А. О. Багапш, М. Я. Мазалов, К. Ю. Федоровский, “О задаче Дирихле для не сильно эллиптических уравнений второго порядка”, УМН, 77:2(464) (2022), 197–198; Russian Math. Surveys, 77:2 (2022), 372

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	17-11-01064
Работа выполнена в рамках гранта Российского научного фонда № 17-11-01064 (продление).

Поступила в редакцию: 16.06.2021

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 2, Pages 372–374
DOI: https://doi.org/10.1070/RM10011

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 35J57

Пусть $\mathcal{L}$ – эллиптический дифференциальный оператор второго порядка в $\mathbb C$ с постоянными комплексными коэффициентами, т. е. $\mathcal Lf=af''_{xx}+bf''_{xy}+cf''_{yy}$, $a,b,c\in \mathbb C$. Эллиптичность $\mathcal L$ означает, что корни $\lambda_1$ и $\lambda_2$ соответствующего характеристического уравнения $a\lambda^2+b\lambda+c=0$ не являются вещественными. Если $\mathcal L$ таков, что $\lambda_1$ и $\lambda_2$ лежат в разных полуплоскостях относительно вещественной оси, то $\mathcal L$ называется сильно эллиптическим. Классический пример сильно эллиптического оператора – оператор Лапласа $\Delta$, $\Delta f=f''_{xx}+f''_{yy}$, а примером не сильно эллиптического оператора является оператор Бицадзе $\overline\partial{}^2$, где $\overline{\partial}f=(f'_x+if'_y)/2$ – оператор Коши–Римана.

Обозначим через $C(E)$ пространство всех непрерывных на множестве $E\subset\mathbb C$ комплекснозначных функций и положим $\|f\|_E=\sup_{z\in E}|f(z)|$ при $f\in C(E)$.

Назовем ограниченную односвязную область $G\subset\mathbb C$ регулярной относительно задачи Дирихле для $\mathcal L$ (или, короче, $\mathcal L$-регулярной), если для любой функции $h\in C(\partial{}G)$ найдется функция $f\in C(\overline{G})$ такая, что $\mathcal Lf=0$ в $G$ и $f\big|_{\partial G}=h$.

Классическая теорема Лебега [1] утверждает, что любая ограниченная односвязная область $G\subset\mathbb C$ является $\Delta$-регулярной, т. е. регулярной относительно классической задачи Дирихле для гармонических функций. Для общего сильно эллиптического оператора $\mathcal L$ рассматриваемого вида известна гипотеза о том, что любая ограниченная односвязная область будет $\mathcal L$-регулярной (см. [2; задача 4.2]). Эта гипотеза доказана только при дополнительных достаточно сильных ограничениях на гладкость границы области $G$. Так, соответствующий результат получен в [3] для жордановых областей с кусочно $C^1$-гладкими границами, и это условие на $\partial G$ не удается существенно ослабить на протяжении последних 20 лет (вопрос о $\mathcal L$-регулярности произвольной жордановой области $G$ остается открытым даже в случае, когда $\partial G$ спрямляема).

Рассмотрим вопрос о $\mathcal L$-регулярности областей для не сильно эллиптических операторов $\mathcal L$. Без ограничения общности можно считать (используя подходящую вещественно линейную замену переменных), что $\mathcal L$ имеет вид $\mathcal L_{\tau}=\overline\partial{}^2+ \tau\partial\overline\partial$, где $\tau\in[0,1)$ и $\partial f=(f'_x-if'_y)/2$. Пусть $\mathcal O_\tau(U)$, где $U\subset\mathbb C$ – открытое множество, есть пространство всех функций $f$, которые определены в $U$ и удовлетворяют там уравнению $\mathcal L_\tau f=0$. В частности, $\mathcal L_0=\overline\partial{}^2$, а класс $\mathcal O_0(U)$ состоит из бианалитических функций в $U$. До настоящего времени задача Дирихле для не сильно эллиптических операторов изучалась практически только в бианалитическом случае. Отметим работу [4], где доказано, что любая жорданова область с Дини-гладкой границей не является $\overline\partial{}^2$-регулярной, и приведен пример $\overline\partial{}^2$-регулярной жордановой области с липшицевой границей.

Напомним, что простая замкнутая кривая принадлежит классу $C^{1,\alpha}$ при $\alpha\in(0,1)$, если существует такая ее параметризация $\gamma(t)$, $t\in[0,1]$, что $\gamma\in C^1([0,1])$, $\gamma'(t)\ne0$ при $t\in[0,1]$ и $|\gamma'(t_1)-\gamma'(t_2)|\leqslant A|t_1-t_2|^{\alpha}$ для всех $t_1,t_2\in[0,1]$, где $A=\textrm{const}$.

Теорема 1. Пусть $\alpha\in(0,1)$, а $G$ – жорданова область в $\mathbb C$ с границей класса $C^{1,\alpha}$. Тогда для любого $\tau\in[0,1)$ область $G$ не является $\mathcal L_\tau$-регулярной.

