Д. И. Савельев, “О редукции и отделимости проективных множеств в тихоновских пространствах”, УМН, 77:1(463) (2022), 189–190; Russian Math. Surveys, 77:1 (2022), 180

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований	17-01-00705
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 17-01-00705).

Поступила в редакцию: 24.09.2021

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages 180–182
DOI: https://doi.org/10.1070/RM10034

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 54H05

Ниже $\mathscr F$, $\mathscr G$, $\mathscr K$, $\mathscr Z$ – классы соответственно замкнутых, открытых, компактных и нуль-множеств (непрерывных прообразов $0\in[0,1]\subseteq\mathbb R$); $\mathscr S$ – произвольный класс. Классы понимаются как операторы: $\mathscr F(X)$ состоит из замкнутых множеств в $X$ и т. д.; $\mathscr S(X)=\mathscr S\cap\mathscr P(X)$. Пусть $\mathscr S(Y)\upharpoonright X=\{S\cap X\colon S\in\mathscr S(Y)\}$; для $F\colon X\to Y$ пусть $FA$ и $F^{-1}A$ – образ и прообраз $A$. $\mathbf{\Phi}$ – $\omega$-местная хаусдорфова (или $\delta s$-) операция, если найдется такое $S\subseteq \omega^\omega$ (её база), что $\boldsymbol\Phi(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}= \bigcup_{f\in S}\bigcap_{n\in\omega}A_{f\upharpoonright n}$ для всех $A_s$, $s\in \omega^{<\omega}$ ([6], [5], [1]; об операции с базой $\kappa^\omega$ см. [9], [8]). Например, если $S=\omega^\omega$, то $\boldsymbol\Phi$ есть A-операция. $\boldsymbol\Phi$-множество – множество, полученное операцией $\boldsymbol\Phi$; $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)$ – класс $\boldsymbol\Phi$-множеств, порождённых $\mathscr S(X)$; $\boldsymbol\Phi(\mathscr S)$ – объединение $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)$ по всем $X$.

Борелевская иерархия, порождённая $\mathscr S(X)$, задаётся чередованием счётных объединений и дополнений; $\mathbf\Sigma^{0}_{\alpha}(\mathscr S,X)$ и $\mathbf\Pi^{0}_{\alpha}(\mathscr S,X)$ – её $\alpha$-е аддитивный и мультипликативный классы. Например, $\mathbf\Sigma^{0}_{2}(\mathscr F,X)$ есть $\mathscr F_\sigma(X)$, а $\mathbf\Pi^{0}_{2}(\mathscr F,X)$ есть $\mathscr G_\delta(X)$. Индукцией по $\alpha$ получаем, что каждый борелевский класс имеет вид $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)$ для некоторой $\boldsymbol\Phi$. Проективная иерархия, порождённая $\mathscr S(X)$, для польских $X$ задаётся чередованием проекций подмножеств $X\times\omega^\omega$ на $X$ и дополнений; $\mathbf\Sigma^{1}_{n}(\mathscr S,X)$ и $\mathbf\Pi^{1}_{n}(\mathscr S,X)$ – её $n$-е аддитивный и мультипликативный классы. Например, $\mathbf\Sigma^{1}_{1}(\mathscr F,\mathbb R)$ и $\mathbf\Pi^{1}_{1}(\mathscr F,\mathbb R)$ состоят из A- и CA-подмножеств $\mathbb R$. По основной теореме о проекциях [6; I, с. 264], если $X$ польское, то класс проекций множеств из $\boldsymbol\Phi(\mathscr F,X\times\omega^\omega)$ на $X$ имеет вид $\boldsymbol\Psi(\mathscr F,X)$ для $\boldsymbol\Psi$ с базой из $\boldsymbol\Phi(\mathscr F_\sigma,\omega^\omega)$; индукцией по $n$ получаем, что каждый проективный класс имеет вид $\boldsymbol\Phi(\mathscr F,X)$ для некоторой $\boldsymbol\Phi$. Для произвольных $X$ определим проективные классы как $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)$ для такой $\boldsymbol\Phi$, что соответствующий проективный класс в $\mathbb R$ есть $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,\mathbb R)$; аналогично можно определить $\sigma$-проективные классы (см. [2], [7]).

