| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Обзоры Хаос и интегрируемость в А. В. Болсиновabc, А. П. Веселовabd, И. Йеe a Department of Mathematical Sciences, Loughborough University, Loughborough, UK b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет c Московский центр фундаментальной и прикладной математики d Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук e Сиань Цзяотун-Ливерпульский университет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10008 
Реферативные базы данных:
      1. ВведениеПрограмму геометризации можно в общих чертах сформулировать следующим образом. Пусть нам дано многообразие. Какую “самую лучшую” метрику можно на нем ввести? Чтобы сделать эту постановку более точной, нужно пояснить, что требуется от многообразия и что подразумевается под самой лучшей метрикой. Одним из выдающихся достижений математики XIX столетия (принадлежащим Ф. Клейну и А. Пуанкаре, но завершенным П. Кёбе в 1907 г.) была знаменитая теорема униформизации, утверждающая, что конформный класс любой метрики на двумерной поверхности допускает представителя, являющегося полной метрикой постоянной кривизны. В частности, на компактной поверхности мы можем ввести конформно эквивалентную метрику постоянной положительной кривизны, если эта поверхность – топологическая сфера, плоскую метрику, если это тор, и метрику постоянной отрицательной кривизны, если род поверхности больше единицы. В размерности 3 ситуация сложнее. Согласно знаменитой гипотезе Тёрстона о геометризации [58] (теперь уже доказанной Г. Я. Перельманом, см. [44]), любое компактное ориентируемое трехмерное многообразие может быть разрезано специальным образом на куски, допускающие одну из восьми специальных геометрических структур, а именно евклидову $E^3$, сферическую $S^3$ и гиперболическую $\mathbb{H}^3$, две структуры типа произведения $S^2 \times {\mathbb R}$ и $\mathbb{H}^2 \times {\mathbb R}$ и три структуры, связанные с трехмерными группами Ли: $\operatorname{Nil}$, $\operatorname{Sol}$ и $\widetilde{\operatorname{SL}(2,\mathbb R)}$, где последняя является универсальным накрытием группы $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$. Соответствующие метрики являются локально однородными. Это означает, что любые две точки $x$ и $y$ имеют изометричные окрестности $U$ и $V$ (см. обзор П. Скотта [53]). Пусть дано компактное риманово 3-многообразие $(\mathcal M^3,g)$, допускающее одну из этих геометрий. Рассмотрим на нем соответствующий геодезический поток. Что можно сказать о его интегрируемости? В размерности 2 ответ хорошо известен: геодезические потоки на круглой сфере и плоском торе интегрируемы (в любом смысле), тогда как на поверхностях рода $g>1$ мы имеем хаотическое поведение с положительной энтропией. В этой работе мы изучаем интегрируемость геодезических потоков на 3-многообразиях с $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$-геометрией. Вместо односвязной группы $\widetilde{\operatorname{SL}(2,\mathbb R)}$ (которая не имеет точного конечномерного матричного представления) мы будем использовать ее факторы: обычную матричную группу Ли $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ и $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})=\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})/\{\pm I\}$. В двух других групповых случаях $\operatorname{Nil}$ и $\operatorname{Sol}$ ситуация была ранее изучена Л. Батлером [14] и А. В. Болсиновым и И. А. Таймановым [11]. В частности, в [11] было показано, что, в случае геометрии $\operatorname{Sol}$, на некотором критическом уровне геодезический поток может быть описан при помощи хаотического гиперболического отображения двумерного тора, а вне этого уровня мы имеем обычную интегрируемость по Лиувиллю. В качестве следствия это дало первый класс примеров интегрируемых по Лиувиллю (в гладкой категории) систем с положительной топологической энтропией. В настоящей работе мы показываем, что в случае $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$-геометрии хаос распространяется с критического уровня на открытую область в фазовом пространстве. Более точно, мы рассматриваем класс многообразий $\mathcal M^3_\Gamma=\Gamma\backslash \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$, где $\Gamma \subset \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ – конечно порожденная фуксова группа, действующая на гиперболической плоскости $\mathbb{H}^2$, а $\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ снабжена левоинвариантной метрикой некоторого специального типа. Мы будем предполагать, что факторпространство $\mathcal M^2_\Gamma=\Gamma\backslash \mathbb{H}^2$ компактно или по крайней мере имеет конечную площадь (т. е. $\Gamma$ кофинитна). Частным примером является модулярная группа $\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)$, которую мы обсуждаем подробно. Топологически $\mathcal M^3_\Gamma=S\mathcal M^2_\Gamma$ является расслоением единичных касательных векторов поверхности $\mathcal M^2_\Gamma$. На нем можно ввести класс естественных метрик, индуцированных левоинвариантными метриками на $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$, которые одновременно являются $\operatorname{SO}(2)$-правоинвариантными. Они являются частным случаем двухпараметрического семейства естественно редуктивных метрик [28] на группе $\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$, которые $\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$-левоинвариантны, $\operatorname{SO}(n)$-правоинвариантны и определены при помощи следующего скалярного произведения на алгебре Ли $\mathfrak{g}=\operatorname{sl}(n,\mathbb{R})$:
$$
\begin{equation}
\langle X,Y\rangle=\alpha(\operatorname{sym}X,\operatorname{sym}Y)+ \beta(\operatorname{skew}X,\operatorname{skew} Y), \qquad \alpha>0>\beta.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Здесь $(X,Y):=\operatorname{Tr} XY$ – стандартная инвариантная форма на $\operatorname{sl}(n,\mathbb{R})$, а $X=\operatorname{skew}X+\operatorname{sym}X$ – разложение Картана матрицы $X \in \operatorname{sl}(n,\mathbb{R})$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{skew}X:=\frac{1}{2}(X-X^{\top})\in \operatorname{so}(n),\qquad \operatorname{sym} X:=\frac{1}{2}(X+X^{\top}).
