| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 13 научных статьях (всего в 13 статьях) Обзоры Уравнение тетраэдров: алгебра, топология и интегрируемость Д. В. Талалаевab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10009 
Реферативные базы данных:
      1. ВведениеТопонимическим центром данной работы является уравнение тетраэдров Замолодчикова [1], а также его различные проявления в комбинаторике, алгебре, маломерной топологии, теории интегрируемых систем статистической физики и квантовой механики. Однако наиболее интересным для автора является набор современных математических феноменов, в которых, по отношению к классическим результатам, за последние несколько десятков лет совершился скачок размерности или порядка задачи и этот скачок описывается математическими структурами, так или иначе связанными с уравнением тетраэдров. Удивительным и убедительным свидетельством органичности набора этих сюжетов является их взаимное влияние. Так, рассматриваемые в этом контексте интегрируемые модели статистической физики на трехмерных решетках позволяют строить квазиинварианты $2$-узлов; ортогональное решение уравнения тетраэдров, описывающее переход от одних углов Эйлера в $\operatorname{SO}(3)$ к другим, представляет собой преобразование “звезда-треугольник” в модели Изинга и позволяет интерпретировать траекторную вероятность модели Хопфилда как плотность Гиббса в ассоциированной трехмерной модели Изинга. Во многом ансамбль сюжетов этой области обобщает сферу приложений и проявлений уравнения Янга–Бакстера, которое лежит в основе теории интегрируемых моделей статистической физики в размерности $2$. Это уравнение играет исключительную роль в современной математике, является представлением группы кос [2], позволяет определить сплетенные категории [3], лежит в основе теории квантовых групп [4], т. е. деформаций алгебр функций на группах, служит алгебраической основой квантового метода обратной задачи [5] и поставщиком дискретных интегрируемых систем [6]–[9], связано с алгебраической геометрией благодаря аппарату вакуумных кривых, разработанному И. М. Кричевером в [10], дает существенный вклад в описание геометрии многообразия Грассмана [11]. Одним из удивительных результатов теории интегрируемых моделей статистической физики является связь двумерных моделей с теорией интегрируемых систем квантовой механики на одномерных решетках. Ярким примером этого соответствия является утверждение о принадлежности трансфер-матрицы восьмивершинной модели коммутативному семейству интегралов XYZ-модели Гейзенберга. Этот факт был замечен параллельно Б. Сазерлендом [12] и Р. Дж. Бакстером [13], [14]. В частности, это наблюдение позволяет использовать анзац Бете для решения моделей статистической физики, в том числе для разрешения чисто физических вопросов, таких как описание эффекта спонтанной намагниченности. В разделе 4 мы обобщаем связь между статистическими моделями и решетчатыми спиновыми системами на случай размерности $3$. Изложение в основном следует работе [15], которая в определенном смысле является развитием результатов Ж.-М. Майе и Ф. Найхофа [16]. Отметим, что язык алгебр Хопфа, возникший изначально в топологии и гомологической алгебре, получил существенное развитие благодаря квантовому методу обратной задачи. В свою очередь, он не только расширил аппарат современной алгебры, но и оказался исключительно плодотворным в маломерной топологии, произведя на свет целую область квантовых инвариантов узлов [17]. О большом взаимном влиянии алгебры и топологии в контексте алгебр Хопфа свидетельствует, например, геометрическая конструкция [18] квантового дубля Дринфельда [19]. Комбинаторика настойчиво присутствует почти во всех проявлениях уравнения Янга–Бакстера и уравнения тетраэдров. Одним из естественных путей обобщения уравнения Янга–Бакстера является задача о раскрасках граней гиперкуба. Оказывается, что определенное условие согласованности такой задачи приводит к семейству уравнений $n$-симплексов, младшими из которых являются уравнение Янга–Бакстера для случая раскрасок $1$-ребер и уравнение тетраэдров для раскрасок $2$-граней. В разделе 2 этой работы мы приводим результаты работы [20], главным образом посвященные определению уравнения $n$-симплексов и построению $n$-симплициальных когомологий. Статистическая механика по своей природе тоже непосредственно связана с комбинаторикой. Основные ее архетипы – модель димера, модель электрических сетей, модель Изинга, – с одной стороны, описывают некоторые комбинаторные задачи на графах, такие как перечисление совершенных паросочетаний, остовных деревьев, рощ, совершенных ориентацией и потоков, непересекающихся подразделений и пр., а с другой – характеризуются семейством движений (таких преобразований графа, которые в определенном смысле являются симметриями задачи), удовлетворяющих уравнению тетраэдров Замолодчикова. Комбинаторика гиперкуба, лежащая в основе определения уравнения $n$-симплексов, связана также с определением высших порядков Брюа [21]–[23], комбинаторикой гиперплоских конфигураций, с кубильяжами зонотопов [24] и старшими аналогами группы кос. Некоторые из этих сюжетов мы освещаем в разделе 2. Эта область имеет прямое отношение к дискретной математике, теории кодирования, в частности к перечислению гамильтоновых путей на графе и кодам Грея [25]. Уравнение Янга–Бакстера и высшие уравнения $n$-симплексов играют важную роль и в сугубо алгебраических вопросах. Как мы уже говорили, теория квантовых групп произошла из квантового метода обратной задачи [26]. Заметим, что собственно отображение Янга–Бакстера, т. е. решение теоретико-множественного уравнения, можно воспринимать как бинарную двузначную операцию, в некотором смысле как композицию операций умножения и коумножения, имеющую естественную интерпретацию в контексте обобщений операд и PRO-структур [27]. Имеется целое семейство близких алгебраических структур: сплетенные множества, бидистрибутивные множества, их частные случаи – биквандлы [28], циклические множества [29], брэйсы [30], [31], двойные скобки Пуассона [32], [33]. В работе [34] было установлено соответствие между расширениями дистрибутивныx групповых множеств [4] и решениями параметрического уравнения Янга–Бакстера. Близкая задача для линейных решений параметрического уравнения разрешена в работе [35]. Определение аналогов этих структур в случае уравнения тетраэдров остается по большей мере открытой задачей, однако некоторые аспекты при переходе от $n=1$ к $n=2$ в уравнении $n$-симплекса оказываются довольно прозрачными. Например, известно, как конструкция решения уравнения Янга–Бакстера по конечномерной алгебре Ли обобщается до конструкции решения уравнения тетраэдров по гомотопической $2$-Ли алгебре [36]. Мы также предполагаем наличие глубокой связи уравнения Замолодчикова и тройных йордановых структур [37]. С такими вопросами, как $A^{\infty}$-алгебры, связаны работы [38], [39], в которых проводится параллель между высшими уравнениями $n$-симплексов и высшими уравнениями ассоциативности. Отметим также, что уравнение Замолодчикова естественным образом возникает в контексте $2$-категорий в работе М. М. Капранова и В. А. Воеводского [23]. Революционное проникновение теории уравнения Янга–Бакстера в маломерную топологию прежде всего связано с современным пониманием полинома Джонса [2], концепцией категорификации инвариантов узлов [40] и теорией квантовых инвариантов узлов благодаря работе Н. Ю. Решетихина и В. Г. Тураева [17]. У этих замечательных результатов имеются частичные старшие аналоги в области инвариантов так называемых $2$-узлов. Сами по себе такие топологические объекты представляют собой изотопические классы вложений двумерных поверхностей в четырехмерное пространство. Для них развита диаграммная техника, имеется классификация движений-перестроек диаграмм, сохраняющих класс узла, – так называемый набор движений Розмана [41]. Существует несколько методов построения инвариантов $2$-узлов по диаграмме, в том числе конструкция С. Картера, M. Саито и др. [42], апеллирующая к понятию квандла и ассоциированных когомологий (п. 3.2). В п. 3.3 мы излагаем подход к построению инвариантов $2$-узлов, основанный на использовании теоретико-множественного уравнения тетраэдров и так называемых когомологий тетраэдрального комплекса [20]. На этом пути получен частичный результат: построено выражение по диаграмме $2$-узла, инвариантное