$\mathscr S(X)$ обладает свойством редукции, если для любых $A,B\in\mathscr S(X)$ найдутся такие $C,D\in\mathscr S(X)$, что $C\subseteq A$, $D\subseteq B$, $C\cap D=\varnothing$ и $C\cup D=A\cup B$; отделимости, если для любых $A,B\in\mathscr S(X)$, $A\cap B=\varnothing$, найдётся такое $C\in\mathscr S(X)\cap \{X\setminus S\colon S\in\mathscr S(X)\}$, что $A\subseteq C$ и $B\cap C=\varnothing$. Редукция в $\mathscr S(X)$ влечёт отделимость в двойственном классе $\{X\setminus S\colon S\in\mathscr S(X)\}$. Классы $\mathbf\Sigma^{0}_\alpha(\mathscr F,\mathbb R)$, $\alpha>1$, $\mathbf\Pi^{1}_1(\mathscr F,\mathbb R)$, $\mathbf\Sigma^{1}_2(\mathscr F,\mathbb R)$ обладают более сильным, чем редукция, свойством полного предупорядочивания (не определяемого здесь); $V=L$ влечёт редукцию в $\mathbf\Sigma^{1}_2(\mathscr F,\mathbb R)$ для всех $n\geqslant2$, а $\operatorname{PD}$ (аксиома проективной детерминированности) – полное предупорядочивание в $\mathbf\Sigma^{1}_{2n}(\mathscr F,\mathbb R)$ и $\mathbf\Pi^{1}_{2n+1}(\mathscr F,\mathbb R)$ (факт, известный как первая теорема о периодичности) и, значит, редукцию в них [7], [9], [4], [8]. Редукция (отделимость) в $\mathscr S(Y)$ влечёт то же свойство в $\mathscr S(Y)\upharpoonright X$; $\boldsymbol\Phi(\mathscr S(Y)\upharpoonright X)= \boldsymbol\Phi(\mathscr S,Y)\upharpoonright X$ для всех $\boldsymbol\Phi$; отсюда выводится

Лемма 1. Пусть $X\subseteq Y$ и $\mathscr S(X)=\mathscr S(Y)\upharpoonright X$. Тогда $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)=\boldsymbol\Phi(\mathscr S,Y)\upharpoonright X$ и редукция (отделимость) в $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,Y)$ влечёт то же свойство в $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)$.

Например, $\mathscr S(X)=\mathscr S(Y)\upharpoonright X$ верно при $\mathscr S=\mathscr F$, $\mathscr G$, а для тихоновских $X$, $Y$ и при $\mathscr S=\mathscr Z$ (лемма 4). Пусть $F\colon X\to Y$; $F$ сохраняет $\mathscr S$, если $A\in\mathscr S(X)$ влечёт $FA\in\mathscr S(Y)$; $F^{-1}$ сохраняет $\mathscr S$, если $B\in\mathscr S(Y)$ влечёт $F^{-1}B\in\mathscr S(X)$. Например, $F$ замкнуто, если $F$ сохраняет $\mathscr F$; непрерывно, если $F^{-1}$ сохраняет $\mathscr F$ (или $\mathscr G$); компактно, если $F^{-1}$ сохраняет $\mathscr K$; совершенно, если оно замкнуто, непрерывно и компактно. Так как $F^{-1}\boldsymbol\Phi(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}= \boldsymbol\Phi(F^{-1}A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ для всех $\boldsymbol\Phi$, $F$, $(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$, имеет место

Например, если $F$ непрерывно, то $F^{-1}$ сохраняет $\boldsymbol\Phi(\mathscr F)$, $\boldsymbol\Phi(\mathscr G)$, $\boldsymbol\Phi(\mathscr Z)$; если $F$ компактно, то $F^{-1}$ сохраняет $\boldsymbol\Phi(\mathscr K)$. Для $F\colon X\to Y$ определим его ядро $\ker F=\{F^{-1}\{y\}\colon y\in Y\}$ и алгебру прообразов $\operatorname{alg} F=\{F^{-1}B\colon B\subseteq Y\}$. Очевидно, что $\operatorname{alg} F=\{A\subseteq X\colon F^{-1}FA=A\}$ замкнута относительно всех $\boldsymbol\Phi$. Применяя диагональное произведение отображений, показывающих, что $A_s$ – нуль-множества, получаем следующее

Предложение 1. Для любого $(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ из $\mathscr Z(X)$ найдётся такое непрерывное $F\colon X\to[0,1]^\omega$, что $A_s\in\operatorname{alg}F$ для всех $s\in\omega^{<\omega}$ и, значит, $\boldsymbol\Phi(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}\in\operatorname{alg} F$.