\end{equation*}
\notag
$$
Эти метрики, также известные как обобщенные метрики Сасаки [46] и метрики Калуцы–Клейна [43], возникают в теории эластопластичности [38] (см. детали в разделе 3). В частности, мы увидим, что метрика Сасаки [52] соответствует самому удобному случаю $\alpha=-\beta=2$. Чтобы записать уравнения геодезического потока, введем угловую скорость $\Omega:=g^{-1}\dot g \in \mathfrak g$ и момент $M=A(\Omega)\in \mathfrak g^*$, определенный соотношением Отождествляя $\mathfrak g^*$ с $\mathfrak g$ при помощи формы Картана–Киллинга, мы имеем
$$
\begin{equation*}
M=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\Omega+\frac{1}{2}(\alpha-\beta)\Omega^{\top}
\end{equation*}
\notag
$$
и можем записать соответствующие уравнения Эйлера [3] в виде
$$
\begin{equation*}
\dot M=[M,\Omega]=\frac{\beta-\alpha}{2\alpha\beta}\,[M,M^{\top}].
\end{equation*}
\notag
$$
Эти уравнения могут быть легко проинтегрированы, и соответствующие геодезические на группе могут быть найдены явно (см., например, [28], [38] и раздел 4 ниже). Для $n=2$ введем специальные обозначения, записывая момент как
$$
\begin{equation}
M=\alpha\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}\in \mathfrak g^*\simeq \mathfrak g.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Мы имеем два очевидных интеграла уравнений Эйлера: гамильтониан
$$
\begin{equation*}
H=\frac{1}{2}(\Omega,M)=\frac{\alpha}{4\beta} \bigl(\beta[4a^2+(b+c)^2]-\alpha (b-c)^2\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
и функцию Казимира Их естественные продолжения (которые мы будем обозначать теми же буквами) на кокасательное расслоение $T^*G$, $G=\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ при помощи левых сдвигов дают два естественных интеграла геодезического потока. В качестве третьего интеграла, необходимого для полной интегрируемости, мы можем взять любую непостоянную левоинвариантную функцию $F$ на $T^*G$. Для фактора $\mathcal M^3_\Gamma=\Gamma\backslash \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ ситуация будет другой, поскольку в общем случае $F$ не инвариантна относительно подгруппы $\Gamma$, действующей слева. Оказывается, что третий коммутирующий интеграл, необходимый для интегрируемости по Лиувиллю, существует лишь на открытой половине фазового пространства. Более точно, мы доказываем следующий результат. Теорема 1.1. Геодезический поток на $T^*\mathcal M_\Gamma^3$ интегрируем по Лиувиллю в аналитическом смысле в открытой области $\{\Delta<0\}$ фазового пространства. В области $\{\Delta>0\}$ не существует гладких интегралов, независимых от $H$ и $\Delta$, и система имеет положительную топологическую энтропию. Эта альтернатива – либо хаос, либо интегрируемость – имеет естественное геометрическое объяснение, связанное с действием фуксовой группы $\Gamma$ на орбитах коприсоединенного представления $\{\Delta=\delta\}$ группы $G$ (см. рис. 2 в разделе 6). А именно, при $\delta<0$ мы имеем двуполостный гиперболоид, дающий модель гиперболической плоскости, на которой действие группы $\Gamma$ дискретно, тогда как при $\delta>0$ мы имеем однополостный гиперболоид со всюду плотными орбитами группы $\Gamma$ (подробности см. в разделе 6). Такого типа альтернатива хорошо известна в классической теории магнитных геодезических потоков на $\mathcal M^2_\Gamma$ (см. работы Г. Хедлунда [29], В. И. Арнольда [2], Г. Патернайна и др. [13], [47], И. А. Тайманова [57]). Мы показываем, что это не простое совпадение, поскольку магнитный геодезический поток на $\mathcal M^2_\Gamma$ может рассматриваться как проекция геодезического потока на $\mathcal M^3_\Gamma$. Более точно, мы показываем, что естественные проекции геодезических на $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ для нашего класса метрик на фактор $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)/\operatorname{SO}(2)$ с постоянной отрицательной гауссовой кривизной $K=-2\alpha^{-1}$ являются кривыми постоянной геодезической кривизны $\kappa$, причем
$$
\begin{equation}
\mathcal C:=\frac{\kappa^2}{K^2}=\frac{(b-c)^2}{4a^2+(b+c)^2}= \frac{\beta H-\alpha\beta \Delta}{\beta H-\alpha^2 \Delta}\,,
\end{equation}
\tag{3}
$$
что является интегралом системы. Хорошо известно, что в модели на верхней полуплоскости эти кривые являются окружностями, если $\mathcal C>1$, или дугами окружностей, если $\mathcal C<1$ (см. рис. 1 в разделе 5). Эти кривые могут быть также интерпретированы как магнитные геодезические на гиперболической плоскости (см., например, [3], [29]). Заметим, что условие $\mathcal C>1$ эквивалентно условию $\Delta<0$. В качестве конкретного примера мы рассматриваем случай модулярного 3-многообразия $\mathcal M^3_\Gamma$, $\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)$. Вероятно, Д. Квиллен был первым, кто сделал важное наблюдение, что факторпространство $\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)\backslash \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ топологически эквивалентно дополнению к узлу-трилистнику $\mathcal K$ в 3-сфере:
