| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Сообщения Московского математического общества Спектр оператора свёртки с потенциалом Д. И. Борисовabc, Е. А. Жижинаd, А. Л. Пятницкийde a ИМВЦ УФИЦ РАН b Башкирский государственный университет c Университет Градца Кралове, Чехия d Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН e Арктический университет Норвегии, Нарвик, Норвегия
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10038 
Реферативные базы данных:
    Пусть $V=V(x)$ и $a=a(x)$ – функции, заданные на пространстве $\mathbb{R}^d$, причём функция $a\in L_1(\mathbb{R}^d)$ комплекснозначная и удовлетворяет равенству $a(-x)=\overline{a(x)}$, а функция $V$ такова, что её преобразование Фурье $\widehat{V}$ удовлетворяет тем же условиям, что и функция $a$. Образ Фурье функции $a$ обозначим через $\hat{a}$. Отметим, что указанные условия влекут вещественность, ограниченность и непрерывность $V$ и $\hat{a}$. Мы исследуем спектр ограниченного линейного самосопряженного оператора
$$
\begin{equation}
(\mathcal{L} u)(x):=\int_{\mathbb{R}^d}a(x-y)u(y)\,dy+ V(x)u(x)\quad\text{в}\ L_2(\mathbb{R}^d).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Пусть $a_{\min}:=\inf_{\mathbb{R}^d} \hat{a}$, $a_{\max}:=\sup_{\mathbb{R}^d} \hat{a}$, $V_{\min}:=\inf_{\mathbb{R}^d}V$, $V_{\max}:=\sup_{\mathbb{R}^d} V$. Из условий на $a$ и $V$ следует, что $a_{\min}\leqslant 0\leqslant a_{\max}$, $V_{\min}\leqslant 0\leqslant V_{\max}$. Наш первый результат описывает существенный спектр и возможное положение дискретного спектра оператора $\mathcal{L}$.
Теорема 1. Существенный спектр оператора $\mathcal{L}$ совпадает с отрезком $[\mu_0,\mu_1]$, где $\mu_0:=\min\{a_{\min},V_{\min}\}$, $\mu_1:=\max\{a_{\max},V_{\max}\}$. Дискретный спектр оператора $\mathcal{L}$ может располагаться только в интервалах $[a_{\min}+V_{\min},\mu_0)$ и $(\mu_1,a_{\max}+V_{\max}]$ и может накапливаться лишь к точкам $\mu_0$ и $\mu_1$. Остальная часть наших результатов описывает дискретный спектр оператора $\mathcal{L}$. Мы приводим эти результаты лишь для интервала $[a_{\min}+V_{\min},\mu_0)$, поскольку замена оператора $\mathcal{L}$ на $-\mathcal{L}$ меняет местами $[a_{\min}+V_{\min},\mu_0)$ и $(\mu_1,a_{\max}+V_{\max}]$ и позволяет перенести приведенные ниже результаты на второй интервал. Также далее считаем, что $\mu_0=V_{\min}$. В противном случае достаточно сделать преобразование Фурье оператора $\mathcal{L}$, что сохранит его структуру, но поменяет местами функции $a$ и $V$. Через $Q_r(x)$ обозначим куб в $\mathbb{R}^d$ с центром в точке $x$ и длиной ребра $2r$, при $x=0$ пишем $Q_r=Q_r(0)$. Теорема 2. Пусть $a_{\min}\geqslant V_{\min}$, $x_0$ – точка глобального минимума функции $V$ и существует такое $\delta>0$, что $\displaystyle\int_{Q_\delta(x_0)}\bigl(V(x)-V_{\min}\bigr)\,dx+ \displaystyle\int_{Q_\delta\times Q_\delta}\operatorname{Re}a(x-y)\,dx\,dy<0$. Тогда дискретный спектр оператора $\mathcal{L}$ в интервале $[a_{\min}+V_{\min},\mu_0)$ непуст. Обозначим $V_-(x):=-\min\{V(x),0\}$ и $\hat{a}_-(\xi):=-\min\{\hat{a}(\xi),0\}$. Теорема 3. Пусть $a_{\min}\geqslant V_{\min}$, функции $V_-$, $\hat{a}_-$ принадлежат $L_1(\mathbb{R}^d)$ и интегралы $I_V:=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d}\dfrac{V_-(x)\,dx}{V_-(x)+V_{\min}}$, $I_a:=\dfrac{1}{(2\pi)^{d}}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \frac{\hat{a}_-(x)\,dx}{\hat{a}_-(x)+V_{\min}}$ конечны. Тогда число собственных значений оператора $\mathcal{L}$ ниже точки $V_{\min}$ не превосходит величины $I_a I_V$. Теорема 4. Пусть $a_{\min}\geqslant V_{\min}$, $V(x)\equiv V_{\min}$ на некотором кубе $Q_r(x_0)$ и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий: 1) $a_{\min}<0$ и $\hat{a}(\xi)\leqslant 0$ для всех $\xi\in\mathbb{R}^d$; 2) найдётся $\eta\leqslant r$ такое, что $\displaystyle\int_{Q_\eta} a(x)e^{(2\pi \mathrm{i}/\eta)m\cdot x}\,dx \leqslant 0$ при всех Рассмотрим теперь оператор $\mathcal{L}$ из (1) с малым интегральным членом:
$$
\begin{equation}
(\mathcal{L}_\varepsilon u)(x):= \varepsilon\int_{\mathbb{R}^d}a(x-y)u(y)\,dy+ V(x)u(x)\quad \text{в}\ L_2(\mathbb{R}^d),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\varepsilon>0$ – малый параметр, функции $a$ и $V$ удовлетворяют условиям теоремы 1 и $\varepsilon a_{\min}>V_{\min}$ для всех достаточно малых $\varepsilon$. Тогда справедлив следующий результат.
Теорема 5. Пусть $d=1$, $x_0$ – точка глобального минимума $V$, $V\in C^5(x_0-\eta, x_0+\eta)$ при некотором $\eta>0$, $a\in W_\infty^5(\mathbb{R})$ и $V''(x_0)>0$. Если $a(0)<0$, то при достаточно малых $\varepsilon$ оператор $\mathcal{L}_\varepsilon$ имеет ровно одно изолированное собственное значение левее точки $V_{\min}$. Это собственное значение простое и имеет асимптотику Обсудим кратко основные результаты. Теорема 1 описывает положение существенного спектра оператора $\mathcal{L}$ и возможное положение дискретного. Теорема 2 даёт достаточные условия наличия дискретного спектра в терминах поведения функции $V$ в окрестности точки $x_0$ и функции $a$ в окрестности нуля. Теорема 3 – это аналог классической теоремы Бирмана–Швингера в случае нелокальных операторов. Эта теорема даёт хорошую верхнюю оценку числа точек дискретного спектра при $d \geqslant 3$, а при $d=1,2$ оценка сверху конечна при дополнительных ограничениях на поведение $V$ в окрестности точки $x_0$. В частности, в условиях теоремы 5 эти ограничения не выполняются. Подчеркнём, что если в условиях теоремы 3 оказывается, что $I_a I_V=+\infty$, то это не означает наличия счётного числа собственных значений. Теорема 4 описывает достаточные условия возникновения счётного числа собственных значений в предположении, что $V$ достигает своего глобального минимума на множестве положительной меры. Теорема 5 утверждает, что в случае $d=1$ и малости ядра свёртки $a$ возникает ровно одно собственное значение с асимптотикой (3). Нам также удалось получить оценку снизу числа собственных значений, но формулировка этого результата достаточно объёмна. Отметим лишь, что он формулируется в терминах коэффициентов Тейлора ядра свёртки в нуле и поведения $V$ в окрестности $x_0$. Операторы типа $\mathcal{L}$ возникают в моделях популяционной динамики, основывающихся на процессах рождения и гибели. В частности, они определяют эволюцию первой корреляционной функции неоднородной модели контактов в $\mathbb{R}^d$, описывающей распространение эпидемий в популяции. Первая корреляционная функция является усреднённой плотностью конфигураций в модели контактов, поэтому возникновение дискретного спектра у оператора эволюции означает качественное изменение в поведении модели на больших временах, когда при наличии положительного дискретного спектра средняя плотность точек конфигурации в ограниченных областях демонстрирует экспоненциальный рост. Эти операторы также играют важную роль при описании некоторых типов пористых сред. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorZhiPia22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|