| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Шашки Фейнмана: к алгоритмической квантовой теории М. Б. Скопенковabc, А. В. Устиновad a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук c King Abdullah University of Science and Technology, Thuwal, Saudi Arabia d Хабаровское отделение Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10025 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеНастоящий обзор посвящен шашкам Фейнмана – элементарной модели движения электрона, предложенной Р. Фейнманом. В этой игре шашка движется согласно простым правилам по клетчатой доске, а мы следим за ее поворотами (см. определение 2 и рис. 1). Шашки Фейнмана также можно рассматривать как одномерное квантовое блуждание, или модель Изинга, или подсчет числа диаграмм Юнга определенного вида.  Рис. 1.Вероятность обнаружить электрон в малом квадратике вокруг данной точки (белым показаны сильные колебания этой вероятности). Слева: в базовой модели из раздела 2 (ср. [52; рис. 6]). В центре: в уточнении из раздела 3 для меньшего размера клетки. Справа: в непрерывной теории. В последнем случае показана относительная плотность вероятности. 1.1. МотивировкаПростейший способ понять, что это за модель, – это рассмотреть классический двухщелевой опыт (см. рис. 2). В данном опыте (когерентный) пучок электронов направлен на пластину с двумя параллельными щелями. Часть пучка, прошедшая через щели, наблюдается на экране за пластиной. Если одна из щелей закрыта, то луч освещает на экране пятно. Если обе щели открыты, можно было бы ожидать пятно большего размера, но на самом деле мы видим последовательность ярких и темных полос (интерферограмму). Это показывает, что электроны ведут себя, как волны: волны проходят через обе щели, и вклады двух путей либо усиливают, либо гасят друг друга в зависимости от конечных фаз. Далее, если пропускать электроны через щели по одному, то, как и ожидается, на экране появляются отдельные точки. Однако примечательно, что та же интерферограмма со светлыми и темными полосами возникает, если накапливать результаты эксперимента. Нельзя предсказать, где конкретный электрон столкнется с экраном; все, что мы можем сделать, это вычислить вероятность обнаружения электрона в заданном месте. Метод Фейнмана суммирования по путям (или интеграла по путям) для вычисления таких вероятностей – присвоить фазы всем возможным путям и просуммировать полученные волны (см. [11], [12]). Шашки Фейнмана (или шахматная доска Фейнмана) основаны на особенно простом комбинаторном правиле для этих фаз в случае, когда электрон свободно движется (а лучше сказать, прыгает) по прямой. 1.2. Исторический обзор1.2.1. НачалоШашки Фейнмана были придуманы Р. Фейнманом в 1940-х годах [42] и впервые опубликованы в 1965 г. в известной книге [12]. В этой книге в задаче 2.6 строится функция на решетке с малым шагом $\varepsilon$ (называемая ядром; см. (2)) и ставится следующая проблема: показать, что если интервал времени очень велик ($t_b-t_a\kern-1pt\gg \kern-1pt \hbar/mc^2$), а средняя скорость мала ($x_b-x_a\ll c(t_b-t_a)$), то ядро (если не считать множителя $\exp[(imc^2/\hbar)(t_b-t_a)]$) совпадает с выражением для свободной частицы (см. [12; (3.3)]). Математически это означает, что ядро (деленное на $2i\varepsilon\exp[(-imc^2/\hbar)(t_b-t_a)]$) асимптотически равно ядру свободной частицы (24) (это и есть уравнение (3.3) из [12]) в тройном пределе, когда время стремится к бесконечности, а средняя скорость и шаг решетки стремятся к нулю (см. табл. 1 и рис. 3). Деление на шаг решетки и стремление шага к нулю подразумевалось в проблеме, иначе упомянутый “исключительный” множитель был бы другим (см. пример 4). Мы покажем, что это математическое утверждение, хотя и неверно буквально, справедливо при небольших ограничениях (см. следствие 5). Хотя физикам-теоретикам проблема Фейнмана может показаться простой, тем не менее даже первого шага математического решения (опровержения утверждения в том виде, как оно сформулировано) не удается найти в литературе. Как обычно, основная трудность в том, чтобы доказать сходимость, а не угадать предел. Таблица 1.Выражения для пропагаторов частицы, свободно движущейся в одном пространственном и одном временном измерении. Квадрат нормы пропагатора имеет смысл относительной плотности вероятности обнаружить частицу в данной точке или, иначе, плотности заряда в этой точке.
В 1972 г. Дж. Нарликар [36] обнаружил, что ядро (2) воспроизводит запаздывающий пропагатор для спина $1/2$ в другом пределе, когда шаг решетки стремится к нулю, а время остается фиксированным (см. табл. 1, рис. 4 и 1, следствие 6). В 1984 г. Т. Джэкобсон и Л. Шульман [23] повторили этот вывод, применили метод стационарной фазы (среди других блестящих идей) и нашли вероятность смены направления движения электрона (ср. с теоремой 6). Замечательные работы этого периода не содержат математических доказательств, в них даны лишь приближенные вычисления без оценки погрешности. 1.2.2. Модель ИзингаВ 1981 г. Х. Герш заметил, что шашки Фейнмана можно рассматривать как одномерную модель Изинга при мнимой температуре или мнимых весах ребер (см. п. 2.2 и [18], [23; § 3]). Мнимые значения этих величин обычны в физике (например, в квантовой теории поля или цепях переменного тока). Из-за мнимости вклады большинства конфигураций сокращаются, что делает модель крайне нетривиальной, несмотря на одномерность. В частности, модель демонстрирует фазовый переход (см. рис. 1 и 5). Удивительно, что ранее об этом не упоминалось. Фазовые переходы изучались только в более сложных одномерных моделях Изинга [25; § III], [35], несмотря на известный эквивалентный результат, который мы сейчас обсудим (см. теорему 1, (B), и следствие 3).  Рис. 5.Распределение положения $x$ электрона в момент времени $t=100$ в естественной системе единиц для базовой модели из раздела 2 (рис. (a), точки). Его нормированный логарифм (рис. (b), точки) и функция распределения (рис. (c), точки). Их (слабые) маштабированные пределы при $t\to+\infty$ (кривые). Кривая на рис. (b) также является графиком (минус мнимой части) предельной плотности свободной энергии в модели Изинга. Точки неаналитичности кривых отражают фазовый переход. 1.2.3. Квантовое блужданиеВ 2001 г. А. Амбаинис, Э. Бах, А. Наяк, А. Вишванат и Дж. Ватрус совершили прорыв [1]. Они изучали шашки Фейнмана под названиями одномерное квантовое блуждание и блуждание Адамара; эти нетривиально определяемые модели совершенно эквивалентны фейнмановской. Они установили предельное поведение модели при больших временах (см. теорему 2). Они обнаружили несколько поразительных свойств, резко контрастирующих как с непрерывной теорией, так и с классическим случайным блужданием. Во-первых, наиболее вероятная средняя скорость электрона в модели равна $1/\sqrt{2}$ от скорости света, и вероятность превысить это значение крайне мала (см. рис. 5, (a), рис. 1 слева и теорему 1, (B)). Во-вторых, если поместить поглощающую границу сразу слева от начальной точки, то вероятность поглощения электрона на этой границе будет равна $2/\pi$. В-третьих, если установить еще одну поглощающую границу в точке с координатой $x>0$, то вероятность поглощения электрона на левой границе возрастет, достигая $1/\sqrt{2}$ в пределе при $x\to+\infty$. Напомним, что для классического блуждания обе вероятности равны $1$. Еще они нашли множество комбинаторных соотношений и выразили упомянутое выше ядро через значения многочленов Якоби в конкретной точке (см. замечание 3; ср. [48; § 2]). Н. Конно изучал квантовое блуждание со сносом [29], [30], которое по существу также эквивалентно модели Фейнмана (см. замечание 4). Он нашел распределение положения электрона в (слабом) пределе больших времен (см. рис. 5 и теорему 1, (B)). Этот результат был доказан математически Г. Гримметом, С. Джэнсоном и П. Скудо [20]. В выдающейся работе [49] 2012 г. Т. Сунада и Т. Татэ нашли и доказали асимптотику для указанного распределения в пределе больших времен (см. теоремы 2–4). Но даже этот результат недостаточен для решения проблемы Фейнмана, так как в нем оценка остаточного члена неравномерна по шагу решетки. В 2018 г. М. Маэда с соавторами доказали оценку для максимума распределения на больших временах [33; теорема 2.1]. Квантовые блуждания были обобщены на произвольные графы и применены для построения квантовых алгоритмов (пример реализации см. на рис. 6 и в [17]). Для получения более детальной информации по данному направлению рекомендуем обзоры М. Дж. Кантеро, Ф. А. Грюнбаума, Л. Морала, Л. Веласкеса [7], Н. Конно [30], [31], Дж. Кемпе [27] и С. Э. Венегас-Андрака [51].  Рис. 6.Реализация базовой модели из раздела 2 на квантовом компьютере с использованием языка квантовых схем (рис. (a)). На выходе получается случайная битовая строка, кодирующая положение $x$ электрона в момент времени $t=4$ (ср. рис. 8). Строки 000, 010, 100, 110 кодируют $x=4,2,0,-2$ соответственно. Распределение величины $x$ (рис. (b) слева) и гистограмма для квантового компьютера IBM Lima (рис. (b) справа) [45; § 19]. См. подробнее в [17]. 1.2.4. Решеточные квантовые теории поляВ более общем контексте, это направление в сторону создания решеточной квантовой теории поля с “метрикой” Минковского, в которой как пространство, так и время дискретны [2]. В 1970-х годах Ф. Вегнер и К. Вильсон предложили решеточную калибровочную теорию как средство вычислений в калибровочной теории, описывающей все известные взаимодействия, кроме гравитации; см. научно-популярное введение в [34]. Кульминацией стало теоретическое вычисление массы протона с ошибкой менее $2\%$ (эта оценка ошибки основана на дополнительных предположениях). Эта теория евклидова в том смысле, что время в ней является мнимой величиной. Асимптотика пропагатора для (безмассового) евклидова решеточного уравнения Дирака [28; теорема 4.3] сыграла главную роль в непрерывном пределе модели Изинга, найденном Д. Челкаком и С. Смирновым [8]. Аналогичным образом, асимптотики для пропагатора с “метрикой” Минковского (теоремы 2–5) могут пригодиться для отсутствующей пока решеточной квантовой теории поля с такой метрикой. Некоторые авторы утверждают, что в шашках Фейнмана нет удвоения фермионов, присущего евклидовым решеточным теориям, а условия запрещающей теоремы Нильсена–Ниномия обходятся [4], [15]. В литературе обсуждались уточнения модели Фейнмана. Например, Б. Гаво и Л. Шульман [16] (1989 г.) и Г. Орд [38] (1997 г.) добавили в нее электромагнитное поле. Тогда они не достигли ни сохранения заряда, ни обобщения на неабелевы калибровочные теории; это сделано в определении 3. Другой пример – добавление массовой матрицы П. Джизбой [24]. Давней мечтой было включить в модель пути шашки, которые поворачивали бы вспять во времени или образовывали циклы [42; с. 481–483], [22]; это означало бы рождение электрон-позитронных пар, знаменуя переход от квантовой механики к квантовой теории поля. Искали комбинаторную модель, дающую фейнмановский, а не запаздывающий пропагатор в непрерывном пределе (см. табл. 1). Известные конструкции (например, прыжковое разложение) не приводили к фейнмановскому пропагатору из-за некоторых решеточных артефактов (так, название работы [39] может ввести в заблуждение: фейнмановский пропагатор там не обсуждается). В безмассовом случае некомбинаторное построение фейнмановского пропагатора на решетке имеется у К. Бендера, Л. Мэда, К. Милтона и Д. Шарпа в [2; § 9F] и [3; § IV]. В определении 6, наконец, дано искомое комбинаторное построение. Другая давняя открытая проблема – обобщить модель на настоящий $4$-мерный мир. Р. Фейнман в нобелевской лекции упоминает о своих неудачных попытках. Есть ряд новых подходов, скажем, в работе Б. Фостера и Т. Джэкобсона 2017 г. [15]. Но их модели не так просты и красивы, как исходная двумерная модель, что отмечается в самой работе [15; § 7.1]. 1.2.5. О физических и математических работахФизическая литература на эту тему весьма обширна [51], и мы не можем упомянуть все замечательные работы в этом кратком обзоре. Удивительно, что в литературе мы не нашли свойства концентрации меры при стремлении шага решетки к нулю, которое сразу обращает на себя внимание (см. следствие 7). Многие статьи написаны настолько хорошо, что физические теоремы и доказательства в них могут быть приняты за математические, хотя таковыми не являются (см. п. “Подводные камни” в конце раздела 12). Нам известно всего несколько математических работ на эту тему, например, [20], [49], [33]. 1.3. Основные результатыМы приводим математическое доказательство гипотезы Фейнмана 1965 г. о том, что его дискретная модель согласуется с непрерывной, а именно воспроизводит обычное квантовомеханическое ядро свободной частицы при больших временах, малой средней скорости и малом шаге решетки (см. следствие 5). Мы вычисляем асимптотики решеточного пропагатора при больших временах и при малом шаге решетки, равномерные по параметрам модели (см. теоремы 2 и 5). Мы впервые отмечаем и доказываем концентрацию меры в непрерывном пределе: средняя скорость электрона, испущенного точечным источником, близка к скорости света с высокой вероятностью (см. следствие 7). Эти результаты можно интерпретировать как асимптотические свойства диаграмм Юнга (см. следствие 2) и многочленов Якоби (см. замечание 3). Все эти результаты математически доказываются впервые. Для их формулировки достаточно лишь определения 2. В определениях 3 и 6 мы устанавливаем связь с решеточной калибровочной теорией и производим вторичное квантование модели, превращая шашки Фейнмана в полноценную квантовую теорию поля. 1.4. Структура работы и план дальнейших исследованийВначале мы даем определения и точные формулировки результатов, и в процессе приводим примеры, иллюстрирующие простейшие концепции квантовой механики и не требующие предварительных знаний. Это те самые примеры, которые Р. Фейнман приводит первыми в своих собственных книгах. Так, шашки Фейнмана (см. раздел 3) – первый конкретный пример во всей книге [12]. Отражение от тонкой пленки (см. раздел 7) – первый пример в [11]; ср. с рис. 10, 11 там. Поэтому мы надеемся, что эти примеры могут прояснить суть происходящего читателям, не знакомым с квантовой теорией. Мы начинаем с простейшего (и грубого) частного случая модели и шаг за шагом уточняем ее в каждом следующем разделе. Перед каждым уточнением мы резюмируем: физический вопрос, которого оно касается; упрощающие предположения, которые оно отбрасывает или дополнительно накладывает; экспериментальные и теоретические результаты, которые оно воспроизводит. Некоторые уточнения (разделы 7–9) лишь анонсируются и будут обсуждаться подробно в последующих публикациях, например в [46]. Наша цель – $(1+1)$-мерная решеточная квантовая электродинамика (“КЭД”), но последние шаги на пути к ней (упомянутые в разделе 10) до сих пор не сделаны. Открытые проблемы собраны в разделе 11. Для удобного ориентирования приводим схему зависимости уточнений: Мы надеемся, что это перспективный путь, чтобы сделать квантовую теорию поля математически строгой и алгоритмической. Алгоритмическая квантовая теория поля – это такая, которая для данной экспериментально измеряемой величины и числа $\delta>0$ давала бы точную формулировку алгоритма, предсказывающего эту величину с точностью $\delta$. (Разумеется, предсказание не обязано согласовываться с экспериментом для $\delta$, меньших точности самой теории.) См. игрушечный пример в алгоритме 1. Это было бы продолжением конструктивной квантовой теории поля (пока что далекой от алгоритмической). Применения квантовой теории к компьютерным наукам сейчас популярны, но и противоположное направление может быть плодотворно. Алгоритмическое мышление – еще и способ сделать предмет понятным неспециалистам, как происходит, например, в алгебраической топологии. Данная статья написана на математическом уровне строгости в том смысле, что все определения, соглашения и теоремы (в том числе следствия, предложения, леммы) нужно понимать буквально. Теоремы остаются верными, даже если их вырезать из текста. Доказательства теорем используют формулировки, но не доказательства других теорем. Большинство формулировок гораздо менее техничны, чем доказательства; поэтому доказательства собраны в отдельном разделе 12, а длинные вычисления отнесены в [45]. В процессе доказательств мы даем не требующее предварительных знаний введение в основные методы изучения модели Фейнмана: комбинаторные тождества, интеграл Фурье, метод моментов, метод стационарной фазы. Замечания неформальны и обычно не используются в остальном тексте (а потому их можно пропустить). Текст вне определений, теорем, доказательств также формально не используется. 2. Базовая модель (блуждание Адамара)Вопрос: какова вероятность обнаружения электрона в клетке $(x,t)$, если он был испущен из $(0,0)$? Предположения: нет самодействия, нет рождения электрон-позитронных пар, фиксированные масса и шаг решетки, точечный источник; электрон движется либо по плоскости, “смещаясь равномерно вдоль оси $t$”, либо по прямой (и тогда $t$ – это время). Результаты: двухщелевой опыт (качественное объяснение), сохранение заряда, предельное распределение при больших временах. 2.1. Определение и примерыМы начнем с неформального определения в духе [11], а затем дадим точное. На бесконечной шахматной доске шашка ходит на соседнюю по диагонали клетку, влево-вверх или вправо-вверх (см. рис. 7, (a)). Каждому пути $s$ шашки поставим в соответствие вектор $a(s)$ на плоскости следующим образом (см. рис. 7, (b)). Рассмотрим секундомер, стрелка которого вращается по мере движения шашки. В начале движения стрелка секундомера направлена вверх. Пока шашка движется вдоль прямой, стрелка не двигается, а после каждого поворота шашки она поворачивается на $90^\circ$ по часовой стрелке (независимо от того, в какую сторону повернула шашка). Итоговое положение стрелки – это направление вектора ${a}(s)$. Длина вектора равна $2^{(t-1)/2}$, где $t$ – общее число ходов шашки (это просто нормировка, смысл которой будет ясен в дальнейшем). Полученный в итоге вектор и есть $a(s)$. Например, для пути $s$ на рис. 7, (b) (вверху), получаем $a(s)=(0,-1/2)$. Обозначим $a(x,t):=\displaystyle\sum_s a(s)$, где сумма берется по всем путям шашки из клетки $(0,0)$ в клетку $(x,t)$, начинающимся с хода вправо-вверх. Например, $a(1,3)=(0,-1/2)+(1/2,0)=(1/2,-1/2)$; см. рис. 7, (c). Квадрат длины вектора $a(x,t)$ называется вероятностью обнаружения в точке $(x,t)$ электрона, испущенного из точки $(0,0)$. (Данная терминология поясняется в п. 2.2.) Сам вектор $a(x,t)$ называется стрелкой [11; рис. 6]. Резюмируем описанную конструкцию строго. Определение 1. Путь шашки – это такая конечная последовательность целых точек плоскости, что вектор из каждой точки (кроме последней) к следующей равен либо $(1,1)$, либо $(-1,1)$. Поворот – это такая точка пути (не первая и не последняя), что вектор, соединяющий эту точку с предыдущей, ортогонален вектору, соединяющему ее со следующей. Стрелка – это комплексное число где сумма берется по всем путям $s$ шашки из $(0,0)$ в $(x,t)$ с первым шагом в $(1,1)$, а $\operatorname{turns}(s)$ обозначает общее число поворотов в $s$. Здесь и далее пустая сумма по определению считается равной нулю. Обозначим Точки (или клетки) $(x,t)$ с четным и нечетным $x+t$ называются черными и белыми соответственно.  Рис. 8.Стрелки $a(x,t)$ и вероятности $P(x,t)$ для малых $x$, $t$ (рис. (a); масштаб зависит от строки.) Стрелки $10a(x,t)$ для $t\leqslant 50$ (рис. (b)). Ср. рис. 6. Таблица 2.Стрелки $a(x,t)$ для малых $x$, $t$
Стрелки $a(x,t)$ и вероятности $P(x,t)$ для малых $x$, $t$ проиллюстрированы на рис. 8 и в табл. 2. На рис. 9 изображены графики $P(x,1000)$, $a_1(x,1000)$ и $a_2(x,1000)$ как функций от четного $x$. Мы видим, что, с изменением конечного положения $x$ в некоторый фиксированный большой момент времени $t$, сразу после достижения пика вероятность резко падает до очень малых, но все еще ненулевых значений. Интересно неожиданное положение пика, далекое от $x=t$. На рис. 1 слева цвет точки $(x,t)$, где $x+t$ четно, показывает значение $P(x,t)$. Обратим внимание, что стороны видимого на рисунке угла – это не прямые $t=\pm x$, как можно было бы ожидать. Стороны этого угла суть $t=\pm \sqrt{2}\,x$ (см. теорему 1, (A)). 2.2. Физическая интерпретацияОбсудим возможные интерпретации модели и покажем, что этой модели действительно удается передать невероятное поведение электронов. Есть две разные физические интерпретации (см. табл. 3) и одна комбинаторная. Таблица 3.Физическая интерпретация шашек Фейнмана
2.2.1. Стандартная интерпретацияКоординаты $x$ и $t$ интерпретируются как положение электрона и время соответственно. Иногда (скажем, в примере 1) немного неформально обе координаты интерпретируются как положение, и мы считаем, что электрон выполняет “классическое равномерное движение” по оси $t$. Мы используем естественную систему единиц, в которой скорость света, а также постоянные Планка и Больцмана равны $1$. Таким образом, прямые $x=\pm t$ изображают движение со скоростью света. Любой путь шашки лежит не ниже обеих прямых, т. е. в световом конусе. Это согласуется с теорией относительности: скорость электрона не может превышать скорость света. Чтобы думать о $P(x,t)$ как о вероятности, нужно рассматривать координату $t$ как фиксированную, а клетки $(-t,t),(-t+2,t),\dots,(t,t)$ – как всевозможные исходы эксперимента. Например, $t$-я горизонталь может быть экраном, детектирующим электрон. Впоследствии мы увидим, что сумма всех чисел $P(x,t)$ на одной горизонтали в самом деле равна $1$ (предложение 2), и поэтому мы можем рассматривать их как “вероятности”. Отметим, что вероятность обнаружить электрон в множестве $X\subset\mathbb{Z}$ – это $P(X,t):=\displaystyle\sum_{x\in X}P(x,t)= \displaystyle\sum_{x\in X}|a(x,t)|^2$, а не $\biggl|\,\displaystyle\sum_{x\in X}a(x,t)\biggr|^2$ (ср. [11; рис. 50]). В реальности точно измерить положение электрона невозможно. Фундаментальным ограничением является приведенная комптоновская длина волны $\lambda=1/m\approx 4\cdot 10^{-13}$ м, где $m$ – масса электрона. На физическом языке, базовая модель аппроксимирует континуум решеткой с шагом ровно $\lambda$. Но это все еще грубое приближение: нужен еще меньший шаг, чтобы избежать накопления ошибки аппроксимации при больших $x$ и $t$. Например, на рис. 1 слева и на рис. 10 слева изображен эффект решетки с конечным шагом – перенормировка скорости света: средняя скорость $x/t$ не может превосходить $1/\sqrt{2}$ от скорости света с большой вероятностью. (Объяснение в физических терминах: решеточная регуляризация обрезает расстояния меньше шага решетки, а следовательно, малые длины волн, а с ними и большие импульсы, а значит, и большие скорости.) Более точная модель представлена в разделе 3: ср. графики на рис. 1. Теперь мы собираемся показать, что этой модели действительно удается передать парадоксальное поведение электронов. (Для получения правильных количественных результатов, таких, например, как точная форма интерферограммы, необходимо усовершенствование модели, использующее когерентный источник; см. раздел 6.) Вероятность обнаружения электрона в клетке $(x,t)$ при поглощении в подмножестве $B\subset\mathbb{Z}^2$ определяется аналогично $P(x,t)$, только суммирование производится по путям шашки $s$, не имеющим общих точек с $B$, кроме, быть может, $(0,0)$ и $(x,t)$. Обозначим эту вероятность $P(x,t,\text{ минуя }B)$. Неформально это значит, что появляется дополнительный исход эксперимента, при котором электрон поглощается и не достигает экрана. В следующем примере мы рассматриваем две черные клетки $(\pm1,1)$ на горизонтали $t=1$ как две щели в горизонтальной пластине (ср. рис. 2). Пример 1 (двухщелевой опыт). Различные пути нельзя рассматривать как “взаимоисключающие”: Иногда поглощение может увеличить вероятность: Стандартная интерпретация шашек Фейнмана также известна под названиями блуждание Адамара или, более общо, как одномерное квантовое блуждание и квантовый решеточный газ. Все эти понятия эквивалентны, но приводят к обобщениям модели в разных направлениях [51], [30], [52]. Например, объединение усовершенствований из разделов 3–7 дает общее неоднородное квантовое блуждание. Удивительные свойства квантовых блужданий, упомянутые в п. 1.2, точно формулируются так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{t=1}^{\infty}P\bigl(0,t,\text{ минуя }\{x=0\}\bigr)&= \frac{2}{\pi}\leqslant \sum_{t=1}^{\infty} P\bigl(0,t, \text{ минуя } \{x=0\}\cup \{x=n\}\bigr) \\ &\to \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{при }n\to+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Недавно М. Дмитриев [10] нашел $\displaystyle\sum_{t=1}^{\infty}P(n,t, \text{ минуя } \{x=n\})$ для нескольких $n\ne 0$ (см. проблему 6). Например, при $n=3$ получается $8/\pi-2$. Похожие числа возникают для простого случайного блуждания на $\mathbb{Z}^2$ [43; табл. 2]. 2.2.2. Интерпретация через спиновую цепочкуЕсть совершенно другая физическая интерпретация той же самой модели: одномерная модель Изинга с мнимой температурой и фиксированной намагниченностью. Напомним, что конфигурация в модели Изинга – это последовательность $\sigma=(\sigma_1,\dots,\sigma_t)$ фиксированной длины, состоящая из чисел $\pm 1$. Намагниченностью и энергией конфигурации называются $\displaystyle\sum_{k=1}^{t}\dfrac{\sigma_k}{t}$ и $H(\sigma)=\displaystyle\sum_{k=1}^{t-1}(1-\sigma_k\sigma_{k+1})$ соответственно. Вероятностью конфигурации считается $e^{-\beta H(\sigma)}/Z(\beta)$, где обратная температура $\beta=1/T>0$ – некоторый параметр, а статистическая сумма $Z(\beta):=\displaystyle\sum_\sigma e^{-\beta H(\sigma)}$ – нормирующий множитель. На конфигурацию $\sigma$ обычно накладываются дополнительные ограничения. Теперь, двигая шашку вдоль пути $s$, будем писать знак “$+$” для каждого хода вправо-вверх и знак “$-$” для каждого хода влево-вверх; см. рис. 11 слева. Полученная последовательность знаков – некоторая конфигурация в модели Изинга. Количество поворотов в $s$ равно половине энергии конфигурации, а отношение конечных $x$- и $t$-координат равно намагниченности. Поэтому $a(x,t)=\displaystyle\sum_s a(s)$ совпадает (с точностью до не зависящего от $x$ множителя) со статистической суммой модели Изинга при мнимой обратной температуре $\beta=i\pi/4$ и фиксированной намагниченности $x/t$:
$$
\begin{equation*}
