| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 17 научных статьях (всего в 17 статьях) Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли: классификации и задачи, интегрируемые в элементарных функциях Ю. Л. Сачков Институт программных систем им. А. К. Айламазяна Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10019 
Реферативные базы данных:
     1. ПредисловиеИсследование инвариантных управляемых систем на группах Ли и однородных пространствах является одной из центральных тем геометрической теории управления. С теоретической точки зрения это естественный и важный класс систем, для которого возможна содержательная глобальная теория (именно такие системы возникают, например, при локальной нильпотентной аппроксимации гладких систем). С другой стороны, такие системы моделируют целый ряд прикладных задач (вращение и качение тел, движение роботов, квантовая механика, компьютерное зрение). Хорошо известно, что получить точное решение глобальной нелинейной задачи управления (например, задачи управляемости или оптимального управления) представляется очень сложным, если задача не имеет большой группы симметрий. Для инвариантных задач на группах Ли (и их проекций на однородные пространства) точное решение часто можно найти на основе методов геометрической теории управления с использованием техники дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли. Полученное решение инвариантной задачи может дать хорошую аппроксимацию соответствующей нелинейной задачи. Например, инвариантная субриманова геометрия на группе Гейзенберга служит краеугольным камнем всей субримановой геометрии. Основные задачи, рассматривавшиеся для левоинвариантных систем на группах Ли, – задача управляемости и задача оптимального управления. По задаче управляемости имеется обширная литература; она описана, например, в обзоре [73]. В настоящем обзоре предпринята попытка полного описания имеющихся результатов по левоинвариантным задачам оптимального управления на группах Ли, интегрируемым в элементарных функциях. Некоторые из рассматриваемых задач исследовались классиками без привлечения аппарата групп Ли. Так, Леонард Эйлер изучал вращение твердого тела в пространстве. Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли находятся в сфере пристального внимания геометрической теории управления начиная с 1990-х годов. Эти работы составляют содержание данного обзора. Обзор имеет следующую структуру. В разделе 2 приводятся базовые сведения геометрической теории управления, относящиеся к группам Ли и левоинвариантным задачам оптимального управления. Раздел 3 посвящен классификации трехмерных и четырехмерных левоинвариантных субримановых задач. В разделе 4 рассматриваются задачи, интегрируемые в элементарных функциях. В продолжение этого обзора написан обзор [78] по левоинвариантным задачам, интегрируемым в эллиптических функциях. 2. Введение: левоинвариантные задачи оптимального управления2.1. Определения и постановки задач2.1.1. Группы Ли, левоинвариантные управляемые системы и задачи оптимального управленияГруппа Ли $G$ – это гладкое многообразие, снабженное такой групповой структурой, что отображения
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} (g_1,g_2) &\mapsto g_1g_2, &\qquad G \times G &\to G, \\ g &\mapsto g^{-1}, &\qquad G &\to G, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
являются гладкими. Таким образом, левый сдвиг на любой элемент $g \in G$, есть диффеоморфизм. Обозначим его дифференциал через Векторное поле $X\in \operatorname{Vec}(G)$ называется левоинвариантным, если Алгебру Ли левоинвариантных векторных полей на $G$ называют алгеброй Ли $\mathfrak{g}$ группы Ли $G$. Эта алгебра Ли изоморфна касательному пространству $T_{\operatorname{Id}}G$ в единичном элементе $\operatorname{Id}$ группы Ли $G$.Управляемая система называется левоинвариантной, если
$$
\begin{equation*}
L_{h*}f(g,u)=f(hg, u), \qquad g,h \in G, \quad u \in U.
\end{equation*}
\notag
$$
Например, аффинная по управлениям система
$$
\begin{equation*}
\dot g=X_0(g)+\sum_{i=1}^k u_i X_i(g), \qquad g \in G, \quad u=(u_1,\dots,u_k) \in U \subset \mathbb{R}^k,
\end{equation*}
\notag
$$
является левоинвариантной, если таковыми являются поля $X_0,X_1,\dots,X_k$. Задача оптимального управления называется левоинвариантной, если таковой является система (2.1).Для левоинвариантных задач оптимального управления можно положить $g_0=\operatorname{Id}$. 2.1.2. Субримановы задачи, точки разреза, сопряженные точки, кратчайшие и сферыСубриманова структура на гладком многообразии $M$ – это распределение (подрасслоение касательного расслоения $TM$)
$$
\begin{equation*}
\Delta=\{\Delta_q \subset T_qM \mid q \in M\}, \qquad \dim \Delta_q \equiv \operatorname{const},
\end{equation*}
\notag
$$
снабженное скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle=\{\langle \,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle_q \text{-- скалярное произведение в}\ \Delta_q \mid q \in M\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta_q$ и $\langle \,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle_q$ гладко зависят от точки $q$. В частном случае $\Delta_q=T_qM$, $q \in M$, получаем риманову структуру $\langle \,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ на многообразии $M$. Субриманова структура на группе Ли $G$ называется левоинвариантной, если распределение и скалярное произведение сохраняются левыми сдвигами на $G$. Для такой структуры существует глобальный ортонормированный репер из левоинвариантных полей:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_1,\dots,X_k \in \mathfrak{g}, \qquad k=\dim \Delta_g, \\ \Delta_g=\operatorname{span}(X_1(g),\dots,X_k(g)), \\ \langle X_i(g),X_j(g) \rangle=\delta_{ij}, \qquad g \in G. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Кривая $g \in \operatorname{Lip}([0,t_1],G)$ называется допустимой для распределения $\Delta$, если для некоторых управлений $u_i \in L^{\infty}([0,t_1])$. Субримановой длиной допустимой кривой называется число
$$
\begin{equation*}
l(g(\,\cdot\,))=\int_0^{t_1}\biggl(\,\sum_{i=1}^k u_i^2(t)\biggr)^{1/2}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Субриманово расстояние (или расстояние Карно–Каратеодори) между точками $g_0,g_1 \in G$ есть
$$
\begin{equation*}
d(g_0,g_1)=\inf\{l(g(\,\cdot\,)) \mid g(\,\cdot\,) \text{ -- допустимая кривая, соединяющая } g_0 \text{ и } g_1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Субриманова кратчайшая – это допустимая кривая $g \in \operatorname{Lip}([0,t_1],G)$, для которой Такая кривая есть решение задачи оптимального управления
$$
\begin{equation}
\dot g=\sum_{i=1}^k u_i X_i(g), \qquad g \in G, \quad u \in \mathbb{R}^k,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
l(g(\,\cdot\,))=\int_0^{t_1} \biggl(\,\sum_{i=1}^k u_i^2(t)\biggr)^{1/2}\,dt \to \min\!.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Здесь терминальное время $t_1$ может быть закрепленным или свободным. Из неравенства Коши–Буняковского следует, что минимизация длины (2.6) эквивалентна минимизации энергии
$$
\begin{equation}
J=\frac{1}{2}\int_0^{t_1}\sum_{i=1}^k u_i^2(t)\,dt \to \min
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
с фиксированным временем $t_1$. Допустимая кривая $g \in \operatorname{Lip}([0,t_1],G)$ называется субримановой геодезической, если она натурально параметризована (т. е. $\displaystyle\sum_{i=1}^k u_i^2(t) \equiv 1$) и для любого $\tau \in [0,t_1]$ существует отрезок $I \subset \mathbb{R}$, $\tau \in \operatorname{int}I$, такой, что сужение $g\big|_{I \cap [0,t_1]}$ есть кратчайшая. Временем разреза вдоль геодезической $g(\,\cdot\,)$ называется величина
$$
\begin{equation*}
t_{\rm cut}(g(\,\cdot\,))=\sup\{T>0 \mid g|_{[0,T]}\text{ есть кратчайшая}\} \in (0,+\infty].
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующая точка $g(t_{\rm cut})$ при $t_{\rm cut} <+\infty$ называется точкой разреза вдоль геодезической $g(\,\cdot\,)$. Множеством разреза для левоинвариантной субримановой задачи, соответствующей начальной точке $g_0=\operatorname{Id}$, называется множество $\operatorname{Cut} \subset G$ точек разреза вдоль всех геодезических, выходящих из точки $g_0$. Аналогично определяются допустимые траектории, геодезические, время разреза, точки разреза и множество разреза для общих задач оптимального управления (2.1)–(2.3). Если группа Ли $G$ связна, а распределение $\Delta$ вполне неголономно, то по теореме Рашевского–Чжоу (см. далее теорему 2.1) любые точки $g_0,g_1 \in G$ соединимы допустимой кривой, а субриманово расстояние $d$ превращает $G$ в метрическое пространство. В этом случае субримановы сферы определяются, как в произвольном метрическом пространстве: Для левоинвариантных субримановых задач $S_R(g_0)=L_{g_0}(S_R(\operatorname{Id}))$, поэтому достаточно исследовать только центрированные в единице сферы $S_R=S_R(\operatorname{Id})$.Метрической прямой называется такая геодезическая $g(t)$, $t \in \mathbb{R}$, что для любых $a,b \in \mathbb{R}$ сужение $g\big|_{[a,b]}$ есть кратчайшая. 2.1.3. Группы КарноАлгебра Карно $\mathfrak{g}$ есть стратифицированная нильпотентная алгебра Ли, порожденная первым слоем $\mathfrak{g}^{(1)}$:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{g}=\mathfrak{g}^{(1)} \oplus \cdots \oplus \mathfrak{g}^{(s)},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$$
\begin{equation}
[\mathfrak{g}^{(1)},\mathfrak{g}^{(k)}]=\mathfrak{g}^{(k+1)}, \qquad k=1,\dots,s-1,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Наименьшее $s$, для которого выполнены условия (2.8)–(2.10), называется глубиной (или ступенью) алгебры Карно $\mathfrak{g}$. Размерность первого слоя $\mathfrak{g}^{(1)}$ называется рангом алгебры Карно. Группа Карно есть связная односвязная группа Ли, алгебра Ли которой есть алгебра Карно. Если алгебра Карно свободная нильпотентная, то она называется свободной алгеброй Карно, а соответствующая группа Ли – свободной группой Карно. Если на первом слое $\mathfrak{g}^{(1)}$ задано скалярное произведение, то левые сдвиги этого слоя и скалярного произведения задают на соответствующей группе Карно левоинвариантную субриманову структуру. Такие левоинвариантные субримановы структуры на группах Карно возникают как нильпотентные аппроксимации общих субримановых структур в точках общего положения. В этом обзоре рассматриваются несколько таких субримановых структур:
2.1.4. Библиографические комментарииВ этом обзоре используются лишь базовые сведения о гладких многообразиях, группах Ли и алгебрах Ли (см., например, [90]). Первоначальные определения субримановой геометрии содержатся в любом источнике [3], [6], [8], [45], [57], [76], [88]. 2.2. Элементы геометрической теории управления2.2.1. Теорема Рашевского–ЧжоуРассмотрим левоинвариантную субриманову структуру $(\Delta,\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle)$ на группе Ли $G$ с левоинвариантным ортонормированным репером $X_1,\dots,X_k$. Обозначим через $\operatorname{Lie}(X_1,\dots,X_k)$ подалгебру Ли в $\mathfrak{g}$, порожденную полями $X_1,\dots,X_k$. Теорема 2.1 (П. К. Рашевский, В.-Л. Чжоу). Пусть группа Ли $G$ связна, а распределение $\Delta$ вполне неголономно: Тогда справедливы следующие утверждения: Распределение $\Delta$ на многообразии $M$ называется интегрируемым, если через каждую точку $q \in M$ проходит гладкое многообразие $N_q$ такое, что верно равенство $T_qN_q=\Delta_q$ (интегральное многообразие распределения $\Delta$), в этом случае любая субриманова структура $(\Delta,\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle)$ также называется интегрируемой. Это равносильно тому, что для любого локального базиса $X_1,\dots,X_k$ распределения $\Delta$ выполнено равенство $\operatorname{Lie}(X_1,\dots,X_k)(q)=\Delta_q$, $q \in M$. 2.2.2. Теорема ФилипповаСтандартные условия существования оптимального управления в задачах оптимального управления даются теоремой Филиппова [8], [39]. 2.2.3. Принцип максимума Понтрягина на группах ЛиРассмотрим левоинвариантную задачу оптимального управления (2.1)–(2.3) на группе Ли $G$ с фиксированным терминальным временем $t_1$. Введем гамильтониан принципа максимума Понтрягина:
$$
\begin{equation}
h_u^{\nu}(\lambda)=\langle \lambda,f(g, u)\rangle+\nu \varphi(u),
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda \in T^*_g G \subset T^*G, \qquad u \in U, \quad g \in G, \quad \nu \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Для фиксированных $u \in U$, $\nu \in \mathbb{R}$ обозначим через $\vec{h}_u^{\nu} \in \operatorname{Vec}(T^*G)$ гамильтоново векторное поле, соответствующее гамильтониану $h_u^{\nu} \in C^{\infty}(T^*G)$. Теорема 2.2 (принцип максимума Понтрягина). Если $g(t)$ есть оптимальная траектория, соответствующая управлению $u(t)$, то существуют кривая $\lambda \in \operatorname{Lip}([0,t_1],T^*G)$, $\lambda_t \in T^*_{g(t)}G$, и число $\nu \in \{-1,0\}$, для которых выполнены условия: Если терминальное время $t_1$ свободно, то к условиям (1)–(3) присоединяется условие Траектория $g(t)$ и управление $u(t)$, удовлетворяющие принципу максимума Понтрягина, называются экстремальными, а соответствующая кривая $\lambda_t$ называется экстремалью. Для левоинвариантной субримановой задачи (2.4), (2.5), (2.7) принцип максимума Понтрягина детализируется следующим образом. Введем гамильтонианы
$$
\begin{equation*}
h_i(\lambda)=\langle\lambda,X_i(g)\rangle,\quad H(\lambda)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k} h_i^2(\lambda),\qquad \lambda \in T^*G.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 2.1. Пусть $g(t)$ есть субриманова кратчайшая, соответствующая управлению $u(t)$. Тогда существует кривая $\lambda \in \operatorname{Lip}([0,t_1],T^*G)$, $\lambda_t \in T^*_{g(t)}G$, для которой выполнено одно и только одно из условий: Случай (A) называется анормальным, а случай (N) – нормальным. Дополним ортонормированный репер субримановой структуры $X_1,\dots,X_k$ до левоинвариантного репера $X_1,\dots,X_n$ на группе Ли $G$ и введем гамильтонианы $h_i(\lambda)=\langle\lambda,X_i(g)\rangle$. Тогда нормальная гамильтонова система $\dot{\lambda}=\vec{H}(\lambda)$ может быть представлена в виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\dot h_i=\{H,h_i\}, \qquad i=1,\dots,n, \\ & \dot g=\sum_{i=1}^k h_i X_i(g), \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где $\{H,h_i\}$ есть скобка Пуассона гамильтонианов. Вертикальную подсистему (2.13) можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений на коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ после тривиализации кокасательного расслоения $T^*G \cong G\times \mathfrak{g}^*$ левыми сдвигами. Вдоль непостоянных нормальных экстремалей $H(\lambda_t) \equiv \operatorname{const} >0$, и их можно параметризовать натурально (длиной дуги), т. е. так, что $H(\lambda_t) \equiv 1/2$. Введем цилиндр $C=\mathfrak{g}^*\cap\{H=1/2\}$, тогда натурально параметризованные нормальные экстремальные траектории задаются с помощью экспоненциального отображения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{Exp}\colon (\lambda_0, t) \mapsto g(t)=\pi \circ e^{t\vec H}(\lambda_0), \\ &\operatorname{Exp}\colon C\times\mathbb{R}_+ \to G; \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
экспонента справа в (2.14) обозначает поток гамильтонова поля, а $\pi\colon T^*G \to G$ есть каноническая проекция. Волновым фронтом за время $t>0$, соответствующим начальной точке $\operatorname{Id}$, называется множество
$$
\begin{equation*}
W_t=\{\operatorname{Exp}(\lambda,t) \mid \lambda \in C\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно включение $S_t \subset W_t$. Анормальным множеством для левоинвариантной субримановой структуры на группе Ли $G$, соответствующим начальной точке $g_0=\operatorname{Id} \in G$, называется множество
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Abn}=\{g(t)\mid g(\,\cdot\,)\text{ -- анормальная траектория}, \ t > 0, \ g(0)=\operatorname{Id}\} \subset G.
