктирована, имеет конечные произведения и копроизведения, а все отображения (1.10) являются изоморфизмами. Тогда канонически имеем $A \sqcup B \cong A \times B$; этот объект обозначается $A \oplus B$ и называется суммой объектов $A$ и $B$ (и тогда любые копроизведения, имеющиеся в $\mathcal{C}$, также называются суммами). В любой предаддитивной категории $\operatorname{Hom}$-множества снабжены структурой коммутативных моноидов, с $0$ в качестве единичного элемента, а отображения композиции суть отображения моноидов. Категория аддитивна, если она предаддитивна, а моноиды $\operatorname{Hom}(A,B)$, $A,B \in \mathcal{C}$, являются абелевыми группами (т. е. допускают обратные элементы). Категория $\operatorname{Ab}$ всех абелевых групп аддитивна, и любая аддитивная категория автоматически обогащена над $\operatorname{Ab}$ (т. е. композиции совместимы со структурами абелевых групп на $\operatorname{Hom}$-множествах). Исходная ссылка на понятие аддитивной категории – статья [10]; однако полезно помнить, что $\operatorname{Ab}$-обогащение, которое требуется в [10; п. 1.3], на самом деле единственно и существует автоматически, так что аддитивность есть условие на категорию, а не дополнительная структура. Отметим также, что свойство аддитивности самодвойственно – категория $\mathcal{C}^o$, противоположная к аддитивной категории $\mathcal{C}$, также аддитивна. Замечание 1.8. Использованный выше термин “предаддитивная” нестандартен (и иногда используется в литературе в другом смысле). Стандартного термина, по-видимому, нет. Понятие абелевой категории также восходит к [10], и также самодвойственно. А именно, для любого морфизма $f\colon A \to B$ в пунктированной категории $\mathcal{A}$ его ядро есть $\operatorname{Ker} f=A \times_B 0$, и, двойственным образом, его коядро есть $\operatorname{Coker}f=(\operatorname{Ker}f^o)^o$. Ни того, ни другого в общем случае не существует; аддитивная категория абелева, если в ней есть все ядра и коядра (“аксиома $\mathrm{AB}1$”), причем для любого морфизма $f\colon A \to B$ с ядром $k\colon\operatorname{Ker} f \to A$ и коядром $c\colon B \to \operatorname{Coker}f$ естественное отображение $\operatorname{Coker} k \to \operatorname{Ker} c$ является изоморфизмом ($\mathrm{AB}2$). Аддитивная категория, удовлетворяющая $\mathrm{AB}1$, конечно полна и кополна, а если она удовлетворяет $\mathrm{AB}2$, она также замкнута по Каруби. Абелева подкатегория $\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}$ в абелевой категории $\mathcal{A}$ есть полная подкатегория, замкнутая относительно конечных сумм, ядер и коядер (так что, в частности, $\mathcal{A}'$ также абелева). В качестве альтернативы, короткая точная последовательность в пунктированной категории $\mathcal{A}$ есть такая последовательность что $p \circ i=0$, $\operatorname{Ker} p$ и $\operatorname{Coker}i$ существуют, а отображения $A \to \operatorname{Ker} p$, $\operatorname{Coker} i \to C$ являются изоморфизмами; тогда другая формулировка свойства $\mathrm{AB}2$ – это требование того, чтобы любое отображение $f\colon A \to B$ вкладывалось в диаграмму где $C_0 \to A \to C_1$ и $C_1 \to B \to C_2$ – короткие точные последовательности (отметим, что такое разложение с необходимостью единственно).Замечание 1.9. Иногда полезна следующая переупаковка понятия короткой точной последовательности. Задать последовательность (1.11) с $p \circ i=0$ – это то же самое, что задать коммутативный квадрат Тогда последовательность точна слева (соответственно справа) в том и только том случае, когда отвечающий ей квадрат (1.13) декартов, т. е. $\operatorname{Ker} p$ существует и $A \to \operatorname{Ker} p$ – изоморфизм (соответственно кодекартов, т. е. $\operatorname{Coker}i$ существует и $\operatorname{Coker}i\to C$ – изоморфизм). Последовательность точна, если квадрат бидекартов, т. е. одновременно декартов и кодекартов. А. Гротендик перечисляет дальнейшие условия возрастающей силы, которые можно налагать на абелеву категорию $\mathcal{C}$ – она может иметь любые копроизведения ($\mathrm{AB}3$), копроизведения коротких точных последовательностей могут быть точны ($\mathrm{AB}4$), и то же может быть верно для фильтрованных копределов (или, что эквивалентно, фильтрованные копределы коммутируют с конечными пределами – это $\mathrm{AB}5$). Есть также еще одно свойство – $\mathrm{AB}6$, но, поскольку его истинное значение начало проясняться только совсем недавно, мы опускаем его. Дополнительные свойства не самодвойственны; говорят, что абелева категория $\mathcal{C}$ удовлетворяет $\mathrm{AB}N^*$, $N=3,4,5,6$, если $\mathcal{C}^o$ удовлетворяет $\mathrm{AB}N$. Категория $\operatorname{Ab}$ удовлетворяет $\mathrm{AB}5$ и $\mathrm{AB}4^*$ (имеется теорема, по которой абелева категория, удовлетворяющая $\mathrm{AB}5$ и $\mathrm{AB}5^*$, тривиальна). Образующий абелевой категории $\mathcal{C}$ – это такой объект $U \in \mathcal{C}$, что функтор $\operatorname{Hom}(U,-)$ строгий (эквивалентным образом, для любого морфизма $f\colon M \to M'$ в $\mathcal{C}$ равенство $\operatorname{Hom}(U,f)=0$ влечет $f=0$). Абелева категория Гротендика – это абелева категория $\mathcal{C}$, которая удовлетворяет $\mathrm{AB}5$ и имеет образующий. Один из основных результатов работы [10] гласит, что абелева категория Гротендика имеет достаточно инъективных объектов (т. е. любой $A \in \mathcal{C}$ допускает мономорфизм $A \to I$ в инъективный $I$). Аддитивные функторы обычно определяют для аддитивных категорий, но полезно сделать это в слегка большей общности. Будем говорить, что функтор $E\colon\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ между категориями с конечными произведениями аддитивен, если он коммутирует с конечными произведениями (т. е. для любых $A,B \in \mathcal{A}$ естественное отображение $E(A \times B) \to E(A) \times E(B)$ является изоморфизмом). Как и раньше, это условие, а не структура; однако если $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ аддитивны, то аддитивный функтор $E$ автоматически обогащен над $\operatorname{Ab}$. С другой стороны, если $\mathcal{A}$ аддитивна, а $\mathcal{B}=\operatorname{Sets}$, то $E$ автоматически единственным образом пропускается через функтор забывания $\operatorname{Ab} \to \operatorname{Sets}$ (точнее говоря, функтор забывания $\operatorname{Fun}(\mathcal{A},\operatorname{Ab}) \to \operatorname{Fun}(\mathcal{A},\operatorname{Sets})$ индуцирует эквивалентность между полными подкатегориями, порожденными аддитивными функторами). В частности, поскольку фильтрованные копределы множеств коммутируют с конечными произведениями, все объекты $E \in \operatorname{Ind}(\mathcal{A}) \subset \operatorname{Fun}(\mathcal{A}^o,\operatorname{Sets})$ индуктивного пополнения малой аддитивной категории $\mathcal{A}$ аддитивны, $\operatorname{Ind}(\mathcal{A})$ является аддитивной категорией, а полное вложение $\operatorname{Ind}(\mathcal{A}) \subset \operatorname{Fun}(\mathcal{A}^o,\operatorname{Sets})$ пропускается через полное вложение $\operatorname{Ind}(\mathcal{A}) \subset \operatorname{Fun}(\mathcal{A}^o,\operatorname{Ab})$. Функтор между абелевыми категориями точен слева (соответственно точен справа), если он коммутирует с конечными пределами (соответственно с конечными копределами); в частности, функтор, точный слева или справа, автоматически аддитивен. Эквивалентным образом, аддитивный функтор точен слева (соответственно справа), если он переводит короткие точные последовательности в последовательности, точные слева (соответственно справа); самый простой способ увидеть, что два определения эквивалентны, – использовать описание коротких точных последовательностей в терминах квадратов (1.13). Функтор точен, если он точен и слева, и справа. Если малая категория $\mathcal{A}$ абелева, то $\operatorname{Ind}(\mathcal{A})$ конечно представима в силу примера 1.6 и является абелевой категорией Гротендика (это хорошо известно, но довольно нетривиально, см. ниже пример 5.3). С другой стороны, любая конечно представимая абелева категория $\mathcal{E}$ удовлетворяет $\mathrm{AB}5$ почти по определению (фильтрованные копределы коммутируют с копределами и конечными пределами), и для любой малой полной подкатегории $I \subset \mathcal{E}_c \subset \mathcal{E}$, для которой $\mathcal{E} \cong \operatorname{Ind}(I)$, копроизведение всех объектов $i \in I \subset \mathcal{E}$ является образующим, так что $\mathcal{E}$ – абелева категория Гротендика. Полная подкатегория $\mathcal{E}_c \subset \mathcal{E}$ компактных объектов аддитивна, и в силу примера 1.7 она существенно малая и имеет коядра (и все остальные конечные копределы). Она также замкнута относительно расширений, а потому является точной категорией в смысле [24; § 2]. Определение 1.10. Малая аддитивная категория $\mathcal{A}$ с коядрами предабелева, если $\operatorname{Ind}(\mathcal{A})$ абелева. Любая малая абелева категория предабелева, но обратное неверно, так что понятие непусто – например, категория $R{\mathrm{-mod}}$ левых модулей над кольцом $R$ абелева, $M \in R{\mathrm{-mod}}$ компактен тогда и только тогда, когда он представляет собой коядро отображения $f\colon R^n \to R^m$ для каких-то целых $m,n \geqslant 0$, так что $R{\mathrm{-mod}}$ очевидным образом конечно представима, но $(R{\mathrm{-mod}})_c$ абелева только тогда, когда кольцо $R$ когерентно слева. Как и в замечании 1.8, термин “предабелева” нестандартен, но стандартного термина, по-видимому, нет. Абстрактную характеризацию предабелевых категорий можно найти в работе [25] (где они называются “инд-абелевыми”). В силу примера 1.7 предабелева категория $\mathcal{A}$ имеет вид $\mathcal{E}_c$ для абелевой конечно представимой $\mathcal{E}$ тогда и только тогда, когда она замкнута по Каруби. 1.4. Производные категорииМы обозначаем через $C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ категорию цепных комплексов $M^{ \bullet }=\langle M^{ \bullet },d \rangle$ в аддитивной категории $\mathcal{E}$, а через $C_{ \bullet }(\mathcal{E})$ ту же категорию, но с комплексами, занумерованными гомологическими, а не когомологическими степенями, подразумевая, что $M^i=M_{-i}$. Гомологический сдвиг $M^{ \bullet }[n]$ комплекса $M^{ \bullet }$ на целое число $n$ задается как $(M^{ \bullet }[n])^i=M^{i+n}$. Конус морфизма $f\colon M^{ \bullet } \to N^{ \bullet }$ в $C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ задается как $\operatorname{\sf C}(f)^i=N^i \oplus M^{i+1}$, с обычным верхнетреугольным дифференциалом, и если $\mathcal{E}$ абелева, мы предполагаем известными стандартные понятия объекта гомологий, ацикличного комплекса, квазиизомофизма и т. д. Мы обозначаем через $C^+(\mathcal{E}),C^{-}(\mathcal{E}) \subset C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ полные подкатегории комплексов, ограниченных снизу, т. е. $M^i=0$ при $i \ll 0$ (соответственно сверху, т. е. $M^i=0$ при $i \gg 0$); через $C^{ \bullet }_b(\mathcal{E})=C^+(\mathcal{E}) \cap C^-(\mathcal{E}) \subset C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ мы обозначаем полную подкатегорию ограниченных комплексов. Если $\mathcal{E}$ конечно представима, с подкатегорией $\mathcal{E}_c \subset \mathcal{E}$ компактных объектов, то $C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ также конечно представима, а $C^{ \bullet }_b(\mathcal{E}_c) \subset \mathcal{C}^{ \bullet }(\mathcal{E})$ есть ее полная подкатегория компактных объектов. В частности, для малой абелевой категории $\mathcal{A}$ имеем $C^{ \bullet }(\operatorname{Ind}(\mathcal{A})) \cong \operatorname{Ind}(C^{ \bullet }_b(\mathcal{A}))$. Локализация $h(\mathcal{C},W)$ категории $\mathcal{C}$ по отношению к классу морфизмов $W$ есть категория $h(\mathcal{C},W)$, снабженная функтором $h\colon\mathcal{C} \to h(\mathcal{C},W)$, который обращает все морфизмы из $W$ и универсален с таким свойством: любой функтор $\mathcal{C} \to \mathcal{E}$ в любую $\mathcal{E}$, который обращает все морфизмы из $W$, пропускается через $h$, причем единственным с точностью до единственного изоморфизма образом. Для любой малой категории $I$ мы обозначаем через $W^I$ класс морфизмов в категории функторов $\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C})$, которые поточечно лежат в $W$. Если обе локализации $h(\mathcal{C},W)$, $h(\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}),W^I)$ существуют, имеем тавтологический функтор
$$
\begin{equation*}
h(\mathcal{C},W) \to h(\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}),W^I),\qquad c \mapsto c_I,
\end{equation*}
\notag
$$
и гомотопический предел и гомотопический копредел определяются как его левый и правый сопряженные функторы
$$
\begin{equation}
\operatorname{\sf hocolim}_I,\operatorname{\sf holim}_I\colon h(\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}),W^I) \to h(\mathcal{C},W),
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
если они существуют. Если $\operatorname{\sf holim}_I$ существует, то аугментированный функтор $c\colon I^< \to \mathcal{C}$ порождает отображение сравнения $c(o) \to \operatorname{\sf holim}_Ic$, и мы говорим, что аугментация гомотопически универсальна, если это отображение является изоморфизмом; в частности, коммутативный квадрат $[1]^2 \to \mathcal{C}$ гомотопически декартов, если он, будучи рассмотрен как аугментированный функтор, гомотопически универсален (как и в негомотопическом случае). Двойственным образом, если $\operatorname{\sf hocolim}_I$ существует, имеем понятия гомотопически универсальной коаугментации и гомотопически кодекартова квадрата. Локализация не всегда существует (если $\mathcal{C}$ большая, могут быть теоретико-множественные проблемы), и ее крайне тяжело построить явно и описать (в частности, даже когда нужные локализации существуют, строить гомотопические пределы и копределы – весьма нетривиальное дело). Одна дополнительная структура, которая помогает контролировать локализацию, – это структура модельной категории Квиллена, см., например, [23], [8], [12] (хотя [12] следует использовать с осторожностью, поскольку автор позволяет себе переопределять стандартные понятия на свой вкус). Поскольку нам все это понадобится только по касательной (например, ниже в лемме 4.4), мы опускаем все детали; упомянем лишь, что если $\mathcal{C}$ – модельная категория, а $W$ – класс слабых эквивалентностей, то по [7] локализация $h(\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}),W^I)$ существует для любого конечного $I$ и также существуют функторы гомотопического предела и копредела (1.14). В частности, гомотопически декартовы и кодекартовы квадраты корректно определены в любой модельной категории $\mathcal{C}$. Замечание. Строго говоря, термин “model category” следует переводить как “категория моделей”, но, к сожалению, неправильный русский перевод “модельная категория” уже устоялся. В абелевом контексте самый стандартный пример локализации – это категория $C^{ \bullet }(\mathcal{C})$ цепных комплексов в абелевой категории $\mathcal{C}$, локализация которой по отношению к квазиизоморфизмам дает производную категорию $\mathcal{D}(\mathcal{C})$. Если в $\mathcal{C}$ достаточно инъективных объектов, то эту локализацию можно построить с помощью техники модельных категорий, но есть более простой и придуманный раньше способ, который работает при куда более мягких предположениях: сначала строим гомотопическую категорию $\operatorname{Ho}(\mathcal{C})$ цепных комплексов и гомотопических классов отображений между ними, а затем применяем общую теорему Вердье о локализации [28] (она использует структуру триангулированной категории на $\operatorname{Ho}(\mathcal{C})$, придуманную Вердье специально для этой цели). Базовые сведения о производных категориях читатель может найти в любом стандартном учебнике по гомологической алгебре, например в [29] или [9]; в частности, мы предполагаем известным то, что производная категория $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ аддитивна, а также двойственные понятия тотального правого производного функтора $R^{ \bullet } E\colon\mathcal{D}(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}(\mathcal{E})$ (соответственно левого производного функтора $L^{ \bullet } E$) точного слева (соответственно точного справа) функтора $E\colon\mathcal{C} \to \mathcal{E}$ между абелевыми категориями. Для любой абелевой категории $\mathcal{C}$ и малой категории $I$ категория функторов $\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C})$ абелева, и для упрощения обозначений мы пишем $\mathcal{D}(I,\mathcal{C})$ вместо $\mathcal{D}(\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}))$. Если абелева категория $\mathcal{C}$ конечно представима, то для любой конечно представимой $I$, категория непрерывных функторов $\operatorname{Fun}_c(I,\mathcal{C})$ также абелева в силу (1.9), и мы пишем $\mathcal{D}_c(I,\mathcal{C})= \mathcal{D}(\operatorname{Fun}_c(I,\mathcal{C})) \cong \mathcal{D}(I_c,\mathcal{C})$. Также $\mathcal{D}(I,\mathcal{C})$ для малой $I$ и абелевой $\mathcal{C}$ можно получить, локализуя категорию функторов $\operatorname{Fun}(I,C^{ \bullet }(\mathcal{C})) \cong C^{ \bullet }(\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}))$ по классу поточечных квазиизоморфизмов, и если $I$ конечна, то гомотопический предел и копредел (1.14) существуют и задаются как $\operatorname{\sf hocolim}_I=L^{ \bullet } \operatorname{\mathsf{colim}}_I$, $\operatorname{\sf holim}_I=R^{ \bullet }\operatorname{\mathsf{lim}}_I$. Объект $E \in \mathcal{D}(I,\mathcal{C})$ тавтологически определяет функтор $\mathcal{D}(E)\colon I \to \mathcal{D}(\mathcal{C})$, так что имеем функтор сравнения
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}\colon\mathcal{D}(I,\mathcal{C}) \to \operatorname{Fun}(I,\mathcal{D}(\mathcal{C})).