$$
\begin{equation}
\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)\backslash \operatorname{PSL}(2,\mathbb R) \simeq S^3\setminus \mathcal K
\end{equation}
\tag{4}
$$
(см. книгу Дж. Милнора [39]). Используя этот факт и результаты Дж. Бирман и Р. Уильямса [8], Э. Жис обнаружил замечательное соответствие между периодическими геодезическими на $\mathcal M^2_\Gamma$ и специальным классом узлов (называемых модулярными), которые реализуются периодическими траекториями системы Лоренца [24] (см. подробнее в разделе 7). Мы увидим, что эти геодезические являются специальным случаем периодических геодезических на $\mathcal M^3_\Gamma$ на “наиболее хаотическом” уровне интеграла $\mathcal C=0$, и распространим эту связь на интегрируемую область геодезического потока на $\mathcal M^3_\Gamma$. Теорема 1.2. Периодические геодезические на модулярном 3-многообразии $\mathcal M_\Gamma^3$, $\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)$, с достаточно большим значением интеграла $\mathcal C$ представляют собой кабельные узлы трилистника в $S^3\setminus \mathcal K$. Любой кабельный узел трилистника может быть представлен таким образом. Напомним, что кабельные узлы являются специальными сателлитными узлами, которые могут быть описаны следующим образом (см., например, [1]). Рассмотрим полноторие с торическим узлом $K_{p,q}$ на его границе и завяжем его нетривиальным узлом $K$. Если $K$ – трилистник, мы получим класс так называемых кабельных узлов трилистника. При больших $\mathcal C$ проекция соответствующих двумерных торов Лиувилля с частотами $\omega_1=\dfrac{\beta-\alpha}{2\beta}|b-c|$, $\omega_2=\sqrt{-\Delta}$ из $T^*\mathcal M^3_\Gamma$ на $\mathcal M^3_\Gamma$ является вложением, образом которого будет тор, близкий к слою проекции $\mathcal M^3_\Gamma \to \mathcal M^2_\Gamma$, представляющему собой узел-трилистник. Если отношение
$$
\begin{equation*}
\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{\beta-\alpha}{2\beta}\, \frac{|b-c|}{\sqrt{-\Delta}}=\frac{p}{q}
\end{equation*}
\notag
$$
рационально, мы получаем рациональный тор, заполненный кабельными узлами трилистника типа $(p,q)$. Появление сателлитных узлов в интегрируемой области вполне ожидаемо, учитывая классификацию узлов по Тёрстону как гиперболических, торических или сателлитных (см., например, [1]), но в нашем случае они являются весьма специальными кабельными узлами трилистника. Отметим, что в случае главной конгруэнц-подгруппы $\Gamma(2)$, коротко обсуждаемой в конце раздела 7, мы получаем обычные торические узлы, образующие, пожалуй, наиболее естественный класс “интегрируемых” узлов. Структура работы такова. Мы начинаем с обзора известных результатов об интегрируемости геодезических потоков на трехмерных $\operatorname{Nil}$- и $\operatorname{Sol}$-многообразиях, следуя работам Батлера [14] и Болсинова и Тайманова [11]. В разделе 3 мы обсуждаем топологию и геометрию группы $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$, вводя подходящие координаты и соответствующий класс метрик. Явное описание геодезических естественно редуктивных метрик на $\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$ и их связь при $n=2$ с магнитными геодезическими на гиперболической плоскости обсуждается в разделах 4 и 5. В разделе 6 мы рассматриваем факторпространства $\mathcal M^3_\Gamma=\Gamma \backslash \operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ с фуксовой группой $\Gamma$ и доказываем наши основные результаты. Раздел 7 посвящен специальному случаю модулярного 3-многообразия с $\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)$. Показано, что оно связано с теорией узлов через обобщение конструкции Жиса [24]. Мы завершаем работу обсуждением топологических аспектов задачи, связывая их с известными результатами о топологических препятствиях к интегрируемости. В частности, в случае компактной поверхности $\mathcal M^2_\Gamma$ рода $g\geqslant 2$ мы имеем $\dim H_1(\mathcal M^3_\Gamma,\mathbb R)=2g>3=\dim \mathcal M^3_\Gamma$, что, согласно общему результату Тайманова [56], влечет отсутствие аналитических интегралов геодезического потока на $T^*\mathcal M_\Gamma^3$ с любой метрикой. Наши результаты показывают, что это не исключает аналитической интегрируемости в некоторой открытой области из $T^*\mathcal M^3_\Gamma$. Мы очень рады посвятить эту работу Игорю Кричеверу к его 70-летию. Одного из нас (АПВ) связывает многолетняя дружба с Игорем, работы которого оказывали огромное влияние на развитие геометрии и теории интегрируемых систем в течение последних четырех десятилетий. 