\end{equation*}
\notag
$$
2.2.4. Условия оптимальности второго порядкаПоэтому нормальные экстремальные траектории являются геодезическими. Момент времени $\widehat t > 0$ называется сопряженным временем для нормальной геодезической $\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C$, если $(\lambda,\widehat t)$ есть критическая точка экспоненциального отображения, т. е. дифференциал
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}_{*(\lambda,\widehat t)}\colon T_{(\lambda,\widehat t)} (C \times \mathbb{R}_+) \to T_{\widehat g}G,\quad\text{где}\ \ \widehat g=\operatorname{Exp}(\lambda,\widehat t),
\end{equation*}
\notag
$$
вырожден. При этом точка $\widehat g$ называется сопряженной точкой. Первое сопряженное время вдоль геодезической $g(t)$ есть
$$
\begin{equation*}
t^1_{\rm conj}= \inf\{t > 0 \mid t\text{ -- сопряженное время вдоль }g(\,\cdot\,)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2.4 (условие Якоби). Пусть $g\colon [0,t_1] \to G$ есть нормальная геодезическая, не содержащая анормальных дуг. Тогда: (1) $t^1_{\rm conj} > 0$; (2) для любого $\tau \in (0, t^1_{\rm conj})$ геодезическая $g|_{[0,\tau]}$ есть локально кратчайшая в топологии $W^{1,2}$ на пространстве горизонтальных кривых с теми же граничными точками; (3) для любого $\tau > t^1_{\rm conj}$ геодезическая $g|_{[0,\tau]}$ не является кратчайшей. Первой каустикой называется множество
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Conj}^1=\{\operatorname{Exp}(\lambda,t) \mid \lambda \in C,\ t=t^1_{\rm conj}(\lambda)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2.5 (условие Гоха). Пусть $(\Delta,\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle)$ есть вполне неголономная субриманова структура на гладком многообразии $M$. Если любые субримановы шары компактны и то любая кратчайшая нормальна. 2.2.5. Библиографические комментарииЭтот раздел содержит стандартный материал геометрической теории управления (см. [6], [8], [33], [43], [45], [57], [60], [66], [72], [76], [81], [91]). 2.3. Симметрийный метод построения оптимального синтезаОтыскание оптимальных траекторий в задачах оптимального управления обычно состоит из следующих шагов:
Шаг (1) обычно выполняется с помощью общих методов теории управления. Например, для задач субримановой геометрии условия существования кратчайших даются теоремами Рашевского–Чжоу и Филиппова. Шаг (2), как правило, выполняется с помощью принципа максимума Понтрягина. Доказывается интегрируемость гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина, и ее решения параметризуются в явном виде. Шаг (3) наиболее сложен. Локальную оптимальность экстремальных траекторий обычно можно исследовать с помощью оценок сопряженного времени. Для изучения глобальной оптимальности в задачах с большой группой симметрий (в частности, в левоинвариантных задачах) часто применяется следующий симметрийный метод. (3.1) Описываются дискретные и непрерывные симметрии экспоненциального отображения. (3.2) Отыскиваются точки Максвелла, соответствующие симметриям (т. е. те точки, куда несколько симметричных экстремальных траекторий приходят в одно и то же время). Эти точки (и их прообразы относительно экспоненциального отображения) образуют страты Максвелла в образе (соответственно прообразе) экспоненциального отображения. На каждой экстремальной траектории отыскивается первое время Максвелла, соответствующее симметриям (т. е. первое время, когда экстремальные траектории пересекают страты Максвелла). При достаточно общих условиях экстремальная траектория не может быть оптимальной после точки Максвелла [71]. (3.3) Доказывается, что на любой геодезической первое сопряженное время не меньше первого времени Максвелла, соответствующего симметриям. Для этого можно использовать прямые оценки якобиана экспоненциального отображения или гомотопическую инвариантность индекса Маслова (количества сопряженных точек на экстремальной траектории [2], [77]). (3.4) Рассматривается ограничение экспоненциального отображения на подобласти, вырезаемые в прообразе и образе экспоненциального отображения стратами Максвелла, соответствующими симметриям. С помощью теоремы Адамара о глобальном диффеоморфизме [49] доказывается, что это ограничение есть диффеоморфизм. (3.5) На основе описанной таким образом глобальной структуры экспоненциального отображения часто можно доказать, что время разреза на экстремальных траекториях равно первому времени Максвелла, соответствующему симметриям. Более того, таким образом можно доказать, что для любой конечной точки в указанных подобластях в образе экспоненциального отображения существует единственная оптимальная траектория, которую можно вычислить, обращая экспоненциальное отображение в этих подобластях. (3.6) Наконец, для задач невысокой размерности с большой группой симметрий иногда удается построить полный оптимальный синтез, т. е. закон, который каждой конечной точке в пространстве состояний ставит в соответствие одну или несколько оптимальных траекторий, приходящих в эту точку. Многие задачи оптимального управления, описанные в этом обзоре, исследованы с помощью этого симметрийного метода. 2.3.1. Библиографические комментарииСимметрийный метод есть обобщение классического метода Адамара в римановой геометрии, примененного им, в частности, к исследованию оптимального синтеза на поверхностях отрицательной кривизны [42]. В описанном виде он применялся к левоинвариантным задачам оптимального управления в работах [7], [12], [34], [58], [63], [65], [74], [75], [79]. 3. Классификации левоинвариантных субримановых задач3.1. Задачи на трехмерных группах ЛиВ этом разделе описана классификация, с точностью до локальных изометрий и дилатаций, всех неинтегрируемых левоинвариантных субримановых структур ранга 2 на трехмерных группах Ли. 3.1.1. Трехмерные алгебры ЛиВсе трехмерные алгебры Ли, в которых существует двумерное подпространство, не являющееся подалгеброй, суть алгебры Ли следующих групп Ли:
3.1.2. Субримановы структурыПусть $G$ – трехмерная группа Ли и $(\Delta,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ есть неинтегрируемая левоинвариантная субриманова структура на $G$ ранга 2. Предложение 3.1. Пусть группа Ли $G$ односвязна. Существует левоинвариантный репер $(X_0,X_1,X_2)$ на группе Ли $G$ такой, что $(X_1,X_2)$ есть ортонормированный репер для субримановой структуры $(\Delta,\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\, \rangle)$, в котором таблица умножения есть либо либо В случае (3.1)–(3.3) обозначим
$$
\begin{equation*}
\chi=\frac{c_{01}^2+c_{02}^1}{2}\,, \qquad \kappa=-(c_{12}^1)^2-(c_{12}^2)^2+\frac{c_{01}^2-c_{02}^1}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
а в случае (3.4)–(3.6) положим $\chi=0$. 3.1.3. Классификация трехмерных субримановых структурПри растяжениях ортонормированного репера $(X_1,X_2)$ инварианты $\chi$ и $\kappa$ умножаются на ненулевую константу, поэтому их можно нормировать условием
$$
\begin{equation*}
\chi=\kappa=0 \quad \text{или} \quad \chi^2+\kappa^2=1, \quad \chi \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Изометрия между двумя субримановыми многообразиями $(M,\Delta,\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle)$ и $(M',\Delta',\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle')$ есть диффеоморфизм $f\colon M \to M'$, удовлетворяющий следующим условиям: (1) $f_*(\Delta)=\Delta'$; (2) $\langle X_1,X_2\rangle=\langle f_* X_1,f_*X_2\rangle'$ для любых векторных полей $X_1$, $X_2$, касающихся распределения $\Delta$. Теорема 3.1. Неинтегрируемые левоинвариантные субримановы структуры ранга $2$ на трехмерных группах Ли классифицируются с точностью до локальных изометрий и дилатаций, как на рис. 1, где каждая структура обозначена точкой $(\kappa,\chi)$, и разные точки обозначают локально неизометричные структуры. Более того, справедливы следующие утверждения: (1) если $\chi=\kappa=0$, то структура локально изометрична субримановой структуре на группе Гейзенберга (см. раздел 4.1); (2) если $\chi^2+\kappa^2=1$, то существуют не более трех локально неизометричных нормализованных субримановых структур с этими инвариантами; в частности, на каждой унимодулярной группе Ли для любых $(\chi,\kappa)$ существует единственная нормализованная структура; (3) если $\chi \ne 0$ или $\chi=0$ и $\kappa \geqslant 0$, то две структуры с заданными $(\chi,\kappa)$ локально изометричны тогда и только тогда, когда их алгебры Ли изоморфны. 3.1.4. Изометрия между $\mathcal{A}^+(\mathbb{R})\times S^1$ и $\operatorname{SL}(2)$Существуют неизоморфные группы Ли с локально изометричными субримановыми структурами: из теоремы 3.1 следует, что существует единственная нормализованная левоинвариантная структура на группе $\mathcal{A}^+(\mathbb{R}) \oplus \mathbb{R}$ с $\chi=0$, $\kappa=-1$. Эта структура локально изометрична субримановой структуре на $\operatorname{SL}(2)$, определяемой формой Киллинга. Группа Ли $\mathcal{A}^+(\mathbb{R}) \oplus \mathbb{R}$ представляется матрицами:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}^+(\mathbb{R}) \oplus \mathbb{R}=\left\{\begin{pmatrix} a & 0 & b\\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \biggm| a > 0, \, b, c \in \mathbb{R}\right\},
\end{equation*}
\notag
$$
где действие на вектор $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ задается так:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} a & 0 & b\\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a x+b\\ y+c\\ 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Алгебра Ли этой группы Ли порождена матрицами
$$
\begin{equation*}
e_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad e_2=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим субриманову структуру на $\mathcal{A}^+(\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}$ с ортонормированным репером $(e_2,e_1+e_3)$. Подгруппа $\mathcal{A}^+(\mathbb{R})$ диффеоморфна полуплоскости $\{(a,b) \in \mathbb{R}^2 \mid a > 0\}$, которая задается в стандартных полярных координатах как $\{(\rho,\theta) \mid \rho > 0, -\pi/2 < \theta < \pi/2\}$. Рассмотрим субриманову структуру на $\mathcal{A}^+(\mathbb{R})\times S^1$, заданную проецированием структуры на $\mathcal{A}^+(\mathbb{R})\times \mathbb{R}$. Теорема 3.2. Диффеоморфизм $F\colon\mathcal{A}^+(\mathbb{R})\times S^1 \to \operatorname{SL}(2)$, заданный равенством где $(\rho,\theta) \in \mathcal{A}^+(\mathbb{R})$ и $\varphi \in S^1$, есть глобальная субриманова изометрия. 3.1.5. Библиографические комментарииИзложение в этом разделе опирается на работу [4]. Отметим, что в более ранней работе [38] получена полная классификация субримановых однородных пространств, т. е. субримановых структур, имеющих транзитивную группу изометрий, гладко действующих на многообразии. Использованные в [38] инварианты $\tau_0$ и $K$ совпадают, с точностью до нормирующего множителя, с инвариантами $\chi$ и $\kappa$ этого раздела. Классификация контактных левоинвариантных субримановых метрик на трехмерных группах Ли с точностью до автоморфизмов алгебры Ли получена в работах [88], [89]. 3.2. Задачи на четырехмерных группах Ли3.2.1. Распределения ЭнгеляПусть $M$ есть четырехмерное многообразие. Распределение $\Delta \subset TM$ ранга 2 называется распределением Энгеля, если
$$
\begin{equation*}
\operatorname{rank}(\Delta + [\Delta, \Delta])=3, \qquad \operatorname{rank}(\Delta + [\Delta, \Delta] + [\Delta, [\Delta, \Delta]])=4,
\end{equation*}
\notag
$$
где $[\Delta,\Delta]$ состоит из касательных векторов, которые можно получить с помощью коммутаторов локальных сечений распределения $\Delta$. Иными словами, распределение $\Delta$ имеет вектор роста $(2,3,4)$. 3.2.2. Классификация левоинвариантных энгелевых субримановых структурПредложение 3.2. По любой левоинвариантной энгелевой субримановой структуре можно найти такой левоинвариантный репер $(X_1,\dots,X_4)$ на соответствующей группе Ли, что $(X_1,X_2)$ есть ортонормированный репер структуры, с таблицей умножения где Теорема 3.3. Любая левоинвариантная энгелева субриманова структура однозначно локально определяется структурными константами $T_i$ и принадлежит по крайней мере одному семейству из табл. 1. В этой таблице перечислены ограничения на $T_i$, определяющие семейства, а также соответствующие нетривиальные структурные уравнения. Таблица 1.Классификация левоинвариантных энгелевых субримановых структур
3.2.3. Интегрируемость и строгая анормальностьТеорема 3.4. Рассмотрим любую левоинвариантную энгелеву субриманову структуру типа III на группе Ли с алгеброй Ли с базисом $X_1,\dots,X_4$ и таблицей умножения где векторные поля $X_1$, $X_2$ образуют ортонормированный репер. Нормальный гамильтонов поток этой структуры суперинтегрируем в том смысле, что он имеет четыре независимых коммутирующих первых интеграла, включая нормальный гамильтониан $H$, и еще один независимый первый интеграл, коммутирующий с $H$. Если $T_4 \ne 0$, то анормальные геодезические этой структуры строгие, т. е. не являются нормальными. 3.2.4. Сопряженные точкиПредложение 3.3. Пусть $g(t)$ есть анормальная геодезическая левоинвариантной энгелевой субримановой структуры, и пусть $\delta=T_6-(T_2)^2/4$. Если $\delta > 0$, то все сопряженные времена имеют вид
$$
\begin{equation*}
t_{\rm conj}=\frac{\pi k}{\sqrt{\delta}}\,, \qquad k \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $g(t)$ строго анормальна, то ограничение $g\big|_{[0,\tau]}$ есть $C^0$-локально кратчайшая при $\tau < \pi/\sqrt{\delta}$ и не является таковой при $\tau > \pi/\sqrt{\delta}$ . Если $g(t)$ строго анормальна и $\delta \leqslant 0$, то ограничение $g\big|_{[0,\tau]}$ есть $C^0$-локально кратчайшая для любого $\tau >0$. 3.2.5. Библиографические комментарииРезультаты этого раздела получены в работе [26] (см. также [9], [10]). 4. Задачи, интегрируемые в элементарных функциях4.1. Субриманова задача на группе Гейзенберга4.1.1. Постановка задачиЗадача Дидоны. Рассмотрим следующую формализацию древнейшей задачи оптимизации, восходящей к IX в. до н. э. [85], – задачи Дидоны. Пусть на евклидовой плоскости заданы точки $a_0,a_1 \in \mathbb{R}^2$, соединенные кривой $\gamma_0 \subset \mathbb{R}^2$. Пусть также задано число $S \in \mathbb{R}$. Требуется соединить точки $a_0$, $a_1$ кратчайшей кривой $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ так, чтобы кривые $\gamma_0$ и $\gamma$ ограничивали на плоскости область алгебраической площади $S$. Задача оптимального управления. Эту геометрическую задачу можно переформулировать как задачу оптимального управления
$$
\begin{equation}
\dot g=u_1 X_1(g)+u_2 X_2(g), \qquad g=(x,y,z) \in \mathbb{R}^3,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
X_1=\frac{\partial}{\partial x}- \frac{y}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\,, \qquad X_2=\frac{\partial}{\partial y}+\frac{x}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\,.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Это субриманова задача для субримановой структуры на $\mathbb{R}^3$, заданной ортонормированным репером $X_1$, $X_2$. Алгебра Гейзенберга и группа Гейзенберга. Алгеброй Гейзенберга называется трехмерная свободная нильпотентная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ с двумя образующими, глубины 2. Существует базис $\mathfrak{g}=\operatorname{span}(X_1,X_2,X_3)$, в котором единственная ненулевая скобка Ли есть Алгебра Гейзенберга имеет градуировку $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}^{(1)} \oplus\mathfrak{g}^{(2)}$, $\mathfrak{g}^{(1)}=\operatorname{span}(X_1,X_2)$, $\mathfrak{g}^{(2)}=\mathbb{R} X_3$, $[\mathfrak{g}^{(1)},\mathfrak{g}^{(i)}]=\mathfrak{g}^{(i+1)}$, $\mathfrak{g}^{(3)}=\{0\}$, поэтому она является алгеброй Карно. Соответствующая связная односвязная группа Ли $G$ называется группой Гейзенберга.Группа Гейзенберга имеет линейное представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & x & z +xy/2 \\ 0 & 1 & y\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \biggm| x, y, z \in \mathbb{R}^3 \right\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
дающее закон умножения в этой группе:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2+(x_1 y_2-x_2 y_1)/2 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Векторные поля (4.4) левоинвариантны на группе Ли $G$. Следовательно, задача (4.1)–(4.4) есть левоинвариантная субриманова задача на группе Гейзенберга. Это простейшая субриманова задача, не являющаяся римановой. Неголономная левоинвариантная субриманова задача на группе Гейзенберга единственна с точностью до изоморфизма этой группы [70]. В силу левоинвариантности задачи можно полагать $g_0=\operatorname{Id}=(0,0,0)$ в (4.2). 4.1.2. Симметрии распределения и субримановой структурыРассмотрим субриманову структуру $(\Delta,\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle)$ на гладком многообразии $M$. Векторное поле $X \in \mathrm{Vec}(M)$ называется инфинитезимальной симметрией
Теорема 4.1. (1) Алгебра Ли инфинитезимальных симметрий распределения $\operatorname{span}(X_1,X_2)$ параметризуется гладкими функциями трех переменных. (2) Алгебра Ли инфинитезимальных симметрий субримановой структуры с ортонормированным репером $X_1$, $X_2$ есть четырехмерная алгебра Ли $\operatorname{span}{(X_0,Y_1,Y_2,Y_3)}$ с таблицей умножения Векторные поля $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$ образуют правоинвариантный репер на группе Гейзенберга, а поле $X_0$ определяет вращение:4.1.3. ГеодезическиеСуществование оптимальных управлений в задаче (4.1)–(4.4) следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова. Анормальные траектории постоянны. Для параметризации нормальных экстремалей рассмотрим линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы $h_i(\lambda)=\langle\lambda,X_i\rangle$, $i=1,2,3$, $X_3=[X_1,X_2]=\partial/\partial z$. Нормальные экстремали суть траектории гамильтонова поля $\vec H$, где $H=(h_1^2+h_2^2)/2$. Натурально параметризованные экстремали принадлежат поверхности уровня $\{H=1/2\}$. Введем на этой поверхности координату $\theta$: Натурально параметризованные экстремали в случае $h_3=0$ имеют вид
$$
\begin{equation}
x=t\cos\theta_0, \qquad y=t\sin\theta_0, \qquad z=0,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
а в случае $h_3\ne 0$
$$
\begin{equation}
\theta =\theta_0+h_3 t, \qquad h_3 \equiv \operatorname{const},
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
$$
\begin{equation}
x =\frac{\sin(\theta_0+h_3 t)-\sin \theta_0}{h_3}\,,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
$$
\begin{equation}
y =\frac{\cos \theta_0-\cos (\theta_0+h_3 t)}{h_3}\,,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
При $h_3=0$ геодезические (4.6) суть прямые в плоскости $\{z=0\}$, а в случае $h_3\ne 0$ геодезические (4.8)–(4.10) суть спирали с переменным наклоном, проецирующиеся на плоскость $(x,y)$ в окружности. Формулы (4.5)–(4.10) дают параметризацию экспоненциального отображения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{Exp}\colon (\theta_0,h_3,t) \mapsto (x,y,z), \\ &\operatorname{Exp}\colon C\times \mathbb{R}_+ \to G, \qquad C=\mathfrak{g}^* \cap\biggl\{H=\frac{1}{2}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $h_3=0$ геодезические $g(t)$, $t \in [0,t_1]$, оптимальны для любого $t_1 > 0$. Эти геодезические $g(t)$, $t \in \mathbb{R}$, и только они, являются метрическими прямыми. 4.1.4. Сопряженные временаТеорема 4.2. Пусть $(\theta_0,h_3) \in C$ и $g(t)=\operatorname{Exp}(\theta_0,h_3,t)$. Если $h_3=0$, то на геодезической $g(t)$, $t > 0$, нет сопряженных точек. Если $h_3 \ne 0$, то сопряженные времена вдоль геодезической $g(t)$, $t > 0$, имеют вид где $p_k \in (\pi k,\pi/2+\pi k)$ есть $k$-й положительный корень уравненияПоэтому первое сопряженное время равно а первая каустика есть4.1.5. Время разреза и множество разрезаТеорема 4.3. Время разреза вдоль геодезической $g(t)=\operatorname{Exp}(\theta_0,h_3,t)$ имеет следующий вид: Поэтому
$$
\begin{equation*}
t_{\rm cut}(\lambda)=t_{\rm conj}^1(\lambda), \qquad \lambda \in C,
\end{equation*}
\notag
$$
и множество разреза совпадает с первой каустикой:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cut}=\operatorname{Conj}^1=\{x=y=0, \, z \ne 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Геодезические-спирали теряют оптимальность (как локальную, так и глобальную) при первом после начала пересечении с осью $z$; иначе говоря, они оптимальны вплоть до первого витка окружности $(x(t),y(t))$. 4.1.6. Оптимальный синтезПусть $g_1=(x_1,y_1,z_1) \ne (0,0,0)$ в граничных условиях (4.2). Опишем соответствующие решения задачи (4.1)–(4.4). Если $z_1=0$, $x_1^2+y_1^2 \ne 0$, то кратчайшая есть прямолинейный отрезок (4.6), где
$$
\begin{equation*}
t \in [0,t_1], \quad x_1=t_1\cos\theta_0, \quad y_1=t_1\sin\theta_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $z_1 \ne 0$, $x_1^2+y_1^2 \ne 0$, то кратчайшая есть спираль (4.8)–(4.10), где $t \in [0,t_1]$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{x_1^2+y_1^2}{|z_1|}=\frac{8\sin^2 p_1}{2p_1-\sin(2p_1)}\,,\qquad p_1 \in (0,\pi), \\ h_3=\operatorname{sign}z_1\cdot\sqrt{\frac{2p_1-\sin(2p_1)}{2|z_1|}}\,, \\ t_1=\frac{2p_1}{|h_3|}\,, \\ x_1=\frac{2\sin p_1}{h_3} \cos \tau_1, \quad y_1=\frac{2\sin p_1}{h_3} \sin \tau_1, \\ \theta_0=\tau_1-p_1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, если $z_1 \ne 0$, $x_1^2+y_1^2=0$, то существует однопараметрическое семейство кратчайших (4.8)–(4.10), где
$$
\begin{equation*}
t \in \biggl[0,\frac{2\pi}{|h_3|}\biggr],\quad h_3=\operatorname{sign}z_1\cdot\sqrt{\frac{\pi}{|z_1|}}\,,\quad \theta_0 \in S^1.
