А. И. Гарбер, А. Н. Магазинов, “О гипотезе Вороного для четырех- и пятимерных параллелоэдров”, УМН, 77:1(463) (2022), 185–186; Russian Math. Surveys, 77:1 (2022), 174

Выпуклый $d$-мерный многогранник называется параллелоэдром или $d$-параллелоэдром, если существует разбиение пространства $\mathbb{R}^d$ на параллельные копии $P$. В частности, 2-параллелоэдрами являются все параллелограммы и все шестиугольники, имеющие центр симметрии. Все пять типов 3-параллелоэдров были классифицированы Федоровым в конце XIX в.

Теория параллелоэдров берет начало в работах Федорова, Минковского, Вороного и Делоне. Параллелоэдры тесно связаны с математической кристаллографией, классификацией кристаллографических групп, алгоритмическими и геометрическими вопросами целочисленных решеток, в частности с восемнадцатой проблемой Гильберта.

Гипотеза Вороного [1], одна из основных гипотез в теории параллелоэдров, утверждает, что для любого $d$-параллелоэдра $P$ найдется такая $d$-мерная решетка $\Lambda$, что $P$ и многогранник Дирихле–Вороного $\Lambda$ аффинно эквивалентны. Если $P$ удовлетворяет утверждению гипотезы Вороного, мы называем его V-параллелоэдром.

Гипотеза Вороного полностью доказана для $d\leqslant 5$. Случаи $d=1,2,3$ являются фольклорными. Доказательство для $d=4$ получено Делоне [2] в 1929 г. Для $d=5$ доказательство получено авторами данной работы в 2019 г. [3]. Обзор ключевых результатов теории параллелоэдров доступен в [4; гл. 3] и [5].

В заметке приводится новое доказательство гипотезы Вороного в $\mathbb R^4$, использующее идеи из [3], адаптированные для $d=4$. Так, наше доказательство основано на комбинаторном подходе в отличие от геометрических методов Делоне. Оба подхода используют ряд общих свойств параллелоэдров, в частности классификацию схождений параллелоэдров в гранях коразмерности 3 и наличие слоистой структуры разбиений на параллелоэдры при определенных ограничениях. Однако мы опираемся на комбинаторные методы, развитые намного позднее работы Делоне. В заключение мы приводим набросок доказательства гипотезы Вороного для $d=5$ из [3].

2. Необходимые определения и свойства параллелоэдров

Минковский [6] доказал, что каждый $d$-параллелоэдр $P$ и каждая его гипергрань имеют центры симметрии. Венков [7] и Макмаллен [8] показали, что проекция $P$ вдоль любой $(d- 2)$-грани есть параллелограмм или шестиугольник с центром симметрии. Гиперграни $P$, проектирующиеся в стороны такого шестиугольника, называют $6$-пояском. В [7], [8] также доказано, что для $P$ существует нормальное (грань-в-грань) разбиение $\mathbb{R}^d$ на трансляции $P$. Центры копий $P$ в нормальном разбиении образуют $d$-мерную решетку.

Каждая грань $F$ данного нормального разбиения задает дуальную клетку $\mathcal{D}(F)$ как множество центров копий $P$, содержащих $F$. Дуальная клетка $\mathcal D(F)$ – это набор точек без априорной геометрической структуры. Если инцидентные грани $F$ и $G$ таковы, что $F\subseteq G$, то $\mathcal D(F)\supseteq \mathcal D(G)$, и, значит, множество дуальных клеток образует (комбинаторный) клеточный комплекс со структурой граней, дуальной к решетке граней разбиения. Из результатов работ [7], [8] следует, что если $\operatorname{codim}(F)=2$, то $\mathcal{D}(F)$ геометрически есть множество вершин треугольника или параллелограмма.

Ненулевой вектор $v$ называется свободным для параллелоэдра $P$, если сумма Минковского параллелоэдра $P$ и отрезка $I=[-v,v]$ также является параллелоэдром. В этом случае $P+I$ называется удлинением $P$, а $P$ – сжатием $P+I$.