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Этот функтор не является эквивалентностью, если $I \ne \mathsf{pt}$. Пример 1.11. Возьмем в качестве $I=[1]$ однострелочную категорию. Для любой абелевой категории $\mathcal{C}$ объекты в $\operatorname{Fun}([1],\mathcal{C})$ суть стрелки в $\mathcal{C}$, а коядро стрелки задает точный справа функтор $\operatorname{Coker}\colon\operatorname{Fun}([1],\mathcal{C})\to\mathcal{C}$ с производным функтором $L^{ \bullet }\operatorname{Coker}\colon \mathcal{D}([1],\mathcal{C}) \to \mathcal{D}(\mathcal{C})$. Для любого объекта $E \in \mathcal{D}([1],\mathcal{C})$ функтор $\mathcal{D}(E)\colon [1] \to \mathcal{D}(\mathcal{C})$ есть стрелка в производной категории $\mathcal{D}(\mathcal{C})$, а $L^{ \bullet }\operatorname{Coker}(E)$ дает ее конус в смысле триангулированной структуры на $\mathcal{D}(\mathcal{C})$. Однако эта версия конуса функториальна. Необходимая жесткость добавляется в точности подъемом $\mathcal{D}(E)$ до объекта $E \in \mathcal{D}([1],\mathcal{C})$. Аналогично естественной жесткой версией выделенных треугольников в $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ являются квадраты (1.13) в $\mathcal{D}([1]^2,\mathcal{C})$, которые гомотопически кодекартовы. Каждый такой квадрат дает после применения (1.15) выделенный треугольник, и наоборот, каждый выделенный треугольник поднимается до квадрата; подъем единственный, но только с точностью до неединственного изоморфизма. Можно также рассматривать категорию $C_{\geqslant 0}(\mathcal{C})=C^{\leqslant 0}\subset \mathcal{C}_{ \bullet }(\mathcal{C})=C^{ \bullet }(\mathcal{C})$ комплексов, сосредоточенных в неотрицательных гомологических (т. е. неположительных когомологических) степенях; ее локализация дает полную подкатегорию $\mathcal{D}^{\leqslant 0}(\mathcal{C}) \subset \mathcal{D}(\mathcal{C})$ связных объектов, часть стандартной $t$-структуры на $\mathcal{D}(\mathcal{C})$. Двойственным образом, локализуя категорию $C^{\geqslant 0}(\mathcal{C})$ комплексов, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях, получаем полную подкатегорию $\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C}) \subset \mathcal{D}(\mathcal{C})$ косвязных объектов, вторую часть стандартной $t$-структуры. За общими фактами о $t$-структурах мы отсылаем к [2]; напомним только, что вложение $\mathcal{D}^{\leqslant 0}(\mathcal{C}) \subset \mathcal{D}(\mathcal{C})$ допускает сопряженный справа функтор канонического обрезания $\tau^{\leqslant 0}\colon\mathcal{D}(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}^{\leqslant 0}(\mathcal{C})$, причем $\mathcal{D}^{\leqslant 0}(\mathcal{C})\cap \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C}) \cong \mathcal{C}$, так что $\tau^{\geqslant 0}$ индуцирует функтор $\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}$. 2. Топологии и покрытия2.1. Напоминание о топологиях ГротендикаИсходная ссылка по топологиям Гротендика и теории топосов это [1], но очень сжатый и полезный обзор можно найти в [14; § 0.3]. Напомним основные моменты. По определению решето на объекте $i \in I$ малой категории $I$ есть подфунктор в представимом функторе $\mathsf{Y}(i)=\operatorname{Hom}(-,i)\colon I^o \to \operatorname{Sets}$. Совокупность всех решет на объекте $i$ обозначается через $\Omega(i)$, и для любого морфизма $f\colon i' \to i$ и решета $s \in \Omega(i)$ есть решето на $i'$, так что $\Omega$ само по себе есть контравариантный функтор $I^o \to \operatorname{Sets}$. Топология Гротендика на $I$ задается наборами решет $T(i)$ для каждого $i \in I$, удовлетворяющих следующим аксиомам:
Функтор $E\colon I^o \to \operatorname{Sets}$ – отделимый предпучок (соответственно пучок) по отношению к топологии $T$, если для любых $i \in I$, $s \in T(i)$ отображение $E(i) \to \operatorname{Hom}(s,E)$ инъективно (соответственно биективно). Если вычислить $\operatorname{Hom}(s,E)$ по (1.4), то эти условия имеют смысл и для функтора $E\colon I^o \to \mathcal{E}$ в любую полную категорию $\mathcal{E}$, так что понятия пучка и отделимого предпучка также определены для $\mathcal{E}$-значных функторов. В явном виде, категория элементов $Is$ примера 1.3 эквивалентна полной подкатегории $I /_s i \subset I / i$, порожденной стрелками $f \in s(i) \subset \operatorname{Hom}(i',i)$, и мы имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{Hom}(s,E)=\operatorname{\mathsf{lim}}_{i' \in (I/_s i)^o}E(i').
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Обозначим через $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E}) \subset \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$ полную подкатегорию, порожденную пучками. Тогда если категория $\mathcal{E}$ конечно представима (в частности, полна и кополна), то вложение $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E}) \to \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$ допускает сопряженный слева функтор ассоциированного пучка $a\colon\operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E}) \to \operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$. Чтобы построить его, определяем функтор $a_0\colon\operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E}) \to \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$ как
$$
\begin{equation}
a_0(E)(i)=\operatorname{\mathsf{colim}}_{s \in T(i)^o} \operatorname{Hom}(s,\mathcal{E}), \qquad i \in I, \quad E \in \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E}).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Это функториально по $i$, поскольку таково $T(i)$ (чуть точнее, частично упорядоченные множества $T(i)$, $i \in I$, вместе образуют расслоение Гротендика $\gamma\colon \mathcal{T} \to I$, слои которого – частично упорядоченные множества $T(i)$, с порядком по включению, и $a_0(E)=\gamma^o_!\operatorname{Hom}(-,E)$ есть левое расширение Кана вдоль противоположного функтора $\gamma^o\colon\mathcal{T}^o \to I^o$). Теперь естественные отображения $E(i) \to \operatorname{Hom}(s,E)$ дают функториальное отображение $E \to a_0(E)$, и проверяется, что $a_0(E)$ есть отделимый пучок для любого $E$ и пучок, если $E$ отделим (для $\mathcal{E}=\operatorname{Sets}$ это [27; предложение 3.2], а общий случай сводится к этому с помощью вложения Йонеды (1.7)). Поэтому $a_0^2(E)=a_0(a_0(E))$ является пучком для любого $E$, и имеем изоморфизм $a_0^2 \cong e \circ a$ для единственного функтора $a\colon\operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E}) \to \operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$, причем отображение $E \to a_0(E)$ дает отображение сопряжения $E \to e(a(E))$. По сопряженности $a$ коммутирует с произвольными копределами, а поскольку копределы в (2.2) фильтрованы, он также коммутирует с конечными пределами. Функтор $E\colon I^o \to \mathcal{E}$ является пучком тогда и только тогда, когда отображение сопряжения $f\colon E \to e(a(E))$ – изоморфизм, и на самом деле достаточно потребовать, чтобы оно допускало расщепление $g\colon e(a(E)) \to E$, $g \circ f=\operatorname{\mathsf{id}}$ (потому что тогда $a(g) \circ a(f)=\operatorname{\mathsf{id}}$, а так как $a(f)$ обратимо, то $a(g \circ f)=a(g) \circ a(f)= \operatorname{\mathsf{id}}\colon a(E) \to a(E)$, так что $g \circ f=\operatorname{\mathsf{id}}$, поскольку $e$ полный и строгий). Пример 2.1. Если категория $\mathcal{E}$ абелева, то $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ также абелева, с поточечными ядрами и с коядрами, которые создает функтор ассоциированного пучка $a$ (иными словами, для любого морфизма $f\colon E_0\to E_1$ между $E_0,E_1\in \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$, которые на самом деле являются пучками, $\operatorname{Ker} f$ также пучок, а $a(\operatorname{Coker} f)$ есть коядро в $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$). Чтобы проверить $\mathrm{AB}2$, заметим, что $a$ по определению сохраняет коядра, но также и коммутирует с конечными пределами, а потому сохраняет ядра и точные последовательности (1.11); тогда разложение (1.12) в $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ получается применением $a$ к такому же разложению в $\operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$. Кроме того, $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ есть абелева категория Гротендика, удовлетворяющая $\mathrm{AB}3^*$ (где, напомним, мы постоянно предполагаем, что $\mathcal{E}$ конечно представима, чтобы гарантировать существование функтора $a$). В самом деле, произведения в $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ – это произведения в $\operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$, причем $a$ коммутирует с копределами и конечными пределами, так что $\mathrm{AB}5$ и $\mathrm{AB}3^*$ наследуются из $\operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$; чтобы получить образующий, достаточно взять сумму всех объектов $a(\mathsf{Y}^i(E))$, $i \in I$, где $E$ – фиксированный образующий $\mathcal{E}$, $\mathsf{Y}^i(E)$ – копредставимый функтор, задаваемый как здесь справа стоит сокращенное обозначение для “суммы копий $E$, занумерованных элементами множества $\operatorname{Hom}(i',i)$”. Если $I$ имеет конечные копроизведения, можно также рассмотреть полную подкатегорию $\operatorname{Shv}_{\rm add}(I,\mathcal{E})$ пучков, являющихся аддитивными; поскольку фильтрованные копределы в $\mathcal{E}$ коммутируют с конечными произведениями, функтор $a$ сохраняет аддитивность и $\operatorname{Shv}_{\rm add}(I,\mathcal{E}) \subset \operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ является абелевой подкатегорией. Замечание 2.2. На самом деле любая абелева категория Гротендика обладает свойством $\mathrm{AB}3^*$, но это довольно нетривиальная теорема; для категорий $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ примера 2.1 утверждение очевидно. Пример 2.3. Для любой малой $I$ минимальная топология $T_{\min}$ состоит из максимальных решет $\mathsf{Y}(i)$, $i \in I$; имеем $T_{\min} \cong \mathsf{pt}_I$ – функтор, переводящий все объекты в одноточечное множество, а вложение задается как $1(i)(\mathsf{pt})=\mathsf{Y}(i) \in \Omega(i)$, $i \in I$ (заметим, что $\mathsf{pt}_I$ – конечный объект в $\operatorname{Fun}(I^o,\operatorname{Sets})$). Пучки в минимальной топологии – все функторы $I^o \to \mathcal{E}$. Максимальная топология $T_{\max}$ состоит из всех решет, включая пустое, $T_{\max} \cong \Omega$, но она не особенно интересна, поскольку единственный пучок в ней – постоянный функтор $I^o \to \mathcal{E}$, переводящий все объекты в конечный объект $\mathcal{E}$. Однако если $I$ пунктирована слева, то все непустые решета также образуют топологию, которую мы называем субмаксимальной; в этой топологии имеем $\operatorname{Shv}(I^o,\mathcal{E}) \cong \mathcal{E}$, а эквивалентность задается вычислением на начальном объекте $o \in I$. Пример 2.4. Пусть $J$ – частично упорядоченное множество. Тогда решето на объекте $j \in J$ – это то же самое, что замкнутое слева подмножество комма-множества $J / j \subset J$. Для любого подмножества $J' \subset J$ и элемента $j \in J$ пусть $T_{J'}(j) \subset \Omega(j)$ состоит из решет $J_0 \subset J/j$, содержащих $J' \cap (J /j)$. Тогда $T_{J'}$ – топология Гротендика на $J$, причем если $J$ конечно, то любая топология Гротендика имеет такой вид (чтобы восстановить $J'$ по топологии $T$, берем подмножество $J' \subset J$ таких элементов $j \in J$, что $T(j) \subset \Omega(j)$ состоит из максимального решета $\mathsf{Y}(i)$). Для любой конечно представимой $\mathcal{E}$ имеем $\operatorname{Shv}(J,\mathcal{E}) \cong \operatorname{Fun}({J'}^o,\mathcal{E})$, а функтор ассоциированного пучка $a$ дается ограничением на $J' \subset J$. Если $J$ пунктирована слева (т. е. имеет наименьший элемент $o \in J$), то топология, отвечающая $\{o\} \subset J$, есть субмаксимальная топология примера 2.3. Замечание 2.5. Чтобы определить пучки и вычислить функтор ассоциированного пучка, необязательно задавать всю топологию $T \subset \Omega$. В самом деле, назовем базой $C$ топологии $T$ на малой категории $I$ такой подфунктор $C \subset T$, что $C(i)^o\subset T(i)^o$ для любого $i \in I$ есть кофинальное частично упорядоченное множество. Тогда для любого функтора $E\colon I^o \to \mathcal{E}$ в конечно представимую $\mathcal{E}$ копредел по $T(i)^o$ в (2.2) можно заменить на копредел по $C(i)^o$, и отображение $E \to a(E)$ будет изоморфизмом (иными словами, $E$ будет пучком) в том и только том случае, когда $\operatorname{Hom}(s,E) \cong E(i)$ для любых $i \in I$ и $s \in C(i)$. Заметим, что $T(i) \subset \Omega(i)$ можно восстановить как замыкание справа множества $C(i) \subset \Omega(i)$, т. е. подмножество решет $s \in \Omega(i)$ с непустым $C(i)/s$. Замечание 2.6. Для любой малой $I$ функтор $\Omega\colon I^o \to \operatorname{Sets}$ имеет следующее универсальное свойство: для любого мономорфизма $X \to Y$ в $\operatorname{Fun}(I^o,\operatorname{Sets})$ существует единственное отображение $Y \to \Omega$, которое включается в декартов квадрат где $1$ – вложение (2.4) (для представимого $Y$ это просто определение $\Omega$). Тогда, в частности, подфунктор $T \subset \Omega$ задает отображение $j\colon \Omega \to \Omega$, и можно показать, что $T$ есть топология в том и только том случае, когда 2.2. ПокрытияНа практике решето удобно задавать с помощью покрывающего семейства $\{i_\alpha \to i\}$, занумерованного каким-то множеством индексов $\alpha$, – решето $s(\{i_\alpha \to i\})$ состоит из всех морфизмов $i' \to i$, которые пропускаюся через один из морфизмов $i_\alpha \to i$. Предтопология Гротендика на $I$ задается набором покрывающих семейств для каждого $i \in I$, удовлетворяющих, как и раньше, некоторым аксиомам (которые, в частности, гарантируют, что получающийся набор решет дает базу топологии Гротендика в смысле замечания 2.5). Полное определение предтопологии нам не понадобится (см., например, [14; § 0.3]), но нам будет нужен один несколько вырожденный пример, когда все покрывающие семейства состоят из одного объекта. А именно, будем говорить, что класс $F$ морфизмов в $I$ покрывающий, если он замкнут относительно композиций, содержит все единичные морфизмы, а кроме того, любой морфизм $f\colon i' \to i$ из $F$ допускает обратный образ (pullback) по отношению к любому морфизму $i'' \to i$ (“морфизмы в $F$ допускают обратные образы”), причем обратный образ также лежит в $F$ (“$F$ замкнуто относительно обратных образов”). Тогда для любого покрывающего класса набор $C(i)=\{s(\{f\colon i' \to i\})\mid f \in F\}$ задает базу $C$ топологии Гротендика $T$ на $I$, которую мы называем $F$-топологией. Функтор $E\colon I^o \to \mathcal{E}$ в конечно представимую $\mathcal{E}$ отделим по отношению к $F$-топологии тогда и только тогда, когда $E(i) \to E(i')$ инъективно для любого $f\colon i' \to i$ из $F$, и является пучком тогда и только тогда, когда квадрат декартов. С точностью до эквивалентности категория $C(i)$, $i \in I$, получается, если рассмотреть полную подкатегорию $I /_F i \subset I/i$, порожденную морфизмами из $F$, и склеить все морфизмы между любыми двумя объектами (так что в результате между любыми двумя объектами есть не больше одного морфизма и категория канонически эквивалентна частично упорядоченному множеству). В частности, если морфизм $f\colon i' \to i$ расщепляется, т. е. допускает обратный $g\colon i \to i'$, $f \circ g=\operatorname{\mathsf{id}}$, то соответствующий объект $s(f) \in C(i)$ изоморфен максимальному решету.Для любого объекта $i \in I$ обозначим через $\operatorname{\sf ev}_i\colon\operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E}) \to \mathcal{E}$ функтор вычисления, переводящий $E$ в $E(i)$, и заметим, что, поскольку $\mathcal{E}$ полна, $\operatorname{\sf ev}_i$ имеет сопряженный справа $\mathsf{Y}_i\colon\mathcal{E} \to \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$, заданный как
$$
\begin{equation}
