| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Обзоры Динамическая алгебра Бете над А. Н. Варченкоabc, А. М. Слинкинad, Д. Томпсонa a Department of Mathematics, University of North Carolina at Chapel Hill, USA b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет c Московский центр фундаментальной и прикладной математики d Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10010 
Реферативные базы данных:
      1. ВведениеКвантовой интегрируемой моделью называется векторное пространство $V$ и алгебра $\mathcal{B}$ коммутирующих операторов на $V$, называемая алгеброй Бете гамильтонианов. Задача состоит в нахождении собственных векторов операторов и их собственных значений. Если векторное пространство – это пространство функций, то гамильтонианы – это дифференциальные, или разностные, или интегральные операторы.1 Будем говорить, что квантовая интегрируемая модель геометризуема, если существуют топологическое пространство (схема) $X$ с алгеброй $\mathcal{O}_X$ функций на $X$, изоморфизм векторных пространств $\psi\colon\mathcal{O}_X\to V$ и изоморфизм алгебр $\tau\colon\mathcal{O}_X\to\mathcal{B}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\psi(fg)=\tau(f)\psi(g)\quad \forall\,f,g\in\mathcal{O}_X.
\end{equation*}
\notag
$$
Алгебра $\mathcal{O}_X$ и изоморфизмы $\psi$, $\tau$ отождествляют $\mathcal{B}$-модуль $V$ с регулярным представлением алгебры функций $\mathcal{O}_X$. Если квантовая интегрируемая модель $(V,\mathcal{B})$ геометризована, то собственные векторы операторов алгебры $\mathcal{B}$ отождествляются с дельта-функциями на пространстве $X$, а собственные значения собственного вектора отвечают значениям функций на $X$ в соответствующей точке пространства $X$. Наша мотивировка геометризовать алгебры Бете возникла из примеров, рассмотренных в [13], [15]. В этих примерах алгебра гамильтонианов действует на подпространстве тензорного произведения $\mathfrak{gl}_N$-модулей и отождествляется с алгеброй функций на пересечении подходящих циклов Шуберта в грассманиане. Это отождествление обнаружило неожиданную связь между теорией представлений и исчислением Шуберта. Примеры в работах [13], [15] относятся к моделям, в которых пространство $V$ конечномерно. Не вполне ясно, как действовать, если пространство $V$ бесконечномерно. В настоящей работе мы рассматриваем пример. В нашем бесконечномерном пространстве $V$ мы выделяем семейство конечномерных подпространств $E[\mu]$, где $\mu\in\mathbb{C}$, каждое из которых инвариантно относительно действия коммутативной алгебры $\mathcal{B}$ дифференциальных операторов. Мы геометризуем каждую из пар $\bigl(E[\mu],\mathcal{B}\big|_{E[\mu]}\bigr)$ и таким образом получаем семейство топологических пространств $X[\mu]$, $\mu\in\mathbb{C}$. Далее мы замечаем, что естественные взаимосвязи между векторными пространствами $E[\mu]$ отвечают естественным взаимосвязям между топологическими пространствами $X[\mu]$. Например, оператор инволюции группы Вейля $V \to V$, возникающий в нашем примере, отождествляет пространства $E[\mu]$ и $E[-\mu]$. Мы показываем, что это отождествление отвечает естественному изоморфизму $X[\mu] \to X[-\mu]$. Теория представлений является источником алгебр коммутирующих дифференциальных или разностных операторов. В этой статье мы обсуждаем конструкцию В. Н. Рубцова, А. В. Силантьева и Д. В. Талалаева [20]. Эта квантовая интегрируемая модель называется квантовой динамической моделью Годена. Мы изучаем тригонометрическую версию этой модели, отвечающую алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$, в то время как в [20] исследуется эллиптическая $\mathfrak{gl}_N$-версия. Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak{sl}_2$ и подалгебру Картана ${\mathfrak h}\subset \mathfrak{sl}_2$, $\dim{\mathfrak h}=1$. Для $s=1,\dots,n$ пусть $V_{m_s}$ – это неприводимый $\mathfrak{sl}_2$-модуль размерности $m_s+1$. Пусть $V=\bigotimes\limits_{s=1}^nV_{m_s}$ и
$$
\begin{equation*}
V[0]=\{v\in V\mid hv=0 \ \forall\,h\in{\mathfrak h}\} \vphantom{\biggl\}}
\end{equation*}
\notag
$$
– это подпространство нулевого веса в $V$. Подпространство $V[0]$ ненулевое, если $M=\displaystyle\sum_{s=1}^nm_s$ чётно. Рассмотрим пространство $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ функций на ${\mathfrak h}$ со значениями в $V[0]$. Зафиксируем $z=\{z_1,\dots,z_n\}\subset \mathbb{C}^\times$. По этим данным в [20] строится семейство коммутирующих дифференциальных операторов, действующих на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$. Сначала вводится $(2\times 2)$-матрица
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} x \partial_x & 0 \\ 0 & x \partial_x \end{bmatrix}+L(x)=[\delta_{ij}x\partial_x+L_{ij}(x)],
\end{equation*}
\notag
$$
где $x$ – параметр, $\partial_x=\partial/\partial x$, а $L_{ij}(x)$ – некоторые специальные дифференциальные операторы на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$, зависящие от параметра $x$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal C=\operatorname{cdet}[\delta_{ij}x\partial_x+L_{ij}(x)],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{cdet}$-определитель для $(2\times 2)$-матрицы с некоммутирующими элементами определяется формулой
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cdet}\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}=ad-cb.
\end{equation*}
\notag
$$
С использованием новой переменной $u$, $x=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,u}$, оператор $\mathcal C$ записывается в виде где $C_1(x)$, $C_2(x)$ – дифференциальные операторы на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$, коэффициенты которых – это рациональные функции от $x$. Оказывается, что для любых $a,b\in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ и $i,j=1,2$ операторы $C_i(a)$, $C_j(b)$ коммутируют. Пространство $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ с алгеброй $\mathcal{B}$, порождённой этими коммутирующими дифференциальными операторами, называется квантовой динамической моделью Годена. Мы показываем, что алгебра $\mathcal{B}$ порождается тригонометрическими дифференциальными KZB-операторами $H_0$, $H_1(z),\dots,H_n(z)$ (см. формулу (2.19), а также [7], [8]). KZB-оператор $H_0$ также известен как тригонометрический гамильтониан квантовой системы Калоджеро–Мозера двух частиц со спиновым пространством $V$. Оператор $H_0$ – это дифференциальный оператор второго порядка, не зависящий от параметров $z_1,\dots,z_n$. Для произвольного $\mu\notin\mathbb{Z}$ мы определяем подпространство $E[\mu]\subset \operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ как пространство мероморфных собственных функций оператора $H_0$ с собственным значением $\pi \sqrt{-1}\,\mu^2/2$ и предписанными полюсами. Подпространства $E[\mu]$ были введены в [6] и изучались в [8]. Имеет место соотношение $\dim E[\mu]=\dim V[0]$. Алгебра Бете $\mathcal{B}$ сохраняет пространства $E[\mu]$. Оператор инволюции группы Вейля алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ действует на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ и индуцирует изоморфизм $E[\mu]\to E[-\mu]$, называемый в [6] матрицей рассеяния. Алгебра Бете $\mathcal{B}$ инвариантна относительно действия группы Вейля. Матрица рассеяния $E[\mu]\to E[-\mu]$ является изоморфизмом $\mathcal{B}$-модулей. Процедура геометризации основывается на следующем наблюдении. Пусть $\psi\in E[\mu]$ – собственный вектор алгебры $\mathcal{B}$: где $E_i(x,\psi)$ – скалярные функции собственных значений собственного вектора $\psi$. С вектором $\psi$ мы связываем скалярный дифференциальный оператор
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_\psi=\partial_u^2+E_1(x,\psi)\partial_u+E_2(x,\psi).
\end{equation*}
\notag
$$
Оказывается, что ядро оператора $\mathcal E_\psi$ порождается двумя квазимногочленами $x^{-\mu/2}f(x)$ и $x^{\mu/2}g(x)$, где функции $f(x)$ и $g(x)$ – это многочлены степени $M/2$ со старшим коэффициентом $1$, при этом вронскиан квазимногочленов даётся формулой
$$
\begin{equation}
\operatorname{Wr}\bigl(x^{-\mu/2}f(x),x^{\mu/2}g(x)\bigr)= \frac{\mu}{x}\prod_{s=1}^n(x-z_s)^{m_s}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Это обстоятельство подсказывает, что пространство $X[\mu]$, геометризующее пару $\bigl(E[\mu],\mathcal{B}\big|_{E[\mu]}\bigr)$, есть пространство пар квазимногочленов $(x^{-\mu/2}f(x)$, $x^{\mu/2} g(x))$ с вронскианом, заданным формулой (1.1). В данной работе мы показываем, что это действительно так, а именно, мы доказываем, что пространство функций $E[\mu]$ с коммутативной алгеброй $\mathcal{B}\big|_{E[\mu]}$ дифференциальных операторов, действующих на $E[\mu]$, изоморфно алгебре функций на пространстве $X[\mu]$ пар квазимногочленов $(x^{-\mu/2}f(x)$, $x^{\mu/2}g(x))$, вронскиан которых даётся формулой (1.1). В частности, это означает, что собственные функции алгебры $\mathcal{B}\big|_{E[\mu]}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с точками пространства $X[\mu]$ (см. следствие 10). Мы также показываем, что изоморфизм $E[\mu]\to E[-\mu]$, заданный матрицей рассеяния, соответствует естественному изоморфизму $X[\mu]\to X[-\mu]$, переставляющему квазимногочлены,
$$
\begin{equation*}
(x^{-\mu/2}f(x),x^{\mu/2}g(x))\mapsto(x^{\mu/2}g(x),x^{-\mu/2}f(x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Результаты этой статьи указывают на существование тесной связи между квантовой динамической моделью Годена $(\mathcal{B},\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0])$ и пространствами пар квазимногочленов. Было бы интересно исследовать эллиптическую версию этой связи. В эллиптическом случае пары квазимногочленов заменяются парами тета-полиномов (см. [24]), однако эллиптический KZB-оператор $H_0$ зависит от $z$ и нет очевидных аналогов семейства пространств $E[\mu]$. Работа организована следующим образом. В разделе 2 определяется квантовая динамическая модель Годена для алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. В разделе 3 обсуждаеются свойства пространств $E[\mu]$. В разделе 4 мы вводим квантовую тригонометрическую модель $(V[\nu],\mathcal{B}(z;\mu;V[\nu]))$ на весовом подпространстве $V[\nu]\subset V$ и показываем, что квантовая динамическая модель Годена $\bigl(E[\mu],\mathcal{B}\big|_{E[\nu]}\bigr)$ изоморфна квантовой тригонометрической модели Годена $(V[0],\mathcal{B}(z;\mu;V[0]))$ на подпространстве веса нуль. В разделе 5 описывается анзац Бете для квантовой тригонометрической модели Годена. В разделах 6 и 7 мы изучаем ядро оператора $\mathcal E_\psi$. В разделах 8–11 мы развиваем процедуру геометризации. Конструкции в разделах 9–11 аналогичны конструкциям в [13], [12]. 2. Квантовая динамическая модель Годена2.1. $\operatorname{RST}$-оператор для $\mathfrak{gl}_2$Рассмотрим комплексную алгебру Ли $\mathfrak{gl}_2$ со стандартным базисом $e_{11}$, $e_{12}$, $e_{21}$, $e_{22}$. Пусть ${\mathfrak h} \subset \mathfrak{gl}_2$ – подалгебра Картана с базисом $e_{11}$, $e_{22}$; произвольный элемент в ${\mathfrak h}$ имеет вид $\lambda_1 e_{11}+\lambda_2 e_{22}$. Обозначим Пусть $z=\{z_1,\dots,z_n\}\subset \mathbb{C}^\times$ – множество ненулевых попарно различных чисел.Рассмотрим $\mathfrak{gl}_2$-модули $V^1,\dots,V^n$ и их тензорное произведение $V=\bigotimes\limits_{k=1}^nV^k$. Пусть $V=\bigoplus\limits_{\nu \in {\mathfrak h}^*} V[\nu]$ – разложение в прямую сумму весовых подпространств, где $V[\nu]=\{v\in V \mid e_{jj}v=\nu (e_{jj})v, \ j=1,2\}$. В частности, Для $g\in \mathfrak{gl}_2$ обозначим $g^{(s)}=1 \otimes \cdots \otimes g \otimes \cdots\otimes 1\in \operatorname{End}(V)$, где $g$ стоит в $s$-м факторе. Элемент $e_{jk}$ действует на $V$ как $e_{jk}^{(1)}+\cdots+e_{jk}^{(n)}$. Пусть $u$ – переменная. Введём обозначение Пусть