относительно части движений Розмана. Кроме этого, уравнение тетраэдров фигурирует в многочисленных работах по квантовым топологическим теориям поля в размерности $4$ (см. [43], [44]). Модель Изинга [45] – это удивительная область математической физики, находящаяся на пересечении алгебраических и геометрических методов, топологии и теории интегрируемых систем. В физических задачах эта модель описывает критические явления в магнетиках и моделях типа льда. Благодаря этой модели совершился один из ярких переворотов в теории нейронных сетей, связанных с появлением модели Хопфилда. Собственно, на текущий момент статус трехмерной модели как интегрируемой остается неопределенным. Вопрос о ее интегрируемости непосредственно связан с очень глубокими, популярными в последние десятилетия темами NP-полноты трехмерной модели Изинга [46] и приложениями конформной теории поля [47]. В работе [48] был предпринят шаг в направлении доказательства алгебраической интегрируемости трехмерной модели. В разделе 5 мы опишем ее вершинное представление с матрицей весов, удовлетворяющей скрученному уравнению тетраэдров – некоторой модификации оригинального уравнения Замолодчикова. Пункт 6.3 посвящен главным образом приложениям методов интегрируемых моделей статистической механики в размерности $3$ в теории нейронной сети Хопфилда. Эта модель сыграла заметную роль в развитии области искусственных нейронных сетей вообще. Эта область прошла ряд радикальных вех с момента своего возникновения. Ключевыми этапами были открытие правил обучения Хебба в 1940-х годах, создание модели персептрона Розенблатта в 1958 г., открытие сети Хопфилда, изобретение метода обратного распространения ошибки и парадигма сетей глубокого обучения. Встречались фазы полного забвения, одна из которых была связана с критикой способности персептрона М. Минским и С. Пайпертом в 1969 г. [49]. После этого сама идея нейронных сетей была почти забыта на десять лет. Модель Хопфилда [50], [51] была предложена в 1982 г. и ознаменовала новый виток интереса к нейронным сетям в целом. Одним из характеризующих свойств модели является то, что ее устойчивые состояния совпадают с состояниями минимальной энергии модели Изинга для той же решетки. Эта связь послужила толчком для определения и формализации понятия обобщающей способности в теории нейронных сетей, которая имеет статистическую природу (рекомендуем [52] в качестве обзора роли статистической физики в нейронных сетях). Собственно сеть Хопфилда была предложена как модель ассоциативной памяти. Она демонстрирует некоторые интересные коллективные свойства в поведении нейронных сетей, используется в искусственных нейронных сетях, в нейрофизиологии при изучении возможностей памяти, процесса извлечения памяти, кратковременной пластичности, свойств рабочей памяти и других вопросов [53]–[56]. Для нас связь между теорией нейронных сетей и статистической физикой интересна прежде всего с точки зрения возможных приложений теории интегрируемых систем, возможности получения явных эффективных решений в задачах теории нейронных сетей. Несмотря на бурное развитие прикладной части этой области, ее состояние остается близким к феноменологическому, по существу обученная нейронная сеть является “черным ящиком”. Ведутся интенсивные исследования в направлении создания контролируемого или объяснимого искусственного интеллекта [57], но эти работы тоже пока остаются на недостаточно формализованном уровне. Близкая постановка задачи о привлечении методов математической физики в чуть более общей области исследования мозга и когнитивных процессов является центром работы [58]. Ее авторы развивают мысль о том, что методы математической физики, в том числе методы физики конденсированного состояния, статистической механики, матричных моделей, сигма-модели, модели Ландау–Гинзбурга, очень естественны и в ряде случаев эффективны при описании работы мозга, интеллекта, в том числе искусственного. Важными величинами, характеризующими работу мозга, являются такие функции, как корреляционная длина, степень кластеризации и поведение системы в окрестности критической точки. Заметим, что в теории сети Хопфилда уже были обнаружены критические явления, близкие по своей природе к критическим явлениям в модели Изинга. В работе [59] было замечено, что система имеет критическое значение емкости, ниже которого в поведении сети обнаруживаются устойчивые состояния, близкие к шаблонным. В системе при низких температурах обнаруживаются также метастабильные состояния смешанной и паразитной природы. Изучаются также состояния типа спинового стекла. В п. 6.2 мы покажем, что условная вероятность прохождения последовательности состояний сетью Хопфилда на треугольной двумерной решетке в процессе ее эволюции совпадает с вероятностью нахождения в определенном состоянии системы Изинга на кубической решетке с дополнительными диагоналями. Удивительно, что связь между весами этих моделей задается преобразованием, удовлетворяющим уравнению тетраэдров Замолодчикова. Но более важным оказывается то, что данная модель Изинга на трехмерной кубической решетке с дополнительными диагоналями имеет вершинное представление с матрицей весов, удовлетворяющей скрученному уравнению тетраэдров. Этому посвящен п. 6.3. 2. Уравнение $n$-симплекса2.1. Уравнение Янга–БакстераМатричная версия уравнения Янга–Бакстера представляет собой равенство операторов, действующих в тензорном кубе $V^{\otimes3}$:
$$
\begin{equation}
R_{12}R_{13}R_{23} =R_{23}R_{13}R_{12} \in \operatorname{End}(V^{\otimes 3})
\end{equation}
\tag{1}
$$
(см. рис. 1). Здесь каждый сомножитель $R_{ij}$ – это оператор, действующий как $R\in\operatorname{End}(V^{\otimes2})$ в $(i,j)$-сомножителях тензорного куба и тривиально – в оставшемся сомножителе; например, Помимо уравнения (1) во многих задачах возникает уравнение Янга–Бакстера в форме косы: а также квантовое уравнение Лакса: В этих выражениях $R'\in\operatorname{End}(V^{\otimes 2})$ и $L\in\operatorname{End}(V)\otimes\operatorname{End}(V_q)$, здесь $V_q$ – (вообще говоря, отличное от $V$) пространство, называемое квантовым; $L\otimes L$ означает тензорное произведение в пространстве $V$ и композицию эндоморфизмов в пространстве $V_q$. Уравнения (1) и (2) связаны: если $R$ удовлетворяет (1), то оператор $R'=RP$, так же как $R''=PR$, удовлетворяет (2), здесь $P$ – оператор транспозиции сомножителей в $V\otimes V$. Уравнение (3) традиционно называют RLL-отношением, оно является определяющим в конструкции алгебр Фаддеева–Решетихина–Тахтаджяна и квантовом методе обратной задачи [26]. Пример решения уравнения (3) может быть получен процедурой “слияния”: Квантовое пространство оператора $L$ в данном случае – это тензорное произведение $V_q=V_{i_1}\otimes\dotsb \otimes V_{i_k}$, где $V_{i_j}$ – копия пространства $V$.2.2. Уравнение тетраэдровЕстественные высшие аналоги уравнения Янга–Бакстера известны как уравнения $n$-симплексов [60]. В контексте трехмерных моделей статистической механики особый интерес вызывает уравнение $3$-симплексов, или уравнение тетраэдров Замолодчикова [1]. В этой терминологии уравнение Янга–Бакстера является уравнением $2$-симплексов или уравнением треугольников. Начнем с классического определения уравнения тетраэдров. Пусть $X$ – конечное множество; будем говорить, что отображение
$$
\begin{equation*}
X\times X\times X\stackrel{\Phi}{\longrightarrow} X\times X\times X
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет теоретико-множественному уравнению тетраэдров, если
$$
\begin{equation*}
\Phi_{123}\circ \Phi_{145}\circ \Phi_{246}\circ \Phi_{356} =\Phi_{356}\circ \Phi_{246}\circ \Phi_{145} \circ \Phi_{123} \colon \ X^{\times 6}\to X^{\times 6}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом определении $X^{\times 6}$ обозначает декартову 6-ю степень множества $X$, а индексы обозначают номера сомножителей, к которым применяется $\Phi$. В остальных сомножителях отображение действует тождественно. Например,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi_{356}(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6) & =(a_1,a_2,\Phi_1(a_3,a_5,a_6),a_4,\Phi_2(a_3,a_5,a_6),\Phi_3(a_3,a_5,a_6))\\ & =(a_1,a_2,a_3',a_4,a_5',a_6'), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
если считать, что отображение $\Phi$ в декартовом кубе определено формулой
$$
\begin{equation*}
\Phi(x,y,z) =(\Phi_1(x,y,z),\Phi_2(x,y,z),\Phi_3(x,y,z)) =(x',y',z').
