Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 1(463), страницы 189–190 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10034 (Mi rm10034)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10034

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований	17-01-00705
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 17-01-00705).

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages 180–182
DOI: https://doi.org/10.1070/RM10034

Реферативные базы данных:

Ниже $\mathscr F$, $\mathscr G$, $\mathscr K$, $\mathscr Z$ – классы соответственно замкнутых, открытых, компактных и нуль-множеств (непрерывных прообразов $0\in[0,1]\subseteq\mathbb R$); $\mathscr S$ – произвольный класс. Классы понимаются как операторы: $\mathscr F(X)$ состоит из замкнутых множеств в $X$ и т. д.; $\mathscr S(X)=\mathscr S\cap\mathscr P(X)$. Пусть $\mathscr S(Y)\upharpoonright X=\{S\cap X\colon S\in\mathscr S(Y)\}$; для $F\colon X\to Y$ пусть $FA$ и $F^{-1}A$ – образ и прообраз $A$. $\mathbf{\Phi}$ – $\omega$-местная хаусдорфова (или $\delta s$-) операция, если найдется такое $S\subseteq \omega^\omega$ (её база), что $\boldsymbol\Phi(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}= \bigcup_{f\in S}\bigcap_{n\in\omega}A_{f\upharpoonright n}$ для всех $A_s$, $s\in \omega^{<\omega}$ ([6], [5], [1]; об операции с базой $\kappa^\omega$ см. [9], [8]). Например, если $S=\omega^\omega$, то $\boldsymbol\Phi$ есть A-операция. $\boldsymbol\Phi$-множество – множество, полученное операцией $\boldsymbol\Phi$; $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)$ – класс $\boldsymbol\Phi$-множеств, порождённых $\mathscr S(X)$; $\boldsymbol\Phi(\mathscr S)$ – объединение $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)$ по всем $X$.

Борелевская иерархия, порождённая $\mathscr S(X)$, задаётся чередованием счётных объединений и дополнений; $\mathbf\Sigma^{0}_{\alpha}(\mathscr S,X)$ и $\mathbf\Pi^{0}_{\alpha}(\mathscr S,X)$ – её $\alpha$-е аддитивный и мультипликативный классы. Например, $\mathbf\Sigma^{0}_{2}(\mathscr F,X)$ есть $\mathscr F_\sigma(X)$, а $\mathbf\Pi^{0}_{2}(\mathscr F,X)$ есть $\mathscr G_\delta(X)$. Индукцией по $\alpha$ получаем, что каждый борелевский класс имеет вид $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)$ для некоторой $\boldsymbol\Phi$. Проективная иерархия, порождённая $\mathscr S(X)$, для польских $X$ задаётся чередованием проекций подмножеств $X\times\omega^\omega$ на $X$ и дополнений; $\mathbf\Sigma^{1}_{n}(\mathscr S,X)$ и $\mathbf\Pi^{1}_{n}(\mathscr S,X)$ – её $n$-е аддитивный и мультипликативный классы. Например, $\mathbf\Sigma^{1}_{1}(\mathscr F,\mathbb R)$ и $\mathbf\Pi^{1}_{1}(\mathscr F,\mathbb R)$ состоят из A- и CA-подмножеств $\mathbb R$. По основной теореме о проекциях [6; I, с. 264], если $X$ польское, то класс проекций множеств из $\boldsymbol\Phi(\mathscr F,X\times\omega^\omega)$ на $X$ имеет вид $\boldsymbol\Psi(\mathscr F,X)$ для $\boldsymbol\Psi$ с базой из $\boldsymbol\Phi(\mathscr F_\sigma,\omega^\omega)$; индукцией по $n$ получаем, что каждый проективный класс имеет вид $\boldsymbol\Phi(\mathscr F,X)$ для некоторой $\boldsymbol\Phi$. Для произвольных $X$ определим проективные классы как $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)$ для такой $\boldsymbol\Phi$, что соответствующий проективный класс в $\mathbb R$ есть $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,\mathbb R)$; аналогично можно определить $\sigma$-проективные классы (см. [2], [7]).

$\mathscr S(X)$ обладает свойством редукции, если для любых $A,B\in\mathscr S(X)$ найдутся такие $C,D\in\mathscr S(X)$, что $C\subseteq A$, $D\subseteq B$, $C\cap D=\varnothing$ и $C\cup D=A\cup B$; отделимости, если для любых $A,B\in\mathscr S(X)$, $A\cap B=\varnothing$, найдётся такое $C\in\mathscr S(X)\cap \{X\setminus S\colon S\in\mathscr S(X)\}$, что $A\subseteq C$ и $B\cap C=\varnothing$. Редукция в $\mathscr S(X)$ влечёт отделимость в двойственном классе $\{X\setminus S\colon S\in\mathscr S(X)\}$. Классы $\mathbf\Sigma^{0}_\alpha(\mathscr F,\mathbb R)$, $\alpha>1$, $\mathbf\Pi^{1}_1(\mathscr F,\mathbb R)$, $\mathbf\Sigma^{1}_2(\mathscr F,\mathbb R)$ обладают более сильным, чем редукция, свойством полного предупорядочивания (не определяемого здесь); $V=L$ влечёт редукцию в $\mathbf\Sigma^{1}_2(\mathscr F,\mathbb R)$ для всех $n\geqslant2$, а $\operatorname{PD}$ (аксиома проективной детерминированности) – полное предупорядочивание в $\mathbf\Sigma^{1}_{2n}(\mathscr F,\mathbb R)$ и $\mathbf\Pi^{1}_{2n+1}(\mathscr F,\mathbb R)$ (факт, известный как первая теорема о периодичности) и, значит, редукцию в них [7], [9], [4], [8]. Редукция (отделимость) в $\mathscr S(Y)$ влечёт то же свойство в $\mathscr S(Y)\upharpoonright X$; $\boldsymbol\Phi(\mathscr S(Y)\upharpoonright X)= \boldsymbol\Phi(\mathscr S,Y)\upharpoonright X$ для всех $\boldsymbol\Phi$; отсюда выводится

