| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) О структурах неклассических разрывов в решениях гиперболических систем уравнений А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10033 
Реферативные базы данных:
     ВведениеРабота посвящена изучению структуры разрывов в решениях гиперболических систем уравнений, описывающих нелинейные волны малой амплитуды в упругих стержнях, когда имеется сильное взаимодействие продольных и крутильных движений. Во многих работах эти движения рассматривались независимо [1]–[7], а при некоторых предположениях рассматривалось их взаимодействие [8]. В работе [9] была выписана гиперболическая система уравнений, выражающая законы сохранения продольного импульса и момента импульса, и рассмотрены простые волны и образование разрывов. В [10], [11] были исследованы возможные разрывы в решениях этих уравнений на основе соотношений, обеспечивающих выполнение упомянутых законов сохранения. Была исследована ударная адиабата и неравенства между скоростью разрыва и скоростями малых возмущений по обе стороны разрыва. Как известно, наряду с разрывами типа ударных волн, на которых соотношения, следующие из законов сохранения, обеспечивают их эволюционность [12], [13], могут существовать эволюционные разрывы, которые будем называть особыми [14]. На особых разрывах выполняются соотношения, следующие из законов сохранения, а также некоторые соотношения, называемые дополнительными. В [15]–[17] такие разрывы названы “nonclassical”, в [18]–[22] для таких разрывов используется название “undercompressive”. При теоретическом изучении дополнительные соотношения могут быть получены как условия существования устойчивой структуры разрыва. Действительно, в [23] при весьма общих предположениях показано, что если может существовать структура разрыва в виде бегущей волны, то число соотношений на разрыве, получаемых как условие существования структуры, оказывается ровно таким, какое требуется условиями эволюционности. Эти соотношения включают в себя законы сохранения на разрыве, а также дополнительные соотношения, если они требуются условиями эволюционности (дополнительные соотношения при этом зависят от модели, принятой при описании структуры). В [24] этот результат перенесен на разрывы со структурой, периодически зависящей от времени и от пространственных переменных в плоскости фронта. Наиболее известным особым разрывом является фронт медленного горения в газе (см., например, [25]). Дополнительным соотношением, которое может быть найдено как условие существования структуры фронта, является задание скорости его распространения. Скорость фронта горения зависит от теплопроводности, скорости химических реакций, диффузии, т. е. от мелкомасштабных процессов, не учитываемых базовыми уравнениями газовой динамики. Фронты, подобные медленному горению, рассматривались также при изучении других физических процессов. В том числе рассматривались фронты ионизации в газе, поддерживаемые электромагнитным притоком энергии [26], фронты химических и фазовых превращений в твердых телах [27]–[29] и др. Еще один круг задач связан с особыми разрывами, когда число законов сохранения меньше порядка гиперболической системы уравнений, как это имеет место в теории пластичности [30]–[36]. Существуют особые разрывы, возникающие не в силу описанных превращений, а просто согласно гиперболической модели, снабженной мелкомасштабными процессами. Особые разрывы подобного типа рассматривались в [14]–[16], [18]–[20], [22], [29], [37]–[39]. В этих моделях в структуре разрывов наряду с диссипацией важную роль играли дисперсионные эффекты, приводящие к колебательной структуре разрыва. Отметим серию работ [14], [37], [40], в которых изучается структура разрывов в решениях уравнения типа Хопфа со сложной нелинейностью. В этих работах структура разрывов изучалась путем добавления в исходное обобщенное уравнение Хопфа членов c производной второго и третьего порядка. Полученное уравнение может описывать продольные волны в нелинейно упругих стержнях при наличии мелкомасштабных дисперсионных и диссипативных процессов. Найдены многочисленные решения в виде бегущих волн неизменной формы, которые можно рассматривать как структуру разрывов упомянутого обобщенного уравнения Хопфа. В работе [40] численно решалась задача Коши для упомянутого уравнения с начальными данными в виде различным образом сглаженного произвольного начального разрыва. Были найдены асимптотики решений при $t\to\infty$. Выяснено, что в некоторой области изменения начальных параметров задачи асимптотики решений содержат структуру особого разрыва в виде бегущей волны. Кроме того, показано, что в других случаях асимптотика решений может содержать волну, которая в связанной с ней равномерно движущейся системе координат испытывает периодические внутренние колебания. Если описать такую волну с внутренними колебаниями некоторым числом параметров, включающих параметры, характеризующие внутренние колебания, то для всей совокупности этих параметров решение будет иметь вид бегущей волны. Многие структуры, представляющие бегущие волны, оказались неустойчивыми [22], [38], [39], [41]–[44]. В связи с этим понятие допустимых разрывов, введенное для разрывов со стационарной структурой [45], было предложено расширить и считать допустимыми разрывы с устойчивой стационарной или нестационарной периодической или даже хаотической структурой [43], [44]. Отметим также, что в некоторых случаях число дополнительных соотношений на разрывах, получаемых из рассмотрения их структуры, может оказаться больше единицы, причем это число зависит от скорости движения разрыва [46], [47]. В этих работах рассматриваются фронты фазовых превращений. В [46] рассмотрен фронт превращения неэлектропроводного газа, находящегося в магнитном поле, в электропроводный, а в [47] – фронт превращения среды без касательных напряжений в упругую среду. Как видно из приведенного выше обзора, ранее особые разрывы изучались главным образом в двух случаях – в явлениях, связанных с фазовыми превращениями, и в случаях, когда уравнения, описывающие структуру, содержат дисперсионные члены. В данной работе рассматривается задача о структуре разрывов, возникающих при крупномасштабном описании продольно-крутильных волн в стержне. Эти волны описываются гиперболической системой уравнений достаточно стандартного вида. При рассмотрении структуры считается, что главный механизм, формирующий структуру, представляется вязкостью. Таким образом, в постановке задачи о структуре отсутствуют и фазовые превращения, и дисперсионные эффекты. В упомянутых работах [10], [11] при изучении разрывов в решениях, описывающих нелинейные продольно-крутильные волны в стержнях, были обнаружены необычные особенности строения ударных адиабат. Была обнаружена ветвь ударной адиабаты, которая не содержит начальную точку. Отмечена ситуация, когда по одному и тому же состоянию с одной и той же скоростью могут распространяться три различных типа быстрых ударных волн, состояния за которыми соответствуют различным ветвям ударной адиабаты. Это явилось одной из причин предлагаемого исследования задачи о структуре разрывов в рамках модели из [10], [11], поскольку требование существования структуры может служить основанием для отбраковывания некоторых типов разрывов, что в ряде случаев позволяет избавиться от неединственности решений задач [48]–[50]. Еще одна побудительная причина изучения структуры разрывов – это нахождение условий существования особых разрывов. Как уже было сказано, в отличие от ударных волн, соотношения на которых следуют из законов сохранения, описываемых исходной системой гиперболических уравнений, особые разрывы – это разрывы, дополнительные соотношения на которых связаны не только с гиперболической частью уравнений, но также с процессами, происходящими внутри структуры. Некоторые вопросы, касающиеся изучения структуры в рамках модели из [10], [11], были рассмотрены в [51]. 1. Модель средыДадим описание модели, которая использовалась для исследования в длинноволновом (гиперболическом) приближении взаимодействующих между собой продольных и крутильных волн малой амплитуды, распространяющихся в цилиндрических телах [9]–[11]. Нелинейность учитывалась в низших по амплитуде членах, и предполагалось, что единица лагранжевой длины стержня обладает упругой и кинетической энергиями, представимыми в виде