\end{equation*}
\notag
$$
4.1.7. Субриманово расстояние и сферыПусть $g=(x,y,z) \in G$. Тогда субриманово расстояние $d_0(g)=d(\operatorname{Id},g)$ представляется следующим образом. Если $z=0$, то $d_0(g)=\sqrt{x^2+y^2}$ . Если $z \ne 0$, $x^2+y^2 \ne 0$, то
$$
\begin{equation}
\frac{2p-\sin(2p)}{8\sin^2 p}=\frac{|z|}{x^2+y^2}\,,\qquad p \in (0,\pi).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Если $z \ne 0$, $x^2+y^2=0$, то $d_0(g)=2\sqrt{\pi|z|}$ . Субриманова сфера радиуса $R$ с центром в единице есть поверхность вращения с параметрическими уравнениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x=R\,\frac{\sin p}{p}\cos\tau, \quad y=R\,\frac{\sin p}{p} \sin \tau, \quad z=R^2\,\frac{2p-\sin(2p)}{8p^2}\,, \\ p \in [-\pi,\pi], \quad \tau \in S^1; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
она похожа на яблоко и имеет две особые конические точки Сферы сохраняются вращениями $X_0$ и растягиваются дилатациями $Y=x\dfrac{\partial}{\partial x}+ y\dfrac{\partial}{\partial y}+2z\dfrac{\partial}{\partial z}$ :
$$
\begin{equation*}
e^{r X_0}(S_{\operatorname{Id}}(R))=S_{\operatorname{Id}}(R), \qquad e^{r Y}(S_{\operatorname{Id}}(R))=S_{\operatorname{Id}}(e^r R).
\end{equation*}
\notag
$$
Единичная сфера $S_{\operatorname{Id}}(1)$ и ее половина изображены на рис. 2 и 3 соответственно. 4.1.8. Библиографические комментарииСубриманова задача на группе Гейзенберга описана практически в каждой книге или обзоре по субримановой и неголономной геометрии (см. [6], [15], [35], [46], [57], [68], [76]). По-видимому, первое детальное исследование этой задачи было выполнено в работах [31], [40], [88]. В работе [88] исследован геодезический поток для контактных левоинвариантных субримановых структур на трехмерных группах Ли (в том числе на группе Гейзенберга) методами теории динамических систем. 4.2. Машина Маркова–Дубинса4.2.1. Постановка задачиРассмотрим модель машины, движущейся по плоскости. Состояние машины задается ее положением и ориентацией на плоскости. Машина может ехать вперед с постоянной линейной скоростью и одновременно поворачиваться с ограниченной угловой скоростью. Требуется перевести машину из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за минимальное время. После выбора подходящих единиц измерения задача формулируется как задача быстродействия
$$
\begin{equation}
\dot x=\cos \theta, \qquad g=(x,y,\theta) \in \mathbb{R}^2 \times S^1,
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Это левоинвариантная задача на группе $G=\operatorname{SE}(2) \cong \mathbb{R}^2 \ltimes S^1$ евклидовых движений плоскости, поэтому можно положить $g_0=\operatorname{Id}=(0,0,0)$. В терминах левоинвариантных векторных полей на этой группе Ли
$$
\begin{equation}
X_1=\cos \theta\,\frac{\partial}{\partial x}+ \sin \theta\,\frac{\partial}{\partial y}\,, \qquad X_2=\frac{\partial}{\partial\theta}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
управляемая система (4.13)–(4.15) записывается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\dot g=X_1+u X_2, \qquad g \in G, \quad u \in [-1,1].
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
4.2.2. УправляемостьТеорема 4.4. Множество достижимости системы (4.19) из точки $\operatorname{Id}$ есть вся группа $\operatorname{SE}(2)$. 4.2.3. Оптимальные траекторииСуществование решений в задаче быстродействия (4.13)–(4.17) следует из теоремы Филиппова. Введем линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы
$$
\begin{equation*}
h_i(\lambda)=\langle \lambda, X_i\rangle,\qquad i=1,2,3,\quad \lambda \in T^*G,\quad X_3=[X_1,X_2].
\end{equation*}
\notag
$$
Из принципа максимума Понтрягина получаем гамильтонову систему
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot h_1=- u h_3, \quad \dot h_2=h_3, \quad \dot h_3=u h_1, \\ \dot g=X_1+u X_2 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и условие максимума Если $h_2(t) \ne 0$ на некотором промежутке, то $u \equiv \operatorname{sign} h_2(t)=\pm 1$ и экстремальная кривая есть дуга окружности. Если $h_2(t) \equiv 0$ на некотором промежутке, то $u \equiv 0$ и экстремальная кривая есть прямолинейный отрезок. Теорема 4.5. Оптимальные траектории могут быть одного из следующих двух типов: (1) конкатенация дуги окружности единичного радиуса, прямолинейного отрезка и дуги окружности единичного радиуса; (2) конкатенация не более чем трех дуг окружностей единичного радиуса. В случае (2) если $a$, $b$, $c$ суть времена движения по дугам, то 4.2.4. Библиографические комментарииВпервые некоторую версию задачи (4.13)–(4.17) рассмотрел в 1889 г. А. А. Марков [53]. Детально эту задачу изучил в 1957 г. Л. Дубинс [37]. Он показал, что оптимальная траектория принадлежит одному из шести типов конкатенаций дуг единичных окружностей и прямолинейных отрезков. Подробный анализ этой задачи методами геометрической теории управления, включая теорему 4.5, приведен в [84]. Анализ и приложение задачи Маркова–Дубинса к управлению движением самолетов см. в работе [61]. Программная реализация оптимального синтеза в этой задаче описана в работе [11]. 4.3. Машина Ридса–Шеппа4.3.1. Постановка задачиРассмотрим вариацию модели машины из раздела 4.2. Пусть теперь машина может ехать вперед или назад с постоянной линейной скоростью и одновременно поворачиваться с ограниченной угловой скоростью. Требуется перевести машину из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за минимальное время. Задача формулируется как задача быстродействия
$$
\begin{equation}
\dot x=v \cos \theta, \qquad g=(x,y,\theta) \in \mathbb{R}^2 \times S^1,
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
$$
\begin{equation}
\dot y=v \sin \theta, \qquad |v|=1, \quad u \in [-1, 1],
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Это левоинвариантная задача на группе Ли $G=\operatorname{SE}(2) \cong \mathbb{R}^2 \ltimes S^1$. Управляемая система (4.20)–(4.22) в терминах левоинвариантных векторных полей (4.18) записывается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\dot g=v X_1+u X_2, \qquad g \in G, \quad |v|=1, \quad u \in [-1,1].
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
4.3.2. УправляемостьТеорема 4.6. Множество достижимости системы (4.25) из точки $\operatorname{Id}$ есть вся группа $\operatorname{SE}(2)$. 4.3.3. Существование оптимальных траекторийМножество значений управляющего параметра для машины Ридса–Шеппа невыпукло (см. (4.21)), поэтому общие теоремы существования оптимальных управлений для нее неприменимы. Однако теорема существования справедлива. 4.3.4. Оптимальные траекторииТеорема 4.8. Для любой точки $g_1 \in \operatorname{SE}(2)$ оптимальная траектория может быть одного из следующих двух типов: (1) конкатенация не более двух дуг окружностей единичного радиуса, прямолинейного отрезка и не более двух дуг окружностей единичного радиуса; (2) конкатенация не более четырех дуг окружностей единичного радиуса. 4.3.5. Библиографические комментарииЗадачу (4.20)–(4.24) впервые рассмотрели Дж. Ридс и Л. Шепп в работе [67]. Они показали, что оптимальная траектория принадлежит одному из 48 типов конкатенаций дуг единичных окружностей и прямолинейных отрезков. Эта задача детально исследована в работе [84]: приведено семейство траекторий, содержащее оптимальные траектории в задаче (4.20)–(4.24), удовлетворяющие принципу максимума Понтрягина и условиям оптимальности высших порядков. В этой работе количество типов оптимальных траекторий уменьшено до 46. Полный оптимальный синтез построен в работе [83] (см. также [82]). Этой задаче посвящена также работа [27]. Программная реализация оптимального синтеза в задаче Ридса–Шеппа описана в работе [11]. 4.4. Субриманова задача с вектором роста $(3,6)$4.4.1. Постановка задачи и две моделиЛевоинвариантная субриманова задача с вектором роста $(3,6)$ ставится следующим образом:
$$
\begin{equation}
\dot y=x\land u, \quad y \in \mathbb{R}^3 \land \mathbb{R}^3,
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
$$
\begin{equation}
x(0)=0, \quad y(0)=0,\quad x(t_1)=x_1, \quad y(t_1)=y_1,
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^{t_1}(u_1^2+u_2^2+u_3^2)^{1/2}\,dt \to \min\!.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Отождествляя пространство $\mathbb{R}^3 \land \mathbb{R}^3$ с $\mathbb{R}^3$ при помощи оператора
$$
\begin{equation*}
* \colon\mathbb{R}^3 \land \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad y \mapsto z,
\end{equation*}
\notag
$$
где $y \land z$ есть форма объема на $\mathbb{R}^3$, можно заменить внешнее произведение $x \land u$ на векторное произведение $[x,u]$ в $\mathbb{R}^3$, и получить постановку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\dot x=u, \quad x,y,u \in \mathbb{R}^3, \\ &\dot y=[x,u], \\ &x(0)=0, \quad y(0)=0,\quad x(t_1)=x_1, \quad y(t_1)=y_1, \\ &\int_0^{t_1} (u_1^2+u_2^2+u_3^2)^{1/2}\,dt \to \min\!. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В координатах $x=(x_1,x_2,x_3)$, $y=(y_1,y_2,y_3) \in \mathbb{R}^3$ ортонормированный репер для соответствующей субримановой структуры имеет вид
$$
\begin{equation}
X_1 =\frac{\partial}{\partial x_1}+x_3\frac{\partial}{\partial y_2}- x_2\frac{\partial}{\partial y_3}\,,
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
$$
\begin{equation}
X_2 =\frac{\partial}{\partial x_2}+x_1\frac{\partial}{\partial y_3}- x_3\frac{\partial}{\partial y_1}\,,
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
$$
\begin{equation}
X_3 =\frac{\partial}{\partial x_3}+x_2\frac{\partial}{\partial y_1}- x_1\frac{\partial}{\partial y_2}\,.
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Ненулевые скобки Ли в алгебре Ли, порожденной полями $X_i$, имеют вид
$$
\begin{equation}
[X_1, X_2]=X_{12}, \quad [X_2, X_3]= X_{23}, \quad [X_3, X_1]=X_{31},
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
где $X_{12}=2\dfrac{\partial}{\partial y_3}$ , $X_{23}=2 \dfrac{\partial}{\partial y_1}$ , $X_{31}=2 \dfrac{\partial}{\partial y_2}$ . Будем называть ортонормированный репер (4.30)–(4.32) первой моделью субримановой $(3,6)$-структуры. Вторая модель дается векторными полями
$$
\begin{equation}
\widetilde X_1 =\frac{\partial}{\partial x_1}+ \frac{x_3}{2}\,\frac{\partial}{\partial y_2}- \frac{x_2}{2}\,\frac{\partial}{\partial y_3}\,,
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde X_2 =\frac{\partial}{\partial x_2}+ \frac{x_1}{2}\,\frac{\partial}{\partial y_3}- \frac{x_3}{2}\,\frac{\partial}{\partial y_1}\,,
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde X_3 =\frac{\partial}{\partial x_3}+ \frac{x_2}{2}\,\frac{\partial}{\partial y_1}- \frac{x_1}{2}\,\frac{\partial}{\partial y_2}\,.
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
4.4.2. СимметрииЗадача (4.26)–(4.29) инвариантна относительно группы $\operatorname{SO}(3)$, естественно действующей на управления и состояния:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &g \colon (u, x, v\land w)\mapsto (g(u), g(x), g(v)\land g(w)), \\ &g \colon \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\times(\mathbb{R}^3\land \mathbb{R}^3) \to \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R}^3\land \mathbb{R}^3), \\ &g \in \operatorname{SO}(3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4.4.3. Геодезические в первой моделиИз таблицы умножения (4.33) следует, что распределение $\Delta=\operatorname{span}(X_1,X_2,X_3)$ удовлетворяет условию Гоха $\Delta^2_{q}=T_qG$, $q \in G \cong \mathbb{R}^6$. Поэтому все субримановы кратчайшие нормальны. В нормальном случае гамильтониан принципа максимума Понтрягина имеет вид
$$
\begin{equation*}
H=\frac{p^2}{2}+(\rho,[x,p])+\frac{x^2\rho^2}{2}- \frac{(\rho,x)^2}{2}\,,\qquad (x,y,p,\rho)\in T^* G,
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ и $[\,\cdot\,{,}\,\cdot\,]$ суть скалярное и векторное произведения в $\mathbb{R}^3$. Соответствующая гамильтонова система есть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\dot x=p+[\rho,x], \\ &\dot y=[x,p]+ x^2\cdot \rho-(\rho,x)\cdot x, \\ &\dot p=-[p,\rho]-\rho^2\cdot x+(\rho,x)\cdot \rho, \\ &\dot\rho=0, \\ &x(0)=y(0)=0, \quad p_0^2=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\rho \equiv \rho_0$, $p=[\rho_0,x]+p_0$. Выберем декартовы координаты $(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3$ так, чтобы ось $x_3$ была сонаправлена оси $\rho_0$, ось $x_1$ принадлежала плоскости $\operatorname{span}(\rho_0,p_0)$, а ось $x_2$ так, чтобы система координат была правосторонней. Тогда горизонтальная подсистема нормальной гамильтоновой системы принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\dot x_1=\sin \varphi-r x_2, \\ &\dot x_2=r x_1, \\ &\dot x_3=\cos \varphi, \\ &\dot y_1=x_2 \cos \varphi-r x_1 x_3, \\ &\dot y_2=x_3\sin \varphi-x_1 \cos\varphi-r x_2x_3, \\ &\dot y_3=-x_2 \sin \varphi+(x_1^2+x_2^2)\,r, \\ &r=2|\rho_0|, \qquad x(0)=y(0)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в первой модели (4.30)–(4.32)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &x_1=\frac{1}{r}\sin \varphi \sin (r t), \\ &x_2=\frac{1}{r}\sin \varphi\,(1-\cos(r t)), \\ &x_3=t \cos \varphi, \\ &y_1=\frac{1}{r^2}\sin\varphi\cos\varphi\,(r t(1+\cos(rt))-2\sin(rt)), \\ &y_2=\frac{1}{r^2}\sin\varphi\cos\varphi\,(r t\sin(rt)+2\cos(rt)-2), \\ &y_3 =\frac{1}{r^2}\sin^2\varphi\,(r t-\sin(rt)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4.4.4. Геодезические во второй моделиВо второй модели (4.34)–(4.36) экстремальные управления, соответствующие геодезическим постоянной скорости, имеют вид
$$
\begin{equation*}
u(t)=a\cos(ct)+b\sin(ct)+z, \qquad |a|=|b| > 0, \quad c \geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a$, $b$, $z$ – взаимно ортогональные векторы в $\mathbb{R}^3$. Соответствующие геодезические суть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q(t)=\biggl(\frac{\sin(ct)}{c} a&+\frac{1-\cos(c t)}{c} b+tz, \frac{ct-\sin(ct)}{2c^2} a \land b \\ &+\frac{2(1-\cos(ct))-ct\sin(ct)}{2c^2}\,a\land z \\ &+\frac{ct(1+\cos(ct))-2\sin(ct)}{2c^2}\,b\land z\biggr),\qquad c > 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и При $c=0$ геодезические суть однопараметрические подгруппы в группе Карно $G=\mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R}^3 \land \mathbb{R}^3)$, лежащие в ее первом слое $\mathbb{R}^3 \times \{0\}$. 4.4.5. Анормальные геодезические и анормальное множествоС точностью до перепараметризации, анормальные управления постоянны, а анормальные геодезические (4.37) суть однопараметрические подгруппы в $\mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R}^3\land\mathbb{R}^3)$, лежащие в первом слое $\mathbb{R}^3\times \{0\}$. Анормальное множество, соответствующее единичному элементу $\operatorname{Id} \in \mathbb{R}^3\times (\mathbb{R}^3\land\mathbb{R}^3)$, есть первый слой группы Карно:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Abn}=\mathbb{R}^3\times \{0\}= \{(x,0) \in \mathbb{R}^3\times (\mathbb{R}^3\land\mathbb{R}^3)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
4.4.6. Время разрезаОпределим следующие функции:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} S(\theta)&=\frac{\sin\theta}{\theta}\,, &\qquad U(\theta)&=\frac{\theta-\sin\theta\cos\theta}{4\theta^2}\,, \\ V(\theta)&=\frac{\sin\theta-\theta\cos\theta}{2\theta^2}\,,&\qquad Q(\theta)&=-\frac{U(\theta)S(\theta)}{V(\theta)}\,, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $\varphi_1 \in(\pi,3\pi/2)$ есть первый положительный корень функции $V$. Функция $Q(\theta)$ неотрицательна и строго возрастает при $\theta \in [\pi,\varphi_1)$. Более того, $Q(\pi)=0$ и $Q(\varphi_1-0)=+\infty$. Поэтому определена обратная функция Таким образом, метрическими прямыми являются лишь анормальные геодезические (4.37) – однопараметрические подгруппы в первом слое группы Карно. 4.4.7. Множество разрезаОпределим следующие функции:
$$
\begin{equation*}
P(\theta)=-\frac{S(\theta)}{V(\theta)}\, \sqrt{\frac{W(\theta)}{U(\theta)}}\,,\quad R(\theta)=\frac{1-S^2(\theta)}{\sqrt{U(\theta)W(\theta)}}\,,\quad W(\theta)=U(\theta)-S(\theta)V(\theta).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $P\colon [\pi,\varphi_1) \to [0,+\infty)$ есть возрастающая биекция, поэтому определена обратная функция $P^{-1}\colon[0,+\infty) \to [\pi,\varphi_1)$. 4.4.8. Библиографические комментарииИзложение в этом разделе опирается на независимые работы [58] и [56]. Пункты 4.4.1 (первая модель), 4.4.2, 4.4.3, 4.4.7 (теорема 4.10) опираются на работу [58]. Пункты 4.4.1 (вторая модель), 4.4.4, 4.4.5, 4.4.6, 4.4.7 (теорема 4.11) опираются на работу [56]. 4.5. Субриманова задача на двухступенных свободных нильпотентных группах Ли4.5.1. Постановка задачиАлгебры Ли и группы Ли. Двухступенная свободная нильпотентная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ удовлетворяет соотношениям
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\mathfrak{g}^{(1)}\oplus\mathfrak{g}^{(2)}, \quad [\mathfrak{g}^{(1)},\mathfrak{g}^{(1)}]=\mathfrak{g}^{(2)}, \quad [\mathfrak{g}^{(1)},\mathfrak{g}^{(2)}]= [\mathfrak{g}^{(2)},\mathfrak{g}^{(2)}]=\{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Она имеет базис
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\operatorname{span}\{X_i,X_{jk}\mid 1\leqslant i \leqslant n,\, 1 \leqslant j < k \leqslant n\},
\end{equation*}
\notag
$$
в котором таблица умножения имеет вид
$$
\begin{equation*}
[X_i,X_j]=X_{ij}, \qquad 1 \leqslant i < j \leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта алгебра Ли имеет размерность $n(n+1)/2$, где $n=\dim \mathfrak{g}^{(1)}$. Обозначим через $G$ связную односвязную группу Ли с алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Эта группа Ли моделируется пространством $\mathbb{R}^n \times(\mathbb{R}^n\land\mathbb{R}^n)\cong \mathbb{R}^n\times \mathfrak{so}(n)$ с законом умножения
$$
\begin{equation*}
(x^1,y^1)\cdot (x^2,y^2)=(x^1+x^2,y^1+y^2-x^1\land x^2), \qquad (x^i,y^i)\in \mathbb{R}^n\times\mathfrak{so}(n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x^1\land x^2=x^1\otimes (x^2)^\top-x^2\otimes (x^1)^\top$. Поэтому будем далее считать, что $G=\mathbb{R}^n \times\mathfrak{so}(n)$, так что любой элемент $(x, y) \in G$ имеет координатное представление $(x_1,\dots,x_n;y_{12},\dots,y_{(n-1)n})$. В этих координатах следующие векторные поля образуют левоинвариантный репер на $G$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} X_i&=\frac{\partial}{\partial x_i}-\sum_{1\leqslant j\leqslant n,j\ne i} x_j\,\frac{\partial}{\partial y_{ij}}\,, &&\qquad i=1,\dots,n, \\ X_{ij}&=2\frac{\partial}{\partial y_{ij}}\,, &&\qquad 1\leqslant i < j \leqslant n. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Субриманова задача. Рассмотрим субриманову структуру на группе Ли $G$ с ортонормированным репером $(X_1,\dots,X_n)$. Соответствующая задача оптимального управления имеет вид
$$
\begin{equation}
x(0)=0, \quad y(0)=0, \quad x(t_1)=x^1, \quad y(t_1)=y^1,
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
В координатах система (4.38), (4.39) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \dot x_i&=u_i, &&\qquad i=1,\dots,n, \\ \dot y_{ij}&=x_i u_j-x_ju_i,&&\qquad 1\leqslant i < j \leqslant n. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Задача (4.38)–(4.41) впервые рассматривалась Б. Гаво [40], а затем Р. Брокеттом [31], поэтому она называется в литературе задачей Гаво–Брокетта. Существование решений. Субримановы кратчайшие существуют по теоремам Рашевского–Чжоу и Филиппова. Симметрии. Задача инвариантна относительно естественного действия группы $\mathrm{O}(n)$:
$$
\begin{equation*}
g\colon (u,x,v\land w) \mapsto (g(u),g(x),g(v)\land g(w)), \qquad u,x,v,w \in \mathbb{R}^n, \quad g \in \mathrm{O}(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами,
$$
\begin{equation}
g\colon (u,x,y) \mapsto \bigl(g(u),g(x),gyg^\top\bigr), \qquad u,x \in \mathbb{R}^n, \quad y \in \mathfrak{so}(n).
