| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Эффективные результаты в теории бирациональной жесткости А. В. Пухликов University of Liverpool, Liverpool, UK
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10039 
Реферативные базы данных:
     ВведениеТеория бирациональной жесткости – один из наиболее актуальных и трудных разделов современной бирациональной геометрии. Бирациональная жесткость важна по многим причинам; одна из них – это роль, которую играет это понятие в задаче бирациональной классификации алгебраических многообразий. Благодаря программе минимальных моделей (литература по этому направлению огромна, и мы сошлемся лишь на центральную работу [1]) мы знаем, что всякое рационально связное многообразие (т. е. многообразие, любые две точки которого можно соединить неприводимой рациональной кривой) бирационально эквивалентно некоторому расслоению Мори над рационально связной (возможно, тривиальной) базой $S$. Таким образом, программа минимальных моделей сводит бирациональную классификацию рационально связных многообразий к задаче бирациональной классификации многообразий из гораздо более узкого класса – расслоений Мори, с точностью до послойной бирациональной эквивалентности где горизонтальные стрелки суть бирациональные отображения. Свойство бирациональной (сверх)жесткости, в свою очередь, радикально упрощает эту задачу, обеспечивая единственность (с точностью до указанной эквивалентности) расслоения Мори, представляющего данный класс бирационально эквивалентных рационально связных многообразий. Поэтому нахождение семейств бирационально жестких и сверхжестких многообразий есть одна из центральных задач в бирациональной классификации алгебраических многообразий. (Формальное определение бирациональной сверхжесткости для многообразий Фано см. в п. 1.1 главы I, для расслоений Фано–Мори – в п. 1.2 главы II.)Развитие теории бирациональной жесткости вплоть до (приблизительно) 2010 г. достаточно хорошо отражено в обзорной литературе. Имеются написанные с разных точек зрения обзоры [2]–[5], книга [6] и статья [7]. Однако за последние 10–15 лет, с одной стороны, появились новые подходы к доказательству бирациональной жесткости (см., например, [8]–[10]), а с другой стороны, были существенно развиты и усилены известные ранее методы, в результате чего были доказаны теоремы, недоступные ранее. Настоящий обзор посвящен одному из недавних новых направлений в теории бирациональной жесткости, связанному с получением эффективных оценок коразмерности множества многообразий в заданном семействе, которые не обладают определенными свойствами. Поясним это на примере. Предположим, что многообразия Фано в некотором семействе параметризуются точками квазипроективного многообразия ${\mathcal F}$ (скажем, гиперповерхности в проективном пространстве параметризуются своими уравнениями). Если известно, что общее многообразие $F$ в этом семействе бирационально сверхжесткое, то естественно задать вопрос: какова коразмерность относительно ${\mathcal F}$ множества многообразий, не являющихся бирационально сверхжесткими? Как правило, можно рассчитывать лишь на некоторую оценку снизу для этой коразмерности. Аналогичные вопросы можно поставить и для других свойств многообразия $F$, непосредственно связанных с бирациональной сверхжесткостью: например, если для общего многообразия $F$ известно, что его глобальный логканонический порог есть 1, то какова коразмерность множества таких $F$, что $\operatorname{lct} (F)<1$? Такие вопросы интересны сами по себе, так как характеризуют “типичность” данного свойства; однако они важны и для других задач бирациональной геометрии. Например, для изучения геометрии некоторого расслоения, слои которого принадлежат семейству ${\mathcal F}$, может быть очень важным, чтобы каждый слой обладал определенным свойством. В этом случае эффективная оценка для этого свойства ограничивает сверху размерность базы расслоения. Вопросам такого рода и посвящен настоящий обзор. В главе I рассмотрены задачи эффективной бирациональной жесткости для многообразий Фано индекса 1. Мы подробно разбираем наиболее прозрачное из известных доказательств бирациональной сверхжесткости гиперповерхностей индекса 1 с квадратичными особенностями ограниченного снизу ранга (§ 1), даем полное доказательство усиленного $4n^2$-неравенства, радикально упрощающего работу с особенностями многообразия (§ 2), и обсуждаем эффективную бирациональную сверхжесткость полных пересечений высокой коразмерности (§ 3). В главе II рассмотрены расслоения Фано–Мори над многомерной базой. Мы обсуждаем доказательство бирациональной сверхжесткости расслоений Фано– Мори, устойчивых относительно послойных бирациональных перестроек (§ 1), на примере гиперповерхностей индекса 1 демонстрируем технику оценки (лог)канонических порогов и описываем одно важное приложение этих инвариантов (§ 2), а также показываем, как методы оценки (лог)канонических порогов применяются к изучению бирациональной геометрии многообразий Фано индекса 2 (§ 3). Утверждения, определения, примеры и замечания нумеруются независимо друг от друга; предложение (теорема, лемма, определение, …) $a.b$ по умолчанию есть предложение $b$ в § $a$ текущей главы, если глава не указана. Глава I. Эффективная бирациональная жесткость многообразий ФаноВ данной главе рассмотрены результаты о бирациональной сверхжесткости примитивных многообразий Фано с точки зрения эффективной оценки коразмерности множества многообразий, не являющихся бирационально жесткими, относительно естественного пространства параметров семейства. В качестве модельного примера рассмотрены гиперповерхности Фано индекса 1 (§ 1). Доказано усиленное $4n^2$-неравенство для особенности полного пересечения, позволяющее устанавливать бирациональную сверхжесткость многообразий, имеющих особенности явно описанного типа (§ 2). Обсуждается доказательство бирациональной сверхжесткости для полных пересечений Фано высокой коразмерности с мультиквадратичными особенностями (§ 3). Рассмотрены другие известные эффективные результаты в теории бирациональной жесткости. § 1. Гиперповерхности с квадратичными особенностямиВ данном параграфе сформулирована и доказана теорема об эффективной бирациональной жесткости гиперповерхностей Фано индекса 1 размерности $\geqslant 7$ в проективном пространстве. Формулировка и доказательство даны в таком виде, который непосредственно обобщается для других классов многообразий Фано – полных пересечений индекса 1 произвольной коразмерности. 1.1. Теорема о бирациональной сверхжесткостиНа протяжении данного параграфа символ ${\mathbb P}$ обозначает комплексное проективное пространство ${\mathbb P}^{M+1}$, причем в пп. 1.1–1.4 предполагается, что $M\geqslant 7$. Пусть
$$
\begin{equation*}
{\mathcal P}={\mathcal P}_{M+1,M+2}= H^0({\mathbb P},{\mathcal O}_{\mathbb P}(M+1))
\end{equation*}
\notag
$$
– линейное пространство однородных многочленов степени $M+1$ от $M+2$ переменных, однородных координат на ${\mathbb P}$. Для $f\in{\mathcal P}$ символом $V(f)$ обозначим схему нулей этого многочлена в ${\mathbb P}$. Для точки $o\in V=V(f)$ рассмотрим некоторую систему аффинных координат $z_1,\dots,z_{M+1}$ на стандартной аффинной карте ${\mathbb C}^{M+1}\subset{\mathbb P}$, содержащей точку $o$, причем эта точка предполагается началом координат $(0,\dots,0)$. Пусть – разложение многочлена $f$ в сумму компонент, однородных по $z_*$, где $\deg f_i=i$. Если $f_1\not\equiv 0$, то в окрестности точки $o$ схема $V$ есть неприводимое приведенное многообразие, неособое в точке $o$. Предположим, что $f_1\equiv 0$: в этом случае мы говорим, что $V$ имеет в точке $o$ квадратичную особенность ранга $\geqslant r$, если $\operatorname{rk} f_2\geqslant r$. Очевидно, что если $o$ – квадратичная особенность ранга $\geqslant 3$, то в окрестности точки $o$ схема $V$ есть неприводимое приведенное многообразие. Определение 1.1. Будем говорить, что схема $V$ имеет самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant r$, если любая точка $o\in V$ либо неособа, либо есть квадратичная особенность ранга $\geqslant r$. Множество многочленов $f\in{\mathcal P}$ таких, что $V(f)$ удовлетворяет этому условию, обозначим символом ${\mathcal P}_{q\geqslant r}$. Это открытое по Зарисскому подмножество пространства ${\mathcal P}$. Предложение 1.1. Для любого $f\in {\mathcal P}_{q\geqslant 5}$ гиперповерхность $V(f)$ есть неприводимое приведенное факториальное многообразие, имеющее самое большее терминальные особенности. Несложное доказательство дано в п. 1.4. Таким образом, для $f\in{\mathcal P}_{q\geqslant 5}$ многообразие $V(f)$ есть многообразие Фано индекса 1: $\operatorname{Pic}V(f)={\mathbb Z}H$ и $K_{V(f)}=-H$, где $H$ – класс гиперплоского сечения. Мы ограничимся рассмотрением проблемы бирациональной сверхжесткости для несколько меньшего класса многочленов $f\in{\mathcal P}_{q\geqslant 7}$. Причина будет объяснена в п. 1.5, где теорема об эффективной бирациональной сверхжесткости гиперповерхностей Фано индекса 1 сформулирована в полной общности. Прежде всего оценим коразмерность дополнения к открытому множеству ${\mathcal P}_{q\geqslant 7}$. Доказательство дано в п. 1.4. Сформулируем теперь основной результат параграфа об эффективной бирациональной сверхжесткости. Теорема 1.1. Существует такое открытое по Зарисскому подмножество ${\mathcal P}_{\rm reg}\subset{\mathcal P}_{q\geqslant 7}$, что для любого многочлена $f\in{\mathcal P}_{\rm reg}$ гиперповерхность $V= V(f)$ есть бирационально сверхжесткое многообразие Фано. Имеет место неравенство Из теоремы 1.1 и предложения 1.2 следует, что коразмерность дополнения ${\mathcal P}\setminus{\mathcal P}_{\rm reg}$ не меньше, чем $\begin{pmatrix} M-4 \\ 2\end{pmatrix}+1$: открытое подмножество ${\mathcal P}_{\rm reg}$ получается удалением из ${\mathcal P}_{q\geqslant 7}$ замкнутых подмножеств большей коразмерности. Существуют различные определения бирациональной сверхжесткости (см. обсуждение в [6; гл. 2] и [4; гл. 2]). Для удобства в данной главе, где речь идет о многообразиях Фано индекса 1 с числом Пикара 1, под бирациональной сверхжесткостью понимается следующее свойство многообразия $V$ с $\operatorname{Pic}V={\mathbb Z}H$ и $K_V=-H$: для любой подвижной (т. е. не имеющей неподвижных компонент) линейной системы $\Sigma\subset|nH|$, где $n\geqslant 1$, и общего дивизора $D\in\Sigma$ пара $\bigl(V,\frac{1}{n}D\bigr)$ канонична. Как хорошо известно, из этого свойства вытекает, что для любого расслоения Мори $V'/S'$ такого, что $V'$ бирационально эквивалентно $V$, имеет место изоморфизм $V\cong V'$ и $S'$ есть точка; в частности, на $V$ нет других структур рационально связного расслоения, кроме проекции $V$ в точку. Эти вопросы неоднократно обсуждались в литературе, и поэтому мы не останавливаемся на них подробнее, отсылая читателя к [6], [4] и имеющимся там спискам публикаций. Множество ${\mathcal P}_{\rm reg}$ явно описано в п. 1.2, бирациональная сверхжесткость многообразия $V(f)$ для $f\in{\mathcal P}_{\rm reg}$ доказана в п. 1.3, а последнее утверждение теоремы 1.1 – в п. 1.4. 1.2. Условия регулярностиПусть $f\in{\mathcal P}$ и $o\in V(f)$. В терминах представления (1) рассмотрим последовательность однородных многочленов
$$
\begin{equation*}
f_2\big|_{\{f_1=0\}},\quad f_3\big|_{\{f_1=0\}},\quad\dots,\quad f_{M+1}\big|_{\{f_1=0\}}
\end{equation*}
\notag
$$
на аффинном (линейном) подпространстве $\{f_1=0\}\subset{\mathbb C}^{M+1}$. Обозначим эту последовательность символом ${\mathcal S}$. Если точка $o\in V(f)$ особая, т. е. $f_1\equiv 0$, то имеем последовательность $f_2,\dots,f_{M+1}$ на $\{f_1=0\}={\mathbb C}^{M+1}$. Символом ${\mathcal S}[-a]$ для $a=0,1,\dots,M$ обозначим последовательность, которая получается из ${\mathcal S}$ удалением последних $a$ ее членов. Будем говорить, что схема $V(f)$ регулярна в точке $o$, если либо $f_1\not\equiv 0$ (т. е. $V(f)$ неособа в точке $o$) и последовательность ${\mathcal S}[-2]$ регулярна, либо $f_1\equiv 0$ и последовательность ${\mathcal S}[-1]$ регулярна (в обоих случаях в локальном кольце ${\mathcal O}_{o,\{f_1=0\}}$). Определим теперь множество ${\mathcal P}_{\rm reg}\subset{\mathcal P}_{q\geqslant 7}$ как множество таких многочленов $f\in{\mathcal P}_{\geqslant 7}$, что многообразие $V(f)$ регулярно в каждой точке $o\in V(f)$. Если точка $o\in V(f)$ неособая, то условие регулярности означает, что система уравнений
$$
\begin{equation*}
f_2\big|_{\{f_1=0\}}=\cdots=f_{M-1}\big|_{\{f_1=0\}}=0
\end{equation*}
\notag
$$
задает в проективном пространстве ${\mathbb P}(\{f_1=0\})\cong{\mathbb P}^{M-1}$ одномерное замкнутое подмножество. Если точка $o\in V(f)$ особая, то условие регулярности означает, что система уравнений задает в проективном пространстве ${\mathbb P}^M$ одномерное подмножество. Условие регулярности для $f\in{\mathcal P}$ является открытым условием, так что ${\mathcal P}_{\rm reg}$ есть открытое подмножество в ${\mathcal P}_{\geqslant 7}$. 1.3. Доказательство бирациональной сверхжесткостиДокажем первое утверждение теоремы 1.1 – бирациональную сверхжесткость гиперповерхности $V=V(f)$ для $f\in{\mathcal P}_{\rm reg}$. Зафиксируем $f$ и $V$. Предположим, что многообразие $V$ не является бирационально сверхжестким. Рассмотрим подвижную линейную систему $\Sigma\subset|nH|$, $n\geqslant 1$, для общего дивизора $D\in\Sigma$ в которой пара $\bigl(V,\frac{1}{n}D\bigr)$ не канонична. На геометрическом языке это означает, что имеется исключительный дивизор $E$ над $V$, для которого справедливо неравенство Нётера–Фано
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ord}_E D\,(=\operatorname{ord}_E\Sigma)>n\cdot a(E),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a(E)$ – дискрепантность дивизора $E$ относительно $V$. Пусть $B$ – центр $E$ на многообразии $V$. Это неприводимое подмногообразие коразмерности $\geqslant 2$. Доказательство. Поскольку $f\in{\mathcal P}_{\geqslant 7}$, коразмерность множества особых точек $\operatorname{Sing}V$ не меньше 6 (и вообще, для любого $r\geqslant 2$ и любого многочлена $g\in{\mathcal P}_{\geqslant r}$ справедливо неравенство $\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}{\mathcal V}(g)\subset V(g))\geqslant r-1)$, так что если $\operatorname{codim}(B\subset V)=2$, то на $B$ можно взять неприводимую кривую $C\subset B$ такую, что $C\cap\operatorname{Sing}V=\varnothing$. Поскольку лемма 2.1 из [6; гл. 2] дает противоречие, доказывающее предложение 1.3. Можно рассуждать и по-другому. Поскольку $\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}V\subset{\mathbb P})\geqslant 7$, для общего 6-мерного линейного подпространства $P\subset{\mathbb P}$ имеем $P\cap\operatorname{Sing} V=\varnothing$ и, следовательно, гиперповерхность $V_P=V\cap P$ в $P\cong{\mathbb P}^6$ неособа. По теореме Лефшеца для численной группы Чжоу $A^2V_P$ классов алгебраических циклов коразмерности 2 имеем $A^2V_P={\mathbb Z}H^2_P$, где $H_P\in\operatorname{Pic}V_P$ – класс гиперплоского сечения. Снова предполагая, что $\operatorname{codim}(B\subset V)=2$, рассмотрим самопересечение $Z=(D_1\circ D_2)$ линейной системы $\Sigma$, где $D_1,D_2\in\Sigma$ – общие дивизоры и символ $(*\circ *)$ обозначает алгебраический цикл теоретико-схемного пересечения. (Мы используем этот символ, сохраняя обозначение $(*\cdot*)$ для обычного произведения-пересечения в соответствующей группе Чжоу.) Поскольку $\operatorname{mult}_B\Sigma>n$, имеем где эффективный цикл $Z^{\sharp}$ не содержит $B$ и $\alpha>n^2$. Ограничивая на $V_P$, получаем
$$
\begin{equation*}
Z_P=(Z\circ V_P)=\alpha B_P+Z^{\sharp}_P\sim n^2H^2_P,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_P=B\cap P$ – неприводимое подмногообразие коразмерности 2 на $V_P$ и цикл $Z^{\sharp}_P$ эффективен. В силу сказанного выше $B_P\sim\beta H^2_P$ для некоторого $\beta\geqslant 1$, так что, переходя к классам в $A^2V_P$, получаем противоречие: что завершает доказательство предложения 1.3. Хотя второе рассуждение длиннее первого, оно полезно тем, что применимо для тех классов многообразий Фано, для которых первое рассуждение или неприменимо, или наталкивается на трудности. Предложение 1.3 доказано. Продолжим доказательство теоремы 1.1. Для доказательства бирациональной сверхжесткости гиперповерхности $V$ рассмотрим две возможности: (i) $B\not\subset\operatorname{Sing}V$, когда точка общего положения $o\in B$ неособа на $V$; (ii) $B\subset\operatorname{Sing}V$, когда точка общего положения $o\in B$ есть квадратичная особенность ранга $\geqslant 7$. В неособом случае рассуждаем так же, как в случае неособой гиперповерхности $V$ (см. [6; гл. 3, § 1]), слегка модифицируя рассуждения для того, чтобы получить оценку коразмерности дополнения. А именно, в обозначениях представления (1) относительно системы аффинных координат $z_1,\dots,z_{M+1}$ с началом в точке общего положения $o\in B$ построим для каждого $k=1,2,\dots,M-2$ гиперкасательную линейную систему
$$
\begin{equation*}
