| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Сообщения Московского математического общества Группы, порождённые инволюциями, нумерации посетов и центральные меры А. М. Вершикabc a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Санкт-Петербургский государственный университет c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10016 
Реферативные базы данных:
      1. ОпределенияБесконечное счётное упорядоченное множество $\{P,\succ,\varnothing\}$ с наименьшим элементом $\varnothing$ и без максимальных элементов называется локально конечным посетом, если все его главные идеалы конечны. Монотонной нумерацией множества $P$ или его части называется инъективное отображение натурального ряда $\phi\colon{\mathbb N}\to P$, удовлетворяющее условиям: если $\phi(n)\succ \phi(m)$, то $n>m$; $\phi(0)=\varnothing$. Дистрибутивная решётка $\Gamma_P$ всех конечных идеалов локально конечного посета $\{P,\succ\}$ образует $\mathbb N$-градуированный граф (диаграмму Хассе решётки). Монотонная нумерация посета естественно отождествляется с максимальным путём в решётке $\Gamma_P$. Множество всех монотонных нумераций посета $P$, т. е. пространство бесконечных путей графа $\Gamma_P$, обозначаемое $T_P$, естественным образом снабжается структурой борелевского и топологического пространства. В терминологии, связанной с графом Юнга, посет $P$ – это множество $\mathbb{Z}_+^2$-конечных идеалов, т. е. диаграмм, а монотонные нумерации – это таблицы Юнга. Пусть $P$ – конечный ($|P|<n\in \mathbb N$) или локально конечный ($n=\infty$) посет; для каждого $i<n$ определим инволюцию $\sigma_i$, действующую корректно на пространстве нумераций $T_P=\{\phi\}$ посета $P$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\sigma_i(\phi))(m)=\phi(m),\qquad m\ne i,i+1; \\ (\sigma_i(\phi))(i)=\phi(i+1),\qquad (\sigma_i(\phi))(i+1)=\phi(i), \quad\text{если } \phi(i)\nprec \phi(i+1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Kонечную или счётную группу, порождённую этим набором инволюций $G_P=\langle\sigma_i,\ i=1,2,\dots\rangle$, назовём группой симметрий нумераций посета $P$ или группой автоморфизмов пространства путей графа $\Gamma_P$. Конечная (или бесконечная) симметрическая группа $S_n$ (соответственно $S_{\mathbb N}$) в нашем определении возникает для диаграммы Юнга $(n-1,1)$ (соответственно $({\mathbb N},1)$). Этот новый класс конечных и локально конечных групп представляет интерес как с алгебраической, так и с динамической точки зрения. Он интересен уже в случае, когда $P$ есть бесконечная диаграмма с двумя строками. Для локально конечного посета группа $G_P$ есть локально конечная группа, т. е. индуктивный предел конечных групп того же класса. Эти группы являются обобщением бесконечной симметрической группы, но, вообще говоря, не изоморфны ей. Алгебраическое описание групп $G_P$ таково. Лемма 1. Соотношения между образующими $\sigma_i$, $i=1,2,\dots$, определёнными выше, для любого локально конечного посета, таковы: (i) $\sigma_i^2=\{\sigma_i\cdot \sigma_j\}^2=\operatorname{Id}$, $|i-j|>1$, $i,j=1,\dots,n-1$; (ii) при всех $i=1,\dots,n-1$ группа, порождённая элементами $\sigma_i$, $\sigma_{i+1}$ (в классическом случае она изоморфна группе $S_3$: $\{\sigma_i \cdot \sigma_{i+1}\}^3=\operatorname{Id}$), изоморфна сумме некоторого (возможно, нулевого) числа групп $S_3, \mathbb Z_2, \mathbb Z_3$ и их произведений; в частности, $\{\sigma_i \cdot \sigma_{i+1}\}^6=\operatorname{Id}$. Неясно, являются ли условия, налагаемые леммой на группу, достаточными для того, чтобы группа была группой симметрий нумераций некоторого посета $P$. Структура и свойства групп $G_P$ для посета $P$, по-видимому, не изучались; представляет большой интерес вопрос об описании всех таких конечных и счётных групп с точностью до изоморфизма. Некоторые примеры см. в [1]. 2. Центральные меры на пространстве нумераций.Борелевская вероятностная мера на множестве $T_P=\{\phi\}$ нумераций посета $P$ называется центральной, если она инвариантна относительно группы $G_P$. Всякая центральная мера определяет некоторую случайную нумерацию посета, вероятностные характеристики которой не меняются при финитных автоморфизмах. Эти меры являются марковскими, отвечающими случайным блужданиями на посете: они определяются переходными вероятностями выбора присоединяемого к идеалу элемента посета, зависящими только от этого идеала и присоединяемого элемента. Множество всех эргодических центральных мер посета обозначим через $\operatorname{Abs}(P)$ (абсолют), он доставляет существенную информацию о посете. С точки зрения теории меры задача о списке центральных мер для посетов имеет свою специфику, напоминающую теорию инвариантных мер на группах. Важнейшая характеристика эргодической центральной меры $\mu$ – её частотная функция на проcтранстве идеалов: для $\mu$-почти всех нумераций $\phi$ и бесконечного идеала $I$ рассмотрим функцию $\Lambda_{\mu}(I)\equiv \lim_n n^{-1}|\{i<n\colon \phi(i)\in I\}|$. Для данной меры $\mu$ частотная функция $\Lambda_\mu$ есть неотрицательная монотонная функция на пространстве бесконечных идеалов, равная единице на несобственном идеале, равном всему посету, и имеющая одинаковые значения на почти всех нумерациях любой данной центральной меры. Проблема 1. Восстанавливается ли однозначно эргодическая центральная мера по её частотной функции? В частности, сколько есть эргодических центральных мер, у которых частотная функция равна нулю на всех идеалах, кроме несобственного ненулевого идеала? Для $P={\mathbb Z}_+^2$ положительный ответ следует из глубокой теоремы Тома (см., например, [2]) и, в частности, главного её следствия: существует единственная центральная мера (которая позже была названа мерой Планшереля) с нулевыми частотами всех собственных бесконечных идеалов. Для $P={\mathbb Z}_+^d$, $d>2$, проблема открыта. Пространство всех бесконечных идеалов посета стратифицировано по размерностям. Простейшими являются одномерные: идеал $I$ называется одномерным, если в нём имеется лишь конечное число несравнимых элементов, иначе говоря, он содержится в объединении конечного числа цепей. Центральная эргодическая мера $\mu$ называется одномерной, если её частотная функция отлична от нуля только на одномерных идеалах. Поставленная выше проблема решается положительно для одномерных центральных мер посетов $P={\mathbb Z}_+^d$, $d>1$. Теорема 1. Существует не более одной эргодической центральной меры на посете $P={\mathbb Z}_+^d$, $d>1$, с данной частотной функцией на множестве всех одномерных идеалов. Уже для квадратичных мер доказательство аналога приведенной теоремы потребует гораздо более полной информации о структуре планшерелевых диаграмм Юнга. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ver21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|