$$
\begin{equation*}
\partial_u=\dfrac{\partial }{\partial u}\,,\qquad \partial_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\,,\qquad \partial_{\lambda_j}=\dfrac{\partial}{\partial\lambda_j}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Введём $(2\times 2)$-матрицу $\mathcal{L}=(\mathcal{L}_{ij})$,
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} \pi\sqrt{-1}\,\displaystyle\sum_{s=1}^n \dfrac{z_s+x}{z_s-x}e_{11}^{(s)}+ \pi \operatorname{ctg} (\pi\lambda)e_{22} & \pi\sqrt{-1}\,\displaystyle\sum_{s=1}^n \dfrac{z_s+x}{z_s-x}e_{21}^{(s)}- \pi \operatorname{ctg} (\pi\lambda)e_{21} \\ \pi\sqrt{-1}\,\displaystyle\sum_{s=1}^n \dfrac{z_s+x}{z_s-x}e_{12}^{(s)}+ \pi \operatorname{ctg} (\pi\lambda)e_{12} & \pi\sqrt{-1}\,\displaystyle\sum_{s=1}^n \dfrac{z_s+x}{z_s-x}e_{22}^{(s)}- \pi \operatorname{ctg} (\pi\lambda) e_{11} \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Элементы матрицы $\mathcal{L}$ – тригонометрические функции от переменных $u$ и $\lambda$ со значениями в $\operatorname{End}(V)$. Универсальный динамический дифференциальный оператор (или $\operatorname{RST}$-оператор) определяется формулой
$$
\begin{equation}
\mathcal C=\operatorname{cdet}(\delta_{jk}\partial_u- \delta_{jk}\partial_{\lambda_{j}}+\mathcal{L}_{jk}),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $\operatorname{cdet}$-определитель $(2\times 2)$-матрицы $A=(a_{jk})$ с некоммутирующими элементами определяется формулой Запишем $\operatorname{RST}$-оператор в виде где $C_1(x)$ и $C_2(x)$ – функции переменной $x$ со значениями в пространстве линейных дифференциальных операторов по переменным $\lambda_1$, $\lambda_2$ с коэффициентами в пространстве $\operatorname{End}(V)$. Теорема 1 [20]. Зафиксируем $z=\{z_1,\dots,z_n\}\subset \mathbb{C}^\times$. Тогда для любого $a \in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ операторы $C_1(a)$, $C_2(a)$, ограниченные на подпространство $V[0]$-значных функций от $\lambda_1$, $\lambda_2$, являются линейными дифференциальными операторами по переменным $\lambda_1$, $\lambda_2$ с коэффициентами в $\operatorname{End}(V[0])$. Кроме того, для любых $a,b \in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ дифференциальные операторы $C_j(a)$, $C_k(b)$, $j,k=1,2$, действующие на пространстве $V[0]$-значных функций от $\lambda_1$, $\lambda_2$, коммутируют: Эллиптический $\operatorname{RST}$-оператор для алгебры Ли $\mathfrak{gl}_N$ введён В. Н. Рубцовым, А. В. Силантьевым и Д. В. Талалаевым в [20]. Эллиптический $\operatorname{RST}$-оператор для алгебры Ли $\mathfrak{gl}_2$ обсуждается в [24]. $\operatorname{RST}$-оператор в формуле (2.6) является тригонометрическим вырождением эллиптического $\operatorname{RST}$-оператора для $\mathfrak{gl}_2$. 2.2. Динамическая алгебра Бете пространства $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$В настоящей работе мы изучаем $\operatorname{RST}$-оператор, отвечающий алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$. Алгебра Ли $\mathfrak{sl}_2$ является подалгеброй алгебры Ли $\mathfrak{gl}_2$, которая раскладывается в прямую сумму $\mathfrak{gl}_2=\mathfrak{sl}_2 \oplus \mathbb{C}(e_{11}+e_{22})$, где $e_{11}+e_{22}$ – центральный элемент. Пусть $V^1,\dots,V^n$ – это $\mathfrak{sl}_2$-модули, рассматриваемые как модули над $\mathfrak{gl}_2$, где центральный элемент $e_{11}+e_{22}$ действует нулём. Пусть $V=\bigotimes\limits_{k=1}^n V^k$ – тензорное произведение $\mathfrak{sl}_2$-модулей. В настоящей работе мы будем рассматривать только такие тензорные произведения. Произвольный элемент подалгебры Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ имеет вид $\lambda_1e_{11}+\lambda_2e_{22}$, где $\lambda_1+\lambda_2=0$. Мы отождествляем алгебру функций на подалгебре Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ с алгеброй функций от переменной поскольку выражения вида $\lambda_1e_{11}+\lambda_2e_{22}$, где $\lambda_1+\lambda_2=0$, однозначно определяются разностью $\lambda_1-\lambda_2$.Обозначим через $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ пространство $V[0]$-значных мероморфных функций на подалгебре Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Иными словами, $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ – это пространство $V[0]$-значных мероморфных функций от переменной $\lambda$. Каждый из коэффициентов $C_1(x)$, $C_2(x)$ $\operatorname{RST}$-оператора задаёт дифференциальный оператор, действующий на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$. С этого момента мы рассматриваем коэффициенты $C_1(x)$, $C_2(x)$ как семейство коммутирующих дифференциальных операторов на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$, зависящих от параметра $x$. Коммутативная алгебра дифференциальных операторов на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$, порождённая тождественным оператором и операторами
$$
\begin{equation*}
\{C_j(a)\mid j=1,2, \ a \in \mathbb{C} \setminus\{z_1,\dots,z_n\}\},
\end{equation*}
\notag
$$
называется динамической алгеброй Бете пространства $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$. Отметим, что эта алгебра зависит от выбора чисел $z_1,\dots,z_n$. 2.3. Тензорное произведение $\mathfrak{sl}_2$-модулейЗафиксируем $m \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ и обозначим через $V_{m}$ неприводимый $\mathfrak{sl}_2$-модуль со старшим весом $m$. В пространстве $V_{m}$ есть базис $v^m_0,\dots,v^m_m$ такой, что
$$
\begin{equation}
(e_{11}-e_{22})v^m_k=(m-2k)v^m_k, \quad e_{21}v^m_k=(k+1)v^m_{k+1}, \quad e_{12}v^m_k=(m-k+1)v^m_{k-1}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
В дальнейшем мы рассматриваем тензорное произведение неприводимых $\mathfrak{sl}_2$-модулей:
$$
\begin{equation}
V=\bigotimes_{s=1}^n V_{m_s}, \qquad m_s\in\mathbb{Z}_{> 0}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Рассмотрим весовое разложение $V=\bigoplus\limits_{\nu\in\mathbb{Z}}V[\nu]$, где Если пространство $V[\nu]$ ненулевое, то для некоторого неотрицательного целого $k$. Пространство $V[0]$ ненулевое, если сумма $\displaystyle\sum_{s=1}^n m_s$ чётная. 2.4. Оператор $\mathcal A(\mu)$Группа Вейля $W$ алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ состоит из двух элементов: тождественного отображения и инволюции $\sigma$. Проективное действие группы $W$ на $V_m$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
\sigma\colon v^m_k \mapsto (-1)^kv^m_{m-k}, \qquad k \in \{0,\dots, m\}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Заметим, что $\sigma^2=(-1)^m$. Группа Вейля $W$ действует на тензорном произведении $V$ диагонально. Следуя [23], введём
$$
\begin{equation}
p(\mu)=\sum_{k=0}^\infty \,e_{21}^k e_{12}^k\,\frac{1}{k!}\, \prod_{j=0}^{k-1}\,\frac{1}{\mu +e_{22}-e_{11}-j}\,,\qquad \mu\in \mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Действие $p(\mu)$ на $V_m$ определено корректно, поскольку только конечное множество слагаемых в правой части формулы (2.14) действует на $V_m$ нетривиально. Формула действия $p(\mu)$ на базисный вектор $v^m_k$ записывается в более симметричном виде, если заменить $\mu$ на $\mu+\nu/2-1$, где $\nu=m-2k$ – вес вектора $v^m_k$:
$$
\begin{equation}
p\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr) v^m_k=\prod_{j=0}^{k-1}\, \frac{\mu+m/2-j}{\mu-m/2+j}\,v^m_k
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
(см. [23; разд. 2.5]). Ряд $p(\mu)$ действует на тензорном произведении $V$ стандартным образом. Введём оператор
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\mu) \colon V \to V, \quad v \mapsto \sigma p(\mu) v.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Оператор $\mathcal A(\mu)$ является мероморфной функцией от $\mu$. Для каждого $\nu$ имеет место вложение $\mathcal A(\mu)V[\nu] \subset V[-\nu]$, и $\lim_{\mu\to \infty} \mathcal A(\mu)=\sigma$. Оператор $\mathcal A(\mu)$ можно рассматривать как деформацию оператора группы Вейля $\sigma$. Лемма 2.1. Для пространства $V=\bigotimes\limits_{s=1}^n V_{m_s}$, введённого в (2.10), обозначим $M=\displaystyle\sum_{s=1}^n m_s$. Предположим, что $\mu \notin M/2+\mathbb{Z}$. Тогда для любого $\nu$ оператор является изоморфизмом векторных пространств. Композиция этого оператора и оператора есть скалярный оператор умножения на $(-1)^M\dfrac{\mu -\nu/2}{\mu+\nu/2}$ на пространстве $V[\nu]$. Доказательство. В разложении $V=\bigoplus\limits_m V_m$ пространства $V$ на неприводимые $\mathfrak{sl}_2$-модули $V_m$ все старшие веса $m$ имеют вид $m=M-2k$, где $k\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Следовательно, формула (2.15) означает, что отображение (2.17) является изоморфизмом. Второе утверждение леммы о композиции операторов доказано в [23; теорема 10]. Лемма доказана. Замечание 1. Оператор $\mathcal A(\mu)$ является (единственным) нетривиальным элементом динамической группы Вейля пространства $V$, см. определения в [4]. 2.5. KZB-операторыВведём следующие элементы в $\mathfrak{gl}_2\otimes\mathfrak{gl}_2$:
$$
\begin{equation*}
\Omega_{12}=e_{12}\otimes e_{21},\qquad \Omega_{21}=e_{21}\otimes e_{12}, \qquad \Omega_0=e_{11}\otimes e_{11}+e_{22}\otimes e_{22}
\end{equation*}
\notag
$$
и KZB-операторами называются следующие дифференциальные операторы по переменным $\lambda_1$, $\lambda_2$, действующие на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_0&=\frac{1}{4\pi i}(\partial_{\lambda_1}^2+\partial_{\lambda_2}^2)+ \frac{\pi i}{4}\,\sum_{s,t=1}^n\biggl[\frac{1}{2}\Omega^{(s,t)}_0+ \frac{1}{\sin^2(\pi\lambda)}\bigl(\Omega_{12}^{(s,t)}+ \Omega_{21}^{(s,t)}\bigr)\biggr], \\ H_s(z)&=-(e_{11}^{(s)}\partial_{\lambda_1}+e_{22}^{(s)}\partial_{\lambda_2})\\ &\hphantom{={}}+ \sum_{t: t \ne s}\biggl[\pi i\,\frac{z_t+z_s}{z_t-z_s} \, \Omega^{(s,t)}- \pi \operatorname{ctg} (\pi\lambda)\bigl(\Omega_{12}^{(s,t)}- \Omega_{21}^{(s,t)}\bigr)\biggr] \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
(ср. формулы в [8; п. 3.4]). Эллиптические KZB-операторы были введены в [7]. В формуле (2.19) рассматриваются тригонометрические вырождения эллиптических KZB-операторов. Согласно [7] операторы $H_0,H_1(z),\dots,H_n(z)$ коммутируют и $\displaystyle\sum_{s=1}^n H_s(z)=0$. Замечание 2. Дифференциальный оператор $H_0$ является гамильтонианом квантовой тригонометрической системы двух частиц со спиновым пространством $V$. 2.6. Коэффициенты $C_1(x)$, $C_2(x)$Лемма 2.2. Имеет место соотношение Следовательно, оператор $C_1(x)$ действует умножением на нуль на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$. Следствие 1. $\operatorname{RST}$-оператор (2.6), ограниченный на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$, имеет вид Теорема 2 [24]. Имеет место соотношение где $c_2=e_{11}e_{22}-e_{12}e_{21}+e_{11}$ – центральный элемент алгебры Ли $\mathfrak{gl}_2$. Доказательство. Эта теорема является тригонометрическим вырождением своего эллиптического аналога (см. [24; теорема 4.9]). Следствие 2. Динамическая алгебра Бете пространства $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ порождается KZB-операторами $H_0,H_1(z),\dots,H_n(z)$ и тождественным оператором. Заметим, что из условия коммутативности KZB-операторов и соотношений (2.21), (2.22) следует коммутативность операторов $C_2(a)$ и $C_2(b)$ для любых $a,b \in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ (ср. теорему 1). 2.7. Инвариантность относительно группы ВейляГруппа Вейля действует на пространстве $V[0]$ (см. п. 2.4). Поэтому она действует и на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$,
$$
\begin{equation}
\sigma\colon \psi(\lambda) \mapsto \sigma (\psi(-\lambda)), \qquad \psi \in\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0].