\end{equation}
\tag{4.42}
$$
4.5.2. ЭкстремалиВведем линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы, соответствующие базисным полям:
$$
\begin{equation*}
h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i \rangle, \quad h_{ij}(\lambda)=\langle\lambda,X_{ij}\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
и положим
$$
\begin{equation*}
h=(h_1,\dots,h_n)\in \mathbb{R}^n, \quad \mathbb{H}=(h_{ij})\in\mathfrak{so}(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4.12 (принцип максимума Понтрягина). Пусть есть экстремаль, соответствующая оптимальному управлению $u(t)$. Согласно условию Гоха все локально оптимальные анормальные траектории нормальны. Впрочем, в примере 14 [31] показано, что существуют неоптимальные строго анормальные траектории. Далее будем рассматривать случай общего положения: пусть при четном $n$ матрица $\mathbb{H}$ невырождена и имеет $n/2$ разных собственных значений, а при нечетном $n$ матрица $\mathbb{H}$ имеет одно нулевое собственное значение и разные все остальные собственные значения. Запишем ненулевые собственные значения матрицы $\mathbb{H}$ в виде
$$
\begin{equation*}
\{i\lambda_1,-i\lambda_1,\dots,i\lambda_{[n/2]},-i\lambda_{[n/2]}\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_k > 0$ для всех $k$. Пусть обозначают соответствующие собственные векторы матрицы $\mathbb{H}$. В случае нечетного $n$ обозначим через $v_0$ вещественный собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению. Обозначим через $\langle v,w \rangle=v^\top \overline w$ эрмитово скалярное произведение в $\mathbb{C}^n$ и определим ортогональные векторы
$$
\begin{equation*}
\alpha_k=2\operatorname{Im}(\langle h_0,v_k\rangle v_k),\quad \beta_k=2\operatorname{Re}(\langle h_0,v_k\rangle v_k), \quad \gamma_0=\langle h_0,v_0\rangle v_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4.13. Пусть $(x(t),y(t)) \in \mathbb{R}^n\times\mathfrak{so}(n)$ есть геодезическая. Если $n$ четно, то Если $n$ нечетно, то к суммам (4.43) и (4.44) нужно прибавить дополнительные слагаемые $t \gamma_0 $ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^{[n/2]}\biggl[\frac{-t}{\lambda_i}(\cos(\lambda_i t)+1)+ \frac{2\sin (\lambda_i t)}{\lambda_i^2}\biggr]\alpha_i \land \gamma_0 \\ &\qquad+\sum_{i=1}^{[n/2]}\biggl[\frac{1}{\lambda_i^2} \bigl(2(1-\cos(\lambda_i t))- \lambda_i t \sin(\lambda_i t)\bigr)\biggr]\beta_i \land \gamma_0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. 4.5.3. Нижняя оценка множества разрезаРассмотрим следующее подмножество группы $G=\mathbb{R}^n \times \mathfrak{so}(n)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_n&=\{(x,y) \in \mathbb{R}^n \times \mathfrak{so}(n) \mid y \ne 0\text{ и существует матрица } 0 \ne M\in \mathrm{O}(n) \nonumber \\ &\qquad\text{такая, что } M x=x, \ M y M^\top=y, \ M|_{\ker y}= \operatorname{Id}\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.45}
$$
Условие (4.45) означает, что элемент $M \in\mathrm{O}(n)$ стабилизирует $(x,y)$ относительно действия (4.42). Предложение 4.1. Для любого $n \geqslant 2$ множество $C_n \subset G$ есть полуалгебраическое множество коразмерности 2. Замечание. При $n=2, 3$ включение (4.46) превращается в равенство (см. разделы 4.1, 4.4). Верно ли это при $n \geqslant 4$, неизвестно. 4.5.4. Анормальное множествоПриведем известные описания и свойства анормального множества $\operatorname{Abn}$. Теорема 4.15. Имеет место равенство где $\operatorname{Gr}(n,n-2)$ есть грассманиан $(n-2)$-мерных подпространств в $\mathbb{R}^n$. Рангом элемента $y \in\mathfrak{so}(n)$ назовем размерность образа оператора $y\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ . Для открытого плотного подмножества в $\mathfrak{so}(n)$ ранг принимает максимальное значение: $n$, если $n$ четно, и $n-1$, если $n$ нечетно. Обозначим через $\mathfrak{so}(n)_{\rm sing}$ множество элементов $y \in \mathfrak{so}(n)$, имеющих ранг меньше максимального, через $\mathfrak{so}(n)_{d}$ множество элементов ранга $d$ и через $\mathfrak{so}(n)_{< d}$ множество элементов ранга меньше $d$. Теорема 4.16. Если $n$ нечетно, то $\operatorname{Abn}=\mathbb{R}^n\times \mathfrak{so}(n)_{\rm sing}$. Теорема 4.17. Если $n$ четно, то $\operatorname{Abn}$ есть объединение $Y_1 \cup Y_2$ двух квазипроективных подмногообразий В частности, $\operatorname{Abn}$ есть особое алгебраическое многообразие коразмерности 3. Теорема 4.18. $\operatorname{Abn} \subset G$ есть полуалгебраическое множество коразмерности не меньше 3. Теорема 4.19. Для всех $k \geqslant 2$ имеют место включения Для любого $n \geqslant 4$ первое включение строгое, поэтому $\operatorname{Cut} \cap \operatorname{Abn} \ne \varnothing$. Более того, существуют анормальные геодезические с конечным временем разреза. 4.5.5. Библиографические комментарииРассматриваемая в данном разделе субриманова задача исследовалась в известных работах Б. Гаво [40], Р. Брокетта [31] и В. Лиу и Х. Суссмана [52]. Изложение в этом разделе опирается на следующие источники: пп. 4.5.1, 4.5.2 – статья [55]; п. 4.5.3 – статья [69]; п. 4.5.4: теоремы 4.15–4.18 – статья [51], теорема 4.19 – статья [69]. См. также [59]. 4.6. Двухступенная субриманова задача коранга 14.6.1. Алгебра Ли и группа ЛиРассмотрим алгебру Ли
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\operatorname{span}(X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_k, Z), \qquad k \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
с таблицей умножения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [X_i,Y_j]=-\delta_{ij}b_i Z, \qquad b_i > 0, \quad i, j=1,\dots,k, \\ [X_i,Z]=[Y_i,Z]=0, \qquad i=1,\dots,k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $G$ есть связная односвязная группа Ли с алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Тогда $G \cong \mathbb{R}^{2k+1}$ и можно выбрать координаты
$$
\begin{equation*}
g=(x,y,z) \in \mathbb{R}^{2k+1}, \qquad x=(x_1,\dots,x_k) \in\mathbb{R}^k, \quad y=(y_1,\dots,y_k)\in \mathbb{R}^k, \quad z \in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
в которых умножение в $G$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
g\cdot g'=\biggl(x+x',y+y',z+z'-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k b_i(x_i\cdot x_i'-y_i\cdot y_i')\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В этих координатах левоинвариантный репер на $G$ есть
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} X_i&=\frac{\partial}{\partial x_i}+ \frac{1}{2} b_i y_i\frac{\partial}{\partial z}\,, &\qquad i&=1,\dots,k, \\ Y_i&=\frac{\partial}{\partial y_i}- \frac{1}{2} b_i x_i\frac{\partial}{\partial z}\,, &\qquad i&=1,\dots,k, \\ Z&=\frac{\partial}{\partial z}\,.&& \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
4.6.2. Постановка задачиРассмотрим субриманову структуру на $G$ с ортонормированным репером $(X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_k)$. Соответствующая задача оптимального управления имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\dot x_i=u_i, \qquad i=1,\dots,k, \\ &\dot y_i=v_i, \qquad i=1,\dots,k, \\ &\dot z=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^k b_i (u_i y_i-v_i x_i), \\ &g(0)=(0,0,0), \qquad g(t_1)=(x^1,y^1,z^1), \\ &\int_0^{t_1}\biggl(\,\sum_{i=1}^k(u_i^2+v_i^2)\biggr)^{1/2}\,dt \to \min\!. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Существование решений следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова. 4.6.3. ЭкстремалиАнормальные экстремальные траектории постоянны. Введем линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы
$$
\begin{equation*}
h_{X_i}(\lambda)=\langle\lambda,X_i(g) \rangle, \quad h_{Y_i}(\lambda)=\langle\lambda,Y_i(g)\rangle, \quad h_{Z}(\lambda)=\langle\lambda,Z(g) \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Вдоль нормальных экстремалей имеем
$$
\begin{equation*}
u_i(t)=h_{X_i}(\lambda(t)), \quad v_i(t)=h_{Y_i}(\lambda(t)), \quad w(t)=h_Z(\lambda(t)).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к натуральной параметризации геодезических, можно считать, что
$$
\begin{equation*}
u_1^2(t)+\cdots+u_k^2(t)+v_1^2(t)+\cdots+v_k^2(t) \equiv 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $w=0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (u_i(t), v_i(t)) \equiv (u_i^0, v_i^0)=\operatorname{const}, \\ x_i(t)=u_i^0 t, \quad y_i(t)=v_i^0 t, \quad z(t) \equiv 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $w \ne 0$, то (обозначая $a_i=b_i w$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_i(t)&=u_i^0 \cos(a_i t)-v_i^0 \sin(a_i t), \\ v_i(t)&=u_i^0 \sin(a_i t)+v_i^0\cos(a_i t), \\ w(t)&=w \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x_i(t)&=\frac{1}{a_i}\bigl(u_i^0 \sin(a_i t)+v_i^0\cos(a_i t)-v_i^0\bigr), \nonumber \\ y_i(t)&=\frac{1}{a_i}\bigl(-u_i^0 \cos(a_i t)+v_i^0 \sin(a_i t)+u_i^0\bigr), \\ z(t)&=\frac{1}{2w^2}\biggl(w t- \sum_{i}\frac{1}{b_i}\bigl((u_i^0)^2+(v_i^0)^2\bigr)\sin(a_i t)\biggr). \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.48}
$$
В полярных координатах
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u_i=r_i\cos \theta_i, \qquad v_i=r_i \sin \theta_i, \qquad i=1,\dots,k, \\ r_1^2+\cdots+r_k^2 \equiv 1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
формулы (4.48) переписываются в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_i(t)&=\frac{r_i}{a_i}(\cos(a_i t+\theta_i)-\cos \theta_i), \\ y_i(t)&=\frac{r_i}{a_i}(\sin(a_i t+\theta_i)-\sin\theta_i), \\ z(t)&=\frac{1}{2w^2}\biggl(w t-\sum_{i}\frac{r_i^2}{b_i}\sin(a_i t)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому проекция геодезической на любую плоскость $(x_i,y_i)$ есть окружность периода $T_i$, радиуса $\rho_i$ с центром $C_i$, где
$$
\begin{equation*}
T_i=\frac{2\pi}{b_i w}\,, \quad \rho_i=\frac{r_i}{b_i w}\,, \quad C_i=-\frac{r_i}{b_i w}(\cos \theta_i,\sin \theta_i), \qquad i=1,\dots,k.