2. Классификация Тёрстона и геометрии $\operatorname{Nil}$ и $\operatorname{Sol}$Мы начнем с классификации Тёрстона трехмерных геометрий, отсылая читателя за деталями к обзору Скотта [53]. Следуя Клейну и Тёрстону, под геометрией мы понимаем пару $(X,G)$, где $X$ – односвязное многообразие, а $G$ – группа, транзитивно действующая на $X$ с компактными стабилизаторами точек. В этом случае $X$ допускает $G$-инвариантную риманову метрику. Простейшими примерами являются пары $(X=G,G)$, где $G$ – односвязная группа Ли, действующая на себе, скажем, левыми сдвигами. В размерности 3 Л. Бьянки [7] классифицировал все такие группы, а Милнор [40] подробно исследовал кривизны соответствующих левоинвариантных метрик. Если мы дополнительно предположим, что $G$ имеет дискретную подгруппу $H$, действующую на $X$ с компактным фактором, то $G$ является унимодулярной, т. е. обладает биинвариантной мерой Хаара. Милнор [39] показал, что имеется в точности шесть односвязных унимодулярных групп Ли:
$$
\begin{equation*}
\mathbb R^3,\,\operatorname{Nil},\,\operatorname{Sol},\, \widetilde{\operatorname{Isom}E^2},\, \widetilde{\operatorname{SL}(2,\mathbb R)},\,\operatorname{SU}(2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{\operatorname{Isom}E^2}$ обозначает универсальную накрывающую группы изометрий евклидовой плоскости, а $\operatorname{Nil}$ и $\operatorname{Sol}$ – нильпотентная и разрешимая группы, определенные ниже. Тёрстон, однако, добавил еще одно важное дополнительное условие максимальности группы $G$, означающее, что $G$ является максимальной группой Ли, действующей транзитивно на $X$ с компактными стабилизаторами. Это означает, например, что пара $(\mathbb R^3,\mathbb R^3)$ не является максимальной, поскольку группа трансляций $\mathbb R^3$ может быть расширена до евклидовой группы изометрий пространства $E^3$. На самом деле можно показать, что $G$ максимальна для $X=G$ только в случае $G=\operatorname{Sol}$ [53]. Следующий результат Тёрстона [58], [59] (см. также обзор Скотта [53]) является фундаментальным. Теорема 2.1 (У. Тёрстон). Всякая максимальная односвязная трехмерная геометрия, которая допускает компактные факторы, эквивалентна одной из геометрий $(X,\operatorname{Isom}X)$, где $X$ имеет один из следующих восьми типов: Нас интересует интегрируемость геодезических потоков на соответствующих компактных факторах или, более общим образом, факторах конечного объема. Прежде чем заняться нашим главным случаем $X=\widetilde{\operatorname{SL}(2,\mathbb R)}$, коротко напомним известные результаты о геодезических потоках на трехмерных $\operatorname{Nil}$- и $\operatorname{Sol}$-многообразиях, изученных Батлером [14] и Болсиновым и Таймановым [11]. Рассмотрим трехмерную группу Ли со следующей матричной реализацией:
$$
\begin{equation*}
G=\left\{X=\begin{pmatrix} B(z) & \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \\ 0 \ \ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\} \subset \operatorname{SL}(3,\mathbb R),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x,y,z \in\mathbb R$, а $B(z)$ – однопараметрическая подгруппа в $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$. Различные алгебраические типы $B(z)$ приводят к различным типам трехмерных групп Ли. В частности, для групп $\operatorname{Nil}$ и $\operatorname{Sol}$ из списка Тёрстона мы имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &\operatorname{Nil}: &\quad B(z)&=\begin{pmatrix} 1 & z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; \\ &\operatorname{Sol}: &\quad B(z)&=\begin{pmatrix} e^z & 0 \\ 0 & e^{-z} \end{pmatrix}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Параметры $x$, $y$, $z$ можно понимать как глобальные координаты на группе. В частности, обе группы $\operatorname{Nil}$ и $\operatorname{Sol}$ диффеоморфны $\mathbb R^3$. Пусть $X_1$, $X_2$, $X_3$ обозначают базис левоинвариантных векторных полей на $G$. Если мы понимаем их как линейные функции на кокасательном расслоении $T^*G$, то гамильтониан левоинвариантного геодезического потока принимает вид $H=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{i,j} b^{ij} X_i X_j$, где $b^{ij}\in\mathbb R$ – некоторые константы, $i,j=1,2,3$. Используя группу автоморфизмов, мы можем привести $H$ к некоторой нормальной форме, чтобы избавиться от несущественных параметров. Оказывается, что в случае $\operatorname{Nil}$ выживает лишь один параметр, а в случае $\operatorname{Sol}$ – два. Список