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Это действие продолжается на действие на пространстве $\operatorname{End}(\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0])$. А именно, где $\sigma,T,\sigma^{-1} \in \operatorname{End}(\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0])$. Лемма 2.3 [24]. Оператор $C_2(a) \in\operatorname{End}(\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0])$ инвариантен относительно действия группы Вейля для любого $a\in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$. Доказательство. Из [7] следует, что KZB-операторы $H_0,H_1(z),\dots,H_n(z)$ инвариантны относительно действия группы Вейля. Поэтому лемма вытекает из формулы (2.22).
3. Собственные функции оператора $H_0$3.1. Тригонометрические операторы ГоденаТригонометрическая $r$-матрица определяется формулой где $\Omega_+=\Omega_0/2+\Omega_{12}$, $\Omega_-=\Omega_0/2+\Omega_{21}$.Тригонометрические операторы Годена зависят от числа $\mu \in \mathbb{C}$ и определяются формулами
$$
\begin{equation}
\mathcal{K}_s(z,\mu)=\frac{\mu}{2}(e_{11}-e_{22})^{(s)}+\sum_{t:t \ne s} r^{(s,t)}\biggl(\frac{z_s}{z_t}\biggr), \qquad s=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Операторы $\mathcal{K}_s(z,\mu)$ действуют на пространстве $V$, сохраняют весовые подпространства $V[\nu]$ и коммутируют между собой: для любых $s$, $t$ (см. [1], [3]). 3.2. Динамическая алгебра Бете пространства $E(\mu)$Пусть
$$
\begin{equation*}
\Lambda=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,\lambda}, \quad\text{где}\quad \lambda=\lambda_1-\lambda_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Введём алгебру $\mathcal{A}$ функций переменной $\lambda$, которые могут быть представлены в виде мероморфных функций от $\Lambda$ с единственным полюсом в точке $\Lambda=1$. Для $\mu\in\mathbb{C}$ рассмотрим $\mathcal{A}$-модуль $\mathcal{A}[\mu]$, состоящий из функций вида $e^{\pi\sqrt{-1}\,\mu\lambda}f$, где $f\in\mathcal{A}$. Этот модуль инвариантен относительно дифференцирования по переменным $\lambda_1$, $\lambda_2$. Следовательно, KZB-оператор $H_0$ сохраняет пространство $\mathcal{A}[\mu]\otimes V[0]$. Произвольный элемент $\psi \in \mathcal{A}[\mu]\otimes V[0]$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\psi(\lambda)= e^{\pi\sqrt{-1}\,\mu\lambda}\sum_{k=0}^\infty\Lambda^k\psi^k,\qquad \psi^k\in V[0].
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3 ([6], ср. также [8]). Пусть $\mu \notin\mathbb{Z}_{>0}$. Тогда для любого ненулевого $v \in V[0]$ существует единственная функция $\psi\in\mathcal{A}[\mu]\otimes V[0]$ такая, что и $\psi^0=v$. Более того, $\epsilon=\pi\sqrt{-1}\,\mu^2/2$. Такая функция $\psi$ обозначается $\psi_v$. Рассмотрим векторное пространство $E[\mu]$, которое состоит из функций $\psi\in \mathcal{A}[\mu] \otimes V[0]$ таких, что Более подробно об этом пространстве написано в [8; разд. 9].Для нулевого вектора в $V[0]$ мы определяем $\psi_0$ как нулевой элемент пространства $\mathcal{A}[\mu] \otimes V[0]$. Следствие 3. Для $\mu \notin \mathbb{Z}_{>0}$ отображение является изоморфизмом комплексных векторных пространств. Теорема 4 [8]. Пусть $\mu \notin \mathbb{Z}_{>0}$. Тогда для $s=1,\dots,n$ KZB-операторы $H_s(z)$ сохраняют пространство $E[\mu]$. Более того, для любого $v \in V[0]$ имеет место тождество где $w=-2\pi\sqrt{-1}\,\mathcal{K}_s(z,\mu)v$. Теорема 5. Пусть $\mu \notin \mathbb{Z}_{>0}$, $V=\bigotimes\limits_{s=1}^n V_{m_s}$. Пусть $v\in V[0]$. Тогда где Доказательство. Теорема 2 позволяет вычислить действие дифференциального оператора $C_2(X)$ на функцию $\psi_v$. Это вычисление основывается на теореме 4, а также использует тот факт, что $c_2$ действует на пространстве $V_{m_s}$ умножением на $-m_s(m_s+2)/4$. Теорема доказана. Из теоремы 4 следует, что подпространство $E[\mu]\subset \operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ инвариантно относительно действия динамической алгебры Бете. Ограничение динамической алгебры Бете на $E[\mu]$ называется динамической алгеброй Бете пространства $E[\mu]$ и обозначается $\mathcal{B}(z;E[\mu])$. Отметим, что $E[\mu]$ – конечномерное векторное пространство размерности $\dim V[0]$, не зависящее от $z$, поскольку KZB-оператор $H_0$ не зависит от $z$. При этом алгебра $\mathcal{B}(z;E[\mu])$, порождённая тождественным оператором и KZB-операторами $H_1(z),\dots,H_s(z)$, зависит от $z$. 3.3. Матрица рассеяния двух частиц. Теорема 6 [6; лемма 6.2]. Если $\mu\notin\mathbb{Z}$, то действие оператора $\sigma$ группы Вейля на пространстве $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ (см. (2.23)) отождествляет пространства $E[\mu]$ и $E[-\mu]$. А именно, для любого $v\in V[0]$ выполняется соотношение 4. Квантовая тригонометрическая модель Годена4.1. Универсальный дифференциальный операторПусть Введём $(2\times 2)$-матрицу
$$
\begin{equation}
\mathcal M=\begin{bmatrix} \mathcal M_{11} & \mathcal M_{12} \\ \mathcal M_{21} & \mathcal M_{22} \\ \end{bmatrix}=-2 \pi \sqrt{-1}\,\sum_{s=1}^n r^{(0,s)} \biggl(\frac{x}{z_s}\biggr),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $r(x)$ – тригонометрическая $r$-матрица, определённая в (3.1); таким образом,
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}=\begin{bmatrix} 2\pi i \displaystyle\sum_{s=1}^n\dfrac{1}{1-x/z_s}\,e_{11}^{(s)}- \pi i e_{11} & 2 \pi i\displaystyle\sum_{s=1}^n\dfrac{1}{1-x/z_s}\, e_{21}^{(s)}-2 \pi i e_{21} \\ 2\pi i\displaystyle\sum_{s=1}^n\dfrac{1}{1-x/z_s}\,e_{12}^{(s)} & 2\pi i\displaystyle\sum_{s=1}^n\dfrac{1}{1-x/z_s}\,e_{22}^{(s)}-\pi i e_{22} \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Универсальный (тригонометрический) дифференциальный оператор с параметром $\mu\in\mathbb{C}$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}=\operatorname{cdet}\begin{bmatrix} \partial_u-\pi\sqrt{-1}\,\mu+\mathcal{M}_{11} & \mathcal{M}_{12} \\ \mathcal{M}_{21} & \partial_u+\pi\sqrt{-1}\,\mu+\mathcal{M}_{22} \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Запишем оператор $\mathcal{D}$ в виде где $D_1(x)$, $D_2(x)$ – функции от $x$ со значениями в $\operatorname{End}(V)$. Ясно, что оператор $\mathcal{D}$ коммутирует с действием подалгебры Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ на пространстве $V$. В частности, это означает, что операторы $D_1(x)$ и $D_2(x)$ сохраняют весовое разложение пространства $V$. 4.2. Коэффициенты $D_1(x)$, $D_2(x)$ и операторы Годена Доказательство. Теорема доказывается прямым вычислением. А именно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{D}&=\biggl(\partial_u-\pi\sqrt{-1}\,\mu+2\pi\sqrt{-1}\,\sum_{s=1}^n \frac{1}{1-x/ z_s} e_{11}^{(s)}-\pi \sqrt{-1}\,e_{11}\biggr) \\ &\qquad\times\biggl(\partial_u+\pi\sqrt{-1}\,\mu+2\pi\sqrt{-1}\, \sum_{s=1}^n\frac{1}{1-x/z_s}e_{22}^{(s)}-\pi\sqrt{-1}\,e_{22}\biggr) \\ &\qquad-\biggl(2\pi\sqrt{-1}\,\sum_{s=1}^n\frac{1}{1-x/z_s}e_{12}^{(s)}\biggr) \biggl(2\pi\sqrt{-1}\,\sum_{s=1}^n \frac{1}{1-x/z_s}e_{21}^{(s)}-2\pi\sqrt{-1}\,e_{21}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, Напомним, что $x=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,u}$, поэтому $\partial_u=-2 \pi\sqrt{-1} \,x \partial_x$. Следовательно, коэффициент при $(2\pi\sqrt{-1}\,)^{-2} D_2(x)$ равен
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber -\frac{\mu^2}{4}&-\sum_{s=1}^n \frac{e_{22}^{(s)}}{(1-x/z_s)^2}+ \sum_{s=1}^n \frac{e_{22}^{(s)}}{1-x/z_s} +\frac{\mu}{2} \sum_{s=1}^n \frac{e_{11}^{(s)}-e_{22}^{(s)}}{1-x/z_s}- \frac{\mu}{4}(e_{11}-e_{22}) \\ \nonumber &+\sum_{s=1}^n \frac{e_{11}^{(s)} e_{22}^{(s)}}{(1-x/z_s)^2} +\sum_{s=1}^n \biggl(\,\sum_{t: t\ne s}\frac{e_{11}^{(s)} e_{22}^{(t)}+ e_{11}^{(t)} e_{22}^{(s)}}{1- z_s/ z_t}\biggr)\frac{1}{1-x/z_s} \\ \nonumber &-\sum_{s=1}^n \frac{e_{11}^{(s)} e_{22}^{(s)}}{1-x/z_s}- \sum_{s=1}^n \biggl( \,\sum_{t: \, t\ne s} e_{22}^{(t)} \biggr) \frac{e_{11}^{(s)}}{1-x/z_s}+\frac{1}{4} e_{11} e_{22}- \sum_{s=1}^n \frac{e_{12}^{(s)}e_{21}^{(s)}}{(1-x/z_s)^2} \\ \nonumber &-\sum_{s=1}^n\biggl(\,\sum_{t: t\ne s}\frac{e_{12}^{(s)}e_{21}^{(t)}+ e_{12}^{(t)} e_{21}^{(s)}}{1-z_s/ z_t}\biggr)\frac{1}{1-x/z_s} \\ &+\sum_{s=1}^n\frac{e_{12}^{(s)} e_{21}^{(s)}}{1-x/z_s}+\sum_{s=1}^n \biggl(\,\sum_{t: t\ne s} e_{21}^{(t)}\biggr)\frac{e_{12}^{(s)}}{1-x/z_s}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Свободный член в (4.6) равен $-\dfrac{\mu^2+\mu(e_{11}-e_{22})-e_{11} e_{22}}{4}$ . Для $s=1,\dots,n$ коэффициент при $\dfrac{1}{1-x/z_s}$ равен