\end{equation*}
\notag
$$
Компонента $z(t)$ геодезических есть взвешенная сумма (с коэффициентами $b_i$) площадей, заметенных радиус-векторами $(x_i(t),y_i(t))$ на плоскостях $\mathbb{R}^2_{x_iy_i}$. 4.6.4. Время разрезаТеорема 4.20. Пусть $g(t)$ есть натурально параметризованная геодезическая, выходящая из начала координат. Тогда время разреза вдоль нее совпадает с первым сопряженным временем и равно 4.6.5. Библиографические комментарииРезультаты этого раздела получены в работе [5]. В более ранней работе [54] для этой же субримановой задачи получена параметризация геодезических и описано первое сопряженное время. 4.7. Двухступенная субриманова задача коранга 24.7.1. Алгебра Ли и группа ЛиРассмотрим алгебру Ли
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{g}=\mathfrak{g}^{(1)} \oplus \mathfrak{g}^{(2)}, \\ [\mathfrak{g}^{(1)},\mathfrak{g}^{(1)}]=\mathfrak{g}^{(2)}, \quad [\mathfrak{g}^{(1)},\mathfrak{g}^{(2)}]= [\mathfrak{g}^{(2)},\mathfrak{g}^{(2)}]=\{0\}, \\ \dim \mathfrak{g}^{(1)}=k \geqslant 2, \quad \dim \mathfrak{g}^{(2)}=2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Существует базис
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{g}=\operatorname{span}(X_1,\dots,X_k,Y_1,Y_2), \\ \mathfrak{g}^{(1)}=\operatorname{span}(X_1,\dots,X_k), \quad \mathfrak{g}^{(2)}=\operatorname{span}(Y_1,Y_2), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [X_i,X_j]=\sum_{h=1}^2b_{ij}^{h} Y_h, \qquad i,j=1,\dots,k, \\ [X_i,Y_j]=[Y_1,Y_2]=0, \qquad i=1,\dots,k, \quad j=1,2, \\ L_h=(b_{ij}^{h}) \in \mathfrak{so}(k), \qquad h=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $G$ – связная односвязная группа Ли с алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Тогда на группе $G\cong \mathbb{R}^{k+2}$ существуют координаты $(x_1,\dots,x_k,y_1,y_2)$, в которых
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_i&=\frac{\partial}{\partial x_i}+ \frac{1}{2} \sum_{j,h}b_{ij}^{h}\,x_j\frac{\partial}{\partial y_h}\,,\qquad i=1,\dots,k, \\ Y_h&=\frac{\partial}{\partial y_h}\,, \qquad h=1,2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4.7.2. Постановка задачиРассмотрим субриманову задачу на $G$ с ортонормированным репером $(X_1,\dots,X_k)$. В координатах соответствующая задача оптимального управления имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\dot x_i=u_i, \qquad i=1,\dots,k, \\ &\dot y_h=\frac{1}{2} x^\top L_h u, \qquad h=1, 2, \\ &g=(x_1,\dots,x_k,y_1,y_2) \in G\cong \mathbb{R}^{k+2}, \qquad (u_1,\dots,u_k) \in \mathbb{R}^k, \\ &g(0)=\operatorname{Id}=(0,\dots,0), \qquad g(t_1)=g^1, \\ &\int_0^{t_1}\biggl(\,\sum_{i=1}^k u_i^2\biggr)^{1/2}\,dt \to \min\!. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Существование решений следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова. 4.7.3. Экстремальные управления и траекторииВ силу условия Гоха локально оптимальные анормальные траектории нормальны. Экстремальные управления, соответствующие натурально параметризованным нормальным траекториям, имеют вид
$$
\begin{equation*}
u(t)=e^{t(r_1L_1+r_2L_2)}\,u_0, \qquad \|u_0\|=1, \quad r_1,r_2 \in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
а сами эти траектории суть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x(t)&=\int_0^te^{s(r_1L_1+r_2L_2)}u_0\,ds, \\ y_i(t)&=\frac{1}{2} \int_0^t(x(s))^\top L_i u(s)\,ds, \qquad i=1, 2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4.7.4. Время разрезаТеорема 4.21. Натурально параметризованные геодезические, соответствующие начальному ковектору $\lambda_0=(u_0,r) \in S^{k-1} \times \mathbb{R}^2$, имеют время разреза где $\max\sigma(A)$ обозначает максимальный модуль собственного значения матрицы $A$. Вообще говоря, время разреза отлично от первого сопряженного времени. 4.7.5. Библиографические комментарииРезультаты этого раздела получены в работе [13]. 4.8. Субримановы $(\mathbf{d}\oplus\mathbf{s})$-задачиБудем говорить, что левоинвариантная субриманова структура $(\Delta,\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle)$ на группе Ли $G$ с алгеброй Ли $\mathfrak{g}$ является $(\mathbf{d}\oplus\mathbf{s})$-структурой, если выполнены следующие условия: (1) на группе Ли $G$ имеется биинвариантное (левоинвариантное и правоинвариантное) скалярное произведение $\widetilde{\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle}$; (2) $\mathfrak{g}=\mathbf{d} \oplus \mathbf{s}$; (3) $\Delta=\mathbf{d}$, $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle= \widetilde{\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle}\big|_{\mathbf{d}}$; (4) $\mathbf{s}=\mathbf{d}^{\perp}$, где ортогональность понимается в смысле $\widetilde{\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle}$; (5) $[\mathbf{s},\mathbf{s}] \subset \mathbf{s}$. Теорема 4.23. Геодезические субримановой $(\mathbf{d}\oplus\mathbf{s})$-структуры на группе Ли $G$, начинающиеся в точке $\operatorname{Id}$, суть произведения двух однопараметрических подгрупп: Частные случаи $(\mathbf{d}\oplus\mathbf{s})$-структур рассматриваются далее
4.8.1. Библиографические комментарииТеорема 4.23 была получена независимо А. А. Аграчевым [1] и Р. Брокеттом [32] (последняя работа базируется на предыдущей работе [30]). Затем этот результат интенсивно исследовался в [28], [29], [46]–[48], а также в [57; с. 200]. Его красивая геометрическая интерпретация получена в [18], [20], [21]. 4.9. Осесимметричная субриманова задача на группе $\operatorname{SU}(2)$4.9.1. Группа Ли и алгебра ЛиГруппа Ли $\operatorname{SU}(2)$ есть группа унитарных унимодулярных комплексных $(2\times 2)$-матриц:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SU}(2)=\biggl\{\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline \beta & \overline \alpha \end{pmatrix} \in \operatorname{GL}(2,\mathbb{C}) \Bigm| |\alpha|^2+|\beta|^2=1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта группа компактна, связна и односвязна. Группа Ли $\operatorname{SU}(2)$ диффеоморфна трехмерной сфере
$$
\begin{equation*}
S^3=\biggl\{\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^2 \Bigm| |\alpha|^2+|\beta|^2=1\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу диффеоморфизма
$$
\begin{equation*}
\Phi\colon \operatorname{SU}(2) \to S^3, \qquad \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline \beta & \overline \alpha \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому будем далее записывать элементы группы $\operatorname{SU}(2)$ как пары комплексных чисел $(\alpha,\beta)$. Алгебра Ли группы $\operatorname{SU}(2)$ есть алгебра косоэрмитовых бесследовых комплексных $(2\times 2)$-матриц:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{su}(2)=\biggl\{\begin{pmatrix} i\alpha & \beta \\ -\overline \beta & -i \alpha \end{pmatrix} \in \mathfrak{gl}(2, \mathbb{C}) \Bigm| \alpha \in \mathbb{R}, \, \beta \in \mathbb{C}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этой алгебре можно выбрать базис
$$
\begin{equation*}
p_1=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad p_2=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix},\quad k=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
с таблицей умножения Форма Киллинга для $\mathfrak{su}(2)$ есть $\operatorname{Kil}(X,Y)=4\operatorname{Tr}(XY)$, поэтому $\operatorname{Kil}(p_i,p_j)=-2\delta_{ij}$. Подпространства $\mathbf{k}=\mathbb{R}k$, $\mathbf{p}=\operatorname{span}(p_1,p_2)$ образуют картановское разложение для $\mathfrak{su}(2)$. Более того, $(p_1,p_2)$ есть ортонормированный репер для скалярного произведения $\langle \,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle= -\operatorname{Kil}(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)/2$, суженного на подпространство $\mathbf{p}$. 4.9.2. Субриманова $({\mathbf{k}}\oplus {\mathbf{p}})$-структураРассмотрим левоинвариантную субриманову структуру на $\operatorname{SU}(2)$ с ортонормированным репером
$$
\begin{equation*}
X_1(g)=L_{g*}p_1, \qquad X_2(g)=L_{g*}p_2,\qquad g \in \operatorname{SU}(2),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. распределение $\Delta_g=L_{g*}\mathbf{p}$ со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\langle v_1,v_2 \rangle_g=\langle L_{g^{-1}*}v_1,L_{g^{-1}*}v_2 \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Такая субриманова структура называется $(\mathbf{k}\oplus\mathbf{p})$-структурой. Эти структуры определяются следующим образом. Пусть $G$ есть простая группа Ли с алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Пусть $\mathfrak{g}=\mathbf{k}\oplus\mathbf{p}$ есть картановское разложение алгебры $\mathfrak{g}$:
$$
\begin{equation*}
[\mathbf{k},\mathbf{k}] \subset \mathbf{k}, \quad [\mathbf{p},\mathbf{p}] \subset \mathbf{k}, \quad [\mathbf{k},\mathbf{p}] \subset \mathbf{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим на $G$ распределение $\Delta_g=L_{g*}\mathbf{p}$ с метрикой
$$
\begin{equation*}
\langle v_1,v_2\rangle_g=\langle L_{g^{-1}*}v_1,L_{g^{-1}*}v_2\rangle,\qquad g \in G,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle= \alpha \operatorname{Kil}|_{\mathbf{p}} (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$, и $\alpha < 0$ (или $\alpha > 0$), если $G$ компактна (соответственно некомпактна). Тогда $(\Delta,\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle)$ называется субримановой $(\mathbf{k} \oplus \mathbf{p})$-структурой на $G$. Все субримановы $(\mathbf{k} \oplus\mathbf{p})$-структуры на $\operatorname{SU}(2)$ эквивалентны между собой. 4.9.3. Геодезические и симметрииЗадача трехмерная контактная, поэтому анормальные траектории постоянны. Введем линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы $h_i(\lambda)=\langle\lambda,X_i(g)\rangle$, $i=1,2,3$, $X_3=[X_1,X_2]$, и максимизированный нормальный гамильтониан принципа максимума Понтрягина $H=(h_1^2+h_2^2)/2$. Натурально параметризованные нормальные экстремали задаются точками цилиндра $C=\mathfrak{g}^* \cap \{H=1/2\}$:
$$
\begin{equation*}
\lambda=(h_1,h_2,h_3,\operatorname{Id}) \in C, \qquad h_1=\cos \theta, \quad h_2=\sin \theta, \quad h_3=c.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда экспоненциальное отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}\colon C \times \mathbb{R}_+ \to G, \qquad (\lambda,t) \mapsto g(t),
\end{equation*}
\notag
$$
имеет следующую параметризацию:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}(\lambda,t)=\operatorname{Exp}(\theta,c,t)= \exp\{(p_1\cos \theta+p_2\sin\theta)+ck)t\} \exp\{-ckt\}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha&=\frac{c\sin(ct/2)\sin(\sqrt{1+c^2}\,t/2)}{\sqrt{1+c^2}}+ \cos\biggl(\frac{ct}{2}\biggr)\cos\biggl(\sqrt{1+c^2}\,\frac{t}{2}\biggr) \\ &\qquad+i\biggl(\frac{c\cos(ct/2)\sin(\sqrt{1+c^2}\,t/2)}{\sqrt{1+c^2}}- \sin\biggl(\frac{ct}{2}\biggr)\cos\biggl(\sqrt{1+c^2}\, \frac{t}{2}\biggr)\biggr), \\ \beta&=\frac{\sin(\sqrt{1+c^2}\,t/2)}{\sqrt{1+c^2}} \biggl(\cos\biggl(\frac{ct}{2}+\theta\biggr)+ i\sin\biggl(\frac{ct}{2}+\theta\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Экспоненциальное отображение имеет следующие симметрии: (a) вращения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}(\theta,c,t)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i \theta} \end{pmatrix}\operatorname{Exp}(0,c,t);
\end{equation*}
\notag
$$
(b) центральную симметрию: если $\operatorname{Exp}(\theta,c,t)= \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\end{pmatrix}$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}(\theta, -c, t)=\begin{cases} \begin{pmatrix} \overline{\alpha} \\ e^{2i(\theta-\arg \beta)}\beta\end{pmatrix},&\text{если}\ \beta \ne 0, \\ \begin{pmatrix} \overline{\alpha} \\ 0 \end{pmatrix},&\text{если}\ \beta=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
4.9.4. Сопряженные точкиМомент времени $t > 0$ является сопряженным временем вдоль геодезической $g(t)=\operatorname{Exp}(\theta,c,t)$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\sin\biggl(\sqrt{1+c^2}\,\frac{t}{2}\biggr)\biggl(2\sin\biggl(\sqrt{1+c^2}\, \frac{t}{2}\biggr)-\sqrt{1+c^2}\,t\cos\biggl(\sqrt{1+c^2}\, \frac{t}{2}\biggr)\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $n$-е сопряженное время $t^n_{\rm conj}(\lambda)$ вдоль $g(t)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
t^{2m-1}_{\rm conj}(\lambda)=\frac{2 \pi m}{\sqrt{1+c^2}}\,, \qquad t^{2m}_{\rm conj}(\lambda)=\frac{2 x_m}{\sqrt{1+c^2}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{x_1,x_2,\dots\}$ суть упорядоченные по возрастанию положительные корни уравнения $x= \operatorname{tg} x$. Соответствующая $n$-я каустика
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Conj}^n=\{\operatorname{Exp}(\lambda,t) \mid t=t^n_{\rm conj}(\lambda), \ \lambda \in C\}
\end{equation*}
\notag
$$
есть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Conj}^{2m-1}&=e^{\mathbf{k}} \setminus \{\operatorname{Id}\}, \\ \operatorname{Conj}^{2m}&=\left\{\begin{pmatrix} \dfrac{c \sin x_m}{\sqrt{1+c^2}} e^{i(\pi/2-y_n)}+\cos x_n e^{-iy_n} \\ \dfrac{\sin x_n}{\sqrt{1+c^2}}\,e^{i\theta} \end{pmatrix}\biggm| c \in \mathbb{R}, \ \theta \in \mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z})\right\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $y_n=cx_n/\sqrt{1+c^2}$ . 4.9.5. Множество разрезаТопологически, $\operatorname{Cut}$ есть интервал (большая окружность $e^{\mathbf{k}}$ с выколотой точкой $\operatorname{Id}$). Так как множество разреза совпадает с первой каустикой, то геодезические одновременно теряют локальную и глобальную оптимальность (так же, как на группе Гейзенберга, см. раздел 4.1). 4.9.6. Субриманово расстояниеТеорема 4.25. Пусть $g=(\alpha,\beta) \in \operatorname{SU}(2)$, тогда субриманово расстояние $d_0(g)=d(g, \operatorname{Id})$ имеет следующее представление. (1) Если $\alpha=0$, то $d_0=\pi$. (2) Если $|\alpha|=1$, то $d_0=2 \sqrt{|\arg\alpha|(2\pi-|\arg\alpha|)}$ , где $\arg \alpha \in [-\pi,\pi]$. (3) Если $0 < |\alpha| < 1$ и $\operatorname{Re}\alpha=|\alpha| \sin(\pi|\alpha|/2)$, то $d_0=\pi \sqrt{1-|\alpha|^2}$ . (4) Если $0 < |\alpha| < 1$ и $\operatorname{Re} \alpha > |\alpha| \sin(\pi|\alpha|/2)$, то
$$
\begin{equation*}
d_0=\frac{2}{\sqrt{1+\beta^2}}\arcsin\sqrt{(1-|\alpha|^2)(1+\beta^2)} \in \biggl(0, \frac{\pi}{\sqrt{1+\beta^2}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta$ – единственное решение системы уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \cos\biggl(-\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}} \arcsin\sqrt{(1-|\alpha|^2)(1+\beta^2)}+ \arcsin\frac{\beta\sqrt{1-|\alpha|^2}}{|\alpha|}\,\biggr)&= \frac{\operatorname{Re}\alpha}{|\alpha|}\,, \\ \sin \biggl(-\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}} \arcsin\sqrt{(1-|\alpha|^2)(1+\beta^2)}+ \arcsin \frac{\beta\sqrt{1-|\alpha|^2}}{|\alpha|}\,\biggr)&= \frac{\operatorname{Im}\alpha}{|\alpha|}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(5) Если $0 < |\alpha| < 1$ и $\operatorname{Re}\alpha < |\alpha| \sin(\pi|\alpha|/2)$, то
$$
\begin{equation*}
d_0=\frac{2}{\sqrt{1+\beta^2}}\bigl(\pi- \arcsin\sqrt{(1-|\alpha|^2)(1+\beta^2)}\,\bigr) \in \biggl(\frac{\pi}{\sqrt{1+\beta^2}}\,,\frac{2\pi}{\sqrt{1+\beta^2}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta$ – единственное решение системы уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \cos\biggl(\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}}\bigl(\pi- \arcsin\sqrt{(1-|\alpha|^2)(1+\beta^2)}\,\bigr)+ \arcsin\frac{\beta\sqrt{1-|\alpha|^2}}{|\alpha|}\,\biggr)&= -\frac{\operatorname{Re}\alpha}{|\alpha|}\,, \\ \sin\biggl(\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}}\bigl(\pi- \arcsin\sqrt{(1-|\alpha|^2)(1+\beta^2)}\,\bigr)+ \arcsin \frac{\beta \sqrt{1-|\alpha|^2}}{|\alpha|}\,\biggr)&= \frac{\operatorname{Im}\alpha}{|\alpha|}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4.9.7. Геодезические со специальными граничными условиями Теорема 4.26. Если точка $g\in \operatorname{SU}(2)$ принадлежит интервалу Теорема 4.27. Если точка $g\in \operatorname{SU}(2)$ не принадлежит ни интервалу $A$, ни сфере $S^2=\{(\alpha,\beta) \in \operatorname{SU}(2) \mid \operatorname{Im}\alpha=0\}$, то существует конечное число геометрически разных геодезических, соединяющих $\operatorname{Id}$ и $g$. 4.9.8. Библиографические комментарииИзложение пп. 4.9.1–4.9.5 опирается на работу [29], п. 4.9.6 – на работу [18], п. 4.9.7 – на работу [36]. 4.10. Осесимметричная субриманова задача на группе $\operatorname{SO}(3)$4.10.1. Группа Ли и алгебра ЛиГруппа Ли $\operatorname{SO}(3)$ есть группа унимодулярных ортогональных вещественных $(3 \times 3)$-матриц
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SO}(3)=\{g \in \operatorname{GL}(3,\mathbb{R}) \mid g g^\top=\operatorname{Id}, \ \det g=1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта группа компактна, связна и неодносвязна: ее фундаментальная группа есть ${\mathbb Z}_2$. Алгебра Ли этой группы есть алгебра кососимметрических вещественных $(3 \times 3)$-матриц:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{so}(3)=\{X \in \mathfrak{gl}(3,\mathbb{R}) \mid X^\top=-X\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этой алгебре Ли можно выбрать базис: $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(3)=\operatorname{span}(p_1,p_2,k)$,
$$
\begin{equation}
p_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &-1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad p_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad k=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.49}
$$
с таблицей умножения $[p_1,p_2]=k$, $[p_2,k]=p_1$, $[k,p_1]=p_2$. Алгебры Ли $\mathfrak{so}(3)$ и $\mathfrak{su}(2)$ изоморфны, а группа Ли $\operatorname{SU}(2)$ есть односвязная накрывающая группы $\operatorname{SO}(3)$ (см. раздел 4.9). Двулистное накрытие $\Pi\colon \operatorname{SU}(2)\to \operatorname{SO}(3)$ можно задать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Pi \colon \begin{pmatrix} a+i b \\ c+i d \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} 1-2b^2-2 d^2 & 2 cd-2 ab & 2bc+2 ad \\ 2cd+2ab & 1-2b^2-2c^2 & 2bd+2ac \\ 2bc-2ad & 2bd-2ac & 1-2c^2-2d^2 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.50}
$$
Форма Киллинга в алгебре Ли $\mathfrak{so}(3)$ есть $\operatorname{Kil}(X,Y)=\operatorname{Tr}(XY)$, поэтому $\operatorname{Kil}(p_i,p_j)=-2\delta_{ij}$. Подпространства $\mathbf{k}=\mathbb{R} k$, $\mathbf{p}=\operatorname{span}(p_1,p_2)$ образуют картановское разложение алгебры Ли $\mathfrak{so}(3)$. Векторы $p_1$, $p_2$ образуют ортонормированный репер для скалярного произведения $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle= -\operatorname{Kil}(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)/2$, суженного на $\mathbf{p}$. 4.10.2. Субриманова $(\mathbf{k} \oplus \mathbf{p})$-структураРассмотрим левоинвариантную субриманову структуру на $\operatorname{SO}(3)$ с ортонормированным репером
$$
\begin{equation*}
X_1(g)=L_{g*}p_1,\quad X_2(g)=L_{g*}p_2, \qquad g \in \operatorname{SO}(3),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. распределение $\Delta_g=L_{g*} \mathbf{p}$ со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\langle v_1,v_2\rangle_g=\langle L_{g^{-1}*}v_1,L_{g^{-1}*}v_2\rangle;
\end{equation*}
\notag
$$
