Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 5(467), страницы 185–186 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10032 (Mi rm10032)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10032

Финансовая поддержка	Номер гранта
Программа фундаментальных исследований НИУ ВШЭ
Министерство образования и науки Российской Федерации	5-100
Российский фонд фундаментальных исследований	18-01-00461
Simons Foundation
Исследование М. С. Тёмкина выполнено в рамках Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ и программы повышения конкурентоспособности ведущих университетов Российской Федерации (проект “5-100”). Работа П. Е. Пушкаря поддержана грантом Российского научного фонда (проект № 18-01-00461) и фондом Саймонса.

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, Pages 943–945
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10032e

Реферативные базы данных:

Рассмотрим гладкое замкнутое многообразие $M$ и функцию Морса $f$ на нем. После выбора римановой метрики общего положения (и должных ориентаций) возникает комплекс Морса, формально базированный критическими точками $f$. Допустим, что все критические значения $f$ различны (такая функция называется строгой). Тогда возникает линейный порядок на базисных элементах и, как следствие, матрица дифференциала. Эта матрица зависит от римановой метрики. В настоящей заметке мы формулируем некоторые ограничения на вид этой матрицы в терминах функции $f$. Для этого вводится инвариант, являющийся усилением пар Баранникова [1]. Это инвариант функции относительно непрерывных деформаций в (несвязном) пространстве строго морсовских функций на данном многообразии.

Зафиксируем строгую функцию Морса $f$. Для $a \in \mathbb{R}$ определим множество $M^a:=\{x \in M \colon f(x) \leqslant a\}$, называемое множеством меньших значений. Для каждой критической точки $x \in M$ выберем образующую в группе $\mathsf{H}_{\operatorname{ind}x}(M^{f(x)+\varepsilon}, M^{f(x)-\varepsilon};\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}$, где $\operatorname{ind}x$ – индекс критической точки $x$, а $\varepsilon \in \mathbb{R}_+$ достаточно мало. Этот выбор называется ориентацией $f$. Обозначим через $\operatorname{Cr}_k \subset M$ множество критических точек индекса $k$. Итак, после выбора общей римановой метрики возникает матрица $k$-го дифференциала в комплексе Морса, имеющая размеры $\mathbin{\#} \operatorname{Cr}_{k-1}\times\mathbin{\#}\operatorname{Cr}_k$ (для каждого $k \in\{1,\dots,\dim M\}$). Напомним, что матричный элемент в клетке $(i,j)$ равен количеству (непараметризованных) антиградиентных траекторий из точки индекса $k$ с номером $j$ в точку индекса $k-1$ с номером $i$, посчитанных с должными знаками. Здесь мы нумеруем точки индекса $d$ (для всех $d$) от $1$ до $\# \operatorname{Cr}_d$ по порядку возрастания критических значений, пользуясь строгостью $f$. Таким образом, критическая точка определяется двумя числами: индексом и порядковым номером.

Мы переходим к описанию инварианта ориентированной строгой функции Морса $f$, в терминах которого далее будет сформулировано условие на матрицу дифференциала. Инвариант состоит из двух частей: пар Баранникова (для краткости просто пар) и чисел Брюа. Пара Баранникова – это пара $(x,y)$ критических точек $f$ соседнего индекса, подчиняющаяся условию: если $f(x) > f(y)$, то $\operatorname{ind}x=\operatorname{ind}y+1$. Каждая критическая точка может принадлежать максимум одной паре Баранникова. Приведенные условия являются необходимыми, но не достаточными; сама конструкция предъявлена ниже. Далее, число Брюа – это ненулевое рациональное число, приписанное каждой паре Баранникова. Пример изображен на рис. 1. Критическим точкам отвечают точки, упорядоченные снизу вверх по возрастанию критических значений. Индекс подписан сверху или снизу, пары обозначены отрезками. Число Брюа пары написано слева от середины соответствующего отрезка.

Zoom inZoom out

Рис. 1.