$$
\begin{equation}
\Phi(u_1,u_2) =C_1u_1^2+C_2u_2^2+C_3u_1^3+C_4u_1u_2^2, \qquad C_1,C_2,C_3,C_4=\operatorname{const},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{K}(v_1,v_2) =\frac{1}{2}M_1v_1^2+\frac{1}{2}\mathcal{I} v_2^2.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Здесь $u_1$, $u_2$ – величины, характеризующие деформации стержня, и $v_1$, $v_2$ – скорости, определяемые равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} u_1&=\frac{\partial w}{\partial x}\,, &\qquad u_2&=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,, \\ v_1&=\frac{\partial w}{\partial t}\,, &\qquad v_2&=\frac{\partial \varphi}{\partial t}\,, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v_i}{\partial x}=\frac{\partial u_i}{\partial t}\,, \qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$w(x,t)$, $\varphi(x,t)$ – перемещение вдоль оси стержня и поворот стержня (предполагается, что сечение, нормальное оси стержня, остается плоским или близким к плоскому), $x$ – лагранжева координата в направлении оси стержня. Для простоты будет предполагаться, что деформации являются малыми и можно считать, что
$$
\begin{equation}
M_1=\operatorname{const}, \qquad \mathcal{I}(u_1)=M_2=\operatorname{const}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Четность функции $\Phi$ по переменной $u_2$ означает, что стержень одинаковым образом сопротивляется закручиванию по или против часовой стрелки относительно его оси. Уравнения, описывающие распространение продольных и крутильных волн в стержне, могут быть представлены в следующем виде [9]–[11]:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}(M_i v_i)=\frac{\partial}{\partial x}\, \frac{\partial \Phi}{\partial u_i}\,, \qquad M_i=\operatorname{const}, \quad i=1,2.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Производные $\partial\Phi/\partial u_i$ представляют компоненты обобщенных сил. Введем новые переменные $M_1v_1$, $M_1u_1$, $M_2v_2$, $M_2u_2$ вместо переменных $v_1$, $u_1$, $v_2$, $u_2$, причем для новых переменных сохраним прежние обозначения. Уравнения (1.4), (1.6) не изменятся, но после преобразования переменных значения величин $M_1$ и $M_2$ становятся равными единице. Уравнения движения (1.6) в новых переменных примут вид
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v_i}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\, \frac{\partial F}{\partial u_i}\,, \qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
$$
\begin{equation}
F(u_1,u_2)=Au_1^2+Bu_2^2+Cu_1^3+Ru_1u_2^2, \qquad A,B,C,R=\operatorname{const}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Функция $F$ отличается от функции $\Phi$ только значениями коэффициентов. Считая, что стержень может иметь различное строение и может состоять из анизотропного материала, не будем как-либо конкретизировать коэффициенты в представлении его упругой энергии (1.8). Для того чтобы система уравнений (1.4), (1.7) и (1.8), описывающая распространение продольных и крутильных волн в стержне, была гиперболической при малых значениях $u_i$, потребуем выполнения неравенств $A>0$, $B>0$. Первое уравнение (1.7) ($i=1$) представляет закон сохранения продольного (в направлении оси $x$) импульса, второе уравнение (1.7) ($i=2$) – закон сохранения момента импульса вокруг оси $x$. Уравнения (1.4) задают связь между изменениями скоростей $v_i$ и изменениями деформаций $u_i$ ($i=1,2$). Система уравнений (1.4), (1.7) может также описывать волны сдвига в анизотропной несжимаемой упругой среде с упругим потенциалом вида (1.8) [52], [53]. Такая среда характеризуется симметрией свойств по отношению к переменной $u_2$. 2. Ударные волны. Условия эволюционностиСистеме уравнений (1.7), (1.4), выражающей законы сохранения, соответствуют соотношения на разрывах [54]–[56]
$$
\begin{equation}
W^2[u_i]=\biggl[\frac{\partial F}{\partial u_i}\biggr], \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь и далее квадратными скобками обозначается скачок величины, содержащейся в скобках: $[a]=a^+-a^-$, где $a^+$ и $a^-$ – значения этой величины за и перед разрывом соответственно. $W$ – лагранжева скорость разрыва. Далее предполагается, что $W>0$. При фиксированных значениях $u_1^-$, $u_2^-$ система уравнений (2.1) позволяет найти функции $u_1^+(W)$, $u_2^+(W)$, представляющие на плоскости $u_1$, $u_2$ кривую, называемую ударной адиабатой. Если в равенствах (2.1) исключить $W$, то получим уравнение ударной адиабаты в виде функции $u_2^+(u_1^+)$. Среди множества разрывов в решениях систем уравнений, выражающих законы сохранения, выделяют априорно эволюционные разрывы (ударные волны), т. е. разрывы, которые эволюционны в предположении, что все соотношения на разрывах следуют из законов сохранения, число которых равно порядку системы уравнений. Как известно [12], [13], условия эволюционности могут быть представлены как соотношения между скоростью ударной волны $W$ и скоростями малых возмущений. Эти соотношения в случае рассматриваемых здесь ударных волн выражаются в выполнении одной из двух систем неравенств [10]–[13], [55]–[57]
$$
\begin{equation}
W\geqslant c_2^-, \qquad c_1^+\leqslant W \leqslant c_2^+,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
c_1^-\leqslant W \leqslant c_2^-, \qquad W\leqslant c_1^+.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Здесь $c_1$ и $c_2$ – характеристические скорости соответственно медленных и быстрых характеристик ($c_2\geqslant c_1$) [9], совпадающие со скоростями бесконечно малых разрывов; $c_{1,2}^+$, $c_{1,2}^-$ – характеристические скорости по состоянию за и перед ударной волной соответственно. Неравенства (2.2) отвечают быстрым ударным волнам, неравенства (2.3) – медленным ударным волнам. Наряду с ударными волнами могут существовать особые разрывы, которые эволюционны только при наличии дополнительных соотношений. Соответственно, число уходящих от эволюционного особого разрыва характеристик должно быть на единицу больше, чем число уходящих характеристик от ударной волны. При этом скорость особых (эволюционнных) разрывов $W$ удовлетворяет неравенствам
$$
\begin{equation}
c_1^-\leqslant W\leqslant c_2^-, \qquad c_1^+\leqslant W\leqslant c_2^+.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
В [10], [11] показано, что соотношения (2.1) допускают существование особых разрывов с одним дополнительным соотношением. 3. Уравнения стационарной одномерной структуры разрывовДля изучения структуры разрывов дополним уравнения (1.7) членами второго порядка дифференцирования