она является $(\mathbf{k} \oplus \mathbf{p})$-структурой на $\operatorname{SO}(3)$. 4.10.3. Геодезические и симметрииАнормальные траектории постоянны. Пусть $h_i(\lambda)=\langle\lambda,X_i(g)\rangle$, $i=1,2,3$, $X_3=[X_1,X_2]$, $H=(h_1^2+h_2^2)/2$ и $C=\mathfrak{g}^* \cap \{H=1/2\}$. Далее, пусть
$$
\begin{equation*}
\lambda=(h_1,h_2,h_3,\operatorname{Id}) \in C, \qquad h_1=\cos\theta, \quad h_2=\sin\theta, \quad h_3=c.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда экспоненциальное отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}\colon C \times \mathbb{R}_+ \to G, \quad (\lambda,t) \mapsto g(t),
\end{equation*}
\notag
$$
параметризуется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{Exp}(\lambda,t)=\operatorname{Exp}(\theta,c,t)= \exp\{(p_1\cos\theta+p_2\sin\theta+ck)t\}\exp\{-ckt\} \\ &=\begin{pmatrix} \begin{aligned} \, K_1 \cos(ct)&+K_2 \cos(2\theta+ct)\\ &+K_3 c\sin(ct) \end{aligned} & \begin{aligned} \, K_1\sin(ct)&+K_2\sin(2\theta+ct)\\ &-K_3 c\cos(ct) \end{aligned} & K_4\cos\theta+K_3\sin\theta \\ \begin{aligned} \, -K_1\sin(ct)&+K_2\sin(2\theta+ct)\\ &+K_3 c\cos(ct) \end{aligned} & \begin{aligned} \, K_1\cos(ct)&-K_2\cos(2\theta+ct)\\ &+K_3 c\sin(ct) \end{aligned} &-K_3\cos\theta+K_4\sin\theta \\ K_4\cos(\theta+ct)-K_3 \sin(\theta+ct) & K_3 \cos(\theta+ct)+K_4 \sin(\theta+ct) & \dfrac{\cos(\sqrt{1+c^2}\,t)+c^2}{1+c^2} \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_1&=\frac{1+(1+2c^2)\cos(\sqrt{1+c^2}\,t)}{2(1+c^2)}\,,&\qquad K_2&=\frac{1-\cos(\sqrt{1+c^2}\,t)}{2(1+c^2)}\,, \\ K_3&=\frac{\sin(\sqrt{1+c^2}\,t)}{\sqrt{1+c^2}}\,, &\qquad K_4&=\frac{c(1-\cos(\sqrt{1+c^2}\,t))}{1+c^2}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Семейство геодезических имеет симметрии, аналогичные случаю $\operatorname{SU}(2)$ (см. п. 4.9.3). 4.10.4. КаустикаКаустика (множество сопряженных точек) в $\operatorname{SO}(3)$ получается из случая $\operatorname{SU}(2)$ (п. 4.9.4) с помощью канонической проекции
$$
\begin{equation*}
\Pi\colon \operatorname{SU}(2) \to \operatorname{SO}(3)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (4.50)). Так же, как в случае $\operatorname{SU}(2)$, все геодезические в $\operatorname{SO}(3)$ имеют счетное число сопряженных точек. 4.10.5. Множество разреза Теорема 4.28. Множество разреза на $\operatorname{SO}(3)$ имеет стратификацию Топологически $\operatorname{Cut}^{\rm loc}$ есть интервал (окружность $e^{\mathbf{k}}$ с выколотой точкой $\operatorname{Id}$), а $\operatorname{Cut}^{\rm glob}$ есть проективная плоскость $\mathbb{R} P^2$. Начальная точка $\operatorname{Id}$ находится в замыкании локальной компоненты $\operatorname{Cut}^{\rm loc}$ и изолирована от глобальной компоненты $\operatorname{Cut}^{\rm glob}$. Эти компоненты пересекаются в единственной точке $e^{\pi k}$, поэтому $\operatorname{Cut}$ есть стратифицированное пространство. 4.10.6. РасстояниеТеорема 4.29. Пусть $(3\times 3)$-матрица $g=(g_{ij})$ принадлежит $\operatorname{SO}(3)$. Тогда субриманово расстояние $d_0(g)=d(\operatorname{Id},g)$ задается следующим образом. (1) Если $g_{33}=-1$, то $d_0=\pi$. (2) Если $g_{33}=1$ и $g \ne \operatorname{Id}$, то где $\beta$ – единственное решение системы уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \cos \frac{\pi\beta}{\sqrt{1+\beta^2}}&= -\frac{1}{2}\sqrt{1+g_{11}+g_{22}+g_{33}}\,, \\ \sin \frac{\pi\beta}{\sqrt{1+\beta^2}}&= \frac{1}{2}\operatorname{sign}(g_{21}-g_{12})\cdot\sqrt{1-g_{11}-g_{22}+g_{33}}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(3) Если $-1< g_{33} <-1$ и $\cos\bigl(\pi\sqrt{(1+g_{33})/2}\,\bigr)= -(g_{11}+g_{22})/(1+g_{33})$, то (4) Если $-1< g_{33} <-1$ и $\cos\bigl(\pi\sqrt{(1+g_{33})/2}\bigr)> -(g_{11}+g_{22})/(1+g_{33})$, то
$$
\begin{equation*}
d_0=\frac{2}{\sqrt{1+\beta^2}} \arcsin\sqrt{\frac{1}{2}(1-g_{33})(1+\beta^2)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta$ – единственное решение системы уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\cos\biggl(-\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}} \arcsin\sqrt{\frac{1}{2}(1-g_{33})(1+\beta^2)}+ \arcsin\biggl(\beta\sqrt{\frac{1-g_{33}}{1+g_{33}}}\biggr)\biggr) \\ &\qquad=\sqrt{\frac{1+g_{11}+g_{22}+g_{33}}{2(1+g_{33})}}\,, \\ &\sin\biggl(-\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}} \arcsin\sqrt{\frac{1}{2}(1-g_{33})(1+\beta^2)}+ \arcsin\biggl(\beta \sqrt{\frac{1-g_{33}}{1+g_{33}}}\biggr)\biggr) \\ &\qquad=\operatorname{sign}(g_{21}-g_{12})\cdot \sqrt{\frac{1-g_{11}-g_{22}+g_{33}}{2(1+g_{33})}}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(5) Если $-1< g_{33} <-1$ и $\cos\bigl(\pi \sqrt{(1+g_{33})/2}\,\bigr) <-(g_{11}+g_{22})/(1+ g_{33})$, то
$$
\begin{equation*}
d_0=\frac{2}{\sqrt{1+\beta^2}} \biggl(\pi-\arcsin\sqrt{\frac{1}{2}(1-g_{33})(1+\beta^2)}\,\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta$ – единственное решение системы уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\cos\biggl(\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}} \biggl(\pi-\arcsin\sqrt{\frac{1}{2}(1-g_{33})(1+\beta^2)}\,\biggr)+ \arcsin\biggl(\beta\sqrt{\frac{1-g_{33}}{1+ g_{33}}}\,\biggr)\biggr) \\ &\qquad=-\sqrt{\frac{1+g_{11}+g_{22}+g_{33}}{2(1+g_{33})}}\,, \\ &\sin\biggl(\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}} \biggl(\pi-\arcsin\sqrt{\frac{1}{2} (1-g_{33})(1+\beta^2)}\,\biggr)+ \arcsin\biggl(\beta\sqrt{\frac{1-g_{33}}{1+ g_{33}}}\,\biggr)\biggr) \\ &\qquad=\operatorname{sign}(g_{21}-g_{12})\cdot \sqrt{\frac{1-g_{11}-g_{22}+g_{33}}{2(1+g_{33})}}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4.10.7. СферыРассмотрим другую модель группы $\operatorname{SO}(3)$. Пусть $M_1$ – ориентированная двумерная сфера гауссовой кривизны 1, заданная в объемлющем пространстве $\mathbb{R}^3$ равенством $x^2+y^2+z^2=1$; риманова метрика $d_R$ на $M_1$ индуцирована евклидовой метрикой на $\mathbb{R}^3$; ориентация сферы $M_1$ задана ее внешней нормалью. Пусть $V_1$ есть расслоение единичных касательных векторов к $M_1$. Пусть распределение $\Delta$ на $V_1$ есть горизонтальное распределение связности Леви-Чивиты, а расстояние на $V_1$ определяется как где инфимум берется по всем кривым в $M_1$, горизонтальные лифты которых в $V_1$ соединяют $x$ и $y$. Здесь $d_R(l)$ есть длина кривой $l$ в метрике $d_R$.Многообразие $V_1$ с метрикой $d$ изометрично группе $\operatorname{SO}(3)$ с субримановой $(\mathbf{k} \oplus \mathbf{p})$-структурой, определенной в п. 4.10.2. Введем в $V_1$ систему координат $\{(r,\alpha,\beta) \mid r \geqslant 0, \ -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,\ -\pi \leqslant \beta \leqslant \pi\}$ с началом в некотором элементе $v_O \in V_1$. Тогда точка $A \in M_1$ имеет декартовы координаты $(\cos\beta\sin r,\sin\beta\sin r,\cos r)$, а вектор $v_A \in V_1$ имеет декартовы компоненты
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(\cos r \cos \beta \cos(\alpha-\beta)-\sin \beta \sin(\alpha-\beta), \\ &\qquad\cos r\sin\beta\cos(\alpha-\beta)+ \cos\beta\sin(\alpha-\beta),-\sin r\cos(\alpha-\beta)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому координатное отображение
$$
\begin{equation*}
f\colon \{(r,\alpha,\beta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \pi, \ -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi, \ -\pi \leqslant \beta \leqslant \pi\} \to V_1
\end{equation*}
\notag
$$
можно продолжить по непрерывности до отображения $g$ с включением случая $r=\pi$. В этом случае точка $A$ имеет декартовы координаты $(0,0,-1)$, вектор $v_A$ – декартовы компоненты $(-\cos(\alpha-2\beta),\sin(\alpha-2\beta),0)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
g\colon \{(r,\alpha,\beta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \pi, \ -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi, \ -\pi \leqslant \beta \leqslant \pi\} \to V_1
\end{equation*}
\notag
$$
есть отображение отождествления замкнутого полнотория на пространство $V_1$. При этом кривая $\beta=\alpha/2+c$, $c \in \mathbb{R}$, на граничном торе $\mathbb{T}^2$ переходит под действием отображения $g$ в один элемент пространства $V_1$. Теорема 4.30. Диаметр пространства $V_1$ с метрикой $d$ равен $\sqrt 3\,\pi$. Введем в $V_1$ систему координат $\{r,\alpha,\beta\}$ с началом в некотором элементе $v_O$. В этой системе координат сфера с центром $v_O$ радиуса $\sqrt 3\,\pi$ есть точка $(0,\pi,0)$. Сфера с центром $v_O$ радиуса $0 < R < \sqrt 3\,\pi$ – поверхность вращения вокруг оси $\alpha$ той части кривой $S_R$, определяемой параметрическими уравнениями $r=\pm r(t)$, $\alpha=\pm \alpha(t)$, $1 \leqslant t \leqslant 2\pi/R$, которая расположена в полосе $-\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi$ на плоскости $\beta=0$, причем (1) если $0 < R < \pi$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r(t)&=2 \arcsin\biggl(\frac{1}{t}\sin\frac{Rt}{2}\biggr), \qquad 1 \leqslant t \leqslant \frac{2\pi}{R}\,, \\ \alpha(t)&=\begin{cases} 2\biggl|\dfrac{R}{2}\sqrt{t^2-1}- \arcsin\dfrac{\sqrt{t^2-1}\,\sin(Rt/2)}{\sqrt{t^2-\sin^2(Rt/2)}}\,\biggr|, & \textit{если}\ 1 \leqslant t < \dfrac{\pi}{R}\,, \\ 2\biggl(\pi-\dfrac{R}{2}\sqrt{t^2-1}- \arcsin\dfrac{\sqrt{t^2-1}\,\sin(Rt/2)}{\sqrt{t^2-\sin^2(Rt/2)}}\,\biggr), & \textit{если}\ \dfrac{\pi}{R} \leqslant t < \dfrac{2\pi}{R}\,; \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(2) если $\pi \leqslant R < \sqrt 3\,\pi$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} r(t)&=2\arcsin\biggl(\frac{1}{t}\sin\frac{Rt}{2}\biggr), &&\qquad 1 \leqslant t \leqslant \frac{2\pi}{R}\,, \\ \alpha(t)&=2 \biggl(\pi-\frac{R}{2}\sqrt{t^2-1}- \arcsin\frac{\sqrt{t^2-1}\,\sin(Rt/2)}{\sqrt{t^2-\sin^2(Rt/2)}}\biggr), &&\qquad 1 \leqslant t < \dfrac{\pi}{R}\,. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
При $R=\pi$ значение $\alpha(1)$ определяется по непрерывности и равно $\pi$. Сферы пространства $V_1$ радиуса $R \in (0,\sqrt 3\,\pi)$, $R \ne \pi$, гомеоморфны $S^2$. Сфера радиуса $R=\pi$ гомеоморфна сфере $S^2$, у которой диаметрально противоположные точки отождествлены. Сфера радиуса $R=\sqrt 3\,\pi$ есть точка. При $R \in (0,\pi)$ сфера имеет две конические особенности. Сфера радиуса $R=\pi$ диффеоморфна двум пересекающимся по окружности одинарным конусам, направленным в разные стороны, на общей окружности которых отождествлены диаметрально противоположные точки. Сфера радиуса $R \in (\pi,\sqrt 3\,\pi)$ диффеоморфна двум пересекающимся по окружности одинарным конусам, направленным в разные стороны. 4.10.8. Библиографические комментарииПункты 4.10.3, 4.10.5 опираются на статью [29], а пункты 4.10.6 и 4.10.7 – на статьи [18] и [19] соответственно. Рассматриваемой субримановой задаче на $\operatorname{SO}(3)$ посвящена также работа [20]. Насколько нам известно, впервые геодезические и сферы для осесимметричной субримановой задачи на $\operatorname{SO}(3)$ были описаны в [41], [87]. 4.11. Осесимметричная субриманова задача на группе $\operatorname{SL}(2)$4.11.1. Группа Ли и алгебра ЛиГруппа Ли $\operatorname{SL}(2)$ есть группа унимодулярных вещественных $(2\times 2)$-матриц:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SL}(2)=\{g \in \operatorname{GL}(2,\mathbb{R}) \mid \det g=1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта группа некомпактна, связна и неодносвязна: ее фундаментальная группа есть ${\mathbb Z}$. Алгебра Ли группы Ли $G=\operatorname{SL}(2)$ есть алгебра бесследовых вещественных $(2 \times 2)$-матриц:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{sl}(2)= \{X \in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}) \mid \operatorname{Tr} X=0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Матрицы
$$
\begin{equation}
p_1=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\quad p_2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad k=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{4.51}
$$
образуют базис в алгебре Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2)$ с таблицей умножения Форма Киллинга для $\mathfrak{sl}(2)$ есть $\operatorname{Kil}(X,Y)=4\operatorname{Tr}(XY)$, поэтому $\operatorname{Kil}(p_i,p_j)=2\delta_{ij}$. Подпространства
$$
\begin{equation*}
\mathbf{k}=\mathbb{R} k, \quad \mathbf{p}=\operatorname{span}(p_1,p_2)
\end{equation*}
\notag
$$
образуют картановское разложение в $\mathfrak{sl}(2)$; оно единственно, так как $\mathbf{k}$ должно быть максимальной компактной подалгеброй. Векторы $p_1$, $p_2$ образуют ортонормированный репер для скалярного произведения $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle= \operatorname{Kil}(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)/2$, суженного на $\mathbf{p}$. 4.11.2. Субриманова $(\mathbf{k} \oplus \mathbf{p})$-структураРассмотрим левоинвариантную субриманову структуру на $\operatorname{SL}(2)$ с ортонормированным репером
$$
\begin{equation*}
X_1(g)=L_{g*}p_1, \quad X_2(g)=L_{g*}p_2, \qquad g \in \operatorname{SL}(2),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. распределение $\Delta_g=L_{g*} \mathbf{p}$ со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\langle v_1,v_2\rangle_g=\langle L_{g^{-1}*} v_1,L_{g^{-1}*}v_2\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта структура есть $(\mathbf{k}\oplus\mathbf{p})$-структура на $\operatorname{SL}(2)$. 4.11.3. Геодезические и симметрииАнормальные траектории постоянны. Пусть $h_i(\lambda)=\langle\lambda,X_i(g)\rangle$, $i=1,2,3$, $X_3=[X_1,X_2]$, $H=(h_1^2+h_2^2)/2$ и $C=\mathfrak{g}^* \cap \{H=1/2\}$. Далее, пусть
$$
\begin{equation*}
\lambda=(h_1,h_2,h_3,\operatorname{Id}) \in C,\qquad h_1=\cos \theta, \quad h_2=\sin \theta, \quad h_3=c.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда экспоненциальное отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}\colon C \times \mathbb{R}_+ \to G, \quad (\lambda,t) \mapsto g(t),
\end{equation*}
\notag
$$
параметризуется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Exp}(\lambda,t)&=\operatorname{Exp}(\theta,c,t)= \exp\{(p_1\cos\theta+p_2\sin\theta+c k)t\} \exp\{- c k t\} \\ &=\begin{pmatrix} E_{11} & E_{12} \\ E_{21} & E_{22} \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_{11}&=K_1\cos\biggl(c\frac{t}{2}\biggr)+ K_2\biggl(\cos\biggl(\theta+c \frac{t}{2}\biggr)+ c\sin\biggl(c\frac{t}{2}\biggr)\biggr), \\ E_{12}&=K_1\sin\biggl(c\frac{t}{2}\biggr)+ K_2\biggl(\sin\biggl(\theta+c\frac{t}{2}\biggr)- c\cos\biggl(c\frac{t}{2}\biggr)\biggr), \\ E_{21}&=-K_1\sin\biggl(c\frac{t}{2}\biggr)+ K_2\biggl(\sin\biggl(\theta+c\frac{t}{2}\biggr)+ c\cos\biggl(c\frac{t}{2}\biggr)\biggr), \\ E_{22}&=K_1\cos\biggl(c\frac{t}{2}\biggr)+ K_2\biggl(-\cos\biggl(\theta+c\frac{t}{2}\biggr)+ c\sin\biggl(c\frac{t}{2}\biggr)\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_1&=\begin{cases} \operatorname{ch} \biggl(\sqrt{1-c^2}\,\dfrac{t}{2}\biggr) &\text{при}\ c \in [-1,1], \\ \cos\biggl(\sqrt{c^2-1}\,\dfrac{t}{2}\biggr) &\text{при}\ c \in (-\infty,-1) \cup (1,+\infty), \end{cases} \\ K_2&=\begin{cases} \operatorname{sh} \biggl(\sqrt{1-c^2}\dfrac{t}{2}\biggr) &\text{при}\ c \in (-1,1), \\ \dfrac{t}{2} &\text{при}\ c \in \{-1,1\}, \\ \dfrac{\sin\bigl(\sqrt{c^2-1}\,t/2\bigr)}{\sqrt{c^2-1}} &\text{при}\ c \in (-\infty,-1) \cup (1,+\infty). \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Семейство геодезических имеет следующие симметрии: (a) вращения $\operatorname{Exp}(\theta,c,t)=e^{z_0 k}e^{x p_1+y p_2}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
а $(x_0,y_0,z_0)$ определяются условием $\operatorname{Exp}(0,c,t)=e^{z_0 k}e^{x_0 p_1+y_0 p_2}$; (b) отражения $\operatorname{Exp}(\theta,-c,t)=e^{-z_0 k}e^{x p_1+y p_2}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\ \sin(2\theta) &-\cos(2\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
а $(x_0,y_0,z_0)$ определяются условием $\operatorname{Exp}(\theta c,t)=e^{z_0 k}e^{x_0 p_1+y_0 p_2}$. 4.11.4. Сопряженные точкиГеодезические $\operatorname{Exp}(\theta,c,t)$, $|c| \leqslant 1$, не содержат сопряженных точек. Если $|c| > 1$, то сопряженные времена вдоль геодезической $\operatorname{Exp}(\theta,c,t)$ следующие:
$$
\begin{equation*}
t_{2n-1}=\frac{2 \pi n}{\sqrt{c^2-1}}\,, \quad t_{2n }=\frac{2 x_n}{\sqrt{c^2-1}}\,, \qquad n \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{x_1,x_2,\dots\}$ суть упорядоченные по возрастанию положительные корни уравнения $x= \operatorname{tg} x$. Соответствующая $m$-я каустика
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Conj}^m=\{\operatorname{Exp}(\lambda,t) \mid t=t^m_{\rm conj}(\lambda), \ \lambda \in C\}
\end{equation*}
\notag
$$
есть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{Conj}^{2n-1}=e^{\mathbf{k}} \setminus \{\operatorname{Id}\}, \\ &\operatorname{Conj}^{2n}=\biggl\{\begin{pmatrix} C_{11}(c,\theta) & C_{12}(c,\theta) \\ C_{21}(c,\theta) & C_{22}(c,\theta) \end{pmatrix}\biggm| c \in \mathbb{R}, \ \theta \in \mathbb{R}/(2\pi{\mathbb Z})\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_{11}(c,\theta)&=\cos x_n \cos y_n+ \frac{\sin x_n}{\sqrt{c^2-1}}(\cos \theta+c \sin y_n), \\ C_{12}(c,\theta)&=\cos x_n \sin y_n+ \frac{\sin x_n}{\sqrt{c^2-1}}(\sin \theta-c \cos y_n), \\ C_{21}(c,\theta)&=-\cos x_n \sin y_n+ \frac{\sin x_n}{\sqrt{c^2-1}}(\sin \theta+c \cos y_n), \\ C_{22}(c,\theta)&=\cos x_n \cos y_n+ \frac{\sin x_n}{\sqrt{c^2-1}}(-\cos \theta+c \sin y_n) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $y_n=c x_n/\sqrt{c^2-1}$ . 4.11.5. Множество разреза Теорема 4.31. Множество разреза есть стратифицированное пространство Топологически $\operatorname{Cut}^{\rm loc}$ есть интервал (окружность $e^{\mathbf{k}}$ с выколотой точкой $\operatorname{Id}$), а $\operatorname{Cut}^{\rm glob}$ есть плоскость $\mathbb{R}^2$. 4.11.6. Геодезическая орбитальностьТеорема 4.32. Группа $\operatorname{SL}(2)$ с рассматриваемой субримановой структурой геодезически орбитальна. 4.11.7. Время разрезаПусть $\lambda=(\theta,c)\in C$. Опишем время разреза $t_{\rm cut}(\lambda)$ вдоль соответствующей геодезической. Теорема 4.33. Пусть $c \ne 0$, тогда число $T=t_{\rm cut}(\theta,c) \in (0,+\infty)$ выражается следующим образом. (1) Если $|c| \geqslant 2/\sqrt 3$ , то (2) Если $|c|=1$, то $T$ принадлежит интервалу $(2\pi,3\pi)$ и удовлетворяет системе уравнений
$$
\begin{equation*}
\cos\frac{T}{2}=-\frac{1}{\sqrt{1+T^2/4}}\,, \qquad \sin\frac{T}{2}=-\frac{T/2}{\sqrt{1+T^2/4}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
(3) Если $c^2 < 1$, то $T$ принадлежит интервалу $(2\pi/|c|,3\pi/|c|)$ и удовлетворяет системе уравнений
$$
\begin{equation*}
\cos(kx)=-\frac{1}{\sqrt{1+k^2 \operatorname{th} ^2x}}\,, \qquad \sin(kx)=-\frac{k \operatorname{th} x}{\sqrt{1+k^2 \operatorname{th} ^2x}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
k=\frac{|c|}{\sqrt{1-c^2}}\,, \qquad x=\frac{T\sqrt{1-c^2}}{2}=\frac{T}{2\sqrt{1+k^2}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
(4) Если $|c|=3/(2\sqrt 2\,)$, то $T=2\sqrt 2\,\pi$. (5) Если $3/(2\sqrt 2) < |c| < 2/\sqrt 3$ , то
$$
\begin{equation*}
\frac{3\pi}{|c|}<T<2\pi\bigl(|c|+\sqrt{c^2-1}\,\bigr) < \frac{4\pi}{|c|}
\end{equation*}
\notag
$$
и $T$ удовлетворяет системе уравнений
$$
\begin{equation*}
\cos(kx)=\frac{1}{\sqrt{1+k^2 \operatorname{tg} ^2x}}\,, \qquad \sin(kx)=\frac{k \operatorname{tg} x}{\sqrt{1+k^2 \operatorname{tg} ^2x}} < 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
k=\frac{|c|}{\sqrt{c^2-1}}\,, \qquad x=\frac{T \sqrt{1-c^2}}{2}=\frac{T}{2 \sqrt{k^2-1}}\,.
