А. А. Гаража, “О каноническом базисе пары согласованных скобок Пуассона на симплектической алгебре Ли”, УМН, 77:2(464) (2022), 199–200; Russian Math. Surveys, 77:2 (2022), 375

На всякой редуктивной комплексной алгебре Ли $\mathfrak{g}$ определена каноническая пуассонова структура $\{\varphi,\psi\}(x)=(x,[d_x\varphi,d_x\psi])$, где $\varphi$ и $\psi$ – гладкие функции на $\mathfrak{g}$, а $d_x\varphi$ и $d_x\psi$ рассматриваются как элементы алгебры $\mathfrak{g}$, отождествленной с $\mathfrak{g}^*$ при помощи инвариантного скалярного умножения. Кроме того, для каждого $a\in \mathfrak{g}$ определена пуассонова структура “с замороженным аргументом”: $\{\varphi,\psi\}_a (x)=(a,[d_x\varphi,d_x\psi])$.

В [1] описан подход, позволяющий работать с пуассоновыми структурами на языке линейной алгебры. Скобки Пуассона $\{\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\}_a$ и $\{\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\}$ рассматриваются как кососимметрические билинейные формы $f_a$ и $f_x$ над полем $\mathbb{K}=\mathbb{C}(\mathfrak{g})$ на пространстве $\mathfrak{g} \otimes \mathbb{K}$ рациональных векторных полей на $\mathfrak{g}$, где элемент $a$ фиксирован, а $x$ – общий элемент. А именно, если $\varphi$ и $\psi$ являются многочленами, то $d\varphi$ и $d\psi$ можно рассматривать как элементы пространства $\mathfrak{g} \otimes \mathbb{K}$ и тогда $\{\varphi,\psi\}(x)=f_x(d\varphi,d\psi)$ и $\{\varphi,\psi\}_a (x)=f_a(d\varphi,d\psi)$.

Описанный подход можно использовать для решения одной из важных задач гамильтоновой механики – поиска полных семейств функций в биинволюции, т. е. максимальных наборов функций, коммутирующих относительно обеих скобок Пуассона. Многочлены $\varphi_1,\dots,\varphi_s$ задают полное семейство функций в биинволюции относительно $\{\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\}_a$ и $\{\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\}$ тогда и только тогда, когда их дифференциалы $d\varphi_1,\dots,d\varphi_s$ составляют базис билагранжева подпространства (т. е. максимального подпространства, изотропного относительно обеих билинейных форм). Таким образом, чтобы получить полное семейство функций в биинволюции, достаточно найти базис билагранжева подпространства и “проинтегрировать по $x$”. Если найден базис (назовем его каноническим), в котором матрицы обеих форм $f_a$ и $f_x$ одновременно приводятся к каноническому виду Жордана–Кронекера (с блоками двух типов: жордановыми и кронекеровыми, см. [1]), то базис билагранжева подпространства составляют вторые половины базисов каждого блока.

Вторые (“бóльшие”) половины базисов кронекеровых блоков порождают подпространство $L$ – пересечение всех билагранжевых подпространств для форм $f_a$, $f_x$. В [4] для алгебр Ли $\mathfrak{gl}_n$ и $\mathfrak{sp}_{2n} $ уже были построены некоторый базис подпространства $L$ и соответствующие функции в биинволюции. В [3] для алгебры Ли $\mathfrak{gl}_n$ были построены кронекерова часть канонического базиса и соответствующая часть полной системы функций в биинволюции. Введем обозначения и сформулируем результат.

Пусть $\{\lambda_1,\dots,\lambda_s\}$ – различные собственные значения матрицы $A\in \mathfrak{gl}_n$ и собственному значению $\lambda_k$ соответствуют жордановы клетки порядков $n_{k,1}\geqslant \cdots \geqslant{} n_{k,i_k}$. Положим $l_i=\sum_{j=1}^s {n_{j,i}}$. Пусть $\{\mu_0,\dots,\mu_{n-1}\}$ – собственные числа матрицы $A$, упорядоченные согласно [3]: сначала последовательно идут собственные числа в клетках размеров $n_{1,1},n_{2,1},\dots$, затем – в клетках размеров $n_{1,2},n_{2,2},\dots$ и т. д. Наконец, определим многочлены $h_{n},\dots,h_0\in \mathbb{K}[t][z]$ и $r_{n-1},\dots,r_0\in \mathbb{K}[t]$ с помощью формул

В настоящей работе мы докажем аналогичное утверждение для алгебры Ли $\mathfrak{sp}_{2n}$.

