Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Успехи математических наук, 2021, том 76, выпуск 4(460), страницы 179–180
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10017
(Mi rm10017)
 

Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях)

Сообщения Московского математического общества

Многоуровневая интерполяция системы Никишина и ограниченность матриц Якоби на бинарном дереве

А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук
Список литературы:
Поступила в редакцию: 09.07.2021
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 4, Pages 726–728
DOI: https://doi.org/10.1070/RM10017
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: Primary 47B36; Secondary 41A21, 65Q30

Современные приложения [1] мотивируют рассмотрение на графах [2] классического объекта спектральной теории – трехдиагональной матрицы Якоби (или так называемого дискретного оператора Шрёдингера). Один из способов реализовать такие операторы на однородных деревьях связан [3] с интерполяционными задачами Эрмита–Паде.

Пусть $\vec\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)$ – набор положительных борелевских мер с компактными носителями на $\mathbb R$. Пусть $\widehat \mu_j(z):=\displaystyle\int(z-x)^{-1}\,d\mu_j(x)$ – их преобразования Коши. Для произвольного мультииндекса $\vec n\in\mathbb Z_+^d$ требуется найти многочлены $q_{\vec n,0},q_{\vec n,1},\dots,q_{\vec n,d}$ и $p_{\vec n},p_{\vec n,1},\dots,p_{\vec n,d}$ такие, что $\deg p_{\vec n}=|\vec n|:= n_1+\cdots+n_d$ и выполнены интерполяционные условия при $z\to\infty$ и $j=1,\dots,d$:

$$ \begin{equation} q_{\vec n}:=q_{\vec n,0}+\sum_{k=1}^dq_{\vec n,k}\widehat\mu_k= {z^{-|\vec n|}}({1+o(1)}),\qquad \deg q_{\vec n,j}<n_j, \end{equation} \tag{1} $$
$$ \begin{equation} {p}_{\vec{n}}={z^{|\vec n|}}({1+o(1)}),\qquad p_{\vec n}\widehat\mu_j+p_{\vec n,j}=O(z^{-n_j-1}). \end{equation} \tag{2} $$
Если для всех $\vec n\in\mathbb Z_+^d$ решение каждой из этих задач существует и единственно, то система мер $\vec\mu$ называется совершенной. Задачи (1) и (2) определяют аппроксимации Эрмита–Паде, соответственно типа I и II (недавние результаты см. в [4], [5]). Для совершенных систем функции $q_{\vec n}$ и $p_{\vec n}$  удовлетворяют [6] рекуррентным соотношениям до ближайших соседей на решетке индексов при $k=1,\dots,d$:
$$ \begin{equation} z q_{\vec n}(z) =q_{\vec n-\vec e_k}(z)+b_{\vec n-\vec e_k,k} q_{\vec n}(z)+ \sum_{j=1}^d a_{\vec n,j} q_{\vec n+\vec e_j}(z), \end{equation} \tag{3} $$
$$ \begin{equation} zp_{\vec n}(z) =p_{\vec n+\vec e_k}(z)+ b_{\vec n,k}p_{\vec n}(z)+ \sum_{j=1}^d a_{\vec n,j} p_{\vec n-\vec e_j}(z), \end{equation} \tag{4} $$
где $(\vec e_1,\dots,\vec e_d)$ – стандартный базис в $\mathbb R^d$, а $b_{\vec n-\vec e_k,k}:=c_{\vec n}-c_{\vec n-\vec e_k}$, $a_{\vec n,j}:=c_{\vec n,j}/c_{\vec n-\vec e_j,j}$,
$$ \begin{equation} c_{\vec n}:=\int x^{|\vec n|}\sum_{k=1}^dq_{\vec n,k}(x)\,d\mu_k(x),\qquad c_{\vec n,j}:=\int x^{n_j}p_{\vec n}(x)\,d\mu_j(x). \end{equation} \tag{5} $$
Таким образом, аппроксимации каждого из типов I и II имеют свой вид рекуррентных уравнений, однако набор коэффициентов является общим. Этот факт отражает двойственность задач (1) и (2).

Для каждого узла $\vec n$ решетки рассмотрим набор всевозможных путей в $\mathbb Z_+^d$ c неубывающими координатами, ведущих из $\vec 0$ в $\vec n$. Совокупность всех путей образует $d$-однородное дерево. Определена каноническая проекция с дерева на решетку, которая отображает путь в его концевой узел. Обратная операция поднятия соотношений (3) и (4) на дерево путей определяет спектральные задачи с матрицами Якоби на однородных деревьях.

Хорошо изучены две совершенные системы: Анжелеско и Никишина. В системе Анжелеско носителями мер $\mu_j$ являются попарно непересекающиеся отрезки. О спектральной теории соответствующих самосопряженных операторов на дереве см. [7].

Система Никишина [8] строится по набору генерирующих мер $(\sigma_1,\dots,\sigma_d)$ с носителями на отрезках, $\operatorname{supp}\sigma_j=\Delta_j$, $\Delta_j\cap\Delta_{j+1}=\varnothing$. Пусть $s_{j,j}:={\sigma_j}$, далее индукция по $|k-j|$: $ds_{j,k}:= \widehat{s}_{j+1,k}\,{d\sigma_j}$ при $k>j$ и $ds_{j,k}:= \widehat{s}_{j-1,k}\,{d\sigma_j}$ при $k<j$. Система мер $\vec s:=(s_{1,1},\dots,s_{1,d})$ также совершенна [9]. Однако уже при $d=2$ соответствующие рекуррентные коэффициенты и оператор матрицы Якоби не ограничены.