\Lambda_k=\overline{\biggl|\,\sum^k_{i=1}f_{[1,i]}s_{k-i}\biggr|_V}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_{[1,i]}=f_1+\cdots+f_i$, однородные многочлены $s_j(z_1,\dots,z_{M+1})$ степени $j$ независимо друг от друга пробегают пространства однородных многочленов степени $j$ и черта сверху означает замыкание. Условие регулярности гарантирует, что коразмерность базисного множества $\operatorname{Bs}\Lambda_k$ в окрестности точки $o$ не меньше $k$ при $k=1,2,\dots,M-2$. Пусть – общий набор дивизоров $R_k\in\Lambda_k$ в этих линейных системах. Хорошо известно [6; гл. 2, теорема 2.1], что самопересечение $Z$ линейной системы $\Sigma$ удовлетворяет $4n^2$-неравенству так что имеется неприводимая компонента $Y$ цикла $Z$, некоторое неприводимое подмногообразие коразмерности 2 в $V$, для которого справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o Y}{\deg Y}>\frac{4}{M+1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь строим, начиная с $Y_2=Y$, последовательность неприводимых подмногообразий $Y_i\subset V$ коразмерности $i=2,\dots,M-2$, выбирая в качестве $Y_{i+1}$ неприводимую компоненту цикла $(Y_i\circ R_{i+1})$ с максимальным значением отношения кратности в точке $o$ к степени. Этот процесс неоднократно описан (см., например, [6; гл. 3, § 1, 2], поэтому мы не останавливаемся здесь на подробностях. Для поверхности $Y_{M-2}$ получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o Y_{M-2}}{\deg Y_{M-2}}> \frac{4}{M+1}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\,\cdots\, \frac{M-1}{M-2}=\frac{4(M-1)}{3(M+1)}\geqslant 1
\end{equation*}
\notag
$$
(при $M\geqslant 7$), что невозможно. Полученное противоречие исключает неособый случай. Рассмотрим особый случай (ii). Поскольку точка $o\in B$ общего положения есть квадратичная особенность ранга $\geqslant 7$ гиперповерхности $V$, справедливо следующее утверждение, которое мы называем обобщенным (или усиленным) $4n^2$-неравенством. Это утверждение есть частный случай обобщенного $4n^2$-неравенства для особенности полного пересечения, которому посвящен § 2. Предложение 1.4 превращает исключение особого случая в легкое упражнение. Снова в обозначениях представления (1) построим для $k=2,\dots,M-1$ гиперкасательную линейную систему
$$
\begin{equation*}
\Lambda_k=\overline{\biggl|\,\sum^k_{i=2}f_{[2,i]}s_{k-i}\biggr|_V}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_{[2,i]}=f_{[1,i]}$ и однородные многочлены $s_j(z_1,\dots,z_{M+1})$ степени $j$ имеют тот же смысл, что и в неособом случае. Построение последовательности неприводимых подмногообразий $Y_i$, $i=2, 3,\dots, M-2$, проводится почти дословно так же, как в неособом случае. Мы отметим только различия между неособым и особым случаями. Во-первых, для $Y_2$ теперь справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_oY_2}{\deg Y_2}>\frac{8}{M+1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Во-вторых, $Y_{i+1}$ есть неприводимая компонента цикла $(Y_i\circ R_{i+2})$ с максимальным значением отношения кратности в точке $o$ к степени. (Этот цикл эффективен, поскольку коразмерность базисного множества гиперкасательной системы $\Lambda_k$ в окрестности точки $o$ не меньше $k-1$, так что общий дивизор $R_{i+2}\in\Lambda_{i+2}$ не содержит подмногообразия $Y_i$). Оценка для поверхности $Y_{M-2}$ выглядит так:
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o Y_{M-2}}{\deg Y_{M-2}}> \frac{8}{M+1}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{6}{5}\ \cdots\ \frac{M}{M-1}=\frac{2M}{M+1}\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
что невозможно и исключает особый случай. Таким образом, предположение о том, что пара $\bigl(V,\frac{1}{n}D\bigr)$ для общего дивизора $D\in\Sigma\subset|nH|$ не канонична, приводит к противоречию. Поэтому многообразие $V=V(f)$ для $f\in{\mathcal P}_{\rm reg}$ является бирационально сверхжестким. Первое утверждение теоремы 1.1 доказано. 1.4. Оценка коразмерности дополненияВ данном пункте рассмотрим все вопросы, связанные с общностью гиперповерхности $V$: факториальность $V$, терминальность ее особенностей, доказательство предложения 1.2 и второго утверждения теоремы 1.1. Напомним, что алгебраическое многообразие ${\mathcal X}$ является многообразием, имеющим самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant r$, если в окрестности каждой точки $o\in {\mathcal X}$ это многообразие реализуется как гиперповерхность в неособом многообразии ${\mathcal Y}$ с локальным уравнением в точке $o$ вида где $(u_*)$ – система локальных параметров на ${\mathcal Y}$ в точке $o$, и либо линейная форма $\beta_1$ не равна тождественно нулю, т. е. точка $o\in{\mathcal X}$ неособа, либо $\beta_1\equiv 0$ и тогда квадратичная форма $\beta_2$ имеет ранг $\geqslant r$. В [11; § 4] и [12; п. 3.1] было доказано, что свойство иметь квадратичные особенности ранга $\geqslant r$ устойчиво относительно раздутий в следующем смысле: пусть $B\subset{\mathcal X}$ – неприводимое подмногообразие, тогда существует открытое множество ${\mathcal U}\subset{\mathcal Y}$ такое, что1) ${\mathcal U}\cap B\ne\varnothing$, причем многообразие ${\mathcal U}\cap B$ неособо, 2) для его раздутия $\sigma_B\colon {\mathcal U}_B\to {\mathcal U}$ собственный прообраз пересечения ${\mathcal X}\cap {\mathcal U}$, который есть гиперповерхность ${\mathcal X}_B\subset{\mathcal U}_B$, – снова многообразие, имеющее самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant r$. Доказательство этого свойства основано на следующем очевидном факте. Пусть ${\mathcal X}$ – гиперповерхность в неособом многообразии ${\mathcal Y}$ и ${\mathcal Z}\subset{\mathcal Y}$ – неособая гиперповерхность, а $o\in{\mathcal X}\cap{\mathcal Z}$ – некоторая точка. Пусть $\beta(u_*)=0$ – локальное уравнение ${\mathcal X}$ в точке $o$ относительно системы параметров $(u_*)$ в этой точке. Если уравнение задает гиперповерхность, имеющую в точке $o$ квадратичную особенность ранга $\geqslant r$, то и ${\mathcal X}$ имеет в точке $o$ такую особенность. Из этого наблюдения следует, что если ${\mathcal X}\cap({\mathcal Y}\setminus{\mathcal Z})$ имеет самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant r$ и то же самое справедливо для ограничения ${\mathcal X}\big|_{\mathcal Z}$, то и гиперповерхность ${\mathcal X}$ имеет самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant r$. Если в качестве гиперповерхности ${\mathcal Z}$ взять исключительный дивизор раздутия подмногообразия ${\mathcal U} \cap B$, то и получается устойчивость такого типа особенностей относительно раздутий.Отсюда легко следует, что если ${\mathcal X}$ – многообразие с квадратичными особенностями ранга $\geqslant 5$, то оно факториально и его особенности терминальны. В самом деле, исключительный дивизор раздутия произвольной особой точки $o\in{\mathcal X}$ есть квадрика ранга $\geqslant 5$, так что множество особых точек этого дивизора имеет коразмерность $\geqslant 4$. Поэтому и множество особых точек $\operatorname{Sing} {\mathcal X}$ имеет в окрестности точки $o$ коразмерность $\geqslant 4$, откуда в силу произвольности точки $o$ заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}{\mathcal X}\subset {\mathcal X})\geqslant 4,
\end{equation*}
\notag
$$
так что в силу теоремы Гротендика [13]–[15] многообразие ${\mathcal X}$ факториально, поскольку по построению ${\mathcal X}$ локально есть гиперповерхность (из теоремы Гротендика о парафакториальности следует, что полное пересечение – в частности, гиперповерхность, – у которого множество особенностей имеет коразмерность $\geqslant 4$, факториально, см. ссылки выше). Далее, если $E$ – некоторый исключительный дивизор над ${\mathcal X}$, то пусть $B\subset {\mathcal X}$ – его центр на ${\mathcal X}$. Если $B\not\subset \operatorname{Sing} {\mathcal X}$, то $a(E,{\mathcal X})\geqslant 1$. Если $B\subset \operatorname{Sing} {\mathcal X}$, то $\operatorname{codim} (B\subset {\mathcal X})\geqslant 4$. Применяя свойство устойчивости квадратичных особенностей ограниченного снизу ранга, описанное выше, видим, что дискрепантность исключительного дивизора раздутия $\sigma_B\big|_{{\mathcal X}_B}$ не меньше 2, а $E$ есть либо этот исключительный дивизор, либо некоторый исключительный дивизор над ${\mathcal X}_B$. Поскольку последнее многообразие имеет самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant 5$, получаем окончательно, что $a(E,{\mathcal X})\geqslant 2$. Таким образом, особенности многообразия ${\mathcal X}$ терминальны. Доказательство предложения 1.2 несложно. Фиксируя точку $o\in{\mathbb P}$, рассмотрим замкнутое множество ${\mathcal B}(o)\subset{\mathcal P}$ многочленов $f$ таких, что $f(o)=0$, в терминах представления (1) имеет место тождество $f_1\equiv 0$ и ранг квадратичной формы $f_2$ не превосходит 6. Используя хорошо известный факт, что замкнутое подмножество квадратичных форм ранга $\leqslant r$ в линейном пространстве квадратичных форм от $N$ переменных имеет коразмерность и учитывая, что точка $o$ варьируется в ${\mathbb P}^{M+1}$, получаем утверждение предложения 1.2.Докажем, наконец, второе утверждение теоремы 1.1. Зафиксируем точку $o$, систему аффинных координат $z_1,\dots,z_{M+1}$ с началом в этой точке и ненулевую линейную форму $f_1$. Пусть
$$
\begin{equation*}
{\mathcal P}_{2,M}\times{\mathcal P}_{3,M}\times\cdots\times {\mathcal P}_{M-1,M}
\end{equation*}
\notag
$$
– пространство последовательностей однородных многочленов степени $2,3,\dots, M-1$ от $M$ переменных (т. е. на проективном пространстве ${\mathbb P}^{M-1}$), иными словами – пространство последовательностей $S[-2]$ для неособой точки $o\in V(f)$. Если последовательность нерегулярна, то ее регулярность нарушается в первый раз в некотором многочлене $f_k\big|_{\{f_1=0\}}$, $k=2,\dots,M-1$. Применяя “метод проекций”, подробно описанный, например, в [6; гл. 3, § 1], заключаем, что коразмерность (замыкания) множества нерегулярных последовательностей не меньше, чем минимум следующего набора биномиальных коэффициентов:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} M+1\\ 2\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} M+1\\ 3\end{pmatrix},\quad\dots,\quad \begin{pmatrix} M+1 \\ M-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} M+1 \\ 2\end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
(при нарушении регулярности в многочлене $f_k\big|_{\{f_1=0\}}$ коразмерность не меньше, чем $\begin{pmatrix} M+1\\ k\end{pmatrix}$). Очевидно, что минимум есть $\begin{pmatrix} M+1 \\ 2\end{pmatrix}$. Учитывая, что точка $o$ варьируется в ${\mathbb P}^{M+1}$, получаем, что коразмерность множества многочленов $f$, не удовлетворяющих условию регулярности хотя бы в одной неособой точке гиперповерхности $V(f)$, не меньше, чем $\begin{pmatrix} M \\ 2\end{pmatrix}$. Если регулярность нарушается в особой точке, то коразмерность получается более высокая: поскольку $f_1\equiv 0$ и квадратичная форма $f_2$ имеет ранг $\geqslant 7$ (в частности, не является тождественно нулевой), необходимо выбрать минимум из последовательности
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}M+2\\ 3\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}M+2\\ 4\end{pmatrix},\quad \dots,\quad \begin{pmatrix}M+2\\ M\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}M+2\\ 2\end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
(при нарушении регулярности в $f_k$ коразмерность не меньше, чем $\begin{pmatrix}M+2\\ k\end{pmatrix}$) и учесть, что условие $f_1\equiv 0$ дает дополнительную коразмерность $M+1$, так что коразмерность множества многочленов $f$, не удовлетворяющих условию регулярности хотя бы в одной особой точке, не меньше, чем $\begin{pmatrix} M+2 \\ 2\end{pmatrix}+1$. Этим доказательство теоремы 1.1 завершено. 1.5. ЗамечанияНаиболее сильная версия теоремы об эффективной бирациональной жесткости гиперповерхностей Фано индекса 1 доказана в [11]. Здесь предполагаем, что $M\geqslant 4$. Символом ${\mathcal P}_{q\geqslant 5}$ мы обозначаем множество многочленов $f\in{\mathcal P}$ таких, что схема $V(f)$ имеет самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant 5$, так что гиперповерхность $V(f)$ факториальна и ее особенности терминальны. Теорема 1.2. Существует такое открытое по Зарисскому подмножество ${\mathcal P}^*_{\rm reg}\subset{\mathcal P}_{q\geqslant 5}$, что для любого $f\in{\mathcal P}^*_{\rm reg}$ гиперповерхность $V(f)$ есть бирационально сверхжесткое многообразие Фано. Имеет место неравенство Локальные условия регулярности, определяющие множество ${\mathcal P}^*_{\rm reg}$, незначительно отличаются от условий, сформулированных в п. 1.2: для неособой точки требуется регулярность последовательности ${\mathcal S}[-1]$, а для особой – последовательности ${\mathcal S}$. Таким образом, эти условия сильнее, чем в п. 1.2; при этом оценка на коразмерность лучше, чем в теореме 1.1. Это связано с тем, что для оценки коразмерности в [11] используется техника работы [16], а не метод проекций из [17]. Необходимо объяснить, почему эффективная бирациональная жесткость сформулирована и доказана в пп. 1.1–1.4 в несколько более слабом варианте. Общая схема доказательства теоремы 1.2 в [11] аналогична рассуждениям пп. 1.3 и 1.4, однако усиленное $4n^2$-неравенство (предложение 1.4) не используется, поскольку оно было установлено позже в [18]. Формулировка теоремы 1.1 приспособлена для применения усиленного $4n^2$-неравенства, которое существенно упрощает доказательство. Главная причина того, что теорема 1.1 сформулирована таким образом, состоит в том, что для полных пересечений Фано коразмерности $\geqslant 2$ в проективном пространстве техника работы [11], не использующая усиленного $4n^2$-неравенства, уже не дает никаких преимуществ, а для полных пересечений коразмерности $\geqslant 3$ наталкивается на серьезные препятствия. То же самое можно сказать и про оценку коразмерности дополнения к множеству регулярных гиперповерхностей: с повышением коразмерности полных пересечений метод проекций дает существенно лучшую оценку, чем техника работы [16]. В пп. 1.1–1.4 мы провели во всех подробностях доказательство эффективной бирациональной сверхжесткости для гиперповерхностей по той схеме, которая дает эффективную бирациональную жесткость для полных пересечений произвольной коразмерности, причем для высокой коразмерности у этой техники сейчас нет альтернатив. В следующем параграфе мы приведем доказательство усиленного $4n^2$-неравенства и рассмотрим некоторые его приложения. В § 3 мы дадим обзор эффективной бирациональной сверхжесткости для полных пересечений Фано коразмерности $\geqslant 3$. § 2. Усиленное $4n^2$-неравенствоВ данном параграфе дано полное доказательство усиленного $4n^2$-неравенства для особенности полного пересечения общего положения (пп. 2.1–2.5) и рассмотрены первые приложения этого неравенства. 2.1. Формулировка основного результатаПусть $o\in {\mathcal X}$ – росток особенности полного пересечения коразмерности $l$ и типа $\underline{\mu}=(\mu_1,\dots,\mu_l)$, где $2\leqslant\mu_1\leqslant\cdots\leqslant\mu_l$, $l\geqslant 1$, Это означает, что имеется неособое многообразие ${\mathcal Y}\ni o$ размерности $M+l$ и ${\mathcal X}$ реализуется как подмногообразие, заданное $l$ уравнениями, которые относительно некоторой системы локальных параметров $(z_1,\dots,z_{M+l})$ в точке $o$ имеют аналитическое представление
$$
\begin{equation*}
\begin{matrix} 0=q_{1,\mu_1}+q_{1,\mu_1+1}+\cdots, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ 0=q_{l,\mu_l}+q_{l,\mu_l+1}+\cdots\,. \end{matrix}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\mu=\mu_1\cdots\mu_l=\operatorname{mult}_o {\mathcal X}
\end{equation*}
\notag
$$