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -c_2^{(s)}+\frac{\mu}{2}(e_{11}-e_{22})^{(s)}+\sum_{t: t \ne s} \frac{e_{12}^{(s)} e_{21}^{(t)}z_s+e_{12}^{(t)}e_{21}^{(s)}z_t}{z_s-z_t}+ e_{22}^{(s)}( e_{22}-e_{22}^{(s)}) \\ =-c_2^{(s)}+\mathcal{K}_s(z,\mu)=\frac{m_s(m_s+2)}{4}+K_s(z\mu). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент при $\dfrac{1}{(1-x/z_s)^2}$ , $s=1,\dots,n$, равен Теорема доказана. Лемма 4.1. Для любых $a,b\in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}$ операторы $D_2(a),D_2(b)\in \operatorname{End}(V)$ коммутируют. Кроме того, они коммутируют с действием на $V$ подалгебры Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Доказательство. Очевидно, что тригонометрические операторы Годена $\mathcal{K}_s(z,\mu)$ коммутируют с подалгеброй Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Поэтому утверждение леммы следует из теоремы 7 и свойств коммутативности операторов $\mathcal{K}_s(z,\mu)$. Следствие 4. Зафиксируем весовое подпространство $V[\nu] \subset V$. Тогда оператор $(2\pi\sqrt{-1}\,)^{-2}D_2(x)$, ограниченный на $V[\nu]$, имеет вид Коммутативная алгебра операторов на $V[\nu]$, порождённая тождественным оператором и операторами $\{D_2(a)\mid a\in \mathbb{C}\setminus\{z_1,\dots,z_n\}\}$, называется алгеброй Бете пространства $V[\nu]$ с параметром $\mu$ и обозначается $\mathcal{B}(z;\mu;V[\nu])$. Она порождается тождественным оператором и тригонометрическими операторами Годена $\mathcal{K}_1(z,\mu),\dots,\mathcal{K}_n(z,\mu)$. Пара $(V[\nu],\mathcal{B}(z;\mu;V[\nu]))$ называется тригонометрической моделью Годена на пространстве $V[\nu]$. Следствие 5. Пусть $\mu\notin \mathbb{Z}_{>0}$. Тогда изоморфизм $V[0]\to E[\mu]$ в формуле (3.3) индуцирует изоморфизм $\mathcal{B}(z;\mu;V[0])\to \mathcal{B}(z;E[\mu])$ алгебры Бете пространства $V[0]$ с параметром $\mu$ и динамической алгебры Бете пространства $E[\mu]$. 4.3. Операторы Годена и группа Вейля.Лемма 4.2 [23; лемма 18] (ср. [18; лемма 5.5]). Для любого весового подпространства $V[\nu]$ и произвольного вектора $v\in V[\nu]$ выполняется соотношение Теорема 8. Пусть $V=\bigotimes\limits_{s=1}^n V_{m_s}$ и $M=\displaystyle\sum_{s=1}^n m_s$. Пусть $\mu \notin \dfrac{M}{2}+\mathbb{Z}$. Тогда для любого $\nu$ изоморфизм векторных пространств индуцирует изоморфизм алгебр Бете 4.4. Коммутативная диаграммаПредположим, что $\mu\notin\mathbb{Z}$ и $M$ чётно. Тогда весовое подпространство $V[0]$ – ненулевое. Рассмотрим пространство $V[0]$ как модуль над $\mathcal{B}(z;\mu;V[0])$ и то же пространство $V[0]$ как модуль над $\mathcal{B}(z;-\mu;V[0])$. Также рассмотрим $\mathcal{B}(z; E[\mu])$-модуль $E[\mu]$ и $\mathcal{B}(z;E[-\mu])$-модуль $E[-\mu]$. Следующая диаграмма описывает связь между этими модулями: На этой диаграмме отображение
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{B}(z;\mu;V[0]),V[0]) \to (\mathcal{B}(z;-\mu;V[0]),V[0])
\end{equation*}
\notag
$$
– это изоморфизм модулей из теоремы 8; отображение
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{B}(z;E[\mu]),E[\mu]) \to (\mathcal{B}(z;E[-\mu]),E[-\mu])
\end{equation*}
\notag
$$
– это изоморфизм модулей, индуцированный инволюцией $\sigma$ (см. лемму 2.3), а отображения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\mathcal{B}(z;\mu;V[0]),V[0])&\to (\mathcal{B}(z; E[\mu]),E[\mu]), \\ (\mathcal{B}(z;-\mu;V[0]),V[0])&\to (\mathcal{B}(z;E[-\mu]),E[-\mu]) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
– это изоморфизмы из следствия 5. Теорема 9. Диаграмма (4.11) коммутативна. 5. Анзац Бете5.1. Уравнения анзаца Бете для тройки $(z;\mu;V[\nu])$Пусть $V=\bigotimes\limits_{s=1}^n V_{m_s}$ (см. (2.10)) и $M=\displaystyle\sum_{s=1}^n m_s$. Рассмотрим ненулевое весовое подпространство $V[\nu]$ в $V$. Тогда $\nu=M-2m$ для некоторого целого неотрицательного числа $m$. Пусть $\mu\in\mathbb{C}$ и $z=\{z_1,\dots,z_n\}\subset\mathbb{C}^\times$ – множество ненулевых попарно различных чисел (см. п. 2.1). Введём мастер-функцию, зависящую от переменных $t=(t_1,\dots,t_m)$, $\mu$, $z$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi(t,z,\mu)&=\biggl(1-\mu+\frac{\nu}{2}\biggr)\sum_{i=1}^m \ln t_i+\sum_{s=1}^n\frac{m_s}{4}(2\mu+m_s-\nu)\ln z_s \\ &\qquad+2\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant m}\ln(t_i-t_j)- \sum_{i=1}^m\,\sum_{s=1}^n m_s\ln(t_i-z_s) \\ &\qquad+\sum_{1 \leqslant s < r \leqslant n}\frac{m_s m_r}{2}\ln(z_s-z_r). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения анзаца Бете – это уравнения на критические точки мастер-функции $\Phi(t,z,\mu)$ относительно переменных $t_1,\dots,t_m$:
$$
\begin{equation}
\frac{1-\mu+\nu/2}{t_i}+\sum_{j \ne i}\frac{2}{t_i-t_j}- \sum_{s=1}^n\frac{m_s}{t_i-z_s}=0,\qquad i=1,\dots,m.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Мастер-функция $\Phi(t,z,\mu)$ является тригонометрическим вырождением эллиптической мастер-функции, рассматривавшейся в [24; п. 5] (см. также [5], [10]). Симметрическая группа $S_m$ действует на множестве критических точек. Если $(t_1^0,\dots,t^0_m;z;\mu)$ – решение уравнений анзаца Бете, то для любой перестановки $\rho\in S_m$ точка $\bigl(t_{\rho(1)}^0,\dots,t^0_{\rho(m)};z;\mu\bigr)$ также является решением. 5.2. Векторы БетеПусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{C}=\{\ell=(\ell_1,\dots,\ell_n)\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}\mid \ell_s\leqslant m_s,\,\ell_1+\cdots+\ell_n=m\}, \\ \omega_{\ell}(t,z)=\operatorname{Sym}\biggl[\,\prod_{s=1}^n\, \prod_{i=\ell_1+\cdots+\ell_{s-1}+1}^{\ell_1+\cdots+\ell_s} \frac{1}{t_i-z_s}\biggr], \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Sym}f(t_1,\dots,t_m)= \displaystyle\sum_{\rho \in S_m}f(t_{\rho(1)},\dots,t_{\rho(m)})$. Рассмотрим весовую функцию
$$
\begin{equation}
\omega(t,z)=\sum_{\ell \in \mathcal{C}}\omega_{\ell}(t,z) v^{m_1}_{\ell_1}\otimes\cdots\otimes v^{m_n}_{\ell_n}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
(см. п. 2.3). Об этой функции см. [18], а также [8], [10], [21]. Отметим, что $\omega(t,z)$ – симметрическая функция переменных $t_1,\dots,t_m$. Если $(t^0;z;\mu)$ – решение уравнений анзаца Бете (5.1), то вектор $\omega(t^0,z)$ называется вектором Бете. Теорема 10 [16], [25]. Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1). Тогда вектор Бете $\omega(t^0,z)$ – ненулевой. Теорема 11 [5], [8] (ср. [19]). Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1). Тогда вектор Бете $\omega(t^0,z)$ является собственным вектором тригонометрических операторов Годена: Введём обозначение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber k_s(t^0,z,\mu)&=z_s\,\frac{\partial \Phi}{\partial z_s}(t^0,z,\mu) \\ &=\frac{m_s}{2}\biggl[\biggl(\mu-\frac{\nu}{2}+\frac{m_s}{2}\biggr)+ \sum_{p: p \ne s} m_p \frac{z_s}{z_s-z_p}+ 2\sum_{i=1}^m\frac{z_s}{t_i^0-z_s}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
5.3. Векторы Бете и коэффициент $D_2(x)$.Лемма 5.1. Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1). Тогда вектор Бете $\omega(t^0,z)$ является собственным для всех операторов алгебры Бете $\mathcal{B}(z;\mu;V[\nu])$. В частности, оператор $D_2(x)$ действует на $\omega(t^0,z)$ умножением на скаляр Для решения $(t^0;z;\mu)$ уравнений анзаца Бете (5.1) мы вводим фундаментальный дифференциальный оператор
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}=\partial_u^2+E_2(x,t^0,z,\mu),
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где функция $E_2(x,t^0,z,\mu)$ приведена в (5.4). 5.4. Базис из векторов БетеМетод анзаца Бете – это метод строить собственные векторы коммутирующих операторов, в качестве примера см. лемму 5.1. Стандартная проблема состоит в том, чтобы определить, образуют ли построенные собственные векторы базис в пространстве действия этих операторов. В случае леммы 5.1 ответ утвердительный. Лемма 5.2. Пусть $\mu\notin \nu/2+\mathbb{Z}_{>0}$. Тогда для $z=\{z_1,\dots,z_n\}$ общего положения множество решений $(t^0;z;\mu)$ системы уравнений (5.1) таково, что соответствующие им векторы Бете $\omega(t^0,z,\mu)$ образуют базис в пространстве $V[\nu]$. Доказательство. Общность положения в лемме 5.2 означает, что множество точек $z$ общего положения является открытым по Зарискому множеством в пространстве всех точек. Доказательство леммы аналогично доказательству в [22; теорема 8] (ср. [17; п. 4.4], [18; п. 5.4], [11; п. 10.6]).