В работе [10] для системы Никишина предложена другая интерполяционная задача: для $\vec n\in\mathbb Z_+^d$ найти многочлены $Q_{\vec n,0},Q_{\vec n,1},\dots,Q_{\vec n,d}$ и $P_{\vec n,0},P_{\vec n,1},\dots,P_{\vec n,d}$ такие, что $\deg Q_{\vec n,j}< |\vec n|$ и выполнены интерполяционные условия при $z\to\infty$ и $j=1,\dots,d$:

$$ \begin{equation} {Q}_{\vec{n}}:=Q_{\vec{n},0}+\sum_{k=1}^d \widehat{s}_{1,k}Q_{\vec{n},k}={z^{-|\vec n|}}({1+o(1)}),\quad Q_{\vec{n},j}+\sum_{k=j+1}^d\widehat{s}_{j+1,k}Q_{\vec{n},k}=O(z^{n_j-1}), \end{equation} \tag{6} $$
$$ \begin{equation} {P}_{\vec{n},0}={z^{|\vec n|}}({1+o(1)}),\quad \sum_{k=1}^j P_{\vec{n},k-1}\widehat{s}_{j,k}+P_{\vec{n},j}=O(z^{-n_j-1}). \end{equation} \tag{7} $$
Для любого $\vec n\in\mathbb{Z}_+^d$ решение каждой из задач существует и единственно. Эти решения определяют решетку многоуровневых аппроксимаций Эрмита–Паде. Частные случаи были рассмотрены в [11], [12]. Если $\vec\mu=\vec s$ и $n_j+1\geqslant n_k$ при $k>j$, то легко видеть, что задачи (1) и (6) эквивалентны. Без этого условия эквивалентности нет. Однако вид рекуррентных уравнений сохраняется, но уже с ограниченными коэффициентами.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Решения $Q_{\vec{n}}$, $P_{\vec{n},0}$ задач (6), (7) удовлетворяют рекуррентным соотношениям (3), (4), где в формулах (5) для коэффициентов нужно положить

$$ \begin{equation*} q_{\vec n,k}\,d\mu_{k}:=Q_{\vec n,k}\,ds_{1,k}, \quad p_{\vec{n}}\,d\mu_{j}:=\sum_{k=1}^jP_{\vec{n},k-1}\,d{s}_{j,k}. \end{equation*} \notag $$

Теорема 2. При $d=2$ рекуррентные коэффициенты $a_{\vec n,j}$, $b_{\vec n,j}$ для решений задач (6), (7) равномерно ограничены. Оператор матрицы Якоби на бинарном дереве ограничен.

Список литературы

1. A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov, A. K. Geim, Rev. Mod. Phys., 81:1 (2009), 109–162  crossref  adsnasa
2. N. Avni, J. Breuer, B. Simon, Adv. Math., 370 (2020), 107241, 42 pp.  crossref  mathscinet  zmath
3. A. I. Aptekarev, S. A. Denisov, M. L. Yattselev, Trans. Amer. Math. Soc., 373:2 (2020), 875–917  crossref  mathscinet  zmath
4. С. П. Суетин, УМН, 75:4(454) (2020), 213–214  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath
5. С. П. Суетин, УМН, 74:2(446) (2019), 187–188  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
6. W. Van Assche, J. Approx. Theory, 163:10 (2011), 1427–1448  crossref  mathscinet  zmath
7. А. И. Аптекарев, С. А. Денисов, М. Л. Ятцелев, Труды МИАН, 311 (2020), 5–13  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath
8. Е. М. Никишин, Матем. сб., 113(155):4(12) (1980), 499–519  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
9. U. Fidalgo Prieto, G. Loópez Lagomasino, Constr. Approx., 34:3 (2011), 297–356  crossref  mathscinet  zmath
10. В. Г. Лысов, Труды МИАН, 311 (2020), 213–227, МИАН, М.  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath
11. G. López Lagomasino, S. Medina Peralta, J. Szmigielski, Adv. Math., 349 (2019), 813–838  crossref  mathscinet  zmath
12. M. Bertola, M. Gekhtman, J. Szmigielski, J. Approx. Theory, 162:4 (2010), 832–867  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, “Многоуровневая интерполяция системы Никишина и ограниченность матриц Якоби на бинарном дереве”, УМН, 76:4(460) (2021), 179–180; Russian Math. Surveys, 76:4 (2021), 726–728
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AptLys21}
\by А.~И.~Аптекарев, В.~Г.~Лысов
\paper Многоуровневая интерполяция системы Никишина и ограниченность матриц Якоби на бинарном дереве
\jour УМН
\yr 2021
\vol 76
\issue 4(460)
\pages 179--180
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10017}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10017}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4295022}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:7505216}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021RuMaS..76..726A}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=47533670}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2021
\vol 76
\issue 4
\pages 726--728
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10017}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000712047400001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85119621186}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10017
  • https://doi.org/10.4213/rm10017
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v76/i4/p179
  • Эта публикация цитируется в следующих 7 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:375
    PDF русской версии:65
    PDF английской версии:16
    HTML русской версии:145
    Список литературы:35
    Первая страница:21
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024