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v_i}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\, \frac{\partial F}{\partial u_i}+\frac{\partial}{\partial x} \biggl(\,\sum_{j=1}^{2}\mu_{ij}\frac{\partial v_j}{\partial x}\biggr),\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Здесь $\mu_{ij}$ – матрица диссипативных коэффициентов, которая в соответствии со вторым законом термодинамики предполагается положительно определенной. Далее будет принято простейшее предположение, что $\mu_{12}=\mu_{21}=0$, $\mu_{11}=\mu_1=\operatorname{const}$ и $\mu_{22}=\mu_2=\operatorname{const}$, где $\mu_1$ и $\mu_2$ – коэффициенты вязкости. Поскольку допускается анизотропия материала, отношение $\mu_1/\mu_2$ не конкретизируется. Под структурой разрыва ниже понимается решение системы (3.1) в виде бегущей волны, т. е. решение, зависящее от переменной $\xi=-x+Wt$, $W=\operatorname{const}$. При этом предполагается, что решение, представляющее структуру разрыва, стремится к постоянным значениям при $\xi\to-\infty$ и при $\xi\to+\infty$. Решение в виде бегущей волны $u_i=u_i(\xi)$, $v_i=v_i(\xi)$ для системы уравнений (3.1), (1.4) удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
W\,\frac{dv_i}{d\xi}=-\frac{d}{d\xi} \biggl(\frac{\partial F}{\partial u_i}\biggr)+ \mu_{i}\frac{d^2v_i}{d\xi^2}\,, \qquad \frac{dv_i}{d\xi}=-W\,\frac{du_i}{d\xi}\,.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В уравнениях (3.2) исключим функции $v_i$ и проинтегрируем по $\xi$. В результате имеем следующую систему уравнений для функций $u_i$:
$$
\begin{equation}
-\mu_{i}\,\frac{d u_i}{d\xi}=\frac{\partial N(u_1,u_2)}{\partial u_i}\,,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
N(u_1,u_2)=F(u_1,u_2)-\frac{1}{2}W^2(u_1^2+u_2^2)+D_1u_1+D_2u_2, \qquad D_1,D_2=\operatorname{const}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Постоянные $D_i$ определяются значениями $u_i$ при $\xi=-\infty$. Решение, представляющее структуру разрыва, должно удовлетворять условиям
$$
\begin{equation}
\lim_{\xi\to \pm \infty}\frac{\partial N}{\partial u_i}=0.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Состоянию перед структурой разрыва соответствует $\xi=-\infty$. Выполнение равенств (3.5) означает, что на плоскости $u_1$, $u_2$ решение задачи о структуре представляется интегральной кривой системы уравнений (3.3), соединяющей две стационарные точки функции $N(u_1,u_2)$. 4. Упрощение уравнений. Ударная адиабатаСделаем преобразование сдвига Это преобразование приводит к изменению коэффициентов при квадратичных членах функции $N$. Если положить то функция $N$ примет вид
$$
\begin{equation}
N(w_1,w_2)=C w_1^3+R w_1 w_2^2-\frac{1}{2}\alpha(w_1^2+w_2^2)+ D_1 w_1+D_2 w_2,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где При преобразовании (4.1) дифференциальные уравнения для структуры (3.3) не изменяются. Обозначим координаты начальной точки при $\xi=-\infty$ через $U_i$ ($U_i$ – состояние перед разрывом): Такое переобозначение имеет целью привести сделанные преобразования переменных в соответствие с результатами работ [10], [11]. В качестве начальной точки может быть взята любая точка $w_1$, $w_2$, которая таким образом назначается стационарной точкой. В этой точке производные функции $N(w_1,w_2)$ обращаются в нуль за счет выбора констант $D_i$. Представим переменные $w_i$ в виде В переменных $Y_i$ уравнения для структуры (3.3) записываются в виде
$$
\begin{equation}
-\frac{\mu_1}{\varkappa}\,\frac{dY_1}{d\xi} =\beta N_1, \quad N_1 =\frac{\partial N(Y_1,Y_2)}{\partial Y_1}= \frac{P}{\varkappa}\biggl(Y_1-\frac{s}{P}\biggr)^2+Y_2^2- \frac{P}{\varkappa}\biggl(1-\frac{s}{P}\biggr)^2-1,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
$$
\begin{equation}
-\mu_2 \frac{dY_2}{d\xi} =\beta N_2, \quad N_2 =\frac{\partial N(Y_1,Y_2)}{\partial Y_2}=2(Y_1-s)Y_2-2(1-s).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Здесь
$$
\begin{equation}
Y_1=\frac{u_1-a_1}{U_1}\,, \quad Y_2=\frac{u_2}{U_2}\,,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
$$
\begin{equation}
s=\frac{\alpha}{2\beta}\,, \quad \beta=R U_1, \quad P=\frac{3C}{R}\,, \quad \varkappa=\frac{U_2^2}{U_1^2}\,,\quad U_1,U_2=\operatorname{const},
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation}
N(Y_1,Y_2)=\frac{P}{3\varkappa}Y_1^3+Y_1Y_2^2- s\biggl(\frac{Y_1^2}{\varkappa}+Y_2^2\biggr)- \biggl(\frac{P}{\varkappa}\biggl(1-\frac{s}{P}\biggr)^2-1\biggr)Y_1-2(1-s)Y_2.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
В соответствии с (4.5) решение $Y_1(\xi)$, $Y_2(\xi)$ задачи о структуре при $\xi=-\infty$ должно удовлетворять условиям $Y_1=1$, $Y_2=1$, при которых правые части дифференциальных уравнений (4.6), (4.7) обращаются в нуль: Точка $(1,1)$ является особой точкой для этой системы уравнений на плоскости $Y_1$, $Y_2$.На плоскости $Y_1$, $Y_2$ структура ударной волны представляется интегральной кривой, выходящей из точки $(1,1)$ при $\xi=-\infty$ и приходящей при $\xi=+\infty$ в некоторую другую особую точку, координаты которой обозначим $Y_1^+$, $Y_2^+$, так что Очевидно, что переход (скачок) из состояния $(1,1)$ в состояние $(Y_1^+,Y_2^+)$ удовлетворяет законам сохранения, представленными в исходных переменных равенствами (2.1). Основываясь на результатах работ [10], [11], приведем некоторые сведения относительно множества точек $Y_1^+$, $Y_2^+$, которое представляет ударную адиабату в переменных $Y_1$, $Y_2$. В работе [11] уравнение ударной адиабаты было записано в виде
$$
\begin{equation}
(\gamma_2X_2+\gamma)X_1^2+2X_1X_2- \gamma\varkappa\biggl(X_2^2+\frac{1}{2}X_2^3\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где
$$
\begin{equation}
\gamma_2=\frac{2-P}{1-P}\,, \qquad \gamma=\frac{2}{1-P}\,, \qquad \gamma_2=\frac{\gamma}{2}+1.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
В [11] была допущена ошибка в записи уравнения ударной адиабаты (формула (21)). В уравнении (4.11) третье слагаемое содержит коэффициент $\gamma\varkappa$, а в [11] (формула (21)) этот коэффициент ошибочно записан в виде $\operatorname{sign}(\gamma)\varkappa$. В дальнейшем мы будем использовать результаты работы [11] с учетом исправления этой ошибки. Из уравнения (4.11) можно найти зависимость $X_1(X_2)$:
$$
\begin{equation}
X_1(X_2)=\frac{X_2}{\gamma+\gamma_2X_2}\bigl(-1\pm\sqrt{Q(X_2)}\,\bigr),
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где
$$
\begin{equation}
Q(X_2)=1+\gamma\varkappa\biggl(1+\frac{1}{2}X_2\biggr)(\gamma+\gamma_2X_2).
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Величина $s$, входящая в выражение (4.10) для функции $N$, является линейной функцией $W^2$ (см. (4.4)). Определим величину $s$ из уравнения $N_2=0$. С учетом (4.12), (4.14) имеем Используя равенства (4.4), (4.9), (4.14), (4.15), (4.16), получим выражение для скорости разрыва: Корни функции $Q(X_2)$ (4.15) действительны, если выполняется неравенство Таким образом, если выполняется неравенство (4.18), то, согласно (4.16), имеется интервал значений $X_2$, которым не соответствуют действительные значения $X_1$ и $s$. При противоположном знаке неравенства (4.18) обе ветви графиков функций $X_1(X_2)$ и $s(X_2)$ действительны при всех $X_2$. Функции $X_1(X_2)$ и $s(X_2)$, определенные равенствами (4.14) и (4.16), зависят от двух параметров $\gamma$ (или $P$) и $\varkappa\geqslant 0$. Отметим, что значение $P$ определяется упругими свойствами стержня, а значение $\varkappa$ – начальными условиями. На полуплоскости $\varkappa\geqslant 0$, $P$ изобразим границы (как это сделано в [11]), при переходе которых качественно меняется вид графиков функций $X_1(X_2)$ и $s(X_2)$. Эти границы определяют прямые $P=0$, $P=1$, $P=2$ и $\varkappa=2-P$ (рис. 1). На плоскости $\varkappa$, $P$ нанесены номера областей в соответствии с [11], где для каждой из областей 1–7 был указан качественный вид ударной адиабаты и проведено сравнение скоростей разрывов и скоростей малых возмущений. Скорость разрыва в точках ударной адиабаты будет сравниваться со скоростями малых возмущений в начальной точке. Эти скорости определяются из условия равенства нулю определителя системы линеаризованных уравнений $N_1=0$, $N_2=0$, которое при $Y_1=1$, $Y_2=1$ записывается в виде Корни уравнения (4.19) обозначим $s_1$ и $s_2$ ($s_1\leqslant s_2$). Эти значения соответствуют характеристическим скоростям $W=c_1$ и $W=c_2$. Для дальнейшего важно заметить, что Значения величин $s_1$ и $s_2$ в состоянии перед и за разрывом обозначим $s_1^-$, $s_2^-$ и $s_1^+$, $s_2^+$ соответственно. Условия эволюционности (2.2), (2.3) и (2.4) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