\end{equation*}
\notag
$$
Векторным или матричным уравнением тетраэдров называется равенство
$$
\begin{equation*}
\Phi_{123}\Phi_{145}\Phi_{246}\Phi_{356} =\Phi_{356}\Phi_{246}\Phi_{145}\Phi_{123},
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $\Phi\in\operatorname{End}(V^{\otimes 3})$ для некоторого конечномерного векторного пространства $V$. Обе части равенства в этом случае – линейные операторы в пространстве $V^{\otimes 6}$; $\Phi_{ijk}$ – линейный оператор, действующий нетривиально – как $\Phi$ – в $(i,j,k)$-компонентах тензорного произведения и тривиально в остальных. Данное уравнение может быть проиллюстрировано диаграммой из области вершинных моделей (см. рис. 2). В литературе также встречается понятие функционального уравнения тетраэдров, решение которого представляет собой преобразование, действующее на некотором пространстве функций трех переменных. Работы [61]–[68] посвящены построению решений уравнения тетраэдров, сыгравших важную роль в развитии данной теории. Пример 1. Приведем решение Люстига [69], известное также как отображение Хироты (см. классификацию в [62]): Данное соотношение используется при заменах карт, параметризующих открытую клетку унипотентной группы; оно сохраняет свойство полной положительности и играет существенную роль в современном описании кластерных алгебраических структур. Пример 2. Электрическим решением уравнения тетраэдров [62], [70] называется преобразование Пример 3. Еще один пример решения уравнения тетраэдров связан с параметризацией группы $\operatorname{SO}(3)$ углами Эйлера. Для $U\in\operatorname{SO}(3)$ определим два разложения: 2.3. Комбинаторика гиперкубаВ этом пункте мы напомним основную конструкцию уравнения $n$-симплексов из работы [20]. В комбинаторике гиперкуба удобно обозначать грани последовательностями $(a_1,\dots,a_n)$, где $a_i$ – это либо $1$, либо $0$, либо $*$, причем символ $*$ означает, что данная координата изменяется от $0$ до $1$. Число звездочек в слове совпадает с размерностью грани. Определим вспомогательную последовательность Определение 1. $(n-1)$-подгрань $n$-грани называется входящей, если $i$-й символ $*$ в слове, кодирующем $n$-грань, заменяется на $\zeta_i$; в противном случае подгрань называется исходящей. Замечание 1. Будем рассматривать релевантный лексикографический порядок на множестве $(n-1)$-подграней для $n$-грани: где $i_k$ – входящие грани в лексикографическом порядке, $o_i$ – исходящие $(n-1)$-грани. Например, стандартный $2$-куб имеет четыре ребра – два входящих и два исходящих. Приведем эти грани в порядке возрастания в следующей таблице: Рассмотрим отображение $R\colon X^{n}\to X^{n}$ или соответствие $R\subset X^{n}\times X^{n}$. Определение 2. Допустимой раскраской $(n-1)$-подграней куба $I^N$ по отношению к выбранному $R$ называется отображение из множества $(n-1)$-подграней в $X$ такое, что на каждой $n$-грани $f_n\subset I^N$ цвета исходящих $(n- 1)$-граней связаны с цветами входящих $(n- 1)$-граней посредством отображения или соответствия $R$. При подстановке $R$ используется лексикографический порядок подграней. Обозначим пространство допустимых раскрасок через $C_N^{n-1}(X,R)$. Пространство допустимых раскрасок не является пустым, если $R$ удовлетворяет алгебраическому условию, называемому уравнением $n$-симплексов. Оно определяется только на $(n+1)$-гранях, условий на гранях более высокого порядка не возникает. Рассмотрим $(n+1)$-куб $I^{n+1}$ и ориентированный граф $G_{n+1}$, вершины которого ассоциированы с $n$-гранями $I^{n+1}$, а ребра – с $(n-1)$-гранями, являющимися входящими для одной $n$-грани и исходящими для другой. Каждое ребро $G_{n+1}$ несет естественную ориентацию. Теорема 1 [20]. Граф $G_{n+1}$ имеет две связные компоненты, каждая из которых изоморфна $n$-симплексу. Один из этих симплексов (назовем его “левым”) содержит вершины, ассоциированные с гранями Определение 3. Теоретико-множественным уравнением $n$-симплексов на множестве $X$ называется равенство: Обе его части представляют собой композиции отображений (или соответствий), ассоциированных с указанными гранями. Определение 4. Обозначим через $\mathfrak{S}_n(X)$ пространство решений теоретико-множественного уравнения $n$-симплексов в соответствиях для множества цветов $X$. Пример 4. Рассмотрим уравнение $2$-симплексов. Оно соответствует $R$, связывающему цвета ребер квадратных граней куба. Соотношение возникает на трехмерном кубе и принимает вид Учитывая тот факт, что выбирается одинаковое отображение или соответствие $R$ на каждой грани, получим стандартное представление для уравнения Янга–Бакстера: Пример 5. Уравнение $3$-симплексов имеет вид Теперь будем нумеровать компоненты уравнения (8) номерами $2$-граней соответствующих $3$-кубов. Например, $R_{(***1)}=R_{356}$. Полностью уравнение $3$-симплексов примет знакомый нам вид уравнения тетраэдров Замолодчикова:
$$
\begin{equation*}
R_{356}R_{246} R_{145} R_{123} =R_{123} R_{145} R_{246} R_{356}.
\end{equation*}
\notag
$$
2.4. Рекурсия.В работе [48] было построено естественное отображение
$$
\begin{equation*}
\tau\colon \mathfrak{S}_n(X)\to\mathfrak{S}_{n+1}(X^{2n}).
