| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Сообщения Московского математического общества Многоуровневая интерполяция системы Никишина и ограниченность матриц Якоби на бинарном дереве А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10017 
Реферативные базы данных:
      Современные приложения [1] мотивируют рассмотрение на графах [2] классического объекта спектральной теории – трехдиагональной матрицы Якоби (или так называемого дискретного оператора Шрёдингера). Один из способов реализовать такие операторы на однородных деревьях связан [3] с интерполяционными задачами Эрмита–Паде. Пусть $\vec\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)$ – набор положительных борелевских мер с компактными носителями на $\mathbb R$. Пусть $\widehat \mu_j(z):=\displaystyle\int(z-x)^{-1}\,d\mu_j(x)$ – их преобразования Коши. Для произвольного мультииндекса $\vec n\in\mathbb Z_+^d$ требуется найти многочлены $q_{\vec n,0},q_{\vec n,1},\dots,q_{\vec n,d}$ и $p_{\vec n},p_{\vec n,1},\dots,p_{\vec n,d}$ такие, что $\deg p_{\vec n}=|\vec n|:= n_1+\cdots+n_d$ и выполнены интерполяционные условия при $z\to\infty$ и $j=1,\dots,d$:
$$
\begin{equation}
q_{\vec n}:=q_{\vec n,0}+\sum_{k=1}^dq_{\vec n,k}\widehat\mu_k= {z^{-|\vec n|}}({1+o(1)}),\qquad \deg q_{\vec n,j}<n_j,
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
{p}_{\vec{n}}={z^{|\vec n|}}({1+o(1)}),\qquad p_{\vec n}\widehat\mu_j+p_{\vec n,j}=O(z^{-n_j-1}).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Если для всех $\vec n\in\mathbb Z_+^d$ решение каждой из этих задач существует и единственно, то система мер $\vec\mu$ называется совершенной. Задачи (1) и (2) определяют аппроксимации Эрмита–Паде, соответственно типа I и II (недавние результаты см. в [4], [5]). Для совершенных систем функции $q_{\vec n}$ и $p_{\vec n}$ удовлетворяют [6] рекуррентным соотношениям до ближайших соседей на решетке индексов при $k=1,\dots,d$:
$$
\begin{equation}
z q_{\vec n}(z) =q_{\vec n-\vec e_k}(z)+b_{\vec n-\vec e_k,k} q_{\vec n}(z)+ \sum_{j=1}^d a_{\vec n,j} q_{\vec n+\vec e_j}(z),
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
zp_{\vec n}(z) =p_{\vec n+\vec e_k}(z)+ b_{\vec n,k}p_{\vec n}(z)+ \sum_{j=1}^d a_{\vec n,j} p_{\vec n-\vec e_j}(z),
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $(\vec e_1,\dots,\vec e_d)$ – стандартный базис в $\mathbb R^d$, а $b_{\vec n-\vec e_k,k}:=c_{\vec n}-c_{\vec n-\vec e_k}$, $a_{\vec n,j}:=c_{\vec n,j}/c_{\vec n-\vec e_j,j}$,
$$
\begin{equation}
c_{\vec n}:=\int x^{|\vec n|}\sum_{k=1}^dq_{\vec n,k}(x)\,d\mu_k(x),\qquad c_{\vec n,j}:=\int x^{n_j}p_{\vec n}(x)\,d\mu_j(x).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Таким образом, аппроксимации каждого из типов I и II имеют свой вид рекуррентных уравнений, однако набор коэффициентов является общим. Этот факт отражает двойственность задач (1) и (2). Для каждого узла $\vec n$ решетки рассмотрим набор всевозможных путей в $\mathbb Z_+^d$ c неубывающими координатами, ведущих из $\vec 0$ в $\vec n$. Совокупность всех путей образует $d$-однородное дерево. Определена каноническая проекция с дерева на решетку, которая отображает путь в его концевой узел. Обратная операция поднятия соотношений (3) и (4) на дерево путей определяет спектральные задачи с матрицами Якоби на однородных деревьях. Хорошо изучены две совершенные системы: Анжелеско и Никишина. В системе Анжелеско носителями мер $\mu_j$ являются попарно непересекающиеся отрезки. О спектральной теории соответствующих самосопряженных операторов на дереве см. [7]. Система Никишина [8] строится по набору генерирующих мер $(\sigma_1,\dots,\sigma_d)$ с носителями на отрезках, $\operatorname{supp}\sigma_j=\Delta_j$, $\Delta_j\cap\Delta_{j+1}=\varnothing$. Пусть $s_{j,j}:={\sigma_j}$, далее индукция по $|k-j|$: $ds_{j,k}:= \widehat{s}_{j+1,k}\,{d\sigma_j}$ при $k>j$ и $ds_{j,k}:= \widehat{s}_{j-1,k}\,{d\sigma_j}$ при $k<j$. Система мер $\vec s:=(s_{1,1},\dots,s_{1,d})$ также совершенна [9]. Однако уже при $d=2$ соответствующие рекуррентные коэффициенты и оператор матрицы Якоби не ограничены. В работе [10] для системы Никишина предложена другая интерполяционная задача: для $\vec n\in\mathbb Z_+^d$ найти многочлены $Q_{\vec n,0},Q_{\vec n,1},\dots,Q_{\vec n,d}$ и $P_{\vec n,0},P_{\vec n,1},\dots,P_{\vec n,d}$ такие, что $\deg Q_{\vec n,j}< |\vec n|$ и выполнены интерполяционные условия при $z\to\infty$ и $j=1,\dots,d$:
$$
\begin{equation}
{Q}_{\vec{n}}:=Q_{\vec{n},0}+\sum_{k=1}^d \widehat{s}_{1,k}Q_{\vec{n},k}={z^{-|\vec n|}}({1+o(1)}),\quad Q_{\vec{n},j}+\sum_{k=j+1}^d\widehat{s}_{j+1,k}Q_{\vec{n},k}=O(z^{n_j-1}),
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
{P}_{\vec{n},0}={z^{|\vec n|}}({1+o(1)}),\quad \sum_{k=1}^j P_{\vec{n},k-1}\widehat{s}_{j,k}+P_{\vec{n},j}=O(z^{-n_j-1}).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Для любого $\vec n\in\mathbb{Z}_+^d$ решение каждой из задач существует и единственно. Эти решения определяют решетку многоуровневых аппроксимаций Эрмита–Паде. Частные случаи были рассмотрены в [11], [12]. Если $\vec\mu=\vec s$ и $n_j+1\geqslant n_k$ при $k>j$, то легко видеть, что задачи (1) и (6) эквивалентны. Без этого условия эквивалентности нет. Однако вид рекуррентных уравнений сохраняется, но уже с ограниченными коэффициентами. Справедливы следующие теоремы. Теорема 1. Решения $Q_{\vec{n}}$, $P_{\vec{n},0}$ задач (6), (7) удовлетворяют рекуррентным соотношениям (3), (4), где в формулах (5) для коэффициентов нужно положить Теорема 2. При $d=2$ рекуррентные коэффициенты $a_{\vec n,j}$, $b_{\vec n,j}$ для решений задач (6), (7) равномерно ограничены. Оператор матрицы Якоби на бинарном дереве ограничен. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AptLys21} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|