таких нормальных форм для всех трехмерных групп Ли можно найти в [10]. В наших случаях верно следующее утверждение. Предложение 2.2. В указанных выше глобальных координатах $x$, $y$, $z$ следующие векторные поля образуют базис левоинвариантных векторных полей: Из (5) и (6) легко увидеть, что соответствующие геодезические потоки вполне интегрируемы. Действительно, коммутирующими первыми интегралами в обоих случаях являются $p_x$ и $p_y$. Отметим, что они задают правоинвариантные векторные поля на $G$. Рассмотрим теперь кокомпактную дискретную подгруппу $\Gamma \subset G$ и соответствующий геодезический поток на компактном 3-многообразии $\mathcal M^3=\Gamma\backslash G$. Исходные координаты $x$, $y$ и $z$ могут по-прежнему рассматриваться как координаты на $\mathcal M^3=\Gamma\backslash G$, но лишь локально. Аналогично, $p_x$ и $p_y$ могут локально рассматриваться как интегралы геодезического потока на $\mathcal M^3$, но с глобальной точки зрения они становятся многозначными функциями. Причина в том, что они не являются $\Gamma$-инвариантными. Тем не менее можно “создать” однозначные $C^\infty$-гладкие интегралы, взяв такие функции $F(p_x,p_y)$, которые будут $\Gamma$-инвариантными. Чтобы объяснить эту конструкцию подробнее, опишем сначала структуру кокомпактных дискретных подгрупп в $G$. В случае группы $\operatorname{Nil}$ мы просто возьмем
$$
\begin{equation}
\Gamma_{\operatorname{Nil}}=\left\{\begin{pmatrix} 1 & k & m \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\ k,n,m\in\mathbb Z\right\} \subset \operatorname{Nil}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
В случае группы $\operatorname{Sol}$ конструкция подгруппы $\Gamma$ требует некоторой подготовки. Рассмотрим циклическую подгруппу, порожденную матрицей
$$
\begin{equation*}
B(\lambda)=\begin{pmatrix} e^\lambda & 0 \\ 0 & e^{-\lambda} \end{pmatrix},\qquad \lambda\ne 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и ее естественное действие на $\mathbb R^2(x,y)$. Заметим, что эта подгруппа допускает инвариантную решетку
$$
\begin{equation*}
\Lambda=\{n e_1+m e_2, \ n,m\in\mathbb Z\}\subset \mathbb R^2(x,y)
\end{equation*}
\notag
$$
тогда и только тогда, когда $\operatorname{tr}B(\lambda)=e^\lambda+e^{-\lambda}$ – целое число. Зафиксируем такие $\lambda\in\mathbb R$ и решетку $\Lambda$ и рассмотрим следующую дискретную подгруппу в $\operatorname{Sol}$:
$$
\begin{equation}
\Gamma_{\operatorname{Sol}}=\left\{\begin{pmatrix} e^{\lambda k} & 0 & x \\ 0 & e^{-\lambda k} & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \ k\in\mathbb Z, \ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \in\Lambda\right\} \subset \operatorname{Sol}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Легко проверить, что действия групп $\Gamma_{\operatorname{Nil}}$ и $\Gamma_{\operatorname{Sol}}$, заданных формулами (7) и (8), приводят к следующим преобразованиям интегралов $p_x$ и $p_y$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &\operatorname{Nil}: &\quad (p_x,p_y) &\mapsto (p_x,p_y+k p_x), \\ &\operatorname{Sol}: &\quad (p_x,p_y) &\mapsto (e^{\lambda k}p_x,e^{-\lambda k}p_y). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Как было объяснено выше, в качестве первых интегралов на $\mathcal M^3_{\operatorname{Nil}}= \Gamma_{\operatorname{Nil}}\backslash \operatorname{Nil}$ и $\mathcal M^3_{\operatorname{Sol}}= \Gamma_{\operatorname{Sol}}\backslash \operatorname{Sol}$ мы должны взять две независимые функции $F_i(p_x,p_y)$, $i=1,2$, которые остаются инвариантными под действием указанных выше преобразований. Такие функции легко найти, причем одна из них может быть выбрана полиномиальной. Другая может быть сделана $C^\infty$-гладкой (но не вещественно-аналитической, причина будет объяснена ниже). А именно, мы можем выбрать $F_1$ и $F_2$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Nil}: \quad F_1 =p_x, \quad F_2 =\exp\biggl\{-\frac{1}{p_x^2}\biggr\} \sin\biggl(\frac{2\pi p_y}{p_x}\biggr);
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Sol}: \quad F_1 =p_xp_y, \quad F_2 =\exp\biggl\{-\frac{1}{p_x^2p_y^2}\biggr\} \sin\biggl(\frac{2\pi}{\lambda}\ln|p_x|\biggr).