\end{equation*}
\notag
$$
С каждым решением $R\in\mathfrak{S}_n(X)$ уравнения $n$-симплексов можно связать отображение пространств раскрасок: в котором раскраска $n$-грани строится из $2n$ цветов $(n-1)$-подграней соответствующей $n$-грани. Будем использовать естественный порядок на множестве $(n-1)$-подграней $n$-грани, определенный в замечании 1. Теорема 2 [48]. Пусть $R\in\mathfrak{S}_n(X)$. Тогда является решением уравнения $(n+1)$-симплексов, принадлежащим пространству $\mathfrak{S}_{n+1}(X^{2n})$. 2.5. Когомологии тетраэдрального комплексаПусть $R\in\mathfrak{S}_{3}(X)$. Будем использовать обозначение и рассмотрим соответствующий комплекс где – свободный  -модуль, порожденный множеством раскрасок $2$-граней. Дифференциал $d_n\colon C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ определяется по формуле где $d^i_kc$ ($d^o_kc$) – ограничение раскраски $c$ на $k$-ю входящую (соответственно исходящую) $(n-1)$-грань куба $I^n$. Гомологии данного комплекса  называются тетраэдральными гомологиями на множестве $X$ с коэффициентами в . Двойственная конструкция дает тетраэдральные когомологии $X$. Потенциальная версия тетраэдральных когомологий для поля
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \varphi(a_1,a_2,a_3)\varphi(\hat{a}_1,a_4,a_5)\varphi(\hat{a}_2,\hat{a}_4,a_6) \varphi(\hat{a}_3,\hat{a}_5,\hat{a}_6) \nonumber \\ &\qquad =\varphi(a_3,a_5,a_6)\varphi(a_2,a_4,\tilde{a}_6)\varphi(a_1,\tilde{a}_4,\tilde{a}_5) \varphi(\tilde{a}_1,\tilde{a}_2,\tilde{a}_3) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
в обозначениях рис. 3. Справедливо следующее простое, но важное утверждение [20; теорема 4]. Лемма 1. Пусть $\Phi$ – решение теоретико-множественного уравнения тетраэдров и $\varphi$ – мультипликативный $3$-коцикл тетраэдрального комплекса. Обозначим через $V=V(X)$ векторное пространство, порожденное элементами множества $X$, и пусть $e_x$ обозначает базисный вектор $V$, соответствующий элементу $x\in X$. Определим линейный оператор $A$ на $V^{\otimes 3}$, задавая его значения на тензорных произведениях базисных векторов: тогда и только тогда, когда $\Phi(x,y,z)=(x',y',z')$. Оператор $A(s)$ является решением матричного уравнения тетраэдров. 2.6. Высшие порядки БрюаНапомним определение высших порядков Брюа [21]. Пусть $(W,S)$ – группа Кокстера и набор генераторов. Редуцированным словом $s_1\dots s_l=w$ называется представление элемента $w\in W$ словом наименьшей длины $l(w)=l$. Определение 5. Левым порядком Брюа на $W$ называется порядок $u\leqslant v$, при котором некоторое правое подслово редуцированного слова $v$ является редуцированным словом для элемента $u$. Определение 6. Граф Брюа для набора $(W,S)$ представляет ближайших соседей в порядке Брюа. Вершины этого графа совпадают с элементами группы $W$; ребрами соединяются вершины $u$, $v$, для которых $l(u)>l(v)$, причем $u=t v$. Граф Брюа для группы $W=S_3$ с набором генераторов $S=\{\sigma_1,\sigma_2\}$ представлен на рис. 4. Рассмотрим $C(n,k)$ – множество $k$-элементных подмножеств множества $[1\dots n]$ для $1\leqslant k\leqslant n$. Для подмножества $c=(i_1,\dots,i_k)$ при условии $1\leqslant i_1<i_2<\dotsb<i_k\leqslant n$ обозначим через $c_{\hat{j}}$ его граничные подмножества: Определение 7. Пусть $A(n,k)$ – множество полных порядков на $C(n,k)$ таких, что для любого $d\in C(n,k+1)$ либо либо Элементы множества $A(n,k)$ будем представлять в виде цепочек:
$$
\begin{equation*}
a=c_1 \dots c_N,\qquad c_i\in C(n,k),\quad c_1<\dotsb<c_N,\quad N=C_n^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Назовем инверсией элемента $a\in A(n,k)$ такой элемент $d\in C(n,k+1)$, что $d_{\hat{1}}<d_{\hat{2}}<\dotsb<d_{\widehat{k+1}}$. Рассмотрим отношение эквивалентности на множестве $A(n,k)$ такое, что $a\sim a'$, если $a'$ получен из $a=c_1\dots c_N$ перестановкой соседних подмножеств $c_j$ и $c_{j+1}$, содержащих в совокупности не менее $k+2$ элементов. Пусть $B(n,k)=A(n,k)/{\sim}$ – множество классов эквивалентности. Определение 8. Пусть $d$ не является инверсией $a$, т. е. $a$ содержит подряд элементы $d$ в обратном лексикографическом порядке: Назовем перестройкой $a$ в $d$ элемент в котором порядок граничных подмножеств $d$ инвертирован. На $B(n,k)$ возникает естественный порядок: считаем, что $b\leqslant b'$, если $b'$ получается из $b$ некоторой последовательностью перестроек. Замечание 2. Имеет место равенство $B(n,1)=A(n,1)$. Это множество может быть отождествлено с симметрической группой $S_n$. Описанный порядок на $B(n,1)$ в точности совпадает с левым порядком Брюа для набора генераторов $S=\{\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}\}$. Определение 9. Частично упорядоченное множество $X$ называется ранжированным с функцией ранга $l\colon X\to\mathbb{Z}$, если для всех $x$, $y$ таких, что $x\leqslant y$, и всех неуплотняемых цепочек $x=x_0<x_1<\dotsb<x_n=y$ выполняется равенство $c=l(y)-l(x)$. Теорема 3 [21]. (i) Множество $B(n,k)$ является ранжированным упорядоченным множеством, на котором функция ранга задается количеством инверсий. $B(n,k)$ имеет единственный минимальный элемент $b_{\min}$ и единственный максимальный элемент $b_{\max}$. (ii) Пусть $a=d_1 d_2\dots d_M\in A(n,k+1)$, тогда
$$
\begin{equation*}
b_{\min},\quad p_{d_1}(b_{\min}),\quad p_{d_2}p_{d_1}(b_{\min}), \quad\dots
\end{equation*}
\notag
$$
образуют максимальную цепочку в $B(n,k)$. Кроме того, соответствие между $A(n,k+1)$ и множеством максимальных цепочек в $B(n,k)$ является биекцией. (iii) Каждый элемент $b\in B(n,k)$ однозначно определен множеством своих инверсий. Замечание 3. Перестройки в терминологии высших порядков Брюа представляют собой в точности шаги раскраски исходящих граней через входящие в задаче о раскраске граней гиперкуба. Биекция между максимальными цепочками и элементами множества порядков эквивалентна возможности раскрасить абсолютно исходящие грани через абсолютно входящие. В случае $B(3,1)$ множество $A(3,2)$ содержит в точности два полных порядка: $\{(12),(13),(23)\}$ и $\{(23),(13),(12)\}$. Согласно приведенной теореме эти два порядка однозначно соответствуют максимальным цепочкам перестроек между начальным и конечным элементами в симметрической группе $S_3$. 2.7. Высшие уравнения ассоциативностиСемейство уравнений $n$-симплексов непосредственно связано с высшими уравнениями ассоциативности. Напомним определение уравнения пятиугольника: это уравнение представляет собой условие на ассоциатор, проиллюстрированное на рис. 5.В серии работ [38], [39] устанавливаются связи между частными решениями уравнения тетраэдров и уравнения пятиугольника. В работе [39] утверждается, что по решению уравнения пятиугольника (11), удовлетворяющему двум дополнительным условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{S}_{23} \bar{S}_{13} \bar{S}_{12} & =\bar{S}_{12} \bar{S}_{23},\\ \bar{S}_{12} S_{13} \bar{S}_{14} S_{24} \bar{S}_{34} & =S_{24} \bar{S}_{34} S_{14} \bar{S}_{12} S_{13}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
можно построить решение уравнения тетраэдров в следующем виде:
3. Уравнение тетраэдров и $2$-узлы3.1. $2$-узлыОпределение 10. Далее мы называем $2$-узлом класс изотопий вложений $S^2\hookrightarrow {\mathbb{R}}^4$. Предполагается, что на сфере выбрана ориентация. Класс примеров нетривиальных $2$-узлов может быть получен конструкцией “витых-закрученных” узлов Зимана [73], которые являются обобщением закрученных узлов Артина. Рис. 6 иллюстрирует основную идею. В этой конструкции предполагается, что за период обращения $\mathbb{R}_+^3$ вокруг двумерного пространства длинный узел в $\mathbb{R}_+^3$ совершает вращение $k$ раз вокруг своей оси. Одним из инструментов исследования $2$-узлов является диаграмма узла, которая получается проекцией $p$ общего положения пространства $\mathbb{R}^4$ на гиперплоскость $\mathbb{R}^3\simeq P\subset{\mathbb{R}}^4$. Такая проекция представляет собой поверхность с особенностями общего типа: двойная точка, тройная точка и точка Уитни (или точка ветвления), изображенными на рис. 7. Диаграмма $2$-узла – это особая поверхность, содержащая дуги двойных точек, оканчивающиеся тройными точками или точками Уитни. Особые точки образуют граф, который оснащен дополнительной информацией о порядке расположения $2$-листов по отношению к линии пересечения в соответствии с расстоянием от гиперплоскости $P$. Заметим, что наличие ориентации на сфере позволяет определить знак каждой тройной точки: назовем тройную точку положительной, если репер нормалей к трем пересекающимся в этой точке листам, взятых в порядке их прохождения, имеет положительную ориентацию; в противном случае тройная точка называется отрицательной. Будем говорить, что две диаграммы изотопны, если они связаны гладким семейством диаграмм с простыми особенностями. Разумеется, в общем случае одна и та же заузленная поверхность в $\mathbb{R}^4$ может быть представлена неизотопными диаграммами, т. е. такими, которые связаны семействами с особенностями более специального типа. Следующая теорема описывает полный перечень возможных преобразований, в которых фигурируют особенности старших типов; этот перечень является аналогом хорошо известного списка движений Рейдемейстера в теории обычных узлов. Теорема 4 (Д. Розман [41]). Две диаграммы представляют эквивалентные заузленные поверхности тогда и только тогда, когда одна может быть получена из другой конечной последовательностью движений на рис. 8, 9, 10 и изотопией диаграммы в $\mathbb{R}^3$. 3.2. Когомологии квандлов и инварианты $2$-узловВ работе [42] представлена конструкция инвариантов $2$-узлов с помощью так называемых когомологий квандлов (очень похожая конструкция [74] использует отображения Янга–Бакстера и соответствующие когомологии). Собственно инвариант $2$-узлов строится как статсумма модели, пространством состояний которой является пространство раскрасок $2$-листов диаграммы элементами квандла. Напомним сначала определение последнего. Определение 11 (С. В. Матвеев [75]). Множество $X$ с бинарной операцией $(a,b)\mapsto a\ast b$ называется квандлом (или дистрибутивным группоидом), если (i) для любого $a\in X$ (ii) для любых $a,b\in X$ существует единственное $c\in X$ такое, что (iii) для любых $a,b,c\in X$ Пример 6. Простейшим примером такой структуры является групповой квандл, в котором множество $X$ совпадает с множеством элементов группы $G$, а операция задается с помощью сопряжения $a\ast b=b^{-n} a b^n$ при фиксированном $n$. Пример 7. Еще один важный пример – квандл Александера: в этом случае $X$ – это $\Lambda$-модуль $M$, где $\Lambda=\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$, с операцией $a\ast b=t a+(1-t)b$. Когомологии квандла определяются с помощью комплекса $C_n^R(X)$. Его компоненты – это свободные абелевы группы, порожденные наборами $(x_1,\dots,x_n)$ элементов множества $X$. Дифференциал $\partial_n\colon C_n^R(X)\to C_{n-1}^R(X)$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_n(x_1,\dots,x_n) & =\sum_{i=2}^n(-1)^i\{(x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n)\\ &\quad -(x_1\ast x_i,x_2\ast x_i,\dots,x_{i-1}\ast x_i,x_{i+1},\dots,x_n)\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим подкомплекс $C_n^D(X)$, компоненты которого порождены наборами из $n$ элементов $(x_1,\dots,x_n)$ с совпадающими значениями $x_i=x_{i+1}$ для некоторого $i$ и $n\geqslant 2$. Рассмотрим также факторкомплекс $C_n^Q(X)=C_n^R(X)/C_n^D(X)$ с индуцированным дифференциалом. Гомологии и когомологии квандла $X$ с коэффициентами в абелевой группе $G$ – это по определению (ко)гомологии комплексов:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} C_{\ast}^Q(X,G) & =C_{\ast}^Q(X)\otimes G, &\qquad\partial&=\partial\otimes\operatorname{Id},\\ C_{Q}^{\ast}(X,G) & =\operatorname{Hom}(C_{\ast}^Q(X), G), &\qquad\delta&=\operatorname{Hom}(\partial,\operatorname{Id}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Для определения инварианта разрежем диаграмму вдоль дуг двойных точек на семейство неособых поверхностей с границей в $\mathbb{R}^3$ таким образом, что вдоль дуги двойных точек верхний лист разрезает нижний. Эти поверхности называются $2$-листами диаграммы. Обозначим символом $L$ множество $2$-листов диаграммы после разрезания. Раскраской $C$ диаграммы $D$ элементами квандла $Q$ называется отображение $C\colon L\to Q$, удовлетворяющее условию согласованности вдоль пересечений, изображенному на рис. 11. Выберем $3$-коцикл $\theta\in Z_Q^3(Q,A)$. Условие коцикличности эквивалентно следующему равенству:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \theta(p,r,s)+\theta(p\ast r,q\ast r,s)+\theta(p,q,r)\\ & \qquad\qquad\qquad =\theta(p\ast q,r,s)+\theta(p,q,s)+\theta(p\ast s,q\ast s,r\ast s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поставим в соответствие тройной точке $\tau$ больцмановский вес где $\epsilon(\tau)$ – знак тройной точки $\tau$ (определенный по ориентации нормалей листов, как было указано выше), $x$, $y$ и $z$ – цвета верхнего, среднего и нижнего листов выходящего октанта, т. е. октанта, в который направлены нормали всех листов. Далее определим статсумму по всем допустимым раскраскам листов:Теорема 5 (С. Картер и др. [42]). Статсумма (12), вычисленная по диаграмме $2$-узла, инвариантна относительно движений Розмана и тем самым является инвариантом $2$-узла. 3.3. Квазиинварианты $2$-узловВ работе [76] строится еще одна статсумма диаграммы узла $\chi(D)$ (где $D\looparrowright\mathbb{R}^3$ – это диаграмма $2$-узла $\Sigma\hookrightarrow\mathbb{R}^4$), которая инвариантна относительно части движений Розмана. Как и ранее считаем, что поверхность является сферой $S^2$ с выбранной ориентацией, хотя конструкция обобщается на произвольные ориентированные поверхности. Евклидово пространство $\mathbb{R}^3$ также рассматривается со стандартной ориентацией. Напомним, что граф особых точек диаграммы является графом очень специального вида: его вершины имеют валентность $6$ или $1$, вершины валентности $6$ соответствуют тройным точкам диаграммы, а вершины валентности $1$ – точкам Уитни. Ребра, примыкающие к вершине валентности $6$, можно поделить на пары (будем называть такие пары ребер линиями), каждая из которых может считаться одной ветвью множества особых точек. Может быть однозначно определена ориентация ребер $E$ графа особых точек: каждое