\mathsf{Y}_i(E)(i')=E(\operatorname{Hom}(i,i')), \qquad i' \in I,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где справа стоит сокращенное обозначение для “произведения копий $E$, занумерованных элементами множества $\operatorname{Hom}(i,i')$”. Эквивалентным образом, имеем $\mathsf{Y}_i(E) \cong \mathsf{Y}^i(E)^o$, где $\mathsf{Y}^i(E)$ такое же, как в (2.3). Более общо, рассмотрим проективное пополнение $\operatorname{Pro}(I)$ категории $I$. Тогда, поскольку в $\mathcal{E}$ есть фильтрованные копределы, любой функтор $E\colon I^o \to \mathcal{E}$ единственным образом продолжается до непрерывного функтора $\widetilde{E}=\iota_!\colon\operatorname{Pro}(I)^o= \operatorname{Ind}(I^o) \to \mathcal{E}$ и можно определить сопряженную пару функторов
$$
\begin{equation}
\operatorname{\sf ev}_{\widetilde{i}}\colon \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E}) \to \mathcal{E}, \qquad \mathsf{Y}_{\widetilde{i}}\colon\mathcal{E} \to \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
для любого прообъекта $\widetilde{i} \in \operatorname{Pro}(I)$ как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{\sf ev}_{\widetilde{i}}(E)=\widetilde{E}(\widetilde{i})= \operatorname{\mathsf{colim}}_{\widetilde{i} \to i}E(i),\qquad E \in \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E}), \\ \mathsf{Y}_{\widetilde{i}}(E')(i')=E'(\operatorname{Hom}(\widetilde{i},i'))= \operatorname{\mathsf{lim}}_{\widetilde{i} \to i} E'(\operatorname{Hom}(i,i')), \qquad E' \in \mathcal{E}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где копредел (соответственно предел) на самом деле редуцируется к кофинальной фильтрованной диаграмме, задающей $\widetilde{i}$ (соответственно к противоположной диаграмме). Определение 2.7. Прообъект $\widetilde{i} \in \check{I}$ называется $F$-поднимаемым, если $\operatorname{Hom}(\widetilde{i},-)$ переводит морфизмы из $F$ в сюръекции. Лемма 2.8. Для любого $F$-поднимаемого прообъекта $\widetilde{i} \in \check{I}$ функтор $\mathsf{Y}_{\widetilde{i}}$ из (2.8) принимает значения в $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E}) \subset \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$, а сопряженный к нему функтор вычисления $\operatorname{\sf ev}_{\widetilde{i}}$ пропускается через функтор ассоциированного пучка $a\colon\operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E}) \to \operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$. Доказательство. Для доказательства второго утверждения достаточно проверить, что $\operatorname{\sf ev}_{\widetilde{i}}$ обращает отображение $E \to a_0(E)$ для любого $E$. В силу (2.9) и (2.2) имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{\sf ev}_{\widetilde{i}}(a_0(E)) \cong \operatorname{\mathsf{colim}}_{\widetilde{i} \to i} \operatorname{\mathsf{colim}}_{s \in C(i)}\operatorname{Hom}(s,E)= \operatorname{\mathsf{colim}}_{(\widetilde{i} \setminus C)^o}E(s),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $\widetilde{i} \setminus C=(\widetilde{i} \setminus I) \times_I C$ есть категория троек $\langle s,i,\widetilde{i} \to i\rangle$, состоящих из объекта $i \in I$, стрелки $\widetilde{i} \to i$ и решета $s \in C(i)$. Однако свойство $F$-подъема для $\widetilde{i}$ гарантирует, что для любой такой $\langle s,i,\widetilde{i} \to i \rangle$, где $s$ представлено стрелкой $f\colon i' \to i$ из $F$, стрелка $\widetilde{i} \to i$ пропускается через $f$, и тогда $f^*(s)$ расщепляется. Поэтому полная подкатегория в $(\widetilde{i} \setminus C)^o$, порожденная тройками с расщепленным $s$, кофинальна и копредел в (2.10) достаточно брать по этой подкатегории. Но такой уменьшенный копредел есть в точности $\operatorname{\sf ev}_{\widetilde{i}}(E)$, тем самым второе утверждение доказано. По сопряженности это значит, что для любых $E' \in \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$, $E \in \mathcal{E}$ любое отображение $g\colon E' \to \mathsf{Y}_{\widetilde{i}}(E)$ единственным образом пропускается через отображение сопряжения $E' \to e(a(E'))$. Взяв $E'=\mathsf{Y}_{\widetilde{i}}(E)$ и $g=\operatorname{\mathsf{id}}$, заключаем, что отображение сопряженности $E' \to e(a(E'))$ расщепляется, и тем самым $E'$ есть пучок. Лемма доказана. Замечание 2.9. Поскольку копредел в (2.9) сводится к фильтрованному копределу, функтор $\operatorname{\sf ev}_{\widetilde{i}}$ коммутирует с конечными пределами. Если $\mathcal{E}=\operatorname{Sets}$, то это по определению означает, что сопряженная пара $\langle \operatorname{\sf ev}_{\widetilde{i}}, \mathsf{Y}_{\widetilde{i}} \rangle$ задает точку топоса $\operatorname{Shv}(I,\operatorname{Sets})$. Чтобы построить $F$-поднимаемые прообъекты в $I$, возьмем объект $i \in I$ и обозначим через $\operatorname{Cov}(i) \subset I/i$ полную подкатегорию, порожденную стрелками $i' \to i$ из $F$, с индуцированной проекцией $\sigma(i)\colon\operatorname{Cov}(i) \to I/i \to I$. Тогда класс $\sigma(i)^*F$ таких морфизмов $f$, что $\sigma(i)(f) \in F$, есть покрывающий класс морфизмов в $\operatorname{Cov}(i)$ и имеем следующее. Определение 2.10. $F$-оболочка объекта $i \in I$ есть $\sigma(i)^*F$-поднимаемый прообъект $\widetilde{i}$ в $\operatorname{Cov}(i)$. Лемма 2.11. (i) Для любой $F$-оболочки $\widetilde{i} \in \operatorname{Pro}(\operatorname{Cov}(i))$ объекта $i \in I$ прообъект $\sigma(i)(\widetilde{i}) \in \operatorname{Pro}(I)$ является $F$-поднимаемым. (ii) У любого $i \in I$ существует $F$-оболочка $\widetilde{i} \in \operatorname{Pro}(\operatorname{Cov}(i))$. Доказательство. Чтобы доказать (i), возьмем морфизм $f\colon i'' \to i'$ из $F$; надо показать, что любое отображение $g\colon\sigma(i)(\widetilde{i}) \to i'$ пропускается через $i''$. Но по определению $\widetilde{i}$ приходит из проективной системы в $\operatorname{Cov}(i)$, так что $g$ пропускается через $\sigma(g')$ для какого-то морфизма $g'\colon\widetilde{i} \to i_0$ в $\operatorname{Cov}(i)$. Тогда достаточно проверить, что $\sigma(g')$ пропускается через отображение $i'' \times_{i'}i_0 \to i_0$; но это отображение лежит в $F$, т. е. приходит из $\operatorname{Cov}(i)$, а $\widetilde{i}$ в $\operatorname{Cov}(i)$ является $\sigma(i)^*F$-поднимаемым.
Рассуждение, позволяющее доказать (ii), абсолютно стандартно и восходит как минимум к [10] (где оно уже названо “стандартным”). Заметим, что, поскольку $I$ малая, $\operatorname{Cov}(i)$ также малая, и потому для любого прообъекта $\widetilde{i} \in \operatorname{Pro}(\operatorname{Cov}(i))$ существует множество $S$, элементы $s \in S$ которого нумеруют с точностью до изоморфизма все диаграммы
$$
\begin{equation}
\widetilde{i} \xrightarrow{} i_s' \xleftarrow{f} i_s''
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
в $\operatorname{Cov}(i)$, $f \in \sigma(i)^*F$. Более того, $\operatorname{Cov}(i)$ имеет конечные произведения, и конечные произведения морфизмов из $F$ лежат в $F$, а потому для любого конечного подмножества $S_0 \subset S$ мы можем определить прообъект $\widetilde{i}[S_0]$ как расслоенное произведение Тогда положим $H(\widetilde{i})= \operatorname{\mathsf{lim}}_{S_0 \subset S}\widetilde{i}[S_0]$, где предел берется по направленному частично упорядоченному множеству конечных подмножеств в $S$. Это прообъект, снабженный отображением $H(\widetilde{i}) \to \widetilde{i}$, причем, по построению, для любой диаграммы (2.11) отображение композиции $H(\widetilde{i}) \to i_s'$ пропускается через $f_s$. Чтобы завершить доказательство, берем $i_0=i$, с единичным отображением $i \to i$, определяем по индукции $i_{n+1}=H(i_n)$, $n \geqslant 0$, и берем $\widetilde{i}=\operatorname{\mathsf{lim}}_ni_n$. Лемма доказана. 3. Гиперпокрытия3.1. Частично упорядоченные множестваПусть дана категория $I$, снабженная покрывающим классом $F$. Напомним, что $\mathsf{pt}^< \cong [0]^< \cong [1]$ – однострелочная категория, причем $[1]^o \cong [1]$, так что покрытия объекта $i \in I$ можно понимать как $i$-коаугментированные функторы из точечной категории $\mathsf{pt}$ в $I$. Понятие гиперпокрытия продолжает это на категории, отличные от $\mathsf{pt}$. Обычно оно применяется к категории симплексов $\Delta$ (см. ниже п. 3.3), но небезынтересно строить теорию в более общем контексте. Начнем с конечных частично упорядоченных множеств. Определение 3.1. Для любого пунктированного слева конечного частично упорядоченного множества $J$ функтор $E\colon J^o \to I$ называется гиперпокрытием, если для любого непустого замкнутого слева подмножества $J_0 \subset J$ существует $\operatorname{\mathsf{lim}}_{J_0^o}E$, а для любых двух непустых замкнутых слева подмножеств $J_0 \subset J_1 \subset J$ естественное отображение $\operatorname{\mathsf{lim}}_{J_1^o}E \to \operatorname{\mathsf{lim}}_{J_0^o}E$ лежит в $F$. В ситуации определения 3.1 обозначим через $\operatorname{HCov}(J) \subset \operatorname{Fun}(J^o,I)$ полную подкатегорию, порожденную гиперпокрытиями. Если $\varphi\colon J' \to J$ – пунктированный слева функтор между пунктированными слева конечными частично упорядоченными множествами, то из (1.3) немедленно следует, что для любого $E \in \operatorname{HCov}(J')$ правое расширение Кана $\varphi^o_*E$ существует и является гиперпокрытием, а если $\varphi$ – замкнутое слева вложение, то $\varphi^{o*}$, кроме того, тавтологически переводит гиперпокрытия в гиперпокрытия. Для любого конечного частично упорядоченного множества $J$ мы имеем пунктированное слева частично упорядоченное множество $J^<$, и мы определяем $J$-гиперпокрытие объекта $i \in I$ как $i$-коаугментированный функтор $E\colon J^{o>}=J^{<o} \to I$, который является гиперпокрытием в смысле определения 3.1. Мы обозначаем категорию $J$-гиперпокрытий объекта $i$ через $\operatorname{HCov}(J,i) \subset \operatorname{HCov}(J^<)$. Отметим, что непустые замкнутые слева подмножества в $J^<$ биективно соответствуют всем замкнутым слева подмножествам в $J$. Если $J=\mathsf{pt}$, то единственные замкнутые слева подмножества в $J$ – это пустое множество и само $J$, так что $J$-гиперпокрытие – это просто покрытие и $\operatorname{HCov}(\mathsf{pt},i) \cong \operatorname{Cov}(i)$. В общем случае для любого $j \in J$ множество $J/j \subset J$ замкнуто слева, и, поскольку у него есть наибольший элемент, (1.6) дает изоморфизм
$$
\begin{equation}
\operatorname{\mathsf{lim}}_{(J/j)^{<o}}E \cong E(j)
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
для любого $E \in \operatorname{HCov}(J,i)$. Поэтому для любых $j \leqslant j'$ отображение $E(j') \to E(j)$ лежит в $F$, т. е. $J$-гиперпокрытие пропускается через подкатегорию $I_F \subset I$ с теми же объектами, что в $I$, и морфизмами из $F$. Пример 3.2. Для любого $n \geqslant 0$ все непустые замкнутые слева подмножества $J_0 \subset [n]$ имеют вид $[m]=\{0,\dots,m\} \subset [n]$, $0 \leqslant m\leqslant n$, так что в $J_0^o$ есть наименьший элемент, и $\operatorname{\mathsf{lim}}_{J_0^{<o}}$ сводится к вычислению в силу (3.1). Поэтому $E\colon [n]^o \to I$ является гиперпокрытием тогда и только тогда, когда он пропускается через $I_F$. Замечание 3.3. Непустое замкнутое слева подмножество $J_0 \subset J$ в пунктированном слева частично упорядоченном множестве $J$ является прообразом $\{0\} \subset [1]$ при единственном пунктированном слева отображении $J \to [1]$, и, аналогичным образом, пары $J_0 \subset J_1 \subset J$ непустых замкнутых слева подмножеств отвечают пунктированным слева отображениям $J \to [2]$. Поэтому, благодаря (1.3) и примеру 3.2, определение 3.1 можно переформулировать следующим образом: $E\colon J^o \to I$ является гиперпокрытием тогда и только тогда, когда для любого пунктированного слева отображения $\varphi\colon J \to [2]$ расширение Кана $\varphi^o_*E$ существует, универсально в смысле замечания 1.2 и пропускается через $I_F$. Пример 3.4. Пусть $J=\{0,\dots,n\}$ – множество целых чисел $0,\dots,n$ с дискретным порядком. Тогда любое подмножество $J_0 \subset J$ замкнуто слева, и если в $J_0$ не больше одного элемента, то $\operatorname{\mathsf{lim}}_{J_0^{<o}}$ снова сводится к вычислению. Для больших $J_0$ это неверно. Однако поскольку морфизмы в покрывающем классе допускают обратные образы и стабильны относительно обратных образов, индукция по мощности $J_0$ показывает, что любой функтор $E\colon J^{<o} \to I_F \subset I$ снова является гиперпокрытием. Пример 3.5. Рассмотрим квадрат $[1]^2$ однострелочной категории $[1]$. Тогда $[1]^{2o} \cong [1]^2$, функторы $[1]^{2o} \to I$ отвечают коммутативным квадратам и такой квадрат является гиперпокрытием в том и только том случае, когда морфизмы $i_{01},i_{10} \to i_{00}$ лежат в $F$ и то же верно для морфизма $i_{11} \to i_{10} \times_{i_{00}} i_{01}$. В частности, недостаточно потребовать, чтобы функтор пропускался через $I_F$. В общем случае для того, чтобы увидеть, является ли $J$-гиперпокрытием данный функтор $E\colon J^{o>} \to I$, надо проверить много условий. Однако по индукции следующий результат позволяет свести это к одному условию на каждый $j \in J$. Лемма 3.6. Пусть $j \in J$ – максимальный элемент в конечном частично упорядоченном множестве $J$, и положим В этом случае $E\colon J^{o>} \to I$ является $J$-гиперпокрытием тогда и только тогда, когда (i) его ограничение на $J' \subset J$ является $J'$-гиперпокрытием и (ii) естественное отображение $E(j)=\operatorname{\mathsf{lim}}_{(J^</j)^o}E \to \operatorname{\mathsf{lim}}_{L(j)^{<o}}E$ лежит в $F$. Доказательство. Часть “только тогда” очевидна. Чтобы проверить часть “тогда”, по индукции по мощности достаточно проверить, что $\operatorname{\mathsf{lim}}_{J^{o>}}E$ существует, а отображение $\operatorname{\mathsf{lim}}_{J^{o>}}E \to \operatorname{\mathsf{lim}}_{J_0^{o>}}E$ лежит в $F$ для любого замкнутого слева $J_0 \subset J$. Что касается первого утверждения, пусть $\mathsf{V}=\{0,1\}^<$ то же, что в примере 1.1, и рассмотрим отображение $\varphi\colon J \to \mathsf{V}$, переводящее элемент $L(j)$ в $o$, элемент $j$ в $1$, а остальные элементы в $0$. Тогда все комма-слои $J^</_{\varphi^<} \mathsf{V}$ либо имеют мощность меньше, чем $J$, либо имеют наибольший элемент, либо и то, и другое, и по индукции $\varphi^{<o}_*E$ существует и удовлетворяет предположениям леммы для $J=\mathsf{V}$, $j=1$. Таким образом, все сводится к этому случаю, который немедленно следует из примера 3.4. Чтобы доказать второе утверждение, рассмотрим отображение $\varphi\colon J \to \mathsf{V}$, переводящее $J_0 \cap (J \setminus \{j\})$ в $o$, $j$ в $1$, а все остальное в $0$; тогда вновь $\varphi^{<o}_*E$ существует по индукции, и мы снова свели все к очевидному случаю $J=\mathsf{V}$, $j=1$. Лемма доказана. Пример 3.7. Класс $F$ всех мономорфизмов является покрывающим классом в любой полной категории $\mathcal{E}$. В этом случае в силу леммы 3.6 функтор $J^o \to \mathcal{E}$ является гиперпокрытием в смысле определения 3.1 тогда и только тогда, когда он является отделимым предпучком для субмаксимальной топологии примера 2.3. Более общо, для любых $I$ и $F$ функтор $E\colon J^o \to I$ является гиперпокрытием тогда и только тогда, когда $\operatorname{Hom}(s,E)$, определенное как предел (2.1), существует для любого решета $s \subset \mathsf{Y}(i)$ в субмаксимальной топологии, а отображение $E(i) \to \operatorname{Hom}(s,E)$ лежит в $F$. Полезно продолжить класс $F$ до покрывающего класса в категориях гиперпокрытий $\operatorname{HCov}(J,i)$. А именно, отметим, что категория $[n]$ пунктирована слева для любого $n \geqslant 0$, так что для любого конечного частично упорядоченного множества $J$ произведение $[n] \times J^<$ – пунктированное слева конечное частично упорядоченное множество. Напомним также, что $[n]^o \cong [n]$. Определение 3.8. Морфизм $f\colon E_0 \to E_1$ в $\operatorname{HCov}(J^<)$ лежит в классе $F(J)$, если соответствующий функтор $\iota(f)\colon [1] \times J^{<o} \cong ([1] \times J^<)^o \to I$ является гиперпокрытием. Лемма 3.9. Для любого конечного частично упорядоченного множества $J$ класс $F(J)$ является покрывающим классом в $\operatorname{HCov}(J^<)$, причем для любого $i \in I$ он ограничивается до покрывающего класса в $\operatorname{HCov}(J,i) \subset \operatorname{HCov}(J^<)$. Для любого отображения $\varphi\colon J' \to J^<$ из конечного частично упорядоченного множества $J'$ функтор правого расширения Кана $\varphi^{<o}_*$ переводит морфизмы из $F(J')$ в морфизмы из $F(J)$. Кроме того, для любого замкнутого слева подмножества $J' \subset J$ с функтором вложения $\varphi\colon J' \to J$ и любого $E \in \operatorname{HCov}(J^<)$ отображение сопряжения $a\colon E \to \varphi^{<o}_*\varphi^{<o*}E$ лежит в $F(J)$. Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение, обозначим $J_n=[n] * J$, $n=0,1$, где $- * -$ есть расширенное произведение (1.1), и заметим, что для любой компонуемой пары $f$, $f'$ морфизмов в $F(J)$ функтор $\iota(f,f')$ удовлетворяет условию (ii) леммы 3.6 в любом $l \times i \in J^{<o}_1 \subset ([2] \times J^<)^o$. В самом деле, если $l=0,1$, то это в точности то же условие в $l \times i \in J_0^{<o}$ для $\iota(f')=(t \times \operatorname{\mathsf{id}})^*\iota(f,f')$ (где при отождествлениях $[1]^o \cong [1]$, $[2]^o \cong [2]$ имеем $s^o=t$ и $t^o=s$). Если $l=2$, то функтор $s\colon [1] \to [2]$ имеет сопряженный справа $s^\unicode{8224}\colon [2] \to [1]$, а произведение $s^\unicode{8224} \times \operatorname{\mathsf{id}}$ ограничивается до функтора $s^\unicode{8224} \times \operatorname{\mathsf{id}}\colon L(2 \times j)^{<o} \to L(1 \times j)^{<o} \subset [1] \times J^{<o}$, сопряженного справа к $s \times \operatorname{\mathsf{id}}$. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{\mathsf{lim}}_{L(2 \times j)^{<o}}\iota(f,f') &\cong \operatorname{\mathsf{lim}}_{L(1 \times j)^{<o}}s^\unicode{8224}_*\iota(f,f') \\ &\cong \operatorname{\mathsf{lim}}_{L(1 \times j)^{<o}}s^*\iota(f,f') \cong \operatorname{\mathsf{lim}}_{L(1 \times j)^{<o}}\iota(f), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и все сводится к условию (ii) леммы 3.6 для $\iota(f)$. Тем самым $\iota(f,f')$ является $J_1$-гиперпокрытием, а поскольку $m\colon [1] \to [2]$ также имеет правый сопряженный $m^\unicode{8224}$, то $\iota(f \circ f')\cong m^*\iota(f,f') \cong m^\unicode{8224}_*\iota(f,f')$ является $J_0$-гиперпокрытием. Это доказывает, что $F(J)$ замкнуто относительно композиций. Теперь отождествление (3.1) немедленно показывает, что отображения из $F(J)$ поточечно лежат в $F$, а стало быть, допускают обратные образы, и они стабильны относительно обратных образов вновь в силу леммы 3.6. Для доказательства второго утверждения достаточно заметить, что $\iota(\varphi^{<o}_*(f)) \cong (\operatorname{\mathsf{id}} \times \varphi)^{<o}_*\iota(f)$, а для доказательства третьего положим $J''=J'_0 \cup (\{1\} \times J) \subset J_0$ с отображением вложения $\varphi_1\colon J'' \to J_0$ и заметим, что $\iota(a) \cong \varphi^{<o}_{1*}\varphi^{<o*}_1\iota(\operatorname{\mathsf{id}}_E)$, где $\operatorname{\mathsf{id}}_E\colon E \to E$ – единичное отображение. Лемма доказана. 3.2. Тонкие $ML$-категорииЧтобы перейти от частично упорядоченных множеств к более общим категориям, напомним, что факторизационная система $\langle L,R \rangle$ на категории $\mathcal{C}$ задается такими двумя классами морфизмов $L$, $R$ в $\mathcal{C}$, замкнутыми относительно композиции и содержащими все изоморфизмы, что любое отображение $f\colon c' \to c$ в $\mathcal{C}$ разлагается в композицию где $l \in L$, $r \in R$, и разложение единственно с точностью до единственного изоморфизма. Это весьма полезное понятие восходит к [3], и мы отсылаем читателя к [3; § 2] за подробностями. Если дана факторизационная система $\langle L,R \rangle$, то мы будем обозначать через $\mathcal{C}_L,\mathcal{C}_R \subset \mathcal{C}$ подкатегории с теми же объектами, что и $\mathcal{C}$, и морфизмами из $L$, $R$; отметим, что, вследствие единственности разложения (3.3), очевидный функтор $\mathcal{C}_R / c \to \mathcal{C} / c$, $c \in \mathcal{C}$, является полным строгим вложением, допускающим сопряженный слева (который переводит $f\colon c' \to c$ во второй член $r\colon c'' \to c$ разложения (3.3)).Определение 3.10. Тонкая $ML$-категория – это малая категория $X$, снабженная такой факторизационной системой $\langle M,L \rangle$, что $X_L / x$ для любого $x \in X$ является конечным частично упорядоченным множеством. Функтор $\varphi\colon X \to X'$ между тонкими $ML$-категориями $\langle X,M,L \rangle$, $\langle X,M',L' \rangle$ называется $ML$-функтором, если он переводит морфизмы из $M$ (соответственно $L$) в морфизмы из $M'$ (соответственно $L'$). Для любой тонкой $ML$-категории $X$ аугментированную категорию $X^<$ можно превратить в тонкую $ML$-категорию, приписав все отображения $o \to x$, $x \in X$, к классу $L$, так что $X^<_L \cong (X_L)^<$. Для любого $x \in X$ частично упорядоченное множество $X_L / x$ имеет максимальный элемент $\operatorname{\mathsf{id}}\colon x \to x$, и мы обозначаем $L(x)=(X_L / x) \setminus \operatorname{\mathsf{id}}$. Определение 3.11. Для любой тонкой $ML$-категории $X$ будем называть $X$-гиперпокрытием объекта $i \in I$ такой $i$-коаугментированный функтор $E\colon X^{<o}=X^{o>}\to I$, что для любого $x \in X$ предел $\operatorname{\mathsf{lim}}_{L(x)^{<o}}\sigma(x)^{<o*}E$ существует, а отображение лежит в классе $F$. Пример 3.12. Любое конечное частично упорядоченное множество $J$ тривиальным образом является тонкой $ML$-категорией, в которой $M$ (соответственно $L$) состоит из единичных (соответственно всех) морфизмов. В этом случае лемма 3.6 немедленно показывает, что определение 3.11 сводится к определению 3.1. Замечание 3.13. Как и в примере 3.7, гиперпокрытия можно также описывать с помощью топологий Гротендика. А именно, для любой тонкой $ML$-категории $X$ решето $s$ на объекте $x \in X^<_L$ задает “индуцированное” решето на том же объекте в $X^<$, состоящее из всех таких отображений $x' \to x$, что компонента $x'' \to x$ разложения (3.3) лежит в $s$. Тогда все индуцированные решета $s \in \mathsf{Y}(x)$ субмаксимальной топологии на $X^<_L$ образуют топологию на $X^<$, и $E\colon X^{<o} \to I$ является гиперпокрытием в том и только том случае, когда $\operatorname{Hom}(s,E)$ существует для любого $s$, а отображение $E(x) \to \operatorname{Hom}(s,E)$ лежит в $F$. В хороших случаях индуцированную топологию можно описать явно; например, можно показать, что если все отображения $l \in L$ являются мономорфизмами и любое отображение $m \in X$ допускает односторонний обратный $l$, $m \circ l=\operatorname{\mathsf{id}}$, то индуцированная топология на $X^<$ субмаксимальна (т. е. состоит из всех непустых решет). Такое происходит, например, для категории $\Delta$, рассматриваемой ниже в п. 3.3. Для произвольной тонкой $ML$-категории $X$ мы обозначаем категорию $X$-гиперпокрытий объекта $i \in I$ через $\operatorname{HCov}(X,i)$. Благодаря примеру 3.12 это согласуется с использованными ранее обозначениями. Для любого отображения $l\colon x' \to x$ в классе $L$ имеем $(X_L/x)/l \cong X_L/x'$, так что $\sigma(x)^{<o*}$ переводит $X$-гиперпокрытия в $(X_L/x)$-гиперпокрытия. В частности, отсюда следует, что любое $X$-гиперпокрытие $E\colon X^{<o} \to I$ переводит $X^{<o}_L \subset X^{<o}$ в $I_F \subset I$, так что имеем полное вложение $\operatorname{HCov}(X,i) \subset \operatorname{Fun}(X^o,\operatorname{Cov}(i))$. Пример 3.14. Будем говорить, что полная подкатегория $X \subset X'$ в тонкой $ML$-категории $\langle X,M,L \rangle$ является $ML$-подкатегорией, если для любого морфизма $f\colon x' \to x$ в $X'$ средний член $x''$ разложения (3.3) лежит в $X'$. Тогда $X'$ с классами $M$, $L$ является тонкой $ML$-категорией, а вложение $X' \to X$ есть $ML$-функтор. Пример 3.15. Для любых двух тонких $ML$-категорий $\langle X,M,L \rangle$, $\langle X',M',L' \rangle$ произведение $\langle X \times X',M \times M',L \times L'\rangle$ – тонкая $ML$-категория, и то же верно для расширенного произведения $X * X'$, определенного в (1.1). Совмещая примеры 3.12 и 3.15, видим, что расширенное произведение $J * X$ конечного частично упорядоченного множества $J$ и тонкой $ML$-категории $X$ естественным образом является тонкой $ML$-категорией. В частности, как в определении 3.8, можно взять $J=[0]$ и говорить, что отображение $f$ в $\operatorname{HCov}(X,i)$ лежит в классе $F(X)$, если $\iota(f)$ является гиперпокрытием. Тогда из леммы 3.9 немедленно следует, что $F(X)$ – покрывающий класс. Пример 3.16. Пусть $\operatorname{Pos}$ – категория всех конечных непустых частично упорядоченных множеств, $M$ – класс всех сюръективных отображений, а $L$ – класс всех инъективных отображений $J' \to J$, которые полны как функторы (т. е. отождествляют $J'$ с его образом в $J$ с индуцированным порядком). Тогда $\operatorname{Pos}$ – тонкая $ML$-категория в смысле определения 3.11. Лемма 3.17. Пусть дан объект $x \in X$ тонкой $\operatorname{Hom}$-конечной $ML$-категории $\langle X,M,L \rangle$, и пусть $\varphi\colon\mathsf{pt} \to X$ – вложение на $x$. Тогда для любого $i \in I$ $\varphi^{<o*}$ и $\varphi^{<o}_*$ задают сопряженную пару функторов между $\operatorname{HCov}(X,i)$ и $\operatorname{Cov}(i)$, переводящих морфизмы из $F(X)$, $F$ в морфизмы из $F$, $F(X)$. Доказательство. Ограничение $X$-гиперпокрытия на $X^{<o}_L$ пропускается через $I_F$. Поэтому $\varphi^{<o*}$ переводит гиперпокрытия в покрытия. Более того, по определению покрывающего класса $\operatorname{Cov}(i)$ имеет конечные произведения. Поскольку $X$ является $\operatorname{Hom}$-конечной, правое расширение Кана $\varphi^{<o}_*E$ существует в силу (1.3) для любого $E \in \operatorname{Cov}(i)$ и задается как где справа стоит произведение копий $E$, занумерованных отображениями $f\colon x \to x'$. Но множество отображений $x \to x'$ расщепляется в дизъюнктное объединение по классу изоморфизма среднего члена $x''$ разложения (3.3), и тогда $\operatorname{\mathsf{lim}}_{L(x')^{<o}}\varphi^{<o}_*E$ дается тем же произведением, но взятым по таким отображениям, что $x'' \to x'$ не является изоморфизмом. Поскольку морфизмы в $F$ стабильны относительно обратного образа, отображение (3.4) для $\varphi^{<o}_*E$ лежит в $F$ для любого $x' \in X$. Лемма доказана. Лемма 3.18. Предположим, что даны тонкая $ML$-категория $\langle X,M,L \rangle$ и полная $ML$-подкатегория $X' \subset X$. Пусть $\varphi\colon X' \to X$ – функтор вложения, и предположим, что $X'_M \subset X_M$ замкнута справа. Тогда для любого $X'$-покрытия $E$ расширение Кана $\varphi^{<o}_*E$ существует и является $X$-гиперпокрытием. Доказательство. Для любого $x \in X$ обозначим через $\varphi_x\colon X'_L/x \to X_L/x$ вложение, индуцированное $\varphi$, и рассмотрим отображение замены базы
$$
\begin{equation}
\sigma(x)^{<o*}\varphi^{<o}_*E \to \varphi_{x*}^{<o}\sigma(x)^{<o*}E.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Поскольку $\sigma(x)^{<o*}E$ – гиперпокрытие, мы уже знаем, что правая часть (3.5) существует и является гиперпокрытием, так что достаточно доказать, что отображение является изоморфизмом. В силу (1.3) для этого достаточно проверить, что ${X'}^{<o}_L/_{\varphi^{<o}} x$ для любого $x \in X$ кофинально в ${X'}^{<o}/_{\varphi^{<o}} x$. Но поскольку $X'_M \subset X_M$ замкнуто справа, функтор $X^{<o}/x \to X^{<o}_L/x$, сопряженный слева к вложению $X^{<o}_L/x \subset X^{<o}/x$, переводит ${X'}^{<o}/_{\varphi^{<o}} x$ в ${X'}^{<o}_L/_{\varphi^{<o}} x$, и утверждение следует из (1.6). Лемма доказана. Лемма 3.19. Пусть даны тонкие $ML$-категории $\langle X,M,L \rangle$, $\langle X',M',L' \rangle$ и $ML$-функтор $\varphi\colon X \to X'$, который имеет сопряженный слева $\psi\colon X' \to X$. Более того, пусть $\psi$ – также $ML$-функтор. Тогда $\varphi^{<o*}$ переводит $X'$-гиперпокрытия в $X$-гиперпокрытия. Доказательство. Для любого $x \in X$ $ML$-функтор $\varphi$ индуцирует функтор $\varphi_x\colon X_L/x \to X'_{L'}/\varphi(x)$, а поскольку его сопряженный также является $ML$-функтором, он индуцирует функтор $\psi_x\colon X'_{L'}/\varphi(x) \to X_L/\psi(\varphi(x)) \to X_L/x$, сопряженный слева к $\varphi_x$. Тогда $\varphi_x^{<o*} \cong \psi_{x*}^{<o}$ переводит гиперпокрытия в гиперпокрытия для любого $x$, а стало быть, то же верно для $\varphi^{<o*}$. Лемма доказана. Лемма 3.20. Для любых тонких $ML$-категорий $X_0$, $X_1$ функтор $X_0^{<o}\times X_1^{<o} \to I$ является гиперпокрытием тогда и только тогда, когда соответствующий функтор $X_0^{<o} \to \operatorname{Fun}(X_1^{<o},I)$ пропускается через $\operatorname{HCov}(X_1)$ и является гиперпокрытием по отношению к классу $F(X_1)$. Доказательство. Поскольку для любых $x_0 \times x_1 \in X_0^< \times X^<_1$ имеем
$$
\begin{equation*}
(X_0^< \times X_1^<)_L/(x_0 \times x_1) \cong (X_{0L}^< / x_0) \times (X_{1L}^< / x_1),
\end{equation*}
\notag
$$
достаточно доказать утверждение в случае, когда $X_0$ и $X_1$ – конечные частично упорядоченные множества. Тогда замечание 3.3 и (1.3) немедленно сводят все к случаю $X_0=[1]$, и в этом случае работает то же рассуждение, что в доказательстве леммы 3.9. Лемма 3.20 доказана. 3.3. Симплициальные объектыТеперь, как обычно, обозначим через $\Delta \subset \operatorname{Pos}$ полную подкатегорию, порожденную ординалами $[n]$, $n \geqslant 0$. Симплициальный объект в категории $I$ – это по определению функтор $i_{ \bullet }\colon \Delta^o \to I$, где $i_n=i_{ \bullet }([n])$, $n \geqslant 0$. По традиции обозначают $i$-Аугментированный симплициальный объект для какого-либо $i \in I$ – это $i$-коаугментированный функтор $i_{ \bullet }\colon \Delta^{<o} \cong \Delta^{o>} \to I$, и в явном виде он задается тройкой $\langle i_{ \bullet },i,\alpha\rangle$, где $i_{ \bullet }$ – симплициальный объект, а $a\colon i_{ \bullet } \to i$ – отображение аугментации в постоянный симплициальный объект со значением $i$.Полная подкатегория $\Delta \subset \operatorname{Pos}$ наследует структуру тонкой $ML$-категории примера 3.16, так что можно говорить о $\Delta$-гиперпокрытиях в смысле определения 3.11. Они обычно называются просто гиперпокрытиями и появляются в литературе в разных видах и формах. Вот некоторые из них. (i) Для любого $n \geqslant 0$ обозначим через $\Delta^<_{< n} \subset\Delta^<$ полную подкатегорию, порожденную $[m]$ с $m < n$, и пусть $j_n\colon\Delta^<_{< n} \to \Delta^<$ – функтор вложения. $n$-й коскелет $\operatorname{\sf cosk}_n i_{ \bullet }$ аугментированного симплициального объекта $i_{ \bullet }\colon\Delta^{<o} \to I$ дается правым расширением Кана $j_{n*}^oj_n^{o*}i_{ \bullet }$, если оно существует, и в этом случае он снабжен отображением сопряжения $E \to \operatorname{\sf cosk}_nE$. $0$-й коскелет $\operatorname{\sf cosk}_0i_{ \bullet }$ существует всегда – в силу (1.3) это просто постоянный функтор со значением $i=i_{ \bullet }(o)$, а отображение сопряжения $i_{ \bullet } \to \operatorname{\sf cosk}_0i_{ \bullet }$ есть $\operatorname{\mathsf{id}}$ на $o$ и отображение аугментации $a\colon i_{ \bullet } \to i$ на $\Delta^o$. Тогда лемма 3.18 применима к вложениям $\Delta_{<n}^< \subset \Delta^<$ и показывает, что аугментированный симплициальный объект $i_{ \bullet }\colon\Delta^{<o} \to I$ является $\Delta$-гиперпокрытием в том и только том случае, когда $\operatorname{\sf cosk}_ni_{ \bullet }$ существует для любого $n \geqslant 0$, а отображение $i_n \to (\operatorname{\sf cosk}_ni_{ \bullet })_n$ лежит в $F$. Если $I$ – категория схем, а $F$ – покрывающий класс собственных отображений, то это исходные гиперпокрытия работы [5]. (ii) Альтернативным образом $\Delta$-гиперпокрытия можно описывать через решета, как в замечании 3.13. А именно, пусть $\Delta_n=\operatorname{Hom}(-,[n])\colon\Delta^o\to\operatorname{Sets}$ – элементарный симплекс, ${\sf S}_{n-1} \subset \Delta_n$ – стандартная симплициальная сфера, и мы аугментируем и то, и другое одноточечным множеством $\mathsf{pt}$. Тогда $i_{ \bullet }\colon \Delta^{<o} \to I$ является гиперпокрытием в том и только том случае, когда для любого ${n \geqslant 1}$ $\operatorname{Hom}({\sf S}_{n-1},i_{ \bullet })$ существует, а отображение $i_n=\operatorname{Hom}(\Delta_n,i_{ \bullet }) \to \operatorname{Hom}({\sf S}_{n-1},i_{ \bullet })$ лежит в $F$. Если это верно, то то же верно для любого непустого решета ${\sf S} \subset \Delta_n$. Например, если $I=\operatorname{Sets}$ – категория множеств, а $F$ – класс сюръективных отображений, то аугментированное симплициальное множество $X_{ \bullet }= \langle X_{ \bullet },X,a \rangle\colon\Delta^{<o} \to \operatorname{Sets}$ является $\Delta$-гиперпокрытием тогда и только тогда, когда $a\colon X_{ \bullet } \to X$ – тривиальное расслоение в модельной структуре Кана–Квиллена на $\Delta^o\operatorname{Sets}$. В явном виде условие гиперпокрытия в $[n] \in \Delta$ гласит, что аугментированное отображение ${\sf S}_n \to X_{ \bullet }$ продолжается до аугментированного отображения $\Delta_n \to X_{ \bullet }$. Если это верно, то то же верно для любого непустого решета ${\sf S} \subset \Delta_n$. Отметим также, что коаугментация, определяемая $\Delta$-гиперпокрытием $X_{ \bullet }\colon\Delta^{<o>} \to \operatorname{Sets}$, универсальна: если мы положим