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Основные свойства геодезических потоков на трехмерных $\operatorname{Nil}$- и $\operatorname{Sol}$-многообразиях, описанных выше, состоят в следующем. Теорема 2.3 [14]. Геодезический поток левоинвариантной метрики на $\mathcal M^3_{\operatorname{Nil}}= \Gamma_{\operatorname{Nil}}\backslash \operatorname{Nil}$ с гамильтонианом (5) Теорема 2.4 [11]. Геодезический поток левоинвариантной метрики на $\mathcal M^3_{\operatorname{Sol}}= \Gamma_{\operatorname{Sol}}\backslash \operatorname{Sol}$ с гамильтонианом (6) Оба результата тесно связаны со следующими общими свойствами геодезических потоков на компактных римановых многообразиях. Теорема 2.5 (Е. И. Динабург [20]). Если фундаментальная группа $\pi_1(M)$ компактного многообразия $M$ имеет экспоненциальный рост, то топологическая энтропия геодезического потока любой римановой метрики на $M$ положительна. Теорема 2.6 (И. А. Тайманов [56]). Если геодезический поток на компактном римановом многообразии $M$ интегрируем по Лиувиллю в вещественно-аналитическом смысле, то фундаментальная группа $\pi_1(M)$ почти коммутативна (т. е. содержит коммутативную подгруппу конечного индекса). В случаях $\operatorname{Nil}$ и $\operatorname{Sol}$ фундаментальные группы многообразий $\mathcal M_{\operatorname{Nil}}$ и $\mathcal M_{\operatorname{Sol}}$ (которые очевидно изоморфны $\Gamma_{\operatorname{Nil}}$ и $\Gamma_{\operatorname{Sol}}$) не являются почти коммутативными, что влечет несуществование вещественно-аналитических интегралов. Более того, $\Gamma_{\operatorname{Sol}}$ имеет экспопенциальный рост, приводящий к положительности топологической энтропии. Динамические свойства этих геодезических потоков могут быть также выведены из явного описания групп, их дискретных подгрупп и гамильтонианов, данного выше. Прежде всего отметим, что топологически $\mathcal M_{\operatorname{Nil}}$ и $\mathcal M_{\operatorname{Sol}}$ оба являются расслоениями над окружностью со слоем тор:
$$
\begin{equation}
\mathcal M_{\operatorname{Nil}} \xrightarrow{T^2} S^1 \quad\text{и}\quad \mathcal M_{\operatorname{Sol}} \xrightarrow{T^2} S^1.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Иначе говоря, эти 3-многообразия можно получить из цилиндра $T^2\times [0,1]$ при помощи некоторого склеивающего диффеоморфизма $\sigma\colon T^2\times\{0\} \to T^2\times \{1\}$. В нашем случае $\sigma$ линеен в обычных угловых координатах на $T^2$ и задается некоторой унимодулярной матрицей $A\in \operatorname{SL}(2,\mathbb R)$. В случае $\operatorname{Nil}$ эта матрица имеет вид $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\0 & 1\end{pmatrix}$, т. е. является параболическим элементом группы $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$, тогда как в случае $\operatorname{Sol}$ матрица $A$ гиперболична и зависит от подгруппы $\Gamma_{\operatorname{Sol}}$. Более точно, $A$ – это матрица оператора $(x,y) \mapsto (e^\lambda x,e^{-\lambda} y)$, записанного в базисе $e_1$, $e_2$ решетки $\Lambda=\{ne_1+me_2\} \subset \mathbb R^2(x,y)$, которая сохраняется данным оператором. Рассмотрим лагранжево слоение с особенностями на фиксированном уровне энергии, например, $\{H=1/2\}\subset T^*\mathcal M$, слоями которого являются совместные многообразия уровня интегралов $F_1$ и $F_2$. Слои общего положения являются трехмерными торами Лиувилля. Особое множество $\mathsf{Sing}$, т. е. объединение сингулярных слоев, является стратифицированным подмногообразием без каких бы то ни было “диких” топологических свойств. В частности, мера $\mathsf{Sing}$ равна нулю, и мы имеем хорошую (даже вещественно-аналитическую) интегрируемость на дополнении к нему, являющемся открытым подмножеством полной меры. Что не позволяет этому лагранжеву слоению быть вещественно-аналитическом – это тот способ, которым торы Лиувилля приближаются к особому множеству. А именно, если мы рассмотрим малую окрестность особой точки с $p_x=p_y=0$, то число входов и выходов неособого тора Лиувилля в эту окрестность не ограничено сверху, хотя и является конечным для каждого отдельного тора. Такая ситуация запрещена в вещественно-аналитическом случае. Еще одним интересным феноменом является поведение потока на инвариантном подмножестве $N=\{p_x=p_y=0,\ p_z>0\} \subset \mathsf{Sing}$ (значение $p_z$ однозначно определяется условием $H=1/2$). Естественная проекция $N\to \mathcal M$ является диффеоморфизмом, так что мы можем моделировать динамику на самом многообразии $\mathcal M$. Геодезические $\gamma(t)$, лежащие на $N$, очень просты: где $x_0$ и $y_0$ – произвольные константы, а $c$ выбрано так, что эта геодезическая принадлежит фиксированному уровню энергии. Отметим, что в терминах расслоения (11) соотношение $z=\mathrm{const}$ задает торические слои, а $x$ и $y$ служат линейными координатами на них (периодическими для $\operatorname{Nil}$ и квазипериодическими для $\operatorname{Sol}$). Следовательно, поток трансверсален каждому слою, и мы можем естественным образом определить отображение Пуанкаре (первое возвращение). По построению это отображение Пуанкаре совпадает с отображением склейки $\sigma=\sigma_A$, задаваемым унимодулярной матрицей $A$.