Предъявим конструкцию инварианта. В дальнейшем гомологии берутся с коэффициентами в $\mathbb{Q}$. Пусть $x$ и $y$ – две критические точки индексов $k+1$ и $k$ соответственно такие, что $f(x) > f(y)$. По основной теореме теории Морса имеется гомотопическая эквивалентность $M^{f(x)+\varepsilon} \simeq M^{f(x)-\varepsilon} \cup_\varphi e^{k+1}$, где $e^{k+1}$ – клетка размерности $k+1$, а $\varphi \colon S^k \to M^{f(x)-\varepsilon}$ – ее характеристическое отображение, которое можно считать вложением. Рассмотрим фундаментальный класс соответствующей сферы как элемент в $\mathsf{H}_k(M^{f(x)-\varepsilon})$. Пусть $X$ – образ этого класса при отображении $\mathsf{H}_k(M^{f(x)-\varepsilon}) \to \mathsf{H}_k(M^{f(x)-\varepsilon}, M^{f(y)-\varepsilon})$. Далее, рассмотрим относительный фундаментальный класс клетки для точки $y$ как элемент в $\mathsf{H}_k(M^{f(y)+\varepsilon},M^{f(y)-\varepsilon})$. Пусть $Y$ – образ этого класса при отображении $\mathsf{H}_k(M^{f(y)+\varepsilon},M^{f(y)-\varepsilon}) \to \mathsf{H}_k(M^{f(x)-\varepsilon},M^{f(y)-\varepsilon})$, индуцированном вложением. Точки $x$ и $y$ образуют пару Баранникова тогда и только тогда, когда $X=\lambda Y \ne 0$ для некоторого $\lambda \in \mathbb{Q}$. Число $\lambda$ называется числом Брюа соответствующей пары. При выборе другой ориентации функции $f$ некоторые числа Брюа могут лишь поменять знак.

Эквивалентность этого определения пар Баранникова и оригинального определения, данного в [1], показана в работе [3]; в ней же введены числа Брюа. Более того, в этой работе числа могут принимать значения не только в $\mathbb{Q}$, но и в любом поле. Для настоящей заметки эта общность, однако, нерелевантна. Отметим, что близкие идеи о числах Брюа над $\mathbb{Q}$ возникли независимо в [2].

Зафиксируем $k$ и определим подмножество $\mathcal{T}$ всех целочисленных матриц размера $\mathbin{\#}\operatorname{Cr}_{k-1}\times\mathbin{\#}\operatorname{Cr}_k$. Будем говорить, что клетка $(i,j)$ покрыта, если существует такая пара индексов $(i',j')$, что: 1) точки с номерами $i'$ и $j'$ образуют пару Баранникова; 2) $(i < i' \text{ И } j \geqslant j') \text{ ИЛИ } (i \leqslant i' \text{ И } j > j' )$. Далее, матрица $M$ принадлежит $\mathcal{T}$ тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) если клетка $(i,j)$ не покрыта и при этом точки $i$ и $j$ не образуют пару Баранникова, то $M_{i,j}=0$; 2) если клетка $(i,j)$ не покрыта и при этом точки $i$ и $j$ образуют пару Баранникова, то матричный элемент $M_{i,j}$ равен числу Брюа этой пары. Для примера на рис. 1 при $k=2$ матрицы из $\mathcal{T}$ имеют вид

$\begin{pmatrix} * & * & * \\ 3 & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & 2 & * \\ \end{pmatrix}$.

Список литературы
1.	S. A. Barannikov, Singularities and bifurcations, Adv. Soviet Math., 21, 1994, 93–115
2.	D. Le Peutrec, F. Nier, C. Viterbo, Bar codes of persistent cohomology and Arrhenius law for $p$-forms, 2020, 147 pp., arXiv: 2002.06949
3.	P. Pushkar, M. Tyomkin, “Enhanced Bruhat decomposition and Morse theory”, Int. Math. Res. Not. IMRN (to appear); 2021 (v1 – 2020), 53 pp., arXiv: 2012.05307

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{PusTyo22}
\by П.~Е.~Пушкарь, М.~С.~Тёмкин
\paper О~матрице дифференциала в~комплексе Морса
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 5(467)
\pages 185--186
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10032}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10032}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582589}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..943P}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 5
\pages 943--945
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10032e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992306600004}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165410106}