– кратность особенности $o$ и так что $M\geqslant l+|\underline{\mu}|+3$. Пусть $P\ni o$ – подмногообразие в ${\mathcal Y}$, заданное линейно независимыми линейными формами от $z_*$. Очевидно, что $P\subset {\mathcal Y}$ – неособое в точке $o$ подмногообразие размерности $2l+|\mu|+3$. Пересечение ${\mathcal X}\cap P$ обозначим символом ${\mathcal X}_P$. Определение 2.1. Будем говорить, что особенность полного пересечения $o\in {\mathcal X}$ есть особенность общего положения, если для общего подмногообразия $P$ размерности $2l+|\underline{\mu}|+3$, построенного выше, особенность $o\in {\mathcal X}_P$ есть изолированная особенность, $\dim {\mathcal X}_P=l+|\underline{\mu}|+3$ и для раздутия точки $o$ многообразие ${\mathcal X}^+_P$ неособо в окрестности исключительного дивизора $Q_P=\varphi^{-1}_P(o)$, который есть неособое полное пересечение коразмерности $l$ и типа $\underline{\mu}=(\mu_1,\dots,\mu_l)$. Предположим, что $o\in{\mathcal X}$ есть особенность общего положения в описанном выше смысле. Теорема 2.1. Пусть $\Sigma$ – подвижная линейная система на ${\mathcal X}$. Предположим, что для некоторого положительного вещественного $n$ пара $\bigl({\mathcal X},\frac{1}{n} D\bigr)$ не канонична в точке $o$, но канонична вне этой точки, где $D\in\Sigma$ – общий дивизор. Тогда самопересечение $Z=(D_1\circ D_2)$ системы $\Sigma$ удовлетворяет неравенству Доказательство теоремы дано в пп. 2.2–2.5. 2.2. Обращение присоединенияПодмногообразия $P\subset {\mathcal Y}$, определенные выше, будем для простоты речи называть линейными подпространствами. Для общего $(2l+|\underline{\mu}|+3)$-мерного подпространства $P$ пусть $\Sigma_P=\Sigma\big|_P$ – ограничение $\Sigma$ на $P$. В силу обращения присоединения [19], [20] пара $\bigl({\mathcal X}_P,\frac{1}{n}\Sigma_P\bigr)$ не канонична. Очевидно, что есть самопересечение системы $\Sigma_P$ и $\operatorname{mult}_oZ=\operatorname{mult}_oZ_P$. Следовательно, мы можем (и будем) предполагать с самого начала, что $M=l+|\underline{\mu}|+3$, так что $P={\mathcal Y}$ и уже исходная особенность $o\in {\mathcal X}$ является изолированной. Поэтому мы опускаем индекс $P$ и пишем для раздутия точки $o$ и $Q=\varphi^{-1}(o)$ для его исключительного дивизора, который есть неособое полное пересечение типа $\underline{\mu}$ в ${\mathbb P}^{2l+|\underline{\mu}|+2}$.Теперь пусть $\Pi\ni o$ – общее линейное подпространство (т. е. подмногообразие, заданное набором линейных форм от параметров $z_*$) размерности $|\underline{\mu}|+3$. Символом ${\mathcal X}_{\Pi}$ обозначим пересечение ${\mathcal X}\cap\Pi$. Очевидно, что $o\in {\mathcal X}_{\Pi}\subset\Pi={\mathbb C}^{|\underline{\mu}|+3}$ есть изолированная особенность полного пересечения коразмерности $l$. Пусть $\varphi_{\Pi} \colon {\mathcal X}^+_{\Pi}\to {\mathcal X}_{\Pi}$ – раздутие точки $o$ и $Q_{\Pi}=\varphi^{-1}_{\Pi}(o)$ – исключительный дивизор. Очевидно, что $Q_{\Pi}\subset{\mathbb P}^{|\underline{\mu}|+2}$ – неособое полное пересечение типа $\underline{\mu}$ (и коразмерности $l$). Отметим, что по формуле присоединения для дискрепантности имеем равенство $a(Q_{\Pi},{\mathcal X}_{\Pi})=2$. Для общего дивизора $D\in\Sigma$ и его собственного прообраза $D^+\in\Sigma^+$ на ${\mathcal X}^+$ имеем где $\nu$ – некоторое положительное целое число (напомним, что мы рассматриваем локальную ситуацию для ростка $o\in {\mathcal X}$). Очевидно, что если $\nu>2n$, то и $4n^2$-неравенство выполнено. Поэтому с настоящего момента считаем, что Полагая $D_{\Pi}=D\big|_{{\mathcal X}_\Pi}$, получаем $D^+_{\Pi}\sim -\nu Q_{\Pi}$. В силу обращения присоединения пара $\bigl({\mathcal X}_{\Pi},\frac{1}{n}D_{\Pi}\bigr)$ не логканонична в точке $o$, тем более не канонична, так что для некоторого исключительного дивизора $E_{\Pi}$ над ${\mathcal X}_{\Pi}$ справедливо неравенство Нётера–Фано
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ord}_{E_{\Pi}}\Sigma_{\Pi}>n a(E_{\Pi},{\mathcal X}_{\Pi}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\nu\leqslant 2n$ и $a(Q_{\Pi},{\mathcal X}_{\Pi})=2$, мы видим, что $E_{\Pi}\ne Q_{\Pi}$ и $E_{\Pi}$ есть не логканоническая (и поэтому не каноническая) особенность пары
$$
\begin{equation*}
\biggl({\mathcal X}^+_{\Pi},\frac{1}{n}D^+_{\Pi}+ \frac{\nu-2n}{n}\,Q_{\Pi}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(и тем более пары $\bigl({\mathcal X}^+_{\Pi},\frac{1}{n}D^+_{\Pi}\bigr))$. Символом $\Delta_{\Pi}\subset Q_{\Pi}$ обозначим центр $E_{\Pi}$ на ${\mathcal X}^+_{\Pi}$, некоторое неприводимое подмногообразие в $Q_{\Pi}$. Доказательство. Отметим, что $\operatorname{mult}_oZ=\operatorname{mult}_o Z_{\Pi}$. Рассуждая так же, как в доказательстве предложения 4.1 в [6; гл. 2] (см. также [3; п. 1.7]), получаем следующую оценку: и теперь легкие вычисления завершают доказательство. Поэтому можем считать, что $\operatorname{codim}(\Delta_{\Pi}\subset Q_{\Pi})\geqslant 2$. Возвращаясь к многообразию ${\mathcal X}$, заключаем, что для некоторого исключительного дивизора $E$ над $X$ с центром в точке $o$ выполнено неравенство Нётера–Фано
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ord}_E\Sigma>n(2\operatorname{ord}_EQ+a(E,{\mathcal X}^+)).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, центр $\Delta\subset Q$ дивизора $E$ на ${\mathcal X}$ имеет коразмерность по меньшей мере 2 и размерность по крайней мере $2l$. 2.3. Разрешение особенности $E$Рассмотрим последовательность раздутий
$$
\begin{equation*}
{\mathcal X}_0={\mathcal X}\leftarrow {\mathcal X}_1={\mathcal X}^+\leftarrow {\mathcal X}_2\leftarrow\cdots\leftarrow {\mathcal X}_K,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_{i,i-1}\colon {\mathcal X}_i\to {\mathcal X}_{i-1}$ есть раздутие центра $B_{i-1}\subset {\mathcal X}_{i-1}$ исключительного дивизора $E$ на ${\mathcal X}_{i-1}$. В частности, $B_0=o$ и $B_1=\Delta$. Используя обозначения, идентичные обозначениям в [6; гл. 2, п. 2.2], полагаем
$$
\begin{equation*}
E_i=\varphi^{-1}_{i,i-1}(B_{i-1})\subset {\mathcal X}_i
\end{equation*}
\notag
$$
– исключительный дивизор, так что $E_1=Q$. Поскольку ${\mathcal X}_1={\mathcal X}^+$ неособо в окрестности $E_1$, все последующие многообразия ${\mathcal X}_i$ неособы в общей точке подмногообразия $B_i$ и все построения в [6; гл. 2, п. 2.2] сохраняют силу для раздутий $\varphi_{i,i-1}$ при $i\geqslant 2$. Последний исключительный дивизор $E_K$ определяет дискретное нормирование $\operatorname{ord}_E$. Разделим последовательность раздутий $\varphi_{i,i-1}$, $i=1,\dots,K$, на нижнюю часть, $i=1,\dots,L\leqslant K$, соответствующую центрам $B_{i-1}$ коразмерности по меньшей мере 3, и верхнюю часть, $i=L+1,\dots,K$, соответствующую центрам $B_{i-1}$ коразмерности 2. Как обычно, мы обозначаем собственный прообраз любого геометрического объекта на ${\mathcal X}_i$ добавлением верхнего индекса $i$. Пусть для любого $i=2,\dots,K$. Пусть $\Gamma$ – ориентированный граф разрешения особенности $E$ и $p_{ij}$ – число путей из вершины $i$ в вершину $j$, по определению полагаем $p_{ii}=1$ (стандартные подробности см. в [6; гл. 2, п. 2.2]). Положим также $p_i=p_{Ki}$, $i=1,\dots,K$. Теперь неравенство типа Нётера–Фано принимает вид
$$
\begin{equation}
\sum^K_{i=1}p_i\nu_i>\biggl(2p_1+\sum^K_{i=2}p_i\delta_i\biggr),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\nu_1=\nu$ и $\delta_i=\operatorname{codim}(B_{i-1}\subset {\mathcal X}_{i-1})$ – элементарные дискрепантности. В силу линейности неравенства типа Нётера–Фано (3) и стандартных свойств чисел $p_{ij}$ мы можем предполагать, что $\nu_K>n$ (заменяя, если необходимо, $E_K$ некоторой особенностью $E_j$ с меньшим номером $j<K$). Для того чтобы доказать теорему 2.1, нам потребуется общий факт о кратностях подмногообразий полных пересечений вдоль меньших подмногообразий. 2.4. Подмногообразия полных пересеченийПусть $Y\subset{\mathbb P}^N$ – неособое полное пересечение коразмерности $l\geqslant 1$, $S\subset Y$ – неприводимое подмногообразие коразмерности $a\geqslant 1$ и $B\subset Y$ – неприводимое подмногообразие размерности $al$, причем выполнено неравенство $N\geqslant(l+1)(a+1)$. Предложение 2.2. Справедливо неравенство где $m\geqslant 1$ определено условием $S\sim mH^a_Y$ и $H_Y\in A^1Y$ – класс гиперплоского сечения многообразия $Y$. Доказательство для случая $l=1$ дано в [21]. Эти рассуждения непосредственно распространяются на общий случай произвольного $l$ – см. [9] (а также [22]). 2.5. Техника подсчета кратностейПрименяя предложение 2.2 к произвольному дивизору в линейной системе $\Sigma^1\big|_Q$, мы заключаем, что $\nu_1\geqslant\nu_2$, поскольку $\dim B_1=\dim\Delta\geqslant 2l$. Неравенства хорошо известны. Мы получаем, что верхняя часть разрешения особенности $E$ непуста (т. е. $L<K$) и верхняя часть графа $\Gamma$ есть цепь: более того, нет стрелок, соединяющих одну из вершин $L+1,\dots,K$ с какой-либо вершиной $1,2,\dots,L-1$. (Это стандартные следствия неравенств $\nu_K>n$ и $\nu_1\leqslant 2n$, см. [6; гл. 2, п. 2.2].)Теперь возьмем общую пару дивизоров $D_1,D_2\in\Sigma$ и рассмотрим их теоретико-схемное пересечение т. е. самопересечение подвижной линейной системы $\Sigma$. Напомним, что собственный прообраз неприводимого подмногообразия, или эффективного цикла, или линейной системы на некотором ${\mathcal X}_i$ обозначается добавлением верхнего индекса $i$. (Это обозначение молчаливо подразумевает, что данное неприводимое подмногообразие, эффективный цикл и т. д. относится к более низкому этажу ${\mathcal X}_j$, $j\leqslant i$, разрешения и что операция взятия собственного прообраза корректно определена для этого подмногообразия, эффективного цикла и т. д.) Для $i\geqslant 1$ запишем где носитель эффективного цикла $Z_i$ коразмерности 2 содержится в $E_i$ и поэтому может рассматриваться как эффективный дивизор на $E_i$. Таким образом, для любого $i\leqslant L$ мы получаем представление Для любого $j>i$, где $j\leqslant L$, положим и для $i=2,\dots,L$ положим $d_i=\deg Z_i$ в том же самом смысле, что в [6; гл. 2, п. 2.2]. Для эффективного дивизора $Z_1$ на $E_1=Q$ имеем соотношение с некоторым $d_1\in{\mathbb Z}_+$, где $H_Q$ есть класс гиперплоского сечения полного пересечения $Q\subset{\mathbb P}^{4l+2}$. Следуя процедуре, описанной в [6; гл. 2], получаем систему равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{matrix} \mu(\nu_1^2+d_1)=m_{0,1}, \\ \nu_2^2+d_2=m_{0,2}+m_{1,2}, \\ \;\;\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \nu_i^2+d_i=m_{0,i}+\cdots+m_{i-1,i}, \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \nu_L^2+d_L=m_{0,L}+\cdots+m_{L-1,L}, \end{matrix}
\end{equation*}
\notag
$$
где, как обычно, справедлива оценка (см. [6; с. 53]). Предложение 2.3. (i) Справедливо неравенство $d_1\geqslant m_{1,2}$. (ii) Справедливо неравенство $m_{0,1}\geqslant\mu m_{0,2}$. Доказательство. Часть (i) вытекает из предложения 2.2, поскольку $Z_1\sim d_1 H_Q$ и $\dim B_1\geqslant 2l$. Для того чтобы доказать часть (ii), отметим, что (численно) поскольку $m_{0,1}=\deg (Z^1\circ E_1)$, и цикл $(Z^1\circ E_1)=(Z^1\circ Q)$ имеет чистую коразмерность 2 на $Q$. Применяя предложение 2.2 к циклу $(Z^1\circ Q)$, получаем неравенство что завершает доказательство предложения. Тем более $m_{0,1}\geqslant\mu m_{0,i}$ при $i\geqslant 3$, поскольку $m_{0,2}\geqslant m_{0,3}\geqslant\cdots\geqslant m_{0,L}$. Теперь положим если $(i,j)\ne (0,1)$, и $m^*_{0,1}=m_{0,1}$. Положим также при $i=1,\dots,L$. Получаем следующую систему равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{matrix} \mu\nu_1^2+d^*_1=m^*_{0,1}, \\ \mu\nu_2^2+d^*_2=m^*_{0,2}+m^*_{1,2}, \\ \;\;\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \mu\nu_i^2+d^*_i=m^*_{0,i}+\cdots+m^*_{i-1,i}, \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \mu\nu_L^2+d^*_L=m^*_{0,L}+\cdots+m^*_{L-1,L}, \end{matrix}
\end{equation*}
\notag
$$
где и целые числа $m^*_{i,j}$ и $d^*_i$ имеют в точности те же свойства, что и целые числа $m_{i,j}$ и $d_i$ в неособом случае, рассмотренном в [6; гл. 2, с. 52, 53]. Дословно повторяя рассуждения, приведенные в [6; гл. 2, с. 52, 53], получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\sum^L_{i=1}p_i\biggr)\operatorname{mult}_oZ\geqslant \mu\sum^K_{i=1}p_i\nu^2_i,
\end{equation*}
\notag
$$
из которого обычным образом следует желаемая оценка Доказательство теоремы 2.1 закончено. 2.6. Первые приложенияУсиленное $4n^2$-неравенство для особенности полного пересечения существенно упрощает доказательство некоторых полученных ранее результатов. Например, в [23] доказана бирациональная сверхжесткость гиперповерхностей Фано $V_{M+1}\subset {\mathbb P}^{M+1}$ размерности $M\geqslant 4$ с изолированными особенностями общего положения кратности $\leqslant M-1$. Доказательство не использовало усиленного $4n^2$-неравенства (которое появилось через 15 лет), и поэтому исключение максимальных особенностей с центром в особой точке было очень трудным (особенно для точек кратности 3 и 4), а условия общности положения для особых точек – очень сильными: требовалась не только неособость исключительного дивизора раздутия особой точки, но и его регулярность в каждой точке. Теорема 2.1 существенно ослабляет эти условия, а исключение максимальной особенности становится несложным. Другой пример результата, существенно использующего усиленное $4n^2$-неравенство, дает работа [24]. Сформулируем основной результат этой работы. Пусть $k\geqslant 2$ и $M\geqslant 2k+1$ – фиксированные целые числа, ${\mathbb P}={\mathbb P}^{M+k}$ – комплексное проективное пространство. Зафиксируем упорядоченный целочисленный вектор где $2\leqslant d_1\leqslant\cdots\leqslant d_k$, удовлетворяющий равенству и целочисленный вектор
$$
\begin{equation*}
\underline{\xi}=(\xi_1,\dots,\xi_k)\in{\mathbb Z}^k_+,
\end{equation*}
\notag
$$
где $1\leqslant\xi_i\leqslant d_i$ для всех $i=1,\dots,k$. Положим Предположим, что выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\sum^k_{i=1}[(d_i+1)(d_i+2)-\xi_i(\xi_i+1)]\geqslant 4M+2d_k+2c_*-2k
\end{equation}
\tag{4}
$$
и Пусть – пространство наборов $\underline{f}=(f_1,\dots,f_k)$ однородных многочленов, имеющих степени $d_1,\dots,d_k$ соответственно, от однородных координат $x_0,\dots, x_{M+k}$ на пространстве ${\mathbb P}$. Зафиксируем точку $o\in{\mathbb P}$. Символом ${\mathcal H}(\underline{\xi})$ обозначим подмножество наборов $\underline{f}\in{\mathcal H}$ таких, что:
Теорема 2.2. Существует непустое открытое по Зарисскому подмножество такое, что для любого набора $\underline{f}\in{\mathcal U}$ многообразие $V(\underline{f})$ является бирационально сверхжестким. Доказательство дано в [24]. Отметим, что этот результат не является эффективным, так как не включает оценки коразмерности дополнения к открытому множеству $U$ – точнее, показано, что эта коразмерность не меньше 1, т. е. множество $U$ непусто. В доказательстве теоремы 2.2 невозможно обойтись без использования теоремы 2.1 (при исключении максимальной особенности, центр которой на $V(\underline{f})$ есть точка $o$). Аналогичная теорема для циклических накрытий доказана в [25]. Эффективная бирациональная сверхжесткость двойных гиперповерхностей Фано индекса 1 размерности $M$ доказана в [26]: коразмерность дополнения к множеству бирационально сверхжестких многообразий в естественном пространстве параметров для этих семейств не меньше, чем Эффективная бирациональная сверхжесткость наибольшего класса многообразий Фано индекса 1 – полных пересечений высокой ($\geqslant 20$) коразмерности – доказана в [27]. Этот результат мы подробно рассмотрим в следующем параграфе.§ 3. Полные пересечения Фано с мультиквадратичными особенностямиОсновная тема данного параграфа – эффективная бирациональная сверхжесткость полных пересечений Фано высокой коразмерности, доказанная в [27]. Описан класс мультиквадратичных особенностей, для которых справедливо усиленное $4n^2$-неравенство. В заключение рассмотрена эффективная бирациональная жесткость конечных накрытий проективного пространства. 3.1. Формулировка основного результатаПусть $k\geqslant 20$ – фиксированное целое число. Для любого набора $k$ целых чисел $\underline{d}=(d_1,\dots,d_k)$ таких, что $2\leqslant d_1\leqslant \dots \leqslant d_k$, положим $M=|\underline{d}|-k$, где $|\underline{d}|=d_1+\cdots+d_k$. Пусть
$$
\begin{equation*}
{\mathcal P}(\underline{d})=\prod^k_{i=1}{\mathcal P}_{d_i,M+k+1}
\end{equation*}
\notag
$$
— пространство упорядоченных наборов $k$ однородных многочленов степеней $d_1,\dots,d_k$ соответственно на комплексном проективном пространстве ${\mathbb P}={\mathbb P}^{M+k}$. Символ ${\mathcal P}_{a,N}$ здесь обозначает линейное пространство однородных многочленов степени $a$ от $N$ переменных, которые естественно интерпретируются как многочлены на ${\mathbb P}^{N-1}$. Элемент пространства ${\mathcal P}(\underline{d})$ мы записываем в виде $\underline{f}=(f_1,\dots,f_k)\in {\mathcal P}(\underline{d})$. Если схема $V(\underline{f})$ общих нулей многочленов $f_1,\dots,f_k$ есть неприводимое приведенное факториальное полное пересечение коразмерности $k$ в ${\mathbb P}$ с терминальными особенностями, то многообразие $V(\underline{f})$ есть примитивное многообразие Фано индекса 1, т. е. его группа Пикара порождена антиканоническим классом $H$ – классом гиперплоского сечения $V(\underline{f})\subset{\mathbb P}$. Теорема 3.1. Предположим, что $M\geqslant 8k\log k$. Тогда существует непустое открытое по Зарисскому подмножество ${\mathcal P}_{\rm reg}(\underline{d})\subset {\mathcal P}(\underline{d})$ такое, что: (i) для любого $\underline{f}\in {\mathcal P}_{\rm reg}(\underline{d})$ многообразие $V=V(\underline{f})$ является бирационально сверхжестким; (ii) справедливо неравенство Неравенство $M\geqslant 8k\log k$ требуется для доказательства красивой квадратичной оценки (6) для коразмерности множества нерегулярных полных пересечений. Полное доказательство теоремы см. в [27]. Здесь мы опишем его основные шаги: они параллельны рассуждениям § 1, но требуют дополнительной работы, на которой мы и остановимся. Сначала (п. 3.2) мы опишем класс допустимых особенностей, обеспечивающих неприводимость, приведенность и факториальность многообразия $V(\underline{f})$, – мультиквадратичных особенностей. Затем (п. 3.3) мы введем условия регулярности и докажем первое утверждение теоремы 3.1. В п. 3.4 мы объясним, как доказывается второе утверждение теоремы 3.1 о коразмерности дополнения к множеству ${\mathcal P}_{\rm reg}(\underline{d})$. В п. 3.5 мы рассмотрим кратко еще один класс многообразий Фано, для которого имеется эффективный результат о бирациональной сверхжесткости. 3.2. Мультиквадратичные особенностиРассмотрим произвольный набор $\underline{f}\in {\mathcal P}(\underline{d})$. Пусть $o\in {\mathbb P}$ – некоторый общий нуль многочленов $f_1,\dots,f_k$. Зафиксируем систему аффинных координат $(z_1,\dots,z_{M+k})$ на аффинной карте ${\mathbb C}^{M+k}\subset {\mathbb P}$ с началом в точке $o$. Запишем соответствующие неоднородные многочлены (обозначаемые теми же символами) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{matrix} f_1=f_{1,1}+f_{1,2}+\cdots+f_{1,d_1}, \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ f_k=f_{k,1}+f_{k,2}+\cdots+f_{k,d_k}, \end{matrix}