По существу, это наиболее сложная инвариантная подсистема в наших геодезических потоках. Хорошо известно, что $\sigma_A\colon T^2 \to T^2$ имеет положительную топологическую энтропию для любой гиперболической матрицы $A$, более того, $h_{\rm top}(\sigma_A)=|\lambda|$, где $e^\lambda$, $e^{-\lambda}$ – собственные значения $A$. Из этого немедленно вытекает положительность топологической энтропии всего геодезического потока (последнее утверждение теоремы 2.4). Для параболической матрицы $A$ топологическая энтропия отображения $\sigma_A$ равна нулю, что, разумеется, согласуется с соответствующим утверждением теоремы 2.3. 3. Геометрия и топология группы $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$Группа $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$, состоящая из вещественных $(2\times 2)$-матриц с определителем 1, имеет двух близких родственников: факторгруппу по центру $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})=\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})/\{\pm I\}$ и односвязную накрывающую $\widetilde{\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})}$. Она действует изометриями на гиперболической плоскости $\mathbb{H}^2$, реализованной как верхняя полуплоскость $\{z=x+iy,\ y>0\}$ с метрикой постоянной отрицательной кривизны. Поскольку $\pm I$ действует тривиально, настоящей гиперболической группой изометрий будет $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$. Стабилизатором точки $z=i$ является подгруппа $\operatorname{PSO}(2)\subset \operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$, и поэтому $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ может быть естественным образом отождествлена с расслоением единичных касательных векторов гиперболической плоскости $\mathbb{H}^2=\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})/\operatorname{PSO}(2)$.В явном виде мы имеем следующее отождествление:
$$
\begin{equation}
g=\pm\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{PSL}(2,\mathbb R) \longmapsto \biggl(z=\frac{ai+b}{ci+d}\,, \ \xi=\frac{i}{(ci+d)^2}\biggr)\in S\mathbb H^2,
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $\mathbb H^2$ реализована как верхняя полуплоскость $\{z=x+iy, \ y>0\}$ с гиперболической метрикой Действительно, легко проверить, что $\xi \in T_z\mathbb H^2$ имеет единичную норму в этой метрике. Обозначая аргумент $\xi$ через $\varphi$, мы можем ввести удобные координаты $x$, $y$, $\varphi$ на $\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$, где $(x,y)\in \mathbb H^2$, $\varphi \in S^1=\mathbb R/2\pi\mathbb Z$. Таким образом, обе группы $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ и $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ с топологической точки зрения являются открытыми полноториями $\mathbb H^2 \times S^1$ с фундаментальной группой $\mathbb Z$. Их универсальная накрывающая $\widetilde{\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})}$ является односвязной трехмерной группой Ли, известной тем, что она не имеет точных матричных представлений. Согласно Тёрстону, соответствующую модельную геометрию следует рассматривать на односвязной накрывающей $\widetilde{\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})}$ группы $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$, но для наших целей будет достаточно рассматривать саму группу $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ и ее факторы по дискретным подгруппам. В качестве метрики мы можем выбрать любую левоинвариантную метрику на группе, но мы будем рассматривать специальный класс метрик, которые также правоинвариантны относительно подгруппы $\operatorname{SO}(2)$. Взять биинвариантную метрику мы не можем, поскольку она не будет положительно определенной. Имеется двухпараметрическое семейство таких метрик (1), которые с точностью до множителя определяются квадратичной формой
$$
\begin{equation}
|\Omega|^2=4(u^2+vw)+k(v-w)^2, \qquad k=1-\frac{\beta}{\alpha} >1,
\end{equation}
\tag{13}
$$
на алгебре Ли
$$
\begin{equation*}
\Omega=\begin{pmatrix} u & v \\ w & -u \end{pmatrix}\in \operatorname{sl}(2,\mathbb R).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы выбрали нормализацию $\alpha=2$, чтобы гауссова кривизна $K=-2/\alpha$ факторпространства $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})/\operatorname{SO}(2)$ была в точности равна $-1$ (см. ниже). Координаты $u$, $v$, $w$ связаны с компонентами $a$, $b$, $c$ соответствующего момента (2) соотношениями
$$
\begin{equation}
u =a, \quad v =\frac{(2-k)b-kc}{2(1-k)}\,, \quad w =\frac{(2-k)c-kb}{2(1-k)}\,,
\end{equation}
\tag{14}
$$
$$
\begin{equation}
a =u, \quad b =\frac{(2-k)v+kw}{2}\,, \quad c =\frac{(2-k)w+kv}{2}\,.