ребро $E$ является пересечением двух “ветвей” $F_1$ и $F_2$ поверхности, так что в каждой внутренней точке $x\in E$ имеется два вектора нормали $\vec n_1$, $\vec n_2$. Напомним, что диаграмма $D$ является образом $\Sigma$ при проекции $p\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$, где $\mathbb{R}^3$ – подходящая гиперплоскость. Пусть $F_1$ – верхний лист, а $F_2$ – нижний; теперь выберем направление $\vec v$ на ребре $E$ так, чтобы репер $\vec n_1$, $\vec n_2$, $\vec v$ был положительно ориентирован. Заметим, что ориентация не меняется при проходе через тройную точку. Так же, как в подходе Картера и др. [42], определим ориентацию тройной точки $O$. Обозначим знак символом $\sigma(O)$. Кроме этого определим порядок на множестве линий, проходящих через тройную точку $O$: будем присваивать номер $i$ линии, трансверсальной $i$-й ветви диаграммы в этой точке. Пусть $(X,\Phi)$ – решение теоретико-множественного уравнения тетраэдров на конечном множестве $X$ и $h=\#X$ – мощность множества; предположим также, что $\Phi$ обратимо. Начнем с определения раскраски графа $\Gamma$ в цвета из множества $X$. Определение 12. Допустимой раскраской графа $\Gamma$ назовем функцию на ребрах $c\colon E \to X$ такую, что в каждой вершине $O\in\Gamma_6$ валентности $6$ цвета, поставленные в соответствие исходящим ребрам $(x',y',z')$, связаны с цветами входящих ребер $(x,y,z)$ по правилу Рассмотрим мультипликативный $3$-коцикл $\varphi$ тетраэдрального комплекса с коэффициентами в поле вещественных (или комплексных) чисел. Каждой тройной точке $O$ нашей диаграммы и раскраске поставим в соответствие число $\varphi^{\sigma(O)}(x_O,y_O,z_O)$, где $(x_O,y_O,z_O)$ – цвета входящих ребер, если $\sigma(O)=1$ (порядок определяется порядком ребер), и цвета исходящих ребер в противном случае. Для любого вещественного (или комплексного) числа $s$ определим выражение
$$
\begin{equation}
\chi_\varphi(s;\Gamma) =h^{-d}\sum_{c(\Gamma)}\prod_{O\in\Gamma_6}\varphi^{\sigma(O)s}(x_O,y_O,z_O),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $d$ – количество связных компонент графа особых точек $\Gamma(D)$. Здесь понятие связности вводится с помощью понятия линии, введенного выше. Мы называем две дуги двойных точек связными в тройной точке, если они лежат на одной и той же линии. Это отношение продолжается до отношения эквивалентности. Выражение (13) в исключительных случаях определяется по дополнительному правилу: будем считать произведение равным $1$, если диаграмма не имеет тройных точек; все выражение будем считать равным $1$, если диаграмма не имеет двойных точек. Определение 13. Квазиинвариант $\chi_\varphi(s;\Sigma; D)$ $2$-узла $\Sigma$ задается выражением $\chi_\varphi(s;\Gamma(D))$, где $D$ – диаграмма узла и $\Gamma(D)$ – граф особых точек диаграммы $\Sigma(D)$. Предложение 1 [76]. Пусть $X$ – конечное множество, $\Phi\colon X^{\times 3}\to X^{\times 3}$ – решение теоретико-множественного уравнения тетраэдров, $\varphi\in C_3(X)$ – мультипликативный $3$-коцикл. Тогда выражение $\chi_\varphi(s;\Sigma; D)$ инвариантно при изменениях диаграммы $2$-узла следующих типов: 1-е, 3-е, 5-е и 7-е движения Розмана. Замечание 4. При некоторых дополнительных условиях на коцикл имеет место инвариантность по отношению к 6-му движению [76]. 4. Трехмерная статистическая модель и двумерная решетчатая спиновая модельВ этом разделе мы покажем, что связь между статистическими моделями и интегрируемыми квантово-механическими системами обобщается на старшую размерность, т. е. для модели статистической механики в размерности $3$ и квантово-механической двумерной модели. 4.1. Лемма МайеПриведем основное утверждение, лежащее в основе данного феномена, в размерности $2$. Напомним, что $R'$ – решение уравнения Янга–Бакстера в форме косы (2), а $L$ – соответствующее решение уравнения (3). В работе [77] представлена конструкция коммутативного семейства в алгебре $\operatorname{End}(V_q)$, содержащая след $I_1=\operatorname{Tr}_V L$. Лемма 2 [77]. Для оператора $L$, действующего в $\operatorname{End}(V_i)\otimes\operatorname{End}(V_q)$, введем обозначение $L_i$. Тогда выражения коммутируют в $\operatorname{End}(V_q)$ (предполагается, что след берется по отношению к вспомогательным пространствам $V_i$). Частичным аналогом этого утверждения в случае размерности $3$ является результат работы [16]. 4.2. Регулярные трехмерные решетки и статистические моделиКак и в задаче про квазиинварианты $2$-узлов, пусть $X$ – конечное множество цветов, $\Phi\colon X^{\times 3}\to X^{\times 3}$ – решение теоретико-множественного уравнения тетраэдров, $\varphi\in C_3(X)$ – мультипликативный $3$-коцикл. Рассмотрим периодическую трехмерную решетку $\Lambda$ размера $K\times L\times M$. Мы будем изучать раскраски ребер решетки. Обозначим цвета ребер, входящих в узел $(i,j, k)$, через $x_{i,j,k}$, $y_{i,j,k}$, $z_{i,j,k}$. Условия периодичности подразумевают тождество $*_{K+1,j,k}=*_{1,j,k}$ и аналогичные тождества для других направлений. Рассмотрим статистическую модель с весами Больцмана в узлах решетки, определяемыми значением $3$-коцикла $\varphi$ тетраэдрального комплекса. Состояния модели определяются допустимыми раскрасками ребер $c\colon E(\Lambda)\to X$, т. е. такими, что в каждом узле решетки выполняется условие
$$
\begin{equation*}
\Phi(x_{i,j,k},y_{i,j,k},z_{i,j,k}) =(x_{i+1,j,k},y_{i,j+1,k},z_{i,j,k+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Статсумма задается выражением
$$
\begin{equation*}
Z(s) =\sum_{\text{col}}\prod_{i,j,k}\varphi(x_{i,j,k},y_{i,j,k},z_{i,j,k})^s,
\end{equation*}
\notag
$$
где суммирование ведется по множеству допустимых раскрасок ребер. Свяжем с каждой линией решетки копию пространства $V$. Для удобства обозначим вертикальные пространства символами $V_{ik}$, а горизонтальные – символами $E_i$ и $N_k$ (см. рис. 12). Рассмотрим оператор $A_{ik}(s)$, действующий в пространстве $E_i\otimes V_{ik}\otimes N_k$, который строится по $3$-коциклу $\varphi$ в соответствии с утверждением леммы 1. Определим трансфер-матрицу произведением по двумерному слою:
$$
\begin{equation*}
T(s) =\operatorname{Tr}\prod_{\overrightarrow{i}}\prod_{\overrightarrow{k}}A_{ik}(s) =\operatorname{Tr}(B_1(s)\dotsb B_K(s)),
\end{equation*}
\notag
$$
где След матриц берется в горизонтальных пространствах. Послойная трансфер-матрица $T(s)$ действует в тензорном произведении вертикальных пространств. Статсумма в результате принимает вид 4.3. Коммутативное семействоНам потребуется рассматривать несколько слоев решетки. Введем обозначение для соответствующих матриц монодромии:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_{(i)*(j)} & =A_{(i_1\dots i_K)*(j_1\dots j_M)} =\prod_{s\in\overrightarrow{(1,\dots,K)}}^{t\in\overrightarrow{(1,\dots,M)}} A_{i_s l^s_{t} j_t}\notag\\ & =\prod_{s\in\overrightarrow{(1,\dots,K)}} A_{i_s(l^s_{1}\dots l^s_{M})(j_1\dots j_M)} =\prod_{s\in\overrightarrow{(1,\dots,K)}}A_{i_s(l^{s})(j)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Стрелки над индексными наборами означают направление в произведениях: например,
$$
\begin{equation*}
\prod_{s\in\overrightarrow{(1,\dots,K)}} M_s =M_1\dotsb M_K.