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $f_{i,j}$ – однородный многочлен от $z_*$ степени $j$. Если то в окрестности точки $o$ схема $V(\underline{f})$ есть неособое полное пересечение коразмерности $k$. Предположим теперь, что $\dim \langle f_{1,1},\dots,f_{k,1}\rangle\leqslant k-l$, где $l\geqslant 1$. Пусть $I \subset \{1,\dots,k\}$ – такое подмножество мощности $|I|=k-l$, что линейные формы $\{f_{i,1}\mid i\in I\}$ линейно независимы. Пусть $\Pi \subset \mathbb{C}^{M+k}$ – подпространство По предположению для каждого $j\in J=\{1,\dots,k\}\setminus I$ имеются такие (однозначно определенные) константы $\beta_{j,i}$, $i\in I$, что Для каждого $j\in J$ положим
$$
\begin{equation*}
f^*_{j,2}=\biggl(f_{j,2}- \sum_{i\in I}\beta_{j,i}f_{i,2}\biggr)\bigg|_{\Pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 3.1. Точка $o$ есть правильная мультиквадратичная особенность типа $2^l$ схемы $V(\underline{f})$, если для общего линейного подпространства $P\subset {\mathbb P}$ размерности $\max\{2k+2,k+3l+3\}$, содержащего точку $o$, пересечение $V_P=V\cap P$ имеет в точке $o$ изолированную особенность, причем на раздутии $\varphi_P\colon V^+_P\to V_P$ точки $o$ исключительный дивизор $Q_P=\varphi^{-1}(o)$ есть неособое полное пересечение типа $2^l$ в проективном пространстве размерности $\max\{k+l+1,4l+2\}$. На языке определенных выше квадратичных форм $f^*_{j,2}$ это означает, что для общего линейного подпространства $\Theta\subset{\mathbb P}(\Pi)$ размерности набор квадратичных уравнений задает неособое полное пересечение типа $2^l$. Отметим, что в окрестности правильной мультиквадратичной особенности схема $V(\underline{f})$ есть неприводимое приведенное многообразие – полное пересечение коразмерности $k$, причем коразмерность множества особых точек не меньше, чем $2k+2$. Обозначим символом ${\mathcal P}_{\rm mq}(\underline{d})$ множество наборов $\underline{f}\in {\mathcal P}(\underline{d})$ таких, что для любой точки $o\in V(\underline{f})$ либо формы $f_{1,1},\dots,f_{k,1}$ линейно независимы, либо точка $o$ есть правильная мультиквадратичная особенность. Очевидно, что ${\mathcal P}_{\rm mq}(\underline{d})\subset {\mathcal P}$ – открытое по Зарисскому подмножество, причем для любого набора $\underline{f}\in {\mathcal P}_{\rm mq}(\underline{d})$ схема $V(\underline{f})$ есть неприводимое приведенное полное пересечение коразмерности $k$ в ${\mathbb P}$. Поскольку для $\underline{f}\in {\mathcal P}_{\rm mq}(\underline{d})$ имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}\bigl(\operatorname{Sing} V(\underline{f})\subset V(\underline{f})\bigr)\geqslant 2k+2\geqslant 14,
\end{equation*}
\notag
$$
в силу теоремы Гротендика о парафакториальности локальных колец (см. [14]) полное пересечение $V(\underline{f})$ есть факториальное многообразие. Рассуждая так же, как в п. 1.4, можно показать, что особенности многообразия $V(\underline{f})$ терминальны. Теперь мы можем рассмотреть задачу о бирациональной сверхжесткости многообразия $V=V(\underline{f})$ для $\underline{f}\in {\mathcal P}_{\rm mq}(\underline{d})$. 3.3. Условия регулярности и бирациональная сверхжесткостьРади простоты и краткости мы трактуем неособую точку $o\notin\operatorname{Sing} V$ как мультиквадратичную точку типа $2^l$ для $l=0$. Сохраняя координатные обозначения п. 3.2, связанные с представлением (7), расположим однородные многочлены в порядке, соответствующем лексикографическому порядку пар $(i,j)$: пара $(i_1,j_1)$ предшествует $(i_2,j_2)$, если $j_1<j_2$ или же если $j_1=j_2$, но $i_1<i_2$. Таким образом мы получаем последовательность, состоящую из $M$ однородных многочленов степени $\geqslant 2$ на линейном пространстве $\Pi$ (причем степени многочленов не убывают). Обозначим эту последовательность символом ${\mathcal S}$, а более короткую последовательность, которая получается из ${\mathcal S}$ удалением последних $a\geqslant 1$ членов, символом ${\mathcal S}[-a]$. Для удобства будем считать, что при $a\leqslant 0$ символ ${\mathcal S}[-a]$ обозначает последовательность ${\mathcal S}$.Определение 3.2. Точка $o\in V$ называется регулярной, если последовательность ${\mathcal S}[l-[2\log k]]$ регулярна в ${\mathcal O}_{o,\Pi}$. (Напомним, что если точка $o\in V$ неособа, то $l=0$.) Определение 3.3. Будем говорить, что полное пересечение $V=V(\underline{f})$ для $\underline{f}\in {\mathcal P}_{\rm mq}(\underline{d})$ регулярно, если оно регулярно в каждой точке $o\in V$. Множество всех наборов многочленов $\underline{f}\in {\mathcal P}_{\rm mq}(\underline{d})$ таких, что многообразие $V(\underline{f})$ регулярно, обозначим символом ${\mathcal P}_{\rm reg}(\underline{d})$. Зафиксируем полное пересечение $V=V(\underline{f})$ для $\underline{f}\in {\mathcal P}_{\rm reg}(\underline{d})$ и докажем, что многообразие $V$ является бирационально сверхжестким. Доказательство параллельно рассуждениям п. 1.3, и мы остановимся только на тех фрагментах, где они отличаются. Предполагаем, что $E$ – максимальная особенность подвижной линейной системы $\Sigma\subset |nH|$. Пусть $B\subset V$ – центр этой особенности. Дословно повторяя второе доказательство предложения 1.3, заключаем, что $\operatorname{codim}(B\subset V)\geqslant 3$. (Имеется аналог первого доказательства предложения 1.3 для полных пересечений в духе п. 2.4.) Рассмотрим сначала неособый случай: $B\not\subset\operatorname{Sing}V$, так что для общей точки $o\in B$ имеем $l=0$. В обозначениях координатного представления (7) построим гиперкасательные линейные системы
$$
\begin{equation*}
\Lambda(j)=\overline{\biggl|\,\sum^k_{i=1}\,\sum^{d_i-1}_{\alpha=1} f_{i,[1,\alpha]}s_{i,j-\alpha}=0\biggr|_V}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_{i,[1,\alpha]}=f_{i,1}+\cdots+f_{i,\alpha}$ и $s_{i,j-\alpha}$ независимо друг от друга пробегают множества однородных многочленов степени $j-\alpha$ от переменных $z_*$ (если $j-\alpha<0$, то $s_{i,j-\alpha}=0$). Для $j\geqslant 1$ положим
$$
\begin{equation*}
c(j)=\#\bigl\{(i,\alpha)\mid i=1,\dots,k,\ 1\leqslant\alpha\leqslant\min\{j,d_i-1\}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, положим $m(j)=c(j)-c(j-1)$, где $c(0)=0$, и для $j=1,\dots,d_k-1$ возьмем $m(j)$ общих дивизоров в линейной системе $\Lambda(j)$. Располагая их в порядке, соответствующем лексикографическому упорядочению пар $(j,\alpha)$, получаем последовательность эффективных дивизоров на $V$. Положим $N=M-2[\log k]$. Имеет место (обычное) $4n^2$-неравенство $\operatorname{mult}_o Z>4n^2$, где $Z$ – самопересечение подвижной системы $\Sigma\subset |nH|$. Пусть $Y_2$ – неприводимая компонента цикла $Z$, имеющая максимальное значение отношения $\operatorname{mult}_o/\deg$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o Y_2}{\deg Y_2}>\frac{4}{d}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем общие гиперкасательные дивизоры $R_1,\dots,R_M$, как описано выше. Первые $k$ гиперкасательных дивизоров, $R_1,\dots,R_k$, на самом деле суть касательные дивизоры, причем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}_o\bigl((R_1\cap\cdots \cap R_k)\subset V\bigr)=k.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая так же, как в [6; гл. 3, § 2] или [16; § 1], построим последовательность неприводимых подмногообразий таких, что $\operatorname{codim} (Y_i\subset V)=i$, $Y_2$ есть неприводимая компонента цикла $Z$ с максимальным значением отношения $\operatorname{mult}_o/\deg$, $Y_{i+1}$ – неприводимая компонента теоретико-схемного пересечения $(Y_i\circ R_{i-1})$ с максимальным значением отношения $\operatorname{mult}_o/\deg$ для $i=2,\dots,k-1$. Таким образом, $Y_k\subset V$ – неприводимое подмногообразие коразмерности $k$, удовлетворяющее неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o Y_k}{\deg Y_k}>\frac{2^k}{d}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d=d_1 \cdots d_k=\deg V$. Доказательство. Предположим противное: $Y_k\subset |R_{k-1}|$. В силу общности гиперкасательных дивизоров отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
Y_k\subset \bigl\{q_{1,1}\big|_V=\cdots=q_{k,1}\big|_V=0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако, поскольку $\operatorname{codim} (\operatorname{Sing}V\subset V)\geqslant 2k+2$, можно взять сечение $V_P$ многообразия $V$ общим линейным подпространством $P\subset {\mathbb P}$ размерности $3k+1$, которое будет $(2k+1)$-мерным неособым полным пересечением в ${\mathbb P}^{3k+1}$. В силу теоремы Лефшеца теоретико-схемное пересечение коразмерности $k$ на $V_P$ должно быть неприводимым и приведенным. Следовательно, теоретико-схемное пересечение коразмерности $k$ на $V$ неприводимо и приведено. В силу условия регулярности кратность этого неприводимого подмногообразия в точке $o$ есть в точности $2^k$, а его степень равна $d$. Поэтому оно не может совпадать с $Y_k$. Мы получили противоречие, доказывающее лемму. В силу доказанной леммы мы можем продолжать в точности таким же образом, как в [16; § 2]: образовать теоретико-схемное пересечение $(Y_k\circ R_{k-1})$ и получить неприводимое подмногообразие $Y_{k+1}\subset V$ коразмерности $k+1$, удовлетворяющее неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o Y_{k+1}}{\deg Y_{k+1}}>\frac{2^{k+1}}{d}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
После этого, все еще повторяя рассуждения из [16; § 2], мы используем гиперкасательные дивизоры $R_{k+2},\dots,R_N$ и получаем последовательность неприводимых подмногообразий $Y_{k+2},\dots,Y_N$ коразмерности $\operatorname{codim}(Y_i\subset V)=i$ таких, что $Y_i$ есть компонента алгебраического цикла $(Y_{i-1}\circ R_i)$ теоретико-схемного пересечения $Y_{i-1}$ и $R_i$ (условие регулярности и общность гиперкасательных дивизоров в своих линейных системах гарантируют, что $Y_{i-1}$ не содержится в носителе дивизора $R_i$) с максимальным значением отношения $\operatorname{mult}_o/\deg$. Оценим теперь это отношение. Для гиперкасательного дивизора $R_i=D_{j,\alpha}$, где $j\in \{1,\dots,d_k-1\}$ и $\alpha\in\{1,\dots,m(j)\}$, назовем число его наклоном.Последнее подмногообразие $Y_N$ в построенной последовательности имеет положительную размерность и удовлетворяет оценке
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o Y_N}{\deg Y_N} >\gamma= \frac{2^{k+1}}{d} \prod^N_{i=k+2}\beta_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $\gamma\geqslant 1$. Имеет место очевидное тождество
$$
\begin{equation*}
d=d_1\cdots d_k=\prod^k_{j=1}\,\prod^{d_j-1}_{\alpha=1} \frac{\alpha+1}{\alpha}=\prod^M_{i=1}\beta_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $\beta_1=\cdots=\beta_k=2$ и $\beta_{k+1}=3/2$. Следовательно, выражение для $\gamma$ может быть переписано в виде
$$
\begin{equation*}
\gamma=\frac{4}{3d}\prod^N_{i=1}\beta_i=\frac{4}{3}\beta^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где Доказательство. Отметим прежде всего, что для $j\geqslant N+1$ выполнено неравенство $\beta_j\leqslant 1+1/a$, где $a=[M/k]$. В самом деле, предположим противное: $\beta_{N+1}>1+1/a$. Это означает, что все однородные многочлены в последовательности ${\mathcal S}$, начиная с $(k+1)$-го и кончая $(N+1)$-м, суть некоторые $f_{i,\alpha}$, где $\alpha<a$. Поэтому Однако правая часть этого неравенства не превосходит $k\cdot(a-2)<M-k$. Поэтому получаем чего не может быть. Мы показали, что поскольку $M\geqslant 8k\log k$ по предположению. Следовательно, $\beta<e^{1/4}<4/3$, что и требуется. Лемма доказана.Из леммы 3.2 следует, что для неприводимого подмногообразия $Y_N\subset V$ справедливо неравенство $\operatorname{mult}_o Y_N>\deg Y_N$, что невозможно. Полученное противоречие исключает неособый случай. Рассмотрим теперь особый случай. Здесь точка $o\in B$ общего положения есть мультиквадратичная особенность типа $2^l$, $l\geqslant 1$. Количество гиперкасательных дивизоров уменьшается на $l$, но усиленное $4n^2$-неравенство (теорема 2.1) это компенсирует: Применение техники гиперкасательных дивизоров таким же образом, как в неособом случае (с очевидными модификациями), приводит предположение о существовании максимальной особенности к противоречию и завершает доказательство бирациональной сверхжесткости многообразия $V$. Подробности см. в [27].3.4. Оценка коразмерности дополненияДоказательство теоремы 3.2 (для любой коразмерности полного пересечения) дано в [27; § 2]. Мы не будем его здесь приводить, но отметим простое наблюдение, лежащее в его основе. Пусть $q_1,\dots,q_l$ – набор квадратичных форм от переменных $y_0,\dots,y_N$, и предположим, что система уравнений задает неприводимое приведенное полное пересечение $Q\subset {\mathbb P}^N$ коразмерности $l$. Тогда если $p\in \operatorname{Sing} Q$, то для некоторого набора $(\lambda_1,\dots,\lambda_l)\ne (0,\dots,0)$ точка $p$ есть особая точка квадрики Это соображение позволяет легко оценить коразмерность особого множества $\operatorname{Sing} Q$ в терминах рангов квадратичных форм для всех ненулевых наборов $(\lambda_1,\dots,\lambda_l)\in {\mathbb C}^l\setminus \{0\}$. Полезным является следующее определение, введенное в [28].Определение 3.4. Ранг набора квадратичных форм $q_1,\dots,q_l$ от некоторого набора переменных есть число (минимум берется по всем наборам $(\lambda_1,\dots,\lambda_l)\in {\mathbb C}^l\setminus \{0\}$). На этом мы закончим обсуждение теоремы 3.2, отсылая читателя к полному доказательству в [27]. Обратимся ко второму утверждению теоремы 3.1. Полное доказательство дано в [27; § 3], здесь мы лишь объясним, как оно получается. Применяя метод проекций [6; гл. 3], мы оцениваем снизу коразмерность множества последовательностей ${\mathcal S}$, регулярность которых впервые нарушается в $e$-м члене (степень которого обозначим символом $m_e$), числом Далее, несложно проверить, что наихудшая оценка получается, когда $l=0$ (т. е. для неособой точки) и степени $d_1,\dots,d_k$ “почти равны” в следующем смысле: для некоторого $r\in \{0,\dots,k-1\}$ где $M=ka+(k-r)$. После этого несложные рассуждения с биномиальными коэффициентами сводят доказательство второго утверждения теоремы 3.1 к двум фактам:1) при $k\geqslant 20$ минимум целозначной функции на множестве $\{2,3,\dots,a\}$ достигается при $t=2$ и2) при $k\geqslant 20$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} a+1+[2\log k]\\ a+1\end{pmatrix}\geqslant \frac{(M-4k)(M-5k)}{2}+(M+2k).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство этих двух неравенств использует формулу Стирлинга и весьма нетривиально. На этом мы завершаем обсуждение доказательства теоремы 3.1. 3.5. Конечные накрытия проективного пространстваВ заключение рассмотрим еще один эффективный результат о бирациональной жесткости [29]. Зафиксируем целые числа $d\geqslant 5$ и $l\geqslant 2$, причем $(d,l)\ne(5,2)$. Положим $M=(d-1)l$, так что $M\geqslant 10$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\overline{{\mathbb P}}={\mathbb P}(\underbrace{1,\dots,1}_{M+1},l)= {\mathbb P}(1^{M+1},l)
\end{equation*}
\notag
$$
– взвешенное проективное пространство с однородными координатами где $x_i$ имеют вес 1 и $\xi$ имеет вес $l$. Пусть, далее, – (квази)однородный многочлен степени $dl$, т. е. $A_i(x_0,\dots,x_M)$ – однородный многочлен степени $il$ для $i=1,\dots,d$. Пространство параметризует все такие многочлены. Если гиперповерхность имеет самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant 7$, то множество $\operatorname{Sing}V$ особых точек имеет в $V$ коразмерность $\geqslant 6$, так что по теореме Гротендика [14] многообразие $V$ факториально. Поскольку свойство иметь не более чем квадратичные особенности ранга $\geqslant r$ устойчиво относительно раздутий, особенности многообразия $V$ терминальны. Далее, где $H$ – класс гиперплоского сечения, так что $V$ – примитивное многообразие Фано индекса 1. Пусть $o^*=(0:\cdots:0:1)=(0^{M+1}:1)\in\overline{\mathbb P}$ – единственная особая точка взвешенного проективного пространства $\overline{\mathbb P}$. Очевидно, что $o^*\notin V$. Рассмотрим проекцию
$$
\begin{equation*}
\pi_{\mathbb P}\colon\overline{\mathbb P}\setminus\{o^*\}\to{\mathbb P},
\end{equation*}
\notag
$$
$\pi_{\mathbb P}((x_0:\cdots:x_M:\xi))=(x_0:\cdots:x_M)$, “из точки $o^*$”. Очевидно, что есть $d$-листное разветвленное накрытие проективного пространства. Мы отождествляем многочлен $F\in{\mathcal F}$ и соответствующее замкнутое множество $\{F=0\}$, что позволяет писать $V\in{\mathcal F}$. Теорема 3.3. Существует такое открытое по Зарисскому подмножество ${\mathcal F}_{\rm reg}\subset{\mathcal F}$, что: (i) любое $V\in{\mathcal F}_{\rm reg}$ есть факториальное многообразие Фано с терминальными особенностями индекса 1; (ii) справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}\bigl(({\mathcal F}\setminus{\mathcal F}_{\rm reg}) \subset{\mathcal F}\bigr)\geqslant\frac{1}{2}(M-4)(M-5)+1;