a(x,t)=2^{(1-t)/2}i\sum_{\substack{(\sigma_1,\dots,\sigma_t)\in\{+1,-1\}^t: \\ \sigma_1=+1,\sum_{k=1}^{t-1}\sigma_k=x}} \exp\biggl(\frac{i\pi}{4}\sum_{k=1}^{t-1}(\sigma_k\sigma_{k+1}-1)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим принципиальное отличие полученной интерпретации через спиновую цепочку как от обычной модели Изинга, так и от стандартной интерпретации выше. В последних двух моделях намагниченность $x/t$ и средняя скорость $x/t$ были случайными величинами; теперь же намагниченность $x/t$ (которую не следует путать с внешним магнитным полем) является внешним ограничением. Конфигурационное пространство для интерпретации через спиновую цепочку состоит из последовательностей знаков “$+$” и “$-$” с фиксированным количеством “$+$” и “$-$”. Суммирование по конфигурациям с разными $x$ или $t$ не имело бы никакого смысла: например, напомним, что $P(X,t)=\displaystyle\sum_{x\in X}|a(x,t)|^2$, а не $\biggl|\displaystyle\sum_{x\in X}a(x,t)\biggr|^2$. Изменяя намагниченность $x/t$, рассматриваемую как внешнее ограничение, мы наблюдаем фазовый переход: предельная плотность свободной энергии (точнее, ее мнимая часть) $-\log(a(x,t))/(\beta t)$ неаналитична, когда $x/t$ проходит через значение $\pm 1/\sqrt{2}$ (см. рис. 5, (b), и следствие 3). Фазовый переход проявляется при $t\to+\infty$. Интересно было бы изучить другие параметры порядка, например “вероятность” $i\,a_2(x,t)/a(x,t)$ одинаковых знаков на концах спиновой цепочки (см. рис. 10 и проблемы 4, 5). Эти величины являются комплексными числами, просто потому, что температура мнимая. (Комментарий для специалистов: фазовый переход не связан с накоплением нулей статистической суммы на плоскости комплексного параметра $\beta$, как в [25; § III] и [35]. В нашей ситуации $\beta=i\pi/4$ фиксировано, вещественный параметр $x/t$ изменяется, а статистическая сумма $a(x,t)$ совсем не имеет нулей [37; теорема 1].) 2.2.3. Интерпретация через диаграммы ЮнгаНаши результаты также имеют комбинаторную интерпретацию. Число ступеней (или внутренних углов) диаграммы Юнга с $w$ столбцами высот $x_1,\dots,x_w$ соответственно – это количество элементов в множестве $\{x_1,\dots,x_w\}$; см. рис. 11 слева. Тогда величина $2^{(h+w-1)/2}a_1(h-w,h+w)$ равна разности между количеством диаграмм Юнга с нечетным и с четным числом ступеней, имеющих ровно $w$ столбцов и $h$ строк. Интересное поведение начинается уже для $h=w$ (см. предложение 4). При четном $h=w$ наша разность обращается в нуль. При нечетном $h=w=2n+1$ она равна $(-1)^n\binom{2n}{n}$. Такая периодичность с периодом $4$ примерно сохраняется, пока $h$ близко к $w$ [44; теорема 2]. При фиксированном полупериметре $h+w$ наша разность медленно колеблется с ростом $h/w$, достигает пика при $h/w\approx 3+2\sqrt{2}$ , а затем резко падает до очень малых значений (см. следствие 2 и теоремы 2–4). Аналогично, величина $2^{(h+w-1)/2}a_2(h-w,h+w)$ равна разности между количеством диаграмм Юнга с нечетным и с четным числом ступеней, имеющих ровно $w$ столбцов и менее $h$ строк. Поведение аналогично. Уточнение в разделе 3 связано с характерными многочленами Стенли [48; § 2]. 2.2.4. Обсуждение определенияСравним определение 1 с определениями в литературе. Обозначение “$a$” происходит от слов “arrow” и “probability amplitude”. Другие названия: “волновая функция”, “ядро”, “функция Грина”, “пропагатор”. Более традиционные обозначения: $\psi$, $K$, $G$, $\Delta$, $S$, в зависимости от контекста. Мы будем использовать нейтральное обозначение, подходящее для всех контекстов. Множитель $i$ и знак минуса в определении непринципиальны (и отсутствуют в первоисточнике [12; задача 2.6]). Они появляются из-за обычного начального положения и направления вращения стрелки секундомера и сокращают число минусов впоследствии. Нормирующий множитель $2^{(1-t)/2}$ можно объяснить по аналогии с классическим случайным блужданием. Если бы шашка просто выполняла случайное блуждание, выбирая одно из двух возможных направлений на каждом шаге (после обязательного первого хода вправо-вверх), то число $|a(s)|^2=2^{1-t}$ было бы вероятностью пути $s$. К данной аналогии следует относиться с осторожностью: в квантовой теории “вероятность пути” не имеет абсолютно никакого смысла (вспомните пример 1). Причина в том, что путь – это не то, что можно измерить: измерение положения электрона в один момент времени сильно влияет на его движение для всех последующих моментов. Более концептуально было бы также фиксировать направление последнего хода пути $s$ (см. [12; абзац после уравнения (2-27)]). К счастью, такая фиксация не требуется в данной работе (и поэтому не делается), но становится критически важной в дальнейших уточнениях модели (см. объяснение в разделе 4). Можно задаться вопросом, откуда взялась эта модель. Следуя Фейнману, мы не будем пытаться объяснить или “вывести” ее физически. Эту квантовую модель нельзя получить из классической с помощью фейнмановского суммирования по путям: просто не существует ясного классического аналога частицы со спином $1/2$ (ср. раздел 4) и настоящего понимания спина. “Вывод” модели в [1], [4], [36] требует намного более сложных понятий, чем сама модель. Истинной мотивировкой для этой модели является ее простота, согласованность с базовыми принципами (такими как сохранение вероятности) и с экспериментом (что в данном случае означает правильный непрерывный предел, см. следствие 6). 2.3. Тождества и асимптотикиСформулируем несколько известных свойств нашей модели. Доказательства даны в п. 12.1. Для начала отметим, что координаты стрелки $a_1(x,t)$ и $a_2(x,t)$ удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению. Эти уравнения имитируют $(1+1)$-мерное уравнение Дирака в базисе Вейля [41; (19.4) и (3.31)]
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} m &\dfrac{\partial}{\partial x}-\dfrac{\partial}{\partial t} \\ \dfrac{\partial}{\partial x}+\dfrac{\partial}{\partial t} & m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2(x,t) \\ a_1(x,t) \end{pmatrix}=0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
в котором производные заменены на конечные разности, $m=1$, а также добавлен нормирующий множитель $1/\sqrt{2}$ . Для уточнения модели в разделе 3 эта аналогия становится прозрачной (см. замечание 2). Базис Вейля не единственен, поэтому существует несколько форм уравнения (1); ср. [23; (1)]. Уравнение Дирака влечет сохранение вероятности. Предложение 2 (сохранение вероятности/заряда). Для каждого целого $t\geqslant 1$ выполнено равенство $\displaystyle\sum_{x\in\mathbb{Z}}P(x,t)=1$. Существует “явная” формула для $a_1(x,t)$ и $a_2(x,t)$ (альтернативные формулы приведены в разделе 13). Предложение 3 (“явная” формула). Для всех целых $|x|<t$, где $x+t$ четно, выполнены равенства Следующее предложение является прямым следствием “явной” формулы. Предложение 4 (частные значения). Для всех целых $1\leqslant k\leqslant t-1$ значения $a_1(-t+2k,t)$ и $a_2(-t+2k,t)$ – это коэффициенты при $z^{t-k-1}$ и $z^{t-k}$ в разложении многочлена $2^{(1-t)/2}(1+z)^{t-k-1}(1-z)^{k-1}$. В частности, В п. 3.1 мы приведем больше тождеств. Последовательности $2^{(t-1)/2}a_1(x,t)$ и $2^{(t-1)/2}a_2(x,t)$ есть в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей [47; A098593 и A104967]. Следующий примечательный результат был обнаружен в [1; § 4] (см. рис. 5 и 10), сформулирован и обоснован эвристически в [29; теорема 1] и доказан на математическом уровне строгости в [20; теорема 1]. Краткое изложение последнего доказательства дано в п. 12.2, обобщения приведены в п. 3.2. Теорема 1 (предельное распределение при больших временах; см. рис. 10). (A) Для любого $v\in\mathbb{R}$ верно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\displaystyle\lim_{t\to\infty}\,\sum_{x\leqslant vt}}P(x,t)=F(v):= \begin{cases} 0 & \textit{при}\ v\leqslant -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,, \\ \dfrac{1}{\pi}\arccos\dfrac{1-2v}{\sqrt{2}\,(1-v)} & \textit{при}\ |v|<\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,, \\ 1 & \textit{при}\ v\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(B) Имеет место следующая сходимость по распределению при $t\to+\infty$:
$$
\begin{equation*}
tP(\lceil vt\rceil,t)\overset{d}\to F'(v)=\begin{cases} \dfrac{1}{\pi(1-v)\sqrt{1-2v^2}} & \textit{при}\ |v|< \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,, \\ 0 & \textit{при}\ |v|\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
(C) Для любого целого $r\geqslant 0$ верно, что Теорема 1, (B), демонстрирует фазовый переход в шашках Фейнмана, если интерпретировать их как модель Изинга при мнимой температуре и фиксированной намагниченности. Напомним, что тогда намагниченность $v$ является внешним ограничением (а не случайной величиной), а $P(\lceil vt\rceil,t)$ – это квадрат нормы статистической суммы (а не вероятность). Предел по распределению для $tP(\lceil vt\rceil,t)$ разрывен в точках $v=\pm 1/\sqrt{2}$ , что отражает фазовый переход (ср. со следствием 3). 3. Масса (квантовое блуждание со сносом)Вопрос: какова вероятность обнаружения в клетке $(x,t)$ электрона массой $m$, испущенного из $(0,0)$? Предположения: масса и сторона клетки теперь любые. Результаты: аналитические выражения для вероятности при больших временах или малой длине стороны клетки, концентрация меры. 3.1. ТождестваОпределение 2. Зафиксируем $\varepsilon>0$ и $m\geqslant 0$, называемые шагом решетки и массой частицы соответственно. Рассмотрим решетку $\varepsilon\mathbb{Z}^2= \{(x,t)\colon x/\varepsilon, t/\varepsilon\in\mathbb{Z}\}$ (см. рис. 3). Путь $s$ шашки – это такая конечная последовательность точек решетки, что вектор из каждой точки (кроме последней) к следующей равен либо $(\varepsilon,\varepsilon)$, либо $(-\varepsilon,\varepsilon)$. Обозначим через $\operatorname{turns}(s)$ количество таких точек пути $s$ (не считая первую и последнюю), что вектор, соединяющий эту точку с предыдущей, ортогонален вектору, соединяющему ее со следующей. Для каждого $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$, где $t>0$, обозначим через сумму по всем путям $s$ шашки на $\varepsilon\mathbb{Z}^2$ из $(0,0)$ в $(x,t)$ с первым шагом в $(\varepsilon,\varepsilon)$. Обозначим и Величина $P(x,t,m,\varepsilon)$ интерпретируется как вероятность обнаружения электрона массой $m$ в квадрате $\varepsilon\times\varepsilon$ с центром $(x,t)$, если электрон был испущен из начала координат. Отметим, что величина $m\varepsilon$, а значит, и $P(x,t,m,\varepsilon)$, безразмерна в естественных единицах, в которых $\hbar=c=1$. На рис. 1 в центре цвет точки $(x,t)$ показывает значение $P(x,t,1,0.5)$ (если $x+t$ целое). В табл. 4 приведены $a(x,t,m,\varepsilon)$ при малых $x$ и $t$. Недавно И. Новиков элегантно доказал, что эта вероятность не обращается в нуль внутри светового конуса: $P(x,t,m,\varepsilon)\ne 0$ при $m>0$, $|x|<t$ и четном $(x+t)/\varepsilon$ [37; теорема 1]. Таблица 4.Величины $a(x,t,m,\varepsilon)$ при малых $x$ и $t$
Пример 2 (граничные значения). Имеем $a(t,t,m,\varepsilon)=i(1+m^2\varepsilon^2)^{(1-t/\varepsilon)/2}$ и $a(2\varepsilon-t,t,m,\varepsilon)= m\varepsilon(1+m^2\varepsilon^2)^{(1-t/\varepsilon)/2}$ для всех $t\in \varepsilon\mathbb{Z}$, $t>0$, и $a(x,t,m,\varepsilon)=0$ для всех $x>t$ или $x\leqslant -t$. Пример 3 (безмассовые и тяжелые частицы). Для каждого $(x,t)\in \varepsilon\mathbb{Z}^2$, где $t>0$, выполнены равенства и Перечислим известные комбинаторные свойства модели [51], [30]; см. простые доказательства в п. 12.1. Предложение 5 (уравнение Дирака). Для каждого $(x,t)\in \varepsilon\mathbb{Z}^2$, где $t>0$, справедливы равенства Замечание 2. Эти уравнения переходят в уравнение Дирака (1) в непрерывном пределе $\varepsilon\to 0$: для функций $a_1,a_2\colon\mathbb{R}\times (0,+\infty)\to \mathbb{R}$ класса $C^2$, удовлетворяющих (3), (4) на $\varepsilon\mathbb{Z}^2$, левая часть уравнения (1) есть ${O}_m\bigl(\varepsilon\cdot(\|a_1\|_{C^2}+\|a_2\|_{C^2})\bigr)$. Предложение 6 (сохранение вероятности). Для каждого $t\in\varepsilon\mathbb{Z}$, где $t>0$, выполнено равенство $\displaystyle\sum_{x\in\varepsilon\mathbb{Z}}P(x,t,m,\varepsilon)=1$. Предложение 7 (уравнение Клейна–Гордона). Для каждого $(x,t)\in \varepsilon\mathbb{Z}^2$, где $t>\varepsilon$, справедливо равенство Это уравнение при $\varepsilon\to 0$ переходит в уравнение Клейна–Гордона
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 a}{\partial t^2}- \frac{\partial^2 a}{\partial x^2}+m^2a=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 8 (симметрия). Для каждого $(x,t)\in \varepsilon\mathbb{Z}^2$, где $t>0$, справедливы равенства Предложение 9 (принцип Гюйгенса). Для всех $x,t,t'\in\varepsilon\mathbb{Z}$, где $t>t'>0$, справедливы равенства Неформально принцип Гюйгенса означает, что каждая черная клетка $(x',t')$ на горизонтали с номером $t'/\varepsilon$ действует как независимый точечный источник с амплитудой и фазой, определяемыми величиной $a(x',t',m,\varepsilon)$. Предложение 10 (одновременно́е рекуррентное соотношение). Для каждого $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$, где $t>0$, справедливы соотношения Это позволяет быстро вычислять $a_{1}(x,t)$ и $a_2(x,t)$ на далеких горизонталях начиная с $x=2\varepsilon-t$ и $x=t$ соответственно (см. пример 2). Предложение 11 (“явная” формула). Для каждого $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$ такого, что $|x|<t$ и $(x+t)/\varepsilon$ четно, справедливы формулы Замечание 3. Для всех $|x|\geqslant t$ имеем $a(x,t,m,\varepsilon)=0$, кроме случая $0<x=t\in\varepsilon\mathbb{Z}$, когда $a(t,t,m,\varepsilon)=(1+m^2\varepsilon^2)^{(1-t/\varepsilon)/2}i$. Подчеркнем, что предложение 11 неприменимо при $|x|\geqslant t$. По определению гипергеометрической функции Гаусса та же формула переписывается так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_1(x,t,m,\varepsilon)&=m\varepsilon(1+m^2\varepsilon^2)^{(1-t/\varepsilon)/2} \cdot{}_2F_1\biggl(1-\frac{x+t}{2\varepsilon}\,,1+\frac{x-t}{2\varepsilon}\,;1; -m^2\varepsilon^2\biggr), \\ a_2(x,t,m,\varepsilon)&= m^2\varepsilon^2(1+m^2\varepsilon^2)^{(1-t/\varepsilon)/2}\cdot{}_2 F_1\biggl(2-\frac{x+t}{2\varepsilon}\,,1+\frac{x-t}{2\varepsilon}\,;2; -m^2\varepsilon^2\biggr) \\ &\qquad\times\biggl(1-\frac{x+t}{2\varepsilon}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает много новых тождеств. Например, соотношения смежности Гаусса [19; 9.137] связывают значения $a(x,t,m,\varepsilon)$ в любых трех соседних точках решетки; ср. с предложениями 5 и 10. Существует представление через многочлены Якоби:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_1(x,t,m,\varepsilon)&=m\varepsilon(1+m^2\varepsilon^2)^{(x/\varepsilon-1)/2} P_{(x+t)/(2\varepsilon)-1}^{(0,-x/\varepsilon)} \biggl(\frac{1-m^2\varepsilon^2}{1+m^2\varepsilon^2}\biggr), \\ a_2(x,t,m,\varepsilon)&= -m^2\varepsilon^2(1+m^2\varepsilon^2)^{(x/\varepsilon-3)/2} P_{(x+t)/(2\varepsilon)-2}^{(1,1-x/\varepsilon)} \biggl(\frac{1-m^2\varepsilon^2}{1+m^2\varepsilon^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Есть аналогичное выражение через многочлены Кравчука (ср. с предложением 4) и в терминах характерных многочленов Стенли (определенных в [48; § 2]): Предложение 12 (интеграл Фурье). Положим $\omega_p:=\dfrac{1}{\varepsilon} \arccos\dfrac{\cos(p\varepsilon)}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}}$ . Тогда для каждого $m>0$ и всех $(x,t)\in \varepsilon\mathbb{Z}^2$ таких, что $t>0$ и $(x+t)/\varepsilon$ четно, выполнены равенства Интеграл Фурье представляет волну, испущенную точечным источником, как суперпозицию волн с длиной волны $2\pi/p$ и частотой $\omega_p$. Предложение 13 (преобразование Фурье по всему пространству-времени). Положим $\delta_{x\varepsilon}:=1$, если $x=\varepsilon$, и $\delta_{x\varepsilon}:=0$, если $x\ne\varepsilon$. Для каждого $m>0$ и всех $(x,t)\in \varepsilon\mathbb{Z}^2$ таких, что $t>0$ и $(x+t)/\varepsilon$ четно, выполнены равенства 3.2. Асимптотики3.2.1. Предел при больших временахДля фиксированных $m$, $\varepsilon$ и большого $t$ функция $a(x,t,m,\varepsilon)$
 Рис. 12.Графики функции $a_1(x,50,4,0.5)$ (точки на рисунках слева), ее аналитического приближения (кривые на рисунках слева) из теорем 2 (рис. (a)), 3 (рис. (b)) и 4 (рис. (c)) и их отношения (рисунки справа). График на рис. (c) слева изображает модуль этой функции в логарифмической шкале. Начнем с обсуждения режима (A). Сформулируем основную теорему: аналитическое приближение функции $a(x,t,m,\varepsilon)$, которое является очень точным при $x/t$, расположенном между пиками, но не слишком близко к ним (рис. 12, (a)). Теорема 2 (асимптотика между пиками при больших временах). Для каждого $\delta>0$ найдется $C_\delta>0$ такое, что при всех $m,\varepsilon>0$ и всех $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$, удовлетворяющих неравенствам Здесь и далее запись $f(x,t,m,\varepsilon)=g(x,t,m,\varepsilon)+ O_\delta\bigl(h(x,t,m,\varepsilon)\bigr)$ означает, что существует константа $C(\delta)$ (зависящая от $\delta$, но не от $x$, $t$, $m$, $\varepsilon$) такая, что для всех $x$, $t$, $m$, $\varepsilon$, $\delta$, удовлетворяющих условию теоремы, выполнено неравенство $|f(x,t,m,\varepsilon)-g(x,t,m,\varepsilon)|\leqslant C(\delta)h(x,t,m,\varepsilon)$. Главные члены в теореме 2 впервые были найдены в [1; теорема 2] в частном случае $m=\varepsilon=1$. Остаточные члены были оценены в [49; предложение 2.2]; эта оценка имела такой же порядок по $t$, но была неравномерна по $m$ и $\varepsilon$ (и не могла быть равномерной в том виде, в котором там приводилась, так как иначе получилось бы противоречие со следствием 6 при $\varepsilon\to 0$). Получение равномерных оценок (9), (10) потребовало наиболее точного варианта метода стационарной фазы и дополнительных шагов 3, 4 в доказательстве (см. п. 12.3). Другие методы (асимптотика Дарбу для многочленов Лежандра и круговой метод Харди–Литтлвуда) были применены в [6; теорема 3] и [44; теорема 2] для получения (9) в частном случае $x=0$ и для более грубой асимптотики при $x$ вблизи $0$ соответственно. Теорема 2 имеет ряд интересных следствий. Например, она позволяет перейти к слабому пределу по времени (см. рис. 10) и обобщить теорему 1. Следствие 1 (предельное распределение при больших временах). Для любого $m>0$ и всех $\varepsilon\leqslant 1/m$ выполнено соотношение Напомним, что все наши результаты можно сформулировать в терминах диаграмм Юнга или многочленов Якоби. Следствие 2 (ступени диаграмм Юнга; см. рис. 11). Обозначим через $n_+(h\times w)$ и $n_-(h\times w)$ количество диаграмм Юнга ровно с $h$ строками и $w$ столбцами, имеющими соответственно четное и нечетное число ступеней (см. определение в п. 2.2.3). Тогда для почти всех $r>1$ выполнено соотношение Для режимов (B) и (C) вблизи и снаружи от пиков сформулируем две теоремы Сунады–Татэ без подробного обсуждения доказательств. (Строго говоря, главные члены в [1; теорема 2], [49; предложения 2.2, 3.1, 4.1] немного отличаются от (9), (13), (17); но разница лежит в пределах оценки остаточного члена. С практической точки зрения последние три приближения лучше на несколько порядков.) Режим (B) вблизи пиков описывается функцией Эйри
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ai}(\lambda):=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty} \cos\biggl(\lambda p+\frac{p^{3}}{3}\biggr)\,dp.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот случай проиллюстрирован на рис. 12, (b). Теорема 3 (асимптотика вблизи пиков при больших временах [49; предложение 3.1]). Для любых $m,\varepsilon,\Delta>0$ и любой последовательности $(x_n,t_n)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$ такой, что Мы пишем $f(x_n,t_n,m,\varepsilon)=O_{m,\varepsilon,\{x_n\}}\bigl(g(n)\bigr)$, если существует постоянная $C(m,\varepsilon,\{x_n\})$ (зависящая от $m$, $\varepsilon$ и всей последовательности $\{x_n\}_{n=1}^\infty$, но не от $n$) такая, что для каждого $n$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
|f(x_n,t_n,m,\varepsilon)|\leqslant C(m,\varepsilon,\{x_n\})g(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Недавно П. Закорко продолжила (13), (14) на бо́льшую окрестность пиков [53]. Экспоненциальное убывание снаружи от пиков было сформулировано без доказательства в [1; теорема 1]. Доказательство появилось только через десятилетие, когда была установлена следующая асимптотика (см. рис. 12, (c)). Теорема 4 (асимптотика снаружи от пиков при больших временах [49; предложение 4.1]). Для любых $m,\varepsilon,\Delta>0$, $v\in (-1;1)$ и любой последовательности $(x_n,t_n)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$, удовлетворяющих условиям Функция (19) положительна и выпукла по $v$ при $1/\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}<|v|<1$ [49; теорема 1.4]. Следствие 3 (предельная плотность свободной энергии; см. рис. 5, (b)). Для любых $m,\,\varepsilon>0$, $v\in(-1;1)$ и функции $H(v,m,\varepsilon)$, заданной равенством (19), выполнено соотношение Это означает фазовый переход в модели Изинга в сильном смысле: предельная плотность свободной энергии (мнимая часть которой пропорциональна выражению в левой части) неаналитична по $v$. 3.2.2. Фейнмановский тройной пределТеорема 2 позволяет перейти к пределу $(1/t,x/t,\varepsilon)\to 0$ следующим образом. Следствие 4 (более простая и грубая асимптотика). В предположениях теоремы 2 выполнено соотношение Следствие 5 (фейнмановский тройной предел; см. рис. 3). Для каждого $m\geqslant 0$ и каждой последовательности $(x_n,t_n,\varepsilon_n)$ такой, что $(x_n,t_n)\in \varepsilon_n\mathbb{Z}^2$, число $(x_n+t_n)/\varepsilon_n$ четно и имеет место эквивалентность последовательностей Для эквивалентности (22) предположения (21) существенны и точны, как показывает следующий пример. Пример 4. Эквивалентность (22) не выполняется ни для одной из последовательностей $(x_n,t_n,\varepsilon_n)=(n^3,n^4,1/n^4)$, $(0,4n^2,1/(2n))$, $(0,2n\varepsilon,\varepsilon)$, где $\varepsilon=\mathrm{const}<1/m$: в этих случаях предел отношения левой части к правой соответственно равен $e^{im/8}$, равен $e^{im^3/3}$ и не существует, а не равен $1$. (Отсутствие последнего предела подтверждает, что стремление к нулю шага решетки подразумевалось в проблеме Фейнмана.) Следствие 5 решает проблему Фейнмана (и более того, исправляет ее формулировку, раскрывая точные ограничения). Основная трудность здесь в переходе к тройному, а не повторному пределу. Нам не известен подход, который мог бы решить проблему без доказательства теоремы 2 целиком. Например, асимптотика Дарбу для многочленов Якоби (см. замечание 3) подходит для вычисления повторного предела, когда сначала $t\to+\infty$, а потом $\varepsilon\to 0$, что дает (более слабый) результат, уже не зависящий от $x$. Ни асимптотика Дарбу, ни асимптотика Мелера–Гейне, ни более новая асимптотика из [32] не применимы, когда $1/(m\varepsilon)$ или $x/\varepsilon$ неограничены. То же касается и предложения 2.2 в [49], так как оценка остаточного члена там неравномерна по $m$ и $\varepsilon$. Наоборот, следующая теорема подходит для вычисления повторного предела, когда сначала $\varepsilon\to 0$, затем $x/t\to 0$, а потом $t\to+\infty$, но не тройного предела, так как остаточный член взрывается при $t\to+\infty$. 3.2.3. Непрерывный пределПредел при $\varepsilon\to 0$ описывается функциями Бесселя 1-го рода:
$$
\begin{equation*}
J_0(z):=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\,\frac{(z/2)^{2k}}{(k!)^2}\,,\qquad J_1(z):=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\,\frac{(z/2)^{2k+1}}{k!\,(k+1)!}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5 (асимптотика в непрерывном пределе). Для любых $m,\varepsilon,\delta>0$ и $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$ таких, что $(x+t)/\varepsilon$ четно, $t-|x|\geqslant\delta$ и $\varepsilon< \delta \,e^{-3ms}/16$, где $s:=\sqrt{t^2-x^2}$, выполнена асимптотика Напомним, что запись $f(x,t,m,\varepsilon)=O\bigl(g(x,t,m,\varepsilon)\bigr)$ означает, что существует константа $C$ (не зависящая от $x$, $t$, $m$, $\varepsilon$) такая, что для любых $x$, $t$, $m$, $\varepsilon$, удовлетворяющих условиям теоремы, верно, что $|f(x,t,m,\varepsilon)|\leqslant Cg(x,t,m,\varepsilon)$. Главный член в теореме 5 был вычислен в [36; § 1]. Численный эксперимент показывает, что остаточный член убывает быстрее, чем утверждается в теореме (см. табл. 5, вычисленную в [45; § 14]). В приводимом ниже следствии мы приближаем фиксированную точку плоскости $(x,t)$ точками решетки $\bigl(2\varepsilon\lceil x/(2\varepsilon)\rceil, 2\varepsilon\lceil t/(2\varepsilon)\rceil\bigr)$ (см. рис. 4). Множители $2$ делают эти точки решетки достижимыми для шашки. Следствие 6 (равномерный непрерывный предел; см. рис. 4). Для любого фиксированного $m\geqslant 0$ Доказательство поточечной сходимости проще и представлено в приложении B (см. раздел 14). Этот результат, хотя и ожидаем, в литературе не обнаружен. Элементарное доказательство представлено в п. 12.6. Отметим существенное различие между непрерывным пределом и пределом при больших временах: из следствия 1 видим, что концентрации меры при $t\to+\infty$ для фиксированного $\varepsilon$ не наблюдается. Таблица 5.Приближение запаздывающего пропагатора (26) для спина $1/2$ с помощью шашек Фейнмана ($m=10$, $\delta=0.2$, $t=1$)
3.3. Физическая интерпретацияОбсудим смысл фейнмановского тройного предела и непрерывного предела. В этом пункте мы опустим некоторые технические определения, не используемые в дальнейшем. Правая часть соотношения (22) с точностью до множителя $e^{-imt_n}$ есть ядро свободной частицы
$$
\begin{equation}
K(x,t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi t}}\,\exp\biggl(\frac{i m x^2}{2t}- \frac{i\pi}{4}\biggr),
\end{equation}
\tag{24}
$$
описывающее движение по прямой свободной нерелятивистской частицы, испущенной из начала координат. Предел (23) воспроизводит запаздывающий пропагатор со спином $1/2$, описывающий движение электрона вдоль прямой. Точнее, запаздывающий пропагатор со спином $1/2$, или запаздывающая функция Грина для уравнения Дирака (1), является матричнозначной обобщенной функцией медленного роста $G^{\rm R}(x,t)=(G^{\rm R}_{kl}(x,t))$ на $\mathbb{R}^2$, обращающейся в нуль при $t<|x|$ и удовлетворяющей уравнению
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} m & \dfrac{\partial}{\partial x}-\dfrac{\partial}{\partial t} \\ \dfrac{\partial}{\partial x}+\dfrac{\partial}{\partial t} & m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} G^{\rm R}_{11}(x,t) & G^{\rm R}_{12}(x,t) \\ G^{\rm R}_{21}(x,t) & G^{\rm R}_{22}(x,t) \end{pmatrix}=\delta(x)\delta(t)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $\delta(x)$ – дельта-функция Дирака. Пропагатор задается следующей формулой (ср. [23; (13)], [41; (3.117)]):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, G^{\rm R}(x,t)=\frac{m}{2}\,\begin{pmatrix} J_0(m\sqrt{t^2-x^2}\,) & -\sqrt{\dfrac{t+x}{t-x}}\,J_1(m\sqrt{t^2-x^2}\,) \\ \sqrt{\dfrac{t-x}{t+x}}\,J_1(m\sqrt{t^2-x^2}\,) & J_0(m\sqrt{t^2-x^2}\,) \end{pmatrix} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{26}
$$
при $|x|<t$. Кроме того, в формулу для $G^{\rm R}(x,t)$ входит обобщенная функция с носителем на прямых $t=\pm x$, которая не наблюдается в пределе (23) и поэтому не указана здесь. Более привычно выражение (ср. предложение 13)
$$
\begin{equation}
G^{\rm R}(x,t)=\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{+\infty}\, \int_{-\infty}^{+\infty}\lim_{\delta\to+0}\begin{pmatrix} m & -ip-i\omega \\ -ip+i\omega & m \end{pmatrix} \frac{ e^{i p x-i\omega t}\,dp\,d\omega}{m^2+p^2-(\omega+i\delta)^2}\,,
\end{equation}
\tag{27}
$$
где предел берется в смысле слабой топологии матричнозначных обобщенных функций медленного роста, а интеграл понимается как преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста (ср. [14; (6.47)]). “Квадрат” пропагатора $G^{\rm R}_{11}(x,t)^2+G^{\rm R}_{12}(x,t)^2$ определен некорректно (так как содержит квадрат дельта-функции Дирака с носителем на прямых $t=\pm x$). Поэтому пропагатор не имеет вероятностной интерпретации, а глобальное сохранение заряда (предложение 6) не имеет непрерывного аналога. Например, получаем следующий парадокс:
$$
\begin{equation*}
\int_{(-t,t)} (G^{\rm R}_{11}(x,t)^2+G^{\rm R}_{12}(x,t)^2)\,dx\approx \frac{m^2t}{2}\ne\operatorname{const}.