\end{equation}
\tag{4.52}
$$
(6) Если $1 < |c| < 3/(2\sqrt 2\,)$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{2\pi}{|c|}<2\pi\bigl(|c|+\sqrt{c^2-1}\,\bigr)<T<\frac{3\pi}{|c|}
\end{equation*}
\notag
$$
и $T$ удовлетворяет системе уравнений
$$
\begin{equation*}
\cos(kx)=-\frac{1}{\sqrt{1+k^2 \operatorname{tg} ^2x}}\,, \qquad \sin(kx)=-\frac{k \operatorname{tg} x}{\sqrt{1+k^2 \operatorname{tg} ^2x}} < 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $k$ и $x$ определяются формулами (4.52). В следующей теореме описаны свойства монотонности и регулярности времени разреза. Теорема 4.34. Функция $T(c)=t_{\rm cut}(\theta,c)$ имеет следующие свойства: (1) $T(c)$ строго убывает на промежутках $(0,3/(2\sqrt 2\,)]$, $[2/\sqrt 3\,,+\infty)$ и строго возрастает на отрезке $[3/(2\sqrt 2\,),2/\sqrt 3\,]$; (2) $T(c)$ непрерывна, кусочно вещественно аналитична и (3) $T(c)$ имеет локальный минимум $2\sqrt 2\,\pi$ при $c=3/(2\sqrt 2\,)$ и локальный максимум $2\sqrt 3\,\pi$ при $c=2/\sqrt 3$ . 4.11.8. Библиографические комментарииПункты 4.11.2–4.11.5 опираются на статью [29], а пункты 4.11.6–4.11.7 – на работу [21]. Рассматриваемой субримановой задаче на $\operatorname{SL}(2)$ частично посвящена также работа [19]. См. также [16], [17], [22]–[24]. В работе [86] описаны динамические свойства геодезического потока для рассматриваемой в данном разделе субримановой структуры на $\operatorname{SL}(2)$. 4.12. Осесимметричные римановы задачи на группах $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$ и $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$4.12.1. Постановка задачи на $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$Пусть $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$ есть группа вещественных $(2\times 2)$-матриц с единичным определителем и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})= \operatorname{SL}(2;\mathbb{R})/ \{\pm\operatorname{Id}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим группу Ли $G=\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$ и ее алгебру Ли $\mathfrak{g}=\operatorname{sl}(2;\mathbb{R})$. Рассмотрим левоинвариантную риманову структуру на группе Ли $G$, она задается квадратичной формой на $\mathfrak{g}$ с собственными значениями $I_1$, $I_2$, $I_3 > 0$. Выберем базис $e_1,e_2,e_3 \in \mathfrak{g}$, в котором форма Киллинга и риманова метрика имеют матрицы $\operatorname{diag}(1,1,-1)$ и $\operatorname{diag}(I_1,I_2,I_3)$ соответственно. Отождествим $\mathfrak{g}$ с $\mathfrak{g}^*$ с помощью формы Киллинга, тогда базис $e_1,e_2,e_3 \in \mathfrak{g}$ перейдет в базис $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3 \in \mathfrak{g}^*$. Пусть $p=p_1 \varepsilon_1+p_2\varepsilon_2+p_3\varepsilon_3 \in\mathfrak{g}^*$. Введем обозначения:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Kil}(p)=p_1^2+p_2^2-p_3^2, \qquad |p|=\sqrt{|\operatorname{Kil}(p)|}\,, \qquad \operatorname{type}(p)=\operatorname{sign}(-\operatorname{Kil}(p));
\end{equation*}
\notag
$$
иначе говоря, $\operatorname{Kil}(p)$ есть значение квадратичной формы Киллинга на ковекторе $p$. Этот ковектор называется времениподобным, светоподобным или пространственноподобным, если $\operatorname{type}(p)$ равно 1, 0 или $-1$ соответственно. Римановы кратчайшие суть решения задачи оптимального управления
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{Q}=Q \Omega, \qquad Q \in G, \quad \Omega=u_1 e_1+u_2 e_2+u_3 e_3 \in \mathfrak{g}, \quad (u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3, \\ Q(0)=\operatorname{Id}, \qquad Q(t_1)=Q_1, \\ \frac{1}{2}\int_0^{t_1}(I_1 u_1^2+I_2 u_2^2+I_3 u_3^2)\,dt \to \min\!. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.53}
$$
Далее рассматривается случай осесимметричной метрики: $I_1=I_2$. Обозначим через параметр римановой метрики, измеряющий вытянутость малых сфер. Для $p \in \mathfrak{g}^*$, $|p| \ne 0$, введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\overline{p}=\frac{p}{|p|}\,, \quad \tau(p)=\frac{t |p|}{2 I_1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $R_{v,\varphi}$ обозначим поворот трехмерного ориентированного евклидова пространства вокруг оси $\mathbb{R}v$ на угол $\varphi$ в положительном направлении. 4.12.2. Геодезические на $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$Натурально параметризованные геодезические соответствуют начальным импульсам
$$
\begin{equation*}
p \in C=\mathfrak{g}^* \cap \biggl\{H=\frac{1}{2}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
H(p)=\frac{1}{2}\biggl(\frac{p_1^2}{I_1}+\frac{p_2^2}{I_2}+ \frac{p_3^2}{I_3}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
есть максимизированный гамильтониан принципа максимума Понтрягина. Теорема 4.35. Геодезическая $Q(t)$, начинающаяся в единице и имеющая начальный импульс $p \in C$, есть произведение двух однопараметрических групп: Форма Киллинга есть функция Казимира на $\mathfrak{g}^*$. Поэтому вдоль экстремалей $\operatorname{type}(p) \equiv \operatorname{const}$, т. е. тип ковектора есть интеграл гамильтоновой системы. 4.12.3. Модель группы $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$Рассмотрим группу $\operatorname{SU}(1,1)$, реализованную как группа сплит-кватернионов единичной длины:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SU}(1,1)=\{q_0+q_1 i+q_2 j+q_3 k \mid q_0^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2=1, \ q_0, q_1, q_2, q_3 \in \mathbb{R}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножение сплит-кватернионов дистрибутивно и удовлетворяет соотношениям
$$
\begin{equation*}
i^2=j^2=1, \quad k^2=-1, \quad ij=-k, \quad jk=i, \quad ki=j.
\end{equation*}
\notag
$$
Существует изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\psi\colon\operatorname{SL}(2;\mathbb{R}) \to \operatorname{SU}(1,1),\quad \psi\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\frac{a+d}{2}+\frac{a-d}{2}i+\frac{b+c}{2}j+\frac{c-b}{2}k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $ad-bc=1$. Рассмотрим проекцию группы $\operatorname{SU}(1,1)$ на трехмерное вещественное пространство с координатами $q_1$, $q_2$, $q_3$. Условие означает, что образ группы $\operatorname{SU}(1,1)$ есть область между двумя полостями гиперболоида $q_3^2-q_1^2-q_2^2=1$. Для фиксированных $q_1$, $q_2$, $q_3$ (таких, что $q_3^2-q_1^2-q_2^2 \ne 1$) значение $q_0$ можно выбрать двумя разными способами. Поэтому группа $\operatorname{SU}(1,1)$ есть объединение двух таких областей с отождествленными граничными точками (соответствующими условию $q_0=0$). Группа $\operatorname{SU}(1,1)$ гомеоморфна открытому полноторию.Группу $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R}) \cong \operatorname{SU}(1,1) / \{\pm \operatorname{Id}\}$ можно представить как область между полостями гиперболоида с отождествленными противоположными точками на полостях гиперболоида: $(q_1,q_2,q_3) \sim (-q_1,-q_2,-q_3)$. 4.12.4. Геодезические на $\operatorname{SU}(1,1)$Рассмотрим левоинвариантную риманову задачу на группе $\operatorname{SU}(1,1)$, являющуюся лифтом задачи (4.53) на $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$. Теорема 4.36. Геодезические на группе $\operatorname{SU}(1,1)$, выходящие из единицы с начальным ковектором $p=p_1\dfrac{i}{2}+p_2\dfrac{j}{2}+p_3\dfrac{k}{2} \in C$, имеют следующую параметризацию: (1) для времениподобного ковектора $p$ ($p_3^2-p_1^2-p_2^2 > 0$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_0^{\rm e}(\tau)&=\cos\tau\cos(\tau\eta\overline{p}_3)- \overline{p}_3\sin\tau\sin(\tau \eta \overline{p}_3), \\ \begin{pmatrix} q_1^{\rm e}(\tau) \\ q_2^{\rm e}(\tau) \end{pmatrix}&=\sin\tau\,R_{e_3,-\tau\eta\overline{p}_3} \begin{pmatrix} \overline{p}_1 \\ \overline{p}_2 \end{pmatrix}, \\ q_3^{\rm e}(\tau)&=\cos{\tau}\sin{(\tau \eta \overline{p}_3)}+ \overline{p}_3\sin{\tau} \cos{(\tau \eta \overline{p}_3)}; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.54}
$$
(2) для светоподобного ковектора $p$ ($p_3^2-p_1^2-p_2^2=0$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_0^{\rm p}(t)&=\cos{\frac{t\eta p_3}{2 I_1}}- \frac{t}{2 I_1} p_3 \sin{\frac{t \eta p_3}{2 I_1}}\,, \\ \begin{pmatrix} q_1^{\rm p}(t) \\ q_2^{\rm p}(t) \end{pmatrix}&=\frac{t}{2I_1}R_{e_3,-t\eta p_3/(2 I_1)} \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}, \\ q_3^{\rm p}(t)&=\sin{\frac{t \eta p_3}{2 I_1}}+ \frac{t}{2 I_1}p_3 \cos{\frac{t \eta p_3}{2 I_1}}\,; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.55}
$$
(3) для пространственноподобного ковектора $p$ ($p_3^2-p_1^2-p_2^2 < 0$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_0^{\rm h}(\tau)&= \operatorname{ch} {\tau}\cos{(\tau\eta\overline{p}_3)}- \overline{p}_3 \operatorname{sh} {\tau} \sin(\tau \eta \overline{p}_3), \\ \begin{pmatrix} q_1^{\rm h}(\tau) \\ q_2^{\rm h}(\tau) \end{pmatrix}&= \operatorname{sh} {\tau}\,R_{e_3,-\tau\eta\overline{p}_3}\begin{pmatrix} \overline{p}_1 \\ \overline{p}_2 \end{pmatrix}, \\ q_3^{\rm h}(\tau)&= \operatorname{ch} {\tau}\sin{(\tau\eta\overline{p}_3)}+ \overline{p}_3 \operatorname{sh} {\tau}\cos(\tau\eta\overline{p}_3). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.56}
$$
4.12.5. Сопряженные временаТеорема 4.37. Рассмотрим геодезическую на $G=\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$ или $G=\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$, начинающуюся в единице, с начальным ковектором $p \in C$. Для времениподобного начального импульса $p$ с $\overline{p}_3 \ne \pm 1$ есть две серии сопряженных времен:
$$
\begin{equation*}
t_{2k-1}=\frac{2 I_1 \pi k}{|p|}\,, \qquad t_{2k}=\frac{2 I_1 \tau_k(p)}{|p|}\,, \qquad k \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau_k(p)$ есть $k$-й положительный корень уравнения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tg} {\tau}=-\tau\eta\,\frac{1-\overline{p}_3^2}{1+\eta\overline{p}_3^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $p_3=\pm 1$ эти две серии сливаются в одну серию:
$$
\begin{equation*}
t_k=\frac{2 I_1 \pi k}{|p|}\,, \qquad k \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для свето- и пространственноподобных начальных ковекторов $p$ соответствующие геодезические не имеют сопряженных точек. 4.12.6. Время разреза и множество разрезаВведем обозначения для первых положительных нулей функций $q_0^{\rm e}(\tau)$, $q_0^{\rm p}(t)$, $q_0^{\rm h}(\tau)$ (см. (4.54)–(4.56)):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau^{\rm e}_0(\overline{p}_3)&=\min\{\tau \in \mathbb{R}_+ \mid q_0^{\rm e}(\tau,\overline{p}_3)=0\}, \\ t^{\rm p}_0(p)&=\min\{t \in \mathbb{R}_+ \mid q_0^{\rm p}(t,p)=0\}, \\ \tau^{\rm h}_0(\overline{p}_3)&=\min\{\tau \in \mathbb{R}_+ \mid q_0^{\rm h}(\tau,\overline{p}_3)=0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $C^{\rm e}$, $C^{\rm p}$, $C^{\rm h}$ времени-, свето- и пространственноподобные части поверхности уровня гамильтониана $C$. Теорема 4.38. (1) Если $\eta \leqslant -3/2$, то (2) Если $\eta >-3/2$, то
$$
\begin{equation*}
t_{\rm cut}(p)=\begin{cases} \dfrac{2 I_1 \tau^{\rm e}_0(\overline{p}_3)}{|p|} & \textit{при} \ p \in C^{\rm e}, \ |\overline{p}_3| > -\dfrac{3}{2\eta}\,, \\ \dfrac{2 I_1 \pi}{|p|} & \textit{при} \ p \in C^{\rm e}, \ |\overline{p}_3| \leqslant -\dfrac{3}{2\eta}\,, \\ t^{\rm p}_0(p_3) & \textit{при} \ p \in C^{\rm p}, \\ \dfrac{2 I_1 \tau^{\rm h}_0(\overline{p}_3)}{|p|} & \textit{при} \ p \in C^{\rm h}, \ \overline{p}_3 \ne 0, \\ +\infty & \textit{при} \ \overline{p}_3=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Группу $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$ можно интерпретировать как группу собственных движений плоскости Лобачевского. Теорема 4.39. (1) Если $\eta \leqslant-3/2$, то множество разреза есть плоскость, состоящая из центральных симметрий: где (2) Если $\eta >-3/2$, то множество разреза есть стратифицированное многообразие $Z\cup R_{\eta}$, где есть отрезок, состоящий из некоторых поворотов вокруг центра модели Пуанкаре гиперболической плоскости.4.12.7. Радиус инъективности Теорема 4.40. Радиус инъективности осесимметричной римановой метрики на группе $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$ равен 4.12.8. Осесимметричная левоинвариантная риманова задача на $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$Рассмотрим риманову задачу на группе $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$, являющуюся лифтом задачи (4.53) на $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$. Геодезические для задачи на $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$ задаются прежними формулами (4.54)–(4.56). Сопряженные времена для $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$ выражаются так же, как в п. 4.12.5. Время разреза и множество разреза для задачи на $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$ описываются следующим образом. Теорема 4.41. Пусть $p \in C$. Время разреза для соответствующей геодезической на $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$ есть Теорема 4.42. (1) Если $\eta \leqslant-3/2$, то множество разреза есть плоскость которая представляется плоскостью гиперболических изометрий, соответствующих пучкам ультрапараллельных прямых, симметричных в диаметрах модели Пуанкаре гиперболической плоскости. (2) Если $\eta >-3/2$, то множество разреза есть стратифицированное многообразие где есть отрезок, состоящий из некоторых поворотов вокруг центра модели Пуанкаре гиперболической плоскости.4.12.9. Связь с субримановой задачейПусть $G$ есть $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$ или $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$. Отождествим алгебру Ли $\mathfrak{g}$ с пространством чисто мнимых сплит-кватернионов и рассмотрим разложение где $\mathbf{k}=\mathbb{R} k$ и $\mathbf{p}=\mathbb{R}i \oplus \mathbb{R}j$.Рассмотрим левоинвариантное распределение $\Delta$ на $TG$, полученное левыми сдвигами подпространства $\mathbf{p} \subset \mathfrak{g}$. Снабдим распределение $\Delta$ левоинвариантной римановой структурой, полученной левыми сдвигами из формы Киллинга. Полученная субриманова структура есть субриманова $(\mathbf{k} \oplus \mathbf{p})$-структура на группе $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$ или $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$ (см. раздел 4.11). Теорема 4.43. Для указанной субримановой $(\mathbf{k} \oplus \mathbf{p})$-задачи на $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$ (или $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$) следующие объекты: (1) параметризация геодезических, (2) сопряженные времена, (3) каустика, (4) время разреза, (5) множество разреза получаются из тех же объектов для осесимметричной левоинвариантной римановой задачи на $\operatorname{PSL}(2;\mathbb{R})$ (соответственно $\operatorname{SL}(2;\mathbb{R})$) при переходе к пределу $I_3 \to \infty$. 4.12.10. Библиографические комментарииРезультаты этого раздела получены в работе [65]. См. также [64]. 4.13. Осесимметричные римановы задачи на группах $\operatorname{SO}(3)$ и $\operatorname{SU}(2)$4.13.1. Постановка задачи на $\operatorname{SO}(3)$Любая левоинвариантная риманова метрика на группе Ли $G=\operatorname{SO}(3)$ задается положительно определенной квадратичной формой $J$ на касательном пространстве $T_{\operatorname{Id}}\operatorname{SO}(3)=\mathfrak{so}(3)$. Пусть $e_1$, $e_2$, $e_3$ есть ортонормированный базис в алгебре Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(3)$ относительно формы Киллинга, в которой $J$ диагональна. Пусть $I_1$, $I_2$, $I_3$ суть соответствующие собственные значения $J$. Римановы кратчайшие для рассматриваемой метрики суть решения задачи оптимального управления
$$
\begin{equation}
\dot{Q}=Q \Omega, \qquad \Omega=u_1 e_1+u_2 e_2+u_3 e_3 \in \mathfrak{g},
\end{equation}
\tag{4.57}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\int_0^{t_1}(I_1 u_1^2+I_2 u_2^2+I_3 u_3^2)\,dt \to \min\!.