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) любое многообразие $V\in{\mathcal F}_{\rm reg}$ является бирационально сверхжестким. Глава II. Эффективные методы в теории бирациональной жесткости расслоений Фано–МориВ данной главе рассмотрены результаты о бирациональной сверхжесткости расслоений Фано–Мори над многомерной базой. В § 1 формулируется и обсуждается общая теорема о бирациональной сверхжесткости, показывающая, для чего нужны эффективные оценки в теоремах, вычисляющих или оценивающих (лог)канонические пороги многообразий Фано. В § 2 подробно рассмотрен пример такого результата – оценка глобального канонического порога гиперповерхностей Фано индекса 1 с квадратичными особенностями ограниченного снизу ранга, а также другие аналогичные факты и некоторые приложения канонических порогов. В § 3 техника первых двух параграфов применяется к изучению бирациональной геометрии многообразий Фано индекса 2 и кратко обсуждается гипотетическое ее применение к многообразиям Фано более высокого индекса. § 1. Бирационально жесткие расслоенияВ данном параграфе рассмотрена задача описания бирациональных отображений для расслоений Фано–Мори над многомерной базой. Описано доказательство бирациональной сверхжесткости таких расслоений при условии, что слои обладают некоторыми естественными свойствами, а само расслоение “достаточно закручено” по базе. Из этой теоремы следует бирациональная сверхжесткость расслоений Фано–Мори, слои которых принадлежат большим классам многомерных многообразий Фано. 1.1. Расслоения Фано–МориПусть $S$ – неособое проективное рационально связное многообразие положительной размерности. Под расслоением Фано–Мори над $S$ мы понимаем сюръективный морфизм проективных многообразий $\pi\colon V\to S$, каждый (схемный) слой которого неприводим, приведен и имеет размерность $\dim V-\dim S\geqslant 3$, где многообразие $V$ факториально, имеет самое большее терминальные особенности, причем справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic}V={\mathbb Z}K_V\oplus\pi^*\operatorname{Pic}S
\end{equation*}
\notag
$$
и антиканонический класс $(-K_V)$ относительно обилен. Определение 1.1. Расслоение Фано–Мори $\pi\colon V\to S$ устойчиво относительно послойных бирациональных перестроек, если для любого бирационального морфизма $\sigma_S\colon S^+\to S$, где $S^+$ неособо, соответствующий морфизм является расслоением Фано–Мори (т. е. $V^+$ факториально и его особенности терминальны). Пример 1.1. Пусть теперь $S$ – неособое проективное рационально связное многообразие положительной размерности и $\pi_X\colon X\to S$ – локально тривиальное расслоение со слоем ${\mathbb P}={\mathbb P}^{M+1}$, где $M\geqslant 4$. Подмногообразие $V\subset X$ коразмерности 1 есть расслоение на гиперповерхности степени $M+1$, имеющие самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant 5$, если база $S$ покрывается открытыми по Зарисскому подмножествами $U$, над которыми расслоение $\pi_X$ тривиально, $\pi^{-1}_X(U)\cong U\times{\mathbb P}$, и для каждого из них существует отображение такое, что для каждой точки $s\in U$ подмногообразие нулей $\{\Phi_U(s)=0\}\subset{\mathbb P}$ есть $V\cap\pi^{-1}_X(s)$ в смысле указанной выше тривиализации. Иными словами, над $U$ многообразие $V$ задается уравнением коэффициенты которого суть регулярные функции на $U$, при этом для каждого $s\in U$ имеем Ограничение проекции $\pi_X$ на $V$ обозначим символом $\pi$. Нетрудно проверить (см. п. 1.4 главы I настоящего обзора), что особенности самого многообразия $V$ суть самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant 5$, а потому они терминальны и многообразие $V$ факториально, причем Напомним теперь три известных определения, которые понадобятся для характеризации слоев расслоений Фано–Мори. Определение 1.2. Пусть $F$ – многообразие Фано, $K_F$ – его канонический класс. Глобальный канонический (соответственно подвижный канонический и логканонический) порог определяется равенством 1.2. Бирациональные отображения расслоенийПусть $\pi\colon V\to S$ – некоторое расслоение Фано–Мори. Пусть, далее, $\pi'\colon V'\to S'$ – рационально связное расслоение, т. е. сюръективный морфизм неособых проективных многообразий, общий слой которого – неприводимое рационально связное многообразие и база $S'$ рационально связна. Бирациональное отображение (если таковые существуют, в частности, $\dim V=\dim V'$) будем называть послойным, если существует рациональное доминантное отображение $\beta\colon S\dashrightarrow S'$ такое, что $\pi'\circ\chi=\beta\circ\pi$, т. е. коммутативна диаграмма отображений Подчеркнем, что послойность не предполагает, что $\beta$ бирационально: $\chi$ отображает слой расслоения $\pi$ на, вообще говоря, некоторое замкнутое подмножество слоя расслоения $\pi'$, так что обратное отображение $\chi^{-1}$ может и не быть послойным (точнее, оба отображения $\chi$, $\chi^{-1}$ послойны тогда и только тогда, когда отображение $\beta$ бирационально). Будем говорить, что $\pi\colon V\to S$ (или, для упрощения обозначений, $V/S$) есть минимальная структура рационально связного расслоения на $V$, если любое бирациональное отображение $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ на тотальное пространство любого рационально связного расслоения $V'/S'$ является послойным.Рассмотрим теперь бирациональные соответствия между $V$ и тотальными пространствами расслоений Мори. Пусть теперь $\pi'\colon V'\to S'$ – расслоение Мори, т. е. особенности $V'$ и $S'$ терминальны и ${\mathbb Q}$-факториальны, антиканонический класс многообразия $V'$ относительно обилен и справедливо равенство $\rho(V')=\rho(S')+1$. Определение 1.3. Расслоение Фано–Мори $V/S$ является бирационально жестким, если для любого бирационального отображения $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ на тотальное пространство (любого) расслоения Мори $V'/ S'$ существует бирациональное отображение $\beta\colon S\dashrightarrow S'$ такое, что $\pi'\circ\chi=\beta\circ\pi$, т. е. $\chi$ бирационально отображает слой общего положения проекции $\pi$ на слой общего положения проекции $\pi'$. Если при этом ограничение $\chi$ на общий слой проекции $\pi$ всегда есть бирегулярный изоморфизм, то расслоение Фано–Мори $V/S$ называют бирационально сверхжестким. Если расслоение Фано–Мори $V/S$ бирационально жесткое, то любой бирациональный автоморфизм $\chi\in \operatorname{Bir} V$ индуцирует бирациональный автоморфизм базы $\pi_* \chi\in \operatorname{Bir}S$, что определяет гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\pi_*\colon \operatorname{Bir} V \to \operatorname{Bir} S,
\end{equation*}
\notag
$$
ядро которого есть $\operatorname{Ker}\pi_*=\operatorname{Bir}F_{\eta}$, где $F_{\eta}$ – слой над общей (незамкнутой) точкой $\eta$ базы $S$, т. е. многообразие над полем ${\mathbb C}(S)$. Если расслоение $V/S$ бирационально сверхжесткое, то $\operatorname{Bir}F_{\eta}=\operatorname{Aut}F_{\eta}$ есть группа бирегулярных автоморфизмов. 1.3. Формулировка основного результатаСледующее утверждение дает достаточное условие одновременно и минимальности структуры рационально связного расслоения $V/S$, и бирациональной сверхжесткости этого расслоения. Теорема 1.1. Предположим, что расслоение Фано–Мори $\pi\colon V\to S$, каждый слой которого неприводим и приведен, устойчиво относительно послойных бирациональных перестроек. Кроме того, предположим, что выполнены следующие условия: (i) для любой точки $s\in S$ соответствующий слой $F_s=\pi^{-1}(s)$ имеет глобальный логканонический порог $\operatorname{lct}(F_s)=1$, и для точки общего положения $s\in S$ слой $F_s$ имеет глобальный подвижный канонический порог $\operatorname{mct}(F_s)\geqslant 1$; (ii) выполнено $K$-условие, т. е. для любого эффективного дивизора где $n\geqslant 1$, дивизориальный класс $Y$ псевдоэффективен на $S$;(iii) для любого подвижного семейства неприводимых рациональных кривых $\overline{\mathcal C}$ на базе $S$, заметающего открытое плотное подмножество $S$, и любой кривой $\overline{C}\in\overline{\mathcal C}$ никакая положительная кратность алгебраического цикла где $F$ – класс слоя проекции $\pi$, не является эффективной.Тогда структура рационально связного расслоения $V/S$ является минимальной, а само расслоение $V/S$ является бирационально сверхжестким. Насколько ограничительны предположения этой теоремы? Рассмотрим этот вопрос для класса расслоений на гиперповерхности Фано, построенного в примере 1.1. Пример 1.2. Мы пользуемся обозначениями примера 1.1. Предполагаем, что $M\geqslant 9$. Как и в § 1 главы I, символ ${\mathcal P}$ обозначает пространство однородных многочленов степени $M+1$ на ${\mathbb P}={\mathbb P}^{M+1}$. Для $f\in {\mathcal P}$ соответствующую гиперповерхность $\{f=0\}$ обозначим символом $F(f)$, резервируя символ $V$ для расслоения Фано–Мори. Имеет место следующий факт [12; теорема 1.4]: существует открытое по Зарисскому подмножество ${\mathcal P}^{**}_{\rm reg}\subset{\mathcal P}$ такое, что для любого $f\in {\mathcal P}^{**}_{\rm reg}$ гиперповерхность $F=F(f)$ есть неприводимое приведенное факториальное многообразие с терминальными особенностями, удовлетворяющее равенству $\operatorname{lct}(F)=1$ и неравенству $\operatorname{mct}(F)\geqslant 1$, причем справедлива оценка Зафиксируем теперь неособое рационально связное многообразие $S$ размерности $\dim S<(M-6)(M-5)/2-5$. Пусть ${\mathcal L}$ – локально свободный пучок ранга $M+2$ на $S$ и $X={\mathbb P}({\mathcal L})={\bf Proj} \bigoplus\limits_{i=0}^{\infty}{\mathcal L}^{\otimes i}$ – соответствующее ${\mathbb P}^{M+1}$-расслоение в смысле Гротендика; считаем, что ${\mathcal L}$ порождается глобальными сечениями. Пусть $\pi_X\colon X\to S$ – проекция, $L\in \operatorname{Pic} X$ – класс пучка ${\mathcal O}_{{\mathbb P}({\mathcal L})}(1)$. Рассмотрим общий дивизор где $R\in \operatorname{Pic} S$ – некоторый дивизор на базе. Очевидно, что $\pi\colon V\to S$ есть расслоение Фано–Мори того типа, который был построен в примере 1.1. В силу сделанного выше предположения о размерности базы можно считать, что каждый слой есть $F(f)$ для некоторого $f\in{\mathcal P}^{**}_{\rm reg}$, и поэтому условие (i) теоремы 1.1 выполнено.Рассмотрим теперь вопрос о том, какими свойствами должен обладать дивизор $R$, чтобы выполнялись условия (ii) и (iii) теоремы 1.1. Поскольку $L\big|_F$ есть класс гиперплоского сечения гиперповерхности $F$, очевидно, что $(L^M\cdot F)=\deg F=M+1$. Теперь если для любой подвижной кривой $\overline{C}$ на $S$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\bigl(L^{\delta}\cdot K_V\cdot\pi^{-1}(\overline{C})\bigr)\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{11}
$$
то оба условия (ii) и (iii) выполнены очевидным образом. Последнее неравенство с точностью до положительного множителя совпадает с неравенством
$$
\begin{equation*}
\bigl(((M+1) K_S+MR)\cdot \overline{C}\bigr)\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
так что псевдоэффективность дивизориального класса гарантирует выполнение условий (ii) и (iii). Например, если $S={\mathbb P}^m$, где $m\leqslant (M-6)(M-5)/2-6$, и $X={\mathbb P}\times {\mathbb P}^m$, а $V\subset X$ – достаточно общая гиперповерхность бистепени $(M+1,l)$, где $l$ удовлетворяет неравенству то расслоение Фано $V/{\mathbb P}^m$ удовлетворяет всем предположениям теоремы 1.1. Отметим, что при $l\leqslant m$ на многообразии $V$ имеется другая структура расслоения Фано, задаваемая проекцией $V\to {\mathbb P}$. Если зафиксировать размерность базы $m$, то при $M+1\geqslant m$ условие псевдоэффективности класса $R$ близко к оптимальному: в нашем конкретном примере оно выполнено при $l\geqslant m+2$, так что единственным значением целочисленного параметра $l$, для которого вопрос о бирациональной жесткости расслоения $V/{\mathbb P}^m$ остается открытым, является $l=m+1$. В этом случае проекция $V\to {\mathbb P}$ есть $K$-тривиальное расслоение. 1.4. Структура доказательства теоремы 1.1Мы объясним общую структуру доказательства теоремы 1.1. Подробности см. в [12; § 2] и [28; § 1]. Зафиксируем расслоение Фано–Мори $\pi\colon V\to S$, удовлетворяющее условиям теоремы 1.1. Пусть $\pi'\colon V'\to S'$ есть либо рационально связное расслоение (и тогда мы будем говорить, что рассматривается рационально связный случай), либо расслоение Мори (и тогда говорим, что рассматривается случай расслоения Мори), причем $\dim V'=\dim V$. Зафиксируем бирациональное отображение $\chi\colon V\to V'$, в предположении, что таковые существуют. В рационально связном случае необходимо доказать, что отображение $\chi$ послойно, т. е. существует рациональное доминантное отображение базы $\beta\colon S\dashrightarrow S'$ такое, что диаграмма коммутативна. В случае расслоения Мори необходимо доказать, что вдобавок отображение $\beta$ бирационально, так что для точки общего положения $s\in S$ отображение $\chi$ индуцирует бирациональный изоморфизм слоев $F_s=\pi^{-1}(s)$ и $F'_{\beta(s)}=(\pi')^{-1}(\beta(s))$. Этот изоморфизм является бирегулярным ввиду бирациональной сверхжесткости слоев $F_s$. Отметим, что обратное бирациональное отображение $\chi^{-1}\colon V'\dashrightarrow V$ может быть послойным только в том случае, когда $\chi$ является послойным, причем соответствующее отображение базы $\beta\colon S\dashrightarrow S'$ бирационально. В самом деле, предположим, что существует рациональное доминантное отображение $\beta'\colon S'\dashrightarrow S$ такое, что $\beta'\circ\pi'=\pi\circ\chi^{-1}$, причем $\beta'$ не бирационально. Тогда $\dim S'>\dim S$ и для точки $s\in S$ общего положения отображение
$$
\begin{equation*}
\pi'\circ\chi\big|_{F_s}\colon F_s\dashrightarrow(\beta')^{-1}(s)
\end{equation*}
\notag
$$
расслаивает многообразие Фано $F_s$ над многообразием положительной размерности $(\beta')^{-1}(s)$ на рационально связные многообразия, бирационально эквивалентные слоям $F'_t$ проекции $\pi'$ для $t\in(\beta')^{-1}(s)$. Однако в силу условия (i) теоремы 1.1 каждый слой $F_s$ есть бирационально сверхжесткое многообразие и поэтому не имеет структур рационально связного расслоения над базой положительной размерности. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. В силу сделанного замечания будем предполагать, что $\chi^{-1}\colon V\dashrightarrow V'$ не является послойным. При этом $\chi$ все еще может быть послойным, но в случае расслоения Мори это предположение должно приводить к противоречию. Опишем теперь два основных объекта, которые играют ключевую роль в доказательстве теоремы 1.1. Первый объект – это подвижная линейная система $\Sigma$, связанная с отображением $\chi$. В рационально связном случае рассмотрим очень обильную систему $\overline{\Sigma'}$ на $S'$ и обозначим символом $\Sigma'$ ее $\pi'$-подъем на $V'$. Далее, – ее собственный прообраз на $V$, где $n\in{\mathbb Z}_+$. В случае расслоения Мори в качестве $\Sigma'$ возьмем очень обильную полную линейную систему на $V'$, где $m\geqslant 1$, символ $K'$ обозначает канонический класс $K_{V'}$ и $Y'$ – некоторый очень обильный дивизор на $S'$. Линейную систему $\Sigma$ определим формулой (12). Это подвижная линейная система на $V$, но в случае расслоения Мори имеем $n\geqslant 1$. Для единообразия обозначений в рационально связном случае положим $m=0$. Ключевым фактом в доказательстве теоремы 1.1 является следующее утверждение.Очевидно, что из теоремы 1.2 сразу следует утверждение теоремы 1.1 в рационально связном случае: мы получаем, что $n=0$, так что линейная система $\Sigma$ поднята с базы $S$ и отображение $\chi$ является послойным. Не так трудно завершить доказательство теоремы 1.1 и в случае расслоения Мори, если доказана теорема 1.2. Предположим, что справедливо неравенство $n>m$; в частности, в рационально связном случае отображение $\chi$ не является послойным. Второй основной объект нашего доказательства – это семейство кривых ${\mathcal C}$ на $V$. Его конструкция такова. Пусть $\varphi\colon\widetilde{V}\to V$ – разрешение особенностей отображения $\chi$ и ${\mathcal E}_{\rm exc}$ – множество всех простых $\varphi$-исключительных дивизоров $E$ на $\widetilde{V}$ таких, что их образ на $V'$ дивизориален и простой дивизор $[\chi\circ\varphi](E)\subset V'$ на $V'$ накрывает базу расслоения $\pi'$, т. е. Рассмотрим семейство (неприводимых рациональных) кривых ${\mathcal C'}$ на $V'$, стягиваемых проекцией $\pi'$, заметающих открытое плотное подмножество в $V'$, не пересекающих множество неопределенности рационального отображения
$$
\begin{equation*}
[\chi\circ\varphi]^{-1}\colon V'\dashrightarrow\widetilde{V}
\end{equation*}
\notag
$$
и пересекающих каждый дивизор $[\chi\circ\varphi](E)$, $E\in{\mathcal E}_{\rm exc}$, трансверсально в точках общего положения. Кривые $C'\in{\mathcal C'}$ лежат в слоях проекции $\pi'$. Пусть