\end{equation*}
\notag
$$
Физическое объяснение: прямая $t=x$ несет бесконечный заряд, перетекающий внутрь угла $|x|<t$. Можно интерпретировать “квадрат” пропагатора при $|x|\ne t$ как относительную плотность вероятности или плотность заряда (см. рис. 1 справа). В интерпретации через спиновую цепочку пропагатор является пределом статистической суммы одномерной модели Изинга при обратной температуре $\beta=i\pi/4-\log(m\varepsilon)/2$. Это именно те значения $\beta$, для которых возможен фазовый переход [35]. Нормирующий множитель $1/(2\varepsilon)$ перед функцией $a$ в (23) может быть объяснен как деление на длину, приходящуюся на одну черную точку решетки на горизонтальной прямой. На более глубоком уровне он объясняется нормировкой $G^{\rm R}(x,t)$, возникающей из (25). Теорема 5 – игрушечный результат в алгоритмической квантовой теории: она определяет шаг решетки, необходимый для вычисления пропагатора с заданной точностью. Пока это не имеет большого значения, поскольку пропагатор и так имеет известное аналитическое выражение и на самом деле не может быть измерен экспериментально; эффективность алгоритма также не рассматривается. Но это только первый шаг. Алгоритм 1 (алгоритм приближения запаздывающего пропагатора (26) для спина $1/2$). Ввод: масса $m>0$, координаты $|x|<t$, уровень точности $\Delta$. Вывод: приближенное значение $G_{kl}$ для $G_{kl}^\mathrm{R}(x,t)$ на расстоянии не более $\Delta$ от истинного значения (26). Алгоритм: вычислим
$$
\begin{equation*}
G_{kl}=\frac{(-1)^{(k-1)l}}{2\varepsilon}\,{a}_{(k+l)\,\mathrm{mod}\,2\,+\,1} \biggl(2\varepsilon\biggl\lceil\frac{(-1)^{(k-1)l}x} {2\varepsilon}\biggr\rceil,2\varepsilon\!\biggl\lceil \frac{t}{2\varepsilon}\biggr\rceil,{m},{\varepsilon}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
по формуле (2) для Здесь мы использовали явную оценку для константы $C$, подразумеваемой в обозначении “О” большое в теореме 5; она легко восстанавливается из доказательства теоремы. Теорема и оценка остаются верными, если в них $a(x,t,m,\varepsilon)$ при $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$ заменить на $a\bigl(2\varepsilon\lceil x/(2\varepsilon)\rceil, 2\varepsilon\lceil t/(2\varepsilon)\rceil,{m},{\varepsilon}\bigr)$ при произвольных $(x,t)\in\mathbb{R}^2$. Замечание 4. Общее (однородное) одномерное квантовое блуждание по существу сводится к уточнению модели, рассмотренному в этом разделе. А именно, рассмотрим уравнения 4. СпинВопрос: какова вероятность обнаружить правый электрон в $(x,t)$, если правый электрон был испущен из $(0,0)$? Предположения: теперь учитывается хиральность электрона. Результат: вероятность смены хиральности. Особенностью модели является то, что спин электрона возникает естественным образом, а не добавляется искусственно. Почти напрашивается взгляд на электрон как находящийся в одном из двух состояний в зависимости от направления последнего хода шашки: движущийся вправо или движущийся влево (или просто “правый” или “левый” для краткости). Вероятность найти правый электрон в клетке $(x,t)$, если правый электрон был испущен из клетки $(0,0)$, – это квадрат длины вектора $\displaystyle\sum_s a(s)$, где сумма берется по всем путям из клетки $(0,0)$ в клетку $(x,t)$, которые начинаются и заканчиваются ходом вправо-вверх. Вероятность найти левый электрон определяется аналогично, только сумма берется по путям, которые начинаются с хода вправо-вверх, но заканчиваются ходом влево-вверх. Очевидно, что эти вероятности равны $a_2(x,t)^2$ и $a_1(x,t)^2$ соответственно, так как последний ход направлен вправо-вверх тогда и только тогда, когда число ходов четное. Эти правый и левый электроны в точности являются $(1+1)$-мерным аналогом хиральных состояний для частиц со спином $1/2$ [41; § 19.1]. Действительно, известно, что компоненты $a_2(x,t)$ и $a_1(x,t)$ в уравнении Дирака (1) в базисе Вейля интерпретируются как волновые функции правых и левых частиц соответственно. Связь с направлением движения становится очевидной для $m=0$: в этом случае общее решение уравнения (1) – это $(a_2(x,t),a_1(x,t))=(a_2(x-t,0),a_1(x+t,0))$; таким образом, максимумы функций $a_2(x,t)$ и $a_1(x,t)$ (если таковые имеются) с ростом $t$ перемещаются вправо и влево соответственно. Обратим внимание, что в трех или более измерениях спин не является направлением движения и не может быть объяснен в неквантовых терминах. Это дает более концептуальную интерпретацию модели: результатом эксперимента является пара
$$
\begin{equation*}
\text{(конечная координата $x$, направление последнего хода)},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда как конечная координата $t$ фиксирована. Вероятности обнаружения правого/левого электрона являются фундаментальными. В последующих уточнениях модели величины $a_1(x,t)$ и $a_2(x,t)$ станут комплексными числами, и тогда $P(x,t)$ должно определяться как $|{a}_1(x,t)|^2+|{a}_2(x,t)|^2$, а не по формуле $P(x,t)=|{a}(x,t)|^2=|{a}_1(x,t)+i{a}_2(x,t)|^2$ выше, которая является совпадением. См. рис. 13 для иллюстрации и сравнения с уточнением из раздела 5. Физическая интерпретация теоремы ограничена: в непрерывной теории вероятность смены хиральности (для электрона, испускаемого точечным источником) некорректно определена, как и “квадрат” пропагатора (см. п. 3.3). Соответствующая более разумная величина изучается в [23; с. 381] (ср. с проблемой 5). Недавно И. Богданов обобщил теорему на любую массу и любой шаг решетки (см. определение 2): если $0\leqslant m \varepsilon\leqslant 1$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to+\infty,t\in\varepsilon\mathbb{Z}}\,\sum_{x\in\varepsilon\mathbb{Z}} a_1(x,t,m,\varepsilon)^2=\frac{m\varepsilon}{2\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}}
\end{equation*}
\notag
$$
[6; теорема 2]. Это подтвердило гипотезу И. Гайдая-Турлова, Т. Ковалева и А. Львова.
5. Внешнее поле (неоднородное квантовое блуждание)Вопрос: какова вероятность обнаружения электрона в клетке $(x,t)$, если он двигается в заданном электромагнитном поле $u$? Предположения: поле есть только в плоскости $Oxt$, электрон не воздействует на него. Результаты: “прецессия” спина в магнитном поле (качественное объяснение), сохранение заряда. В нашей модели внешнее поле не добавляется искусственно, а возникает естественным образом. Мы начнем с неформального определения, затем дадим точное и, наконец, выведем сохранение заряда. В базовой модели стрелка часов не поворачивалась, пока шашка двигалась прямо. Напрашивается изменение модели: поворачивать стрелку равномерно во время движения. Это не изменит модель по сути: поскольку все пути из начального положения в конечное имеют одинаковую длину, то и векторы поворачиваются на один и тот же угол, что не влияет на вероятности. Более интересная модификация получается, когда текущий угол поворота зависит от положения шашки. Именно это делает электромагнитное поле. В дальнейшем для простоты угол поворота будет принимать только два значения: $0^\circ$ и $180^\circ$, что означает домножение на $\pm 1$. Таким образом, электромагнитное поле понимается как фиксированная расстановка $u$ чисел $\pm 1$ в вершинах квадратов-клеток. Например, на рис. 14 поле равно $-1$ в правой верхней вершине каждой клетки $(x,t)$, у которой $x$ и $t$ четны. Модифицируем определение вектора $a(s)$, меняя его направление на противоположное каждый раз, когда путь проходит через вершину с полем $-1$. Обозначим получившийся вектор через $a(s,u)$. Определим $a(x,t,u)$ и $P(x,t,u)$ аналогично $a(x,t)$ и $P(x,t)$, заменяя в их определении $a(s)$ на $a(s,u)$. Например, если $u$ тождественно равно $+1$, то $P(x,t,u)=P(x,t)$. Переформулируем слегка эту конструкцию, чтобы сделать ее связь с решеточной калибровочной теорией более прозрачной. Введем вспомогательную квадратную решетку с вершинами в центрах черных клеток (см. рис. 11 справа) – это тот граф, по которому фактически движется шашка. Определение 3. Вспомогательным ребром назовем отрезок, соединяющий две ближайшие целые точки с четной суммой координат. Пусть $u$ – любое отображение из множества всех вспомогательных ребер в $\{+1,-1\}$. Обозначим где сумма берется по всем путям $s=(s_0,s_1,\dots,s_t)$ шашки таким, что $s_0=(0,0)$, $s_1=(1,1)$, $s_t=(x,t)$. Положим $P(x,t,u)=|{a}(x,t,u)|^2$. Аналогично определим $a_1(x,t,u)$ и $a_2(x,t,u)$, только добавим условия $s_{t-1}=(x+1,t-1)$ и $s_{t-1}=(x-1,t-1)$ соответственно. Для полуцелых $x$, $t$ обозначим через $u(x,t)$ значение $u$ на вспомогательном ребре с серединой $(x,t)$. Замечание 5. Здесь поле $u$ – фиксированное классическое внешнее поле, электрон не воздействует на него. Это определение аналогично исторически первому построению калибровочной теории, принадлежащему Г. Вейлю, В. А. Фоку и Ф. Лондону, и показывает связь шашек Фейнмана с решеточной $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-калибровочной теорией Вегнера–Вильсона. В частности, оно дает правильный спин $1$ для электромагнитного поля: функция на множестве ребер – это дискретный аналог векторного поля, т. е. поля спина 1. Несмотря на то, что этот способ связи с калибровочным полем является классическим, для шашек Фейнмана он ранее явно не применялся (ср. с [16; с. 36]); он сильно отличается от подхода в [38] и интуиции диаграмм Фейнмана [11]. Например, поле $u$ на рис. 14 имеет вид
$$
\begin{equation*}
u(s_1s_2)=\exp\biggl(-i\int_{s_1}^{s_2}(A_0\,dt+A_1\,dx)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого вспомогательного ребра $s_1s_2$, где
$$
\begin{equation*}
(A_0,A_1):=\frac{\pi}{2}\biggl(x+\frac{1}{2},x+\frac{1}{2}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
– вектор-потенциал постоянного однородного электромагнитного поля. Для произвольной калибровочной группы числа $a_1(x,t,u)$ и $a_2(x,t,u)$ определяются аналогично, только $u$ становится отображением из множества вспомогательных ребер в некоторую матричную группу, скажем, $\operatorname{U}(1)$ или $\operatorname{SU}(n)$. Тогда полагаем по определению где $(a_j)_{kl}$ – элементы матрицы $a_j$. Пример 5 (“прецессия” спина в магнитном поле). Положим Следующие предложения доказываются аналогично предложениям 5, 6, только добавляется множитель $u(x \pm 1/2,t+1/2)$, так как последний ход пути проходит через вершину $(x \pm 1/2,t-1/2)$. Предложение 14 (уравнение Дирака в электромагнитном поле). Для любого целого $x$ и любого целого $t\geqslant1$ выполнены равенства Предложение 15 (сохранение вероятности/заряда). Для любого целого $t\geqslant 1$ выполнено равенство $\displaystyle\sum_{x\in\mathbb{Z}}P(x,t,u)=1$. Недавно Ф. Ожегов нашел аналоги “явной” формулы (предложения 11) и непрерывного предела (следствия 6) для “однородного поля” из примера 5 [40]. 6. ИсточникВопрос: какова вероятность обнаружения в $(x,t)$ электрона, испущенного источником с длиной волны $\lambda$? Предположения: теперь источник реалистичный. Результаты: распространение волн, дисперсионное соотношение. Реалистичный источник испускает волны, а не электроны, локализованные в одной точке $x=0$ (как в базовой модели). Это означает решение уравнения Дирака (3), (4) c (квази-)периодическими начальными условиями. Для формулировки результата удобно переписать уравнение Дирака (3), (4), используя обозначения
$$
\begin{equation*}
\widetilde a_1(x,t)=a_1(x,t+\varepsilon,m,\varepsilon), \qquad \widetilde a_2(x,t)=a_2(x+\varepsilon,t+\varepsilon,m,\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
чтобы оно приняло форму
$$
\begin{equation}
\widetilde a_1(x,t) =\frac{1}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}} \bigl(\widetilde a_1(x+\varepsilon,t-\varepsilon)+ m\varepsilon\widetilde a_2(x,t-\varepsilon)\bigr),
\end{equation}
\tag{28}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde a_2(x,t) =\frac{1}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}} \bigl(\widetilde a_2(x-\varepsilon,t-\varepsilon)- m\varepsilon\widetilde a_1(x,t-\varepsilon)\bigr).
\end{equation}
\tag{29}
$$
Следующее предложение доказывается прямой проверкой (доступной в [45; § 12]). Предложение 16 (распространение волн и дисперсионное соотношение). Уравнения (28), (29) с начальными условиями Замечание 6. Чтобы получить решения непрерывного уравнения Дирака (1), достаточно в (30), (31) переопределить $2\pi/T$ и $\alpha$ с помощью соотношений соответственно. В непрерывной (соответственно дискретной) постановке задачи эти величины – гипотенуза и угол прямоугольного треугольника с катетами $2\pi/\lambda$ и $m$ (соответственно $( \operatorname{arctg} m\varepsilon)/\varepsilon$), лежащего на плоскости (соответственно сфере радиуса $1/\varepsilon$). Это новая неожиданная интерпретация в терминах сферической геометрии. С физической точки зрения функции (30), (31) описывают волну с периодом $T$ и длиной волны $\lambda$. Формула, связывающая $T$ и $\lambda$, называется дисперсионным соотношением. Формулы Планка и де Бройля утверждают, что $E := 2\pi\hbar/T$ и $p := 2\pi\hbar/\lambda$ – это энергия и импульс волны (напомним, что $\hbar= c = 1$ в наших единицах измерения). При $\varepsilon\to0$ и $\lambda\to\infty$ приведенное выше дисперсионное соотношение переходит в формулу Эйнштейна $E=mc^2$. Комментарий для специалистов: замена $a$ и $b$ операторами рождения и уничтожения, т. е. вторичное квантование решеточного уравнения Дирака, ведет к модели из раздела 9. Для приводимых далее уточнений модели мы только анонсируем результаты, которые будут обсуждаться в последующих публикациях, например, в [46]. 7. СредаВопрос: какая доля света данного цвета отражается стеклянной пластиной данной ширины? Предположения: угол падения – $90^\circ$, нет поляризации и дисперсии света; масса частицы теперь зависит от $x$, но не от цвета. Результаты: отражение от тонкой пленки (количественное объяснение). Шашки Фейнмана можно применить для описания распространения света в прозрачной среде, например в стекле. Свет распространяется так, как если бы он приобрел внутри среды некоторую ненулевую массу и потенциальную энергию (зависящие от показателя преломления), в то время снаружи масса и потенциальная энергия остаются равными нулю. В целом модель непригодна для описания света, частичное отражение является лишь замечательным исключением. Обратим внимание, что аналогичные классические явления описываются квантовыми моделями (см. [51; § 2.7]). Как мы покажем в последующей публикации, шашки Фейнмана позволяют дать строгий вывод следующей известной формулы для доли $P$ света с длиной волны $\lambda$, отраженного от прозрачной пластины шириной $L$ с показателем преломления $n$:
$$
\begin{equation*}
P=\frac{(n^2-1)^2}{(n^2+1)^2+4n^2 \operatorname{arctg} ^2(2\pi Ln/\lambda)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Это делает научно-популярное обсуждение частичного отражения, изложенное Фейнманом в [11], полностью строгим и показывает, что его модель имеет экспериментально подтвержденные предсказания в реальном мире, а не только в двумерном. 8. Тождественные частицыВопрос: какова вероятность обнаружения электронов в клетках $F$ и $F'$, если они испущены из $A$ и $A'$? Предположения: электронов несколько. Результаты: принцип запрета Паули, локальность, сохранение заряда. Здесь мы анонсируем простое обобщение модели шашек Фейнмана, которое позволяет описывать движение нескольких электронов с соблюдением принципов запрета, локальности и сохранения вероятности (ср. [52; § 4.2]). Определение 4. Зафиксируем целые точки Величина $P(AB,A'B'\to EF,E'F'):=\bigl|{a}(AB,A'B'\to EF,E'F')\bigr|^2$ называется вероятностью найти правые электроны в $F$ и $F'$, если они испущены из $A$ и $A'$. Аналогично величина $P(AB,A'B'\to EF,E'F')$ определяется и в случае, когда $E=(x\pm 1,t-1)$, $E'=(x'\pm 1,t-1)$. В случае одинаковых знаков здесь необходимо дополнительно наложить условие $x'\geqslant x$, в случае разных знаков значения $x'$ и $x$ могут быть произвольными. 9. АнтичастицыВопрос: каково математическое ожидание заряда в клетке $(x,t)$, если электрон был испущен из клетки $(0,0)$? Предположения: электрон-позитронные пары теперь могут рождаться и аннигилировать; ось $t$ – время. Результаты: фейнмановский пропагатор для спина $1/2$ в непрерывном пределе, аналитическое выражение для предела при больших временах. 9.1. Тождества и асимптотикиЗдесь мы предлагаем совершенно новое уточнение модели шашек Фейнмана – фейнмановские антишашки. В этой модели помимо движения исходного электрона учитывается возможность рождения и аннигиляции электрон-позитронных пар. Уточнение заключается в том, что в интеграле Фурье (см. предложение 12) величине $(x+t)/\varepsilon$ мы теперь разрешаем принимать нечетные значения. Таким образом, в дополнение к черным клеткам шахматной доски мы вычисляем значения того же интеграла и в белых клетках. Это эквивалентно вторичному квантованию дискретного уравнения Дирака (28), (29), которое нам не потребуется производить (ср. [2; § 9F] и [3; § IV] для безмассового случая). Ведь истинная мотивировка новой модели – в замечательной согласованности с исходной и в появлении фейнмановского пропагатора (34) для спина $1/2$ в непрерывном пределе (см. рис. 15). Мы также даем комбинаторное определение (см. определение 6).  Рис. 15.Графики функций $b_1(x,6,4,0.03)/0.12$ (точки на рис. (a)), $b_2(x,6,4,0.03)/0.12$ (точки на рис. (b)), их аналитического приближения из теоремы 7 (светлая кривая), а также мнимой части фейнмановского пропагатора $\operatorname{Im}G^{\rm F}_{11}(x,6)$ (темная кривая на рис. (a)) и $\operatorname{Im}G^{\rm F}_{12}(x,6)$ (темная кривая на рис. (b)), задаваемого равенством (34) при $m=4$ и $t=6$. Определение 5 (см. предложение 12 и рис. 15). Зафиксируем параметры $m,\varepsilon>0$. Для всех $(x,t)\in \varepsilon\mathbb{Z}^2$ положим Можно показать, что числа $A_k(x,t,m,\varepsilon)$ являются чисто мнимыми при нечетном $(x+t)/\varepsilon$. Таким образом, вещественная и мнимая части “живут” на черных и белых клетках соответственно, аналогично тому, как определяются дискретные аналитические функции (см. [8]). Соглашение о знаке для $t\leqslant 0$ продиктовано аналогией с “непрерывной” теорией (см. (33) и (35)). Таблица 6.Значения $b_1(x,t,1,1)$ и $b_2(x,t,1,1)$ для малых $x$, $t$ (см. определение 5 и пример 6)
Пример 6. Значение Остальные значения являются более сложными иррациональностями (см. табл. 6). Мы анонсируем, что аналоги предложений 5–8 и 10 остаются верными буквально, если $a_1$ и $a_2$ заменить на $b_1$ и $b_2$ соответственно (при этом предположение $t>0$ можно отбросить). Как следствие получается, что $2^{(t-1)/2}b_1(x,t,1,1)$ и $2^{(t-1)/2}b_2(x,t,1,1)$ для всех $(x,t)\in \mathbb{Z}^2$ являются линейными комбинациями с рациональными коэффициентами постоянной Гаусса $G$ и обратной лемнискатной константы $L'$. В общем случае мы анонсируем, что значения $b_1$ и $b_2$ можно “явно” выразить через гипергеометрическую функцию Гаусса: для $m,\varepsilon>0$, $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$ с нечетным $(x+t)/\varepsilon$ выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_1(x,t,m,\varepsilon)&=(1+m^2\varepsilon^2)^{1/2-t/(2\varepsilon)} (-m^2\varepsilon^2)^{(t-|x|)/(2\varepsilon)-1/2} \begin{pmatrix} \dfrac{t+|x|}{2\varepsilon}-1 \\ \dfrac{|x|}{\varepsilon} \end{pmatrix} \\ &\qquad\times{}_2F_1\biggl(1+\frac{|x|-t}{2\varepsilon}\,, 1+\frac{|x|-t}{2\varepsilon}\,;1+\frac{|x|}{\varepsilon}\,; -\frac{1}{m^2\varepsilon^2}\biggr), \\ b_2(x+\varepsilon,t+\varepsilon,m,\varepsilon)&= (1+m^2\varepsilon^2)^{-t/(2\varepsilon)} (m\varepsilon)^{(t-|x|)/\varepsilon} \\ &\qquad\times(-1)^{(t-|x|)/(2\varepsilon)+1/2} \begin{pmatrix} \dfrac{t+|x|}{2\varepsilon}-1+\theta(x) \\ \dfrac{|x|}{\varepsilon} \end{pmatrix} \\ &\qquad\times{}_2F_1\biggl(\frac{|x|-t}{2\varepsilon}\,, 1+\frac{|x|-t}{2\varepsilon}\,;1+\frac{|x|}{\varepsilon}\,; -\frac{1}{m^2\varepsilon^2}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\theta(x):=\begin{cases} 1, & \text{если}\ x\geqslant0, \\ 0, & \text{если}\ x<0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и $_2F_{1}(p,q;r;z)$ – главная ветвь гипергеометрической функции. Доказательство проводится индукцией по $t/\varepsilon\geqslant 1$: база проверяется с помощью соотношений 9.112, 9.131.1, 9.134.3, 9.137.15 из [19], а шаг использует аналоги равенств (3), (4) для $b_1$ и $b_2$, а также формулы 9.137.11, 12, 18 из [19]. Замечание 7 (ср. с замечанием 3). Эти выражения могут быть переписаны как функции Якоби второго рода полуцелого порядка (см. определение в [50; (4.61.1)]). Например, для всех $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$ таких, что $|x|>t$ и $(x+t)/\varepsilon$ нечетно, выполняется равенство Замечание 8. Число $b_1(x,\varepsilon,m,\varepsilon)$ равно величине $(1+\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\,)/(m\varepsilon)$, умноженной на вероятность того, что плоское простое случайное блуждание по белым клеткам заканчивается в клетке $(x,\varepsilon)$ при условии, что оно начинается в $(0,\varepsilon)$ и заканчивается с вероятностью $1-1/\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}$ перед каждым шагом. Ничего подобного не известно для $b_{1}(x,t,m,\varepsilon)$ и $b_{2}(x,t,m,\varepsilon)$ при $t\ne \varepsilon$. Следующие результаты доказываются почти дословно так же, как предложение 13 и теорема 2. Единственным отличием является смена знака слагаемых с участием $f_-(p)$ в (41), (46), (50), (52); аналоги лемм 5 и 11 получаются затем непосредственной проверкой. Предложение 17 (преобразование Фурье по всему пространству-времени). Пусть $\delta_{x\varepsilon}:=1$, если $x=\varepsilon$, и $\delta_{x\varepsilon}:=0$, если $x\ne\varepsilon$. Тогда для любого $m>0$ и любых $(x,t)\in \varepsilon\mathbb{Z}^2$ выполняются равенства Теорема 7 (асимптотика между пиками при больших временах; см. рис. 15). Для любого $\delta>0$ существует $C_\delta>0$ такое, что для любых $m,\varepsilon>0$ и любых $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$, удовлетворяющих (8), выполняются равенства 9.2. Физическая интерпретацияВеличину
$$
\begin{equation*}
\dfrac{1}{2}|A_1(x,t,m,\varepsilon)|^2+\frac{1}{2}|A_2(x,t,m,\varepsilon)|^2
\end{equation*}
\notag
$$
можно интерпретировать как математическое ожидание заряда в клетке $(x,t)$ с $t>0$ (единица измерения – заряд электрона). Однако эти числа больше нельзя интерпретировать как вероятности обнаружить электрон в данной клетке. Причина заключается в том, что теперь результаты эксперимента не являются взаимоисключающими: можно обнаружить электрон в двух разных клетках одновременно. В этом нет ничего загадочного: любое измерение обязательно влияет на электрон, и этого влияния может быть достаточно, чтобы создать электрон-позитронную пару из вакуума. Таким образом, можно обнаружить новорожденный электрон в дополнение к первоначальному, и нет никакого способа отличить один от другого. (Более формальное объяснение для специалистов: два состояния в пространстве Фока, представляющие электрон, локализованный в удаленных областях, не являются взаимно ортогональными; их скалярное произведение по сути описывается фейнмановским пропагатором). Мы анонсируем, что рассматриваемая модель в непрерывном пределе воспроизводит фейнмановский, а не запаздывающий пропагатор (см. рис. 15). Фейнмановский пропагатор для спина $1/2$ имеет вид
$$
\begin{equation}
G^{\rm F}(x,t)=\begin{cases} \dfrac{m}{4}\,\begin{pmatrix} J_0(ms)-iY_0(ms) & -\dfrac{t+x}{s}\bigl(J_1(ms)-iY_1(ms)\bigr) \\ \dfrac{t-x}{s}\bigl(J_1(ms)-iY_1(ms)\bigr) & J_0(ms)-iY_0(ms) \end{pmatrix}, \\ \text{если } |x|<|t|, \\ \dfrac{im}{2\pi}\,\begin{pmatrix} K_0(ms) & \dfrac{t+x}{s}\,K_1(ms) \\ \dfrac{x-t}{s}\,K_1(ms) & K_0(ms) \end{pmatrix}, \qquad \text{если } |x|>|t|, \end{cases}
\end{equation}
\tag{34}
$$
где $Y_n(z)$ и $K_n(z)$ – соответственно функции Бесселя 2-го рода и модифицированные функции Бесселя 2-го рода и $s:=\sqrt{|t^2-x^2|}$ . Кроме этого, есть обобщенная функция с носителем на прямых $t=\pm x$, которую мы не указываем. Фейнмановский пропагатор удовлетворяет уравнению (25). Мы видим, что он имеет дополнительную мнимую часть (и общий коэффициент $1/2$) по сравнению с запаздывающим пропагатором (26). В частности, он не равен нулю при $|x|>|t|$: аннигиляция электрона в одной точке и рождение в другой может привести к кажущемуся движению электрона быстрее скорости света. Более известным представлением для пропагатора Фейнмана является преобразование Фурье (ср. (27) и [14; (6.51)])
$$
\begin{equation}
G^{\rm F}(x,t)= \frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{+\infty}\, \int_{-\infty}^{+\infty}\lim_{\delta\to+0} \begin{pmatrix} m & -ip-i\omega \\ -ip+i\omega & m \end{pmatrix} \frac{e^{i p x-i\omega t}\,dp\,d\omega}{m^2+p^2-\omega^2-i\delta}\,.