Приведем схему доказательства теоремы 1. Пусть $G$ – жорданова область с границей класса $C^{1,\alpha}$, а $\varphi$ – некоторое конформное отображение круга $\mathbb D=\{|z|<1\}$ на $G$. Для $\varepsilon>0$ и $\zeta\in\mathbb T=\{|z|=1\}$ возьмем функцию $\varPsi_{\varepsilon,\zeta}\in C_0^\infty(\{|z-\zeta|<\varepsilon\})$ такую, что $\varPsi_{\varepsilon,\zeta}\geqslant0$, $\displaystyle\int\varPsi_{\varepsilon,\zeta}(z)\,dx\,dy=1$ и $\displaystyle\int_{\mathbb T}\varPsi_{\varepsilon,\zeta}(z)\,|dz|=\mu>0$. Основной факт, на который опирается доказательство, состоит в следующем. Найдутся $\varepsilon>0$ и $\zeta\in\mathbb T$ такие, что для любых $f\in C(\overline{G})\cap\mathcal O_\tau(G)$ и $n\in\mathbb N$ выполнена оценка

Первый шаг – это оценка голоморфных компонент функций $f\in C(\overline{G})\cap\mathcal O_\tau(G)$. Каждая такая функция имеет вид $f(z)=g(z)+h(z-\tau\overline{z})$, где $g$ и $h$ – это функции, голоморфные в областях $G$ и $TG$ соответственно, а $T\colon z\mapsto z-\tau\overline{z}$. Пусть $a\in G$ и $a'\in\partial G$, причем $|a-a'|=\operatorname{dist}(a,\partial G)$. Тогда для любого $m\in\mathbb{N}$ имеем $|h^{(m)}(Ta)|\leqslant A'm!\,d_\tau^{-m}\omega(f,d_\tau)$ и $|g^{(m)}(a)|\leqslant A'm!\,d^{-m}\omega(f,d)$, где $d=|a-a'|$ и $d_\tau=|Ta-Ta'|$, а $A'=A'(G,\tau)>0$ – константа и $\omega(f,\,\cdot\,)$ – модуль непрерывности функции $f$.

Следующий шаг – это оценка $|\varphi''(z)|\leqslant A''(1-|z|)^{-(1-\alpha)}$, $z\in\mathbb D$ (где $A''>0$ зависит только от $G$), вытекающая из классической теоремы Келлога–Варшавского.

Далее используется специальное свойство, связывающее $\varphi$ и $T$, а именно: найдутся $\varepsilon>0$ и $\zeta\in\mathbb T$ (см. выше) такие, что для любой точки $a\in G$, $|\varphi^{-1}(a)-\zeta|<\varepsilon$, и для точки $a'\in\partial G$ с условием $|a-a'|=\operatorname{dist}(a,\partial G)$ выполнено неравенство $|Ta-Ta'|\geqslant(1+\tau)(1-\varepsilon)(1-|\varphi^{-1}(a)|) \min_{\mathbb D\cap \{|z-\zeta|<\varepsilon\}}|\varphi'(z)|$. Важную роль играет свойство $T$ сохранять ориентацию. Неравенство (1) доказывается последовательным (многократным) применением формулы Грина и оценкой возникающих интегралов с использованием указанных неравенств.

Таким образом, семейство функционалов $M_n\colon F\mapsto \displaystyle\int_{\mathbb T}\varPsi_{\varepsilon,\zeta}(z)F(z)z^n\,dz$, определенных на $C(\mathbb T)$, обладает следующими свойствами: 1) $\|M_n\|=M_n(-i\overline{z}^{n+1})=\mu$ для любого $n\in\mathbb N$; 2) $\bigl|M_n\bigl(f\circ\varphi\big|_{\mathbb T}\bigr)\bigr|\leqslant An^{-\alpha/2}\|f\|_{\overline{G}}$ для любой $f\in C(\overline{G})\cap\mathcal O_\tau(G)$; 3) $|M_n(P)|\leqslant A(n-m)^{-\alpha/2}\|P\|_{\mathbb T}$ для любого тригонометрического многочлена $P$ степени $m$ и для любого $n\gg m$. Из 1)–3) выводится, что для любых $K>0$, $\psi\in C(\mathbb T)$ и $\delta>0$ найдутся тригонометрический многочлен $P$ и $n\gg1$ такие, что $Q=P-i\delta\overline{z}^{n+1}/3$ лежит в шаре $B(\psi,\delta)\subset C(\mathbb T)$ с центром $\psi$ и радиусом $\delta$, а шар $B(Q,\delta/12)$ не содержит функций $f\circ\varphi\big|_{\mathbb T}$, $f\in C(\overline{G})\cap\mathcal O_\tau(G)$, $\|f\|_{\overline{G}}\leqslant K$. Таким образом, $\bigl\{f\circ\varphi\big|_{\mathbb T}\colon f\in C(\overline{G})\cap \mathcal O_\tau(G)\bigr\}$ есть множество первой категории по Бэру в $C(\mathbb T)$.

Образец цитирования: А. О. Багапш, М. Я. Мазалов, К. Ю. Федоровский, “О задаче Дирихле для не сильно эллиптических уравнений второго порядка”, УМН, 77:2(464) (2022), 197–198; Russian Math. Surveys, 77:2 (2022), 372–374

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BagMazFed22}

\by А.~О.~Багапш, М.~Я.~Мазалов, К.~Ю.~Федоровский

\paper О~задаче Дирихле для не сильно эллиптических уравнений второго порядка

\jour УМН

\yr 2022

\vol 77

\issue 2(464)

\pages 197--198

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10011}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10011}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461373}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1496.30026}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..372B}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2022

\vol 77

\issue 2

\pages 372--374

\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10011}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000819148800001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85134515655}

1.

2.

3.

Список литературы