6. Функция $w(x)$ в ядре оператора $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1), где $t^0=(t^0_1,\dots,t^0_m)$. Определим функции
$$
\begin{equation}
y(x)=\prod_{i=1}^m (x- t^0_i), \qquad w(x)=y(x) x^{(\nu/2-\mu)/2}\prod_{s=1}^n(x-z_s)^{-m_s/2}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Теорема 12. Оператор $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$ записывается в виде где $'=\partial/\partial u$. Иными словами, Замечание 3. Для $\nu=0$ теорема 12 является тригонометрическим вырождением своего эллиптического аналога (см. [24; теорема 5.3]). Доказательство. Так как $x=e^{-2\pi \sqrt{-1}u}$ (см. (2.3)), то $\partial_u=-2\pi\sqrt{-1}\,x \partial_x$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\ln w)'&=-2\pi\sqrt{-1}\,\biggl[-\frac{\nu/2+\mu}{2}+\sum_{i=1}^m \frac{t^0_i}{x-t^0_i}-\frac{1}{2}\sum_{s=1}^n\frac{z_s m_s}{x-z_s}\biggr], \\ (\ln w)''&=(2\pi\sqrt{-1}\,)^2 \biggl[-\sum_{i=1}^m\frac{t^0_i}{x-t^0_i}- \sum_{i=1}^m\frac{(t^0_i)^2}{(x-t^0_i)^2}\\ &\qquad\qquad\qquad\;+ \frac{1}{2}\sum_{s=1}^n\frac{z_s m_s}{x-z_s}+ \frac{1}{2}\sum_{s=1}^n\frac{z_s^2 m_s}{(x-z_s)^2}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $(2\pi\sqrt{-1}\,)^{-2}[-(\ln w)''-((\ln w)')^2]$ равно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^m \frac{t^0_i}{x-t^0_i}+ \sum_{i=1}^m \frac{(t^0_i)^2}{(x-t^0_i)^2} -\frac{1}{2} \sum_{s=1}^n \frac{z_s m_s}{x-z_s}- \frac{1}{2} \sum_{s=1}^n\frac{z_s^2 m_s}{(x-z_s)^2} \\ &\qquad-\frac{1}{4}\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}\biggr)^2- \sum_{i=1}^m\frac{(t_i^0)^2}{(x-t^0_i)^2}- 2\sum_{i=1}^m\,\sum_{j:j \ne i}\frac{t^0_it^0_j}{t^0_i-t^0_j}\, \frac{1}{x-t^0_i} \\ &\qquad-\frac{1}{4} \sum_{s=1}^n \frac{z_s^2 m_s^2}{(x-z_s)^2}- \frac{1}{2}\sum_{s=1}^n\,\sum_{p:p \ne s}\frac{z_s z_pm_s m_p}{z_s-z_p}\, \frac{1}{x-z_s}+\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}\biggr) \sum_{i=1}^m \frac{t^0_i}{x-t^0_i} \\ &\qquad-\frac{1}{2}\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}\biggr)\sum_{s=1}^n \frac{z_s m_s}{x-z_s}+\sum_{i=1}^m\,\sum_{s=1}^n \frac{t^0_i z_s m_s}{t^0_i-z_s}\,\frac{1}{x-t^0_i}- \sum_{i=1}^m\,\sum_{s=1}^n\frac{t^0_i z_s m_s}{t^0_i-z_s}\,\frac{1}{x-z_s}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $i=1,\dots,m$ коэффициент при $\dfrac{1}{(x-t^0_i)^2}$ в приведённом выше выражении равен нулю. Коэффициент при $\dfrac{1}{x-t^0_i}$ равен
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}+1\biggr)t^0_i- \sum_{j:j \ne i}\frac{2t^0_it^0_j}{t^0_i-t^0_j}+ \sum_{s=1}^n\frac{t^0_i z_sm_s}{t^0_i-z_s} \\ &\qquad=t^0_i\biggl[\mu+\frac{\nu}{2}+1+ 2\sum_{j:j \ne i} \frac{t^0_j-t^0_i+t^0_i}{t^0_j-t^0_i}- \sum_{s=1}^n \frac{(z_s-t^0_i+t^0_i)m_s}{z_s-t^0_i}\biggr] \\ &\qquad=t^0_i\biggl[\mu+\frac{\nu}{2}+1+2(m-1)+\sum_{j:j \ne i} \frac{2t^0_i}{t^0_j-t^0_i}-\sum_{s=1}^n m_s- \sum_{s=1}^n\frac{t^0_i m_s}{z_s-t^0_i}\biggr] \\ &\qquad=-(t^0_i)^2\biggl[\frac{1-\mu+\nu/2}{t^0_i}+ \sum_{j:j \ne i}\frac{2}{t^0_i-t^0_j}- \sum_{s=1}^n\frac{m_s}{t^0_i-z_s}\biggr]=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее равенство следует из уравнений анзаца Бете (5.1). Для каждого $s=1,\dots,n$ коэффициент при $\dfrac{1}{(1-x/z_s)^2}$ равен $-\dfrac{m_s(m_s+2)}{4}$ . Коэффициент при $\dfrac{1}{1-x/z_s}$ равен
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}m_s+\frac{1}{2} m_s\sum_{p:p \ne s}\frac{z_p m_p}{z_s-z_p}+ \frac{1}{2}\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}\biggr)m_s+ \sum_{i=1}^m \frac{t^0_i m_s}{t^0_i-z_s} \\ &\qquad=\frac{m_s}{2}\biggl[1+\mu+\frac{\nu}{2}- \sum_{p:p \ne s}\frac{(z_p-z_s+z_s)m_p}{z_p-z_s}+ 2\sum_{i=1}^m\frac{t^0_i-z_s+z_s}{t^0_i-z_s}\biggr] \\ &\qquad=\frac{m_s}{2}\biggl[1+\mu+\frac{\nu}{2}-\sum_{p \ne s} m_p- \sum_{p:p \ne s}\frac{z_s m_p}{z_p-z_s}+2\sum_{i=1}^m1+ 2\sum_{i=1}^m\frac{z_s}{t^0_i-z_s}\biggr] \\ &\qquad=\frac{m_s}{2}\biggl[\biggl(1+\mu-\frac{\nu}{2}+m_s\biggr)+ \sum_{p:p \ne s}\frac{z_s m_p}{z_s-z_p}+ 2\sum_{i=1}^m\frac{z_s}{t^0_i-z_s}\biggr] \\ &\qquad=\frac{m_s(m_s+2)}{4}+\frac{m_s}{2}\biggl[\biggl(\mu-\frac{\nu}{2}+ \frac{m_s}{2}\biggr)+\sum_{p:p \ne s}m_p \frac{z_s}{z_s-z_p}+ 2\sum_{i=1}^m \frac{z_s}{t^0_i-z_s}\biggr] \\ &\qquad=\frac{m_s(m_s+2)}{4}+k_s(t^0,z,\mu), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $k_s(t^0,z,\mu)$ определено в (5.3). Следовательно, $E_2=-(\ln w)''-((\ln w)')^2$. Теорема доказана. 7. Функция $\widetilde w(x)$ в ядре оператора $\mathcal E_{t^0;z;\mu}$7.1. ВронскианВронскианом двух функций $f(a)$ и $g(a)$ называется функция
$$
\begin{equation}
\operatorname{Wr}_a(f,g)=f\,\frac{d g}{d a}-\frac{d f}{d a}g.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Для любой функции $h(a)$ имеет место соотношение
$$
\begin{equation}
\operatorname{Wr}_a(hf,hg)=h^2\operatorname{Wr}_a(f,g).
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
7.2. Вронскиан и уравнения анзаца БетеЛемма 7.1. (i) Предположим, что $\mu\notin \nu/2+\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1) и $y(x)=\prod\limits_{i=1}^m(x-t^0_i)$. Тогда существует единственный многочлен $\widetilde y(x)$ степени $M-m$ со старшим коэффициентом $1$ такой, что где $\operatorname{const}$ – это ненулевая константа. (ii) Пусть $\mu\ne \nu/2$. Предположим, что у многочлена $y(x)=\prod_{i=1}\limits^m(x-t^0_i)$ все корни различны и $y(z_s)\ne 0$, $s=1,\dots,n$. Допустим, что существует многочлен $\widetilde y(x)$ такой, что выполнено равенство (7.3). Тогда $(t^0_1;\dots;t^0_m;z;\mu)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1). 7.3. Функция $\widetilde w(x)$Пусть $(t^0;z;\mu)$ есть решение уравнений анзаца Бете (5.1). Напомним, что $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$ – фундаментальный дифференциальный оператор (см. (5.5)) и
$$
\begin{equation*}
w(x)=y(x)x^{(\nu/2-\mu)/2} \prod_{s=1}^n(x-z_s)^{-m_s/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $y(x)=\prod\limits_{i=1}^m(x-t^0_i)$ (см. (6.1)). Теорема 13. Пусть $\mu\notin \nu/2+\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Тогда существует единственный многочлен $\widetilde y(x)$ степени $M-m$ со старшим коэффициентом $1$ такой, что функция лежит в ядре оператора $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$. Функции $w(x)$, $\widetilde w(x)$ порождают ядро оператора $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$. Доказательство. Дифференциальный оператор $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$, определённый соотношением (5.5), не содержит члена первого порядка. Поэтому ядро $\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}$ состоит из функций $\widetilde w(x)$, удовлетворяющих соотношению
$$
\begin{equation}
\operatorname{Wr}_u(w(x),\widetilde w(x))=\operatorname{const}.