\end{equation}
\tag{4.60}
$$
Если существует треугольник со сторонами $I_1$, $I_2$, $I_3$, то задача имеет механическую интерпретацию: она описывает вращения твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции. Числа $I_1$, $I_2$, $I_3$ суть моменты инерции этого твердого тела. Существование римановых кратчайших следует из теоремы Филиппова. Далее рассматривается только случай Лагранжа $I_1=I_2$ (случай $I_1=I_2=I_3$ называется случаем Эйлера). 4.13.2. Параметризация экстремалей для группы $\operatorname{SO}(3)$Экстремали задачи (4.57)–(4.60) в случае Лагранжа имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q(t)&=R_{p,(t/I_1)|p|} R_{e_3,(t/I_1)\eta p_3}, \\ p(t)&=R_{e_3,-(t/I_1) \eta p_3} p, \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.61}
$$
где $p(0)=p_1 \varepsilon_1+p_2 \varepsilon_2+p_3 \varepsilon_3 \in \mathfrak{g}^*$, $\{\varepsilon_i\}$ есть базис в $\mathfrak{g}^*$, двойственный к $\{ e_i\}$ относительно формы Киллинга, $Q(0)=\operatorname{Id}$, а $R_{v,\varphi}$ обозначает поворот пространства $\mathbb{R}^3$ на угол $\varphi$ вокруг вектора $v \in \mathfrak{g}^*$ (направление поворота должно быть таким, чтобы для любого вектора $w \notin \operatorname{span}(v)$ репер $(w,R_{v,\varphi}w,v)$ был положительно ориентированным). Параметр задает сплюснутость твердого тела. Элементы группы $\operatorname{SO}(3)$ отождествляются с ортогональными преобразованиями коалгебры $\mathfrak{g}^*$ с помощью коприсоединенного представления.Представим геодезические с помощью кватернионов. Рассмотрим двулистное накрытие
$$
\begin{equation}
\Pi \colon \{q \in \mathbb{H} \mid |q|=1\} \simeq S^3 \to \operatorname{SO}(3).
\end{equation}
\tag{4.62}
$$
Любой кватернион единичной нормы может быть записан в виде
$$
\begin{equation*}
q=\cos \biggl(\frac{\varphi}{2}\biggr)+ \sin \biggl(\frac{\varphi}{2}\biggr)(a_1i+a_2j+a_3k),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R}$, $a_1^2+a_2^2+a_3^2=1$. По определению $\Pi(\pm q)=R_{a,\varphi}$ есть поворот на угол $\varphi$ вокруг вектора $a=a_1 e_1+a_2 e_2+a_3 e_3$. Пусть $\pm(q_0(\tau)+q_1(\tau) i+q_2(\tau)j+q_3(\tau )k) \in \mathbb{H}$ есть лифт на $S^3$ геодезической (4.61), где использовано новое время $\tau=\dfrac{t}{2I_1}|p|$. Будем рассматривать натурально параметризованные геодезические, это соответствует начальному ковектору $p \in C=\biggl\{ p \in \mathfrak{g}^* \Bigm| \dfrac{p_1^2}{I_1}+\dfrac{p_2^2}{I_2}+\dfrac{p_3^2}{I_3}=1\biggr\}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_0(\tau)&=\cos(\tau)\cos(\tau\eta\overline{p}_3)- \overline{p}_3 \sin (\tau) \sin (\tau \eta \overline{p}_3), \\ \begin{pmatrix} q_1(\tau) \\ q_2(\tau)\end{pmatrix}&= \sin(\tau) R_{e_3,-\tau\eta\overline{p}_3}\begin{pmatrix} \overline{p}_1\\ \overline{p}_2\end{pmatrix}, \\ q_3(\tau)&=\cos(\tau)\sin(\tau\eta\overline{p}_3)+ \overline{p}_3\sin(\tau)\cos(\tau\eta\overline{p}_3), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.63}
$$
где $\overline{p}=p/|p|$ и ограничение поворота $R_{e_3,\alpha}$ на плоскость $\operatorname{span}(e_1,e_2)$ обозначено тем же символом. 4.13.3. Сопряженное времяОбозначим через $t^1_{\rm conj}(p)$ первое сопряженное время для геодезической (4.61), соответствующей начальному ковектору $p=p_1\varepsilon_1+p_2\varepsilon_2+p_3\varepsilon_3 \in C$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\tau^1_{\rm conj}(p)=\frac{|p|}{2I_1}t^1_{\rm conj}(p).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4.44. (0) Функция $\tau^1_{\rm conj}$ зависит только от $\overline{p}_3\in[-1,1]$. (1) Если $\eta \in (-1,0]$, то $\tau^1_{\rm conj}(\overline{p}_3)=\pi$ для всех $\overline{p}_3 \in [-1,1]$. (2) Если $\eta > 0$, то $\tau^1_{\rm conj}(\overline{p}_3)$ есть первый положительный корень уравнения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tg} \tau=-\eta\,\frac{1-\overline{p}_3^2}{1+\eta\overline{p}_3^2}\,\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
причем выполняется включение $\tau^1_{\rm conj}(\overline{p}_3) \in (\pi/2,\pi]$. Равенство выполняется только при $\overline{p}_3=\pm 1$. (3) Функция $\tau^1_{\rm conj}\colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ гладкая и возрастающая. 4.13.4. Время разреза и множество разреза в $\operatorname{SO}(3)$Обозначим первые положительные корни уравнений $q_0(\tau)=0$ и $q_3(\tau)=0$ через $\tau_0(\overline{p}_3)$ и $\tau_3(\overline{p}_3)$ соответственно. Функции $\tau_0(\overline{p}_3)$ и $\tau_3(\overline{p}_3)$ зависят от параметра $\eta$. Если $\overline{p}_3=0$, то $q_3(\tau) \equiv 0$ и значение $\tau_3(0)$ не определено. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\tau_0\colon [-1,1] \to (0,+\infty],\qquad \tau_3\colon [-1,1] \setminus \{0\} \to (0,+\infty].
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $t_{\rm cut}(p)$ время разреза для геодезической, соответствующей начальному ковектору $p \in \mathfrak{g}^*$. Теорема 4.46. (1) Если $\eta \geqslant-1/2$, то множество разреза есть проективная плоскость центральных симметрий сферы: (2) Если $\eta <-1/2$, то множество разреза есть стратифицированное множество $P\cup L_{\eta}$, где есть отрезок, состоящий из некоторых вращений вокруг оси $e_3$, соответствующей собственному значению метрики, отличному от двух других.4.13.5. Диаметр группы $\operatorname{SO}(3)$ в случае Лагранжа Теорема 4.47. (1) Диаметр группы $\operatorname{SO}(3)$ в рассматриваемой римановой метрике равен (2) Множество точек, наиболее удаленных от единицы, есть 4.13.6. Осесимметричная риманова задача на $\operatorname{SU}(2)$Группа Ли $\operatorname{SU}(2)$ есть односвязная двулистная накрывающая группы $\operatorname{SO}(3)$ (см. (4.62)). Рассмотрим осесимметричную левоинвариантную риманову метрику на $\operatorname{SU}(2)$, являющуюся поднятием метрики на $\operatorname{SO}(3)$, рассмотренной в предыдущих пунктах. Геодезические для нее задаются формулами (4.63). Сопряженное время для задачи на $\operatorname{SU}(2)$ совпадает с сопряженным временем для задачи на $\operatorname{SO}(3)$ (см. п. 4.13.3). Теорема 4.48. Время разреза для задачи на $\operatorname{SU}(2)$ есть Теорема 4.49. Множество разреза для задачи на $\operatorname{SU}(2)$ есть: (1) отрезок
$$
\begin{equation*}
T_{\eta}:=\{-\cos(\pi\eta\overline{p}_3)-\sin (\pi \eta \overline{p}_3)k \in \mathbb{H} \mid \overline{p}_3 \in [-1,1]\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $-1 < \eta \leqslant 0$ (если $\eta=0$, то $T_{\eta}$ есть точка $\{-1\}$); (2) диск ограниченный окружностью из сопряженных точек при $\eta > 0$. Теорема 4.50. Диаметр группы $\operatorname{SU}(2)$ для левоинвариантной римановой метрики с собственными значениями $I_1=I_2$, $I_3 > 0$ равен 4.13.7. Связь с субримановой задачей на $\operatorname{SO}(3)$Рассмотрим наряду с осесимметричной левоинвариантной римановой задачей на группе $\operatorname{SO}(3)$ также левоинвариантную субриманову $(\mathbf{k} \oplus \mathbf{p})$-задачу на группе $\operatorname{SO}(3)$ (см. раздел 4.10). Теорема 4.51. Для осесимметричной левоинвариантной римановой задачи на $\operatorname{SO}(3)$ следующие объекты сходятся к соответствующим объектам левоинвариантной субримановой $(\mathbf{k} \oplus \mathbf{p})$-задачи при $I_3 \to \infty$: (1) параметризация геодезических, (2) сопряженное время, (3) первая каустика, (4) время разреза, (5) множество разреза. 4.13.8. Библиографические комментарииПараметризация геодезических левоинвариантной римановой метрики на $\operatorname{SO}(3)$ (п. 4.13.2) есть классический результат Л. Эйлера [50]. Первое сопряженное время для осесимметричной задачи на $\operatorname{SO}(3)$ (п. 4.13.3) было описано в работе [14]. Результаты пп. 4.13.4, 4.13.5, 4.13.7 получены в работе [63]. Множество разреза для задачи на $\operatorname{SU}(2)$ при $I_1 > I_3$ (п. (2) теоремы 4.49) описано в работе [80]. Остальные результаты п. 4.13.6 получены в работах [63], [62]. 4.14. Задача о качении сферы с прокручиванием, без проскальзывания4.14.1. Постановка задачиРассматривается механическая система, состоящая из сферы, катящейся по плоскости с прокручиванием, но без проскальзывания. Состояние такой системы в каждый момент времени характеризуется точкой на плоскости и ориентацией сферы в пространстве. Требуется перекатить сферу из заданного начального состояния в заданное конечное так, чтобы достигался минимум действия. Отсутствие проскальзывания означает, что точка контакта сферы и плоскости имеет нулевую мгновенную скорость; наличие прокручивания означает, что вектор угловой скорости сферы может быть направлен в произвольном направлении. Эта задача является естественной модификацией задачи об оптимальном качении сферы по плоскости без прокручивания и проскальзывания [44]. Выберем в пространстве $\mathbb{R}^3$ такой неподвижный правый ортонормированный репер $(e_1,e_2,e_3)$, что плоскость, по которой катится сфера, натянута на $(e_1,e_2)$, а $e_3$ направлен в верхнее полупространство. Выберем также подвижный правый ортонормированный репер $(e'_1,e'_2,e'_3)$, закрепленный в центре сферы. Тогда ориентация сферы задается матрицей поворота
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SO}(3) \ni R\colon (e'_1,e'_2,e'_3)\mapsto (e_1,e_2,e_3),
\end{equation*}
\notag
$$
а ее положение – координатами центра $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ в базисе $(e_1,e_2)$. В качестве управляющих параметров возьмем компоненты вектора угловой скорости сферы в неподвижном репере $\vec{\Omega}=(u_2,-u_1,u_3) \in \mathbb{R}^3$. Тогда кинематика системы задается уравнениями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{x}=u_1,\quad \dot{y}=u_2,\quad \dot{R}=R \begin{pmatrix} 0 & -u_3 & -u_1 \\ u_3 & 0 & -u_2 \\ u_1 & u_2 & 0 \end{pmatrix}, \\ \nonumber (x,y)\in\mathbb{R}^2, \quad R \in \operatorname{SO}(3), \quad (u_1,u_2,u_3)\in \mathbb{R}^3. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.64}
$$
В качестве минимизируемого функционала рассмотрим квадратичный функционал типа действия который с точностью до постоянного множителя представляет собой интеграл от вращательной энергии сферы. Требуется перекатить сферу из начального состояния $Q_0$ в конечное $Q_1$ так, чтобы достигался минимум функционала $J$. Эта задача формулируется естественным образом как субриманова левоинвариантная задача на группе Ли $G=\mathbb{R}^2 \times \operatorname{SO}(3)$. Группу $G$ можно представить как подгруппу группы $\operatorname{GL}(6)$ с помощью матриц
$$
\begin{equation*}
Q=\begin{pmatrix} & & & \\ & R & & \boldsymbol{0} \\ & & & \\ & \boldsymbol{0} & & \begin{matrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем левоинвариантный репер на $G$:
$$
\begin{equation*}
e_1=\frac{\partial}{\partial x}\,, \quad e_2=\frac{\partial}{\partial y}\,, \quad V_i(R)=R\widetilde{A}_i, \quad i=1,2,3,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{A}_i$ – базис алгебры Ли $\mathfrak{so}(3)$:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{A}_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \widetilde{A}_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \widetilde{A}_3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда уравнения (4.64) задают управляемую систему на группе $G$ и могут быть записаны в виде
$$
\begin{equation}
\dot{Q}=u_1X_1(Q)+u_2X_2(Q)+u_3X_3(Q), \qquad Q \in G, \quad (u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3,
\end{equation}
\tag{4.66}
$$
где Векторные поля $X_i$ задают распределение $\Delta=\operatorname{span}(X_1,X_2,X_3) \subset T G$. Если $u(t)$ есть измеримое локально ограниченное отображение, то решение системы (4.66) является допустимой кривой. На распределении $\Delta$ можно задать скалярное произведение $\langle \,\cdot\,{,}\,\cdot\, \rangle$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\langle QA, QB \rangle_Q=\langle A,B \rangle_{\operatorname{Id}}= -\frac{1}{2}\operatorname{tr}(AB), \qquad Q\in G,\quad A,B \in \Delta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{tr}A$ – след матрицы $A$. При этом длина допустимой кривой $Q(t)$, $t\in[0,t_1]$, выражается стандартным образом:
$$
\begin{equation}
l(Q)=\int_0^{t_1}\sqrt{\langle\dot{Q},\dot{Q}\rangle}\,dt= \int_0^{t_1}\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\,dt.
\end{equation}
\tag{4.67}
$$
Из неравенства Коши–Буняковского следует, что функционал длины и его минимизация (4.67) эквивалентны действию (4.65) и его минимизации. Поскольку распределение $\Delta$ и метрика $g$ являются левоинвариантными, то можно, не ограничивая общности, левыми сдвигами перевести $Q_0$ в единичный элемент, т. е. положить $Q_0=(0,0,\operatorname{Id})$. Таким образом, получаем следующую левоинвариантную субриманову задачу оптимального управления на группе $G=\mathbb{R}^2 \times \operatorname{SO}(3)$:
$$
\begin{equation}
Q=(x,y,R) \in G=\mathbb{R}^2 \times \operatorname{SO}(3), \quad (u_1,u_2,u_3)\in \mathbb{R}^3,
\end{equation}
\tag{4.69}
$$
$$
\begin{equation}
Q(0)=Q_0=(0,0,\operatorname{Id}), \quad Q(t_1)=Q_1=(x_1, y_1, R_1),
\end{equation}
\tag{4.70}
$$
$$
\begin{equation}
l(Q)=\int_0^{t_1} \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\,\,dt \to \min\!.
\end{equation}
\tag{4.71}
$$
Значение минимизирующего функционала длины (4.71) не зависит от параметризации кривой $Q(t)$, поэтому можно считать, что она имеет постоянную скорость, т. е. $u_1^2+u_2^2+u_3^2 \equiv \operatorname{const}$. Более того, из (4.68) и (4.65) видно, что если управление $u(t)$, $t\in[0,t_1]$, переводит сферу из состояния $Q_0$ в состояние $Q_1$ за время $t_1$, то управление $u'(t)=ku(kt)$, где $k$ – некоторое положительное число, переводит $Q_0$ в $Q_1$ за время $t_1/k$. При этом $Q(t)$ переходит в $Q(kt)$. Это позволяет, не ограничивая общности, считать, что $u_1^2+u_2^2+u_3^2 \equiv 1$. Так как таблица умножения в алгебре Ли $L=\operatorname{span}(e_1,e_2,V_1,V_2,V_3)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ad} e_i=0, \quad [V_1,V_2]=V_3, \quad [V_2,V_3]=V_1, \quad [V_3,V_1]=V_2,
\end{equation*}
\notag
$$
то для векторных полей $X_1$, $X_2$, $X_3$ имеем
$$
\begin{equation*}
[X_1,X_2]=X_3, \quad [X_1,X_3]=-V_1, \quad [X_2,X_3]=-V_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда видно, что $\operatorname{span}(X_1,X_2,X_3,[X_1,X_3],[X_2,X_3])=L$, и из теоремы Рашевского–Чжоу следует, что система является вполне управляемой. Существование оптимальных траекторий в задаче (4.68)–(4.71) следует из теоремы Филиппова. В дальнейших вычислениях будет использоваться изоморфизм между $\mathbb{R}^3$ и алгеброй Ли $\mathfrak{so}(3)$. А именно, каждому вектору $\vec{A} \in \mathbb{R}^3$ можно поставить в соответствие матрицу $\widetilde{A}\in \mathfrak{so}(3)$ по следующему правилу:
$$
\begin{equation*}
\vec{A}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \quad \widetilde{A}=\begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
4.14.2. Анормальные траекторииПредложение 4.3. (1) Все анормальные экстремальные траектории постоянной скорости имеют вид где $\widetilde{\Omega}$ – кососимметрическая матрица, соответствующая вектору угловой скорости $\vec{\Omega}$ с компонентой $\Omega_3=0$: (2) Любая анормальная экстремальная траектория $Q(t)$, $t\in[0,t_1]$, оптимальна для любого $t_1>0$. Следовательно, в анормальном случае вектор угловой скорости является постоянным горизонтальным вектором и сфера равномерно катится по прямой без прокручивания. 4.14.3. Нормальные экстремалиГамильтонова система принципа максимума Понтрягина в нормальном случае имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot{x}=-\Omega_2, \quad \dot{y}=\Omega_1, \quad \dot{R}=R\widetilde{\Omega}, \\ \dot{\Omega}_1=\omega_2\Omega_3, \quad \dot{\Omega}_2=-\omega_1\Omega_3, \quad \dot{\Omega}_3=\omega_1\Omega_2-\omega_2\Omega_1, \\ \dot{\omega}_1=0, \quad \dot{\omega}_2=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4.52. Если $\omega \ne 0$ и $\vec{\Omega} \ne \lambda \vec{\omega}$, то параметризованные длиной дуги нормальные экстремали описываются уравнениями 4.14.4. Диаметр субримановой метрикиРассмотрим субриманову метрику $d$ на группе $\operatorname{SO}(3)$, соответствующую задаче (4.68)–(4.71). Теорема 4.53. Для метрики $d$ на $\operatorname{SO}(3)$ наиболее удаленными точками являются $\operatorname{Id}$ и $e^{\pi(a_1 A_1+a_2 A_2)}$, $a_1^2+a_2^2=1$, с расстоянием между ними Состояниям $e^{\pi(a_1 A_1+a_2 A_2)}$, $a_1^2+a_2^2=1$, соответствует сфера, перевернутая на противоположный полюс. 4.14.5. Библиографические комментарииРезультаты этого раздела получены в работе [25]. Автор благодарит профессора А. А. Аграчева, А. В. Подобряева, А. П. Маштакова, А. А. Ардентова и И. Ю. Бесчастного за полезные советы по содержанию и изложению в данной работе. Также автор благодарен Е. Ф. Сачковой за помощь в наборе обзора и постоянную поддержку при работе над ним. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sac22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|