$$
\begin{equation}
\pi_0(X_{ \bullet })=\operatorname{\mathsf{colim}}_{\Delta^o}X_{ \bullet },\qquad X_{ \bullet } \in \Delta^o\operatorname{Sets},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
то для любого $\Delta$-гиперпокрытия $\langle X_{ \bullet },X,a \rangle$ мы имеем $X \cong \pi_0(X_{ \bullet })$, при этом $a\colon X_{ \bullet } \to X$ – каноническое отображение. (iii) Предположим теперь, что $I$ – модельная категория, а $F$ – класс расслоений (соответственно тривиальных расслоений). Тогда $\Delta$ имеет структуру категории Риди (см. [12; п. 5.2]), а наши классы $M$ и $L$ суть классы прицепляющих (matching) и защелкивающих (latching) отображений (что объясняет наши обозначения). Категория симплициальных объектов в $I$ снабжена модельной структурой Риди, и аугментированный объект $\langle i_{ \bullet },i,a \rangle$ в $I$ является $\Delta$-гиперпокрытием тогда и только тогда, когда $a\colon i_{ \bullet } \to i$ – расслоение (соответственно тривиальное расслоение). Частично упорядоченное множество $L([n])$ определения 3.11 является защелкивающей категорией для структуры Риди на $\Delta$ (и становится прицепляющей категорией для противоположной категории $\Delta^o$). С этого момента мы также сокращаем термин “$\Delta$-гиперпокрытие” до “гиперпокрытие” и обозначаем $\operatorname{HCov}(i)=\operatorname{HCov}(\Delta,i)$. Напомним, что $\operatorname{HCov}(i)$ снабжена покрывающим классом $F(\Delta)$. Напомним также, что для любых двух симплициальных объектов $E_0,E_1\in \operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{E})$ категории $\mathcal{E}$ мы имеем симплициальное множество $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(E_0,E_1)$, определенное в (1.2), а поскольку $[0]$ есть начальный объект категории $\Delta^o$, имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}(E_0,E_1)\cong\operatorname{\mathsf{lim}}_{\Delta^o} \operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(E_0,E_1) \cong \operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(E_0,E_1)_0.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, это применимо к гиперпокрытиям $i_{ \bullet } \in \operatorname{HCov}(i)\subset \operatorname{Fun}(\Delta^o,\operatorname{Cov}(i))$. Определение 3.21. Для любого объекта $i \in I$ объекты категории $HC(i)$ суть гиперпокрытия $i_{ \bullet } \in \operatorname{HCov}(i)$, а морфизмы задаются как Чтобы представить себе множество $\pi_0(X_{ \bullet })$ более явно, отметим, что, поскольку любой объект $[n] \in \Delta$ допускает отображение $[0] \to [n]$, естественное отображение $X_0 \to \pi_0(X)$ сюръективно. Затем определим элементарную гомотопию между двумя элементами $x,x' \in X_0$ как такой элемент $\widetilde{x} \in X_1$, что $X(s)(\widetilde{x})=x$ и $X(t)(\widetilde{x})=x'$, и будем говорить, что два элемента $x,x' \in X_0$ связаны цепной гомотопией, если их можно соединить конечной цепочкой элементарных гомотопий (идущих в любых направлениях). Тогда связанность цепной гомотопией есть отношение эквивалентности на $X_0$, а $\pi_0(X)$ – соответствующее множество классов эквивалентности. Определение 3.22. Для симплициальных объектов $E_0,E_1 \in \operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{E})$ категории $\mathcal{E}$ два отображения $E_0 \to E_1$ связаны цепной гомотопией, или же гомотопны, если то же верно для соответствующих элементов $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(E_0,E_1)_0$. На этом языке морфизмы в категории $HC(i)$ определения 3.21 суть морфизмы в $\operatorname{HCov}(i)$, рассмотренные с точностью до цепной гомотопии. Лемма 3.23. Пусть $\delta^<\colon\Delta^< \to \Delta^< \times \Delta^<$ – диагональное вложение. Тогда для любого гиперпокытия $E$ расширение Кана $\delta^{<o}_*E$ существует и является $(\Delta * \Delta)$-гиперпокрытием. Доказательство. Вложение $\varphi\colon\Delta \to \operatorname{Pos}$ удовлетворяет условиям леммы 3.18, и то же верно для вложения $\varphi\times \varphi\colon\Delta \times \Delta \to \operatorname{Pos} \times \operatorname{Pos}$. Поэтому достаточно доказать утверждения для диагонального вложения $\delta\colon\operatorname{Pos}^< \to \operatorname{Pos}^< \times \operatorname{Pos}^<$, а затем применить его к $\varphi^{<o}_*E$, которое существует по лемме 3.18. Но мы можем рассмотреть $\operatorname{Pos}^<$ как категорию всех конечных частично упорядоченных множеств, причем начальному объекту $o$ отвечает пустое множество. Тогда у $\delta$ есть сопряженный справа $\mu\colon\operatorname{Pos}^< \times \operatorname{Pos}^< \to \operatorname{Pos}^<$, задаваемый декартовым произведением, и все доказано по лемме 3.19. Лемма 3.23 доказана. Следствие 3.24. Для любого $i \in I$ категория $HC(i)^o$, противоположная категории $HC(i)$ определения 3.21, фильтрована. Доказательство. Условие (i) определения 1.4 очевидно (в $\operatorname{HCov}(i)$ есть конечные произведения). Чтобы доказать (ii), заметим, что для любых $i_{ \bullet },i'_{ \bullet } \in \operatorname{HCov}(i)$ и $n \geqslant 0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(i'_{ \bullet },i_{ \bullet })_n \cong \operatorname{Hom}(i'_{ \bullet },\operatorname{\mathcal{H}{\it om}} (\Delta_n,i_{ \bullet })) \cong \operatorname{Hom}(i'_{ \bullet },\epsilon_n^*\delta_*i'_{ \bullet }),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(\Delta_n,-)$ определен в (1.5), а $\epsilon_n\colon\Delta^<\to\Delta^<\times\Delta^<$ – вложение на $[n] \times \Delta^<$. Тогда по лемме 3.23, лемме 3.20 и лемме 3.17 объект $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(\Delta_n,i_{ \bullet })$ является гиперпокрытием, а отображение $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(\Delta_n,i_{ \bullet }) \to \operatorname{\mathcal{H}{\it om}}({\sf S}_{n-1},i_{ \bullet })$ лежит в $F(\Delta)$. Поэтому если даны два отображения $f,f'\colon i'_{ \bullet } \to i_{ \bullet }$ в $\operatorname{HCov}(i)$, можно построить расслоенное произведение в $\operatorname{HCov}(i)$, и тогда $f \circ g$, $f' \circ g$ соединены элементарной гомотопией, т. е. задают одно и то же отображение в $HC(i)$. Следствие доказано. Замечание 3.25. Гиперпокрытие $i_{ \bullet } \in \operatorname{HCov}(i)$ назовем $n$-обрезанным для некоторого $n \geqslant 0$, если отображение $i_{ \bullet } \to \operatorname{\sf cosk}_n(i_{ \bullet })$ является изоморфизмом. Тогда $1$-обрезанное гиперпокрытие объекта $i$ – это то же самое, что его покрытие, и, более того, любые два отображения между $1$-обрезанными гиперпокрытиями связаны элементарной гомотопией. Поэтому на деле полная подкатегория $HC(i)_1 \subset HC(i)$, порожденная $1$-обрезанными гиперпокрытиями, канонически отождествлена с $C(i)$. 4. Эквивалентность Дольда–Кана и производные функторы4.1. Эквивалентность Дольда–КанаПусть теперь $\mathcal{E}$ – аддитивная категория, замкнутая по Каруби (например, абелева). Тогда существует эквивалентность Дольда–Кана
$$
\begin{equation}
\operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{E}) \cong C_{\geqslant 0}(E), \qquad E \mapsto C_{ \bullet }(E),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $C_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$ – категория цепных комплексов в $\mathcal{E}$, сосредоточенных в неотрицательных гомологических степенях, а $C_{ \bullet }(E)$ – нормализованный цепной комплекс симплициального объекта $E$. Исходная ссылка для (4.1) – статья [6], но в литературе имеется много других изложений. Постоянный функтор $\Delta^o \to \mathcal{E}$ со значением $E$ переходит в комплекс, состоящий из $E$ в степени $0$. Если $\mathcal{E}$ кополна, то, по сопряженности, $\operatorname{\mathsf{colim}}_{\Delta^o} E$ для какого-либо $E \in \operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{E})$ является коядром дифференциала $C_1(E)\to C_0(E)$ в соответствующем цепном комплексе. Аугментированные симплициальные объекты отвечают аугментированным комплексам, т. е. тройкам $\langle M_{ \bullet },M,\alpha \rangle$, состоящим из цепного комплекса $M_{ \bullet }$, объекта $M$ и такого морфизма $\alpha\colon M_0 \to M$, что $\alpha \circ d=0\colon M_1 \to M$. Для любого $n \geqslant 0$ эквивалентность (4.1) также отождествляет $\operatorname{Fun}(\Delta_{< n}^o,\mathcal{E})$ с цепными комплексами $C_{[0,n]}(\mathcal{E})$, сосредоточенными в степенях $0 \leqslant i < n$, а ограничение $j_n^{o*}$ переводит комплекс $M_{ \bullet }$ в его $n$-е глупое обрезание, т. е. в комплекс $M_n \to \dots \to M_0$. Если в $\mathcal{E}$ есть ядра, то правое расширение Кана $j^o_{n*}$ существует и переводит комплекс $M_n \to \dots \to M_0$ в
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ker} d \to M_n \xrightarrow{d} \cdots \xrightarrow{d} M_0.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Итерируя (4.1), можно также получить эквивалентность
$$
\begin{equation}
\operatorname{Fun}(\Delta^o \times \Delta^o,\mathcal{E}) \cong \operatorname{Fun}(\Delta^o,C_{\geqslant 0}(\mathcal{E})) \cong C_{\geqslant 0,\geqslant 0}(\mathcal{E}),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где справа стоит категория бикомплексов в $\mathcal{E}$, сосредоточенных в неотрицательных гомологических бистепенях. Злоупотребляя обозначениями, для любого бикомплекса $M_{ \bullet , \bullet }$, отвечающего бисимплициальному объекту $M$ при (4.3), мы будем обозначать через $\delta^*M_{ \bullet , \bullet }$ комплекс, отвечающий $\delta^*M$, где $\delta\colon\Delta^o \to \Delta^o \times \Delta^o$ – диагональное вложение. Комплекс $\delta^*M_{ \bullet , \bullet }$ отличается от тотального комплекса $\operatorname{\sf Tot}(M_{ \bullet , \bullet })$ бикомплекса $M_{ \bullet , \bullet }$, но они канонически квазиизоморфны, а именно, существуют функториальные отображения тасовки (shuffle maps)
$$
\begin{equation}
\operatorname{\sf Tot}(M_{ \bullet , \bullet }) \to \delta^*M_{ \bullet , \bullet } \to \operatorname{\sf Tot}(M_{ \bullet , \bullet }),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
композиция которых – единичные отображение, и если $\mathcal{E}$ абелева, то оба являются квазиизоморфизмами (этот материал также изложен в литературе в большом количестве мест; например, бескоординатную конструкцию можно найти в [15; разд. 3.4]). Индивидуальные члены $M_n$ комплекса $M_{ \bullet }=\delta^*M_{ \bullet , \bullet }$ суть конечные суммы членов бикомплекса $M_{ \bullet , \bullet }$ – в частности, если все $M_{ \bullet , \bullet }$ проективны в $\mathcal{E}$, то таковы же и все $M_{ \bullet }$. Определение 4.1. Предположим, что $\mathcal{E}$ абелева. Тогда отображение $M_{ \bullet , \bullet } \to N_{ \bullet , \bullet }$ в $C_{\geqslant 0,\geqslant 0}(\mathcal{E})$ есть левый (соответственно правый) квазиизоморфизм, если $M_{n, \bullet } \to N_{n, \bullet }$ (соответственно $M_{ \bullet ,n} \to N_{ \bullet ,n}$) является квазиизоморфизмом для любого $n \geqslant 0$. Пример 4.2. Функтор тотализации $\operatorname{\sf Tot}\colon C^{\geqslant 0,\geqslant 0}(\mathcal{E}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{E})$ допускает два очевидных односторонних обратных $\operatorname{\sf L},\operatorname{\sf R}\colon C_{\geqslant 0} (\mathcal{E}) \to C_{\geqslant 0,\geqslant 0}(\mathcal{E})$, задаваемых как $\operatorname{\sf L}(M_{ \bullet })_{i,j}=M_i$, если $j=0$, иначе $0$, и, двойственным образом, $\operatorname{\sf R}(M_{ \bullet })_{j,i}=M_i$, если $j=0$, иначе $0$ (в терминах эквивалентности Дольда–Кана имеем $\operatorname{\sf L} \cong \pi_0^*$, $\operatorname{\sf R} \cong \pi_1^*$, где $\pi_0,\pi_1\colon\Delta^o \times \Delta^o \to \Delta^o$ суть проекции на сомножители). Между $\operatorname{\sf L}$ и $\operatorname{\sf R}$ функториальных отображений нет. Однако функтор тотализации $\operatorname{\sf Tot}$ также допускает сопряженный слева $\operatorname{\sf I}\colon C_{\geqslant 0}(\mathcal{E}) \to C_{\leqslant 0,\geqslant 0}(\mathcal{E})$, задаваемый как $\operatorname{\sf I}(M_{ \bullet })_{i,j}=M_{i+j} \oplus M_{i+j+1}$, а оба дифференциала равны $d+\operatorname{\mathsf{id}}$. Тогда изоморфизмы $\operatorname{\sf Tot} \circ \operatorname{\sf L} \cong \operatorname{\sf Tot} \circ \operatorname{\sf R} \cong \operatorname{\mathsf{id}}$ по сопряженности дают отображения $\operatorname{\sf I} \to \operatorname{\sf L}$ $\operatorname{\sf I} \to \operatorname{\sf R}$ соответственно, а если $\mathcal{E}$ абелева, то эти сопряженные отображения являются соответственно левым и правым квазиизоморфизмами в смысле определения 4.1. Лемма 4.3. Пусть $\mathcal{E}$ абелева и даны бикомплексы $M_{ \bullet , \bullet }$, $M'_{ \bullet , \bullet }$ в $\mathcal{E}$ и морфизм $f\colon M_{ \bullet , \bullet } \to M'_{ \bullet , \bullet }$, являющийся левым или правым квазиизоморфизмом в смысле определения 4.1. Тогда $\delta^*(f)\colon\delta^*M_{ \bullet , \bullet } \to \delta^*M'_{ \bullet , \bullet }$ также является квазиизоморфизмом. Доказательство. Тотализация $\operatorname{\sf Tot}(f)$ очевидным образом является квазиизоморфизмом, и то же верно для отображений тасовки (4.4) как для $M_{ \bullet , \bullet }$, так и для $M'_{ \bullet , \bullet }$. Лемма доказана. Двойственным образом, $\Delta^o$ в (4.1) можно заменить на $\Delta$, а $C_{\geqslant 0}(-)$ тогда заменяется на категорию $C^{\geqslant 0}(-)$ комплексов, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях (чтобы вывести соответствующее утверждение для $\mathcal{E}$, применяем (4.1) к $\mathcal{E}^o$, которая аддитивна и замкнута по Каруби). Остальной материал до примера 4.2 и леммы 4.3 включительно также имеет очевидные двойственные версии. 4.2. Покрывающие классыТеперь мы хотим снабдить нашу аддитивную замкнутую по Каруби категорию $\mathcal{E}$ покрывающим классом $F$. Есть две возможности. Во-первых, предположим, что в $\mathcal{E}$ есть ядра. Тогда $\mathcal{E}$ конечно полна и можно взять класс всех отображений. Условие гиперпокрытия будет бессодержательно ($\operatorname{HCov}(M)$ есть просто категория всех цепных комплексов, снабженных аугментацией $M_{ \bullet } \to M$), но определение 3.21 по-прежнему нетривиально. Чтобы пояснить, о чем идет речь, заметим, что каждая аддитивная категория $\mathcal{E}$ тривиальным образом является модульной над моноидальной категорией $\mathbb{Z}{\mathrm{-mod}}^{ff}$ конечно порожденных свободных $\mathbb{Z}$-модулей. Хотя эквивалентность Дольда–Кана и не тензорная, тем не менее для любых $M\colon\Delta^o \to \mathcal{E}$, $V\colon\Delta^o \to \mathbb{Z}{\mathrm{-mod}}^{ff}$ имеем отображения тасовки
$$
\begin{equation}
C_{ \bullet }(M) \otimes C_{ \bullet }(V) \to C_{ \bullet }(M \otimes V) \to C_{ \bullet }(M) \otimes C_{ \bullet }(V),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
индуцированные отображениями (4.4) – в самом деле, если рассмотреть бикомплекс $C_{ \bullet }(M) \boxtimes C_{ \bullet }(V)$ с членами $C_n(M) \otimes C_n(V)$, то
$$
\begin{equation*}
C_{ \bullet }(M) \otimes C_{ \bullet }(V)\cong \operatorname{\sf Tot}(C_{ \bullet }(M) \boxtimes C_{ \bullet }(V))\quad\text{и}\quad C_{ \bullet }(M \otimes V)\cong \delta^*(C_{ \bullet }(M)\boxtimes C_{ \bullet }(V)).