\end{equation}
\tag{35}
$$
В целом, небольшая поправка, вносимая этим уточнением модели, скорее отражает некоторые фундаментальные ограничения на измерения, чем добавляет что-то значимое к описанию движения. Введенное уточнение следует рассматривать только как ингредиент для более реалистичных моделей с взаимодействием. 9.3. Комбинаторное определениеНеформально, комбинаторное определение фейнмановских антишашек (определение 6) получается из определения фейнмановских шашек (определение 2) следующей четырехшаговой процедурой.
Шаг 2 здесь является совершенно новым, в то время как остальные шаги стандартны. Шаг 2 отражает общий принцип, согласно которому вещественная и мнимая части комплексной величины всегда располагаются на двойственных решетках. Определение 6 (см. рис. 16). Зафиксируем параметры $T\in\mathbb{Z}$ и $\varepsilon,m,\delta>0$, называемые размером решетки, шагом решетки, массой частицы и малой мнимой массой соответственно. Будем предполагать, что $T>0$ и $\delta<1$. Решеткой назовем следующее фактормножество: Обобщенный путь шашки – это конечная последовательность различных ребер таких, что конечная точка каждого ребра является начальной точкой следующего. Цикл определяется аналогично, только последовательность имеет единственное повторение: первое и последнее ребра совпадают, и есть еще хотя бы одно ребро между ними. (В частности, обобщенный путь шашки, у которого конечная точка последнего ребра является начальной точкой первого, еще не является циклом: требуется совпадение первого и последнего ребер. Первое и последнее ребра обобщенного пути шашки совпадают, только если в пути ровно одно ребро. Таким образом, в нашей постановке путь никогда не является циклом.) Изменение начального ребра цикла означает удаление первого ребра из последовательности, затем циклическую перестановку и далее добавление последнего ребра полученной последовательности в начало. Петля – это цикл с точностью до изменения начального ребра. Узел пути или петли $s$ – это упорядоченная пара последовательных ребер в $s$ (порядок ребер в паре тот же, что в $s$). Поворот – это узел, у которого эти два ребра ортогональны. Узел или поворот называется четным (соответственно нечетным), если конечная точка первого ребра в паре четная (соответственно нечетная). Обозначим через $\operatorname{eventurns}(s)$, $\operatorname{oddturns}(s)$, $\operatorname{evennodes}(s)$, $\operatorname{oddnodes}(s)$ количество четных и нечетных поворотов и узлов в $s$ соответственно. Стрелка (или вес) пути или петли $s$ – это число
$$
\begin{equation*}
{A}(s,m,\varepsilon,\delta) :=\pm\frac{(-im\varepsilon)^{\operatorname{oddturns}(s)} (-\delta)^{\operatorname{eventurns}(s)}} {(1+m^2\varepsilon^2)^{\operatorname{oddnodes}(s)/2} (1-\delta^2)^{\operatorname{evennodes}(s)/2}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где знак минус выбирается в случае, когда $s$ является петлей. Набор путей или петель реберно непересекающийся, если никакие два из них не имеют общего ребра. Реберно непересекающийся набор петель называется конфигурацией петель. Конфигурация петель с источником $a$ и стоком $f$ – это реберно непересекающийся набор из любого количества петель и ровно одного обобщенного пути шашки, начинающегося с ребра $a$ и заканчивающегося ребром $f$. Стрелка $A(S,m,\varepsilon,\delta)$ конфигурации петель $S$ (возможно, с источником и стоком) – это произведение стрелок всех петель и путей в конфигурации. Пустое произведение по определению равно $1$. Стрелка от ребра $a$ к ребру $f$ (или пропагатор на конечной решетке) – это число
$$
\begin{equation*}
{A}(a\to f,m,\varepsilon,\delta,T):= \frac{\displaystyle\sum_{\substack{\text{конфигурации петель } S}\\ \text{с источником } a \text{ и стоком } f}A(S,m,\varepsilon,\delta)} {\displaystyle\sum_{\substack{\text{конфигурации петель } S }} A(S,m,\varepsilon,\delta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим точку $(x,t)\in \varepsilon\mathbb{Z}^2$ и положим Пусть $a_0$, $f_1$, $f_2$ – ребра, начинающиеся в точках $(0,0)$, $(x',t')$, $(x',t')$ и заканчивающиеся в точках $(\varepsilon/2,\varepsilon/2)$, $(x'-\varepsilon/2,t'+\varepsilon/2)$, $(x'+\varepsilon/2,t'+\varepsilon/2)$ соответственно. Стрелка точки $(x,t)$ (или пропагатор на бесконечной решетке) – это пара комплексных чисел Пример 7 (см. рис. 16 в центре). Решетка размера 1 лежит в квадрате $[0,\varepsilon]^2$ с отождествленными противоположными сторонами. Решетка имеет две точки: середину и отождествленные ребра квадрата. Она имеет четыре ребра $a$, $b$, $c$, $d$. Обобщенные пути шашки $abdc$, $acdb$, $bacd$ различны, хотя содержат одинаковые ребра. Их стрелки равны Неформально, петли образуют море Дирака из электронов, заполняющих все пространство, а ребра, не входящие в петли, образуют пути дырок в этом море, т. е. античастиц. Мы анонсируем, что определения 5 и 6 эквивалентны в том смысле, что $\widetilde{A}_1(x,t,m,\varepsilon)= A_1(x,t+\varepsilon,m,\varepsilon)$ и $\widetilde{A}_2(x,t,m,\varepsilon)= A_2(x+\varepsilon,t+\varepsilon,m,\varepsilon)$; ср. раздел 6. Идея доказательства заключается в том, что в обоих определениях фактически строятся матричные элементы “обратного” оператора к одному и тому же дискретному оператору Дирака: в первом – через преобразование Фурье, а во втором – через отношение определителей. См. подробности в [46]. 10. На пути к $(1+1)$-мерной квантовой электродинамикеВопрос: какова вероятность обнаружения электронов (или электрона и позитрона) с импульсами $q$ и $q'$ в далеком будущем, если они были испущены с импульсами $p$ и $p'$ в далеком прошлом? Предположения: теперь есть взаимодействие; все упрощения отброшены, кроме тех, которые были по умолчанию: нет ядерных сил, нет гравитации, электрон движется только вдоль оси $x$, ось $t$ – время. Результаты: отталкивание одинаковых зарядов и притяжение противоположных зарядов (ожидается качественное обоснование). Построение требуемой модели является открытой проблемой, поскольку для этого, в частности, требуется математически строгое построение решеточной калибровочной теории для “метрики” Минковского. 11. Открытые проблемыНачнем с проблем, опирающихся только на определение 1. Графики показывают, что для фиксированного $t$ вероятнее всего обнаружить электрон вблизи точки $x=t/\sqrt{2}$ (см. рис. 9 вверху, теорема 1, (B), и теорема 2). Хотя это было замечено 20 лет назад, следующий вопрос все еще остается открытым. Проблема 1 (А. Даниярходжаев и Ф. Куянов; см. рис. 9 вверху). Обозначим через $x_{\max}(t)$ точку, в которой $P(x,t)$ достигает максимума при фиксированном $t$. Ограничено ли $x_{\max}(t)-t/\sqrt{2}$ при $t\to+\infty$? Эту проблему делает сложной то обстоятельство, что поведение вероятности $P(x,t)$ известно только вблизи $x=t/\sqrt{2}$ (теорема 3) и вдали от $x=t/\sqrt{2}$ (теоремы 2 и 4), но не на промежуточных расстояниях. Проблема 2 (ср. [49]). Найти асимптотику вероятности $P(x,t)$ при $t\to+\infty$, равномерную по $x\in [-t;t]$. Проблема 3 (С. Нечаев; см. рис. 9 вверху). Найти положения “широких провалов” (участков, где колебания меньше) в графике вероятности $P(x,t)$ для фиксированного большого $t$. (Ср. (9), (10).) Цель следующих двух проблем – изучить фазовый переход с помощью различных параметров порядка (см. с. 90). В частности, мы предполагаем, что предельная “вероятность” одинаковых знаков на концах спиновой цепочки, так же как и предельная “вероятность” одинаковых знаков на концах и в середине, неаналитичны в точке $v=\pm 1/\sqrt{2}$ . Проблема 4 (см. рис. 10). Для каждого $0<v<1/\sqrt{2}$ доказать равенство Проблема 5 (ср. [23; с. 381]). Найти слабый предел Следующая проблема – о вероятностях поглощения; она опирается на определение перед примером 1. Проблема 6 (Г. Минаев и И. Русских; ср. [1; § 5], [10], [37; § 4]). Для всех $n\in \mathbb{Z}$ найти вероятность поглощения $\displaystyle\sum_{t=1}^{\infty}P(n,t,\text{ минуя }\{x=n\})$. Найти слабый предел и асимптотику вероятности $P(x,t, \text{ минуя } \{x=0\})$ при $t\to+\infty$. (Ср. теоремы 1, 2.) Следующая проблема обобщает и уточняет проблему 1 выше. Она опирается на определение 2. Проблема 7 (А. Даниярходжаев и Ф. Куянов). Обозначим через $x_{\max}=x_{\max}(t,m,\varepsilon)$ точку, в которой $P(x):=P(x,t,m,\varepsilon)$ достигает максимума. Является ли величина $x_{\max}/\varepsilon-t/(\varepsilon\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\,)$ равномерно ограниченной? Убывает ли $P(x)$ при $x>x_{\max}$? Найти асимптотику для $a(x,t,m,\varepsilon)$ при $t\to+\infty$ для всех $x\in [-t;t]$, равномерную по $x$, $m$, $\varepsilon$. Проблема 8 (М. Бланк и С. Шлосман). Остается ли ограниченным количество смен знака функции $a_1(x):=a_1(x,t,m,\varepsilon)$ на отрезке $[-t;t]$ при $\varepsilon\to 0$ для фиксированных $t$, $m$? Следствие 6 дает равномерный предел на компактных подмножествах угла $|x|<t$, а значит, упускает основной вклад в вероятность. Теперь нас интересует слабый предел, детектирующий пик. Проблема 9. Найти слабые пределы Следующая проблема – построить непрерывный аналог шашек Фейнмана. Проблема 10 (М. Лифшиц). Рассмотрим $(-im\varepsilon)^{\operatorname{turns}(s)}$ как заряд на множестве всех путей $s$ шашки из $(0,0)$ в $(x,t)$, начинающихся и заканчивающихся ходом вправо-вверх. Сходится ли этот заряд при $\varepsilon\to 0$ (в слабом или каком-то еще смысле) к заряду на пространстве всех непрерывных функций из $[0;t]$ в $\mathbb{R}$ с граничными значениями $0$ и $x$ соответственно? Следующая проблема, опирающаяся на определение 3, продемонстрировала бы “прецессию спина”. Проблема 11 (см. рис. 13 справа; ср. [40]). Становится ли вероятность асимптотически периодической при $t\to+\infty$, если Найти слабые пределы вероятности $P(x,t,u)$ и асимптотики функций $a_k(x,t,u)$ при $t\to+\infty$. (Ср. теоремы 1, 2.) Определим $a(x,t,m,\varepsilon,u)$ аналогично $a(x,t,m,\varepsilon)$ и $a(x,t,u)$, объединяя определения 2, 3 и замечание 5. Мы ожидаем, что такое определение воспроизводит уравнение Дирака в электромагнитном поле. Проблема 12 (ср. [16]). Зафиксируем $A_0(x,t),A_1(x,t)\in C^2(\mathbb{R}^2)$. Для каждого вспомогательного ребра $s_1s_2$ положим Следующие две проблемы опираются на определение 5. Проблема 13 (ср. следствие 1). Доказать равенство Проблема 14 (ср. теоремы 4 и 7). Найти асимптотики функций $A_k(x,\kern-0.5pt t,\kern-0.5pt m,\kern-0.5pt \varepsilon)$ для $|x|>|t|$ при $t\to+\infty$. Последняя проблема, которую мы приведем, неформальна. Она остается открытой уже полвека. Проблема 15 (Р. Фейнман; ср. [15]). Обобщить модель на четыре измерения так, чтобы предел 12. ДоказательстваПриведем схему, показывающую зависимость вышеприведенных результатов и пунктов настоящего раздела (в скобках указаны доказываемые в соответствующем пункте утверждения, над стрелками – номера предложений, используемых при выводе указанных теорем и следствий): Предложения 7, 10 и 13 не применяются для доказательства основных результатов.В процессе доказательств мы даем не требующее предварительных знаний введение в используемые методы. Некоторые доказательства проще чем оригинальные. 12.1. Тождества: элементарная комбинаторика (предложения 1–13)Докажем тождества из раздела 3; тождества из раздела 2 – это частный случай, когда $m=\varepsilon=1$. Доказательство предложений 1 и 5. Выведем рекуррентную формулу для $a_2(x,t,m,\varepsilon)$. Рассмотрим произвольный путь $s$ шашки на $\varepsilon\mathbb{Z}^2$ из $(0,0)$ в $(x,t)$ с первым ходом в $(\varepsilon,\varepsilon)$. Обозначим Последний ход пути $s$ сделан либо из $(x-\varepsilon,t-\varepsilon)$, либо из $(x+\varepsilon,t-\varepsilon)$. Если он сделан из $(x+\varepsilon,t-\varepsilon)$, то число $\operatorname{turns}(s)$ нечетно и $s$ не дает вклада в $a_2(x,t,m,\varepsilon)$. Поэтому далее будем предполагать, что последний ход сделан из $(x-\varepsilon,t-\varepsilon)$. Обозначим через $s'$ путь $s$ без последнего хода. Если направления последних ходов в $s$ и $s'$ совпадают, то
$$
\begin{equation*}
a(s,m\varepsilon)=\frac{1}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}}a(s',m\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
в противном случае
$$
\begin{equation*}
a(s,m\varepsilon)=\frac{-im\varepsilon}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}} a(s',m\varepsilon)=\frac{m\varepsilon}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}} \bigl[\operatorname{Im}a(s',m \varepsilon)- i\operatorname{Re}a(s',m \varepsilon)\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Суммирование по всем путям $s'$ дает требуемое уравнение:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_2(x,t,m,\varepsilon)&=\operatorname{Im} \sum_{s\ni(x-\varepsilon,t-\varepsilon)}a(s,m\varepsilon) \\ &=\sum_{s'\ni(x-2\varepsilon,t-2\varepsilon)} \frac{\operatorname{Im}a(s',m\varepsilon)}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}}- \sum_{s'\ni(x,t-2\varepsilon)} \frac{m\varepsilon\operatorname{Re}a(s',m\varepsilon)} {\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}} \bigl[a_2(x-\varepsilon,t-\varepsilon,m,\varepsilon)- m\varepsilon a_1(x-\varepsilon,t-\varepsilon,m,\varepsilon)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рекуррентная формула для $a_1(x,t,m,\varepsilon)$ доказывается аналогично. Доказательство предложений 2 и 6. Доказательство проведем индукцией по $t/\varepsilon$. База $t/\varepsilon=1$ очевидна. Шаг индукции получается из следующих вычислений, опирающихся на предложение 5:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{x\varepsilon\in \mathbb{Z}}P(x,t+\varepsilon,m,\varepsilon)= \sum_{x \in \varepsilon\mathbb{Z}}\bigl[a_1(x,t+\varepsilon,m,\varepsilon)^2+ a_2(x,t+\varepsilon,m,\varepsilon)^2\bigr] \\ &\qquad=\frac{1}{1+m^2\varepsilon^2} \biggl(\,\sum_{x \in \varepsilon\mathbb{Z}} \bigl[a_1(x+\varepsilon,t,m,\varepsilon)+ m\varepsilon a_2(x+\varepsilon,t,m,\varepsilon)\bigr]^2 \\ &\qquad\qquad+\sum_{x \in \varepsilon\mathbb{Z}} [a_2(x-\varepsilon,t,m,\varepsilon)- m\varepsilon a_1(x-\varepsilon,t,m,\varepsilon)]^2\biggr) \\ &\qquad=\frac{1}{1+m^2\varepsilon^2} \biggl(\,\sum_{x \in \varepsilon\mathbb{Z}}\bigl[a_1(x,t,m,\varepsilon)+ m\varepsilon a_2(x,t,m,\varepsilon)\bigr]^2 \\ &\qquad\qquad+\sum_{x\in\varepsilon\mathbb{Z}} \bigl[a_2(x,t,m,\varepsilon)- m\varepsilon a_1(x,t,m,\varepsilon)\bigr]^2\biggr) \\ &\qquad=\sum_{x \in \varepsilon\mathbb{Z}} \bigl[a_1(x,t,m,\varepsilon)^2+a_2(x,t,m,\varepsilon)^2\bigr] =\sum_{x \in \varepsilon\mathbb{Z}}P(x,t,m,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1 (сопряженное уравнение Дирака). Для всех $(x,t)\in \varepsilon\mathbb{Z}^2$, где $t>\varepsilon$, выполняются равенства Доказательство леммы 1. Покажем, как второе уравнение леммы получается из предложения 5. Для этого в (3) и (4) заменим $(x,t)$ на $(x-\varepsilon,t-\varepsilon)$ и $(x+\varepsilon,t-\varepsilon)$ соответственно и сложим полученные равенства с коэффициентами $m\varepsilon/\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}$ и $1/\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}$ . Первое уравнение получается аналогично. Доказательство предложения 7. Вещественная часть искомого уравнения является суммой первых уравнений из леммы 1 и предложения 5. Мнимая часть – это сумма вторых уравнений. Доказательство предложения 8. Докажем первое тождество. Для каждого пути $s$ обозначим через $s'$ отражение пути $s$ относительно оси $t$, а через $s''$ путь, состоящий из тех же ходов, что и $s'$, но сделанных в обратном порядке. Рассмотрим путь $s$ из $(0,0)$ в $(x,t)$ с первым ходом вправо-вверх, у которого $\operatorname{turns}(s)$ нечетно (пути с четным $\operatorname{turns}(s)$ не дают вклада в $a_1(x,t,m,\varepsilon)$). Последний ход $s$ направлен влево-вверх. Таким образом, последний ход пути $s'$ направлен вправо-вверх, а значит, первый ход пути $s''$ направлен вправо-вверх. Оба пути $s'$ и $s''$ заканчиваются в $(-x,t)$, так как изменение порядка ходов не влияет на конечную точку. Таким образом, $s\mapsto s''$ – это биекция между путями с концом в $(x,t)$ и $(-x,t)$ с нечетным числом поворотов. Значит, $a_1(x,t,m,\varepsilon)=a_1(-x,t,m,\varepsilon)$. Второе тождество мы доказываем индукцией по $t/\varepsilon$ (это доказательство было найдено и написано Е. Колпаковым). База индукции ($t/\varepsilon=1$ и $t/\varepsilon=2$) – очевидна. Шаг индукции таков. Возьмем $t\geqslant 3\varepsilon$. Применяя предположение индукции к трем точкам $(x-\varepsilon,t-\varepsilon)$, $(x+\varepsilon,t-\varepsilon)$, $(x,t-2\varepsilon)$ и пользуясь тождеством $a_1(x,t,m,\varepsilon)=a_1(-x,t,m,\varepsilon)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (t-x)a_2(x-\varepsilon,t-\varepsilon,m,\varepsilon)&= (x+t-4\varepsilon)a_2(3\varepsilon-x,t-\varepsilon,m,\varepsilon), \\ (t-x-2\varepsilon)a_2(x+\varepsilon,t-\varepsilon,m,\varepsilon)&= (x+t-2\varepsilon)a_2(\varepsilon-x,t-\varepsilon,m,\varepsilon), \\ (t-x-2\varepsilon)a_2(x,t-2\varepsilon,m,\varepsilon)&= (x+t-4\varepsilon)a_2(2\varepsilon-x,t-2\varepsilon,m,\varepsilon), \\ a_1(x-\varepsilon,t-\varepsilon,m,\varepsilon)&= a_1(\varepsilon-x,t-\varepsilon,m,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя эти уравнения с коэффициентами $1$, $1$, $-\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}$ , $-2m\varepsilon^2$ соответственно, находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(t-x)\bigl[a_2(x-\varepsilon,t-\varepsilon,m,\varepsilon)+ a_2(x+\varepsilon,t-\varepsilon, m, \varepsilon) \\ &\qquad\qquad- \sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\,a_2(x,t-2\varepsilon,m,\varepsilon)\bigr] -2m\varepsilon^2\,a_1(x-\varepsilon,t-\varepsilon,m,\varepsilon) \\ &\qquad\qquad -2\varepsilon\, a_2(x+\varepsilon,t-\varepsilon,m,\varepsilon) +2\varepsilon\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\,a_2(x,t-2\varepsilon,m,\varepsilon) \\ &\qquad=-2m\varepsilon^2\,a_1(\varepsilon-x,t-\varepsilon,m,\varepsilon) -2\varepsilon\, a_2(3\varepsilon-x,t-\varepsilon,m,\varepsilon) \\ &\qquad\qquad+2\varepsilon\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\, a_2(2\varepsilon-x,t-2\varepsilon, m,\varepsilon) \\ &\qquad\qquad+(t+x-2\varepsilon) \bigl[a_2(3\varepsilon-x,t-\varepsilon,m,\varepsilon) \\ &\qquad\qquad+ a_2(\varepsilon-x,t-\varepsilon,m,\varepsilon)-\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\, a_2(2\varepsilon-x,t-2\varepsilon, m, \varepsilon)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 1 следует, что три последних слагаемых в левой части этого равенства сокращаются и три первых слагаемых в правой части также сокращаются. Применяя уравнение Клейна–Гордона (предложение 7) к оставшимся выражениям в левой и правой частях и сокращая полученное выражение на сомножитель $\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}$ , мы получаем искомое тождество
$$
\begin{equation*}
(t-x)a_2(x,t,m,\varepsilon)= (t+x-2\varepsilon)a_2(2\varepsilon-x,t,m,\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Третье тождество следует из первого тождества и предложения 5:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_1(x,t,m,\varepsilon)+m\varepsilon\, a_2(x,t,m,\varepsilon) &=\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\, a_1(x-\varepsilon,t+\varepsilon,m,\varepsilon) \\ &=\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\, a_1(\varepsilon-x,t+\varepsilon,m,\varepsilon) \\ &=a_1(2\varepsilon-x,t,m,\varepsilon)+ m\varepsilon\, a_2(2\varepsilon-x,t,m,\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Первое и третье тождества можно также доказать одновременно индукцией по $t/\varepsilon$, используя предложение 5. Доказательство предложения 9. Рассмотрим путь $s$ из $(0,0)$ в $(x,t)$. Обозначим через $(x',t')$ точку, в которой $s$ пересекает прямую $t=t'$. Обозначим через $s_1$ часть пути $s$, которая ведет из $(0,0)$ в $(x',t')$, а через $s_2$ часть пути $s$, которая начинается в точке пересечения пути $s$ с прямой $t=t'-\varepsilon$ и заканчивается в $(x,t)$ (см. рис. 17). Сдвинем путь $s_2$ так, чтобы он начинался в $(0,0)$. Положим