Доказательство. Для произвольной матрицы $A\in\mathfrak{sp}_{2n}$ определим числа $l_1,l_2,\dots$, как было описано выше, и построим диаграмму Юнга $\Lambda$ со строками длин $l_1,l_2,\dots$ и столбцами высот $l_1^*,l_2^*,\dots$ . Пронумеруем клетки диаграммы $\Lambda$ числами от $0$ до ${2n-1}$ слева направо и сверху вниз. Клетки с нечетными номерами будем называть отмеченными, их множество обозначим через $M$. Через $p_i$ обозначим номер строки, в которой находится клетка с номером $i$ (строка с номером $0$ – верхняя, самая длинная).

Следуя [3], рассмотрим подмодуль $Z=\operatorname{Ker}(f_x-t\cdot f_a)$ модуля $\mathfrak{sp}_{2n}[t]=\mathfrak{sp}_{2n} \otimes \mathbb{K}[t]$ над кольцом $\mathbb{K}[t]$ и докажем, что $h_i(X-tA)$ ($i=1,3,\dots,2n-1$) составляют его минимальный (по совокупности степеней) базис. Тогда теорема 2 будет следовать из теоремы Кронекера. Известно [3], что дифференциалы базисных инвариантов порождают $Z$, т. е. $Z=\langle (X-tA)^i,\, i=1,3,\dots,2n-1\rangle_{\mathbb{K}[t]}$, а значит, элементы $h_i(X-tA)$ ($i=1,3,\dots,2n-1$) тоже составляют базис $Z$, так как многочлены $h_i(y)$ являются приведенными степени $i$. В [3] было доказано, что $\deg_t h_i(X-tA)\leqslant m_i$, где $m_i=i-p_i$, и что для доказательства минимальности базиса достаточно проверить, что $2\sum \deg_t h_i(X-tA) \leqslant \operatorname{rk} f_A$, где форма $f_A$ рассматривается как форма на $\mathfrak{sp}_{2n}$. При отождествлении $\mathfrak{sp}_{2n}\simeq \mathfrak{sp}_{2n}^*$ форме $f_A$ соответствует оператор $\operatorname{ad}(A)$, поэтому $\operatorname{cork}f_A=\dim\mathfrak{z}(A)$. Известно [2], что $2\dim\mathfrak{z}(A)=\sum(l_i^*)^2+n_{\rm odd}$, где $n_{\rm odd}$ – количество строк нечетной длины в диаграмме $\Lambda$. Таким образом, осталось проверить, что $2(m_1+m_3+\cdots+m_{2n-1})=2n^2+n-(\sum (l_i^*)^2+n_{\rm odd})/2$.

Покроем диаграмму $\Lambda$ плитками домино следующим способом: каждую строку покроем плитками слева направо. Непокрытыми останутся самые правые клетки в строках нечетной длины. Хорошо известно, что для любой матрицы $A\in \mathfrak{sp}_{2n}$ ее ненулевые собственные значения разбиваются на пары противоположных $\{\lambda,-\lambda\}$ с одинаковой блочной структурой, а на блоки с собственным значением $\lambda=0$ налагается дополнительное условие: количество блоков каждого нечетного размера четно. Значит, количество строк каждой нечетной длины четно, и непокрытые клетки можно покрыть вертикальными плитками. Несложно заметить, что каждая плитка покрывает ровно одну отмеченную клетку, причем в вертикальных плитках отмечена именно нижняя клетка. Отсюда следует, что $2\sum_{i\in M}p_i=\sum_{i\in \Lambda}p_i+n_{\rm odd}/2$. Далее, вычисляя сумму по столбцам, получаем, что $2(m_1+m_3+\cdots+m_{2n-1})$ равно

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, 2\sum_{i\in M}(i-p_i)&=2n^2-\sum_{i\in \Lambda} p_i- \frac{n_{\rm odd}}{2}=2n^2-\sum_j \frac{l_j^*(l_j^*-1)}{2}- \frac{n_{\rm odd}}{2} \\ &=2n^2-\frac{1}{2}\sum_j(l_j^*)^2+n- \frac{n_{\rm odd}}{2}\,. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Gar22}

\by А.~А.~Гаража

\paper О~каноническом базисе пары согласованных скобок Пуассона на симплектической алгебре Ли

\jour УМН

\yr 2022

\vol 77

\issue 2(464)

\pages 199--200

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10035}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10035}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461374}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:7552952}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..375G}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2022

\vol 77

\issue 2

\pages 375--377

\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10035}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000819149400001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85134516539}

Список литературы