s \geqslant s_2^-, \qquad s_1^+ \leqslant s \leqslant s_2^+,
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
$$
\begin{equation}
s_1^- \leqslant s \leqslant s_2^-, \qquad s \leqslant s_1^+,
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
$$
\begin{equation}
s_1^- \leqslant s\leqslant s_2^-, \qquad s_1^+ \leqslant s\leqslant s_2^+.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Неравенства (4.21), (4.22) и (4.23) будем в дальнейшем изображать графически [58], как это представлено на рис. 2. На рис. 2 изображена диаграмма эволюционности [17], [55], [58]. По взаимно ортогональным осям отложены скорости, участвующие в неравенствах (4.21), (4.22), (4.23), и тем самым выделены области, где выполняются эти неравенства. На диаграмме эволюционности по горизонтальной оси меняется скорость разрыва $s$ и отложены характеристические скорости $s_1^-$ и $s_2^-$, которые постоянны для всех точек ударной адиабаты, поскольку ударная адиабата соответствует фиксированному состоянию перед ударной волной. По вертикальной оси откладываются значения величин $s_1^+$, $s_2^+$ без соблюдения масштабов таким образом, что сохраняются только неравенства между этими величинами. Ударная адиабата качественно отображается на диаграмму эволюционности в виде кривых. Диаграмма эволюционности будет использоваться для представления результатов исследования ударных волн и особых разрывов. 5. Формулировка задачи о структуреСтруктура разрывов описывается уравнениями (4.6), (4.7). Из этих уравнений следует, что
$$
\begin{equation}
\frac{dY_2}{dY_1}=m\,\frac{N_2(Y_1,Y_2)}{N_1(Y_1,Y_2)}\,, \qquad m=\frac{\mu_1}{\mu_2\varkappa}>0.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Цель предлагаемого исследования состоит в нахождении условий, при которых начальная особая точка $(1,1)$ на плоскости $Y_1$, $Y_2$ соединяется с другой особой точкой системы (4.6), (4.7) интегральной кривой при изменении $\xi$ от $-\infty$ до $+\infty$. Направление движения точки $Y_1(\xi)$, $Y_2(\xi)$ с ростом $\xi$ по интегральным кривым уравнений (4.6), (4.7) при всевозможных значениях параметра $m$ лежит в том же квадранте, что и вектор $-\beta\operatorname{grad} N(Y_1,Y_2)$. Величину $\beta$ всегда можно считать положительной, так как ее знак зависит от выбора направления оси $u_1$. Функция $N(Y_1(\xi),Y_2(\xi))$ убывает с ростом $\xi$: $dN/d\xi<0$. Действительно, если уравнение (4.6) домножить на $dY_1/d\xi$, а уравнение (4.7) – на $dY_2/d\xi$ и сложить эти уравнения, то получим
$$
\begin{equation}
\frac{dN}{d\xi}=\frac{\partial N}{\partial Y_1}\,\frac{dY_1}{d\xi}+ \frac{\partial N}{\partial Y_2}\,\frac{dY_2}{d\xi}= -\frac{\mu_1}{\varkappa\beta}\biggl(\frac{dY_1}{d\xi}\biggr)^2- \frac{\mu_2}{\beta}\biggl(\frac{dY_2}{d\xi}\biggr)^2<0.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Особые точки уравнения (5.1) – это точки пересечения изоклин $N_1=0$ и $N_2=0$. Поскольку $N_1$ и $N_2$ – квадратичные многочлены, этих точек может быть либо две, либо четыре, причем одна из них – начальная точка $(1,1)$. Упомянем еще одно свойство уравнений (4.6), (4.7), которое связывает тип особых точек структуры разрыва с величинами скоростной переменной $s$ и скоростей малых возмущений $s_1$, $s_2$ в особых точках, представляющих состояние перед или за разрывом. Если $s$ больше характеристических скоростей $s_1$ и $s_2$, то все типы возмущений, описываемые уравнениями (4.6), (4.7), убывают в направлении перед волной, т. е. растут с ростом $\xi$. Это значит, что при $s>s_2$ соответствующая особая точка системы уравнений (4.6), (4.7) является узлом с выходящими с ростом $\xi$ интегральными кривыми. При $s_1<s<s_2$ особая точка – седло, при $s<s_1$ особая точка – узел с входящими при росте величины $\xi$ интегральными кривыми. Если структура быстрой ударной волны существует, то она представляется интегральной кривой, выходящей из узла ($\xi=-\infty$) и входящей в седло ($\xi=\infty$). Структура медленной ударной волны (если она существует) представляется интегральной кривой, идущей из седла ($\xi=-\infty$) в узел ($\xi=\infty$). Стационарная структура особого разрыва (в случае выполнения неравенств (4.23)) представляется интегральной кривой, соединяющей две седловые точки, для чего должно выполняться дополнительное соотношение, обеспечивающее совпадение сепаратрис седел. Это дополнительное условие определяет значение $s$, соответствующее особому разрыву. 6. Исследование решений задачи о структуреВ зависимости от параметров $P$, $\varkappa$ и значения величины $s$ функция $N$ может иметь либо четыре стационарные точки, либо две. Используя разбиение плоскости $\varkappa$, $P$ на области (рис. 1), рассмотрим число особых точек, их типы и возможность образования особых разрывов в интервалах изменения $P$: 1. Интервал Изоклина $N_1=0$ представляет на плоскости $Y_1$, $Y_2$ эллипс с осями симметрии $Y_1=s/P$, $Y_2=0$, проходящий через начальную точку $(1,1)$. Центр эллипса находится в точке $(s/P,0)$. При изменении величины $s$ размер эллипса меняется, а отношение длин его полуосей ($l_2/l_1=\sqrt{P/\varkappa}$ ) остается постоянным. Изоклина $N_2=0$ – гипербола с асимптотами $Y_2=0$ и $Y_1=s$, которая также проходит через начальную точку. Изоклины $N_1=0$, $N_2=0$ делят плоскость $Y_1$, $Y_2$ на части. В каждой их этих частей компоненты вектора $dY_1/d\xi$, $dY_2/d\xi$ не меняют знак, и этот вектор принадлежит одному из квадрантов. Из начальной точки интегральные кривые не выходят при $s<s_1^-$, поэтому далее будем рассматривать ситуации, когда $s>s_1^-$. При картина линий уровня функции $N$ изображена на рис. 3, (a). Здесь и далее параметры $\varkappa$, $P$ и $s$ указаны в подписях к рисункам, особые точки пронумерованы в порядке убывания координаты $Y_2$. Точка $A_1$ – начальная точка с координатами $(1,1)$. Точки $A_1$ и $A_4$ – седла, точка $A_2$ – узел с входящими с ростом $\xi$ интегральными кривыми (минимум функции $N(Y_1,Y_2)$), точка $A_3$ – узел с выходящими с ростом $\xi$ интегральными кривыми (максимум функции $N(Y_1,Y_2)$). В области внутри эллипса и между ветвями гиперболы при значениях $s$, удовлетворяющих неравенствам (6.2), вектор, определяющий направление интегральных кривых, лежит в первом квадранте. В этом случае из начальной точки $A_1$ нет интегральных кривых в точки $A_3$ и $A_4$, а значение функции $N(Y_1,Y_2)$ в точке $A_3$ больше значения этой функции в точке $A_4$, так что выполняются неравенства $N(A_3)>N(A_4)>N(A_1)$. Поэтому при выполнении (6.2) особые разрывы отсутствуют. Точки $A_1$ и $A_2$ соединяются интегральной кривой, представляющей структуру медленной ударной волны при всех значениях $m$. Отметим, что такое взаимное расположение особых точек сохраняется при всех значениях параметров $P$, $\varkappa$, если выполняются неравенства (6.2). Имея это в виду, ниже будем изучать поведение интегральных кривых только при $s\geqslant 1$.