$$
\begin{equation*}
a(s,m \varepsilon):=i(-im \varepsilon)^{\operatorname{turns}(s)} (1+m^2\varepsilon^2)^{(1-t/\varepsilon)/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\operatorname{turns}(s)= \operatorname{turns}(s_1)+\operatorname{turns}(s_2)$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}a(s,m\varepsilon)= \begin{cases} \operatorname{Re}a(s_1,m\varepsilon) \operatorname{Im}a(s_2,m\varepsilon), & \text{если ход в } (x',t') \text{ - влево-вверх}, \\ \operatorname{Im}a(s_1,m\varepsilon) \operatorname{Re}a(s_2,m\varepsilon), & \text{если ход в } (x',t') \text{ - вправо-вверх}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В первом случае заменим путь $s_2$ путем $s_2'$, полученным отражением относительно прямой $x=0$ (и начинающимся в начале координат). Мы получаем, что $\operatorname{Im}a(s_2',m\varepsilon)= \operatorname{Im}a(s_2,m\varepsilon)$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_1(x,t,m,\varepsilon)&=\sum_{s}\operatorname{Re}a(s,m\varepsilon) = \sum_{x'} \sum_{s \ni (x',t')} \operatorname{Re}a(s,m\varepsilon) \\ &=\sum_{x'} \biggl(\sum_{s \ni (x',t'),(x'-\varepsilon,t'-\varepsilon)} \operatorname{Im}a(s_1,m\varepsilon)\operatorname{Re}a(s_2,m\varepsilon) \\ &\qquad+\sum_{s \ni (x',t'),(x'+\varepsilon,t'-\varepsilon)} \operatorname{Re}a(s_1,m\varepsilon)\operatorname{Im} a(s_2',m\varepsilon)\biggr) \\ &=\sum_{x'} \bigl[a_2(x',t',m,\varepsilon) a_1(x-x'+\varepsilon,t-t'+\varepsilon,m,\varepsilon) \\ &\qquad+a_1(x',t',m,\varepsilon)a_2(x'-x+\varepsilon, t-t'+\varepsilon,m,\varepsilon)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Формула для $a_2(x,t,m,\varepsilon)$ доказывается аналогично. Доказательство предложения 10. Обозначим через $f(x,t)$ разность между левой и правой частями равенства (5). Введем оператор
$$
\begin{equation*}
[\square_m f](x,t):=\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\,f(x,t+\varepsilon)+ \sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\,f(x,t-\varepsilon)-f(x+\varepsilon,t)- f(x-\varepsilon,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
[\square_m^4 f](x,t)=0 \quad \text{при } t\geqslant 5\varepsilon.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Тогда соотношения (5) можно доказать индукцией по $t/\varepsilon$: формула (36) выражает $f(x,t+4\varepsilon)$ как линейную комбинацию $f(x',t')$ с меньшими значениями $t'$; остается проверить, что $f(x,t)=0$ при $t\leqslant 8\varepsilon$ (а это сделано в [45; § 11]). Чтобы доказать (36), запишем $f(x,t)$ в виде
$$
\begin{equation*}
f(x,t)=p_1(x,t)a(x-2\varepsilon,t,m,\varepsilon)+ p_2(x,t)a(x+2\varepsilon,t,m,\varepsilon)+p_3(x,t)a(x,t,m,\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых кубических полиномов $p_k(x,t)$ (см. (5)) и применим правило Лейбница:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \square_m(fg)&=f\cdot\square_m g+\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\, (\nabla_{t+}f\cdot T_{t+}g-\nabla_{t-}f\cdot T_{t-}g) \\ &\qquad-\nabla_{x+}f\cdot T_{x+}g+\nabla_{x-}f\cdot T_{x-}g, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\nabla_{t\pm}f](x,t)&:=\pm(f(x,t\pm\varepsilon)-f(x,t)), \\ [\nabla_{x\pm}f](x,t)&:=\pm(f(x\pm\varepsilon,t)-f(x,t)) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
– операторы конечных разностей,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [T_{t\pm}g](x,t)&:=g(x,t\pm\varepsilon), \\ [T_{x\pm}g](x,t)&:=g(x\pm\varepsilon,t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
– операторы сдвига. По предложению 7 получаем $\square_m\, a(x,t,m,\varepsilon)= 0$. Каждый из операторов $\nabla_{t\pm}$, $\nabla_{x\pm}$ уменьшает степень многочлена, и все вышеперечисленные операторы коммутируют. Значит, (36) следует из правила Лейбница. Таким образом, мы доказали первое тождество предложения; второе доказывается аналогично (база индукции проверена в [45; § 11]). Предложение доказано. Предложение 10 можно также доказать путем семикратного применения соотношений смежности Гаусса [19; 9.137] к гипергеометрическому выражению из замечания 3. Доказательство предложений 3 и 11. Вычислим $a_1(x,\kern-0.5pt t,\kern-0.5pt m,\kern-0.5pt \varepsilon)$. Рассмотрим путь с нечетным числом поворотов; остальные не дают вклада в $a_1(x,t,m,\varepsilon)$. Пусть $2r+1$ – количество поворотов в пути, а $R$ и $L$ – количества ходов вправо-вверх и влево-вверх соответственно. Обозначим через $x_1,x_2,\dots,x_{r+1}$ количества ходов вправо-вверх перед первым, третьим, …, последним поворотом соответственно. Обозначим через $y_1,y_2,\dots,y_{r+1}$ количества ходов влево-вверх после первого, третьего, …, последнего поворота соответственно. Тогда $x_k,y_k\geqslant 1$ для всех $1\leqslant k\leqslant r+1$ и Мы свели задачу к комбинаторной: количество путей с $2r+1$ поворотами равно количеству натуральных решений двух полученных уравнений. Для первого уравнения это количество равно количеству способов поставить $r$ перегородок между $R$ шарами, т. е. $\begin{pmatrix} R-1 \\ r\end{pmatrix}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
a_1(x,t,m,\varepsilon)=(1+m^2\varepsilon^2)^{(1-t/\varepsilon)/2} \sum_{r=0}^{\min\{R,L\}}(-1)^r \begin{pmatrix} R-1 \\ r\end{pmatrix} \begin{pmatrix} L-1 \\ r\end{pmatrix}(m\varepsilon)^{2r+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Формула (6) получается из равенств $L+R=t/\varepsilon$ и $R-L=x/\varepsilon$. Формула (7) выводится аналогично. Доказательство предложения 12. Доказательство проводится индукцией по $t/\varepsilon$. База $t/\varepsilon=1$ получается заменой переменной $p\mapsto p+\pi/\varepsilon$: интегралы по $[0;\pi/\varepsilon]$ и $[-\pi/\varepsilon;0]$ для нечетных $x/\varepsilon$ сокращаются и остается
$$
\begin{equation*}
\frac{\varepsilon}{2\pi}\int_{-\pi/\varepsilon}^{\pi/\varepsilon} e^{ip(x-\varepsilon)}\,dp=\delta_{x\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг индукции заключается в следующем вычислении (и аналогичном вычислении для $a_2(x, t+\varepsilon,m,\varepsilon)$):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_1(x,t+\varepsilon,m,\varepsilon)&=\frac{1}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}} \bigl[a_1(x+\varepsilon,t,m,\varepsilon)+m\varepsilon\, a_2(x+\varepsilon,t,m,\varepsilon)\bigr] \\ &=\frac{m\varepsilon^2}{2\pi\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}} \int_{-\pi/\varepsilon}^{\pi/\varepsilon} \biggl(\frac{ie^{ip\varepsilon}} {\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}} +1 \\ &\qquad+\frac{\sin (p\varepsilon)} {\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}}\biggr) e^{i p x-i\omega_p(t-\varepsilon)}\,dp \\ &=\frac{m\varepsilon^2}{2\pi} \int_{-\pi/\varepsilon}^{\pi/\varepsilon} \frac{(i\cos(\omega_p\varepsilon) +\sin(\omega_p\varepsilon)) e^{i p x-i\omega_p(t-\varepsilon)}\,dp} {\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}} \\ &=\frac{im\varepsilon^2}{2\pi}\int_{-\pi/\varepsilon}^{\pi/\varepsilon} \frac{e^{ipx-i\omega_pt}\,dp}{\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первое равенство – это предложение 5. Второе – предположение индукции. Третье следует из соотношений
$$
\begin{equation*}
\cos(\omega_p\varepsilon)= \frac{\cos(p\varepsilon)}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}}\quad\text{и}\quad \sin(\omega_p\varepsilon)= \sqrt{1-\frac{\cos^2(p\varepsilon)}{1+m^2\varepsilon^2}}= \sqrt{\frac{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}{1+m^2\varepsilon^2}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Альтернативное доказательство предложения 12 можно получить интегрированием равенств (30), (31) по $p=2\pi/\lambda$ с использованием условий $\widetilde a_1(0,0)= 0$, $\widetilde a_2(0,0)=1$. Доказательство предложения 13. Чтобы доказать нужную формулу для $a_1(x,t,m,\varepsilon)$, возьмем интеграл по $\omega$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\varepsilon}{2\pi}\int_{-\pi/\varepsilon}^{\pi/\varepsilon} \frac{e^{-i\omega(t-\varepsilon)}\,d\omega} {\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\,\cos(\omega\varepsilon) -\cos(p\varepsilon)-i\delta} \\ &\qquad\overset{(*)}{=}\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1} \frac{2\,z^{t/\varepsilon-1}\,dz} {\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\,z^2 -2(\cos(p\varepsilon)+i\delta)z+\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}} \\ &\qquad\overset{(**)}{=}\frac{([\cos(p\varepsilon)+i\delta -i\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)+\delta^2 -2i\delta\cos(p\varepsilon)}\,]/ \sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\,)^{t/\varepsilon-1}} {-i\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)+\delta^2 -2i\delta\cos(p\varepsilon)}} \\ &\qquad\overset{(***)}{\rightrightarrows} \frac{i\,e^{-i\omega_p(t-\varepsilon)}} {\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\delta\to 0$ равномерно по $p$. Здесь мы предполагаем, что $m,t,\delta>0$ и $\delta$ достаточно мало. Равенство $(*)$ получается заменой переменной $z=e^{-i\omega\varepsilon}$ и изменением направления обхода контура. Чтобы доказать $({*}{*})$, найдем корни знаменателя:
$$
\begin{equation*}
z_\pm=\frac{\cos(p\varepsilon)+ i\delta\pm i\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)+\delta^2 -2i\delta\cos(p\varepsilon)}}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sqrt{z}$ – значение квадратного корня с положительной вещественной частью. Тогда $({*}{*})$ следует из теоремы о вычетах: разложение показывает, что для $\delta>0$, достаточно малого по сравнению с $m$ и $\varepsilon$, число $z_-$ находится внутри единичного круга, а число $z_+$ – вне его. В $({*}{*}{*})$ мы полагаем и переходим к пределу $\delta\to 0$. Равномерность сходимости по $p$ обеспечивается условием $m>0$. Доказанная равномерная сходимость позволяет поменять местами предел по $\delta$ с интегрированием по $p$. Это приводит к интегралу Фурье для $a_1(x,t,m,\varepsilon)$ из предложения 12. Формула для $a_2(x,t,m,\varepsilon)$ доказывается аналогично, при этом случай $t=\varepsilon$ необходимо рассмотреть отдельно. Предложение доказано. 12.2. Фазовый переход: метод моментов (теорема 1)В этом пункте мы даем простое изложение приведенного в [20] доказательства теоремы 1, используя метод моментов. Теорема также следует из следствия 1, полученного другим путем в п. 12.4. Мы опираемся на следующий хорошо известный результат. Лемма 2 (см. [5; теоремы 30.1, 30.2]). Пусть $f_t\colon\mathbb{R}\to [0,\infty)$, $t=0,1,2,\dots$, – кусочно непрерывные функции такие, что для любых $r,t=0,1,2,\dots$ интеграл $\alpha_{r,t}:=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}v^rf_t(v)\,dv$ конечен и $\alpha_{0,t}=1$. Если ряд $\displaystyle\sum_{r=0}^{\infty}\dfrac{\alpha_{r,0}z^r}{r!}$ имеет положительный радиус сходимости и $\lim_{t\to+\infty}\alpha_{r,t}=\alpha_{r,0}$ для любого $r=0,1,2,\dots$, то $f_t$ сходится к $f_0$ по распределению. Доказательство теоремы 1. Докажем утверждение (C); тогда утверждения (A) и (B) будут следовать из леммы 2 для $f_0(v):=F'(v)$ и $f_t(v):=P(\lceil vt\rceil,t)t$, поскольку $F'(v)=0$ при $|v|>1$, а следовательно, Перепишем предложение 12 в форме, корректной при любых $x,t\in\mathbb{Z}$, независимо от четности:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \begin{pmatrix} a_1(x,t) \\ a_2(x,t) \end{pmatrix}&=\int_{-\pi}^{\pi}\begin{pmatrix} \widehat a_1(p,t) \\ \widehat a_2(p,t) \end{pmatrix}e^{ip(x-1)}\,\frac{dp}{2\pi} \\ &\!:=\int_{-\pi}^{\pi} \begin{pmatrix} \widehat a_{1+}(p,t)+\widehat a_{1-}(p,t) \\ \widehat a_{2+}(p,t)+\widehat a_{2-}(p,t) \end{pmatrix} e^{ip(x-1)}\,\frac{dp}{2\pi}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat a_{1\pm}(p,t)&=\mp\frac{ie^{ip}}{2\sqrt{1+\sin^2 p}} e^{\pm i\omega_p(t-1)}, \\ \widehat a_{2\pm}(p,t)&=\frac{1}{2} \biggl(1\mp\frac{\sin p}{\sqrt{1+\sin^2 p}}\biggr) e^{\pm i\omega_p(t-1)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
а $\omega_p:=\arccos\dfrac{\cos p}{\sqrt{2}}$ . Теперь (37) выполнено для любых $x,t\in\mathbb{Z}$: действительно, равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\exp\bigl(-i\omega_{p+\pi}(t-1)+i(p+\pi)(x-1)\bigr) \\ &\qquad=\exp\bigl(-i(\pi-\omega_{p})(t-1)+ip(x-1)+i\pi(x-1)\bigr) \\ &\qquad=(-1)^{(x+t)}\exp\bigl(i\omega_p(t-1)+ip(x-1)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
показывает, что вклады двух слагаемых $\widehat a_{k\pm}(p,t)$ в интеграл (37) равны при четных $t+x$ и взаимоуничтожаются при нечетных $t+x$. Слагаемое $\widehat a_{k-}(p,t)$ дает вклад $a_k(x,t)/2$ по предложению 12. Используя свойство производных ряда Фурье и теорему Парсеваля, мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \sum_{x\in\mathbb{Z}}\frac{x^r}{t^r}P(x,t)&=\sum_{x\in\mathbb{Z}} \begin{pmatrix} a_1(x,t) \\ a_2(x,t) \end{pmatrix}^*\frac{x^r}{t^r}\begin{pmatrix} a_1(x,t) \\ a_2(x,t) \end{pmatrix} \\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\begin{pmatrix} \widehat a_1(p,t) \\ \widehat a_2(p,t) \end{pmatrix}^*\frac{i^r}{t^r}\,\frac{\partial^r}{\partial p^r}\begin{pmatrix} \widehat a_1(p,t) \\ \widehat a_2(p,t) \end{pmatrix}\,\frac{dp}{2\pi}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
Производная оценивается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \frac{\partial^r}{\partial p^r}\widehat a_{k\pm}(p,t)&= \biggl(\pm i(t-1)\frac{\partial \omega_p}{\partial p}\biggr)^r \widehat a_{k\pm}(p,t)+O_r(t^{r-1}) \\ &=\biggl(\pm \frac{i(t-1) \sin p}{\sqrt{1+\sin^2 p}}\biggr)^r \widehat a_{k\pm}(p,t)+O_r(t^{r-1}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
Действительно, продифференцируем $r$ раз выражения (38), используя правило Лейбница. Если мы каждый раз будем дифференцировать экспоненциальный множитель $e^{\pm i\omega_p(t-1)}$, то получим главный член. Если мы хотя бы раз дифференцируем множитель, отличный от экспоненциального $e^{\pm i\omega_p(t-1)}$, то мы получаем менее $r$ множителей $(t-1)$, а тогда полученный член есть $O_r(t^{r-1})$ в силу компактности, поскольку он непрерывный и $2\pi$-периодический по $p$. Подставляя (40) в (39), мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{x\in\mathbb{Z}}\frac{x^r}{t^r} P(x,t)&=\int_{-\pi}^{\pi} \begin{pmatrix} \widehat a_1(p,t) \\ \widehat a_2(p,t) \end{pmatrix}^*\biggl(\frac{\sin p}{\sqrt{1+\sin^2 p}}\biggr)^r \begin{pmatrix} (-1)^r \widehat a_{1+}(p,t)+\widehat a_{1-}(p,t) \\ (-1)^r \widehat a_{2+}(p,t)+\widehat a_{2-}(p,t) \end{pmatrix}\,\frac{dp}{2\pi} \\ & \qquad +O_r\biggl(\frac{1}{t}\biggr) \\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\biggl(\frac{\sin p}{\sqrt{1+\sin^2 p}}\biggr)^r\, \frac{1}{2}\,\biggl((-1)^r\biggl(1-\frac{\sin p}{\sqrt{1+\sin^2 p}}\biggr)+1 \\ &\qquad+\frac{\sin p}{\sqrt{1+\sin^2 p}}\biggr)\,\frac{dp}{2\pi}+ O_r\biggl(\frac{1}{t}\biggr) \\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\biggl(\frac{\sin p}{\sqrt{1+\sin^2 p}}\biggr)^r \biggl(1+\frac{\sin p}{\sqrt{1+\sin^2 p}}\biggr)\,\frac{dp}{\pi}+ O_r\biggl(\frac{1}{t}\biggr) \\ &=\int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}\frac{v^r\,dv}{\pi(1-v)\sqrt{1-2v^2}}\, +\,O_r\biggl(\frac{1}{t}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь второе равенство следует из того, что и $\widehat a_{1\pm }(p,t)^*\widehat a_{1\mp}(p,t)+ \widehat a_{2\pm }(p,t)^*\widehat a_{2\mp}(p,t)=0$. Третье получается после замены переменных $p\mapsto -p$ и $p\mapsto \pi-p$, примененной к интегралу по $[-\pi/2,\pi/2]$. Четвертое получается после замены переменных при которой Теорема доказана. 12.3. Основной результат: метод стационарной фазы (теорема 2)В этом пункте мы докажем теорему 2. Сначала изложим план доказательства, затем докажем теорему по модулю некоторых технических лемм и, наконец, докажем сами леммы. План состоит в том, чтобы применить преобразование Фурье, а затем метод стационарной фазы к полученному осциллирующему интегралу. Доказательство состоит из четырех шагов, первые два из которых были известны ранее. Шаг 1: вычисление главного члена в асимптотике. Шаг 2: оценка остаточного члена, возникающего в окрестностях стационарных точек. Шаг 3: оценка остаточного члена, возникающего в окрестности начала координат. Шаг 4: оценка остаточного члена, возникающего в дополнениях до этих окрестностей. Доказательство теоремы 2 (по модулю некоторых лемм). Выведем асимптотику для $a_1(x,t+\varepsilon,m,\varepsilon)$; вывод для $a_2(x+\varepsilon,t+\varepsilon,{m},{\varepsilon})$ аналогичен и обсуждается в конце доказательства. Из предложения 12 и тождества
$$
\begin{equation*}
\exp\biggl(i\omega_{p+{\pi}/{\varepsilon}}t-i\biggl(p+ \frac{\pi}{\varepsilon}\biggr)x\biggr)= \exp\biggl(i\biggl(\frac{\pi}{\varepsilon}-\omega_{p}\biggr)t-ipx- \frac{i\pi x}{\varepsilon}\biggr)= -\exp(-i\omega_pt-ipx)
\end{equation*}
\notag
$$
при нечетных $(t+x)/\varepsilon$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_1(x,t+\varepsilon,m,\varepsilon)&=\frac{m\varepsilon^2}{2\pi i} \int_{-\pi/\varepsilon}^{\pi/\varepsilon}\frac{\exp(i\omega_pt-i p x)} {\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}}\,dp \nonumber \\ &=\int_{-\pi/(2\varepsilon)}^{\pi/(2\varepsilon)}g(p) [e(f_+(p))-e(f_-(p))]\,dp, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
где $e(z):=e^{2\pi i z}$ и Шаг 1. Оценим осциллирующий интеграл (41), используя следующий вариант метода стационарной фазы, наиболее точный из известных нам. Лемма 3 (взвешенный интеграл стационарной фазы [21; лемма 5.5.6]). Пусть $f(p)$ – вещественнозначная функция, четырежды непрерывно дифференцируемая при $\alpha\leqslant p\leqslant\beta$, и пусть $g(p)$ – вещественнозначная функция, трижды непрерывно дифференцируемая при $\alpha\leqslant p\leqslant \beta$. Предположим, что существуют положительные параметры $M$, $N$, $T$, $U$ такие, что Здесь первый член, содержащий значения в стационарной точке $\gamma$, является главным, а поправочные члены, содержащие значения в граничных точках $\alpha$ и $\beta$, сократятся на шаге 3. Лемма 4 (ср. [23; (25)], [1; § 4]). Предположим, что выполнены условия (8). Тогда на отрезке $[-\pi/(2\varepsilon),\pi/(2\varepsilon)]$ функция $f_{\pm}(p)$, задаваемая равенством (42), имеет единственную критическую точку Для оценки интеграла (41) мы дважды применим лемму 3 к функциям $f(p)=\pm f_\pm(p)$ в подходящих окрестностях их критических точек $\gamma_\pm$. В случае $f(p)=-f_-(p)$ комплексно сопряжем обе части (44). Тогда общий вклад двух полученных главных членов следующий:
$$
\begin{equation}
\operatorname{MainTerm}:= \frac{g(\gamma_+)e(f_{+}(\gamma_+)+1/8)}{\sqrt{f_{+}''(\gamma_+)}}- \frac{g(\gamma_-)e(f_{-}(\gamma_-)-1/8)}{\sqrt{-f_{-}''(\gamma_-)}}\,.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Прямое, но длинное вычисление (см. [45; § 2]) дает главный член, заявленный в теореме. Шаг 2. Для оценки остаточного члена нам нужно указать конкретные значения параметров, к которым применяется лемма 3: Лемма 6. Если $\varepsilon\leqslant 1/m$, то функции (42), (43) и параметры (47) удовлетворяют неравенствам Нужно также указать отрезок
$$
\begin{equation}
[\alpha_\pm,\beta_\pm]:=\biggl[\gamma_\pm-\frac{m\delta}{2}\,, \gamma_\pm+\frac{m\delta}{2}\biggr].