\end{equation*}
\notag
$$
Если мы обозначим через $\mathbb{Z}[\Delta_1]\colon\Delta^o \to \mathbb{Z}{\mathrm{-mod}}$ симплициальный $\mathbb{Z}$-модуль, поточечно порожденный элементарным $1$-симплексом, то задать элементарную гомотопию в смысле определения 3.21 между двумя отображениями $f,f'\colon E_{ \bullet } \to E'_{ \bullet }$ – это то же самое, что задать отображение
$$
\begin{equation}
h\colon C_{ \bullet }(E_{ \bullet } \otimes \mathbb{Z}[\Delta_1]) \to C_{ \bullet }(E_{ \bullet }')
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
с предписанными ограничениями на $C_{ \bullet }(E_{ \bullet } \otimes \mathbb{Z}[{\sf S}_0]) \cong C_{ \bullet }(E_{ \bullet }) \oplus C_{ \bullet }(E_{ \bullet })$. Однако $C_{ \bullet }(\mathbb{Z}[\Delta_1])$ есть комплекс $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, поэтому задать цепную гомотопию между $f$ и $f'$ в обычном смысле – это то же самое, что задать отображение
$$
\begin{equation}
h'\colon C_{ \bullet }(E_{ \bullet }) \otimes C_{ \bullet }(\mathbb{Z}[\Delta_1]) \to C_{ \bullet }(E_{ \bullet }').
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
В силу (4.5) область определения отображения (4.7) является ретрактом области определения отображения (4.6), так что элементарная гомотопия существует тогда и только тогда, когда отображения гомотопны в обычном смысле. Это отношение уже транзитивно, поэтому гомотопность в обычном смысле и в смысле определения 3.21 – одно и то же. Более интересная альтернатива такая: предположим, в дополнение к предыдущему, что $\mathcal{E}^o$ либо абелева, либо малая и предабелева в смысле определения 1.10, так что $\operatorname{Pro}(\mathcal{E}) \cong \operatorname{Ind}(\mathcal{E}^o)^o$ абелева, и возьмем в качестве $F$ класс всех эпиморфизмов в $\mathcal{E}$. Поскольку эпиморфизмы в абелевой категории очевидным образом стабильны относительно обратных образов, а полное вложение $\mathcal{E} \subset \operatorname{Pro}(\mathcal{E})= \operatorname{Ind}(\mathcal{E}^o)^o$ отражает эпиморфизмы, $F$ также является покрывающим классом. Тогда из (4.2) сразу видно, что аугментированный комплекс $\langle M_{ \bullet },M,a \rangle$ является $F$-гиперпокрытием в том и только том случае, когда $a\colon M_{ \bullet } \to M$ квазиизоморфизм, т. е. $M_{ \bullet }$ – левая резольвента $M$ в $\operatorname{Pro}(\mathcal{E}) \supset \mathcal{E}$, а $HC(M)$ есть категория левых резольвент объекта $M \in \mathcal{E}$ и гомотопических классов отображений между ними. Двойственным образом, если $\mathcal{E}$ предабелева, то гиперпокрытия в противоположной категории $\mathcal{E}^o$ отвечают правым резольвентам в $\operatorname{Ind}(\mathcal{E}^o)$. Если даны категории $I$, $I'$ с покрывающими классами $F$, $F'$ и функтор $\gamma\colon I \to I'$, который коммутирует с конечными пределами и переводит морфизмы из $F$ в морфизмы из $F'$, то он тавтологически переводит $F$-гиперпокрытия в $F'$-гиперпокрытия. Например, так бывает, если $I=\mathcal{E}$ – абелева категория с проективным объектом $E$, $E'=\operatorname{Sets}$, $F$ и $F'$ состоят из эпиморфизмов, а $\gamma$ есть функтор $\operatorname{Hom}(E,-)$. Если в $\mathcal{E}$ есть произвольные суммы, то этот конкретный функтор имеет сопряженный слева $\operatorname{Sets} \to \mathcal{E}$, $S \mapsto E[S]$, где, как и в примере 2.1, $E[S]$ обозначает сумму копий $E$, занумерованных элементами $s \in S$. Этот сопряженный по-прежнему переводит эпиморфизмы в эпиморфизмы, даже если $E$ не проективен, однако он, безусловно, никогда не коммутирует с пределами. Тем не менее следующее утверждение все равно верно. Лемма 4.4. Пусть даны множество $S$, набор $E_s \in \mathcal{E}$, $s \in S$, объектов абелевой категории $\mathcal{E}$ с произвольными суммами и набор аугментированных симплициальных множеств $X_s\colon\Delta^{<o} \to \operatorname{Sets}$, $s \in S$, являющихся гиперпокрытиями по отношению к классу эпиморфизмов. Тогда аугментированный симплициальный объект $\bigoplus\limits_sE_s[X_s]\colon\Delta^{<o} \to \mathcal{E}$ является гиперпокрытием по отношению к классу эпиморфизмов. Набросок доказательства. Поскольку $\bigoplus\limits_sE_s[X_s]$ есть ретракт $E[X]$, $E=\bigoplus\limits_sE_s$, $X=\coprod\limits_s X_s$, достаточно ограничиться случаем $S=\mathsf{pt}$. Более того, достаточно доказать, что для любого $E' \in \mathcal{E}$ аугментированный функтор $\operatorname{Hom}(E(X),E')\colon \Delta^{<o} \to \operatorname{Ab}^o$ есть гиперпокрытие в категории $\operatorname{Ab}^o$, двойственной к категории абелевых групп, также по отношению к эпиморфизмам, а это эквивалентно нашему утверждению, в котором $\mathcal{E}$ заменено на $\operatorname{Ab}$, а $E$ – на $\operatorname{Hom}(E,E')$. Другими словами, можно сразу предположить, что $\mathcal{E}=\operatorname{Ab}$. Тогда $E[X] \cong E \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[X]$, т. е. можно положить $E=\mathbb{Z}$, и далее можно, применив эквивалентность Дольда–Кана, заменить $E[X]$ на нормализованный цепной комплекс $C_{ \bullet }(X,\mathbb{Z})$. Для этого случая утверждение хорошо известно: гиперпокрытие является, в частности, слабой эквивалентностью, а $C_{ \bullet }(-,\mathbb{Z})$ переводит слабые эквивалентности в квазиизоморфизмы. Вот одно из доказательств этого: поскольку все симплициальные множества кофибрантны, любая слабая эквивалентность есть композиция тривиальных корасслоений и односторонних обратных к ним, т. е. достаточно рассмотреть тривиальные корасслоения; поскольку фильтрованные копределы в $\operatorname{Ab}$ сохраняют квазиизоморфизмы, достаточно рассмотреть элементарные тривиальные корасслоения, т. е. пушауты рогов; но пушаут инъективного квазиизоморфизма есть квазиизоморфизм, так что достаточно рассмотреть сами рога. Они дают квазиизоморфизмы по определению эквивалентности Дольда–Кана. Замечание 4.5. Утверждение леммы 4.4 по сути своей является топологическим (“если нет гомотопий, то нет и гомологий” – грубо говоря, теорема Гуревича). Доказательство, набросок которого приведен выше, использует модельные структуры Квиллена. Существует много других доказательств, но среди них нет ни одного, которое было бы элементарным или проводилось в рамках чистой теории категорий. 4.3. Производные функторы по ДольдуПусть теперь дан функтор $E\colon\mathcal{C} \to \mathcal{E}$ между полными категориями $\mathcal{C}$ и $\mathcal{E}$; продолжим $E$ до функтора $E\colon\operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{C}) \to \operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{E})$, применяя его почленно. Нижеследующее классическое наблюдение по сути принадлежит Дольду. Лемма 4.6. Если отображения $f,f'$ в $\operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{C})$ гомотопны в смысле определения 3.22, то таковыми являются отображения $E(f),E(f')$ в $\operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{E})$. Доказательство. Используя индукцию по длине цепочки, можно предполагать, что отображения $f,f'\colon c \to c'$ соединены гомотопией где $\pi=\sigma([1])^o\colon(\Delta/[1])^o \to \Delta^o$ обозначает проекцию. Но тогда тавтологически имеем $E \circ \pi^* \cong \pi^* \circ E$, и отображение сопряжения $a\colon\pi^*\pi_*\pi^*c' \to \pi^*c'$ порождает отображение Оно, в свою очередь, сопряжено отображению $a'\colon E(\pi_*\pi^*c') \to \pi_*\pi^*E(c')$, и $a' \circ E(\widetilde{f})$ есть элементарная гомотопия, связывающая $E(f)$ и $E(f')$. Лемма доказана. Если категория $\mathcal{C}$ не полна, то лемма 4.6 будет по-прежнему верна, с тем же доказательством, если ограничиться полной подкатегорией в $\operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{C})$, в которой существуют $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(\Delta_1,-)$ и $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}({\sf S}_0,-)$. В частности, пусть дана малая категория $I$ с покрывающим классом $F$; тогда можно взять $\mathcal{C}=\operatorname{Cov}(i)$, $i \in I$, и рассмотреть подкатегорию $\operatorname{HCov}(i) \subset\operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{C})$. В качестве категории $\mathcal{E}$ возьмем конечно представимую абелеву категорию. Тогда для любого функтора $E\colon I^o\to \mathcal{E}$ и любого объекта $i \in I$ можно рассмотреть функтор $E^o_i=E^o \circ \sigma(i)\colon\operatorname{Cov}(i) \to \mathcal{E}^o$ и лемма 4.6 применима к его продолжению $E^o_i(\Delta)\colon\operatorname{HCov}(i) \to \operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{E}^o)$. Поэтому, беря композицию $E^o_i(\Delta)$ с эквивалентностью Дольда–Кана, получаем функтор $\operatorname{HCov}(i) \to C_{\geqslant 0}(\mathcal{E}^o)$, который переводит гомотопные отображения в гомотопные отображения. Двойственным образом, $E_i\colon\operatorname{HCov}(i)^o \to \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{E}) \cong C^{\geqslant 0}(\mathcal{E})$ также переводит гомотопные отображения в гомотопные отображения, так что для любого $n$ группа $n$-х гомологий $H^n(E_i(i'))$ комплекса $C^{ \bullet }(E_i(i'))$ задает функтор $\operatorname{HCov}(i)^o \to \mathcal{E}$, который пропускается через фильтрованную категорию $HC(i)$. Определение 4.7. $n$-й производный функтор по Дольду $D^n(E)\colon I^o \to \mathcal{E}$ функтора $E\colon I^o \to \mathcal{E}$ задается как Это функториально по $i$, поскольку любое отображение $i' \to i$ в $I$ индуцирует функтор $\operatorname{HCov}(i) \to \operatorname{HCov}(i')$, переводящий гомотопные отображения в гомотопные, так что мы снова имеем расслоение Гротендика $HC \to I$ со слоями $HC(i)$ и можем применить (1.3). Предложение 4.8. Для любых $n \geqslant 0$ и $E \in \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$ имеем функториальный изоморфизм где $a\colon\operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E}) \to \operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ – функтор ассоциированного пучка, а $R^{ \bullet } e$ – производные функторы функтора вложения $e\colon\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E}) \to \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$. Доказательство. Возьмем объект $i \in I$, рассмотрим категорию $\operatorname{HCov}(I)$ с покрывающим классом $F_\Delta$ и выберем $F_\Delta$-оболочку $\widetilde{i} \in \operatorname{HCov}(I)$, которая существует в силу леммы 2.11, (ii). По определению $\widetilde{i}$ есть прообъект в $\operatorname{HCov}(i)$, представленный фильтрованной диаграммой $\gamma\colon J \to \operatorname{HCov}(i)^o$. Поскольку $\widetilde{i}$ $F_\Delta$-поднимаем, $i' \setminus J$ непустое и направленное для любого $i' \in \operatorname{HCov}(i)$, и тем самым то же верно для правых комма-слоев композиции $J \to \operatorname{HCov}(i)^o \to HC(i)^o$. Поскольку $J$ фильтровано, композиция кофинальна, и имеем
$$
\begin{equation}
D^n(E)(i) \cong \operatorname{\mathsf{colim}}_{j \in J}H^n(E_i(\gamma(j))) \cong H^n(E(\sigma(i)(\widetilde{i}))),
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где второй изоморфизм имеет место в силу того, что фильтрованные копределы в $\mathcal{E}$ точны. Более того, по лемме 3.17 и сопряженности, $\operatorname{\sf ev}_n(\widetilde{i})$ является $\sigma(i)^*F$-поднимаемым в $\operatorname{Cov}(i)$, и тем самым $\sigma(i)(\widetilde{i})$ является $F$-поднимаемым в $I$ по лемме 2.11, (i). Из (4.8) по лемме 2.8 теперь немедленно следует, что $D^n(E) \cong D^n(a(E))$, так что $D^n(-)$ пропускается через функтор ассоциированного пучка. Более того, если $n=0$, то эквивалентность Дольда–Кана дает декартов квадрат для любого гиперпокрытия $i' \in \operatorname{HCov}(i)$, а если $E$ – пучок, то отображение $E_i(i'_0 \times_i i'_0) \to E_i(i'_1)$ инъективно, так что $E_i(i'_1)$ в (4.9) можно заменить на $E_i(i'_0 \times_i i'_0)$ и заключить из условия пучка, что $H^0(E_i(i')) \cong E(i)$ для любого $i' \in \operatorname{HCov}(i')$. Поэтому $D^0(E) \cong e(a(E))$. Наконец, в силу (4.8) набор $D^n(-)$ задает $\delta$-функтор на $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ в смысле [10], а потому, если мы назовем точным пучок $E \in \operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$, для которого $H^n(E_i(i'))=0$ при $n \geqslant 1$ и любых $i \in I$, $i' \in \operatorname{HCov}(i)$, то достаточно доказать, что любой пучок $E$ допускает инъективное отображение $E \to E'$ в точный пучок $E'$. Для каждого объекта $i \in I$ выберем $F$-оболочку $\widetilde{i}$, доставляемую леммой 2.11, (ii), и рассмотрим произведение
$$
\begin{equation*}
E'=\prod_{i \in I}\mathsf{Y}_{\widetilde{i}}(E(\widetilde{i})),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathsf{Y}_{\widetilde{i}}(E(\widetilde{i}))$, $i \in I$, – функтор из леммы 2.8. Тогда, с одной стороны, $E'$ точен по лемме 4.4, а с другой, отображения $\widetilde{i} \to i$ индуцируют отображение $a\colon E \to E'$, и, поскольку $E$ – пучок, все отображения $E(i) \to E(\widetilde{i})$ инъективны. Поэтому отображение $\operatorname{\sf ev}_i(a)$ инъективно для каждого $i \in I$ и само $a$ также инъективно. Предложение доказано. 5. Категории морфизмовТеперь мы можем определить и изучить главный предмет статьи, а именно категорию морфизмов между абелевыми категориями. Пусть даны конечно представимые абелевы категории $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$. Напомним, что подкатегория $\mathcal{A}_c \subset \mathcal{A}$ компактных объектов в $\mathcal{A}$ предабелева в смысле определения 1.10, а класс $\operatorname{\sf Epi}$ эпиморфизмов есть покрывающий класс в противоположной категории $\mathcal{A}_c^o$. Определение 5.1. Категория морфизмов $\operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ есть полная подкатегория $\operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})= \operatorname{Shv}(\mathcal{A}_c^o,\mathcal{B}) \subset \operatorname{Fun}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B})\cong \operatorname{Fun}_c(\mathcal{A},\mathcal{B})$, порожденная пучками по отношению к $\operatorname{\sf Epi}$-топологии на $\mathcal{A}_c^o$. В силу примера 2.1 категория $\operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ есть абелева категория Гротендика, и мы имеем тавтологический функтор действия
$$
\begin{equation}
\mathcal{A} \times \operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \to \mathcal{B}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
С другой стороны, функтор $E\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ происходит из морфизма тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \times \operatorname{Mor}(\mathcal{B},\mathcal{C}) \to \operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{C})
\end{equation*}
\notag
$$