При картина линий уровня функции $N$ изображена на рис. 3, (b). Имеются четыре особые точки: $A_1(1,1)$ и $A_4$ – седла, $A_2$ – узел (максимум), $A_3$ – узел (минимум). В области внутри эллипса и между ветвями гиперболы при значениях $s$, удовлетворяющих (6.3), вектор, определяющий направление интегральных кривых, лежит в третьем квадранте, так что $N(A_1)>N(A_4)$. Заметим, что когда $s$, увеличиваясь, переходит через значение $s=1$, медленная ударная волна $A_1\to A_2$ непрерывно переходит в медленную волну $A_1\to A_3$, причем точка $A_2$, представляющая состояние за медленной ударной волной, меняет свое обозначение на $A_3$ при переходе через ось $Y_1$.При малых значениях величины $m$ интегральные кривые уравнения (5.1) почти горизонтальны, при больших $m$ – почти вертикальны. По непрерывности можно заключить, что при заданном значении $s$ найдется такое значение $m=m_a(s)$, что точки $A_1$ и $A_4$ будут соединены интегральной кривой, представляющей структуру особого разрыва. Очевидно, что $m_a(s)\to\infty$ при $s\to 1$, поскольку при этом интегральная кривая, соединяющая точки $A_1$ и $A_4$, стремится к вертикальной асимптоте. График функции $m_a(s)$, построенный численно при $\varkappa=2$, $P=0.6$, изображен на рис. 4 (кривая $a$). Для серии точек, отмеченных на графике функции $m_a(s)$, численно найдены интегральные кривые, соединяющие две седловые точки, и определено соответствующее значение $m$. Если $m\geqslant m_a(s)$, то сепаратриса из точки $A_1$ не приходит в точку $A_3$. Действительно, при $m=m_a(s)$ есть общая сепаратриса точек $A_1$ и $A_4$. При $m>m_a(s)$ сепаратриса точки $A_1$ проходит левее точки $A_4$ (при меньшем $Y_1$). Таким образом, структура медленной ударной волны $A_1\to A_3$ не существует при выполнении неравенств (6.3) и $m^\ast\geqslant m_a(s)$, где $m^\ast$ – заданное значение $m$. Поскольку $m_a(s)$ – убывающая функция, то структура медленной ударной волны $A_1\to A_3$ не существует при выполнении неравенств $m^\ast>m_{\min}$ и, соответственно, $s>s_a$, где $m_{\min}$ – минимальное значение функции $m_a(s)$, а $s_a$ – решение уравнения $m_a(s)=m^\ast$. Как было отмечено, с ростом величины $s$ при переходе $s$ через единицу узел $A_2$ (минимум) переходит в нижнюю полуплоскость ($Y_2<0$) и обозначается через $A_3$. Структура медленной ударной волны $A_1\to A_3$ существует на всем интервале (6.3), если $m^\ast<m_{\min}$, или же, если $m^\ast>m_{\min}$, на его части $1<s<s_a$. Значение $s_a$ определено условием, что при $s=s_a$ имеется особый разрыв $A_1\to A_4$ (рис. 4). На рис. 5 изображены интегральные кривые $l_1$, $l_2$, $l_3$, выходящие из точки $A_1$, для $m=1.56$ и трех значений $s$ из интервала (6.3). На рис. 5, (b), изображена интегральная кривая $l_2$ при $s_a=1.9$, удовлетворяющем уравнению $m_a(s)=1.56$. Эта интегральная кривая есть единая сепаратриса двух седловых точек $A_1$ и $A_4$, которая представляет структуру особого разрыва. Точка $s=1.9$, $m_a=1.56$ принадлежит графику функции $m_a(s)$. На рис. 5, (a), изображена интегральная кривая $l_1$, соединяющая две особые точки – начальную $A_1$ и узел $A_3$ при $s=1.6<s_a$. Это – структура медленной ударной волны. Подобные структуры медленных ударных $A_1\to A_3$ существуют при $1<s<s_a$. При $s_a<s<1$ решение, представляющее структуру медленной ударной волны, отсутствует (рис. 5, (c)). При выполнении неравенства картина линий уровня функции $N$ изображена на рис. 3, (c). Начальная точка $A_2(1,1)$ – выходящий узел. Точка $A_1$ (седло) находится выше и правее точки $A_2$ (рис. 3, (c)). Интегральная кривая $A_2\to A_1$ – структура быстрой ударной волны (она всегда существует). Если $m$ мало, то сепаратриса точки $A_1$ проходит выше точки $A_4$. При этом структура быстрой ударной волны $A_2\to A_4$ существует. При увеличении $m$ сепаратриса точки $A_1$ идет круче вниз и при некотором значении $m_b(s)$ приходит в точку $A_4$. При дальнейшем увеличении $m$ ($m>m_b(s)$) сепаратриса точки $A_1$ проходит между точками $A_2$ и $A_4$ и структура ударной волны $A_2\to A_4$ не существует. Функция $m_b(s)$ стремится к $\infty$ при $s\to\infty$.На рис. 4 представлен график функции $m_b(s)$ (кривая $b$), непрерывно продолжающий график функции $m_a(s)$ (кривая $a$), хотя аналитически это другая функция. Функция $m_b(s)$ построена численно при тех же параметрах, что и функция $m_a(s)$. Если задано значение $m=m^\ast$ и $m^{\ast}<m_{\min}$, то при $s>s_2^-$ структура быстрых разрывов типа $A_2\to A_4$ существует. Если $m^\ast>m_{\min}$, то существует такое значение $s=s_b$, что при $s_2^-<s<s_b$ структура разрыва типа $A_2\to A_4$ не существует, а при $s>s_b$ структура этого разрыва существует. При $m^\ast>m_{\min}$ существует структура особого разрыва $A_1\to A_4$ при $s=s_b$, где $s_b$ – решение уравнения $m_b(s)=m^\ast$ (рис. 4) (заметим, что точка $A_1$ не является начальной). На рис. 6 изображены интегральные кривые $l_4$, $l_5$, $l_6$ для $m=1.56$ и трех значений $s$ из интервала (6.4). Значение $m=1.56$ выбрано таким же, как и на рис. 5 в интервале (6.3). На рис. 6, (b), изображена интегральная кривая $l_5$, представляющая единую сепаратрису точек $A_1$ и $A_4$ при значении $s_b=2.64$, которое удовлетворяет уравнению $m_b(s)=1.56$. Это – сепаратриса особого разрыва из точки $A_1(1.41728,1.34128)$. На рис. 6, (a), изображена интегральная кривая $l_4$ из седла $A_1$ при $s_2^-<s=2.4$. Интегральная кривая не соединяет особые точки и не является структурой разрыва. Структуры разрывов $A_2\to A_4$ отсутствуют при $s_2^-<s<s_b$. На рис. 6, (c), изображена интегральная кривая $l_6$, соединяющая точку $A_1$ с узлом $A_3$. Эта интегральная кривая представляет сепаратрису точки $A_1$, которая не препятствует образованию структуры быстрой ударной волны $A_2\to A_4$. Заметим, что в интервале (6.1) значений $P$ при $s>1$ всегда существуют четыре особые точки. Это связано с тем, что вертикальная асимптота гиперболы $Y_1=s$ делит эллипс на две части так, что левая часть эллипса, проходящая через начальную точку $(1,1)$, меньше правой его части, с которой пересекается вторая ветвь гиперболы. На рис. 7, (a), в плоскости $Y_1$, $Y_2$ изображена ударная адиабата [11], представленная уравнением (4.11) для параметров $\varkappa=2$, $P=0.6$, а на рис. 7, (b), – ее отображение на диаграмму эволюционности с соответствием букв. На диаграмме эволюционности начальная точка $O(1,1)$ представлена двумя точками в соответствии со скоростями на ветвях ударной адиабаты, пересекающихся в начальной точке. Ударная адиабата, изображенная на рис. 7, (a) (множество состояний $Y_1^+$, $Y_2^+$ за разрывами из начальной точки $O$), содержит три ветви: $QN$, $KM$ и $GD$. На ударной адиабате жирными линиями отмечены части ударной адиабаты, соответствующие разрывам со структурой. Изображен случай $m^\ast>m_{\min}$. Части $OM$ и $FD$ ударной адиабаты соответствуют состояниям за быстрыми ударными волнами со структурами, часть $OJ$ – за медленными ударными волнами со структурами. Части $HF$ и $JE$ ударной адиабаты отвечают состояниям за эволюционными быстрыми и медленными ударными волнами без структур. Точкой $S$ отмечено состояние за особым разрывом. Если $m^\ast<m_{\min}$, то особых разрывов нет и весь эволюционный участок $HD$ будет соответствовать быстрым ударным волнам со структурами, а отрезок $OE$ – медленным ударным волнам со структурами. Отметим, что на плоскости $\varkappa$, $P$ полоса $0<P<1$ содержит две области, 6 и 7 (рис. 1). В этих двух областях качественный вид ударных адиабат различен [11]. Это различие имеет место при $s<1$, поэтому результаты исследования существования особых разрывов и несуществования структур медленных и быстрых ударных волн в областях 6 и 7 качественно неразличимы. На рис. 8 приведены ударная адиабата и диаграмма эволюционности для параметров $\varkappa=1$, $P=0.5$ (область 6) в случае $m^\ast>m_{\min}$. Части $OM$ и $FK$ ударной адиабаты соответствуют состояниям за быстрыми ударными волнами со структурами, часть $OJ$ – состояниям за медленными ударными волнами со структурами, часть $HF$ – состояниям за быстрыми эволюционными ударными волнами без структур, часть $JE$ – состояниям за медленными эволюционными ударными волнами без структур. Точкой $S$ отмечено состояние за особым разрывом. 2. Интервал