$$
\begin{equation*}
{\mathcal C}=\varphi_*\circ[\chi\circ\varphi]^{-1}(\mathcal C')
\end{equation*}
\notag
$$
– собственный прообраз семейства ${\mathcal C'}$ на $V$. Это подвижное семейство (неприводимых рациональных) кривых на $V$, заметающих открытое плотное подмножество многообразия $V$. Поскольку, как мы отметили выше, отображение $\chi^{-1}$ не является послойным в силу сделанных предположений, кривые $C\in{\mathcal C}$ не содержатся в слоях проекции $\pi$, так что образ этого семейства на базе $S$ есть подвижное семейство кривых на $S$. Для $C\in{\mathcal C}$ обозначим ее образ $\pi(C)$ через $\overline{C}$. Линейная система $\Sigma\subset|{-}nK_V+\pi^*Y|$ и семейство кривых ${\mathcal C}$ – основные элементы нашей конструкции. Поскольку система $\Sigma$ подвижна, в силу условия (ii) теоремы 1.1 дивизор $Y$ псевдоэффективен, так что для кривой $C\in{\mathcal C}$ и ее образа $\overline{C}$ на $S$ имеем Основная идея доказательства теоремы 1.2 – исходя из неравенства $n>m$, получить противоречие с условием (iii) теоремы 1.1. Очевидно, что для общего дивизора $D\in\Sigma$ класс цикла
$$
\begin{equation*}
(D\circ\pi^{-1}(\overline{C}))\sim-n(K_V\cdot\pi^{-1}(\overline{C}))+ (\overline{C}\cdot Y)F
\end{equation*}
\notag
$$
эффективен. С технической точки зрения смысл доказательства в том, чтобы показать, что теоретико-схемное пересечение слева содержит достаточно много слоев проекции $\pi$, вычитая которые, мы получим все еще эффективный цикл, противоречащий условию (iii) теоремы 1.1. Подробное доказательство см. в [28; § 1, пп. 1.2–1.4]. Предположение об устойчивости расслоения $V/S$ относительно послойных бирациональных перестроек необходимо по следующей причине. Один из ключевых приемов в доказательстве теоремы 1.2 – это ограничение линейной системы $\Sigma$ на некоторый слой $F_s$ с применением обращения присоединения и условия $\operatorname{lct}(F_s)=1$. Однако ограничить общий дивизор $D\in\Sigma$ на $F_s$ можно только тогда, когда слой $F_s$ не содержится целиком в носителе дивизора $D$ (в противном случае эта операция бессмысленна). Поэтому расслоение $V/S$ нужно заменить на послойно эквивалентное ему расслоение $V^+/S^+$ такое, что базисное множество собственного прообраза системы $\Sigma$ на $V^+$ не содержит слоев расслоения $V^+/S^+$. При этом необходимо, чтобы модифицированное расслоение $V^+/S^+$ оставалось расслоением Фано–Мори. На этом мы завершаем обсуждение доказательства теоремы 1.2. Доказательство бирациональной сверхжесткости расслоения $V/S$ см. в [28; п. 1.5]. Его идея близка рассуждениям п. 3.3 настоящей главы. 1.5. Замечания и примерыПеречислим четыре класса расслоений Фано–Мори над многомерной базой, для которых доказана их бирациональная сверхжесткость. 1) Расслоения на гиперповерхности индекса 1, рассмотренные в примерах 1.1 и 1.2. 2) Расслоения на двойные пространства индекса 1, изученные в [12]. Рассмотрим для $M\geqslant 5$ проективное пространство ${\mathbb P}^M$, и пусть ${\mathcal P}_{2M,M+1}$ – пространство однородных многочленов степени $2M$ на ${\mathbb P}^M$. Теорема 1.3. Существует открытое по Зарисскому подмножество ${\mathcal W}\subset {\mathcal P}_{2M,M+1}$ такое, что для любого $f\in {\mathcal W}$ двойное накрытие $\sigma\colon F\to{\mathbb P}^M$, разветвленное над гиперповерхностью $\{f=0\}$, есть неприводимое приведенное факториальное многообразие с терминальными особенностями (примитивное многообразие Фано), удовлетворяющее условию (i) теоремы 1.1, причем справедлива оценка Явное описание множества ${\mathcal W}$ и доказательство теоремы 1.3 см. в [12; § 2]. Зафиксируем число $M\geqslant 5$ и неособое рационально связное многообразие $S$ размерности $\dim S< (M-4)(M-1)/2$. Пусть ${\mathcal L}$ – локально свободный пучок ранга $M+1$ на $S$ и $X={\mathbb P}({\mathcal L})= {\bf Proj}\,\bigoplus\limits_{i=0}^{\infty}{\mathcal L}^{\otimes i}$ – соответствующее ${\mathbb P}^M$-расслоение. Можно считать, что ${\mathcal L}$ порождается своими сечениями, так что пучок ${\mathcal O}_{{\mathbb P}({\mathcal L})}(1)$ также порождается сечениями. Пусть $L\in \operatorname{Pic} X$ – класс этого пучка, так что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic}X={\mathbb Z} L\oplus \pi_X^* \operatorname{Pic}S,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pi_X\colon X\to S$ – естественная проекция. Возьмем общий дивизор $U\in |2(ML+\pi^*_X R)|$, где $R\in \operatorname{Pic} S$ – некоторый класс. Если эта система достаточно подвижна, то в силу предположения о размерности базы $S$ и теоремы 1.3 можно считать, что для любой точки $s\in S$ гиперповерхность $U_s=U\cap \pi^{-1}_X(s)$ задается уравнением $f=0$, где $f\in{\mathcal W}$, а потому двойное пространство, разветвленное над $U_s$, удовлетворяет условию (i) теоремы 1.1. Пусть $\sigma\colon V\to X$ – двулистное накрытие с ветвлением в $U$. Положим $\pi=\pi_X\circ\sigma\colon V\to S$, так что $V$ есть расслоение на двойные пространства Фано индекса 1 над $S$. Напомним, что дивизор $U\in |2(ML+\pi^*_X R)|$ предполагается достаточно общим. Теорема 1.4. Если дивизориальный класс $(K_S+R)$ псевдоэффективен, то расслоение $\pi\colon V\to S$ удовлетворяет условиям (ii) и (iii) теоремы 1.1 и поэтому является бирационально сверхжестким, а $V/S$ есть минимальная структура рационально связного расслоения на $V$. 3) Расслоения на кратные проективные пространства индекса 1. Это расслоения Фано–Мори, слои которых принадлежат классу многообразий, рассмотренных в п. 3.5 главы I. Бирациональная сверхжесткость этих расслоений доказана в [30]. Отметим, что максимальная допустимая размерность базы и здесь является квадратичной функцией размерности слоя $M$, растущей как $M^2/2$. 4) Расслоения на полные пересечения коразмерности 2. Этот класс расслоений Фано–Мори был недавно изучен в [28]. Формулировки основных результатов аналогичны приведенным выше теоремам для расслоений на гиперповерхности, но доказательства значительно сложнее, поскольку слои могут иметь биквадратичные особенности. Максимальная допустимая размерность базы и здесь растет как $M^2/2$, где $M$ – размерность слоя. Наконец, рассмотрим кратко вопрос о соотношении линейной и квадратичной техники в доказательстве бирациональной жесткости расслоений Фано– Мори. Доказательство теоремы 1.1 использует линейную технику: одним из ключевых его элементов является ограничение общего дивизора $D\in \Sigma$ на некоторый, вообще говоря произвольный, слой $F$. Поскольку ограничение подвижной линейной системы на подмногообразие (которое не содержится в ее базисном множестве) может иметь неподвижные компоненты, самопересечение системы $\Sigma\big|_F$, вообще говоря, не определено, и мы не можем его использовать. Однако самые сильные результаты в теории бирациональной жесткости были получены именно с помощью квадратичной техники, т. е. анализа особенностей самопересечения (начиная с теоремы о квартике [31]). Для расслоений Фано–Мори над ${\mathbb P}^1$ квадратичная техника очень успешно работает (см. [5]). Для расслоений над многомерной базой применение квадратичной техники наталкивается на серьезные препятствия. Единственный класс многообразий, для которого эта техника успешно работает, – это расслоения на двойные пространства Фано индекса 1. В работе [32] были получены результаты, улучшающие основную теорему из [12] для этого класса многообразий: максимальная допустимая размерность базы есть $(M-1)(M-2)/2$. Вопрос о применимости квадратичной техники к другим классам расслоений Фано–Мори остается открытым. § 2. Канонические и логканонические порогиВ данном параграфе рассмотрена задача оценки глобального (лог)канонического порога примитивного многообразия Фано, играющая ключевую роль в доказательстве бирациональной жесткости расслоений Фано–Мори. В пп. 2.1–2.3 показано, как эта задача решается для квадратичных особых точек гиперповерхностей индекса 1; в п. 2.4 сделаны замечания о других классах многообразий Фано. В п. 2.5 кратко обсуждается недавняя теорема о рациональных накрытиях Галуа, доказательство которой опирается на оценку канонического порога. 2.1. Гиперповерхности Фано индекса 1Рассмотрим более подробно определение множества ${\mathcal P}^{**}_{\rm reg}\subset{\mathcal P}$ в примере 1.2 предыдущего параграфа. Многочлены $f\in{\mathcal P}^{**}_{\rm reg}$ должны удовлетворять некоторому набору условий в каждой точке $o\in{\mathbb P}={\mathbb P}^{M+1}$, где $f(o)=0$. Эти условия различны для неособых и особых точек гиперповерхности $\{f=0\}$. Мы пользуемся координатным представлением (1) из главы I. Если точка $o$ неособа, т. е. $f_1\not\equiv 0$, то локальные свойства регулярности для $f$ идентичны условиям регулярности в теореме о прямых произведениях Фано [33] (см. также [5] или [6; гл. 7, пп. 1.5, 1.6]); они использованы и в [12; п. 3.2], и мы не приводим их здесь. Однако условия регулярности для случая особой точки $o$, использованные в [12; п. 3.2] для доказательства неравенства $\operatorname{ct}(F)\geqslant 1$, где $F=\{f=0\}$, могут быть ослаблены, а само доказательство упрощено, и мы рассмотрим этот случай подробно. Пусть – аффинное уравнение гиперповерхности $F$, разложенное на однородные компоненты. По предположению, $f_1\equiv 0$, так что линейная компонента отсутствует. Рассмотрим следующие два условия общности положения.
Будем говорить, что $f\in{\mathcal P}^{**}_{\rm reg}$, если в любой неособой точке гиперповерхности $F(f)=\{f=0\}$ выполнены условия (R1.1)–(R1.3) из [12; п. 3.2], а в любой особой точке – условия (R2.1) и (R2.2), сформулированные выше. Благодаря условию (R2.2) имеем неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing} F\subset F)\geqslant 6
\end{equation*}
\notag
$$
для $F=F(f)$, так что $F$ – факториальное многообразие с терминальными особенностями (см. п. 1.4 главы I). Имеет место следующий факт. Теорема 2.1. Для любого эффективного дивизора $D\sim nH$, где $H$ – гиперплоское сечение гиперповерхности $F$, пара $\bigl(F,\frac{1}{n}D\bigr)$ канонична. Доказательство. Предположим, что пара $\bigl(F,\frac{1}{n}D\bigr)$ не канонична, т. е. имеется исключительный дивизор $E$ над $F$, для которого справедливо неравенство Нётера–Фано: Пусть $B\subset F$ – центр $E$ на $F$. Если $\operatorname{codim}(B\subset F)=2$, то возьмем любую кривую $C\subset B$, не пересекающую множество $\operatorname{Sing}F$. Имеем что невозможно (этот факт хорошо известен – см., например, [6; гл. 2, лемма 2.1]). Если $\operatorname{codim}(B\subset F)\geqslant 3$ и $B\not\subset\operatorname{Sing}F$, то получаем противоречие, повторяя рассуждения для неособой гиперповерхности $F$ (см. [6; гл. 7, п. 1.6] или [33]). Поэтому можем считать, что $B\subset\operatorname{Sing} F$. Пусть $o\in B$ – точка общего положения и $P\subset{\mathbb P}$ – линейное подпространство размерности 4 общего положения, содержащее точку $o$. Положим $F_P=F\cap P$ и $D_P=D\big|_{F\cap P}$. Очевидно, что $o\in F_P$ – единственная особенность гиперповерхности $F_P$, а именно невырожденная квадратичная особенность. Пусть – раздутие точки $o$ с исключительным дивизором $Q\subset F^+$. Мы рассматриваем это раздутие как ограничение раздутия точки $o$ на ${\mathbb P}$ с исключительным дивизором ${\mathbb E}$. Пусть $P^+\subset{\mathbb P}^+$ – собственный прообраз $P$ и $P^+\cap{\mathbb E}=E_P\cong{\mathbb P}^3$. Положим также $F^+_P=F^+\cap P^+$ и $Q_P=Q\cap P^+$. Очевидно, что $Q_P$ есть неособая квадратичная поверхность в $E_P$, исключительный дивизор раздутия точки $o$ на $F_P$.В силу обращения присоединения пара не логканонична в точке $o$, но канонична вне этой точки. Для собственного прообраза запишем так что в силу общности подпространства $P$ имеем где $\varphi_P\colon F^+_P\to F_P$ – раздутие точки $o$ на $F_P$.Предположим, что $\nu\leqslant 2n$. В этом случае $Q_P$ не есть не логканоническая особенность пары $\bigl(F_P,\frac{1}{n}D_P\bigr)$ (напомним, что $a(Q_P,F_P)=1$), и поэтому объединение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{LCS}\biggl(\biggl(F_P,\frac{1}{n}D_P\biggr),F^+_P\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
всех центров не логканонических особенностей этой пары на $F^+_P$ есть собственное связное замкнутое по Зарисскому подмножество исключительной квадрики $Q_P$. Следовательно, имеются два варианта: 1) $\operatorname{LCS}\bigl(\bigl(F_P,\frac{1}{n}D_P\bigr),F^+_P\bigr)$ есть связная кривая $C_P$ на $Q_P$; 2) $\operatorname{LCS}\bigl(\bigl(F_P,\frac{1}{n}D_P\bigr),F^+_P\bigr)$ есть точка $x_P$ на $Q_P$. Если для общего подпространства $P$ реализуется возможность 2), то точка $x_P$ однозначно определена подпространством $P$ и парой $\bigl(F,\frac{1}{n}D\bigr)$. Отсюда следует, что на квадрике $Q$ имеется неприводимое подмногообразие $\Lambda\subset Q$ коразмерности 2 такое, что $\Lambda\cap P^+=x_P$. Таким образом, $\Lambda$ есть линейное подпространство в ${\mathbb E}$. Однако квадрика ранга $\geqslant 7$ не содержит линейных подпространств коразмерности 2: любое неприводимое подмногообразие коразмерности 2 на $Q$ численно эквивалентно некоторой кратности сечения $Q$ линейным подпространством коразмерности 2 в ${\mathbb E}$. Следовательно, вариант 2) не реализуется. 2.2. Случай коразмерности 1Нам понадобится следующий локальный факт. Пусть $o\in {\mathcal X}$ – росток изолированной особенности, $\dim{\mathcal X}\geqslant 3$ и пусть $\varphi_{\mathcal X}\colon{\mathcal X}^+\to{\mathcal X}$ – раздутие точки $o$. Предположим, что выполнено следующее условие: (G) исключительный дивизор ${\mathcal Q}=\varphi^{-1}_{\mathcal X}(o)$ неприводим, приведен и неособ в коразмерности 1, т. е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}{\mathcal Q}\subset {\mathcal Q})\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
причем справедливо равенство $a({\mathcal Q},{\mathcal X})=1$. Очевидно, что $\operatorname{Sing}{\mathcal X}^+\cap{\mathcal Q}\subset \operatorname{Sing}{\mathcal Q}$. Предположим, далее, что пара $\bigl({\mathcal X},\frac{1}{n}{\mathcal D}\bigr)$ не логканонична, но канонична вне точки $o$ и ${\mathcal E}\neq{\mathcal Q}$ – некоторый исключительный дивизор над ${\mathcal X}$, являющийся не логканонической особенностью этой пары, центр которой на ${\mathcal X}^+$ есть простой дивизор ${\mathcal W}\subset{\mathcal Q}$. Предположим, наконец, что где $\nu_{\mathcal Q}\leqslant 2n$ и символ ${\mathcal D}^+$ обозначает собственный прообраз эффективного дивизора ${\mathcal D}$ на ${\mathcal X}^+$. В этих предположениях и обозначениях справедливо следующее утверждение.Теорема 2.2. (i) Простой дивизор ${\mathcal W}$ входит в теоретико-схемное пересечение $({\mathcal D}^+\circ{\mathcal Q})$ с кратностью $\mu_{\mathcal W}> n$. (ii) Имеет место неравенство Доказательство см. в [28; § 5]. Из первого утверждения теоремы 2.2 следует, что кривая $C_P$ неприводима и имеет бистепень $(1,1)$, т. е. является плоским сечением квадрики $Q_P$. Отсюда и из второго утверждения теоремы 2.2 следует, что на квадрике $Q$ имеется гиперплоское сечение $\Lambda\subset Q$ такое, что Рассмотрим теперь гиперплоское сечение $R$ гиперповерхности $F$, содержащее точку $o$ и такое, что его собственный прообраз $R^+\subset F^+$ высекает $\Lambda$ на $Q$: Такое гиперплоское сечение единственно. Очевидно, что квадрика $\Lambda$ есть исключительный дивизор раздутия точки $o$ на многообразии $R$. Понятно, что $\Lambda$ не есть центр какой-либо не логканонической особенности пары $(F,R)$ на $Q$, поскольку $R^+$ неособо в общей точке $\Lambda$ (на самом деле пара $(F,R)$ вообще канонична, но нам достаточно и более слабого утверждения, приведенного выше). Поэтому $R\ne D$ (в силу линейности условия неканоничности пары $\bigl(F,\frac{1}{n}D\bigr)$ по $D$ этот дивизор можно считать простым), так что корректно определен эффективный цикл $D_R=(D\circ R)$ теоретико-схемного пересечения $D$ и $R$, для собственного прообраза которого на $R^+$ имеем где $\nu_R=\nu+\operatorname{mult}_{\Lambda}D^+>2n$ и $H_R$ – класс гиперплоского сечения многообразия $R$. Таким образом, для эффективного дивизора $D_R$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o D_R}{\deg D_R}>\frac{4}{M+1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для того чтобы показать, что это невозможно, мы рассуждаем так же, как в п. 1.3 главы I. 2.3. Гиперкасательные дивизорыСнова, как в п. 2.1, мы пользуемся координатным представлением (1). Как и в 1.3 главы I, построим гиперкасательные линейные системы
$$
\begin{equation*}
\Lambda_j=\overline{\biggl|\,\sum^j_{i=2} f_{[2,i]}s_{j-i}\biggr|_R}
\end{equation*}
\notag
$$