\end{equation}
\tag{48}
$$
Для оценки производной $|f_{\pm}''(p)|$ снизу убедимся, что мы находимся далеко от ее корней $\pm\pi/(2\varepsilon)$. Лемма 7. Предположим, что выполнено условие (8). Тогда отрезок (48), где $\gamma_\pm$ задано в (45), содержится в отрезке $[-\pi/(2\varepsilon)+m\delta/2,\pi/(2\varepsilon)-m\delta/2]$. Такой предусмотрительный выбор отрезка дает нам следующую, более техничную оценку. Лемма 8. При предположениях (8), (42), (45) и (48) для любого $p$ из отрезка $[\alpha_\pm,\beta_\pm]$ выполнено неравенство (знаки $\pm$ согласованы) Это дает $|f_\pm''(p)|\geqslant T/(C_2M^2)$ при $C_2:=24\pi\delta^{-3/2}$ в обозначениях (47). Теперь все предположения леммы 3 проверены (неравенства $M\geqslant \beta_\pm-\alpha_\pm$ и $N\geqslant M/\sqrt{T}$ выполняются автоматически, так как $\delta\leqslant 1$ и $t>C_\delta/m$ в силу (8)). Применим лемму к $g(p)$ и $\pm f_\pm(p)$ на $[\alpha_\pm,\beta_\pm]$ (знак минус перед $f_-(p)$ гарантирует неравенство $f''(p)>0$, а множитель $i$ в определении $g(p)$ несущественен при применении леммы). Получаем следующую оценку остаточного члена на этих отрезках. Отметим, что остаток, полученный в лемме 9, уже совпадает с остатком в теореме 2. Шаг 3. Для оценки остаточного члена вне отрезков $[\alpha_\pm,\beta_\pm]$ используем другой известный технический результат. Лемма 10 (взвешенный тест по первой производной [21; лемма 5.5.5]). Пусть $f(p)$ – вещественнозначная функция, трижды непрерывно дифференцируемая при $\alpha\leqslant p\leqslant \beta$, и пусть $g(p)$ – вещественнозначная функция, дважды непрерывно дифференцируемая при $\alpha\leqslant p\leqslant \beta$. Предположим, что существуют положительные параметры $M$, $N$, $T$, $U$ такие, что $M\geqslant \beta-\alpha$, и положительные константы $C_r$ такие, что при $\alpha\leqslant p\leqslant \beta$ выполнены неравенства Эта лемма, в частности, требует, чтобы интервал был достаточно малым. По этой причине мы разобьем исходный отрезок $[-\pi/(2\varepsilon),\pi/(2\varepsilon)]$ на большое количество отрезков с концами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\frac{\pi}{2\varepsilon}&=\alpha_{-K}<\beta_{-K}=\alpha_{-K+1}<\beta_{-K+1} =\alpha_{-K+2}<\cdots \\ &=\alpha_{i}<\widehat\beta_{i}=\alpha_\pm<\beta_\pm=\widehat\alpha_j<\beta_j=\cdots< \beta_{K-1}=\frac{\pi}{2\varepsilon}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_\pm$ и $\beta_\pm$ задаются формулой (48) выше, а остальные точки задаются так:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \alpha_k=\frac{k\pi}{2\varepsilon K}\,, \qquad \beta_k=\frac{(k+1)\pi}{2\varepsilon K}\,, \\ K=2\biggl\lceil\frac{\pi}{m\varepsilon}\biggr\rceil,\qquad k=-K,\dots,i,j+1,\dots,K-1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{49}
$$
Здесь индексы $i$ и $j$ – минимальные, для которых выполнены неравенства $\dfrac{(i+1)\pi}{2\varepsilon K}>\alpha_\pm$ и $\dfrac{(j+1)\pi}{2\varepsilon K}>\beta_\pm$. Следовательно, все полученные отрезки, кроме $[\alpha_\pm,\beta_\pm]$ и его соседей, имеют одинаковую длину $\pi/(2\varepsilon K)$. (Хотя более концептуальным является разбиение с использованием геометрической, а не арифметической прогрессии, это не влияет на окончательную оценку.) Мы уже применили лемму 3 к $[\alpha_\pm,\beta_\pm]$, а теперь мы применим лемму 10 к каждому из оставшихся отрезков в нарезке для $f(p)=f_\pm(p)$ (на этот раз нет необходимости в смене знака у $f_-(p)$). После суммирования полученных оценок все члены, содержащие значения $f_\pm(\alpha_k)$ и $f_\pm(\beta_k)$ в концевых точках, кроме самой левой и самой правой, сокращаются. Оставшиеся граничные члены дают
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \operatorname{BoundaryTerm}&:= \frac{g(\pi/(2\varepsilon))e(f_+(\pi/(2\varepsilon)))} {2\pi i f'_+(\pi/(2\varepsilon))}-\frac{g(-\pi/(2\varepsilon)) e(f_+(-\pi/(2\varepsilon)))}{2\pi i f'_+(-\pi/(2\varepsilon))} \\ &\qquad-\frac{g(\pi/(2\varepsilon))e(f_-(\pi/(2\varepsilon)))} {2\pi i f'_-(\pi/(2\varepsilon))}+ \frac{g(-\pi/(2\varepsilon))e(f_-(-\pi/(2\varepsilon)))} {2\pi i f'_-(-\pi/2\varepsilon))}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{50}
$$
Лемма 11 (см. [45; § 5]). Для $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$ таких, что $(x+t)/\varepsilon$ нечетно, выражение (50) обращается в нуль. Остается оценить остаточные члены. Начнем оценку с центральных отрезков $[\alpha_0,\beta_0]$ и $[\alpha_{-1},\beta_{-1}]$ (возможно, без частей, вырезанных отрезком $[\alpha_\pm,\beta_\pm]$); к ним нужен специальный подход. Применим лемму 10 к этим отрезкам для тех же функций (42), (43) и тех же значений (47) параметров $M$, $N$, $T$, $U$, что и на шаге 2. Все предположения этой леммы уже были проверены в лемме 6; имеем также
$$
\begin{equation*}
\beta_0-\alpha_0=\beta_{-1}-\alpha_{-1}= \frac{\pi}{2\varepsilon K}= \frac{\pi}{4\varepsilon\lceil\pi/(m\varepsilon)\rceil}<m=M \quad\text{и}\quad f''_\pm(p)\ne 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, остается оценить $|f_\pm'(p)|$ снизу. Лемма 12. При предположениях (8), (42), (45), (48) для любого $p$ из множества $[-\pi/(2\varepsilon),\pi/(2\varepsilon)]\setminus [\alpha_\pm,\beta_\pm]$ выполнено неравенство Тогда остаточный член на центральных отрезках оценивается так. Лемма 13 (см. [45; § 6]). Предположим, что выполнены условия (8), (45) и (48). Тогда для параметров (47) и функции (42) справедлива оценка Это значение есть $O_\delta(\varepsilon/m^{1/2}t^{3/2})$, так как $t>C_\delta/m$ по условию (8). Следовательно, остаточный член на центральных отрезках не превосходит остаточного члена теоремы. Шаг 4. Для оценки остаточного члена на оставшихся отрезках $[\alpha_k,\beta_k]$ (без потери общности считаем, что $k>0$) применим лемму 10 с несколько иными параметрами:
$$
\begin{equation}
T=\frac{mt}{k}\,,\quad M=mk, \quad U=\frac{\varepsilon}{k}\,, \quad N=mk.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Лемма 14. Для $0<k<K$ и $\varepsilon\leqslant 1/m$ параметры (51), (49) и функции (42), (43) на $[\alpha_k,\beta_k]$ удовлетворяют всем условиям леммы 10, кроме, быть может, условия на знак $f'(p)$. Поскольку окрестность $[\alpha_\pm,\beta_\pm]$ корня производной $f_\pm'(p)$ вырезана, получаем, что $f_\pm'(p)$ имеет постоянный знак на оставшихся промежутках, и по лемме 10 их вклад в остаток оценивается следующим образом. Лемма 15 (см. [45; § 7]). При предположениях (8), (45), (48), $0<k<K$ для функции (42) и параметров (51) справедлива оценка Суммирование по всем $k$ дает остаточный член
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{K}O\biggl(\frac{\varepsilon}{k^2mt^2\delta^{15/2}}\biggr)= O\biggl(\frac{\varepsilon}{mt^2\delta^{15/2}} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\biggr)= O_\delta\biggl(\frac{\varepsilon}{m^{1/2}t^{3/2}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
так как ряд $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ сходится и $t>\dfrac{C_\delta}{m}$ . Следовательно, итоговый остаточный член на всех отрезках удовлетворяет требованию теоремы, что завершает доказательство асимптотики (9). Вывод асимптотики для $a_2(x+\varepsilon,t+\varepsilon,{m},{\varepsilon})$ аналогичен. Из предложения 12 для четных $(x+t)/\varepsilon$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber a_2(x+\varepsilon,t+\varepsilon,{m},{\varepsilon})&= \frac{\varepsilon}{2\pi}\int_{-\pi/\varepsilon}^{\pi/\varepsilon} \biggl(1+\frac{\sin (p\varepsilon)}{\sqrt{m^2\varepsilon^2+ \sin^2(p\varepsilon)}}\biggr)e^{i\omega_pt-i p x}\,dp \\ &=\int_{-\pi/(2\varepsilon)}^{\pi/(2\varepsilon)} \bigl[g_+(p)e(f_+(p))+g_-(p)e(f_-(p))\bigr]\,dp, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
где $f_\pm(p)$ такие же, как выше (см. (42)), а
$$
\begin{equation}
g_\pm(p)=\frac{\varepsilon}{2\pi}\biggl(1\pm\frac{\sin(p\varepsilon)} {\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}}\biggr).
\end{equation}
\tag{53}
$$
Повторим рассуждения шагов 1–4 с заменой $g(p)$ на $g_\pm(p)$. Конкретная форма функции $g(p)$ использовалась только в леммах 5, 6, 11, 14. Аналоги лемм 5 и 11 для $g_\pm(p)$ получаются прямой проверкой [45; § 13]. Лемма 6 справедлива для $g_\pm(p)$: доказательство повторять не нужно, так как (см. [45; § 1])
$$
\begin{equation*}
g_\pm(p)=\dfrac{\varepsilon}{t}\biggl(f_\pm'(p)+ \dfrac{x+t}{2\pi}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Однако параметры (51) и лемму 14 нужно заменить следующими (тогда аналог леммы 15 будет выполнен):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T=\frac{mt}{k}\,, \quad M=mk,\quad U=\varepsilon,\quad N=mk^{3/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{54}
$$
Лемма 16. Для $0<k<K$ и $\varepsilon\leqslant 1/m$ параметры (54), (49) и функции (42), (53) на $[\alpha_k,\beta_k]$ удовлетворяют условиям леммы 10, кроме, быть может, условия на знак $f'(p)$. И снова нет нужды повторять доказательство: лемма 16 следует из леммы 14 и формулы, выражающей $g_\pm(p)$ через $f_\pm'(p)$. Это завершает доказательство теоремы 2 по модулю лемм. Теперь докажем леммы. Леммы 5, 9, 11, 13, 15 доказываются прямой проверкой [45]. Следующие соотношения [45; § 1, 3] будут часто использоваться в доказательствах других лемм:
$$
\begin{equation}
f_\pm'(p) =\frac{1}{2\pi}\biggl(-x\pm\frac{t\sin(p\varepsilon)} {\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}}\biggr),
\end{equation}
\tag{55}
$$
$$
\begin{equation}
f_\pm''(p) =\pm\frac{m^2\varepsilon^3 t\cos(p\varepsilon)} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{3/2}}\,.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Доказательство леммы 4. Используя (55) и решая квадратное уравнение $f_\pm'(p)=0$ как уравнение от $\sin(p\varepsilon)$, получаем (45). Условие $|x|/t<1/\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}$ из (8) гарантирует существование арксинуса. Доказательство леммы 6. Учитывая вычисления производных в [45; § 3] и условие $m\varepsilon\leqslant 1$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |g(p)|&=\frac{m\varepsilon^2} {2\pi\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}}\leqslant \frac{m\varepsilon^2}{2\pi\sqrt{m^2\varepsilon^2+0}}\leqslant \varepsilon=U, \\ |g'(p)|&=\frac{m\varepsilon^3|\sin(p\varepsilon)\cos(p\varepsilon)|} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{3/2}}\leqslant \frac{m\varepsilon^3|\sin(p\varepsilon)\cos(p\varepsilon)|} {2\pi(m^2\varepsilon^2+0)(0+\sin^2(p\varepsilon))^{1/2}}\leqslant \frac{\varepsilon}{m}=\frac{U}{N}\,, \\ |g''(p)|&=\frac{m\varepsilon^4|m^2\varepsilon^2+\sin^4(p \varepsilon)- 2(1+m^2\varepsilon^2)\sin^2(p \varepsilon)|} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{5/2}} \\ &\leqslant \frac{m\varepsilon^4(3m^2\varepsilon^2+3\sin^2(p \varepsilon))} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{5/2}}\leqslant \frac{\varepsilon}{m^2}=\frac{U}{N^2}\,, \\ |g'''(p)|&=\frac{1}{{2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{7/2}}} \,m\varepsilon^5|\sin(p\varepsilon)\cos(p\varepsilon)|\\ &\qquad\times|4m^4\varepsilon^4+9m^2\varepsilon^2+\sin^4(p \varepsilon)- (6+10m^2\varepsilon^2)\sin^2(p \varepsilon)| \leqslant \frac{3\varepsilon}{m^3}=\frac{3U}{N^3}\,, \\ |f''_\pm(p)|&=\frac{ m^2 \varepsilon^3 t\cos(p\varepsilon)} {2 \pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{3/2}}\leqslant \frac{t}{m}=\frac{T}{M^2}\,, \\ |f'''_\pm(p)|&=\frac{m^2\varepsilon^4 t|\sin(p\varepsilon)| (m^2\varepsilon^2+\cos (2 p \varepsilon)+2)} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{5/2}} \leqslant \frac{4m^2\varepsilon^4 t|\sin(p\varepsilon)|} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{5/2}} \\ &\leqslant\frac{t}{m^2}=\frac{T}{M^3}\,, \\ |f^{(4)}_\pm(p)|&=\frac{m^2\varepsilon^5t\cos(p\varepsilon) |m^4\varepsilon^4+3m^2\varepsilon^2+4\sin^4(p \varepsilon)- 2(6+5m^2\varepsilon^2)\sin^2(p\varepsilon)|} {2 \pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{7/2}} \\ &\leqslant \frac{3t}{m^3}=\frac{3T}{M^4}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство леммы 7. Лемма вытекает из следующей цепочки оценок:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\pi}{2\varepsilon}-|\gamma_\pm|&\overset{(*)}= \frac{\sin(\pi/2)- \sin|\gamma_\pm\varepsilon|}{\varepsilon\cos(\theta\varepsilon)} \overset{(**)}\geqslant\frac{\sin(\pi/2)-\sin|\gamma_\pm\varepsilon|} {\varepsilon\cos(\gamma_\pm\varepsilon)} \\ &\!\!\overset{(***)}=\frac{1-m\varepsilon |x|/\sqrt{t^2-x^2}} {\varepsilon\sqrt{1-m^2\varepsilon^2 x^2/(t^2-x^2)}} =\frac{\sqrt{1-x^2/t^2}-m\varepsilon |x|/t} {\varepsilon\sqrt{1-(1+m^2\varepsilon^2) x^2/t^2}} \\ &\geqslant\frac{1}{\varepsilon}\biggl(\sqrt{1-\frac{x^2}{t^2}}- \frac{m\varepsilon |x|}{t}\biggr) \geqslant\frac{1}{\varepsilon}\biggl(\sqrt{1-\frac{1}{1+m^2\varepsilon^2}}- \frac{m\varepsilon |x|}{t}\biggr) \\ &=m\biggl(\frac{1}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}}- \frac{|x|}{t}\biggr)\geqslant {m\delta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь равенство $(*)$ выполнено для некоторого $\theta\in[|\gamma_\pm|,\pi/(2\varepsilon)]$ по теореме Лагранжа. Неравенство $({*}{*})$ выполнено, так как косинус убывает на заданном промежутке. Следующее равенство $({*}{*}{*})$ получается путем подстановки (45). Остальное просто, так как $|x|/t<1/\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}-\delta$ в силу предположения (8). Доказательство леммы 8. Докажем лемму для $f_+(p)$ и $\gamma_+\geqslant 0$; для $\gamma_+<0$ и для $f_-(p)$ доказательство аналогично. Опустим индекс $+$ в обозначениях $f_+$, $\alpha_+$, $\beta_+$, $\gamma_+$. Лемма вытекает из следующей цепочки неравенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |f''(p)|&\overset{(*)}{\geqslant} |f''(\beta)|= \frac{ m^2 \varepsilon^3 t \cos(\beta \varepsilon)} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(\beta\varepsilon))^{3/2}} \\ &\overset{(**)}{\geqslant}\frac{m^2\varepsilon^3 t\cos(\gamma\varepsilon)} {4\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(\gamma\varepsilon)+ 2m^2\varepsilon^2t^2/(t^2-x^2))^{3/2}} \\ &\overset{(***)}{=}\frac{m^2\varepsilon^3 t\sqrt{t^2- (1+m^2\varepsilon^2)x^2}\,(t^2-x^2)} {4\pi(3m^2\varepsilon^2t^2)^{3/2}} \\ &\geqslant \frac{t\sqrt{1-(1+m^2\varepsilon^2)x^2/t^2}\,(1-x^2/t^2)} {24\pi m}\geqslant \frac{t\delta^{3/2}}{24 \pi m}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь неравенство $(*)$ доказывается следующим образом. Из (56) следует, что $f''(p)$ возрастает на $[-\pi/(2\varepsilon),0]$ и убывает на $[0,\pi/(2\varepsilon)]$: ведь эта функция четна, ее числитель убывает на $[0,\pi/(2\varepsilon)]$, а знаменатель возрастает на $[0,\pi/(2\varepsilon)]$. Следовательно, $|f''(p)|\geqslant \min\{|f''(\beta)|,|f''(\alpha)|\}$ при $p\in[\alpha,\beta]$ в силу леммы 7. Но так как $f''(p)$ четна и $\gamma\geqslant 0$, то из (48) получаем
$$
\begin{equation*}
|f''(\alpha)|=\biggl|f''\biggl(\gamma-\frac{m\delta}{2}\biggr)\biggr|= \biggl|f''\biggl(\biggl|\gamma-\frac{m\delta}{2}\biggr|\biggr)\biggr|\geqslant \biggl|f''\biggl(\gamma+\frac{m\delta}{2}\biggr)\biggr|=|f''(\beta)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство $({*}{*})$ вытекает из следующих двух оценок. Сначала из леммы 7 и выпуклости косинуса на $[\gamma\varepsilon,\pi/2]$ получаем
$$
\begin{equation*}
\cos(\beta\varepsilon)\geqslant \cos\biggl(\frac{\gamma\varepsilon}{2}+ \frac{\pi}{4}\biggr)\geqslant \frac{1}{2}\biggl(\cos(\gamma\varepsilon)+ \cos\frac{\pi}{2}\biggr)=\frac{\cos (\gamma\varepsilon)}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Затем, используя неравенство $\sin z-\sin w\leqslant z-w$ при $0\leqslant w\leqslant z\leqslant \pi/2$, а потом неравенство $\delta\leqslant 1$ и (45)–(48), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sin^2(\beta\varepsilon)-\sin^2(\gamma\varepsilon)&\leqslant \varepsilon(\beta-\gamma)\bigl[\sin(\beta\varepsilon)+ \sin(\gamma\varepsilon)\bigr]\leqslant \varepsilon(\beta-\gamma) \bigl[\varepsilon(\beta-\gamma)+2\sin(\gamma\varepsilon)\bigr] \\ &=\frac{m\varepsilon\delta}{2}\biggl(\frac{m\varepsilon\delta}{2}+ \frac{2m\varepsilon x}{\sqrt{t^2-x^2}}\biggr) \\ &\leqslant\frac{m\varepsilon t}{2\sqrt{t^2-x^2}} \biggl(\frac{2m\varepsilon t}{\sqrt{t^2-x^2}}+ \frac{2m\varepsilon t}{\sqrt{t^2-x^2}}\biggr)= \frac{2m^2\varepsilon^2t^2}{t^2-x^2}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство $({*}{*}{*})$ получается из (45). Оставшиеся оценки очевидны. Доказательство леммы 12. Из лемм 4 и 8 при $p\in [\beta_+,\pi/(2\varepsilon)]$ следует, что
$$
\begin{equation*}
f_+'(p)=f_+'(\gamma_+)+\int_{\gamma_+}^{p}f_+''(p)\,dp\geqslant 0+(p-\gamma_+)\,\frac{t\delta^{3/2}}{24 \pi m}\geqslant (\beta_+-\gamma_+)\,\frac{t\delta^{3/2}}{24 \pi m }= \frac{t\delta^{5/2}}{48 \pi}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $f_+''(p)\geqslant 0$ ввиду (56). Для $p\in [-\pi/(2\varepsilon),\alpha_+]$ и $f'_-(p)$ доказательство аналогично. Доказательство леммы 14. Возьмем $p\in [\alpha_k,\beta_k]$. Из (49), неравенства $\sin z\geqslant z/2$ при $z\in [0,\pi/2]$ и неравенства $m\varepsilon\leqslant 1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |g(p)|&=\frac{m\varepsilon^2} {2\pi\sqrt{m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon)}}\leqslant \frac{m\varepsilon^2}{2\pi\sin(p\varepsilon)}\leqslant \frac{m\varepsilon^2}{\pi p\varepsilon}\leqslant \frac{2m\varepsilon^2 K}{\pi^2 k}= \frac{4m\varepsilon^2}{\pi^2 k} \biggl\lceil\frac{\pi}{m\varepsilon}\biggr\rceil \\ &=O\biggl(\frac{\varepsilon}{k}\biggr)=O(U), \\ |g'(p)|&=\frac{m\varepsilon^3 |\sin(p\varepsilon)\cos(p\varepsilon)|} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{3/2}}\leqslant \frac{m\varepsilon^3}{2\pi\sin^2(p\varepsilon)}= {O}\biggl(\frac{\varepsilon}{mk^2}\biggr) ={O}\biggl(\frac{U}{N}\biggr), \\ |g''(p)|&=\frac{m\varepsilon^4|m^2\varepsilon^2+\sin^4(p \varepsilon)- 2(1+m^2\varepsilon^2)\sin^2(p \varepsilon)|} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{5/2}} \\ &\leqslant \frac{m\varepsilon^4(3m^2\varepsilon^2+3\sin^2(p \varepsilon))} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{5/2}}= {O}\biggl(\frac{U}{N^2}\biggr), \\ |g'''(p)|&=\frac{1}{2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{7/2}} \,m\varepsilon^5 |\sin(p\varepsilon)\cos(p\varepsilon)| \\ &\qquad \times |4m^4\varepsilon^4+9m^2\varepsilon^2+\sin^4(p \varepsilon)- (6+10m^2\varepsilon^2)\sin^2(p \varepsilon)| ={O}\biggl(\frac{U}{N^3}\biggr), \\ |f''_\pm(p)|&=\frac{m^2\varepsilon^3 t\cos(p\varepsilon)} {2\pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{3/2}}= {O}\biggl(\frac{t}{mk^3}\biggr)={O}\biggl(\frac{T}{M^2}\biggr), \\ |f'''_\pm(p)|&=\frac{m^2 \varepsilon^4 t|\sin(p \varepsilon)| (m^2\varepsilon^2+\cos (2 p \varepsilon)+2)} {2 \pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{5/2}}= {O}\biggl(\frac{t}{m^2k^4}\biggr)={O}\biggl(\frac{T}{M^3}\biggr), \\ |f^{(4)}_\pm(p)|&=\frac{m^2\varepsilon^5t\cos(p\varepsilon) |m^4\varepsilon^4+3m^2\varepsilon^2+4\sin^4(p \varepsilon)- 2(6+5m^2\varepsilon^2)\sin^2(p \varepsilon)|} {2 \pi(m^2\varepsilon^2+\sin^2(p\varepsilon))^{7/2}} \\ &={O}\biggl(\frac{t}{m^3k^5}\biggr)={O}\biggl(\frac{T}{M^4}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $f_\pm''(p)$ не меняет знак на промежутках $[\alpha_k,\beta_k]$, так как обращается в нуль только в $\pm\pi/(2\varepsilon)$. Кроме того, Лемма доказана. Замечание 9. Аналогично шагам 3, 4 выше (но со значительными упрощениями, так как не будет стационарных точек) можно доказать следующее: для любых $m,\varepsilon,\delta>0$ и любых $(x,t)\in\varepsilon\mathbb{Z}^2$, удовлетворяющих неравенствам $|x|/t>1/\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}+\delta$ и $\varepsilon\leqslant 1/m$, выполняется оценка ${a}(x,t,m,\varepsilon)=O(\varepsilon/(mt^{2}\delta^3))$ [44; теорема 3B]. 12.4. Предел при больших временах: снова метод стационарной фазы (следствия 1–3)В этом пункте мы докажем следствия 1–3. Сначала изложим план, которому будем следовать, затем докажем следствие 1 по модулю технической леммы, затем саму лемму и, наконец, следствия 2 и 3. План доказательства следствия 1 (и таких результатов, как проблемы 4, 5) состоит из четырех шагов (реализацию шагов 1–3, отличную от приведенной ниже, можно найти в arXiv’ной версии работы [49]).
Доказательство следствия 1 (по модулю некоторых лемм). Шаг 1. Зафиксируем значения параметров $m,\kern-0.5pt \varepsilon,\kern-0.5pt \delta\kern-0.5pt >\kern-0.5pt 0$, положим $n:\kern-0.5pt =\kern-0.5pt 1+ m^2\varepsilon^2$, $F(v):=F(v,m,\varepsilon)$, $V:=1/\sqrt{n}-\delta$ и зафиксируем $v$ в пределах $-V\leqslant v\leqslant V$. Докажем, что если $t$ достаточно велико по сравнению с $\delta$, $m$, $\varepsilon$, то
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{-Vt < x\leqslant vt\\x\in\varepsilon\mathbb{Z}}} P(x,t,m,\varepsilon)=F(v)-F(-V)+{O}_{\delta,m,\varepsilon} \biggl(\sqrt{\frac{\varepsilon}{t}}\,\biggr).