3. Доказательство гипотезы Вороного в $\mathbb{R}^4$

Доказательство. Рассмотрим произвольный 4-параллелоэдр $P$. Если дуальные клетки всех двумерных граней $P$ – треугольники, то, по теореме Житомирского [9], $P$ удовлетворяет утверждению гипотезы Вороного. Поэтому далее предполагаем, что у $P$ найдется такая двумерная грань $F$, что ее дуальная клетка – параллелограмм.

Пусть $v$ – направляющий вектор произвольного ребра $e$ грани $F$ и $I=[-v,v]$. Тогда $v$ является свободным вектором для $P$, что можно показать аналогично [3; лемма 6.1]. Так, дуальная клетка $\mathcal D(e)$ содержит 4 центра из $\mathcal D(F)$ и еще хотя бы один центр. Множество середин отрезков между точками $\mathcal D(e)$ содержит все 8 полуцелых классов решетки центров в каком-то трехмерном подпространстве. Далее, каждый $6$-поясок задает 3 полуцелых класса решетки в одном двумерном подпространстве центрами своих гиперграней. Эти два подпространства пересекаются нетривиально, что позволяет применить критерий [10; теорема 1] для свободных направлений.

Проекция $P+I$ вдоль $v$ является 3-параллелоэдром и, значит, удовлетворяет гипотезе Вороного. Согласно [3; теорема 5.2], $P+I$ комбинаторно эквивалентен некоторому V-параллелоэдру (в сильном смысле вместе с соответствующими разбиениями $\mathbb{R}^4$). В силу работы [11] параллелоэдр $P+I$ удовлетворяет гипотезе Вороного. Поэтому и $P$ удовлетворяет гипотезе Вороного (см. [3; лемма 2.15] и приведенные там ссылки).

Сослаться на [11] нам позволяет знание классификации комбинаторных типов V-параллелоэдров в $\mathbb{R}^4$. Классификацию 52 типов можно получить как на основе работы [2], так и независимо, с использованием теории приведения Вороного (см. [11]).

4. К доказательству гипотезы Вороного в $\mathbb{R}^5$

В случае $d=5$ нам потребуется анализ дуальных клеток для граней коразмерности 3. Классификация таких клеток известна, всего существует пять типов таких клеток. Если дуальные клетки граней коразмерности 3 параллелоэдра $P$ принадлежат только к трем типам (тетраэдр, октаэдр, пирамида), то гипотеза верна для $P$ согласно результату Ордина [12].

Как и при $d=4$, для $P$ со свободным направлением работает подход, основанный на классификации V-параллелоэдров в $\mathbb R^5$. Если у $P$ есть трехмерная дуальная клетка кубического типа, то свободное направление гарантированно существует.

Остается случай, когда у $P$ есть грани с дуальными клетками, эквивалентными треугольной призме. Тут мы не можем напрямую доказать существование свободного направления. Однако отсутствие у $P$ свободных направлений накладывает ограничения на локальную комбинаторику разбиения, что позволяет доказать гипотезу Вороного и в этом случае. Анализу этого случая посвящена основная часть работы [3].

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{GarMag22}

\by А.~И.~Гарбер, А.~Н.~Магазинов

\paper О гипотезе Вороного для четырех- и пятимерных параллелоэдров

\jour УМН

\yr 2022

\vol 77

\issue 1(463)

\pages 185--186

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10020}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10020}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582589}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1489.52012}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..174G}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2022

\vol 77

\issue 1

\pages 174--176

\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10020}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000790542800001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85130386851}

1. Параллеллоэдры и гипотеза Вороного

2. Необходимые определения и свойства параллелоэдров

3. Доказательство гипотезы Вороного в $\mathbb{R}^4$

4. К доказательству гипотезы Вороного в $\mathbb{R}^5$

Список литературы