для $j=2,\dots,k-1$, где $k=\lceil(2M+2)/3\rceil$. Символы $f_{[2,i]}$ и $s_{j-i}$ имеют тот же смысл, что и в § 1 главы I. В силу условия (R2.1) в окрестности точки $o$ базисное множество системы $\Lambda_j$ имеет коразмерность $j-1$. Поэтому можно построить последовательность неприводимых подмногообразий на $R$ где $Y_1$ есть неприводимая компонента дивизора $D_R$ с максимальным значением отношения $\operatorname{mult}_o/\deg$ и коразмерность $Y_i$ есть $i$, следующим образом. Пусть $D_2,\dots,D_{k-1}$ – общие дивизоры в гиперкасательных линейных системах $\Lambda_2,\dots,\Lambda_{k-1}$ соответственно. Система $\Lambda_2$ состоит из единственного дивизора $D_2$. Из условий регулярности (R2.1) и (R2.2) следует, что дивизор $D_2\in|2H_R|$ имеет в точке $o$ кратность 6, в то время как кратность в точке $o$ любого гиперплоского сечения, содержащего эту точку, есть в точности 2. Поэтому дивизор $D_2$ неприводим и справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o D_2}{\deg D_2}=\frac{3}{M+1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку по построению
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o Y_2}{\deg Y_2}=\frac{4}{M+1}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
заключаем, что $Y_1\ne D_2$, так что корректно определен цикл $(Y_1\circ D_2)$ теоретико-схемного пересечения этих дивизоров. Пусть $Y_2$ – неприводимая компонента этого цикла с максимальным значением отношения $\operatorname{mult}_o/\deg$. Справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o Y_2}{\deg Y_2}>\frac{6}{M+1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь последовательность подмногообразий $Y_i$ строится посредством пересечения последнего построенного подмногообразия $Y_j$ с дивизором $D_{j+2}$ (это возможно, поскольку коразмерность базисного множества системы $\Lambda_{j+2}$ есть $j+1$, так что носитель дивизора $D_{j+2}$ не содержит $Y_j$) и выбора в качестве $Y_{j+1}$ неприводимой компоненты цикла $(Y_j\circ D_{j+2})$. Для последнего подмногообразия $Y_{k-2}$ в нашей последовательности получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o Y_{k-2}}{\deg Y_{k-2}}>\frac{6}{M+1} \cdot\frac54\cdot\frac{6}{5}\cdots\frac{k}{k-1}=\frac{3k}{2(M+1)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу выбора $k$ правая часть не меньше 1, что невозможно. Это исключает случай 1). Наконец, напомним, что мы предположили, что $\nu\leqslant 2n$. Однако если $\nu>2n$, то уже сам дивизор $D$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o D}{\deg D}>\frac{4}{M+1}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
так что приведенные выше рассуждения показывают, что это невозможно. Это завершает доказательство теоремы 2.1. Оценка коразмерности дополнения ${\mathcal P}\setminus{\mathcal P}^{**}_{\rm reg}$ получается теми же методами, что в п. 1.4 главы I, и мы не приводим подробностей. 2.4. ЗамечанияДля двойных пространств $F$ индекса 1 (см. теорему 1.3 настоящей главы) доказательство неравенства $\operatorname{ct}(F)\geqslant 1$ существенно проще, поскольку их антиканоническая степень мала, см. [12; § 2]. Для кратных проективных пространств (см. пример 3) в п. 1.5) доказательство в [30] весьма сложное, однако теорема 2.2 позволяет его значительно упростить. Для полных пересечений коразмерности 2 (см. пример 4) в п. 1.5) необходимо рассматривать не только квадратичные, но и биквадратичные особенности. Поэтому задача оценки канонического порога требует рассмотрения исключительных дивизоров, центр которых содержится в множестве биквадратичных точек. Теоремы 2.2 здесь недостаточно и доказательство неравенства $\operatorname{ct}(F)\geqslant 1$ весьма сложное (см. [28]). Оно использует как многократное применение обращения присоединения, так и некоторые факты проективной геометрии полных пересечений двух квадрик в проективном пространстве. В § 1 мы видели важность эффективных результатов о (лог)канонических порогах для изучения бирациональной геометрии расслоений Фано–Мори. В заключение нашего обсуждения канонических и логканонических порогов рассмотрим еще одну область приложения этих инвариантов, где факты типа теоремы 2.1 играют ключевую роль. 2.5. Рациональные накрытия ГалуаПусть $F$ – примитивное многообразие Фано (т. е. проективное факториальное многообразие, имеющее самое большее терминальные особенности, антиканонический класс $(-K_F)$ обилен и порождает группу Пикара $\operatorname{Pic} F$). Рациональное отображение $X\dashrightarrow F$ конечной степени, где $X$ – некоторое проективное многообразие, назовем рациональным накрытием Галуа, если соответствующее расширение полей ${\mathbb C}(F)\subset {\mathbb C}(X)$ есть расширение Галуа. Имеет место следующий факт. Теорема 2.3. Предположим, что $\operatorname{ct}(F)\geqslant 1$. Тогда не существует рациональных накрытий Галуа $X\dashrightarrow F$, группа Галуа $G$ которых не является совершенной ($G\ne [G,G]$), где $X$ – рационально связное многообразие. (Символ $[G,G]$ обозначает коммутант группы $G$.) Доказательство см. в [34] и [35]. (Вторая работа дополняет первую, усиливая результат до теоремы 2.3 и несколько упрощая доказательство.) Его структура такова. Прежде всего, поскольку образ рационально связного многообразия рационально связен, утверждение теоремы 2.3 вытекает из его частного случая, когда $G$ – циклическая группа простого порядка $p\geqslant 2$, а $X\dashrightarrow F$ – циклическое рациональное накрытие. Предположим, что утверждение теоремы неверно, и зафиксируем некоторое рациональное циклическое накрытие $X\dashrightarrow F$ простого порядка $p\geqslant 2$, где $X$ – рационально связное многообразие. Далее, можно показать, что для дивизора $W\subset F$, над которым циклическое накрытие разветвлено, имеются три возможности: (0) $W=\varnothing$ (поскольку мы рассматриваем рациональные отображения, это означает, что над дополнением к некоторому замкнутому по Зарисскому подмножеству коразмерности $\geqslant 2$ в $F$ отображение $\sigma$ есть неразветвленное накрытие); (1) $W\sim -K_F$; (2) $W\sim -n K_F$, где $n\geqslant 2$, и в этом случае пара $\bigl(F,\frac{1}{n}W\bigr)$ не канонична (в доказательстве используются стандартные свойства рационально связных многообразий, см. [36]). Случай (2) невозможен по предположению: $\operatorname{ct}(F)\geqslant 1$. Случаи (0) и (1) легко исключаются элементарными алгебро-геометрическими рассуждениями (см. [35]). Это завершает доказательство теоремы 2.3. Эта теорема мотивирует следующую очень сильную гипотезу. Гипотеза 2.1 (об абсолютной жесткости). Предположим, что $\operatorname{ct}(F)\geqslant 1$. Тогда любое рациональное доминантное отображение $X\dashrightarrow F$, где $X$ – рационально связное многообразие размерности $\dim F$, есть бирациональное отображение. § 3. Многообразия Фано индекса 2В данном параграфе развитая в § 1, § 2 техника применяется к изучению бирациональной геометрии многообразий Фано индекса 2. В пп. 3.1–3.3 формулируется и обсуждается теорема, полностью описывающая структуры рационально связных расслоений и расслоений Мори на гиперповерхностях степени $M$ в ${\mathbb P}^{M+1}$. В п. 3.4 аналогичный результат сформулирован для двойных пространств Фано индекса 2. В п. 3.5 мы обсуждаем, как можно применить технику § 1 к изучению гиперповерхностей Фано более высокого индекса, и формулируем гипотезу об их бирациональной геометрии. 3.1. Гиперповерхности Фано индекса 2: основной результатСимволом ${\mathbb P}$ обозначим комплексное проективное пространство ${\mathbb P}^{M+1}$, $M\geqslant 4$. Пусть – пространство однородных многочленов степени $M$ от $M+2$ переменных $x_0,\dots,x_{M+1}$ на ${\mathbb P}$. Пусть $f\in {\mathcal P}$ и $V=V(f)\subset{\mathbb P}$ – гиперповерхность степени $M$. Если она неприводима, приведена, факториальна и имеет самое большее терминальные особенности, то $V$ есть многообразие Фано индекса 2:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic}V=\operatorname{Cl}V={\mathbb Z} H,\quad K_V=-2H,
\end{equation*}
\notag
$$
где $H$ – класс гиперплоского сечения. Если $P\subset {\mathbb P}$ – линейное подпространство коразмерности 2, то ограничение на гиперповерхность $V$ линейной проекции $\alpha_{P}\colon {\mathbb P}\dashrightarrow {\mathbb P}^1$ из подпространства $P$ задает на $V$ структуру расслоения Фано–Мори $\pi_P\colon V\dashrightarrow {\mathbb P}^1$. Как и в § 1 настоящей главы, мы будем одновременно рассматривать бирациональные отображения $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ на тотальные пространства рационально связных расслоений и расслоений Мори, так что $\pi'\colon V'\to S'$ есть расслоение либо первого, либо второго типа. Имеет место следующий факт. Теорема 3.1. При $M\geqslant 16$ существует открытое по Зарисскому подмножество ${\mathcal U}\subset {\mathcal P}$ такое, что для каждого $f\in {\mathcal U}$ соответствующая гиперповерхность $V=V(f)$ имеет следующие свойства: (i) она неприводима, приведена, факториальна и имеет самое большее терминальные особенности; (ii) для любого бирационального отображения $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ на тотальное пространство рационально связного расслоения $\pi'\colon V'\to S'$ над базой $S'$ положительной размерности имеем $S'={\mathbb P}^1$ и для некоторого изоморфизма $\beta\colon {\mathbb P}^1\to S'$ и некоторого подпространства $P\subset {\mathbb P}$ коразмерности 2 справедливо равенство т. е. диаграмма коммутативна;(iii) любое бирациональное отображение $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ многообразия $V=V(f)$ на многообразие Фано $V'$ с ${\mathbb Q}$-факториальными терминальными особенностями и числом Пикара, равным 1, есть бирегулярный изоморфизм; (iv) для любого бирационального отображения $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ на тотальное пространство расслоения Мори $\pi'\colon V'\to S'$, которое не является изоморфизмом, справедливо равенство $S'={\mathbb P}^1$, и для некоторого подпространства $P\subset {\mathbb P}$ коразмерности 2 бирациональное отображение $\chi^{-1}\colon V'\dashrightarrow V$ есть раздутие подмногообразия $V\cap P$ (в частности, $\chi^{-1}$ регулярно), причем для некоторого изоморфизма $\beta\colon {\mathbb P}^1\to S$ справедливо равенство (v) группы бирегулярных и бирациональных автоморфизмов многообразия $V$ совпадают: $\operatorname{Bir}V=\operatorname{Aut}V$. Кроме того, имеет место неравенство Доказательство теоремы 3.1 составляет содержание двух работ: [37] и [38]. Эти работы практически не пересекаются: в [37] доказан укороченный (без части (iv) и оценки коразмерности дополнения) вариант этой теоремы для неособых гиперповерхностей индекса 2 общего положения, в [38] доказаны все утверждения, из которых, вместе с [37], теорема 3.1 следует в полном объеме. Таким образом, полное доказательство теоремы 3.1 занимает около 100 страниц и не может быть здесь приведено даже в сокращенном виде. Однако мы дадим описание множества ${\mathcal U}$ и обсудим общий подход к доказательству теоремы 3.1, а также приведем подробное доказательство части (iv) (принимая на веру несколько технических фактов из [37], [38]): пропущенное в § 1 доказательство бирациональной сверхжесткости расслоения Фано–Мори во многом аналогично этому рассуждению. 3.2. Регулярные гиперповерхностиПусть $f\in {\mathcal P}$ – ненулевой многочлен, $o\in{\mathbb P}$ – некоторая точка, причем $f(o)=0$. Гиперповерхность $V(f)=\{f=0\}$ обозначим символом $V$. Пусть $(z_1,\dots,z_{M+1})=(z_*)$ – система аффинных координат с началом в точке $o$. Запишем (обозначая неоднородное представление многочлена $f$ тем же символом), где $f_i(z_*)$ однородны степени $i$. Условия регулярности различны в зависимости от того, особая ли точка $o\in V$ или нет, т. е. $f_1\equiv 0$ или $f_1\not\equiv 0$.Сформулируем сначала условия регулярности для неособой точки.
Обратимся теперь к условиям регулярности для особой точки, т. е. предполагаем, что $f_1\equiv 0$.
Определение 3.1. Будем говорить, что гиперповерхность $V=V(f)$ регулярна, если в каждой неособой точке $o\in V$ она регулярна в смысле условий (R1.1)–(R1.3), а в каждой особой точке $o\in V$ – в смысле условий (R2.1)–(R2.3). Множество многочленов $f\in {\mathcal P}$ таких, что гиперповерхность $V(f)$ регулярна, обозначим символом ${\mathcal U}$. Несложно показать, рассуждая как в п. 1.4 главы I, что для $f\in {\mathcal U}$ соответствующая гиперповерхность $V(f)$ обладает свойствами, перечисленными в части (i) теоремы 3.1. Доказательство неравенства теоремы 3.1 для коразмерности дополнения ${\mathcal P} \setminus {\mathcal U}$ длинное и громоздкое (см. [38]), но основано на тех же принципах, что мы использовали в п. 1.4 главы I. 3.3. Метод максимальных особенностейОпишем общую структуру доказательства теоремы 3.1. Мы обсудим доказательство утверждений (ii) и (iv): утверждение (v) легко следует из (ii), так как множество структур рационально связного расслоения есть бирациональный инвариант многообразия, а утверждение (iii) выводится из (ii) с использованием рассуждений, аналогичных [6; гл. 2, предложение 1.6], – см. [38; п. 1.4]. Рассмотрим утверждение (ii). Для произвольного подпространства $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности 2 символом $|H-P|$ обозначим пучок дивизоров, высекаемый на $V$ пучком гиперплоскостей, содержащих $P$. Пусть $\Sigma'$ – линейная система на $V'$, которая есть $\pi'$-подъем некоторой очень обильной линейной системы на базе $S'$, и $\Sigma$ – ее собственный прообраз на $V$ относительно $\chi$. Линейная система $\Sigma$ подвижна, и можно считать (заменяя, если нужно, очень обильную систему на базе $S$ ее симметрическим квадратом), что для некоторого $n\geqslant 1$ Подвижная линейная система $\Sigma$ имеет максимальную особенность: для некоторого исключительного дивизора $E^*$ над $V$ выполнено неравенство Нётера–Фано т. е. для общего дивизора $D\in\Sigma$ пара $\bigl(V,\frac{1}{n}D\bigr)$ не канонична.На $V$ имеются подвижные линейные системы, обладающие максимальной особенностью. Например, пусть $E_P$ – исключительный дивизор раздутия подмногообразия $V\cap P$ коразмерности 2 на $V$, где $P\subset{\mathbb P}$ – линейное подпространство коразмерности 2. Очевидно, что $a(E_P)=1$, так что “удвоенный пучок” $|H-P|$, т. е. линейная система $|2H-2P|\subset|2H|$, имеет максимальную особенность $E_P$, поскольку Теперь доказательство утверждения (ii) теоремы 3.1 разбивается на два основных шага. Теорема 3.2. Предположим, что для некоторого линейного подпространства $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности 2 выполнено неравенство Тогда $\Sigma$ составлена из пучка $|H-P|$, т. е. каждый дивизор $D\in\Sigma$ есть сумма $2n$ гиперплоских сечений из этого пучка. Теорема 3.3. Для линейной системы $\Sigma$, обладающей максимальной особенностью, существует линейное подпространство $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности 2, для которого справедливо неравенство (14). Наибольшие трудности представляет доказательство теоремы 3.3. Оно проводится таким образом: предполагая, что теорема 3.3 неверна, исключим все возможные типы максимальных особенностей. Для особенностей, центр которых на $V$ не содержится в множестве $\operatorname{Sing}V$, это сделано в [37] (где рассматриваются неособые гиперповерхности $V$; однако исключение максимальных особенностей осуществляется с помощью техники гиперкасательных дивизоров на основе локальных условий регулярности, идентичных условиям (R1.1)–(R1.3), так что рассуждения в [37] исключают все максимальные особенности, центр которых не содержится в $\operatorname{Sing} V$). Для особенностей, центр которых на $V$ содержится в $\operatorname{Sing}V$, это сделано в [38]. Таким образом, получается, что линейная система $\Sigma$ вообще не имеет максимальных особенностей, чего не может быть. Полученное противоречие доказывает теорему 3.3. Докажем теорему 3.2. Положим $B=P\cap V$. Пусть $\varphi\colon V^+\to V$ – раздутие подмногообразия $B$. Символом $E_B$ обозначим исключительный дивизор этого раздутия. Многообразие $V^+$ можно понимать как собственный прообраз гиперповерхности $V$ относительно раздутия $\varphi_{{\mathbb P}}\colon {\mathbb P}^+\to{\mathbb P}$ линейного подпространства $P$, так что $E_B=V^+\cap E_P$, где $E_P=\varphi^{-1}(P)$. Линейная проекция ${\mathbb P}\dashrightarrow {\mathbb P}^1$ из подпространства $P$ продолжается до ${\mathbb P}^M$-расслоения $\pi_{{\mathbb P}}\colon {\mathbb P}^+\to{\mathbb P}^1$. Положим $\pi=\pi_{{\mathbb P}}\big|_{V^+}\colon V^+\to{\mathbb P}^1$. Предложение 3.1. (i) Многообразие $V^+$ и каждый слой $F_t=\pi^{-1}(t)$, $t\in{\mathbb P}^1$, факториальны и имеют самое большее терминальные особенности. Каждый слой $F_t$, $t\in{\mathbb P}^1$, есть многообразие Фано. (ii) Выполнены равенства где мы положили $H=\varphi^* H$ для упрощения обозначений, $K^+=K_{V^+}$ есть канонический класс многообразия $V^+$, $F$ – класс слоя проекции $\pi$ и Доказательство. Слои проекции $\pi_{{\mathbb P}}$ изоморфны гиперплоскостям (содержащим подпространство $P$) в ${\mathbb P}$, так что слои $F_t$ изоморфны соответствующим гиперплоским сечениям гиперповерхности $V$, т. е. гиперповерхностям степени $M$ в ${\mathbb P}^M$. Из условий (R1.2) и (R2.2) следует, что любая гиперповерхность $F_t\subset{\mathbb P}^M$, $t\in{\mathbb P}^1$, имеет самое большее квадратичные особенности ранга не меньше 11. Следовательно, и многообразие $V^+$ имеет самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant 11$. Отсюда вытекает утверждение (i). Утверждение (ii) проверяется очевидными вычислениями. Предложение доказано. Рассмотрим теперь собственный прообраз $\Sigma^+$ линейной системы $\Sigma$ на $V^+$. Это подвижная линейная система, причем для некоторых $m\in{\mathbb Z}_+$ и $l\in{\mathbb Z}$ имеет место включение Из формул части (ii) предложения 3.1 следует, что $m=2n-\operatorname{mult}_B\Sigma$ и $l=2(\operatorname{mult}_B\Sigma-n)\geqslant 2$. Если $m=0$, то линейная система $\Sigma^+$ составлена из пучка $|F|$, так что система $\Sigma$ составлена из пучка $|H-P|$, как и утверждает теорема 3.2. Предположим поэтому, что $m\geqslant 1$, и приведем это предположение к противоречию.