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Согласно лемме 7.1 существует единственный многочлен $\widetilde y(x)$ степени $M-m$ со старшим коэффициентом $1$ такой, что выполняется равенство (7.3). Поделим обе части формулы (7.3) на $x^{\mu-\nu/2}\prod\limits_{s=1}^n(x-z_s)^{m_s}$ и получим
$$
\begin{equation}
\operatorname{Wr}_x\biggl(y(x)x^{\frac{\nu/2-\mu}{2}} \prod_{s=1}^n(x-z_s)^{-\frac{m_s}{2}},\widetilde y(x)x^{\frac{\mu-\nu/2}{2}} \prod_{s=1}^n(x-z_s)^{-\frac{m_s}{2}}\biggr)=\operatorname{const}x^{-1}.
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Напомним, что $x=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,u}$, поэтому $\partial_u=-2\pi\sqrt{-1}\,x\partial_x$. Таким образом, формула (7.5) следует из формулы (7.6). Теорема доказана. 7.4. Уравнения анзаца Бете для троек $(z;\mu;V[\nu])$ и $(z;-\mu;V[-\nu])$ Лемма 7.2. Предположим, что $\mu\notin \nu/2+\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Пусть $(t^0;z;\mu)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(z;\mu;V[\nu])$ (см. п. 5.1). Пусть Доказательство. Перепишем уравнение (7.3) в виде
$$
\begin{equation}
\operatorname{Wr}_x (x^{-\mu+\nu/2}y(x), \widetilde y(x))= \operatorname{const} x^{-\mu+\nu/2-1}\prod_{s=1}^n (x-z_s)^{m_s}.
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Поскольку $-\nu=-M+2m=M-2(M-m)$, лемма вытекает из пункта (ii) леммы 7.1. Теорема 14 [18; теорема 5.7]. Если выполнены условия леммы 7.2, то векторы Бете $\omega(t^0,z,\mu) \in V[\nu]$, $\omega(\widetilde t^{\,0},z,-\mu) \in V[-\nu]$ удовлетворяют соотношению где $\operatorname{const}$ – это ненулевая константа. Следствие 7. Предположим, что выполнены условия леммы 7.2. Тогда для каждого $s=1,\dots,n$ собственное значение оператора $\mathcal{K}_s(z,\mu)$ на векторе $\omega(t^0,z,\mu)$ равно собственному значению оператора $\mathcal{K}_s(z,-\mu)$ на векторе $\omega(\widetilde t^{\,0},z,\mu)$. 8. Операторы, сопряжённые к $\mathcal{D}$ и $\mathcal{E}_{\,t^0;z;\mu}$8.1. Оператор, сопряжённый к $\mathcal{D}$Пусть $\mathcal{D}=\partial_u^2+D_2(x)$ – универсальный дифференциальный оператор, введённый в (4.3), где коэффициент $D_2(x)$ вычисляется по формуле (4.5). Рассмотрим оператор
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}^{c}=\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1}\,x)^2}\,\prod_{s=1}^n(x-z_s)^{m_s/2} \cdot \mathcal{D} \cdot \prod_{s=1}^n (x-z_s)^{-m_s/2},
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
где $c$ в верхнем индексе означает сопряжение. Теорема 15. Оператор $\mathcal{D}^{c}$ равен Доказательство. Напомним, что $x=e^{-2\pi\sqrt{-1}\,u}$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\partial_u=-2\pi\sqrt{-1}\,x \partial_x \quad \text{и}\quad \partial_u^2=(2\pi\sqrt{-1}\,)^2 (x\partial_x+x^2\partial_x^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $f=\prod\limits_{s=1}^n(x-z_s)^{-m_s/2}$. Тогда и
$$
\begin{equation*}
f''=\biggl(\,\sum_{s=1}^n\frac{m_s^2/4}{(x-z_s)^2}+ \sum_{s \ne p}\frac{m_s m_p/4}{(x-z_s)(x-z_p)}+ \sum_{s=1}^n\frac{m_s/2}{(x-z_s)^2}\biggr)f,
\end{equation*}
\notag
$$
где $'=\partial/\partial x$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{D}^{c}&=\frac{1}{x^2}f^{-1}\biggl[x^2 \partial_x^2+ x\partial_x+\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1}\,)^2}D_2(x)\biggr] f \\ &=\frac{1}{x^2}f^{-1}\biggl[x^2(f\partial_x^2+2f'\partial_x+f'')+ x(f \partial_x+f')+\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1}\,)^2}D_2(x)f\biggr] \\ &=\partial_x^2+\biggl[2f^{-1} f'+\frac{1}{x}\biggr]\partial_x+ \biggl[ f^{-1} f''+\frac{1}{x} f^{-1} f'+ \frac{1}{x^2}\,\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1}\,)^2}D_2(x)\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что даёт формулу (8.2). Теорема доказана. 8.2. Оператор, сопряжённый к $\mathcal{E}_{\,t^0;z;\mu}$Аналогично сопряжению оператора $\mathcal{D}$ мы сопрягаем оператор $\mathcal{E}_{t^0,z,\mu}$ и рассматриваем новый дифференциальный оператор
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{t^0;z;\mu}^c=\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1}\,x)^2}\, \prod_{s=1}^n (x-z_s)^{m_s/2} \cdot\mathcal{E}_{t^0;z;\mu} \cdot \prod_{s=1}^n (x-z_s)^{-m_s/2}.
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Лемма 8.1. Ядро оператора $\mathcal{E}_{\,t^0;z;\mu}^c$ порождается квазимногочленами Лемма 8.2. Предположим, что выполнены условия леммы 7.2. Пусть $(t^0;z;\mu)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(z;\mu;V[\nu])$. Предположим, что корни $\widetilde t^{\,0}_1,\dots,\widetilde t^{\,0}_{M-m}$ многочлена $\widetilde y(x)$ из леммы 7.2 таковы, что $(\widetilde t^{\,0}_1,\dots,\widetilde t^{\,0}_{M-m};z;-\mu)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(z;-\mu;V[-\nu])$. Тогда 9. Пространство $V$-значных функций от $n$ переменных9.1. Пространство $V_1^{\otimes n}[\nu]$Рассмотрим неприводимый двумерный $\mathfrak{sl}_2$-модуль $V_1$ с базисом $v^1_0$, $v^1_1$ (см. (2.9)). В дальнейшем мы предполагаем, что пространство $V$ – это тензорная степень $V_1$: В пространстве $V$ есть базис, состоящий из векторов каждый из которых отвечает разбиению $I=(I_1,I_2)$ множества $\{1,\dots,n\}$, где $i_j=0$, если $j\in I_1$, и $i_j=1$, если $j\in I_2$. Рассмотрим весовое разложение $V=\bigoplus\limits_{m=0}^n V[n-2m]$, где $V[n-2m]$ – это пространство размерности $\begin{pmatrix} n \\ m\end{pmatrix}$ с базисом $\{v_I\mid I=(I_1,I_2),\ |I_1|=m,\ |I_2|=n-m\}$.Введём обозначения $\nu=n-2m$, $\ell=n-m$, так что $ m+\ell=n$. 9.2. Пространство $\mathcal{V}^{S}$Пусть $z=(z_1,\dots,z_n)$ – переменные. Симметрическая группа $S_n$ действует на алгебре $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]$, переставляя переменные. Пусть $\sigma_s(z)$, $s=1,\dots,n$, – это $s$-й элементарный симметрический многочлен от переменных $z_1,\dots, z_n$. Алгебра симметрических многочленов $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ – это свободная полиномиальная алгебра с образующими $\sigma_1(z),\dots,\sigma_n(z)$. Рассмотрим пространство $\mathcal{V}$ многочленов от переменных $z_1,\dots,z_n$ с коэффициентами в $V_1^{\otimes n}$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}=V_1^{\otimes n}\otimes \mathbb{C}[z_1,\dots,z_n].
\end{equation*}
\notag
$$
Симметрическая группа $S_n$ действует на $\mathcal{V}$, одновременно переставляя факторы в $V_1^{\otimes n}$ и переменные $z_1,\dots,z_n$:
$$
\begin{equation*}
\rho(v_1\otimes\cdots\otimes v_n\otimes p(z_1,\dots,z_n))= v_{(\rho^{-1})(1)}\otimes\cdots\otimes v_{(\rho^{-1})(n)} \otimes p(z_{\rho(1)},\dots,z_{\rho(n)}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho\in S_n$. Определим $\mathcal{V}^S$ как подпространство в $\mathcal{V}$, состоящее из многочленов, инвариантных относительно действия $S_n$. Лемма 9.1 [13]. Пространство $\mathcal{V}^S$ – это свободный $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модуль ранга $2^n$. Введём градуировку на $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]$, полагая $\deg z_s=1$ для любого $s=1,\dots, n$. Введём градуировку на пространстве $\mathcal{V}$, определив $\deg(v \otimes p)=\deg p$, где $v \in V_1^{\otimes n}$ и $p\in\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]$. Градуировка на $\mathcal{V}$ индуцирует градуировку на пространстве $\operatorname{End}(\mathcal{V})$. Алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2\subset\mathfrak{gl}_2$ естественно действуют на пространстве $\mathcal{V}^S$. Имеет место весовое разложение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}^S=\bigoplus_{m=0}^n \mathcal{V}^S[n-2m],\qquad \mathcal{V}^S[n-2m]=(V[n-2m]\otimes\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n])^{S}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathscr{M}$ – это $\mathbb{Z}_{>0}$-градуированное пространство с конечномерными однородными компонентами. Пусть $\mathscr{M}_j\subset \mathscr{M}$ – однородная компонента степени $j$. Формальный степенной ряд по переменной $\alpha$, $ \operatorname{ch} _{\mathscr{M}}(\alpha)=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty(\dim \mathscr{M}_j)\alpha^j$, называется градуированным характером пространства $\mathscr{M}$. Лемма 9.2 [12]. Пространство $\mathcal{V}^S[n-2m]$ – это свободный $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$- модуль ранга $\displaystyle\binom{n}{m}$ и 9.3. Алгебра Бете пространства $\mathcal{V}^S[\nu]$Пусть $\mathcal{D}^c$ – определённый в (8.2) дифференциальный оператор, действующий на пространстве $V=\bigotimes\limits_{s=1}^nV_{m_s}$и зависящий от параметра $\mu\in \mathbb{C}$. В случае $V=V_1^{\otimes n}$ оператор $\mathcal{D}^c$ имеет вид где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_1(x)&=\frac{1}{x}-\sum_{s=1}^n \frac{1}{x-z_s}\,, \\ F_2(x)&=-\frac{1}{x}\sum_{s=1}^n\frac{1/2}{x-z_s}+ \sum_{s=1}^n\frac{3/4}{(x-z_s)^2}+\sum_{s \ne p} \frac{1/4}{(x- z_s)(x- z_p)} \\ &\qquad-\frac{\mu^2+\mu (e_{11}-e_{22})-e_{11} e_{22}}{4x^2} \\ &\qquad-\frac{1}{x^2}\sum_{s=1}^n \biggl[z_s\frac{3/4+\mathcal{K}_s(z,\mu)}{x-z_s}+ z_s^2\,\frac{3/4}{(x-z_s)^2}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.4}
$$
В формуле (8.2) $\{z_1,\dots,z_n\}$ было подмножеством в $\mathbb{C}^\times$. С этого момента мы рассматриваем $z_1,\dots,z_n$ как независимые переменные. Оператор $\mathcal{F}$, определённый формулами (9.3), (9.4), в которых $z_1,\dots,z_n$ – переменные, называется универсальным дифференциальным оператором пространства $\mathcal{V}^S$ с параметром $\mu\in\mathbb{C}$. Лемма 9.3 (ср. [13; п. 2.7]). Разложения функций $F_1(x)$ и $F_2(x)$ в ряд Лорана в бесконечности имеют вид где Для любого $j\geqslant 2$ коэффициент $F_{2j}$ является однородным многочленом от переменных $z_1,\dots,z_n$ степени $j-2$ с коэффициентами в $\operatorname{End}(V)$. Коэффициенты $F_{2j}$, $j\geqslant 2$, сохраняют весовое разложение пространства $\mathcal{V}$. Каждый из коэффициентов $F_{1j}$, $j\geqslant 1$, $F_{2j}$, $j\geqslant 2$, определяет эндоморфизм $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^{S}$- модуля $\mathcal{V}^S$. Лемма 9.4. Коэффициенты $F_{1j}$, $j\geqslant 1$, $F_{2j}$, $j\geqslant 2$, рассматриваемые как эндоморфизмы $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^{S}$-модуля $\mathcal{V}^S$, коммутируют. Доказательство. Утверждение вытекает из свойства коммутативности тригонометрических операторов Годена в формуле (8.2). Для весового пространства $\mathcal{V}^S[\nu]$, $\nu=n-2m$, $\ell=n-m$, рассмотрим коммутативную подалгебру $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ алгебры эндоморфизмов $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^{S}$-модуля $\mathcal{V}^S[\nu]$, порождённую элементами $F_{1j}$, $j\geqslant 1$, $F_{2j}$, $j\geqslant 2$. Подалгебра $\mathcal{B}(\mu; m;\ell)$ называется алгеброй Бете пространства $\mathcal{V}^S[\nu]$ с параметром $\mu\in \mathbb{C}$. Лемма 9.5. Алгебра Бете $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ содержит подалгебру операторов умножения на элементы из $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$. Доказательство. Достаточно заметить, что подалгебра операторов умножения на элементы из $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ порождается элементами $F_{1j}$, $j\geqslant 1$ (см. лемму 9.3). По лемме 9.5 алгебра Бете $\mathcal{B}(\mu; m;\ell)$ является $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулем. 9.4. Инвариантность относительно группы ВейляРассмотрим линейное отображение $\mathcal A(\mu+\nu/2-1)\colon V[\nu] \to V[-\nu]$, определённое в (2.16), где $V[\nu]=V_1^{\otimes n}[\nu]$. Если $\mu \notin n/2+\mathbb{Z}$, то $\mathcal A(\mu+\nu/2-1)$ – изоморфизм векторных пространств. Это линейное отображение индуцирует изоморфизм $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулей,
$$
\begin{equation}
\mathcal A\biggl(\mu+\frac{\nu}{2}-1\biggr)\colon \mathcal{V}^S[\nu] \to \mathcal{V}^S[-\nu].