В интервале (6.5) исследование интегральных кривых проводится так же, как в интервале (6.1). Отметим основное отличие случая (6.5) от случая (6.1). При выполнении (6.5) и $s>1$ имеется интервал значений $s$, когда особые точки $A_3$ и $A_4$ исчезают и остаются только две особые точки $A_1$ и $A_2$. При больших значениях $s$ точки $A_3$ и $A_4$ снова появляются, т. е. имеются все четыре особые точки. Действительно, при выполнении неравенств (6.5) и $s>1$ вертикальная асимптота гиперболы находится правее центра эллипса и делит его на две части (рис. 9, (b)). Правая часть эллипса оказывается меньше левой (в отличие от случая (6.1), рис. 3, (b)). При $s$, близких к единице, имеется четыре точки пересечения изоклин, поскольку гипербола близка к своим асимптотам. С ростом $s$ точки $A_1$ и $A_2$ сближаются, и при $s=s_2^-$ гипербола и эллипс имеют точку касания. При этом точек пересечения изоклин в нижней полуплоскости нет, поскольку часть эллипса, расположенная правее вертикальной асимптоты, меньше части эллипса, расположенной левее (рис. 10, (a)). При дальнейшем увеличении $s$ размеры эллипса увеличиваются. Если сделать преобразование подобия, введя новые переменные $Y_1/s$, $Y_2/s$, то при $s\to \infty$ полуоси эллипса будут стремиться к некоторым предельным величинам, центр эллипса и вертикальная асимптота гиперболы займут предельные положения $1/P$ и 1. При увеличении $s$ начальная точка с координатами $(1/s,1/s)$ будет перемещаться по эллипсу к оси $Y_1$, а гипербола будет приближаться к своим асимптотам. При некотором значении $s$ снова появятся точки $A_3$ и $A_4$. Расположение особых точек при большом $s$ изображено на рис. 10, (b). Если существует интегральная кривая $A_2 \to A_4$, то она представляет структуру быстрой ударной волны. Как и в интервале (6.1), для существования этой структуры необходимо выполнение неравенства $m<m_b(s)$, где $m=m_b(s)$ – условие существования интегральной кривой $A_1\to A_4$. Значения $m_b(s)$ растут с ростом $s$. Таким образом, в случае (6.5) при условии (6.3) и $s$, близких к единице, имеется интервал значений $s$, когда существуют четыре особые точки, затем, при увеличении $s$, существуют две особые точки и потом вновь – четыре. В этом случае график функции $m_b(s)$ приведен на рис. 11. Наличие интервала между графиками функций $m_a(s)$ и $m_b(s)$ связано с описанным выше исчезновением особых точек $A_3$ и $A_4$. В этом интервале значений $s$ при выполнении неравенств (6.3) особых разрывов нет, а при $s>s_2^-$ существует только быстрая ударная волна $A_2\to A_1$, структура которой существует при всех $s>s_2$. Как и в случае (6.1), если при $s<s_2$ существуют четыре особые точки и задано значение $m^\ast>m_{\min}$, то структура особого разрыва существует при значении $s=s_a$, удовлетворяющем уравнению $m^\ast=m_a(s)$. При значении $s_b>s_2$, удовлетворяющем уравнению $m^\ast=m_b(s)$, седла $A_1$ и $A_4$ соединяются интегральной кривой. Значение $s_a$ и значение $s_b$, удовлетворяющее уравнению $m^\ast=m_b(s)$, ограничивают области существования структур: структура медленной ударной волны существует при $s<s_a$, а структура быстрой ударной волны существует при $s>s_b$. Кроме того, когда нет особых точек $A_3$ и $A_4$, не существуют соответствующие ударные волны. Исчезновение или появление этой пары точек связано с окончанием отрезков ударной адиабаты, соответствующих быстрым и медленным ударным волнам, и с выполнением в конечных точках этих отрезков условия Жуге $s=s_1^+$ или $s=s_2^+$ в зависимости от типов исчезающих или появляющихся особых точек $A_3$ и $A_4$. На рис. 12, (a), изображена ударная адиабата для параметров $\varkappa=2$, $P=1.01$, а на рис. 12, (b), – ее отображение на диаграмму эволюционности с соответствием букв. При $m=m^\ast>m_{\min}$ на рис. 12, (a), выделены жирными линиями части $OM$ и $FQ$ ударной адиабаты, отвечающие состояниям за быстрыми ударными волнами со структурой, и часть $OJ$, отвечающая состояниям за медленными ударными волнами со структурами. Отрезок $KF$ ударной адиабаты соответствует состояниям за быстрыми эволюционными ударными волнами без структур, отрезок $JL$ – медленным эволюционным ударным волнам без структур. Состояние за особым разрывом отмечено точкой $S$. В интервале (6.5) на плоскости $\varkappa$, $P$ имеются две области, 3 и 4 (рис. 1), в которых ударные адиабаты качественно различны только при $s<1$. Поэтому при $s>1$ исследование структуры в областях 3 и 4 приводит к качественно одинаковым выводам. На рис. 13 изображены ударная адиабата и диаграмма эволюционности для параметров $\varkappa=0.5$ и $P=1.01$, соответствующих области 3. В случае $m=m^\ast>m_{\min}$ жирными линиями выделены части ударной адиабаты, соответствующие состояниям за эволюционными ударными волнами со структурами. Состояние за особым разрывом отмечено точкой $S$. 3. Интервал При больших значениях $s$ вертикальная асимптота гиперболы находится за пределами эллипса, и исчезнувшие при умеренных значениях $s$ ($s>s_2^-$) особые точки $A_3$ и $A_4$ не восстанавливаются при больших значениях $s$. Таким образом, в случае (6.6) при больших $s$ имеются две особые точки.Как и в предыдущих случаях, при $s\geqslant 1$ имеется интервал значений $s$, примыкающий к единице, когда существуют четыре особые точки и возможны особые разрывы. Вне этого интервала (при увеличении $s$) имеются две особые точки и особых разрывов нет. При выполнении (6.4) существует быстрая ударная волна со структурой. На рис. 14, (a), изображена ударная адиабата для параметров $\varkappa=2$, $P=3$, а на рис. 14, (b), – ее отображение на диаграмму эволюционности. В случае, когда $m=m^\ast>m_{\min}$, на рис. 14, (a), выделены жирными линиями части ударной адиабаты, отвечающие состояниям за быстрыми (часть $OM$) и медленными (часть $OJ$) ударными волнами со структурами. Точкой $S$ отмечено состояние за особым разрывом. Отрезок $JL$ ударной адиабаты соответствует состояниям за медленными ударными волнами без структур. 4. Интервал В этом случае изоклина $N_1=0$ представляет на плоскости $Y_1$, $Y_2$ гиперболу $I$ с осями симметрии $Y_2=0$, $Y_1=-s/P_1$. Асимптоты этой гиперболы составляют с осью $Y_1$ угол $\varphi$: $ \operatorname{tg} \varphi=\pm\sqrt{P_1/\varkappa}$ . Если начальная точка $(1,1)$ лежит выше асимптот гиперболы, то вид гиперболы $I$ изображен на рис. 15, (a), а если ниже, то вид гиперболы $I$ изображен на рис. 15, (b). Условие расположения начальной точки выше асимптоты гиперболы записывается в виде где