Следующее утверждение хорошо известно. Предложение 3.2. Линейная система $\Sigma^+$ обладает максимальной особенностью: для некоторого исключительного дивизора $E^+$ над $V^+$ справедливо неравенство Нётера–Фано т. е. для общего дивизора $D^+\in \Sigma^+$ пара $\bigl(V^+,\frac{1}{m}D^+\bigr)$ не канонична. Далее, пусть $R\subset V^+$ – центр максимальной особенности $E^+$ на $V^+$, так что $\operatorname{codim}(R\subset V^+)\geqslant 2$. Имеются две возможности: (a) $R$ накрывает базу ${\mathbb P}^1$: $\pi(R)={\mathbb P}^1$; (b) $\pi(R)$ – точка на ${\mathbb P}^1$. Однако, как мы видели в § 2 настоящей главы, глобальный канонический порог любого слоя проекции $\pi$ не меньше 1. Поэтому если имеет место первая возможность, то, ограничивая линейную систему $\Sigma^+$ на слой $F_t$ общего положения, получаем подвижную линейную систему $\Sigma_t\subset |mH_t|$, где $H_t$ – класс гиперплоского сечения $F_t\subset{\mathbb P}^M$, причем пара $\bigl(F_t,\frac{1}{m}\Sigma_t\bigr)$ не канонична – противоречие. Если имеет место вторая возможность: $R\subset F_t$ для некоторого $t\in{\mathbb P}^1$, то применяем обращение присоединения, ограничивая подвижную систему $\Sigma^+$ на $F_t$, и снова получаем противоречие. Таким образом, случай $m\geqslant 1$ невозможен, что завершает доказательство теоремы 3.2. Обратимся теперь к доказательству утверждения (iv) теоремы 3.1. Пусть $\pi'\colon V'\to S'$ – некоторое расслоение Мори и $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ – бирациональное отображение, не являющееся изоморфизмом. Учитывая утверждение (ii) и принимая на веру утверждение (iii), мы заключаем, что $S'={\mathbb P}^1$. Таким образом, для некоторого подпространства $P\subset {\mathbb P}$ коразмерности 2 отображение $\chi$ продолжается до послойного отображения расслоений Мори $\chi^+\colon V^+\dashrightarrow V'$ (мы используем обозначения, введенные выше). Докажем, что $\chi^+$ есть изоморфизм. По определению расслоения Мори имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic}V'\otimes{\mathbb Q}={\mathbb Q}K'\oplus{\mathbb Q}F',
\end{equation*}
\notag
$$
где $K'=K_{V'}$ и $F'$ – класс слоя проекции $\pi'$. Пусть $\psi\colon \widetilde{V}\to V^+$ – разрешение особенностей отображения $\chi^+$. Пусть ${\mathcal E}$ – множество всех простых $\psi$-исключительных дивизоров на $\widetilde{V}$, а ${\mathcal E}'$ – множество всех простых $\chi^+\circ \psi$-исключительных дивизоров на $\widetilde{V}$ (по построению отображение $\chi^+\circ \psi\colon \widetilde{V}\to V'$ есть бирациональный морфизм). Поскольку для чисел Пикара имеем $\rho(V^+)=\rho(V')=2$, справедливо равенство $|{\mathcal E}'|=|{\mathcal E}|$. Записывая для простоты обозначений дивизориальный класс на $V^+$ или $V'$ тем же символом, что и его подъем на $\widetilde V$, получаем равенство Далее, обозначая символом $\widetilde{K}$ канонический класс $K_{\widetilde V}$ и символом $K'$ канонический класс $K_{V'}$, получаем
$$
\begin{equation}
\widetilde{K}=K^++\sum_{E\in{\mathcal E}}a(E,V^+)E= K'+\sum_{E'\in{\mathcal E}'}a(E',V')E'.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Для простоты пишем $a_E$ вместо $a(E,V^+)$ и $a(E')$ вместо $a(E',V')$. Пусть – очень обильная линейная система на $V'$, где $l'\gg 1$, и – ее собственный прообраз на $V^+$; можно считать, что $l\in{\mathbb Z}_+$ (увеличивая $l'$, если нужно). Получаем альтернативу: (a) либо $m\leqslant m'$; (b) либо $m>m'$. Во втором случае линейная система $\Sigma$ обладает максимальной особенностью, что невозможно (см. доказательство теоремы 3.2). Следовательно, $m\leqslant m'$. Записывая где $b_E\leqslant m a_E$ для всех $E\in{\mathcal E}$, после несложных преобразований получаем равенство
$$
\begin{equation}
\biggl(1-\frac{m}{m'}\biggr)K^++\frac{l-l'}{m'}F+\sum_{E\in{\mathcal E}} \biggl(a_E-\frac{b_E}{m'}\biggr)E=\sum_{E'\in{\mathcal E}'}a(E')E'.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Ограничивая его на общий слой $F_t$, заключаем, что $m=m'$. Если $l>l'$, то равенство (16) дает противоречие: в правой части стоит линейная комбинация $\chi^+\circ\psi$-исключительных дивизоров, а в левой – эффективный дивизор с ненулевой подвижной частью. Но и неравенство $l<l'$ невозможно: переписывая (16) в виде
$$
\begin{equation*}
\sum_{E\in{\mathcal E}}(ma_E-b_E)E=(l'-l)F+\sum_{E'\in{\mathcal E}'}a(E')E',
\end{equation*}
\notag
$$
мы видим слева линейную комбинацию $\psi$-исключительных дивизоров, а справа эффективный дивизор на $\widetilde V$ с ненулевой подвижной частью. Следовательно, $l'=l$. Поэтому каждый дивизор $E'\in{\mathcal E}'$ является $\psi$-исключительным, ${\mathcal E}'\subset {\mathcal E}$ и, значит, ${\mathcal E}'={\mathcal E}$, так что $\chi^+\colon V^+\dashrightarrow V'$ есть изоморфизм в коразмерности 1. Но тогда есть очень обильная полная линейная система. Отсюда заключаем, что $\chi^+$ есть бирегулярный изоморфизм. Это завершает доказательство утверждения (iv) теоремы 3.1. На этом мы закончим обсуждение теоремы 3.1. 3.4. Двойные пространства индекса 2Второй большой класс многомерных многообразий Фано индекса 2, бирациональные отображения которого изучены полностью, – это двойные пространства (см. [39] и [40]). Основной результат аналогичен теореме 3.1, и мы лишь укажем, как видоизменить обозначения и конструкции п. 3.1, чтобы теорема 3.1 была дословно верна для двойных пространств. Пусть ${\mathbb P}={\mathbb P}^{M+1}$ – комплексное проективное пространство, где $M\geqslant 7$. Гиперповерхности степени $2M$ в ${\mathbb P}$ соответствуют ненулевым многочленам из пространства Если множество особых точек гиперповерхности $W\subset {\mathbb P}$ степени $2M$ имеет коразмерность $\geqslant 4$ в ${\mathbb P}$, то двойное накрытие $\sigma\colon V\to {\mathbb P}$, разветвленное над $W$, есть неприводимое факториальное многообразие. Если особенности $V$ терминальны, то $V$ есть многообразие Фано индекса 2:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic}V=\operatorname{Cl}V={\mathbb Z}H,\quad K_V=-2H,
\end{equation*}
\notag
$$
где $H=\sigma^*H_{\mathbb P}$ есть $\sigma$-подъем класса гиперплоскости в ${\mathbb P}$. Такие многообразия реализуются как гиперповерхности во взвешенном проективном пространстве ${\mathbb P}(1,\dots,1,M)={\mathbb P}(1^{M+2},M)$, где уравнение $f(x_*)=0$ есть уравнение гиперповерхности $W$, а $w$ – координата веса $M$. Если $P\subset{\mathbb P}$ – линейное подпространство коразмерности 2, то проекция $\alpha_P\colon{\mathbb P}\dashrightarrow{\mathbb P}^1$ из этого подпространства индуцирует на $V$ структуру
$$
\begin{equation*}
\pi_P=\alpha_P\circ\sigma\colon V\dashrightarrow{\mathbb P}^1
\end{equation*}
\notag
$$
расслоения Фано–Мори, слоями которого являются двойные пространства Фано индекса 1. Рассмотрим целочисленную функцию
$$
\begin{equation*}
\gamma\colon{\mathbb Z_{\geqslant 7}=\{M\mid M\geqslant 7\}}\to{\mathbb Z},
\end{equation*}
\notag
$$
определенную следующим образом: $\gamma(7)=3$ и для $M\geqslant 8$ Теорема 3.4. Существует открытое по Зарисскому множество ${\mathcal U}\subset {\mathcal P}$ такое, что Доказательство см. в [39] (где рассмотрены неособые двойные пространства, так что рассуждения этой работы исключают максимальные особенности подвижной линейной системы, центр которых не содержится в $\operatorname{Sing} V$) и в [40] (где рассмотрены особенности двойных пространств). Доказательство теоремы 3.4 проще, чем доказательство теоремы 3.1, поскольку степень двойных пространств очень мала. Приведем определение открытого множества ${\mathcal U}$. Условия общности положения для $f\in {\mathcal U}$ также проще. (R0) Для любого подпространства $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности 3 ограничение $F\big|_P$ не есть квадрат многочлена (степени $M$). Пусть теперь $p\in W=\{f=0\}$ – некоторая точка и $z_1,\dots,z_{M+1}$ – система координат на аффинном подмножестве ${\mathbb A}^{M+1}\subset{\mathbb P}$, причем $p=(0,\dots,0)$. Запишем аффинное уравнение гиперповерхности $W$ относительно этой системы координат: где $f_i(z_*)$ однородны степени $i\geqslant 1$. Точка $p$ неособа на $W$ тогда и только тогда, когда $f_1\not\equiv 0$.(R1) Предположим, что $p\in W$ – неособая точка. Тогда справедливо неравенство (R2) Предположим, что $p\in W$ – особая точка. Тогда справедливо неравенство Множество ${\mathcal U}\subset{\mathcal P}$ состоит из гиперповерхностей, удовлетворяющих глобальному условию (R0), локальному условию (R1) в каждой неособой точке и локальному условию (R2) в каждой особой точке. Считая для удобства обозначений, что $z_i=x_i/x_0$, и добавляя аффинную координату $y=w/x_0^M$, мы видим, что если $p\in W$ – особая точка, то локальное уравнение гиперповерхности $V$ (во взвешенном проективном пространстве ${\mathbb P}(1^{M+2},M)$) начинается с квадратичной формы ранг которой на единицу больше, чем $\mathop{\rm rk} q_2$; в частности, многообразие $V$ имеет не более чем квадратичные особенности ранга $\geqslant 8$.Пусть $f\in {\mathcal U}$ и $W=W(f)$ – соответствующая гиперповерхность. Рассмотрим двойное накрытие $\sigma\colon V\to{\mathbb P}$, разветвленное над $W$. В силу условия (R2) имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}W\subset{\mathbb P})\geqslant 7,
\end{equation}
\tag{17}
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}V\subset V)\geqslant 7
\end{equation*}
\notag
$$
и потому $V$ есть неприводимое приведенное факториальное многообразие. Условие иметь не более чем квадратичные особенности ранга $\geqslant r$ устойчиво относительно раздутий, так что особенности многообразия $V$, имеющего не более чем квадратичные особенности ранга $\geqslant 8$, терминальны. На этом мы завершаем обсуждение бирациональной геометрии многообразий Фано индекса 2. 3.5. Гиперповерхности Фано более высокого индексаХотя в последнее время появилось много работ, в которых методом “разложения диагонали” К. Вуазен доказана стабильная нерациональность очень общих гиперповерхностей Фано высокого индекса (см., например, [41]–[46]), о бирациональной геометрии этих многообразий все еще мало что известно (например, благодаря работам [47], [48] мы знаем, что их группы бирациональных автоморфизмов жордановы, однако предположительно они вообще конечны и в общем случае тривиальны; необходимо отметить и многочисленные работы последних лет, посвященные $G$-бирациональной жесткости для конкретных групп $G$ и описанию вложений конкретных конечных групп в группу бирациональных автоморфизмов некоторых многообразий Фано – эти результаты также эффективны, хотя и в другом смысле по сравнению с настоящим обзором, см. [49]–[59]). Обсудим кратко возможный подход к изучению их бирациональных отображений с точки зрения метода максимальных особенностей. Пусть ${\mathbb P}={\mathbb P}^{M+1}$, где $M$ достаточно велико, и $V\subset{\mathbb P}$ – достаточно общая (в частности, неособая) гиперповерхность степени $M+2-r$, где $r\geqslant 3$. Тогда $V$ – многообразие Фано индекса $r$: $\operatorname{Pic}V={\mathbb Z}H$, где $H$ – класс гиперплоского сечения, и $K_V=-rH$. Пусть $\pi'\colon V'\to S'$ – рационально связное расслоение, где $\dim S'\geqslant r-1$ и $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ – бирациональное отображение. Рассмотрим $\pi'$-подъем на $V'$ некоторой очень обильной линейной системы на базе $S'$, который обозначим символом $\Sigma'$, и пусть $\Sigma$ – ее собственный прообраз на $V$. Переходя к симметрической степени, можно считать, что $\Sigma\subset|rnH|$ для некоторого $n\geqslant 1$. Предположение 3.1. Существует линейное подпространство $P\subset{\mathbb P}$ коразмерности $r$, для которого выполнено неравенство Замечание 3.1. Если $\dim S'\leqslant r-2$, то заведомо имеются бирациональные отображения, для которых предположение 3.1 не справедливо. Например, пусть $\Lambda\subset|(r-1)H|$ – пучок, высекаемый на $V$ общим пучком гиперповерхностей степени $r-1$ в ${\mathbb P}$. Базисное множество $B$ пучка $\Lambda$ есть неособое полное пересечение типа $(M+2-r)\cdot(r-1)\cdot(r-1)$, и раздутие $\sigma_B\colon V^+\to V$ разрешает особенности $\Lambda$, так что получаем расслоение Фано–Мори $\pi\colon V^+\to{\mathbb P}^1$, слои которого суть полные пересечения типа $(M+2-r)\cdot(r-1)$ в ${\mathbb P}$, т. е. многообразия Фано индекса 1. Таким же образом легко построить и другие примеры структур рационально связного расслоения на $V$ над базой размерности $\leqslant r-2$, для которых предположение 3.1 не выполнено. Возвращаясь к бирациональному отображению $\chi$, раздуем подмногообразие $B=P\cap V$: и обозначим символом $E_B$ его исключительный дивизор. Пусть $\sigma_{\mathbb P}\colon{\mathbb P}^+\to{\mathbb P}$ – раздутие подпространства $P$ на ${\mathbb P}$ и $\pi_{\mathbb P}\colon{\mathbb P}^+\to{\mathbb P}^{r-1}$ – соответствующая регуляризованная проекция. Многообразие $V^+$ можно рассматривать как собственный прообраз гиперповерхности $V$ на ${\mathbb P}^+$. Пусть $\pi\colon V^+\to {\mathbb P}^{r-1}$ – ограничение $\pi_{\mathbb P}$ на $V^+$. Очевидно, что слои проекции $\pi$ суть гиперповерхности степени $M+2-r$ в ${\mathbb P}^{M+2-r}$. Если каждый слой имеет самое большее квадратичные особенности ранга $\geqslant 5$, то и каждый слой, и само многообразие $V^+$ факториальны и имеют терминальные особенности. Обозначая символом $K^+$ канонический класс многообразия $V^+$ и символом $F$ класс $\pi$-подъема гиперплоскости в ${\mathbb P}^{r-1}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic} V^+={\mathbb Z} H\oplus {\mathbb Z} E_B= {\mathbb Z} K^+\oplus {\mathbb Z} F,
\end{equation*}
\notag
$$
где $K^+=-rH+(r-1)E_B$ и $F=H-E_B$, так что Таким образом, расслоение Фано–Мори $\pi\colon V^+\to{\mathbb P}^{r-1}$ не удовлетворяет $K$-условию, что является естественным: на $V^+$ есть много структур рационально связного расслоения, не являющихся послойными относительно $\pi$. Пусть $\Sigma^+$ – собственный прообраз системы $\Sigma$ на $V^+$. Несмотря на то что $K$-условие не выполнено, мы имеем предположение 3.1, из которого следует, что где $m=rn-\nu_B$ и $l=r(\nu_B-(r-1)n)\geqslant r$, так что $l\in{\mathbb Z}_+$ и можно применить стандартную технику метода максимальных особенностей и получить альтернативу: либо $m=0$ и тогда сквозное отображение является послойным, так что $\dim S'=r-1$ и $\chi^+$ бирационально отображает слои $\pi$ на слои $\pi'$, либо $m\geqslant 1$ и тогда линейная система $\Sigma^+$ имеет максимальную особенность. Для того чтобы продолжить изучение системы $\Sigma^+$ во втором случае теми же методами, что были использованы в доказательстве теоремы 1.1, необходимо, чтобы каждый слой проекции $\pi$ задавался уравнением $f=0$ для $f\in{\mathcal P}^{**}_{\rm reg}$ (с заменой размерности $M+1$ на $M+2-r$). Таким образом, развитая в § 1 настоящей главы техника изучения расслоений Фано–Мори применима к гиперповерхности $V$, если сечение $V$ любым подпространством размерности $M+2-r$ задается многочленом $f\in{\mathcal P}^{**}_{\rm reg}$. Учитывая неравенство (10) и тот факт, что подпространства коразмерности $r-1$ в ${\mathbb P}^{M+1}$ образуют $(M-r+3)(r-1)$-мерное семейство, получаем следующее необходимое условие: которое несложными преобразованиями приводится к виду Последнее неравенство справедливо для значений Конечно, наибольшую трудность представляет доказательство предположения 3.1. Однако для дальнейшего продвижения, как мы только что показали, необходимы эффективные оценки коразмерности множества “плохих” гиперповерхностей (сечений гиперповерхностей $V$ линейными подпространствами), что демонстрирует важность эффективных оценок.В заключение сформулируем общую гипотезу о бирациональной геометрии гиперповерхностей Фано. Гипотеза 3.1. Общая (по Зарисскому) гладкая гиперповерхность $V$ степени $M+2-r\geqslant\gamma(M)$ в ${\mathbb P}^{M+1}$ не имеет структур рационально связного расслоения над базой размерности $\geqslant r$, а любая структура рационально связного расслоения над базой размерности $r-1$ послойно бирационально эквивалентна ограничению на $V$ проекции из некоторого подпространства коразмерности $r$, где $\gamma(M)\leqslant M/2$ – некоторая целочисленная функция, удовлетворяющая условию Автор благодарит рецензентов за полезные замечания и предложения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Puk22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|