\end{equation}
\tag{57}
$$
Это утверждение вытекает из последовательности асимптотических формул
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sum_{\substack{-V(t+\varepsilon) < x\leqslant v(t+\varepsilon)\\ x\in\varepsilon\mathbb{Z}}}a_1^2(x,t+\varepsilon,m,\varepsilon) \\ \nonumber &\qquad\overset{(*)}=\sum_{\substack{-V(t+\varepsilon)<x\leqslant v(t+\varepsilon) \\(x+t)/\varepsilon\text{ нечетное}}}\biggl(\frac{2m\varepsilon^2}{\pi t} \biggl(1-\frac{nx^2}{t^2}\biggr)^{-1/2}\sin^2\theta(x,t,m,\varepsilon)+ {O}_{\delta}\biggl(\frac{\varepsilon^2}{t^{2}}\biggr)\biggr) \\ \nonumber &\qquad\overset{(**)}=\sum_{\substack{-Vt<x<vt\\(x+t)/\varepsilon \text{ нечетное}}} \frac{m\varepsilon^2}{\pi t}\biggl(1-\frac{nx^2}{t^2}\biggr)^{-1/2} \\ \nonumber &\qquad\qquad-\sum_{\substack{-Vt< x< vt\\(x+t)/\varepsilon\text{ нечетное}}} \frac{m\varepsilon^2}{\pi t}\biggl(1-\frac{nx^2}{t^2}\biggr)^{-1/2} \cos\bigl(2\theta(x,t,m,\varepsilon)\bigr)+ {O}_{\delta}\biggl(\frac{\varepsilon}{t}\biggr) \\ \nonumber &\qquad\overset{(***)}=\sum_{\substack{-Vt<x<vt\\(x+t)/\varepsilon \text{ нечетное}}} \frac{m\varepsilon\cdot 2\varepsilon/t}{2\pi\sqrt{1-nx^2/t^2}}+ {O}_{\delta,m,\varepsilon}\biggl(\sqrt{\frac{\varepsilon}{t}}\,\biggr) \\ \nonumber &\qquad\overset{(****)}= \int_{-V}^{v}\frac{m\varepsilon\,dv}{2\pi\sqrt{1-nv^2}}+ {O}_{\delta,m,\varepsilon}\biggl(\sqrt{\frac{\varepsilon}{t}}\,\biggr) \\ &\qquad=m\varepsilon\,\frac{\arcsin(\sqrt{n}\,v)-\arcsin(-\sqrt{n}\,V)} {2\pi\sqrt{n}}+ {O}_{\delta,m,\varepsilon}\biggl(\sqrt{\frac{\varepsilon}{t}}\,\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{58}
$$
и аналогичной асимптотической формулы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\substack{-V(t+\varepsilon) < x\leqslant v(t+\varepsilon)\\ x\in\varepsilon\mathbb{Z}}}a_2^2(x,t+\varepsilon,m,\varepsilon)= \int_{-V}^{v}\frac{m\varepsilon(1+v)\, dv} {2\pi(1-v)\sqrt{1-nv^2}}+ {O}_{\delta,m,\varepsilon}\biggl(\sqrt{\frac{\varepsilon}{t}}\,\biggr) \\ &\qquad=F(v)-F(-V)-m\varepsilon\,\frac{\arcsin(\sqrt{n}\,v)- \arcsin(-\sqrt{n}\,V)}{2\pi\sqrt{n}}+{O}_{\delta,m,\varepsilon} \biggl(\sqrt{\frac{\varepsilon}{t}}\,\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь равенство $(*)$ следует из теоремы 2, поскольку для достаточно больших $t$ выполняются неравенства $\dfrac{|x|}{t}\leqslant \dfrac{|V|(t+\varepsilon)}{t}< V+\dfrac{\delta}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{\delta}{2}$ . При этом произведение главного члена и остаточного члена в (9) оценивается как $\varepsilon^2/t^2$. Асимптотическая формула $({*}{*})$ выполняется, поскольку число слагаемых меньше $t/\varepsilon$ и (возможно) выпавшие первое и последнее слагаемые меньше $m\varepsilon^2/(t\sqrt{\delta}\,)$. Шаг 2. Докажем равенство $({*}{*}{*})$. Мы используем следующую упрощенную версию метода стационарной фазы. Лемма 17 [26; следствие из теоремы 4]. В предположениях леммы 3 (за исключением предположений на $f'(p)$, $g^{(3)}(p)$ и неравенства $N\geqslant M/\sqrt{T}$ ) если $M=N$ и $M/C\leqslant T\leqslant CM^2$ для некоторого $C>0$, то Для удобства обозначений будем предполагать, что $t/\varepsilon$ нечетно; в противном случае доказательство будет устроено аналогично. С учетом предположения переменная суммирования может быть представлена в виде $x=2p\varepsilon$, где $p$ – целое. Применим лемму 17 к функциям
$$
\begin{equation}
f_{\pm}(p)= \pm\frac{1}{\pi}\theta(2p\varepsilon,t,m,\varepsilon)\quad\text{и}\quad g(p)=\frac{m\varepsilon^2}{\pi t} \biggl(1-\frac{4n\varepsilon^2p^2}{t^2}\biggr)^{-1/2}
\end{equation}
\tag{59}
$$
и параметрам
$$
\begin{equation}
M=N=T=\frac{t}{\varepsilon}\,, \quad U=\frac{\varepsilon}{t}\,, \quad \alpha=-\frac{Vt}{2\varepsilon}\,, \quad \beta=\frac{vt}{2\varepsilon}\,.
\end{equation}
\tag{60}
$$
Лемма 18. При $\varepsilon\leqslant 1/m$ существуют константы $C,C_0,\dots,C_4$, зависящие от $\delta$, $m$, $\varepsilon$, но не от $v$, $p$, такие, что параметры (60) и функции (59) удовлетворяют всем предположениям леммы 17. Значит, формула $({*}{*}{*})$ действительно выполняется, поскольку параметры (60) удовлетворяют условию
$$
\begin{equation*}
\frac{(\beta-\alpha)U\sqrt{T}}{M}+\frac{UM}{\sqrt{T}}= {O}\biggl(\sqrt{\frac{\varepsilon}{t}}\,\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 3. Докажем равенство $({*}{*}{*}{*})$. Для этого мы используем следующий известный результат. Лемма 19 (формула суммирования Эйлера [26; замечание к теореме 1]). Если $g(p)$ непрерывно дифференцируема на $[\alpha,\beta]$ и $\rho(p):=1/2-\{p\}$, то Снова предположим без ограничения общности, что $t/\varepsilon$ нечетно. Применим лемму 19 с теми же $\alpha,\beta,g(p)$ (задаваемыми равенствами (59), (60)), что и на шаге 2. Согласно лемме 18 выполняются оценки $g(p)=O_{\delta,m,\varepsilon}(\varepsilon/t)$ и $g'(p)=O_{\delta,m,\varepsilon}(\varepsilon^2/t^2)$. Значит, по лемме 19 разница между суммой и интегралом в $({*}{*}{*}{*})$ есть $O_{\delta,m,\varepsilon}(\varepsilon/t)$, что доказывает равенство (57). Шаг 4. Докажем следствие для произвольного $v\in (-1/\sqrt{n}\,;1/\sqrt{n}\,)$. Согласно (57) для любых $\delta$, $m$, $\varepsilon$ существуют $C_1(\delta,m,\varepsilon)$ и $C_2(\delta,m,\varepsilon)$ такие, что для любого $v\in [-1/\sqrt{n}+\delta;1/\sqrt{n}-\delta]$ и любого $t\geqslant C_1(\delta,m,\varepsilon)$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\,\sum_{(-1/\sqrt{n}+\delta)t< x\leqslant vt} P(x,t,m,\varepsilon)-F(v)\biggr|\leqslant F\biggl(-\frac{1}{\sqrt{n}}+\delta\biggr)+ C_2(\delta,m,\varepsilon)\sqrt{\frac{\varepsilon}{t}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $C_1(\delta,m,\varepsilon)$ и $C_2(\delta,m,\varepsilon)$ можно считать убывающими функциями от $\delta$: чем больше интервал $[-1/\sqrt{n}+\delta,1/\sqrt{n}-\delta]$, тем хуже оценки остатков в $(*)$–$({*}{*}{*}{*})$. Выберем $\delta(t)$ стремящимся к $0$ достаточно медленно, чтобы выполнялось неравенство $C_1(\delta(t),m,\varepsilon)\leqslant t$ при $t$, достаточно большом по сравнению с $m$, $\varepsilon$, и имела место сходимость $C_2(\delta(t),m,\varepsilon)\sqrt{\varepsilon/t}\to 0$ при $t\to+\infty$. Положим $V(t):=1/\sqrt{n}-\delta(t)$. Тогда, так как $F(-1/\sqrt{n}+\delta)\to F(-1/\sqrt{n}\,)=0$ при $\delta \to 0$ по определению $F(v)$, то
$$
\begin{equation}
\sum_{-V(t)t< x\leqslant vt}P(x,t,m,\varepsilon)\rightrightarrows F(v)\quad\text{при } t\to+\infty
\end{equation}
\tag{61}
$$
равномерно по $v\in(-1/\sqrt{n}\,,1/\sqrt{n}\,)$. Аналогично, так как $F(1/\sqrt{n}-\delta)\to F(1/\sqrt{n}\,)=1$ при $\delta \to 0$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{-V(t)t< x\leqslant V(t)t}P(x,t,m,\varepsilon)\to 1\quad\text{при } t\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, согласно предложению 6,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{x\leqslant -V(t)t}P(x,t,m,\varepsilon)&= 1-\sum_{x>-V(t)t}P(x,t,m,\varepsilon) \\ &\leqslant 1-\sum_{-V(t)t< x\leqslant V(t)t}P(x,t,m,\varepsilon)\to 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (61) это доказывает следствие для $v\in(-1/\sqrt{n}\,;1/\sqrt{n}\,)$. Для $v\leqslant -1/\sqrt{n}$ (и аналогично для $v\geqslant 1/\sqrt{n}\,$) следствие вытекает из оценки
$$
\begin{equation*}
\sum_{x\leqslant vt}P(x,t,m,\varepsilon)\leqslant \sum_{x\leqslant -V(t)t}P(x,t,m,\varepsilon)\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 1 доказано. Докажем теперь лемму 18 и следствия 2, 3. Доказательство леммы 18. Неравенства $M/C\leqslant T\leqslant CM^2$ и $M\geqslant \beta-\alpha$ автоматически выполняются при $C=1$, поскольку $t/\varepsilon$ – натуральное число и $|V|,|v|\leqslant 1$. Используя предположения $\varepsilon\leqslant 1/m$, $\alpha\leqslant p\leqslant \beta$ и полагая $C_2:=\max\{1/(m\varepsilon),2/\delta^{3/2}\}$, оценим производные (вычисленные в [45; § 9]) следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |g(p)|&=\frac{m\varepsilon^2}{\pi t} \biggl(1-\frac{4n\varepsilon^2p^2}{t^2}\biggr)^{-1/2}\leqslant \frac{m\varepsilon^2}{\pi t\sqrt{1-nV^2}}\leqslant \frac{m\varepsilon^2}{t\sqrt{\delta}} \\ &\leqslant \frac{\varepsilon}{t\sqrt{\delta}}={O}_{\delta}(U), \\ |g'(p)|&=\frac{4m\varepsilon^4 n|p|}{\pi t^3} \biggl(1-\frac{4n\varepsilon^2p^2}{t^2}\biggr)^{-3/2}\leqslant \frac{2m\varepsilon^3 nVt}{\pi t^3(1-nV^2)^{3/2}}\leqslant \frac{m\varepsilon^3 n}{t^2\delta^{3/2}} \\ &\leqslant \frac{2\varepsilon^2}{t^2\delta^{3/2}}= {O}_{\delta}\biggl(\frac{U}{N}\biggr), \\ |g''(p)|&=\frac{4m\varepsilon^4 n(8\varepsilon^2 np^2+t^2)}{\pi t^5} \biggl(1-\frac{4n\varepsilon^2p^2}{t^2}\biggr)^{-5/2}\leqslant \frac{4m\varepsilon^4 n(2nV^2+1)t^2}{\pi t^5(1-nV^2)^{5/2}} \\ &={O}_{\delta}\biggl(\frac{\varepsilon^3}{t^3}\biggr)= {O}_{\delta}\biggl(\frac{U}{N^2}\biggr), \\ |f''(p)|&=\frac{4m\varepsilon^2}{\pi t} \biggl(1-\frac{4\varepsilon^2p^2}{t^2}\biggr)^{-1} \biggl(1-\frac{4n\varepsilon^2p^2}{t^2}\biggr)^{-1/2}\geqslant \frac{m\varepsilon^2}{t}\geqslant \frac{T}{C_2M^2}\,, \\ |f''(p)|&=\frac{4m\varepsilon^2}{\pi t} \biggl(1-\frac{4\varepsilon^2p^2}{t^2}\biggr)^{-1} \biggl(1-\frac{4n\varepsilon^2p^2}{t^2}\biggr)^{-1/2}\leqslant \frac{4m\varepsilon^2}{\pi t (1-V^2)\sqrt{1-nV^2}} \\ &\leqslant \frac{2m\varepsilon^2}{t\delta^{3/2}}\leqslant \frac{C_2T}{M^2}\,, \\ |f'''(p)|&=\frac{16m\varepsilon^4|(n+2)pt^2-12n\varepsilon^2 p^3|}{\pi t^5} \biggl(1-\frac{4\varepsilon^2p^2}{t^2}\biggr)^{-2} \biggl(1-\frac{4n\varepsilon^2p^2}{t^2}\biggr)^{-3/2} \\ &={O}_{\delta}\biggl(\frac{T}{M^3}\biggr), \\ |f^{(4)}(p)|&=\frac{1}{\pi t^9(1-{4\varepsilon^2p^2}/{t^2})^{3} (1-{4n\varepsilon^2p^2}/{t^2})^{5/2}} \\ &\qquad\times 16m\varepsilon^4|768n^2\varepsilon^6p^6-48n(2n+5) \varepsilon^4p^4 t^2 \\ &\qquad\qquad\qquad+8(n^2-n+3)\varepsilon^2 p^2 t^4+(n+2)t^6| =O_{\delta}\biggl(\frac{T}{M^4}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство следствия 2. Диаграммы Юнга с $h$ строками и $w$ столбцами находятся в очевидной биекции с путями шашки из $(0,0)$ в $(w-h,w+h)$, проходящими через $(1,1)$ и $(w-h+1,w+h-1)$ (см. рис. 11 слева). Поэтому
$$
\begin{equation*}
n_+(h\times w)-n_-(h\times w)=-2^{(w+h-1)/2}a_1(w-h,w+h).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $h:=\lceil rw\rceil$. Применим теорему 2 и замечание 9 (или теорему 4) при
$$
\begin{equation*}
\delta=\frac{1}{2}\biggl|\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r-1}{r+1}\biggr|,\qquad m=\varepsilon=1, \quad x=w-h, \quad t=w+h-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Это завершает доказательство в случае $r>3+2\sqrt{2}$ . Остается показать, что если $r<3+2\sqrt{2}$ , то величина (11) при $w\to\infty$ будет попадать в сколь угодно малые окрестности точек $\pi/2+\pi\mathbb{Z}$. Пусть $v:=(h-w)/(w+h-1)$, $v_0:=(r-1)/(r+1)$ и
$$
\begin{equation*}
\theta(vt,t,1,1)=t\biggl(\arcsin\frac{1}{\sqrt{2-2v^2}}- v\arcsin\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}\biggr)+\frac{\pi}{4}=: t\theta(v)+\frac{\pi}{4}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\theta(v)\in C^2[0;1/\sqrt{2}-\delta]$, то можно записать разложение в ряд Тейлора:
$$
\begin{equation*}
\theta(vt,t,1,1)=\frac{\pi}{4}+t\theta(v_0)+t(v-v_0)\theta'(v_0)+ O_\delta\bigl(t(v-v_0)^2\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в него
$$
\begin{equation*}
v-v_0=\frac{h-w}{w+h-1}-\frac{r-1}{r+1}= \frac{2h-2rw+r-1}{(r+1)(w+h-1)}=\frac{2\{-rw\}+r-1}{(r+1)t}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $h=\lceil rw\rceil=rw+\{-rw\}$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta(vt,t,1,1)&=\frac{\pi}{4}+(w+rw+\{-rw\}-1)\theta(v_0) \\ &\qquad+\frac{2\{-rw\}+r-1}{(r+1)}\,\theta'(v_0) +O_\delta\biggl(\frac{1}{w}\biggr) \\ &=\frac{\pi}{4}-\theta(v_0)+v_0\theta'(v_0)+w(r+1)\theta(v_0) \\ &\qquad+\{-rw\}\biggl(\theta(v_0)+\frac{2}{r+1}\theta'(v_0)\biggr)+ O_\delta\biggl(\frac{1}{w}\biggr) \\ &=:\pi\bigl(\alpha(r)w+\beta(r)\{-rw\}+\gamma(r)\bigr)+ O_\delta\biggl(\frac{1}{w}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Почти для всех $r$ числа $1$, $r$, $\alpha(r)$ линейно независимы над полем рациональных чисел, поскольку график функции $\alpha(r)=(r+1)\theta\bigl((r-1)/(r+1)\bigr)$ имеет лишь счетное число точек пересечения с прямыми, задаваемыми уравнениями с рациональными коэффициентами. Следовательно, по теореме Кронекера для любого $\Delta>0$ существует бесконечно много $w$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\{-rw\}<\Delta\quad\text{и}\quad \biggl|\{\alpha(r)w\}+\gamma(r)-\frac{1}{2}\biggr|<\Delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Для таких $w$
$$
\begin{equation*}
|\sin\theta(vt,t,1,1)|=1+O\bigl((1+\beta(r))\Delta\bigr)+ O_\delta\biggl(\frac{1}{w}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
2^{(r+1)w/2}\leqslant 2^{(w+h)/2}\leqslant 2^{(r+1)w/2+\Delta};
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, утверждение следствия 2 вытекает из (9). Выведем утверждение следствия 3 из результатов работы [49]. Доказательство следствия 3. Применим следствие 1.5 и теорему 1.1 из [49] при
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, n=\frac{t}{\varepsilon}-1, \quad y_n=2\varepsilon\biggl\lceil \frac{vt}{2\varepsilon}\biggr\rceil-1,\quad \xi=v, \quad \phi=(0,1)^\top, \\ a=\frac{1}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}}\,, \quad b=\frac{m\varepsilon}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в случае $|v|>1/\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}$ нужное утверждение непосредственно вытекает из следствия 1.5 работы [49]. В случае $|v|<1/\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}$ нужное утверждение вытекает из оценок
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \frac{2m\varepsilon^2}{\pi t(1-v)}\sqrt{\frac{a-|v|}{a+|v|}}+ {O}_{m,\varepsilon,v}\biggl(\frac{1}{t^2}\biggr)&\leqslant P\biggl(2\varepsilon\biggl\lceil\frac{vt}{2\varepsilon}\biggr\rceil, t,m,\varepsilon\biggr) \\ &\leqslant\frac{2m\varepsilon^2}{\pi t(1-v)} \sqrt{\frac{a+|v|}{a-|v|}}+{O}_{m,\varepsilon,v}\biggl(\frac{1}{t^2}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{62}
$$
где $t\in 2\varepsilon\mathbb{Z}$ и $a:=1/\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}$ . Оценки (62) следуют из теоремы 1.1 работы [49], так как фигурирующая там величина $\mathrm{OSC}_n(\xi)$ допускает оценку
$$
\begin{equation*}
|\mathrm{OSC}_n(\xi)|\leqslant \sqrt{A(\xi)^2+B(\xi)^2}= \frac{|\xi|(1+\xi)}{|a|}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. проверку этого факта в [45; § 18]). Следствие доказано. Оценки (62) могут быть также получены с помощью теоремы 2 методом из п. 12.5. 12.5. Решение проблемы Фейнмана: разложения в ряды Тейлора (следствия 4, 5)В этом пункте с помощью теоремы 2 мы получим решение проблемы Фейнмана. Для этого будет достаточно приблизить функции, фигурирующие в теореме 2, отрезками рядов Тейлора. Доказательство следствия 4. Сначала выведем асимптотическую формулу для функции $\theta(x,t,m,\varepsilon)$, заданной равенством (11). Положим $n:=1+m^2\varepsilon^2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=1+O(z^2),\quad \arcsin z=z+O(z^3)\qquad\text{при } z\in[-1;1]
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\frac{t}{\sqrt{t^2-x^2}}<\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{n}\,x/t}}< \frac{1}{\sqrt{\delta}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \arcsin\frac{m\varepsilon t}{\sqrt{n(t^2-x^2)}} &=\frac{m\varepsilon t}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}\,\sqrt{t^2-x^2}}+ {O}\biggl(\frac{m^3\varepsilon^3}{n^{3/2}} \biggl(\frac{t}{\sqrt{t^2-x^2}}\biggr)^3\,\biggr) \\ &=\frac{m\varepsilon t}{\sqrt{t^2-x^2}}+ O_\delta(m^3\varepsilon^3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь аналогичной асимптотической формулой для $\arcsin(m\varepsilon x/\sqrt{t^2-x^2})$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta(x,t,m,\varepsilon)&=\frac{m t^2} {\sqrt{t^2-x^2}}- \frac{m x^2} {\sqrt{t^2-x^2}}+\frac{\pi}{4}+ \frac{t+|x|}{\varepsilon}\,O_\delta(m^3\varepsilon^3) \\ &=m\sqrt{t^2-x^2}+\frac{\pi}{4}+O_\delta(m^3\varepsilon^2t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\partial \sqrt{t^2-x^2}}{\partial t}\biggr|= \frac{t}{\sqrt{t^2-x^2}}<\frac{1}{\sqrt{\delta}}\quad\text{и}\quad \biggl|\frac{\partial \sqrt{t^2-x^2}}{\partial x}\biggr|= \frac{|x|}{\sqrt{t^2-x^2}}<\frac{1}{\sqrt{\delta}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
то из теоремы Лагранжа о конечных приращениях следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta(x,t-\varepsilon,m,\varepsilon)&=m\sqrt{t^2-x^2}+\frac{\pi}{4}+ O_\delta(m\varepsilon+m^3\varepsilon^2t), \\ \theta(x-\varepsilon,t-\varepsilon,m,\varepsilon)&= m\sqrt{t^2-x^2}+\frac{\pi}{4}+O_\delta(m\varepsilon+m^3\varepsilon^2t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим оставшиеся сомножители в (9), (10). По теореме Лагранжа для некоторого $\eta\in[0,nx^2/t^2]$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl(1-\frac{nx^2}{t^2}\biggr)^{-1/4}-1&=\frac{nx^2}{t^2}\, \frac{(1-\eta)^{-5/4}}{4} \leqslant \frac{nx^2}{t^2} \biggl(1-\frac{nx^2}{t^2}\biggr)^{-5/4} \\ &\leqslant \frac{x^2}{t^2}\biggl(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{x}{t}\biggr)^{-5/4} \biggl(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{x}{t}\biggr)^{-5/4} \\ &\leqslant\frac{x^2}{t^2}\,\delta^{-5/2}=O_\delta\biggl(\frac{|x|}{t}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, при $t\geqslant 2\varepsilon$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(1-\frac{nx^2}{(t-\varepsilon)^2}\biggr)^{-1/4}&= 1+O_\delta\biggl(\frac{|x|}{t}\biggr), \\ \biggl(1-\frac{n(x-\varepsilon)^2}{(t-\varepsilon)^2}\biggr)^{-1/4}&= 1+O_\delta\biggl(\frac{|x|+\varepsilon}{t}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{63}
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation}
\sqrt{\frac{t-\varepsilon+x-\varepsilon}{t-x}}= \sqrt{1+2\frac{x-\varepsilon}{t-x}}= 1+O\biggl(\frac{x-\varepsilon}{t-x}\biggr)= 1+O_\delta\biggl(\frac{|x|+\varepsilon}{t}\biggr).
\end{equation}
\tag{64}
$$
Подставляя все полученные асимптотические формулы в (9), (10), приходим к равенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Re}{a}(x,t,m,\varepsilon)&=\varepsilon\sqrt{\frac{2m}{\pi t}}\, \biggl(\sin\biggl(m\sqrt{t^2-x^2}+\frac{\pi}{4}\biggr) \\ &\qquad+O_\delta\biggl(\frac{1}{mt}+\frac{|x|+\varepsilon}{t}+m\varepsilon+ m^3\varepsilon^2t\biggr)\biggr), \\ \operatorname{Im}{a}(x,t,m,\varepsilon)&=\varepsilon\sqrt{\frac{2m}{\pi t}}\, \biggl(\cos\biggl(m\sqrt{t^2-x^2}+\frac{\pi}{4}\biggr) \\ &\qquad+O_\delta\biggl(\frac{1}{mt}+ \frac{|x|+\varepsilon}{t}+m\varepsilon+m^3\varepsilon^2t\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По предположению $\varepsilon\leqslant 1/m$. Значит, $m\varepsilon\leqslant 1/(mt)+m^3\varepsilon^2t$ и $\varepsilon/t\leqslant 1/(mt)$, что позволяет переписать остаточные члены в нужном виде. Доказательство следствия 5. Для доказательства равенства (22) достаточно в утверждение следствия 4 подставить асимптотическую формулу Доказательство утверждения из примера 4. В случае, когда
$$
\begin{equation*}
(x_n,t_n,\varepsilon_n)=\biggl(n^3,n^4,\frac{1}{n^4}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
нужное утверждение получается подстановкой в следствие 4 разложения В остальных случаях нам необходимо оценить функцию $\theta(\varepsilon,t,m,\varepsilon)$, задаваемую равенством (11), при $t\geqslant 2\varepsilon$ и $\varepsilon\leqslant 1/m$. Для таких $t,m,\varepsilon$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{m\varepsilon t}{\sqrt{(1+m^2\varepsilon^2)(t^2-\varepsilon^2)}} \leqslant \sqrt{\frac{2}{3}}\,, \\ \arcsin z-\arcsin w={O}(z-w)\quad \biggl(\text{при}\ 0<w<z<\sqrt{\frac{2}{3}}\,\biggr), \\ \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}-1=O(z^2)\quad\biggl(\text{при}\ |z|\leqslant \frac{1}{2}\,\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\theta(\varepsilon,t,m,\varepsilon)-\theta(0,t,m,\varepsilon) \\ &\qquad=\frac{t}{\varepsilon}\arcsin\frac{m\varepsilon t} {\sqrt{(1+m^2\varepsilon^2)(t^2-\varepsilon^2)}}- \frac{t}{\varepsilon}\arcsin\frac{m\varepsilon}{\sqrt{1+m^2\varepsilon^2}}- \arcsin\frac{m\varepsilon^2}{\sqrt{t^2-\varepsilon^2}} \\ &\qquad={O}\biggl(\frac{m\varepsilon^2}{t}\biggr)=O\biggl(\frac{1}{mt}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применим теорему 2 и формулы (63), (64) при $x=0$ и $\delta=1/2$. Получим, что
$$
\begin{equation}
a(0,t,m,\varepsilon)=\varepsilon\sqrt{\frac{2m}{\pi t}}\, \exp\biggl(-i\biggl(\frac{t}{\varepsilon}-1\biggr) \operatorname{arctg} (m\varepsilon)+\frac{i\pi}{4}\biggr) \biggl(1+{O}\biggl(\frac{1}{mt}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{65}
$$
В случае, когда $\varepsilon=\varepsilon_n=1/(2n)$ и $t=t_n=(2n)^2$, выполняется равенство $ \operatorname{arctg} (m\varepsilon)=m\varepsilon-m^3\varepsilon^3/3 +O(m^5\varepsilon^5)$. Поэтому правая часть (65) эквивалентна правой части (22), умноженной на $e^{im^3/3}$. В случае, когда $\varepsilon=\varepsilon_n=\mathrm{const}$ и $t=t_n=2n\varepsilon$, отношение правых частей (65) и (22) не имеет предела, поскольку разность $ \operatorname{arctg} (m\varepsilon)-m\varepsilon$ не кратна $\pi$ при $0<\varepsilon<1/m$. 12.6. Непрерывный предел: метод смены хвостов (теорема 5 и следствия 6, 7) Доказательство теоремы 5. Доказательство основано на методе смены хвостов и состоит из пяти шагов.