\end{equation*}
\notag
$$
В последних двух произведениях в (16) мы используем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_{k(i)(j)} & =A_{k(i_1\dots i_t)(j_1\dots j_t)} =\prod_{s\in\overrightarrow{(1,\dots,t)}}A_{k i_s j_s},\\ A_{(i)(j)k} & =A_{(i_1\dots i_t)(j_1\dots j_t)k} =\prod_{s\in\overrightarrow{(1,\dots,t)}}A_{i_s j_s k}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где разные буквы в индексах соответствуют разным копиям пространства $V$. Замечание 5. Сделаем несколько замечаний относительно правила индексов. Здесь $(i)$ – мультииндекс $(i_1,\dots,i_s)$. В дальнейшем мы будем использовать последовательности мультииндексов; надстрочным индексом обозначается номер мультииндекса: например, с помощью $(i^l)$ мы обозначаем мультииндекс $(i_1^l,\dots,i_s^l)$, отмечая каждый раз размерность $s$. Вообще говоря, размерность зависит от параметров решетки $K$, $L$. Трансфер-матрица выражается в виде следа матрицы монодромии (16): здесь $(i)$ – это $K$-мультииндекс, а $(j)$ – это $M$-мультииндекс. Запишем несколько тождеств, которые являются прямыми следствиями уравнения тетраэдров. Их можно интерпретировать как аналоги RLL-отношений. Лемма 3 [15]. Имеем: Введем также обозначения для решений аналогов уравнения тетраэдров в форме косы:
$$
\begin{equation*}
A_{123}^L=P_{12}A_{123},\qquad \tilde{A}_{123}^L=P_{23}A_{123},\qquad A_{123}^R=A_{123}P_{23},\qquad \tilde{A}_{123}^R=A_{123}P_{12}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим двумерный слой $\Lambda$, который определяется, если фиксировать вторую координату. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
L_{*(j)}=\operatorname{Tr}_{(i)}A_{(i)*(j)},\qquad R'_{(i)(j)}=\operatorname{Tr}_{1}A^R_{1(i)(j)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти выражения удовлетворяют условиям леммы 2. Непосредственным следствием леммы является коммутативность следующих операторов:
$$
\begin{equation*}
I_{0,k} =\operatorname{Tr}_{(j^l),l=1,\dots,k} \prod_{l=\overrightarrow{1,\dots,k}}L_{*(j^l)} \prod_{m=\overrightarrow{1,\dots,k-1}}R'_{(j^m)(j^{m+1})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это семейство включает трансфер-матрицу $I_1=\operatorname{Tr}_{(j)} L_{*(j)}=\operatorname{Tr}_{(i)(j)}A_{(i)*(j)}$. Здесь мультииндекс $(j^m)$ имеет размерность $M$. То же выражение $I_{0,k}$ можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
I_{0,k} =\operatorname{Tr}_{(i^l)(j^l)(s)}\prod_{l=\overrightarrow{1,\dots,k}}A_{(i^l)*(j^l)} \prod_{m=\overrightarrow{1,\dots,k-1}}A^R_{s_m(j^m)(j^{m+1})}
\end{equation*}
\notag
$$
с мультииндексами $(i^l)$ размерности $K$, $(j^l)$ размерности $M$ и $(s)$ размерности $k-1$. Можно показать, что семейство
$$
\begin{equation*}
I_{n,0} =\operatorname{Tr}_{(i^l)(j^l)(t)}\prod_{l=\overrightarrow{1,\dots,n}}A_{(i^l)*(j^l)}\prod_{m=\overrightarrow{1,\dots,n-1}}A^L_{(i^m)(i^{m+1})t_m}
\end{equation*}
\notag
$$
также является коммутативным и включает $I_1$; здесь мультииндексы имеют одинаковую размерность, за исключением размерности $(m)$, которая равна $n- 1$. Коммутативность каждого из этих семейств фактически является следствием конструкции коммутативного семейства в одномерном случае. Теорема 6 [15]. Для решения матричного уравнения тетраэдров $A$ общего положения верно следующее: Замечание 6. Данное утверждение является трехмерным аналогом леммы Майе 2. В этом случае трансфер-матрица включается в двухпараметрическое коммутативное семейство. Можно предположить, что эта ситуация моделирует более общую картину в теории интегрируемых систем, в которой роль спектральной кривой выполняет двумерная поверхность. Алгебро-геометрические аспекты данного подхода обсуждались в работах [78], [79]. 5. Трехмерная модель Изинга5.1. Вершинная модельИзотропная модель Изинга описывается функцией энергии здесь $i$ принадлежит $\Lambda$ – периодической трехмерной решетке, $\sigma_i$ – связанная с $i$-й вершиной спиновая переменная, принимающая значения $\pm1$, и $d(i,j)$ – стандартная (манхэттенская) метрика на кубической решетке. Статсумма модели определяется выражением где сумма берется по пространству всех спиновых конфигураций.Перейдем к переменным $s_{ij}$ на ребрах решетки $\Lambda$, с каждым из которых связано пространство $\mathbb{C}^2$. Далее рассмотрим двойственную решетку $\Lambda^*$, вершины которой ставятся в соответствие $3$-кубам начальной решетки $\Lambda$, ребра $\Lambda^*$ ассоциируются с $2$-гранями $\Lambda$. С каждым ребром двойственной решетки $\Lambda^*$ мы связываем векторное пространство $V_f=(\mathbb{C}^2)^{\otimes 4}\simeq \mathbb{C}^{16}$. Определим весовую матрицу $W$, которую можно интерпретировать как линейный оператор $(V_f)^{\otimes 3}\to (V_f)^{\otimes 3}$. Элементы этой матрицы равны нулю, если соответствующая конфигурация спинов недопустима, и принимают значение для допустимых конфигураций.Здесь $\{\sigma_i\}$ – фиксированный набор из трех ребер $3$-куба разных направлений. Конфигурация называется допустимой, если произведение спинов ребер на каждой $2$-грани равно $1$ и если раскраски различных $2$-граней с общими ребрами согласованы. Переход к двойственной решетке проиллюстрирован на рис. 13. Замечание 7. Введенная выше весовая матрица позволяет представить статсумму модели Изинга в виде произведения: 5.2. Скрученное уравнение тетраэдровНапомним основные этапы построения [48]. Рекурсия по модулям решений $n$-симплексного уравнения.Будем использовать описанную в п. 2.4 рекурсию
$$
\begin{equation*}
\tau\colon \mathfrak{S}_n(X)\to \mathfrak{S}_{n+1}(X^{2n})
\end{equation*}
\notag
$$
для решения уравнения Янга–Бакстера, заданного матрицей
$$
\begin{equation}
R_M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Замечание 8. Матрица (22) кодирует условия на спиновые переменные, связанные с ребрами каждой двумерной грани в модели Изинга. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим соответствие между цветами входящих ребер (отмеченных темным цветом) и цветами исходящих ребер на рис. 14. Обозначим значения спинов на ребрах через $\{+,-\}=\{1,-1\}$. Соответствие можно представить в виде Образ оператора рекурсии $W_0=\tau(R)$ будем использовать как вспомогательную весовую матрицу для трехмерной модели Изинга. По теореме 2 матрица $W_0$ является решением уравнения тетраэдров Замолодчикова для множества $X^4$, которое является множеством раскрасок ребер $2$-грани $3$-куба. Рассмотрим пространство, соответствующее двумерной грани куба, $V_f=V^{\otimes4}$, которое совпадает с $\mathbb{C}\langle X^4\rangle$. Чтобы ввести базис в $V_f$, будем использовать введенный в замечании 1 порядок на ребрах $2$-грани: сначала входящие, затем исходящие ребра. С помощью этого упорядочения мы можем сделать такое отождествление: $V_f\simeq \mathbb{C}^{16}$. Элемент ассоциированной матрицы $\Phi_M$ равен $1$, если набор базисных векторов сопоставляется набору элементов из $X^8$, лежащему в соответствии. Лемма 4 [48]. Матрица $\Phi_M$ удовлетворяет матричному уравнению тетраэдров. Основная идея вершинного представления состоит в том, чтобы раскрасить двумерные грани куба, т. е. ребра двойственного куба, наборами всех реберных спинов этих граней. Из подходящей функции раскраски мы строим матрицу весов и трансфер-матрицу, степень следа которой совпадает со статсуммой модели. Функция раскраски задается путем выбора тройки ребер на каждой трехмерной грани. Этот выбор представлен в таблицах 2 и 3. Таблица 2.Левая часть уравнения тетраэдров
Рис. 15 иллюстрирует таблицу 2. Рис. 16 изображает то же подмножество, если принять во внимание вложение $1$-остова $4$-куба в риманову поверхность рода $1$. Замечание 9. Подграф, заданный таблицей 2, переходит в подграф, заданный таблицей 3, при замене индексов $1\leftrightarrow 4$, $2\leftrightarrow 3$. Таблица 3.Правая часть уравнения тетраэдров
Скрученное уравнение тетраэдровОписанные свойства данных подграфов кодируются весовой матрицей
$$
\begin{equation*}