$$
\begin{equation}
s_{c1}=-P_1-\sqrt{\varkappa P_1}\,, \qquad s_c=-P_1+\sqrt{\varkappa P_1}\,.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Если неравенство (6.8) выполняется, то гипербола $I$ имеет вид, который далее будем обозначать как $I_1$ (этот вид изображен на рис. 15, (a), в противном случае гипербола $I$ имеет вид, обозначаемый как $I_2$ (этот вид изображен на рис. 15, (b)). Изоклина $N_2=0$ – гипербола $II$ с асимптотами $Y_2=0$, $Y_1=s$. При изменении $s$ прямые $Y_1=-s/P_1$ и $Y_1=s$ перемещаются в противоположных направлениях. Обе гиперболы проходят через начальную точку $(1,1)$. При $s=s_{c1}$ и $s=s_c$ происходит изменение типа гиперболы $I$. Случай $P<0$ соответствует двум областям на плоскости $\varkappa$, $P$: это области 1 (при $P_1+2<0$) и 2 (при $P_1+2>0$) (рис. 1). Рассмотрим положения изоклин и типы особых точек в области 1. Зададим значения В этом случае корни $s_1^-=-1.73205$, $s_2^-=1.73205$ характеристического уравнения (4.19) и величины $s_{c1}=-\sqrt{2}-1$, $s_c=\sqrt{2}-1$, определенные равенствами (6.9), удовлетворяют неравенствам Заметим, что в зависимости от значений $P_1$ и $\varkappa$ расположение величин $s_{c1}$ и $s_{c}$ по отношению к значениям $s_1$, 1 и $s_2$ может быть различным. Это влияет на форму изоклин, но не влияет на типы особых точек и возможности их соединения интегральными кривыми, поэтому ниже будет подробно рассмотрен вариант, представленный значениями (6.10) и неравенствами (6.11). Остальные случаи будут упомянуты кратко. Рассмотрим положение особых точек и их типы в интервале Для $s$ из интервала (6.12) гипербола $I$ имеет вид $I_1$. При значении $s$, близком к $s_1^-$, существуют четыре особые точки. Расположение особых точек изображено на рис. 16, (a). Точки $A_3(1,1)$, $A_1$, $A_4$ – седла, точка $A_2$ – узел (минимум). Интегральная кривая, соединяющая точки $A_3$ и $A_2$, представляет структуру медленной ударной волны ($N(A_3)>N(A_2)$). Интегральной кривой из начальной точки $A_3$ в седло $A_4$ не существует, поскольку $N(A_3)<N(A_4)$. Несуществование интегральной кривой $A_3\to A_1$ связано с тем, что точка $A_2$ притягивает все интегральные кривые из своей окрестности ($A_2$ – минимум), в частности сепаратрисы точек $A_1$ и $A_3$.Множество состояний за медленными ударными волнами – часть ударной адиабаты, а именно участок, примыкающий к начальной точке при $s=s_1+\varepsilon$ ($\varepsilon \ll 1$), конечная точка этого участка является точкой Жуге при $s=s_1^+$. При $s=s_1^+$ две особые точки $A_2$ и $A_1$ на рис. 16, (a), после слияния исчезают и остаются два седла, обозначенные как $A_3(1,1)$ и $A_4$ (рис. 16, (b)). При $s=s_c$ происходит превращение гиперболы $I_1$ в гиперболу $I_2$. На интервале гипербола $I$ имеет вид $I_2$. Имеются четыре особые точки (рис. 16, (c)). Точки $A_1(1,1)$, $A_2$ и $A_4$ – седла, $A_3$ – узел (максимум). Нет интегральных кривых, выходящих из начальной точки $A_1$ и соединяющих ее с особыми точками $A_3$, $A_4$, так как значение $N(A_1)$ меньше, чем значения $N(A_3)$ и $N(A_4)$. Для особой точки $A_2$ выполняется неравенство $N(A_1)>N(A_2)$, но в рассматриваемом случае уравнение (5.1) не допускает интегральной кривой, соединяющей особые точки $A_1$ и $A_2$, так как сепаратриса, выходящая из точки $A_1$, идет налево вверх на плоскости $Y_1$, $Y_2$.Таким образом, при $s$, удовлетворяющих неравенству $s_c^-<s<1$, никаких структур разрывов нет. Рассмотрим интервал значений $s$, удовлетворяющих неравенству $1<s<s_2^-$. В этом интервале гипербола $I$ имеет вид $I_2$, так как $s_c<1$. Имеются четыре особые точки: $A_1(1,1)$ – начальная точка (седло), $A_2$ – узел (максимум), $A_3$, $A_4$ – седла (рис. 17). Выполняются неравенства $N(A_1)>N(A_4)$, $N(A_1)>N(A_3)$. Интегральная кривая $A_1\to A_3$ не существует, поскольку сепаратрисы, выходящие из точки $A_1$, не идут в сторону точки $A_3$. Если параметр $m$ в уравнении (5.1) имеет подходящее значение, то существует интегральная кривая, представляющая структуру особого разрыва $A_1\to A_4$, поскольку $N(A_1)>N(A_4)$. На рис. 18 изображен график функции $m_a(s)$ (кривая $a$), значения которой обеспечивают соединение седел $A_1$ и $A_4$ интегральной кривой (см. рис. 17, (a) и (b)). Для серии точек, отмеченных на графике функции $m_a(s)$, численно найдены интегральные кривые, соединяющие две седловые точки, и определено соответствующее значение $m$. На рис. 19 изображены интегральные кривые $l_1$, $l_2$, $l_3$ при $m=5$, выходящие из седла $A_1(1,1)$ при $s=1.3,1.6,1.7$ соответственно. Из этих рисунков видно, что структура особого разрыва $A_1\to A_4$ (при фиксированном значении $m=m^\ast$) существует при определенном значении величины $s$ из интервала (6.3). Точка $(1.6,5)$ принадлежит графику функции $m_a(s)$ (кривая $a$ на рис. 18). Этой точке соответствует интегральная кривая $l_2$ на рис. 19, (b), представляющая структуру особого разрыва. Случай $s>s_2^-$ изображен на рис. 20. Начальная точка $A_2(1,1)$ – узел (максимум), остальные особые точки – седла. Изображены интегральные кривые, выходящие из точки $A_1$ при заданном значении $m=m^\ast=5$ и при трех значениях $s$: $s=1.8$, $s=1.932$, $s=2$. Точка $(1.932,5)$ принадлежит графику функции $m_b(s)$ (кривая $b$ на рис. 18) Интегральная кривая $A_2\to A_1$ (структура быстрой ударной волны) существует при всех значениях параметра $m$. Существование интегральной кривой $A_2\to A_4$ возможно при $m<m_b(s)$, где $m_b(s)$ – значение $m$, обеспечивающее соединение точек $A_1$ и $A_4$ интегральной кривой. График функции $m_b(s)$ изображен на рис. 18 (кривая $b$). График функции $m_b(s)$ непрерывно примыкает к графику функции $m_a(s)$, причем на совместном графике функций $m_a(s)$ и $m_b(s)$ имеется минимальное значение $m=m_{\min}$ при $s=s_2^-$. Структура ударной волны $A_2\to A_4$ существует при заданном значении $m=m^\ast$ для $s>s_b$ ($s_b$ – значение, удовлетворяющее равенству $m_b(s)=m^{\ast}$), так как величина $m_b$ растет с ростом $s$. На рис. 21, (a), на плоскости $Y_1$, $Y_2$ изображена ударная адиабата [11], представленная уравнением (4.11) для параметров $\varkappa=2$, $P=-1$ (рассматривавшихся выше – см. (6.10)), а на рис. 21, (b), – ее отображение на диаграмму эволюционности. Ударная адиабата (множество состояний за разрывами из начальной точки $O$) содержит три ветви: $NJ$, $MQ$ и $GD$. На ударной адиабате жирными линиями отмечены ее части, соответствующие разрывам со структурой. Изображен случай $m^\ast>m_{\min}$. Части $OM$, $TQ$ и $FG$ ударной адиабаты соответствуют состояниям за быстрыми ударными волнами со структурами, часть $OE$ – состояниям за медленными ударными волнами со структурами. Часть $KT$ ударной адиабаты отвечает состояниям за эволюционными быстрыми ударными волнами без структур. Все медленные ударные волны имеют структуру. Точкой $S$ отмечено состояние за особым разрывом. Если $m^\ast<m_{\min}$, то особых разрывов нет и весь эволюционный участок $KQ$ будет соответствовать быстрым ударным волнам со структурами. Отметим еще один случай взаимного расположения изоклин в области 1 (рис. 1). Выберем значения Для значений (6.14) имеем
$$
\begin{equation*}
s_{c1}=-0.416228,\quad s_c=0.216228,\quad s_1^-=-0.69127,\quad s_2^-=1.59127
\end{equation*}
\notag
$$