для любых трех конечно представимых абелевых категорий $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$. Пример 5.2. Из условий пучка (i), (ii) немедленно следует, что объект $E \in \operatorname{Fun}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B})$ является аддитивным пучком тогда и только тогда, когда его непрерывное продолжение $E\colon\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ – точный слева функтор в обычном смысле (т. е. коммутирует с конечными пределами). Поэтому полная подкатегория $\operatorname{Mor}_{\rm add}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, образованная аддитивными функторами, есть категория точных слева непрерывных функторов $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$. В частности, такая категория функтров является абелевой категорией Гротендика. Однако вся $\operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ строго больше: не все морфизмы аддитивны. Например, если $\mathcal{A}=\mathcal{B}=\operatorname{Ab}$, то $\operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \operatorname{Fun}_c(\operatorname{Ab},\operatorname{Ab})$ содержит функтор, переводящий абелеву группу $A$ в свободную абелеву группу $\mathbb{Z}[A]$, порожденную $A$ как множеством. Пример 5.3. Заметим, что если $\mathcal{A}$ – малая абелева категория, то для того, чтобы определить категорию $\operatorname{Mor}(\operatorname{Ind}(\mathcal{A}),\operatorname{Ab}) \cong \operatorname{Shv}(\mathcal{A}^o,\operatorname{Ab})$ и полную подкатегорию $\operatorname{Mor}_{\rm add}(\operatorname{Ind}(\mathcal{A}), \operatorname{Ab}) \subset \operatorname{Mor}(\operatorname{Ind} (\mathcal{A}),\operatorname{Ab})$, а затем доказать, что обе они – абелевы категории Гротендика, нам не надо знать, что $\operatorname{Ind}(\mathcal{A})$ абелева. Напротив, самый простой способ доказать, что $\operatorname{Ind}(\mathcal{A})$ абелева, – проверить, что вложение Йонеды (1.7) отождествляет ее с $\operatorname{Mor}_{\rm add}(\operatorname{Ind} (\mathcal{A}),\operatorname{Ab})$, а это вариант знаменитой теоремы Габриэля–Попеску (см. [4; гл. 5, § 10]) и в нашем контексте немедленно следует из примера 1.6. На уровне производных категорий обозначим через $\operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ производную категорию абелевой категории $\operatorname{Mor}(\mathcal{A},B)$, а через $\operatorname{DMor}^{\leqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ полную подкатегорию, образованную косвязными объектами. Имеем полное строгое вложение $R^{ \bullet } e\colon\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B}) \cong \mathcal{D}^{\geqslant 0}_c(\mathcal{A},\mathcal{B})$, построенное в предложении 4.8. Напомним, что область значений этого вложения получается локализацией категории комплексов
$$
\begin{equation*}
C^{\geqslant 0}(\operatorname{Fun}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B})) \cong \operatorname{Fun}(\mathcal{A}_c,C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})) \cong \operatorname{Fun}_c(\mathcal{A},C^{\geqslant 0}(\mathcal{B}))
\end{equation*}
\notag
$$
по квазиизоморфизмам, и можно, используя эквивалентность Дольда–Кана, заменить $C^{\geqslant 0}(-)$ на $\operatorname{Fun}(\Delta,-)$. Это позволяет продолжить функторную интерпретацию $\operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ на $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$. А именно, для любого функтора $E\colon\mathcal{A}_c \to\operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{B})$ имеем его каноническое непрерывное продолжение $E\colon\mathcal{A} \to \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{B})$, и можем дальше определить его продолжение по Дольду
$$
\begin{equation}
\operatorname{\sf D}(E)\operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{A}) \to \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{B})
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
как композицию
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{A}) \xrightarrow{E} \operatorname{Fun}(\Delta \times \Delta,\mathcal{B}) \xrightarrow{\delta^*} \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{B}),
\end{equation*}
\notag
$$
где первый функтор есть $E$, примененный почленно, а $\delta\colon\Delta \to \Delta \times \Delta$ – диагональное вложение. Определение 5.4. Непрерывный функтор $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ называется гомотопическим, если он переводит квазиизоморфизмы в квазиизоморфизмы. Теорема 5.5. Функтор $E\colon\mathcal{A}_c \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B}) \cong \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{B})$ представляет объект $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B})$ тогда и только тогда, когда его продолжение по Дольду (5.3) – гомотопический функтор в смысле определения 5.4. Доказательство. Начнем с утверждения “только тогда”. Будем говорить, что $E\colon\mathcal{A}_c \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ годен до степени $n \geqslant 0$, если для любого квазиизоморфизма $f$ в $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ морфизм $\operatorname{\sf D}(E)(f)$ является квазиизоморфизмом в степенях $\leqslant n$. По лемме 4.3 поточечный квазиизоморфизм $E_0 \to E_1$ индуцирует поточечный квазиизоморфизм $\operatorname{\sf D}(E_0) \to \operatorname{\sf D}(E_1)$, так что свойство быть годным зависит только от объекта в $\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B})$, представленного $E$. Более того, для любого комплекса $M^{ \bullet } \in C^{\geqslant 0}(\operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B}))$ отметим, что (i) $R^{ \bullet } e(M^{ \bullet })$ годен до степени $n$ тогда и только тогда, когда то же верно для $R^{ \bullet } e(M^{\leqslant n+1})$, где $M^{n+1}$ – глупое обрезание $M^0 \to \cdots \to M^{n+1}$, и (ii) свойство быть годным до степени $n$ стабильно относительно расширений, а свойство быть годным до любой степени также стабильно относительно гомологических сдвигов. Поэтому, для того чтобы доказать, что $R^{ \bullet } e(M^{ \bullet })$ годен во всех степенях для любого комплекса $M^{ \bullet }$, достаточно рассмотреть комплексы, сосредоточенные в степени $0$. Более того, будем говорить, что пучок $M \in \operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ инд-точен, если $H^n(M(\widetilde{A}))=0$ для любого $n \geqslant 1$ и гиперпокрытия $\widetilde{A}$ объекта $A \in \mathcal{A}^o$ (в частности, это применимо к гиперпокрытиям в $\mathcal{A}_c^o \subset \mathcal{A}^o$, так что инд-точный пучок точен в том смысле, который был использован в доказательстве предложения 4.8). Тогда, поскольку $\mathcal{A}$ конечно представима, она является абелевой категорией Гротендика, а потому имеет достаточно инъективных объектов, причем любой инъективный $I \in \mathcal{A}$ $\operatorname{\sf Epi}$-поднимаем как объект $\mathcal{A}^o \cong \operatorname{Pro}(\mathcal{A}_c^o)$. Тогда, в силу леммы 2.8, $\mathsf{Y}_A(B) \in \operatorname{Fun}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B})$ является пучком для любых $B \in \mathcal{B}$, $A \in \mathcal{A}$, и, рассуждая так же, как в доказательстве предложения 4.8, видим, что любой $M \in \operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ допускает вложение в инд-точный пучок вида
$$
\begin{equation*}
M'=\prod_{A \in \mathcal{A}_c}\mathsf{Y}_{\widetilde{A}}(M(\widetilde{A})),
\end{equation*}
\notag
$$
где для каждого $A \in \mathcal{A}_c$ мы выбираем вложение $A \to \widetilde{A}$ в инъективный $\widetilde{A} \in \mathcal{A}$. Заключаем, что любой пучок в $\operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ имеет резольвенту инд-точными пучками, так что достаточно доказать, что $R^{ \bullet } e(M)$ годен для инд-точного $M \in \operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$. В этом случае производные функторы по Дольду $D^n(M)$ обращаются в нуль при $n\geqslant 1$, тем самым $R^{ \bullet } e(M) \cong M$ по предложению 4.8, и надо доказать, что $\operatorname{\sf D}(M)(f)$ является квазиизоморфизмом для любого квазиизоморфизма $f\colon A^{ \bullet } \to B^{ \bullet }$ в $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$. В простом случае, когда $A^{ \bullet }=A \in \mathcal{A} \subset C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ – объект в $\mathcal{A}$, рассматриваемый как комплекс, сосредоточенный в степени $0$, утверждение верно по определению, так как $B^{ \bullet }$ есть гиперпокрытие объекта $A$. В общем случае отмечаем, что абелева категория $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ также является абелевой категорией Гротендика, т. е. имеет достаточно инъективных объектов, и, более того, если $I^{ \bullet } \in C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ инъективен, то $I^n\in \mathcal{A}$ инъективно при любом $n \geqslant 0$. Поэтому $A^{ \bullet }$ допускает инъективную резольвенту в $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$, и это бикомплекс $I^{ \bullet , \bullet } \in C^{\geqslant 0,\geqslant 0}(\mathcal{A})$ с инъективными членами, снабженный таким отображением $A^{ \bullet } \to I^{ \bullet , \bullet }$, что $A^n \to I^{n, \bullet }$ – квазиизоморфизм при любом $n \geqslant 0$. Тогда, с одной стороны, $f_A\colon A^{ \bullet } \to I^{ \bullet }=\delta^*I^{ \bullet , \bullet }$ является квазиизоморфизмом по лемме 4.3 и $I^{ \bullet }$ – комплекс инъективных объектов, а с другой стороны, простой случай утверждения, который мы уже доказали, вместе с леммой 4.3 показывает, что $\operatorname{\sf D}(M)(f_A)$ – также квазиизоморфизм. Применяя то же рассуждение к $B^{ \bullet }$, сводим утверждение к ситуации, когда $f\colon A^{ \bullet } \to B^{ \bullet }$ – отображение между комплексами инъективных объектов. Но в этом случае $f$ обратим с точностью до гомотопической эквивалентности, и все следует из леммы 4.6. Наконец, для того, чтобы доказать утверждение “тогда”, будем говорить, что $E \in \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B})$ годен, если $\operatorname{\sf D}(E)$ гомотопический. Тогда, в частности, $E$ обращает все отображения между $1$-обрезанными покрытиями объектов $\mathcal{A}$ в смысле замечания 3.25, так что каноническое обрезание $\tau^{\leqslant 0}E \in \operatorname{Fun}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B}) \subset \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B})$ является пучком. Поэтому если $a(E)=0$, то $\tau^{\leqslant 0}(E)=0$, т. е. $E \in \mathcal{D}^{\geqslant 1}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B})$, а дальше то же рассуждение можно применить к гомологическому сдвигу $E[1]$, и, по индукции, $E \in \mathcal{D}^{\geqslant n}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B})$ для всех $n \geqslant 0$. Поэтому если для годного $E$ имеем $a(E)=0$, то $E=0$. Если же это не так, то пусть $E'$ – конус отображения сопряжения $E \to a(R^{ \bullet } e(E))$. Поскольку мы уже доказали, что $a(R^{ \bullet } e(E))$ годен, то $E'$ также годен, а поскольку $a(E')=0$, имеем $E'=0$ и $E \cong R^{ \bullet } e(a(E))$. Теорема доказана. По теореме 5.5 любой непрерывный функтор $E\colon\mathcal{A} \to C^{ \bullet }(\mathcal{B})$, представляющий объект $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, продолжается до гомотопического непрерывного функтора $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$. Дополним это утверждение, показав, что любой непрерывный гомотопический функтор возникает таким образом. А именно, напомним, что $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \cong \operatorname{Ind}(C^{\geqslant 0}_b(\mathcal{A}_c))$ конечно представима, и обозначим через $\operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset\mathcal{D}_c(C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}),\mathcal{B})$ полную подкатегорию, порожденную гомотопическими функторами. Тогда имеем естественную проекцию
$$
\begin{equation}
\tau^*\colon\operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0} (\mathcal{A},\mathcal{B}) \to \mathcal{D}^{\geqslant 0} (\mathcal{A}_c,\mathcal{B}) \cong \mathcal{D}^{\geqslant 0}_c (\mathcal{A},\mathcal{B}),
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где $\tau\colon\mathcal{A} \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ переводит объект $A \in \mathcal{A}$ в тот же объект, но рассматриваемый как комплекс, сосредоточенный в степени $0$. Следствие 5.6. Проекция (5.4) пропускается через эквивалентность категорий $\operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},B) \cong \operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B}) \cong \mathcal{D}^{\geqslant 0}_c(\mathcal{A},\mathcal{B})$. Доказательство. То, что (5.4) пропускается через $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, немедленно следует из теоремы 5.5. Более того, мы очевидно имеем $\tau^*(\operatorname{\sf D}(E)) \cong E$, так что соответствие $E \mapsto \operatorname{\sf D}(E)$ доставляет односторонний обратный к функтору $\tau^*\colon \operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \to \operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$. Поэтому, для того чтобы доказать утверждение, достаточно построить функториальный изоморфизм $E \cong \operatorname{\sf D}(\tau^*E)$ для любого $E\in \operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0} (\mathcal{A},\mathcal{B})$. Для этого представим $E$ гомотопическим непрерывным функтором $E\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ и заметим, что $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ – также абелева категория, так что $E$ имеет продолжение по Дольду до непрерывного функтора $\operatorname{\sf D}(E)\colon C^{\geqslant 0,\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$. Тогда имеем $E\cong\operatorname{\sf D}(E) \circ \operatorname{\sf L}$ и $\operatorname{\sf D}(\tau^*E) \cong \operatorname{\sf D}(E) \circ \operatorname{\sf R}$, где $\operatorname{\sf L}$ и $\operatorname{\sf R}$ – вложения из примера 4.2. Однако мы также имеем вложение $\operatorname{\sf I}$ и отображения $\operatorname{\sf L},\operatorname{\sf R} \to \operatorname{\sf I}$, которые индуцируют функториальные отображения
$$
\begin{equation}
E \cong \operatorname{\sf D}(E) \circ \operatorname{\sf L} \to \operatorname{\sf D}(E) \circ \operatorname{\sf I} \leftarrow \operatorname{\sf D}(E) \circ \operatorname{\sf R} \cong \operatorname{\sf D}(\tau^*E),
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
и достаточно доказать, что оба отображения в (5.5) являются квазиизоморфизмами. Согласно примеру 4.2 тогда достаточно доказать, что $\operatorname{\sf D}(E)$ переводит левые и правые квазиизоморфизмы определения 4.1 в квазиизоморфизмы в $C^{\geqslant 0}(\operatorname{Ind}(\mathcal{B}))$. Для правых квазиизоморфизмов это немедленно следует из того, что $E$ гомотопический, а для левых это теорема 5.5. Следствие доказано. Замечание 5.7. Как мы видели в доказательстве теоремы 5.5, любой объект $E$ в $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ можно представить комплексом $M^{ \bullet }$ инд-точных пучков, а тогда $E \cong e(M^{ \bullet })\colon\mathcal{A}_c \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ – также комплекс пучков, и продолжение по Дольду $\mathcal{D}(E)$ представлено непрерывным гомотопическим функтором $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$, который переводит мономорфизмы в мономорфизмы. Это значит, что он допускает левый производный (left-derivable) по отношению к инъективным модельным структурам на $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ и $C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ в смысле [16; определение 3.1]. В силу следствия 5.6 любой непрерывный гомотопический функтор тогда изоморфен такому, который допускает левый производный. У этого есть применения; в частности, такие функторы можно использовать в конструкциях склейки, подобных приведенным в [16; разд. 3]. 6. Стабильность и продолжения6.1. СтабильностьВ предположениях теоремы 5.5 любой гомотопический функтор $E\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ по определению спускается до функтора
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}(E)\colon\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{B}),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
а теорема 5.5 затем показывает, что (5.1) продолжается до функтора действия
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \times \operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{B}).