W(i,j,k) =W_0\times \exp\biggl\{t\sum_{u=1}^6 \sigma_{\varphi(u)}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где выбор ребер задается таблицами 2 и 3. В работе [48] получены следующие два утверждения в изотропном случае. Лемма 5 [48]. Матрица $W(i,j,k)$ задает весовую матрицу для трехмерной модели Изинга при любом выборе параметров $i$, $j$ и $k$. Это означает, что статсумма $Z(t)$ может быть получена как произведение, на двойственной решетке $\Lambda^*$. Теорема 7 [48]. Весовая матрица $W(i,j,k)$ удовлетворяет уравнению где верхний индекс $A$ означает сопряжение $W$ с помощью линейного оператора $A$ в каждой тензорной компоненте. Этот оператор реализует замену базиса в $V_f$, при которой $1$-ребра $2$-грани меняются местами по правилу $i_1\leftrightarrow o_2$, $i_2\leftrightarrow o_1$. Замечание 10. Мы называем уравнение (24) скрученным уравнением тетраэдров. Это уравнение (24) является прямым аналогом уравнения тетраэдров Замолодчикова [1]: где $P_{ij}$ – это элементарная транспозиция в паре $i$-го и $j$-го пространств. 6. Скрученное уравнение тетраэдров и нейронная сеть Хопфилда6.1. Определение модели ХопфилдаМодель Хопфилда [50] определяется по графу с $N$ вершинами (нейронами) и матрице связности $w_{ij}$, характеризующей проводимость синапсов между $i$-м и $j$-м нейронами ($w_{ij}=0$, если вершины не связаны). В каждый момент времени система характеризуется состояниями нейронов $\{x_i=\pm 1\}$, $i=1,\dots,N$. В синхронном детерминированном режиме эволюция системы задается правилом: на следующем шаге состояние нейрона $x'_i$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
x'_i =\begin{cases} \hphantom{-}1, & \text{если } \displaystyle\sum_{j} w_{ij}x_j >t_i, \\ -1, & \text{если } \displaystyle\sum_{j} w_{ij}x_j < t_i, \\ \;x_i & \text{ в противном случае.} \end{cases}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Здесь $t_i$ – это порог активации $i$-го нейрона. Для вероятностной версии модели Хопфилда (называемой также машиной Больцмана) переход к следующему шагу осуществляется с вероятностью, заданной сигмоидой Ферми:
$$
\begin{equation*}
P(x',x) =\prod_{i}\biggl(1+ \exp\biggl\{-\beta x'_i\biggl(\sum_jw_{ij}x_j-t_i\biggr)\biggr\} \biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для порога $t_i=0$ данное выражение представляется в виде, близком к вероятности Гиббса в модели Изинга:
$$
\begin{equation}
P(x',x) =\exp\biggl\{-\frac\beta2\sum_{i,j}w_{ij}x'_i x_j\biggr\} \biggl[\,\sum_{x''} \exp\biggl\{-\frac\beta2\sum_{i,j}w_{ij}x''_i x_j\biggr\}\biggr]^{-1}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
В соответствии с парадигмой Хебба, обучение сети Хопфилда на множестве $m$ образцов $\{\epsilon^1,\dots,\epsilon^m\}$, каждый из которых является вектором осуществляется, если зафиксировать веса синаптических связей выражениями
$$
\begin{equation*}
w_{ij} =\frac 1 n \sum_{k=1}^m\epsilon_i^k\epsilon_j^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Работа сети на этапе воспоминания представляет собой итерационную дискретную динамику, определяемую вероятностью перехода (26). Скажем несколько слов о классической связи между моделью Хопфилда и моделью Изинга [50]. Модель с симметричной весовой функцией в асинхронном режиме обладает функцией Ляпунова [80], которая в данном случае совпадает с энергией модели Изинга: Эта функция не увеличивается с течением времени эволюции системы. В частности, это наблюдение позволяет проанализировать асимптотическое поведение модели Хопфилда. Устойчивыми состояниями динамики модели Хопфилда являются состояния локального минимума энергии для модели Изинга на той же решетке.6.2. Эволюция во времени и модель ИзингаРассмотрим несимметричную модель Хопфилда на треугольной решетке (рис. 17), окрашенной тремя цветами в $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. В рассматриваемой модели нетривиальны только веса для соседей с цветами $c$ и $(c\pm 1)\,\operatorname{mod}3$. Данную решетку можно рассматривать как проекцию кубической решетки на плоскость $i+j+k=0$. Вершины с разными цветами представляют собой плоскости $i+j+k=c\,\operatorname{mod}3$. Временное поведение этой решетки представлено в виде трех независимых трехмерных кубических решеток. Рассмотрим одну из них. Условная вероятность того, что модель пройдет через набор состояний со свободными начальными данными, равна
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P & =\prod_{i+j+k=a}^b \frac{1} {1+\exp\bigl\{x_{ijk}\bigl(w_{ijk}^1 x_{i-1jk}+w_{ijk}^2 x_{ij-1k}+w_{ijk}^3 x_{ijk-1}\bigr)\bigr\}}\notag\\ & =\prod_{i+j+k=a}^b \frac {\exp\bigl\{x_{ijk}\bigl(w_{ijk}^1 x_{i-1jk}+w_{ijk}^2 x_{ij-1k} +w_{ijk}^3x_{ijk-1}\bigr)/2\bigr\}} {2 \operatorname{ch} \bigl(x_{ijk}\bigl(w_{ijk}^1 x_{i-1jk}+w_{ijk}^2x_{ij-1k} +w_{ijk}^3 x_{ijk-1}\bigr)/2\bigr)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Определим матрицу
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 &-1/2 &-1/2 \\ 1/2 &-1/2 & 1/2 &-1/2 \\ 1/2 &-1/2 &-1/2 & 1/2 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим преобразование
$$
\begin{equation*}
f\colon w\mapsto\widetilde{w},\qquad f(w^1,w^2,w^3)=(w^0,w^{12},w^{13},w^{23}),
\end{equation*}
\notag
$$
заданное системой уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} w^0\\ w^{12}\\ w^{13}\\ w^{23} \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix} \log \operatorname{ch} ((w^1+w^2+w^3)/2)\\ \log \operatorname{ch} ((w^1+w^2-w^3)/2)\\ \log \operatorname{ch} ((w^1-w^2+w^3)/2)\\ \log \operatorname{ch} ((w^1-w^2-w^3)/2) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6 [81]. Пусть $f(w^1,w^2,w^3)=(w^0,w^{12},w^{13},w^{23})$. Тогда выполняются следующие уравнения: для всех $s_i=\pm 1$. Замечание 11. Преобразование $f$, ограниченное последними тремя переменными, известно в теории модели Изинга как преобразование “звезда-треугольник” [45]. Это преобразование является решением уравнения тетраэдров Замолодчикова [72]. Теорема 8 [81]. Условная вероятность (27) совпадает со статсуммой модели Изинга на регулярной кубической решетке с дополнительными диагональными ребрами, изображенными на рис. 18: 6.3. Вершинная структураСхема [48] может быть воспроизведена почти буквально в контексте модели Хопфилда. Отличие состоит в расширении решетки диагоналями, как показано на рис. 19. Свяжем с каждой диагональю спиновую переменную по тому же правилу, что и для реберных спинов, т. е. каждой диагонали поставим в соответствие произведение вершинных спинов на ее концах. Лемма 7. Для каждой $2$-грани $3$-куба величина диагонального спина может быть выражена через реберные спины по формуле Выбор диагоналей в левой и правой частях уравнения тетраэдров иллюстрируют рис. 20 и 21. На обоих рисунках мы отметили выбранные диагонали. Все $3$-кубы $4$-куба реализуются как горизонтальные или вертикальные полосы на рис. 20 и 21. Они помечены соответствующими кодами. Диагонали, не вложенные в тор, мы обозначили изогнутыми прерывистыми линиями. Лемма 8. Выбранные диагонали в левой и правой частях уравнения связаны преобразованием индексов $1\leftrightarrow 4$, $2\leftrightarrow 3$. Доказательство может быть получено непосредственной проверкой. 6.4. Скрученное уравнение тетраэдров для модели ХопфилдаОпределение 14. Определим матрицу весов модели Хопфилда $\Omega(i,j,k)$ с помощью матрицы весов трехмерной модели Изинга $W(i,j,k)$ на стандартной кубической решетке следующим образом: Здесь сумма берется по $2$-граням $3$-куба, а спиновые переменные соответствуют ребрам $2$-граней. Теорема 2. Матрица весов $\Omega(i,j,k)$ удовлетворяет скрученному уравнению тетраэдров Доказательство в точности воспроизводит доказательство теоремы 7, приведенное в [48]. Оно следует из наблюдения, что выбранная конфигурация диагоналей левой части уравнения преобразуется в выбранную конфигурацию диагоналей правой части после замены индексов $1\leftrightarrow 4$, $2\leftrightarrow 3$. Это преобразование эквивалентно замене базиса в ассоциированном векторном пространстве. Замечание 12. Наша главная цель в контексте данной работы связана с возможностью применения метода анзаца Бете к описанию критического поведения нейронной сети Хопфилда на двумерных решетках. Речь идет о критическом поведении по отношению к параметру возбуждения сети, а не к размеру, как в работе [59]. Метод анзаца Бете может быть полезен при исследовании коллективного поведения в сети, непосредственно зависящего от корреляционной длины, а также зависимости этих наблюдаемых от параметра возбуждения сети. Это может иметь практическое применение в технике имитационного отжига [82].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tal21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|