| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества О матрице дифференциала в комплексе Морса П. Е. Пушкарьa, М. С. Тёмкинbc a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" b Национальный исследовательский университет ''Высшая школа экономики'', Международная лаборатория алгебраической топологии и ее приложений c Dartmouth College, Hanover, USA
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10032e 
Реферативные базы данных:
     Рассмотрим гладкое замкнутое многообразие $M$ и функцию Морса $f$ на нем. После выбора римановой метрики общего положения (и должных ориентаций) возникает комплекс Морса, формально базированный критическими точками $f$. Допустим, что все критические значения $f$ различны (такая функция называется строгой). Тогда возникает линейный порядок на базисных элементах и, как следствие, матрица дифференциала. Эта матрица зависит от римановой метрики. В настоящей заметке мы формулируем некоторые ограничения на вид этой матрицы в терминах функции $f$. Для этого вводится инвариант, являющийся усилением пар Баранникова [1]. Это инвариант функции относительно непрерывных деформаций в (несвязном) пространстве строго морсовских функций на данном многообразии. Зафиксируем строгую функцию Морса $f$. Для $a \in \mathbb{R}$ определим множество $M^a:=\{x \in M \colon f(x) \leqslant a\}$, называемое множеством меньших значений. Для каждой критической точки $x \in M$ выберем образующую в группе $\mathsf{H}_{\operatorname{ind}x}(M^{f(x)+\varepsilon}, M^{f(x)-\varepsilon};\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}$, где $\operatorname{ind}x$ – индекс критической точки $x$, а $\varepsilon \in \mathbb{R}_+$ достаточно мало. Этот выбор называется ориентацией $f$. Обозначим через $\operatorname{Cr}_k \subset M$ множество критических точек индекса $k$. Итак, после выбора общей римановой метрики возникает матрица $k$-го дифференциала в комплексе Морса, имеющая размеры $\mathbin{\#} \operatorname{Cr}_{k-1}\times\mathbin{\#}\operatorname{Cr}_k$ (для каждого $k \in\{1,\dots,\dim M\}$). Напомним, что матричный элемент в клетке $(i,j)$ равен количеству (непараметризованных) антиградиентных траекторий из точки индекса $k$ с номером $j$ в точку индекса $k-1$ с номером $i$, посчитанных с должными знаками. Здесь мы нумеруем точки индекса $d$ (для всех $d$) от $1$ до $\# \operatorname{Cr}_d$ по порядку возрастания критических значений, пользуясь строгостью $f$. Таким образом, критическая точка определяется двумя числами: индексом и порядковым номером. Мы переходим к описанию инварианта ориентированной строгой функции Морса $f$, в терминах которого далее будет сформулировано условие на матрицу дифференциала. Инвариант состоит из двух частей: пар Баранникова (для краткости просто пар) и чисел Брюа. Пара Баранникова – это пара $(x,y)$ критических точек $f$ соседнего индекса, подчиняющаяся условию: если $f(x) > f(y)$, то $\operatorname{ind}x=\operatorname{ind}y+1$. Каждая критическая точка может принадлежать максимум одной паре Баранникова. Приведенные условия являются необходимыми, но не достаточными; сама конструкция предъявлена ниже. Далее, число Брюа – это ненулевое рациональное число, приписанное каждой паре Баранникова. Пример изображен на рис. 1. Критическим точкам отвечают точки, упорядоченные снизу вверх по возрастанию критических значений. Индекс подписан сверху или снизу, пары обозначены отрезками. Число Брюа пары написано слева от середины соответствующего отрезка. Предъявим конструкцию инварианта. В дальнейшем гомологии берутся с коэффициентами в $\mathbb{Q}$. Пусть $x$ и $y$ – две критические точки индексов $k+1$ и $k$ соответственно такие, что $f(x) > f(y)$. По основной теореме теории Морса имеется гомотопическая эквивалентность $M^{f(x)+\varepsilon} \simeq M^{f(x)-\varepsilon} \cup_\varphi e^{k+1}$, где $e^{k+1}$ – клетка размерности $k+1$, а $\varphi \colon S^k \to M^{f(x)-\varepsilon}$ – ее характеристическое отображение, которое можно считать вложением. Рассмотрим фундаментальный класс соответствующей сферы как элемент в $\mathsf{H}_k(M^{f(x)-\varepsilon})$. Пусть $X$ – образ этого класса при отображении $\mathsf{H}_k(M^{f(x)-\varepsilon}) \to \mathsf{H}_k(M^{f(x)-\varepsilon}, M^{f(y)-\varepsilon})$. Далее, рассмотрим относительный фундаментальный класс клетки для точки $y$ как элемент в $\mathsf{H}_k(M^{f(y)+\varepsilon},M^{f(y)-\varepsilon})$. Пусть $Y$ – образ этого класса при отображении $\mathsf{H}_k(M^{f(y)+\varepsilon},M^{f(y)-\varepsilon}) \to \mathsf{H}_k(M^{f(x)-\varepsilon},M^{f(y)-\varepsilon})$, индуцированном вложением. Точки $x$ и $y$ образуют пару Баранникова тогда и только тогда, когда $X=\lambda Y \ne 0$ для некоторого $\lambda \in \mathbb{Q}$. Число $\lambda$ называется числом Брюа соответствующей пары. При выборе другой ориентации функции $f$ некоторые числа Брюа могут лишь поменять знак. Эквивалентность этого определения пар Баранникова и оригинального определения, данного в [1], показана в работе [3]; в ней же введены числа Брюа. Более того, в этой работе числа могут принимать значения не только в $\mathbb{Q}$, но и в любом поле. Для настоящей заметки эта общность, однако, нерелевантна. Отметим, что близкие идеи о числах Брюа над $\mathbb{Q}$ возникли независимо в [2]. Зафиксируем $k$ и определим подмножество $\mathcal{T}$ всех целочисленных матриц размера $\mathbin{\#}\operatorname{Cr}_{k-1}\times\mathbin{\#}\operatorname{Cr}_k$. Будем говорить, что клетка $(i,j)$ покрыта, если существует такая пара индексов $(i',j')$, что: 1) точки с номерами $i'$ и $j'$ образуют пару Баранникова; 2) $(i < i' \text{ И } j \geqslant j') \text{ ИЛИ } (i \leqslant i' \text{ И } j > j' )$. Далее, матрица $M$ принадлежит $\mathcal{T}$ тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) если клетка $(i,j)$ не покрыта и при этом точки $i$ и $j$ не образуют пару Баранникова, то $M_{i,j}=0$; 2) если клетка $(i,j)$ не покрыта и при этом точки $i$ и $j$ образуют пару Баранникова, то матричный элемент $M_{i,j}$ равен числу Брюа этой пары. Для примера на рис. 1 при $k=2$ матрицы из $\mathcal{T}$ имеют вид $\begin{pmatrix} * & * & * \\ 3 & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & 2 & * \\ \end{pmatrix}$. Теорема 1 [3]. Пусть $f$ – ориентированная строгая функция Морса на замкнутом многообразии $M$ и $k$ – натуральное число. Пусть $\mathcal{T}$ – подмножество матриц, сопоставленное ей вышеописанным образом. Тогда для любой общей римановой метрики матрица $k$-го дифференциала в комплексе Морса функции $f$ принадлежит множеству $\mathcal{T}$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PusTyo22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|