\end{equation}
\tag{9.6}
$$
Лемма 9.6. Пусть $\mu \notin n/2+\mathbb{Z}$. Пусть $F_{ij}(\mu,m,\ell)$ – образующие алгебры Бете $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$, определённые в (9.5), а $F_{ij}(-\mu,\ell,m)$ – соответствующие образующие алгебры Бете $\mathcal{B}(-\mu;\ell;m)$. Тогда 9.5. Общие слои пространства $\mathcal{V}^S[\nu]$Для $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{C}^n$ обозначим через $I_a$ идеал в кольце $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]$, порождённый многочленами $\sigma_s(z)- a_s$, $s=1,\dots,n$. Рассмотрим пространство
$$
\begin{equation}
I_a\mathcal{V}^S[\nu]:=\mathcal{V}^S \cap (V[\nu]\otimes I_a).
\end{equation}
\tag{9.9}
$$
Пусть $a$ таково, что многочлен $x^n+\displaystyle\sum_{s=1}^n(-1)^s a_sx^{n-s}$ имеет попарно различные ненулевые корни $b_1,\dots,b_n$. Лемма 9.7 [13; лемма 2.13]. Факторпространство $\mathcal{V}^S[\nu]/I_a\mathcal{V}^S[\nu]$ является конечномерным комплексным векторным пространством, канонически изоморфным пространству $V[\nu]$. При этом изоморфизме алгебра Бете $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ индуцирует коммутативную алгебру операторов на $V[\nu]$. Эта алгебра операторов канонически изоморфна алгебре Бете $\mathcal{B}(b_1,\dots,b_n;\mu;V[\nu])$, которая определена в п. 4.2. 10. Функции на пространстве пар квазимногочленов10.1. Пространство пар квазимногочленовПусть $m$, $\ell$, $n$ – положительные целые числа, $m+\ell=n$. Обозначим $\nu=n-2m$ (ср. п. 9.1). Пусть
$$
\begin{equation}
\zeta \in \mathbb{C}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{10.1}
$$
Рассмотрим $n$-мерное аффинное пространство $\Omega(\zeta,m,\ell)$ с координатами $p_i$, $i=1,\dots,m$, $q_j$, $j=1,\dots,\ell$. Введём производящие функции
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p(x)&=x^{-\zeta}(x^m+p_1x^{m-1}+\cdots+p_m), \\ q(x)&=x^{\zeta}(x^\ell+q_1x^{\ell-1}+\cdots+q_\ell). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.2}
$$
Отождествим точки $U$ пространства $\Omega(\zeta, m,\ell)$ с точками двумерного комплексного пространства, порождённого квазимногочленами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p(x,U)&=x^{-\zeta}\bigl(x^m+p_1(U)x^{m-1}+\cdots+p_m(U)\bigr), \\ \nonumber q(x,U)&=x^{\zeta}\bigl(x^\ell+q_1(U)x^{\ell-1}+\cdots+q_\ell(U)\bigr). \phantom{aaa}\; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.3}
$$
Обозначим через $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ алгебру регулярных функций на $\Omega(\zeta,m,\ell)$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)=\mathbb{C}[p_1,\dots,p_m,q_1,\dots,q_\ell].
\end{equation*}
\notag
$$
Введём градуировку на $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, полагая $\deg p_i=\deg q_i=i$ для всех $i$. 10.2. Отображение ВронскогоПусть $p(x)$, $q(x)$ – производящие функции из формулы (10.2). Имеет место соотношение
$$
\begin{equation}
\operatorname{Wr}_x(p,q)=\frac{2\zeta+\ell-m}{x} \biggl(x^n+\sum_{s=1}^n(-1)^s\Sigma_s x^{n-s}\biggr),
\end{equation}
\tag{10.5}
$$
где $\Sigma_1,\dots,\Sigma_n$ – элементы алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$. Заметим, что число $2\zeta+\ell-m=2\zeta+\nu$ не является целым в силу (10.1). Элементы $\Sigma_1,\dots,\Sigma_n$ суть однородные многочлены, $\deg \Sigma_s=s$. Определим отображение Вронского
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Wr}\colon \Omega(\zeta,m,\ell) \to \mathbb{C}^n,\qquad U \mapsto (\Sigma_1(U),\dots,\Sigma_n(U)).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 10.2. Если $\zeta\in \mathbb{C}\setminus \frac{1}{2}\mathbb{Z}$, то отображение Вронского – отображение положительной степени. Рассмотрим подалгебру $\mathcal{O}^S$ алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, порождённую элементами $\Sigma_1,\dots,\Sigma_n$. Пусть $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ – координаты на пространстве $\mathbb{C}^n$, являющемся образом отображения Вронского. Введём градуировку на алгебре $\mathbb{C}[\sigma_1,\dots,\sigma_n]$, полагая $\deg \sigma_s=s$ для любого $s$. Отображение Вронского индуцирует изоморфизм градуированных алгебр $\mathbb{C}[\sigma_1,\dots,\sigma_n]\to \mathcal{O}^S$, $\sigma_s \mapsto \Sigma_s$ (см. лемму 10.2). Этот изоморфизм наделяет алгебру $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ структурой $\mathbb{C}[\sigma_1,\dots,\sigma_n]$-модуля. 10.3. Другая реализация алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$Определим дифференциальный оператор
$$
\begin{equation}
\mathcal{G}=\frac{1}{\operatorname{Wr}_x(p,q)}\operatorname{rdet} \begin{bmatrix} p & p' & p'' \\ q & q' & q'' \\ 1 & \partial_x & \partial^2_x \end{bmatrix},
\end{equation}
\tag{10.6}
$$
ядро которого порождается многочленами $p(x)$ и $q(x)$. Оператор $\mathcal{G}$ имеет вид где $G_1(x)$, $G_2(x)$ – рациональные функции от $x$ с коэффициентами в $\mathcal{O}(\zeta, m,\ell)$ (ср. [13]). Заметим, что
$$
\begin{equation}
G_1=-\frac{(\operatorname{Wr}_x(p,q))'}{\operatorname{Wr}_x(p,q)}\,.
\end{equation}
\tag{10.8}
$$
Лемма 10.3 (ср. [13; п. 2.7]). Разложения функций $G_1(x)$ и $G_2(x)$ в ряд Лорана в бесконечности имеют вид где $G_{ij}$ – однородные элементы в $\mathcal{O}(\zeta, m,\ell)$ степени $j-i$. Лемма 10.4 [13; лемма 3.4], [12; лемма 4.3]. Пусть $\zeta\in \mathbb{C}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}$. Тогда элементы $G_{ij}$, $i=1,2$, $j\geqslant i$, порождают алгебру $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$. 10.4. Слои отображения ВронскогоДля $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{C}^n$ обозначим через $J_a$ идеал в $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, порождённый элементами $\Sigma_s-a_s$, $s=1,\dots,n$. Определим
$$
\begin{equation}
\mathcal{O}_a(\zeta,m,\ell):=\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)/J_a.
\end{equation}
\tag{10.10}
$$
Алгебра $\mathcal{O}_a(\zeta,m,\ell)$ – это алгебра функций на слое $\operatorname{Wr}^{-1}(a)$ отображения Вронского. Пусть
$$
\begin{equation}
x^n+\sum_{s=1}^n\,(-1)^{n-s} a_s x^{n-s}=\prod_{s=1}^n(x-b_s)
\end{equation}
\tag{10.11}
$$
для некоторых $b_s\in\mathbb{C}$. Пусть $U$ – любая точка пространства $\Omega(\zeta,m,\ell)$ и
$$
\begin{equation*}
p(x,U)=x^{-\zeta}\prod_{i=1}^m(x-t^0_i),\qquad q(x,U)=x^{\zeta}\prod_{i=1}^\ell(x-\widetilde t^{\,0}_i)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых $t_i^0,\widetilde t^{\,0}_i\in\mathbb{C}$. Лемма 10.5. Пусть $\zeta\in \mathbb{C}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}$. Тогда существует открытое по Зарискому подмножество $X\subset \mathbb{C}^n$ такое, что для любого $a\in X$ все числа $b_1,\dots,b_n$ различны и отличны от нуля. Более того, для любой точки $U\in\operatorname{Wr}^{-1}(a)$ все числа $b_1,\dots,b_n$, $t^0_1,\dots,t^0_m$, $\widetilde t^{\,0}_1,\dots,\widetilde t^{\,0}_\ell$ различны. Лемма 10.6. Пусть $a\in X$. Если $U\in \operatorname{Wr}^{-1}(a)$, то $(t^0_1,\dots,t^0_m;b_1,\dots,b_n;2\zeta+\nu/2)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(b_1,\dots,b_n;2\zeta+\nu/2;V[\nu])$. Кроме того, $(\widetilde t^{\,0}_1,\dots,\widetilde t^{\,0}_\ell; b_1,\dots,b_n;-2\zeta-\nu/2)$ является решением уравнений анзаца Бете (5.1), отвечающих тройке $(b_1,\dots,b_n;-2\zeta-\nu/2;V[-\nu])$. Доказательство. Имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Wr}_x(p(x,U),q(x,U))=\frac{2\zeta+\ell-m}{x} \biggl(x^n+\sum_{s=1}^n(-1)^s a_s x^{n-s}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь лемма вытекает из лемм 10.5 и 7.1. Для $U\in \Omega(\zeta, m,\ell)$ обозначим через $\mathcal{G}_U$ дифференциальный оператор со старшим коэффициентом $1$ и ядром $\langle p(x,U),q(x,U) \rangle$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{G}_U=\partial_x^2+G_{1;U}(x)\partial_x+G_{2;U}(x).