Например, $\mathscr S(X)=\mathscr S(Y)\upharpoonright X$ верно при $\mathscr S=\mathscr F$, $\mathscr G$, а для тихоновских $X$, $Y$ и при $\mathscr S=\mathscr Z$ (лемма 4). Пусть $F\colon X\to Y$; $F$ сохраняет $\mathscr S$, если $A\in\mathscr S(X)$ влечёт $FA\in\mathscr S(Y)$; $F^{-1}$ сохраняет $\mathscr S$, если $B\in\mathscr S(Y)$ влечёт $F^{-1}B\in\mathscr S(X)$. Например, $F$ замкнуто, если $F$ сохраняет $\mathscr F$; непрерывно, если $F^{-1}$ сохраняет $\mathscr F$ (или $\mathscr G$); компактно, если $F^{-1}$ сохраняет $\mathscr K$; совершенно, если оно замкнуто, непрерывно и компактно. Так как $F^{-1}\boldsymbol\Phi(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}= \boldsymbol\Phi(F^{-1}A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ для всех $\boldsymbol\Phi$, $F$, $(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$, имеет место

Например, если $F$ непрерывно, то $F^{-1}$ сохраняет $\boldsymbol\Phi(\mathscr F)$, $\boldsymbol\Phi(\mathscr G)$, $\boldsymbol\Phi(\mathscr Z)$; если $F$ компактно, то $F^{-1}$ сохраняет $\boldsymbol\Phi(\mathscr K)$. Для $F\colon X\to Y$ определим его ядро $\ker F=\{F^{-1}\{y\}\colon y\in Y\}$ и алгебру прообразов $\operatorname{alg} F=\{F^{-1}B\colon B\subseteq Y\}$. Очевидно, что $\operatorname{alg} F=\{A\subseteq X\colon F^{-1}FA=A\}$ замкнута относительно всех $\boldsymbol\Phi$. Применяя диагональное произведение отображений, показывающих, что $A_s$ – нуль-множества, получаем следующее

Для $(I,\leqslant)$ семейство $(A_i)_{i\in I}$ убывающее, если $A_i\supseteq A_j$ при всех $i\leqslant j$. Отображение $F\colon X\to Y$ замкнутократно, если $\ker F\subseteq\mathscr{F}(X)$. Доказывается, что для таких $F$ верно $F\bigcap_{i\in I}A_i=\bigcap_{i\in I}FA_i$ для направленных $(I,\leqslant)$ и убывающих $(A_i)_{i\in I}$ в $(\mathscr F\cap\mathscr K)(X)$, и тогда $F\boldsymbol\Phi(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}= \boldsymbol\Phi(FA_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ для убывающих $(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ в $(\mathscr F\cap\mathscr K)(X)$ и всех $\boldsymbol\Phi$, откуда выводится

Например, пусть $X$, $Y$ хаусдорфовы, $F\colon X\to Y$ непрерывно; если $X$ компактно, то $F$ сохраняет $\boldsymbol\Phi(\mathscr F)$; а если и $Y$ совершенно нормально, то $F$ сохраняет и $\boldsymbol\Phi(\mathscr Z)$. Леммы 2 и 3 позволяют перенести редукцию (отделимость) в сторону прообраза.

Для $\mathscr Z(X)\subseteq\mathscr Z(Y)\upharpoonright X$ заметим, что все $F\colon X\to[0,1]$ непрерывно продолжаются на чех-стоуновскую компактификацию и затем на $[0,1]^\kappa$ с подходящим $\kappa$ (см. [3]). Сформулируем основной результат заметки.

По лемме 4 достаточно рассмотреть $X=[0,1]^\kappa$; используя предложение 1, проверяем условия предложения 2 при $\mathscr S=\mathscr Z$ и $Y=[0,1]^\omega$, общем для всех $(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ в $\mathscr Z([0,1]^\kappa)$.

При $\sigma$-$\operatorname{PD}$ следствие 1 верно и для $\sigma$-проективных классов, порождённых $\mathscr Z(X)$.

Список литературы
1.	М. М. Чобан, Общая топология – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. напр., 51, ВИНИТИ, М., 1989, 173–237
2.	C. A. di Prisco, W. Marek, Z. Math. Logik Grundlagen Math., 28:33-38 (1982), 525–538
3.	Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986, 752 с.
4.	A. Kanamori, The higher infinite. Large cardinals in set theory from their beginnings, Springer-Verlag, Berlin, 1994, xxiv+536 pp.
5.	В. Г. Кановей, УМН, 43:6(264) (1988), 93–128
6.	L. Kantorovitch, E. Livenson, I, Fund. Math., 18 (1932), 214–279    ; II, 20 (1933), 54–97
7.	A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Springer-Verlag, New York, 1995, xviii+402 pp.
8.	A. S. Kechris, B. Löwe, J. R. Steel (eds.), Games, scales, and Suslin cardinals. The Cabal seminar, v. I, Lect. Notes Log., 31, Association for Symbolic Logic, Chicago, IL; Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2008, xii+445 pp.
9.	Y. N. Moschovakis, Descriptive set theory, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, xiv+502 pp.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Sav22}
\by Д.~И.~Савельев
\paper О~редукции и отделимости проективных множеств в~тихоновских пространствах
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 1(463)
\pages 189--190
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10034}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10034}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582591}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1487.54052}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..180S}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 1
\pages 180--182
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10034}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000790535000001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85130493970}