и выполняются неравенства Как видно из сравнения неравенств (6.11) и (6.15), в случае (6.15) имеется интервал значений $s_1^-<s<s_{c1}$, которого нет в (6.11). При $s=s_1^-+\varepsilon$, $\varepsilon\ll 1$, картина изоклин $I_2$ и $II$ и положение особых точек изображены на рис. 22, (a), и качественно совпадают с картиной, изображенной на рис. 16, (a). Здесь $A_2$ – узел (минимум), $A_1$, $A_3$, $A_4$ – седла; $A_1(1,1)$ – начальная точка. Интегральная кривая $A_1\to A_2$ представляет структуру слабой (при $\varepsilon\ll 1$) медленной ударной волны. Интегральных кривых из точки $A_1$ в точки $A_3$ и $A_4$ нет, поскольку в этих точках функция $N$ принимает бо́льшие значения, чем в $A_1$. В интервале $s_{c1}<s<s_1^+$ выполняется неравенство $N(A_1)>N(A_3)$. Эта ситуация изображена на рис. 22, (b). Из этого рисунка видно, что интегральная кривая $A_1\to A_3$ не существует. При $s>s_c$ случаи (6.11) и (6.15) качественно совпадают (рис. 17, (c), и рис. 22, (c)). Рассмотрим взаимное расположение изоклин и число особых точек в области 2 (рис. 1). Пусть В этом случае
$$
\begin{equation*}
s_{c1}=-10,\quad s_c=2,\quad s_1^-=-3.16228,\quad s_2^-=3.16228
\end{equation*}
\notag
$$
и выполняются неравенства Для значений $s$ из интервала $s_1^-<s<s_1^+$ ($s_1^+=2$) выполняются неравенства (6.8), так что гипербола $I$ имеет вид $I_1$. Расположение особых точек при значении $s$ вблизи значения $s_1^-$ аналогично положению этих точек в этом же интервале в области 1. Существует интегральная кривая, соответствующая структуре медленной ударной волны $A_1(1,1)\to A_2$. Других разрывов с начальной точкой $A_1$ не существует. Затем, при увеличении $s$, в интервале $s_1^+<s<s_c$ существуют два седла $A_1(1,1)$ и $A_4$ (рис. 23, (a)). Интегральной кривой $A_1\to A_4$, соединяющей эти два седла, не существует, так как $N(A_1)<N(A_4)$. Для $s$ из интервала $s_c<s<s_2^-$ взаимное расположение гипербол $I$ и $II$ изображено на рис. 23, (b) и (c). В этом интервале существуют четыре особые точки. Два седла $A_1(1,1)$ и $A_4$ могут соединяться интегральной кривой при подходящем значении параметра $m$. Интегральная кривая $A_1\to A_4$ представляет структуру особого разрыва. Для $s$ из интервала $s>s_2^-$ существуют четыре особые точки (начальная точка $A_2(1,1)$ – узел). При определенном значении $m=m_b(s)$ существует интегральная кривая, соединяющая точки $A_1$ и $A_4$. Для $s$ в интервале $s>s_2^-$ число особых точек, их типы и исследование возможности образования особых разрывов аналогично случаю области $1$ (рис. 1). На рис. 24, (a), изображена ударная адиабата для параметров $\varkappa=9$, $P=-1$ (область $2$), а на рис. 24, (b) – ее отображение на диаграмму эволюционности. На ударной адиабате жирными линиями отмечены части ударной адиабаты, соответствующие разрывам со структурой. Изображен случай $m^\ast>m_{\min}$. Части $OM$, $TG$ и $KQ$ ударной адиабаты соответствуют состояниям за быстрыми ударными волнами со структурами, часть $OE$ – состояниям за медленными ударными волнами со структурами. Часть $FT$ ударной адиабаты отвечает состояниям за эволюционными быстрыми ударными волнами без структур. Все медленные ударные волны имеют структуру. Точкой $S$ отмечено состояние за особым разрывом. Если $m^\ast<m_{\min}$, то особых разрывов нет и весь эволюционный участок $FG$ будет соответствовать быстрым ударным волнам со структурами. Пусть теперь точка из области 2 (рис. 1) имеет координаты $\varkappa=49$, $P=-3$. Для этой точки и выполняются неравенстваНа рис. 25, (a) и (b), изображено положение гипербол $I_1$ и $II$ для значений $s$ из интервала $1<s<s_2^-$. В этом интервале есть две седловые точки $A_1(1,1)$ и $A_4$. При подходящем значении величины $s$ эти два седла могут быть соединены интегральной кривой $A_1\to A_4$, которая будет представлять структуру особого разрыва. Для значений $s$ из интервала $s>s_2^-$ имеются четыре особые точки (рис. 25, (c)): $A_1(1,1)$ – узел с выходящими интегральными кривыми, $A_2$, $A_3$, $A_4$ – седла. В этом случае исследование интегральных кривых, представляющих структуры разрывов, проводится аналогично случаю, рассмотренному выше. Вид ударной адиабаты и диаграммы эволюционности качественно такой же, как в предыдущем случае (рис. 24). Как уже было отмечено, интегральные кривые, особые точки и возможные варианты их соединения во всех кратко перечисленных случаях с $P<0$ подобны тем, которые были подробно рассмотрены в случае (6.10). Отметим, что из проведенного исследования можно сделать, в частности, следующие выводы. Во-первых, существование разрывов, структура которых находилась выше, представляет один из случаев общего положения (для их существования достаточно выполнения неравенства $m>m_{\min}$ в (5.1)). Во-вторых, требование существования структуры выполняется не для всех ударных волн. Однако сокращение множества ударных волн требованием существования структуры оказалось незначительным. Это сокращение не повлияло ни на существование ветви ударной адиабаты, не проходящей через начальную точку, ни на одновременное существование трех типов быстрых ударных волн, распространяющихся с одной и той же скоростью по заданному состоянию. В связи со сказанным представляет большой интерес рассмотрение нестационарных задач, а также исследование возможности существования структур разрывов с внутренними колебаниями. 7. ЗаключениеИзучена стационарная структура разрывов в решениях нелинейной гиперболической системы уравнений, описывающей продольно-крутильные движения стержня. Упругая энергия стержня представлялась в виде многочлена третьей степени от величин, характеризующих его деформацию. Система уравнений выражает законы сохранения продольного импульса и момента импульса стержня. Для изучения структуры исходная гиперболическая система уравнений дополнена членами второго порядка дифференцирования, выражающими вязкие напряжения. Структуры разрывов найдены как решения в виде бегущих волн системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Структуры разрывов представляются в виде гетероклинических интегральных кривых на плоскости, соединяющих две особые точки. Указано условие существования особых разрывов как условие существования гетероклинической кривой, соединяющей два седла. Это условие накладывает ограничение в виде неравенства на диссипативные коэффициенты. Оказалось, что в тех случаях, когда существует структура особого разрыва, некоторое множество эволюционных ударных волн не имеет структуры. Представляется интересным, что среди разрывов в решениях рассмотренной системы уравнений достаточно общего вида c самым простым диссипативным механизмом (как один из случаев общего положения) могут содержаться стационарные структуры особых разрывов. Существование особых разрывов влияет на множество ударных волн со структурой и может влиять на решения задач в целом, если предполагается, что разрывы должны обладать структурой. Присутствие особых разрывов в решениях задач означает, что разрывные решения становятся зависимыми от процессов, происходящих в структурах разрывов. В этих случаях помимо задания гиперболической системы уравнений, описывающей явления крупного масштаба, необходимо задание дополнительных свойств среды (свойств мелкомасштабных процессов), определяющих существование разрывов и граничные условия на них. Сказанное выше дает основание думать, что особые разрывы являются типичным явлением в механике сплошных сред. По-видимому, всегда, когда законы сохранения допускают существование особых разрывов, для эволюционности которых требуются дополнительные граничные условия, необходимо рассмотрение вопроса о существовании и свойствах особых разрывов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KulChu22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|