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Однако ничто в теореме 5.5 не гарантирует, что функтор $\mathcal{D}(E)$ триангулирован в каком-либо смысле. В частности, он не обязан быть аддитивным и не коммутирует с гомологическими сдвигами, так что нет простого способа продолжить (6.2) на всю производную категорию. Последнее утверждение на самом деле можно уточнить следующим образом. Для любого косимплициального объекта $c\colon\Delta \to \mathcal{C}$ в полной категории $\mathcal{C}$ и любого симплициального множества $X$ мы имеем косимплициальный объект $c(X)\colon\Delta \to \mathcal{C}$ с членами $c(X)([n])=c([n])(X([n]))$; эквивалентным образом, $c(X) \cong \pi_*\pi^*c$, где $\pi\colon\Delta X \to \Delta$ – забывающий функтор из категории элементов $X\colon\Delta^o \to \operatorname{Sets}$. Если у нас есть функтор $E\colon\mathcal{C} \to \mathcal{E}$ в другую полную категорию $\mathcal{E}$ и мы продолжаем его до функторов $E\colon\operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{C}) \to \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{E})$, $E\colon\operatorname{Fun}(\Delta X,\mathcal{C}) \to \operatorname{Fun}(\Delta X,\mathcal{E})$, применяя поточечно, то, рассуждая так же, как в лемме 4.6, видим, что тавтологический изоморфизм $E \circ \pi^* \cong \pi^* \circ E$ индуцирует по сопряженности отображение $E \circ \pi_* \to \pi_* \circ E$, и вместе они дают отображение функториальное по $E$, $c$ и $X$. Возьмем теперь $\mathcal{C}=\mathcal{A}$, $\mathcal{E}=\mathcal{B}$ и обозначим через ${\sf S}^1\colon\Delta^o \to \operatorname{Sets}$ симплициальную окружность, полученную склеиванием концов симплициального отрезка $\Delta_1$ (она отличается от стандартной симплициальной окружности ${\sf S}_1$, которую мы определили как границу $2$-симплекса $\Delta_2$). Тогда проекция ${\sf S}^1 \to \Delta_0=\mathsf{pt}_{\Delta^o}$ имеет единственное расщепление $\Delta_0 \to {\sf S}^1$, и для любого $A\colon\Delta \to \mathcal{A}$ имеем расщепление для некоторого $\Omega(A)\colon\Delta \to \mathcal{A}$, функториально зависящего от $A$. С точностью до квазиизоморфизма, $\Omega(A)$ отвечает гомологическому сдвигу $A[-1]$ при эквивалентности Дольда–Кана (4.1). Морфизм (6.3) дает функториальное отображение и можно спросить себя, является ли это отображение квазиизоморфизмом для любого $A$. Оказывается, что это нетривиальное условие на $E$, которое можно сформулировать несколькими эквивалентными способами.Определение 6.1. Для любых двух абелевых категорий $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ функтор $E\colon\mathcal{A} \to C^{ \bullet }(\mathcal{B})$ стабилен, если для любой точной последовательности (1.11) в $\mathcal{A}$ с соответствующим бидекартовым квадратом $\gamma\colon[1]^2 \to \mathcal{A}$, как в (1.13), индуцированный квадрат $\gamma^*E \in \mathcal{D}([1]^2,\mathcal{B})$ гомотопически бидекартов. Стабильность в смысле определения 6.1 очевидным образом инвариантна относительно взятия конусов и квазиизоморфизмов, так что если $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ конечно представимы, а $E$ непрерывен, она зависит только от объекта в $\mathcal{D}_c(\mathcal{A},\mathcal{B})$, который представляет $E$. В частности, имеет смысл говорить, что объект в $\operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \mathcal{D}_c(\mathcal{A},\mathcal{B})$ стабилен. Более того, поскольку категория $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ также абелева и конечно представима, стабильность определена и для объектов $\operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \mathcal{D}_c(C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}),\mathcal{B})$. Замечание 6.2. На практике стабильность включает в себя два условия: (i) функтор $\mathcal{D}(E)$, заданный в (1.15), пунктирован, так что $\mathcal{D}(E)(p)\circ \mathcal{D}(E)(i)=\mathcal{D}(E)(p \circ i)$ равно $0$, и (ii) индуцированное отображение из конуса $\mathcal{D}(E)(i)$ в $\mathcal{D}(E)(C)$ является изоморфизмом, так что $\mathcal{D}(E)$ переводит короткие точные последовательности в выделенные треугольники. Однако, как мы видели в примере 1.11, это “индуцированное отображение” единственным образом определено только после того, как мы поднимем $\mathcal{D}(E)$ до объекта $E \in \mathcal{D}(\mathcal{A},\mathcal{B})$; знать только $\mathcal{D}(E)$ недостаточно. Предложение 6.3. Пусть дан объект $E\in\mathcal{D}^{\geqslant 0}_c(\mathcal{A},\mathcal{B})$, представленный непрерывным гомотопическим функтором $E\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$, с соответствующим функтором $\mathcal{D}(E)$, заданным в (6.1). Тогда следующие условия эквивалентны: Доказательство. Поскольку стабильность для расщепленных коротких точных последовательностей эквивалентна аддитивности, справедливы импликации (ii) $\Rightarrow$ (i) и (iii) $\Rightarrow$ (iv). С помощью ограничения на $\mathcal{A} \subset C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ легко видеть, что (iv) $\Rightarrow$ (i) и (iii) $\Rightarrow$ (ii). С другой стороны, поскольку $E$ квазиизоморфен продолжению по Дольду $\operatorname{\sf D}(\tau^*E)$ в силу следствия 5.6, мы имеем (iv) $\Rightarrow$ (i) и (iii) $\Rightarrow$ (ii). Кроме того, (iv) на самом деле влечет стабильность для $E$ и поточечно расщепленных коротких точных последовательностей в $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})\cong\operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{A})$, а каждая короткая точная последовательность (1.11) в $\mathcal{A} \subset C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ квазиизоморфна последовательности
$$
\begin{equation}
0 \to \operatorname{\sf C}(p)[-1] \to \operatorname{\sf C}(i \oplus i)[-1] \to C \to 0
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
в $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$, где $i \oplus i\colon B \oplus_A B \to C$ – естественное отображение. Поскольку (6.6) расщепляется поточечно, верна импликация (iv) $\Rightarrow$ (iii); таким образом, (i), (ii), (iii) и (iv) эквивалентны между собой. Аналогично, (iv), примененное поточечно, показывает, что отображение (6.3) есть квазиизоморфизм для любого конечного $X$, что влечет (v), и, чтобы завершить доказательство, остается показать, что (v) $\Rightarrow$ (iv). Для этого предположим, что (v) выполнено, и отметим, что, поскольку (6.5) есть квазиизоморфизм для $A=0$, функтор $\mathcal{D}(E)$ пунктирован. Тогда для любых двух объектов $A_0,A_1 \in \mathcal{A} \subset C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ с вложениями $i_l\colon A_l \to A_0 \oplus A_1$, $l=0,1$, и проекциями $p_l\colon A_0 \oplus A_0 \to A_l$, $l=0,1$, композиция есть единичное отображение в $\mathcal{D}(\mathcal{B})$. Поэтому $E \in \mathcal{D}_c(\mathcal{A} \times \mathcal{A},\mathcal{B})$ функториально расщепляется как $E(A_0 \oplus A_1) \cong E(A_0) \oplus E(A_1) \oplus E'(A_0,A_1)$ для некоторого $E'\in \mathcal{D}(\mathcal{A} \times \mathcal{A},\operatorname{Ind}(\mathcal{B}))$, и достаточно применить следующее утверждение. Лемма 6.4. Пусть $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ – абелевы категории и дан функтор $E\colon\mathcal{A} \times \mathcal{A} \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$, с продолжением по Дольду $\operatorname{\sf D}(E)\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{A} \times \mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ и соответствующим функтором $\mathcal{D}(E)\colon\mathcal{A} \times \mathcal{A} \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$, заданным в (1.15). Более того, предположим, что для любого $A \in \mathcal{A}$ имеем $\mathcal{D}(E)(0 \times A)=\mathcal{D}(E)(A \times 0)= 0$, а для любого $A^{ \bullet } \in C^{\geqslant 0}(\mathcal{A} \times \mathcal{A})$ отображение Доказательство. Пусть $\mathcal{D}(E) \ne 0$, и пусть $n$ – наибольшее целое число, для которого $\mathcal{D}(E)\colon\mathcal{A} \times \mathcal{A} \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ попадает в $\mathcal{D}^{\geqslant n}(\mathcal{B})$. Заменяя $E$ на каноническое обрезание его гомологического сдвига $E[n]$, сводим задачу к случаю $n=0$, и, чтобы получить противоречие, достаточно показать, что $\mathcal{D}(E)$ попадает в $\mathcal{D}^{\geqslant 1}(\mathcal{B})$. Поскольку (6.7) является квазиизоморфизмом, достаточно даже доказать, что для любых $A_0^{ \bullet },A_1^{ \bullet } \in C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ комплекс $\operatorname{\sf D}(E)(\Omega(A_0^{ \bullet }) \times \Omega(A_1^{ \bullet })) \in C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ проектируется в $\mathcal{D}^{\geqslant 2}(\mathcal{B})$. Однако для любых $B_0,B_1 \in \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{A})$ имеем $B_0 \times B_1 \cong \delta^*(B_0 \boxtimes B_1)$, где внешнее произведение $B_0 \boxtimes B_1 \in \operatorname{Fun}(\Delta \times \Delta,\mathcal{A} \times \mathcal{A})$ переводит $[n] \times [m] \in \Delta \times \Delta$ в $B_0([n]) \times B_1([m])$. Поэтому $\operatorname{\sf D}(E)(B_0 \times B_1)$ можно вычислить, взяв $B_0 \times B_1 \in \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{A}) \times \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{A})$ и применив композицию
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Fun}(\Delta,A) \times \operatorname{Fun}(\Delta, A) &\xrightarrow{- \boxtimes -} \operatorname{Fun}(\Delta \times \Delta,\mathcal{A} \times \mathcal{A}) \\ &\xrightarrow{\;\;\;E\;\;} \operatorname{Fun}(\Delta \times \Delta,C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})) \\ &\xrightarrow{\;\;\;\delta^*\;\;} \operatorname{Fun}(\Delta,C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})) \cong \operatorname{Fun}(\Delta \times \Delta,\mathcal{B}) \\ &\xrightarrow{\;\;\;\delta^*\;\;\,} \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{B}) \cong C^{\geqslant 0}(\mathcal{B}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если мы теперь обозначим через $B_0$, $B_1$ образы комплексов $\Omega(A_0^{ \bullet })$, $\Omega(A_1^{ \bullet })$ при эквивалентности Дольда–Кана, то $B_0([0])=B_1([0])=0$ по определению функтора $\Omega$, и, поскольку $E(-,0)$ и $E(0,-)$ ацикличны, функтор $E(B_0 \boxtimes B_1)\colon\Delta \times \Delta \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ после ограничения на $\Delta \times [0]$ и $[0] \times \Delta$ попадает в ацикличные комплексы. Иными словами, если мы применим эквивалентность Дольда– Кана (4.3) и обозначим через $M^{ \bullet , \bullet } \in C^{\geqslant 0,\geqslant 0}(C^{\geqslant 0} (\mathcal{B}))$ соответствующий бикомплекс со значениями в $C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$, то $M^{n,0}$ и $M^{0,m}$ ацикличны для любых $n,m \geqslant 0$. Отсюда следует, что двойная тотализация $\operatorname{\sf Tot}(\operatorname{\sf Tot}(M^{ \bullet , \bullet })) \in C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ проектируется в $\mathcal{D}^{\geqslant 2}(\mathcal{B})$, и в силу изоморфизма тасовки (4.4) то же верно для $\operatorname{\sf D}(E)(\Omega(A_0^{ \bullet })\times \Omega(A^{ \bullet }_1)) \cong \delta^*(\delta^*M^{ \bullet , \bullet })$. Лемма, а с ней и предложение 6.3 доказаны. 6.2. ПродолженияПоскольку стабильность в смысле определения 6.1 замкнута относительно взятия конусов, стабильные объекты образуют полную триангулированную подкатегорию $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$. Стандартная $t$-структура на $\operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ индуцирует $t$-структуру на $\operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, и по предложению 6.3, (ii), и примеру 5.2 ее сердцевина есть категория $\operatorname{Mor}_{\rm add}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ непрерывных точных слева функторов $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$. Однако вся $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ не является производной категорией своей сердцевины – она больше. В самом деле, предложение 6.3 накладывает условие аддитивности только на уровне производных категорий; не требуется, и в общем случае неверно, что объект $E$ с аддитивным $\mathcal{D}(E)$ можно представить комплексом аддитивных функторов. Аддитивны только объекты гомологий комплекса. Пример 6.5. Пусть $\mathcal{A} \cong \mathcal{B} \cong k{\mathrm{-mod}}$ – категория векторных пространств над совершенным полем $k$. Тогда, поскольку $k{\mathrm{-mod}}$ полупроста, любой точный слева функтор $k{\mathrm{-mod}} \to k{\mathrm{-mod}}$ точен, а если он еще и непрерывен, то он полностью определен своим значением на одномерном векторном пространстве $k$, так что $\operatorname{Mor}_{\rm add}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \cong k{\mathrm{-mod}}$, и $k$ отвечает единичному функтору. Однако $\operatorname{RHom}^{ \bullet }(k,k)$, вычисленное в категории $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, совпадает с когомологиями Маклейна $HM^{ \bullet }(k)$ и весьма нетривиально в случае поля $k$ положительной характеристики (в частности, имеется нетривиальный класс в $\operatorname{Ext}^2(k,k)$). Самый простой способ продолжить (6.2) на всю производную категорию, или хотя бы на производную категорию $\mathcal{D}^+(-)$ комплексов, ограниченных снизу, – это использовать предложение 6.3, (v): для любого стабильного $E \in \operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ квазиизоморфизм (6.5) индуцирует функториальный изоморфизм и $\mathcal{D}(E)$ немедленно продолжается до триангулированного функтора
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}(E)\colon\mathcal{D}^+(\mathcal{A})= \bigcup_{n \geqslant 0} \mathcal{D}^{\leqslant -n}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}^+(\mathcal{B})
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
с помощью предела по отображениям (6.8) (предел существует, поскольку для каждого конкретного $A \in \mathcal{D}^+(\operatorname{Ind}(\mathcal{A}))$ обратная система стабилизируется на конечном шаге). Поскольку имеем также очевидное отождествление $E(A)[-1] \cong (E[-1])(A)$, функтор (6.2) тогда продолжается до функтора
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}^+(\mathcal{A}) \times \operatorname{DMor}^+_{\rm st}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \to \mathcal{D}^+(\mathcal{B}),
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
триангулированного по отдельности по каждой из переменных. В завершение статьи покажем, как поднять (6.9) на уровень комплексов. Это не вполне тривиально: чтобы использовать (6.5) напрямую, придется брать пределы по отображениями комплексов, поднимающим (6.8), а бесконечные пределы ведут себя хорошо, только если $\mathcal{B}$ удовлетворяет $\mathrm{AB}4^*$. Поэтому мы используем альтернативный подход, основанный на “цепных-коцепных комплексах”, как, например, в [15]. Для любой абелевой категории $\mathcal{E}$ обозначим через $C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$ категорию бикомплексов в $\mathcal{E}$, расположенных во втором квадранте (в [15; разд. 3.1] они появляются как “цепные-коцепные комплексы”). Будем говорить, что отображение $f\colon E^{ \bullet }_{ \bullet } \to F^{ \bullet }_{ \bullet }$ в $C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$ есть вертикальный квазиизоморфизм, если $f\colon E^{ \bullet }_n \to F^{ \bullet }_n$ – квазиизоморфизм для любого $n \geqslant 0$. Имеем функтор тотализации в смысле суммы $\operatorname{\sf Tot}\colon C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E}) \to C^{ \bullet }(\mathcal{E})$, заданный как $\operatorname{\sf Tot}(E^{ \bullet }_{ \bullet })^n= \bigoplus\limits_{i-j=n}E^i_j$. Он переводит вертикальные квазиизоморфизмы в квазиизоморфизмы и, как в примере 4.2, допускает правый сопряженный $\operatorname{\sf I}\colon C^{ \bullet }(\mathcal{E}) \to C^{\geqslant 0}_{\leqslant 0}(\mathcal{E})$, заданный как $\operatorname{\sf I}(E^{ \bullet })^i_j=E^{i-j} \oplus E^{i-j-1}$. Снова как в примере 4.2, имеем также полные вложения $\operatorname{\sf L}\colon C_{\geqslant 0}(\mathcal{E}) \to C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$, соответственно $\operatorname{\sf R}\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{E}) \to C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$, на полные подкатегории цепных-коцепных комплексов, сосредоточенных в когомологической, соответственно гомологической, степени $0$, и изоморфизм $\operatorname{\sf Tot} \circ \operatorname{\sf R} \cong \operatorname{\mathsf{id}}$ индуцирует вертикальный квазиизоморфизм $\operatorname{\sf R} \to \operatorname{\sf I} \circ\,\iota$, где $\iota\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{E}) \to C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ – тавтологическое вложение. Эквивалентность Дольда–Кана (4.1) отождествляет $C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$ с категорией $\operatorname{Fun}(\Delta^o \times \Delta,\mathcal{E})$ симплициальных-косимплициальных объектов в $\mathcal{E}$, и морфизм является вертикальным квазиизоморфизмом тогда и только тогда, когда он становится квазиизоморфизмом после ограничения на $[n] \times \Delta \subset \Delta^o \times \Delta$ для любого $[n] \in \Delta^o$. Пусть теперь дан стабильный объект в $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, представленный непрерывным функтором $E\colon\mathcal{A} \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$. Рассмотрим его продолжение по Дольду $\operatorname{\sf D}(E)$, заданное в (5.3), и продолжим его дальше до функтора
$$
\begin{equation}
\operatorname{\sf D}(E)\colon \operatorname{Fun}(\Delta^o \times \Delta,\mathcal{A}) \to \operatorname{Fun}(\Delta^o \times \Delta,\mathcal{B}),
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
применив почленно вдоль $\Delta^o$. Тогда мы можем рассмотреть непрерывный функтор
$$
\begin{equation}
\widetilde{E}=\operatorname{\sf Tot} \circ \operatorname{\sf D}(E) \circ \operatorname{\sf I}\colon C^+(\mathcal{A}) \to C^+(\mathcal{B}),
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
где мы ограничиваемся комплексами, ограниченными снизу, и отображение $\operatorname{\sf R} \to \operatorname{\sf I} \circ\,\iota$ индуцирует отображение
$$
\begin{equation}
\iota \circ \operatorname{\sf D}(E) \to \widetilde{E} \circ \iota,
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
где $\operatorname{\sf D}(E)$ слева есть расширение по Дольду (5.3). Предложение 6.6. Для любого непрерывного функтора $E\colon\mathcal{A} \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$, представляющего стабильный объект в $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, функтор (6.12) переводит квазиизоморфизмы в квазиизоморфизмы, а отображение (6.13) является квазиизоморфизмом. Доказательство. Чтобы доказать, что (6.13) является квазиизоморфизмом, достаточно вспомнить, что $\operatorname{\sf R} \to \operatorname{\sf I} \circ\,\iota$ – вертикальный квазиизоморфизм, и заметить, что (6.11) переводит вертикальные квазиизоморфизмы в вертикальные квазиизоморфизмы по теореме 5.5. Для доказательства первого утверждения заметим, что любой квазиизоморфизм $f\colon A^{ \bullet } \to B^{ \bullet }$ разлагается в композицию
$$
\begin{equation}
A^{ \bullet } \xrightarrow{f \oplus\, i} B^{ \bullet } \oplus \operatorname{\sf C}(\operatorname{\mathsf{id}}_{A^{ \bullet }}) \xrightarrow{\operatorname{\mathsf{id}} \oplus\, 0} B^{ \bullet },
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
где $\operatorname{\sf C}(\operatorname{\mathsf{id}}_{A^{ \bullet }})$ – конус отображения $\operatorname{\mathsf{id}}\colon A^{ \bullet } \to A^{ \bullet }$, а $i\colon A^{ \bullet } \to \operatorname{\sf C}(A^{ \bullet })$ – естественное вложение; тогда $f \oplus i$ в (6.14) является инъективным квазиизоморфизмом, а $\operatorname{\mathsf{id}} \oplus\, 0$ допускает инъективный левый обратный. Поэтому достаточно рассматривать инъективные квазиизоморфизмы $f\colon A^{ \bullet } \to B^{ \bullet }$. Более того, поскольку $E$ стабилен, достаточно проверить, что $\widetilde{E}$ переводит любой ацикличный комплекс – и, в частности, $\operatorname{Coker} f$ – в ацикличный комплекс. Теперь замечаем, что для любого $n \geqslant 0$ и ацикличного комплекса $A^{ \bullet }$ в $C^{ \bullet }(\operatorname{Ind}(\mathcal{A}))$ комплекс $\operatorname{\sf I}(A^{ \bullet })^{ \bullet }_n$ имеет гомологии только в степени $0$, причем имеем естественный вертикальный квазиизоморфизм $\operatorname{\sf L}(\tau^{\geqslant 0}A^{ \bullet }) \to \operatorname{\sf I}(A^{ \bullet })$, где $\tau^{\geqslant 0}A^{ \bullet }$ – каноническое обрезание. Поэтому достаточно проверить, что для любого ацикличного комплекса $A^{ \bullet }$, сосредоточенного в когомологических степенях $\leqslant 0$ и ограниченного снизу, $\widetilde{E}(A^{ \bullet })$ ацикличен. Однако, поскольку $A^{ \bullet }$ ограничен снизу, он допускает конечную фильтрацию со стягиваемыми присоединенными градуированными факторами, а поскольку $E$ стабилен, достаточно рассмотреть случай, когда $A^{ \bullet }$ стягиваем. Но функтор $\widetilde{E} \circ \operatorname{\sf L}\colon C^{\leqslant 0}(\mathcal{A}) \cong C_{\geqslant 0}(\mathcal{A})\to C^{ \bullet }(\operatorname{Ind}(\mathcal{B}))$ есть просто симплициальное продолжение по Дольду функтора $E$, так что все следует из леммы 4.6. Предложение доказано. Замечание 6.7. Eсли стабильный объект $E \in \operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ представлен комплексом инд-точных пучков, то, как и в замечании 5.7, получающийся функтор (6.12) допускает левый сопряженный по отношению к инъективной модельной структуре (т. е. переводит мономорфизмы в мономорфизмы). БлагодарностиЭта статья выросла из совместного проекта с М. Бутом и В. Ловен о деформациях абелевых категорий, и я признателен обоим коллегам за многочисленные плодотворные дискуссии. Я также весьма благодарен В. Вологодскому, А. Ефимову и анонимному рецензенту за многие полезные замечания и комментарии, а также за указание на несколько критических ошибок, имевшихся в первой версии статьи.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kal22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|