| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Сообщения Московского математического общества Теорема об обратных функциях на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками О. С. Кудрявцеваab, А. П. Солодовa a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики b Волгоградский государственный технический университет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10042 
Реферативные базы данных:
     В данной работе решена задача о точной области обратимости на классе голоморфных отображений единичного круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками и условием на угловую производную в граничной неподвижной точке. Интерес к подобным экстремальным задачам связан, в первую очередь, со знаменитой теоремой Блоха [1] о том, что любая голоморфная в единичном круге $\mathbb D=\{z\in \mathbb C\colon |z|<1\}$ функция $f$ обратима в некотором круге радиуса $R|f'(0)|$, где $R$ – абсолютная постоянная. Поиск точной верхней грани $B$ таких $R$, называемой константой Блоха, составляет одну из важнейших и до сих пор не решенных проблем геометрической теории функций. Сильнейшая по сути оценка снизу $B\geqslant \sqrt{3}/4$ была получена Альфорсом [2]. После длительного перерыва Бонк [3] с помощью доказанной им теоремы искажения на классе Блоха установил, что оценка Альфорса не является точной, т. е. $B> \sqrt{3}/4$. Впоследствии Чен и Готье [4], несколько улучшив технические детали доказательства Бонка, уточнили его наблюдение: $B>\sqrt{3}/4+2\cdot 10^{-4}$. На наш взгляд, для получения новых оценок снизу константы Блоха продуктивным может стать подход Ландау. Рассматривая класс ограниченных постоянной $M$ голоморфных отображений $f$ круга $\mathbb D$ с внутренней неподвижной точкой $z=0$ и таких, что $f'(0)=1$, Ландау [5] установил существование единого круга однолистности на этом классе и точно вычислил его радиус. Кроме того, он обнаружил существование круга, в котором все функции из указанного класса обратимы, точно вычислив и его радиус. Используя эти результаты, Ландау получил одну из первых оценок константы Блоха. В то же время индивидуальная область обратимости каждой из функций класса, который изучал Ландау, значительно обширнее единого круга обратимости. В связи с этим возникает естественная задача отыскания точных областей однолистности и обратимости на подклассах этого класса. В определенном смысле в качестве таких подклассов естественно изучать важные в приложениях классы голоморфных отображений единичного круга $\mathbb D$ в себя с несколькими неподвижными точками (см. [6]). Обозначим через $\mathcal B$ совокупность голоморфных отображений круга $\mathbb D$ в себя. Полагая $\mathcal B[0]=\{f\in\mathcal B\colon f(0)=0\}$, придадим результатам Ландау следующий вид: если $f\in \mathcal B[0]$ и $|f'(0)|\geqslant 1/M$, $M>1$, то $f$ однолистна в $\mathcal Z=\{z\in \mathbb D\colon|z|<M-\sqrt{M^2-1}\,\}$ и обратима в $\mathcal W=\{w\in \mathbb D\colon |w|<(M-\sqrt{M^2-1}\,)^2\}$. При этом не только круги большего радиуса, но и любые более обширные области иной структуры вместо $\mathcal Z$ и $\mathcal W$ выбрать нельзя. Доказательство этого результата основано на следующем неравенстве (см. [5]): если $f\in \mathcal B[0]$ и точки $a,b\in \mathbb D$, $a\ne b$, таковы, что $f(a)=f(b)=c$, то $|c|\leqslant |a|\,|b|$. На классе $\mathcal B\{1\}=\{f\in\mathcal B\colon \angle\,\lim_{z\to 1}f(z)=1\}$ Беккер и Поммеренке [7] получили неравенство, в некотором смысле аналогичное неравенству Ландау. Они доказали, что если $f\in \mathcal B\{1\}$ и точки $a, b\in \mathbb D$, $a\ne b$, таковы, что $f(a)=f(b)=c$, то
$$
\begin{equation}
f'(1)\,\frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}-\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}- \frac{1-|b|^2}{|1-b|^2}\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Заметим, что производная в граничной неподвижной точке понимается в смысле углового предела и принимает положительные значения. С помощью неравенства (1) Беккер и Поммеренке для функции $f\in \mathcal B\{1\}$, имеющей конечную угловую производную в граничной неподвижной точке, указали область, в которой эта функция однолистна. Горяйнов [8], изучая влияние угловой производной на поведение функции внутри круга, рассмотрел класс $\mathcal B[0,1]=\mathcal B[0]\cap \mathcal B\{1\}$ и обнаружил, что при $\alpha\in(1,2)$ имеет место вложение класса $\mathcal B_{\alpha}[0,1]=\{f\in\mathcal B[0,1]\colon f'(1)\leqslant \alpha\}$ в класс, исследованный Ландау. Более того, Горяйнов показал, что любая функция $f\in \mathcal B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in(1,2)$, однолистна в области $\{z\in \mathbb{D}\colon{|1-z|}/{(1-|z|)}<1/\sqrt{\alpha-1}\,\}$. В [9] найдена близкая к неулучшаемой двусторонняя оценка области однолистности на этом классе. В [10], [11] получено уточнение неравенства (1) в случае двух неподвижных точек: если $f\in \mathcal B[0,1]$ и ненулевые точки $a,b\in \mathbb D$, $a\ne b$, таковы, что $f(a)=f(b)=c$, то
$$
\begin{equation}
f'(1)\frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}-\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}-\frac{1-|b|^2}{|1-b|^2} \geqslant \biggl|1-\frac{\lambda(c)}{\lambda(a)\lambda(b)}\biggr|^2 \biggl(1-\biggl|\frac{\lambda(c)}{\lambda(a)\lambda(b)}\biggr|^2\biggr)^{-1},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\lambda(z)=-z(1-\overline{z})/(1-z)$. Неравенство (2) позволило найти (см. [10], [11]) точную область однолистности на классе $\mathcal B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in(1,4]$:
$$
\begin{equation}
\{z\in \mathbb D\colon |1-2z+|z|^2|(1-|z|^2)^{-1}<(\alpha-1)^{-1/2}\}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Нахождение точной области однолистности привело к дальнейшему выявлению геометрических характеристик класса $\mathcal B_{\alpha}[0,1]$. Выяснилось, что структура области (3) играет ключевую роль в доказательстве теоремы об обратных функциях на классе $\mathcal B_{\alpha}[0,1]$. Конечно, из вложения $\mathcal B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in(1,2)$, в класс Ландау следует обратимость всех функций этого класса в некотором круге. На самом деле вместо круга можно взять существенно более обширную область, содержащую внутреннюю неподвижную точку и примыкающую к граничной. Имеет место следующий окончательный результат. Теорема. Пусть $f\in \mathcal B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in(1,2)$. Существует функция, обратная к $f$ и конформно отображающая область $\mathcal Y=\{w\in \mathbb D \colon |1-w|/(1-|w|)<{\alpha}/(2\sqrt{\alpha-1}\,)\}$ на некоторую область $\mathcal X\subset \mathbb D$. Какова бы ни была область $\mathcal V$, $\mathcal Y\subset \mathcal V \subset \mathbb D$, $\mathcal V\ne \mathcal Y$, найдется функция $f\in \mathcal B_{\alpha}[0,1]$, не имеющая обратной в области $\mathcal V$. При $\alpha\geqslant 2$ на классе $\mathcal B_{\alpha}[0,1]$ нет непустых областей обратимости. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KudSol22} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|