Выведем асимптотику для $a_1(x,t,m,\varepsilon)$; доказательство для $a_2(x,t,m,\varepsilon)$ аналогично. Шаг 1. Рассмотрим первый множитель в (6). Имеем $0\geqslant (1-t/\varepsilon)/2\geqslant -t/\varepsilon$, так как $t\geqslant\varepsilon$. Возводя $1+m^2\varepsilon^2$ в соответствующие степени, получаем
$$
\begin{equation*}
1\geqslant (1+m^2\varepsilon^2)^{(1-t/\varepsilon)/2}\geqslant (1+{m^2}{\varepsilon^2})^{-t/\varepsilon}\geqslant e^{-{m^2}{\varepsilon^2}t/\varepsilon}\geqslant 1-m^2 t\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
где в последних двух неравенствах мы использовали тот факт, что $e^a\geqslant 1+a$ для любого $a\in\mathbb{R}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
(1+{m^2}{\varepsilon^2})^{(1-t/\varepsilon)/2}=1+O(m^2t\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 2. Рассмотрим $T$-ю частичную сумму в (6) с $T=\lceil\log(\delta/\varepsilon)\rceil$ слагаемыми. Общее число слагаемых действительно не меньше $T$, так как
$$
\begin{equation*}
\frac{t-|x|}{2\varepsilon}\geqslant \frac{\delta}{2\varepsilon}\geqslant \log\frac{\delta}{\varepsilon}
\end{equation*}
\notag
$$
ввиду неравенств $t-|x|\geqslant \delta$ и $e^a\geqslant 1+a+a^2/2\geqslant 2a$ для любого $a\geqslant 0$. Для $r\geqslant T$ отношение двух последовательных слагаемых в (6) равно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(m\varepsilon)^2\frac{\bigl((t+x)/(2\varepsilon)-1-r\bigr) \bigl((t-x)/(2\varepsilon)-1-r\bigr)}{(r+1)^2}& \\ &\qquad<(m\varepsilon)^2\cdot \frac{t+x}{2\varepsilon T}\, \frac{t-x}{2\varepsilon T} =\frac{m^2s^2}{4T^2}<\frac{1}{2}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее неравенство следует из того, что
$$
\begin{equation*}
T=\biggl\lceil\log\frac\delta\varepsilon\biggr\rceil> \lceil\log e^{3ms}\rceil\geqslant 3ms.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому остаточный член (т. е. сумма по $r\geqslant T$) меньше, чем сумма геометрической прогрессии со знаменателем $1/2$. Согласно предложению 11
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_1(x,t,m,\varepsilon)&=m\varepsilon\bigl(1+O(m^2 t\varepsilon)\bigr) \\ &\qquad\times\biggl[\,\sum_{r=0}^{T-1}(-1)^r \begin{pmatrix} (t+x)/(2\varepsilon)-1 \\ r \end{pmatrix} \begin{pmatrix}(t-x)/(2\varepsilon)-1 \\ r \end{pmatrix} (m\varepsilon)^{2r} \\ &\qquad+O\biggl(\begin{pmatrix} (t+x)/(2\varepsilon)-1 \\ T\end{pmatrix} \begin{pmatrix} (t-x)/(2\varepsilon)-1 \\ T \end{pmatrix} (m\varepsilon)^{2T}\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 3. Чтобы аппроксимировать сумму, возьмем целые $L:=(t\pm x)/(2\varepsilon)$, $r<T$ и преобразуем биномиальные коэффициенты следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} L-1 \\ r \end{pmatrix}=\frac{(L-1)\cdots(L-r)}{r!}= \frac{L^r}{r!}\biggl(1-\frac{1}{L}\biggr)\cdots\biggl(1-\frac{r}{L}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\frac{r}{L}=\frac{2r\varepsilon}{t\pm x}<\frac{2T\varepsilon}{\delta}= \frac{2\varepsilon}{\delta} \biggl\lceil\log\frac{\delta}{\varepsilon}\biggr\rceil\leqslant \frac{2\varepsilon}{\delta}\biggl(\log\frac{\delta}{\varepsilon}+1\biggr) < \frac{1}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $\delta/\varepsilon\geqslant 16$, а $2(\log a+1)/a$ убывает при $a\geqslant 16$ и меньше $1/2$ при $a=16$. Применяя неравенство $1-a\geqslant e^{-2a}$ при $0\leqslant a\leqslant 1/2$, а затем неравенства $1-a\leqslant e^{-a}$ и $L\geqslant\delta/(2\varepsilon)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl(1-\frac{1}{L}\biggr)\cdots\biggl(1-\frac{r}{L}\biggr)&\geqslant e^{{-2/L}}e^{{-4/L}}\cdots e^{{-2r/L}}=e^{{-r(r+1)/L}} \\ &\geqslant e^{-T^2/L}\geqslant 1-\frac{T^2}{L}\geqslant 1-\frac{2T^2\varepsilon}{\delta}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{(t\pm x)^r}{r!\,(2\varepsilon)^r} \geqslant \begin{pmatrix}(t\pm x)/(2\varepsilon)-1 \\ r\end{pmatrix}\geqslant \frac{(t\pm x)^r}{r!\,(2\varepsilon)^r} \biggl(1-\frac{2T^2 \varepsilon}{\delta}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя результат в выражение для $a_1(x,t,m,\varepsilon)$ из шага 2, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_1(x,t,m,\varepsilon)&=m\varepsilon\bigl(1+O(m^2t\varepsilon)\bigr) \\ &\qquad\times\biggl[\,\sum_{r=0}^{T-1}(-1)^r\biggl(\frac{m}{2}\biggr)^{2r} \frac{(t^2-x^2)^r}{(r!)^2} \biggl(1+O\biggl(\frac{T^2 \varepsilon}{\delta}\biggr)\biggr) \\ &\qquad+O\biggl(\biggl(\frac{m}{2}\biggr)^{2T}\frac{(t^2-x^2)^T}{(T!)^2} \biggl(1+\frac{T^2 \varepsilon}{\delta}\biggr)\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последний остаточный член оценивается следующим образом. Так как
$$
\begin{equation*}
T!\geqslant \biggl(\frac{T}{3}\biggr)^T\quad\text{и}\quad T\geqslant \log \frac{\delta}{\varepsilon}\geqslant 3m\sqrt{t^2-x^2}\geqslant \frac{3m}{2}\sqrt{t^2-x^2}\,\sqrt{e}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{(t^2-x^2)^T}{(T!)^2}\,\biggl(\frac{m}{2}\biggr)^{2T}\leqslant \frac{(t^2-x^2)^T}{(T)^{2T}}\,\biggl(\frac{3m}{2}\biggr)^{2T}\leqslant e^{-T}\leqslant \frac{\varepsilon}{\delta}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем $(\varepsilon/\delta)(1+T^2 \varepsilon/\delta)= O(T^2 \varepsilon/\delta)$, так как $T\geqslant 1$ и $\varepsilon<\delta$. Следовательно, искомый остаточный член может быть включен в $O(T^2\varepsilon/\delta)$. Значит,
$$
\begin{equation*}
a_1(x,t,m,\varepsilon)=m\varepsilon\bigl(1+O(m^2t\varepsilon)\bigr)\, \sum_{r=0}^{T-1}(-1)^r\biggl(\frac{m}{2}\biggr)^{2r}\frac{(t^2-x^2)^r}{(r!)^2} \biggl(1+O\biggl(\frac{T^2 \varepsilon}{\delta}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что по нашему соглашению об обозначениях константа в $O(T^2 \varepsilon/\delta)$ не зависит от $r$. Шаг 4. Теперь мы можем заменить сумму из $T$ слагаемых рядом, так как “хвост” знакопеременного ряда, у которого модуль слагаемых убывает, можно оценить первым слагаемым (которое мы только что оценили):
$$
\begin{equation*}
\biggl|\,\sum_{r=T}^{\infty}(-1)^r\biggl(\frac{m}{2}\biggr)^{2r} \frac{(t^2-x^2)^r}{(r!)^2}\biggr|\leqslant\frac{(t^2-x^2)^T}{(T!)^2}\, \biggl(\frac{m}{2}\biggr)^{2T}\leqslant \frac\varepsilon\delta= O\biggl(\frac{T^2 \varepsilon}{\delta}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как константа в каждом слагаемом $O(T^2 \varepsilon/\delta)$ одинакова (см. шаг 3), то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_1(x,t,m,\varepsilon)&=m\varepsilon\bigl(1+O(m^2t\varepsilon)\bigr)\, \sum_{r=0}^{\infty}(-1)^r\biggl(\frac{m}{2}\biggr)^{2r} \frac{(t^2-x^2)^r}{(r!)^2} \biggl[1+O\biggl(\frac{T^2\varepsilon}{\delta}\biggr)\biggr] \\ &=m\varepsilon\bigl(1+O({m^2t\varepsilon})\bigr)\, \biggl(J_0(ms)+O\biggl(\frac{T^2 \varepsilon}{\delta}I_0(ms)\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее используем модифицированные функции Бесселя первого рода
$$
\begin{equation*}
I_0(z):=\sum_{k=0}^\infty\frac{(z/2)^{2k}}{(k!)^2}\quad\text{и}\quad I_1(z):=\sum_{k=0}^\infty\frac{(z/2)^{2k+1}}{k!\,(k+1)!}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 5. Имеем $m^2t\delta\leqslant m^2(t+|x|)(t-|x|)= m^2s^2\leqslant 9m^2s^2\leqslant T^2$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
{m^2t\varepsilon}\, J_0(ms)\leqslant \frac{T^2\varepsilon I_0(ms)}{\delta}\quad\text{и}\quad {m^2t\varepsilon}\leqslant \frac{T^2\varepsilon}{\delta}< \frac{(\log(\delta/\varepsilon)+1)^2{\varepsilon}}{\delta}< 2,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $(a+1)^2/2<e^a$ при $a\geqslant 0$. Получаем следующую формулу:
$$
\begin{equation*}
a_1(x,t,{m},{\varepsilon}) ={m}{\varepsilon}\biggl(J_0(ms)+O\biggl(\frac{\varepsilon}{\delta} \log^2\biggl(\frac{\delta}{\varepsilon}\biggr) I_0(ms)\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_2(x,t,m,\varepsilon)&=m\varepsilon\bigl(1+O({m^2t\varepsilon})\bigr) \frac{t+x}{\sqrt{t^2-x^2}}\sum_{r=1}^{T-1}(-1)^r \biggl(\frac{m}{2}\biggr)^{2r-1} \\ &\qquad\times\frac{(t^2-x^2)^{(2r-1)/2}}{(r-1)!\,r!} \biggl[1+O\biggl(\frac{T^2\varepsilon}{\delta}\biggr)\biggr] \\ &=-m{\varepsilon}\,\frac{t+x}{s}\biggl(J_1(ms)+ O\biggl(\frac{\varepsilon}{\delta} \log^2\biggl(\frac{\delta}{\varepsilon}\biggr)I_1(ms)\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем искомую асимптотику для $a(x,t,m,\varepsilon)$, так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_0(ms)&\leqslant \sum_{k=0}^\infty \frac{(ms/2)^{2k}}{k!}= e^{m^2s^2/4}\leqslant e^{m^2t^2}, \\ \frac{t+x}{s}I_1(ms)&\leqslant \frac{t+x}{s}\,\frac{ms}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(ms/2)^{2k}}{k!}=m\,\frac{t+x}{2}e^{m^2s^2/4} \\ &\leqslant mt\,e^{m^2t^2/4}\leqslant e^{m^2t^2/2}e^{m^2t^2/4}\leqslant e^{m^2t^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5 доказана. Доказательство следствия 6. Утверждение следует из теоремы 5, так как правая часть (23) равномерно непрерывна на каждом компактном подмножестве угла $|x|<t$. Доказательство следствия 7. Так как правая часть (23) непрерывна на $[-t+\delta;t-\delta]$, то она ограничена на этом множестве. Поскольку последовательность ограниченных функций, равномерно сходящаяся к ограниченной функции, равномерно ограничена, по следствию 6 модуль левой части (23) меньше некоторой константы $C_{t,m,\delta}$, зависящей от $t$, $m$, $\delta$, но не зависящей от $x$, $\varepsilon$. Теперь из предложения 6 для $t/(2\varepsilon)\in \mathbb{Z}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1-\sum_{x\in\varepsilon\mathbb{Z}:\,|x|\geqslant t-\delta} P(x,t,m,\varepsilon)&=\sum_{x\in\varepsilon\mathbb{Z}:\, |x|<t-\delta} P(x,t,m,\varepsilon) \\ &=\sum_{x\in\varepsilon\mathbb{Z}:\,|x|<t-\delta} 4\varepsilon^2 \biggl|\frac{1}{2\varepsilon}a(x,t,m,\varepsilon)\biggr|^2 \\ &< 4\varepsilon^2C_{t,m,\delta}^2\,\frac{t-\delta}{\varepsilon}\to 0 \quad\text{при }\varepsilon\to 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
12.7. Вероятность смены хиральности: комбинаторные тождества (теорема 6)Хотя теорему 6 можно вывести из (58), мы приведем прямое доказательство, опирающееся только на п. 12.1. Доказательство теоремы 6. Обозначим
$$
\begin{equation*}
S_1(t)=\sum_{x\in\mathbb{Z}}a_1^2(x,t),\qquad S_2(t)=\sum_{x\in\mathbb{Z}}a_2^2(x,t),\qquad S_{12}(t)=\sum_{x\in\mathbb{Z}}a_1(x,t)a_2(x,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно предложениям 1, 8 и 9 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_1(0,2t)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{x\in\mathbb{Z}}a_1(x,t)(a_2(x,t)-a_1(x,t))+ a_2(x,t)(a_2(x,t)+a_1(x,t)) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}(S_2(t)+2S_{12}(t)-S_1(t)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По определению величин $S_1(t), S_2(t), S_{12}(t)$ и предложению 1 получаем Тогда Так как $S_1(t)+S_2(t)=1$ по предложению 2, то мы получаем рекуррентную формулу $S_1(t+1)=S_1(t)+(1/\sqrt{2}\,)a_1(0,2t)$; ср. [23; (33)]. Из предложения 4 по индукции следует, что По формуле бинома Ньютона
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{\infty}\begin{pmatrix} 2k \\ k\end{pmatrix}x^k= \dfrac{1}{\sqrt{1-4x}}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in [-{1}/{4},1/4)$. Подставляя $x=-1/4$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\lfloor t/2\rfloor-1} \begin{pmatrix} 2k \\ k\end{pmatrix}\biggl(-\frac{1}{4}\biggr)^k= \frac{1}{2\sqrt{2}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью формулы Стирлинга оцениваем скорость сходимости:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\,\sum_{x\in\mathbb{Z}}a_{1}(x,t)^2-\frac{1}{2\sqrt{2}}\biggr|< \frac{1}{2\cdot 4^{\lfloor t/2\rfloor}}\begin{pmatrix} 2\lfloor t/2 \rfloor \\ \lfloor t/2 \rfloor\end{pmatrix} < \frac{e}{2\pi\sqrt{2\lfloor t/2 \rfloor}}<\frac{1}{2\sqrt{t}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 6 доказана. Подводные камниНаконец, предупредим математически ориентированного читателя. Выдающиеся работы [1], [29], [30] написаны настолько хорошо, что физические теоремы и доказательства в них могут быть приняты за математические, хотя некоторые из них неверны в том виде, как написаны. Основной источник этих проблем состоит на самом деле в применении неверной теоремы 3.3 из математической статьи [9]. Простой контрпример к теореме 3.3 работы [9]: $a=b=\alpha=\beta=x=0$ и нечетное $n$. Эти значения автоматически удовлетворяют предположениям теоремы, т. е. условию (ii) из леммы 3.1 в [9]. Тогда по замечанию 3 и предложению 4 левая часть равенства (2.16) в [9] обращается в нуль. Поэтому она не может быть эквивалентна ненулевой последовательности в правой части. Здесь мы интерпретируем знак “$\approx$” в [9; (2.16)] как эквивалентность последовательностей, следуя [29]. Попытка интерпретировать знак как стремление к нулю разности левой и правой частей равенства [9; (2.16)] обесценила бы результат, так как каждая из частей очевидным образом стремится к нулю по отдельности. Хотя в [1], [29], [30] отмечены небольшие ошибки в [9], проблема более серьезна. Известные асимптотики для многочленов Якоби никогда не формулируются как эквивалентность, а вместо этого содержат аддитивный остаточный член. Его оценка трудна даже в частных случаях, изучаемых в [32], а случай из замечания 3 отмечается как более сложный [32; внизу с. 198]. Поэтому теорему 3.3 в [9] нужно рассматривать как интересный физический, а не математический результат. 13. Приложение A: А. Кудрявцев. Альтернативные “явные” формулыПоложим $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}:=0$ для целых $k<0<n$ или $k>n>0$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\theta(x):=\begin{cases} 1 & \text{при}\ x\geqslant0, \\ 0 & \text{при}\ x<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 18 (“явная” формула). Для всех целых $|x|<t$ таких, что $x+t$ четно, выполнены равенства: Доказательство утверждений (A). Введем производящие функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat a_1(p,q):=2^{n/2}\sum_{n>k\geqslant 0}a_1(2k-n+1,n+1)p^kq^n, \\ \widehat a_2(p,q):=2^{n/2}\sum_{n>k\geqslant 0}a_1(2k-n+1,n+1)p^kq^n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно предложению 1 выполняются следующие уравнения:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \widehat a_1(p,q)-\widehat a_1(p,0)= q\cdot(\widehat a_2(p,q)+\widehat a_1(p,q)), \\ \widehat a_2(p,q)-\widehat a_2(p,0)= pq\cdot(\widehat a_2(p,q)-\widehat a_1(p,q)). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\widehat a_1(p,0)=0$ и $\widehat a_2(p,0)=1$, то, решив систему, получим и
$$
\begin{equation*}
\widehat a_1(p,q)=\frac{q}{1-q-pq+2pq^2}= q+q^2(1+p-2pq)+q^3(1+p-2pq)^2+\cdots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент при $p^kq^n$ в выражении для $\widehat a_1(p,q)$ равен
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=\max(k,n-k)}^n (-2)^{n-j-1} \begin{pmatrix} & j & \\ n-j-1 & k-n+j+1 & j-k\end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
так как из каждого слагаемого вида $q^{j+1}(1+p-2pq)^j$ берется ровно одна комбинация множителей:
Выражение для $a_2(x,t)$ следует из выражения для $a_1(x,t)$, предложения 1 и правила Паскаля:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_2(x,t)&=\sqrt{2}\,a_1(x-1,t+1)-a_1(x,t) \\ &=2^{(1-t)/2}\sum_{r=0}^{(t-|x|)/2} (-2)^{r}\begin{pmatrix} (x+t-2)/2 \\ r \end{pmatrix} \\ &\qquad \times \biggl(\begin{pmatrix} t-r-1 \\ (x+t-2)/2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} t-r-2 \\ (x+t-2)/2\end{pmatrix}\biggr) \\ &=2^{(1-t)/2}\sum_{r=0}^{(t-|x|)/2}(-2)^{r} \begin{pmatrix} (x+t-2)/2 \\ r\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t-r-2 \\ (x+t-4)/2\end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство утверждений (B) (А. Воропаев). Согласно предложению 4 для всех $|x|<t$ числа $a_1(x,t)$ и $a_2(x,t)$ равны коэффициентам при $z^{(t-x-2)/2}$ и $z^{(t-x)/2}$ в разложении многочлена При $x<0$ из этого сразу получаем требуемое. При $x\geqslant 0$ нужно еще заменить переменную суммирования на $r'=(t-x-2)/2-r$ и $r'=(t-x)/2-r$ для $a_1(x,t)$ и $a_2(x,t)$ соответственно.
14. Приложение B: А. Львов. Поточечный непрерывный предел Теорема 8 (поточечный непрерывный предел). Для любых вещественных $m\geqslant 0$ и $|x|<t$ выполнены равенства Доказательство. Обозначим $A:=\lfloor nx/2 \rfloor+\lfloor nt/2 \rfloor$ и $B:=\lfloor nt/2 \rfloor-\lfloor nx/2 \rfloor$. Первый предел вычисляется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &n\, a_1\biggl(\frac{2}{n}\biggl\lfloor \frac{nx}{2}\biggr\rfloor, \frac{2}{n}\biggl\lfloor \frac{nt}{2}\biggr\rfloor,m,\frac{1}{n}\biggr) \overset{(*)}=n\biggl(1+\frac{m^2}{n^2}\biggr)^{\lfloor nt/2 \rfloor-1/2} \\ \nonumber &\qquad\qquad\times\sum_{r=0}^{\infty}(-1)^{r} \begin{pmatrix} A-1 \\ r\end{pmatrix} \begin{pmatrix} B-1 \\ r\end{pmatrix}\biggl(\frac{m}{n}\biggr)^{2r+1} \\ \nonumber &\qquad\overset{(**)}\sim\sum_{r=0}^{\infty}(-1)^{r} \begin{pmatrix} A-1 \\ r\end{pmatrix}\begin{pmatrix} B-1 \\ r\end{pmatrix} \frac{m^{2r+1}}{n^{2r}} \\ \nonumber &\qquad\overset{(***)}=\sum_{r=0;\, 2\mid r}^{\infty} \begin{pmatrix} A-1 \\ r\end{pmatrix}\begin{pmatrix} B-1 \\ r\end{pmatrix} \frac{m^{2r+1}}{n^{2r}}-\sum_{r=0;\, 2 \nmid r}^{\infty} \begin{pmatrix} A-1 \\ r\end{pmatrix} \begin{pmatrix} B-1 \\ r\end{pmatrix}\frac{m^{2r+1}}{n^{2r}} \\ \nonumber &\qquad \to \sum_{r=0;\, 2\mid r}^{\infty} \frac{(x+t)^r(t-x)^r m^{2r+1}}{2^{2r}(r!)^2}- \sum_{r=0;\, 2 \nmid r}^{\infty} \frac{(x+t)^r(t-x)^r m^{2r+1}}{2^{2r}(r!)^2} \\ &\qquad=m\, J_0(m\sqrt{t^2-x^2}\,) \quad\text{при } n \to \infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{66}
$$
Здесь равенство $(*)$ – это предложение 11. Эквивалентность $({*}{*})$ следует из того, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &\leqslant \biggl(1+\frac{m^2}{n^2}\biggr)^{\lfloor nt/2 \rfloor-1/2} \leqslant \biggl(1+\frac{m^2}{n^2}\biggr)^{nt} \\ &= \sqrt[n]{\biggl(1+\frac{m^2}{n^2}\biggr)^{n^2t}} \sim \sqrt[n]{e^{m^2t}} \to 1 \quad\text{при } n \to \infty \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
по теореме о двух полицейских. Равенство $({*}{*}{*})$ выполнено, так как
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} A-1 \\ r\end{pmatrix}\begin{pmatrix} B-1 \\ r\end{pmatrix} \frac{m^{2r+1}}{n^{2r}}=0\quad\text{при } r > \max\{A,B\},
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, все три участвующие суммы конечны. Сходимость в (66) устанавливается в леммах 20, 21 ниже. Второй предел в теореме вычисляется аналогично. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} A-1 \\ r\end{pmatrix}\begin{pmatrix} B-1 \\ r\end{pmatrix} \frac{m^{2r+1}}{n^{2r}}&= \frac{(A-1)\cdots(A-r)\cdot(B-1)\cdots(B-r)}{(r!)^2}\,\frac{m^{2r+1}}{n^{2r}} \\ & \to \biggl(\frac{x+t}{2}\biggr)^r\biggl(\frac{t-x}{2}\biggr)^r \frac{m^{2r+1}}{(r!)^2}\quad\text{при } n \to \infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как для каждого $1\leqslant i\leqslant r$ и, аналогично, Доказательство. Это доказывается аналогично, поскольку для каждого $1\leqslant i\leqslant r<\min\{A,B\}$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (A-i)(B-i) &\leqslant \biggl(\biggl\lfloor \frac{nx}{2} \biggr\rfloor+ \biggl\lfloor \frac{nt}{2} \biggr\rfloor-1\biggr) \biggl(\biggl\lfloor \frac{nt}{2} \biggr\rfloor- \biggl\lfloor \frac{nx}{2} \biggr\rfloor-1\biggr) \\ &\leqslant\biggl(\frac{nx}{2}+\frac{nt}{2}\biggr) \biggl(\frac{nt}{2}-\frac{nx}{2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 22. Пусть последовательность $\{a_k(n)\}_{k=0}^\infty$ неотрицательных последовательностей такова, что (i) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_k(n)=b_k$ для каждого $k$, (ii) $a_k(n) \leqslant b_k$ для всех $k$, $n$ и (iii) $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}b_k$ конечна. Тогда Доказательство. Обозначим $b:=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}b_k$. Тогда $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(n) \leqslant b$ для всех $n$. Возьмем $\varepsilon > 0$. Выберем $N$ такое, что $\displaystyle\sum_{k=0}^{N}b_k > b-\varepsilon$. Для каждого $k \leqslant N$ существует $M_k$ такое, что для всех $n \geqslant M_k$ выполнено неравенство $a_k(n)>b_k-\dfrac{\varepsilon}{2^{k + 1}}$. Тогда для всех $n > \max_{0 \leqslant k \leqslant N}M_k$ выполнено неравенство $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(n) > b-2\varepsilon$. Таким образом, $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(n)=b$. БлагодарностиРабота была опробована в 2019 г. как курсы на летней конференции Турнира городов в Аранджеловаце, летней школе “Современная математика” в Дубне, факультете математики Высшей школы экономики в Москве и в Независимом Московском университете. Авторы благодарны всем участникам этих мероприятий за их вклад, особенно А. Воропаеву, М. Дмитриеву, И. Новикову, Ф. Ожегову за многочисленные замечания и перевод на русский язык, Е. Ахмедовой, Р. Валиевой за набор некоторых частей текста, И. Богданову, И. Гайдаю-Турлову, А. Даниярходжаеву, Т. Ковалеву, Ф. Куянову, Г. Минаеву, И. Русских, В. Скопенковой, М. Федорову за некоторые рисунки, А. Кудрявцеву, А. Львову за приложения (этим двум авторам было тогда меньше 16 лет). Авторы благодарны за полезные обсуждения В. Акулину, Т. Батеневу, А. Белавину, М. Берштейну, М. Бланку, А. Бородину, В. Бухштаберу, Л. Веласкесу, А. Вершику, Т. Джэкобсону, И. Дынникову, П. Закорко, И. Ибрагимову, И. Иванову, Д.У. Киму, Е. Колпакову, А. Куиджлаарсу, С. Ландо, М. Лифшицу, М. Маэде, В. Назайкинскому, С. Нечаеву, С. Новикову, Г. Ольшанскому, Ю. Петровой, И. Полехину, Ф. Попеленскому, П. Пылявскому, А. Рыбко, И. Сабитову, А. Семенову, А. Слизкову, Т. Татэ, С. Тихомирову, Д. Трещеву, М. Христофорову, Г. Челнокову, В. Чернышову, С. Шлосману, Л. Шульману.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SkoUst22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|