Для $(I,\leqslant)$ семейство $(A_i)_{i\in I}$ убывающее, если $A_i\supseteq A_j$ при всех $i\leqslant j$. Отображение $F\colon X\to Y$ замкнутократно, если $\ker F\subseteq\mathscr{F}(X)$. Доказывается, что для таких $F$ верно $F\bigcap_{i\in I}A_i=\bigcap_{i\in I}FA_i$ для направленных $(I,\leqslant)$ и убывающих $(A_i)_{i\in I}$ в $(\mathscr F\cap\mathscr K)(X)$, и тогда $F\boldsymbol\Phi(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}= \boldsymbol\Phi(FA_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ для убывающих $(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ в $(\mathscr F\cap\mathscr K)(X)$ и всех $\boldsymbol\Phi$, откуда выводится

Лемма 3. Если $\mathscr S(X)\subseteq(\mathscr F\cap\mathscr K)(X)$ замкнуто относительно конечных пересечений, а $F\colon X\to Y$ замкнутократно и сохраняет $\mathscr S$, то $F$ сохраняет $\boldsymbol\Phi(\mathscr S)$.

Например, пусть $X$, $Y$ хаусдорфовы, $F\colon X\to Y$ непрерывно; если $X$ компактно, то $F$ сохраняет $\boldsymbol\Phi(\mathscr F)$; а если и $Y$ совершенно нормально, то $F$ сохраняет и $\boldsymbol\Phi(\mathscr Z)$. Леммы 2 и 3 позволяют перенести редукцию (отделимость) в сторону прообраза.

Предложение 2. Пусть $\mathscr S(X)\subseteq(\mathscr F\cap\mathscr K)(X)$ замкнуто относительно конечных пересечений и для любого $(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ в $\mathscr S(X)$ найдутся такие $Y$ и замкнутократное $F\colon X\to Y$, что $F$ и $F^{-1}$ сохраняют $\mathscr S$, $(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ лежит в $\operatorname{alg} F$ и $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,Y)$ обладает редукцией (отделимостью). Тогда $\boldsymbol\Phi(\mathscr S,X)$ обладает тем же свойством.

Лемма 4. Если $X\subseteq Y$ тихоновские, то $\boldsymbol\Phi(\mathscr Z,X)=\boldsymbol\Phi(\mathscr Z,Y)\upharpoonright X$ и редукция (отделимость) в $\boldsymbol\Phi(\mathscr Z,Y)$ влечёт то же свойство в $\boldsymbol\Phi(\mathscr Z,X)$.

Для $\mathscr Z(X)\subseteq\mathscr Z(Y)\upharpoonright X$ заметим, что все $F\colon X\to[0,1]$ непрерывно продолжаются на чех-стоуновскую компактификацию

и затем на $[0,1]^\kappa$ с подходящим $\kappa$ (см. [3]). Сформулируем основной результат заметки.

Теорема 1. Пусть $X$ – тихоновское пространство и $\boldsymbol\Phi$ – хаусдорфова операция. Если $\boldsymbol\Phi(\mathscr F,\mathbb R)$ обладает свойством редукции (отделимости), то $\boldsymbol\Phi(\mathscr Z,X)$ обладает тем же свойством.

По лемме 4 достаточно рассмотреть $X=[0,1]^\kappa$; используя предложение 1, проверяем условия предложения 2 при $\mathscr S=\mathscr Z$ и $Y=[0,1]^\omega$, общем для всех $(A_s)_{s\in\omega^{<\omega}}$ в $\mathscr Z([0,1]^\kappa)$.

Следствие 1. В тихоновском $X$ для всех $\alpha<\omega_1$, $\alpha>1$, классы $\mathbf\Sigma^{0}_{\alpha}(\mathscr Z,X)$, $\mathbf\Pi^{1}_{1}(\mathscr Z,X)$, $\mathbf\Sigma^{1}_{2}(\mathscr Z,X)$ обладают свойством редукции; при $\operatorname{PD}$ для всех $n<\omega$, $n>0$ классы $\mathbf\Sigma^{1}_{2n}(\mathscr Z,X)$, $\mathbf\Pi^{1}_{2n+1}(\mathscr Z,X)$ обладают свойством редукции.

При $\sigma$-$\operatorname{PD}$ следствие 1 верно и для $\sigma$-проективных классов, порождённых $\mathscr Z(X)$.

Образец цитирования: Д. И. Савельев, “О редукции и отделимости проективных множеств в тихоновских пространствах”, УМН, 77:1(463) (2022), 189–190; Russian Math. Surveys, 77:1 (2022), 180–182

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Sav22}

\by Д.~И.~Савельев

\paper О~редукции и отделимости проективных множеств в~тихоновских пространствах

\jour УМН

\yr 2022

\vol 77

\issue 1(463)

\pages 189--190

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10034}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10034}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582591}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1487.54052}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..180S}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2022

\vol 77

\issue 1

\pages 180--182

\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10034}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000790535000001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85130493970}

Список литературы