\end{equation}
\tag{10.12}
$$
Оператор $\mathcal{G}_U$ получается из оператора $\mathcal{G}$ вычислением производящих функций $p$, $q$ в точке $U$. Лемма 10.7. Пусть $a\in X$ и $U\in \operatorname{Wr}^{-1}(a)$. Пусть $(t^0;b;2\zeta+\nu/2)$ есть решение уравнений анзаца Бете (см. лемму 10.6). Пусть $\mathcal{E}_{t^0;b;2\zeta+\nu/2}^c$ – это дифференциальный оператор, определённый в (8.3). Тогда 11. ИзоморфизмыВ разделе 9 был введён $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$-модуль $\mathcal{V}^S[\nu]$, где $\mu\in \mathbb{C}$, $\nu=n-2m$, $m+\ell=n$. В разделе 10 обсуждались свойства алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ в предположении, что $\zeta\in \mathbb{C}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}$. Мы рассматриваем алгебру функций $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ как $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$-модуль, где действие определяется умножением. В этом разделе мы строим изоморфизм между $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$-модулем $\mathcal{V}^S[\nu]$ и $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$-модулем $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ в предположении, что
$$
\begin{equation}
\zeta=\frac{\mu}{2}-\frac{\nu}{4}\quad \text{и} \quad \zeta\in \mathbb{C}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{11.1}
$$
Последнее условие может быть переписано в виде (ср. условия на $\mu$ и $\zeta$ в теоремах 8, 13, леммах 7.1, 7.2 и разделе 10). Построение упомянутого выше изоморфизма аналогично конструкциям в [13], [12]. 11.1. Изоморфизм алгебрРассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
\tau \colon \mathcal{O}(\zeta,m,\ell) \to \mathcal{B}(\mu;m;\ell), \qquad G_{ij}\mapsto F_{ij}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 16 (ср. [13; теорема 5.3], [12; теорема 6.3]). Пусть выполнено условие (11.1). Тогда отображение $\tau$ – корректно определенный изоморфизм градуированных алгебр. Доказательство. Пусть многочлен $R(G_{ij})$ равен нулю в $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, где $G_{ij}$ – образующие алгебры $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$. Докажем, что соответствующий многочлен $R(F_{ij})$ равен нулю в $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$. Действительно, $R(F_{ij})$ – это многочлен от $z_1,\dots,z_n$ со значениями в $\operatorname{End}(V[\nu])$. Согласно леммам 10.5–10.7, 5.2, для общих $b_1,\dots,b_n$ значение многочлена $R(F_{ij})$ в точке $z_1=b_1,\dots,z_n=b_n$ равно нулю. Следовательно, многочлен $R(F_{ij})$ тождественно равен нулю и отображение $\tau$ является корректно определённым гомоморфизмом алгебр. Поскольку элементы $G_{ij}$, $F_{ij}$ имеют одну и ту же степень, отображение $\tau$ является градуированным гомоморфизмом. Пусть многочлен $R(G_{ij})$ не равен тождественно нулю в $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$. Тогда значение $R(G_{ij})$ в общей точке $U \in \Omega(\zeta,m,\ell)$ отлично от нуля в силу леммы 10.7. Следовательно, многочлен $R(F_{ij})$ не равен тождественно нулю. Таким образом, отображение $\tau$ инъективно. Поскольку элементы $F_{ij}$ порождают алгебру $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$, отображение $\tau$ сюръективно. Теорема доказана. Алгебра $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ вкладывается в алгебру $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ как подалгебра операторов умножения на симметрические многочлены. Кроме того, алгебра $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ вкладывается в алгебру $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, причём элементарные симметрические многочлены $\sigma_1(z),\dots,\sigma_n(z)$ переходят в элементы $\Sigma_1,\dots,\Sigma_n$. Эти вложения наделяют алгебры $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ и $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ структурой $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулей. Лемма 11.1 [13; лемма 6.4]. Пусть выполнено условие (11.1). Тогда отображение $\tau$ является изоморфизмом $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулей. 11.2. Изоморфизм модулейПодпространство в $\mathcal{V}^S[\nu]$, состоящее из векторов степени нуль, имеет размерность 1 и порождается вектором Подпространство в $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ всех элементов степени нуль также одномерно и порождается элементом 1. Пусть выполнено условие (11.1). Определим $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-линейное отображение
$$
\begin{equation}
\varphi\colon \mathcal{O}(\zeta,m,\ell) \to \mathcal{V}^S[\nu], \qquad G\mapsto \tau(G) v_+.
\end{equation}
\tag{11.3}
$$
Теорема 17 [13; теорема 6.7]. Предположим, что выполнено условие (11.1). Тогда отображение $\varphi$ является градуированным изоморфизмом градуированных $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$-модулей. Отображения $\tau$ и $\varphi$ отождествляют действие операторов умножения на $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ и действие операторов Бете алгебры $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ на $\mathcal{V}^S[\nu]$, т. е. для любых $f,g \in\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ имеет место соотношение Иначе говоря, отображения $\tau$ и $\varphi$ определяют изоморфизм между $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$-модулем $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ и $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$-модулем $\mathcal{V}^S[\nu]$. Доказательство. Покажем, что отображение $\varphi$ инъективно. Действительно, $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ – свободная полиномиальная алгебра, содержащая подалгебру $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$. При этом факторалгебра $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)/\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ конечномерна в силу леммы 10.2. Ядро отображения $\varphi$ является собственным идеалом $\mathcal{I}$ в $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$. Тогда $\tau(\mathcal I)$ – это идеал в $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$. Любой собственный идеал в $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$ имеет нулевое пересечение с $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$, а значит, идеал $\mathcal{I}$ имеет нулевое пересечение с $\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n]^S$ и поэтому является тривиальным идеалом. Таким образом, инъективность отображения $\varphi$ доказана. Отображение $\varphi$ градуированно. Согласно леммам 9.2 и 10.1 градуированные характеры $\mathcal{V}^S[\nu]$ и $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ равны. Поэтому $\varphi$ является изоморфизмом. Теорема доказана. Следствие 8. Предположим, что $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{C}^n$ таково, что многочлен $x^n+\displaystyle\sum_{s=1}^n(-1)^s a_sx^{n-s}$ имеет попарно различные ненулевые корни $b_1,\dots,b_n$. Пусть выполнено условие (11.1). Тогда изоморфизмы $\tau$, $\varphi$ индуцируют изоморфизм $\mathcal{B}(b_1,\dots,b_n;\mu;V[\nu])$-модуля $V[\nu]$ и $\mathcal{O}_a(\zeta;m,\ell)$-модуля $\mathcal{O}_a(\zeta;m,\ell)$, где $\mathcal{O}_a(\zeta;m,\ell)$ – это алгебра функций на слое $\operatorname{Wr}^{-1}(a)$ отображения Вронского (см. (10.10)). Следствие 9. Степень отображения Вронского $\operatorname{Wr}$ равна $\dim V[\nu]=\begin{pmatrix} n \\ m\end{pmatrix}$. 11.3. Динамическая алгебра Бете и квазимногочленыПодпространство веса нуль в пространстве $V=V_1^{\otimes n}$ нетривиально, если $n$ чётно. Пусть $n=2m$. Тогда для весового подпространства $V[0]$ имеем $\nu=0$, $m=\ell$, а условия (11.1) принимают вид
$$
\begin{equation}
\zeta=\frac{\mu}{2}\,, \quad \text{где } \mu\notin \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{11.5}
$$
Пусть $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{C}^n$ таково, что многочлен $x^n+\displaystyle\sum_{s=1}^n(-1)^s a_sx^{n-s}$ имеет попарно различные ненулевые корни $b_1,\dots,b_n$. Рассмотрим функциональное пространство $E[\mu]$ как модуль над динамической алгеброй Бете $\mathcal{B}(b_1,\dots,b_n;E[\mu])$ (см. п. 3.2). Рассмотрим $\mathcal{O}_a(\zeta;m,m)$-модуль $\mathcal{O}_a(\zeta;m,m)$, где $\mathcal{O}_a(\zeta;m,m)$ – алгебра функций на слое $\operatorname{Wr}^{-1}(a)$ отображения Вронского. Следствие 10. Предположим, что выполнено условие (11.1). Тогда изоморфизмы $\tau$, $\varphi$ и изоморфизм $V[0]\to E[\mu]$ из следствия 5 индуцируют изоморфизм $\mathcal{B}(b_1,\dots,b_n;E[\mu])$-модуля $E[\mu]$ и $\mathcal{O}_a(\zeta;m,m)$-модуля $\mathcal{O}_a(\zeta;m,m)$. 11.4. Оператор инволюции группы Вейля и перестановка квазимногочленовРассмотрим $\mathcal{B}(\mu;m;\ell)$-модуль $\mathcal{V}^S[\nu]$ и $\mathcal{B}(-\mu;\ell;m)$-модуль $\mathcal{V}^S[-\nu]$. Рассмотрим $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$-модуль $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$ и $\mathcal{O}(-\zeta,\ell,m)$-модуль $\mathcal{O}(-\zeta,\ell,m)$. Пусть выполнено условие (11.1). Рассмотрим диаграмму На этой диаграмме отображения $\mathcal{V}^S[\nu] \to \mathcal{O}(\zeta,m,\ell)$, $\mathcal{V}^S[-\nu] \to \mathcal{O}(-\zeta,\ell,m)$ – это изоморфизмы модулей из теоремы 17. Отображение $\mathcal{V}^S[\nu] \to \mathcal{V}^S[-\nu]$ – это изоморфизм модулей из леммы 9.6. Отображение $\mathcal{O}(\zeta,m,\ell) \to \mathcal{O}(-\zeta,\ell,m)$ – это изоморфизм модулей, переставляющий квазимногочлены $p$ и $q$.Теорема 18. Диаграмма (11.6) коммутативна. Коммутативность диаграммы (11.6) влечёт коммутативность диаграммы слоёв над общей точкой $a\in\mathbb{C}^n$, (см. обозначения в п. 11.2).Объединяя диаграммы (11.7) и (4.11), получаем коммутативную диаграмму которая имеет место, если $n=2m$ чётно и $\mu\notin\mathbb{Z}$. Диаграмма (11.8) отождествляет оператор инволюции группы Вейля $\sigma\colon E[\mu]\to E[-\mu]$, действующий на функциональных пространствах собственных функций KZB-оператора $H_0$, с изоморфизмом $\mathcal{O}_a(\zeta,m,m) \to \mathcal{O}_a(-\zeta,m,m)$, индуцированным перестановкой квазимногочленов.Авторы благодарят В. О. Тарасова за полезные обсуждения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VarSliTho21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|