\end{equation}
\tag{15}
$$
В частности, при $k=2$ мы имеем очень простое соотношение
$$
\begin{equation*}
\Omega=\frac{1}{2}M^{\top}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & -a \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Прямое вычисление показывает, что в координатах $x$, $y$, $\varphi$ эта метрика имеет вид
$$
\begin{equation}
ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}+(k-1)\biggl(d\varphi+\frac{dx}{y}\biggr)^2.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Это означает, что проекция $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\to \operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})/\operatorname{PSO}(2)$ является римановой субмерсией группы $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ с метрикой (13) на верхнюю полуплоскость со стандартной гиперболической метрикой $ds^2=\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2}$ с гауссовой кривизной $K=-1$. Можно проверить, что при $k=2$ метрика (13) является в точности метрикой Сасаки [52] на $S\mathbb H^2$, а наш класс метрик совпадает с классом обобщенных метрик Сасаки, изученных П. Т. Надем [46]. Как показал Надь, проекции соответствующих геодезических на $\mathbb H^2$ являются кривыми постоянной геодезической кривизны, которыми будут либо окружности, либо их дуги, попавшие в верхнюю полуплоскость. В более явном виде мы продемонстрируем это в следующих двух разделах, используя описание Эйлера–Пуанкаре геодезического потока. 4. Геодезические на $\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$ с естественно редуктивными метрикамиПусть $G$ – полупростая группа Ли с левоинвариантной метрикой, заданной скалярным произведением $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ на алгебре Ли $\mathfrak g$. Мы отождествляем $\mathfrak g$ с двойственным пространством $\mathfrak g^*$ при помощи формы Картана–Киллинга $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$. Уравнения Эйлера–Пуанкаре для соответствующего геодезического потока имеют следующий вид (см. [3]): где $\Omega:=g^{-1}\dot g \in \mathfrak g$, а момент $M\in \mathfrak g^*=\mathfrak g$ определяется соотношениемВ случае естественно редуктивных метрик (1), которые являются $G$-левоинвариантными и $K$-правоинвариантными для $G=\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$ и $K=\operatorname{SO}(n)$, мы имеем
$$
\begin{equation}
2M=\alpha(\Omega+\Omega^{\top})+\beta(\Omega-\Omega^{\top})= (\alpha+\beta)\Omega+(\alpha-\beta)\Omega^{\top}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Мы также имеем $2M^{\top}=(\alpha+\beta)\Omega^{\top}+(\alpha-\beta)\Omega$, и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\Omega=\frac{(\alpha+\beta)M+(\beta-\alpha)M^{\top}}{2\alpha\beta}\,.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Подставляя это выражение в (17), получаем
$$
\begin{equation}
\dot M=\frac{\beta-\alpha}{2\alpha\beta}[M,M^{\top}].
\end{equation}
\tag{20}
$$
Отметим, что соотношение
$$
\begin{equation*}
\dot M^{\top}=\frac{\beta-\alpha}{2\alpha\beta}\,[M,M^{\top}]^{\top}= \frac{\beta-\alpha}{2\alpha\beta}\,[M,M^{\top}]=\dot M
\end{equation*}
\notag
$$
дает закон сохранения $\dot M-\dot M^{\top}\equiv 0$, связанный с $\operatorname{SO}(n)$-правоинвариантностью метрики. Таким образом, в терминах $\Omega$ уравнения принимают вид
$$
\begin{equation}
\dot\Omega=\frac{\alpha-\beta}{2\alpha}\,[\Omega^{\top},\Omega]= \frac{k}{2}\,[\Omega^{\top},\Omega],
\end{equation}
\tag{21}
$$
где, как и ранее, $k=1-\beta/\alpha$. Эти уравнения могут быть легко проинтегрированы следующим образом (см., например, [28], [38]). Заметим сначала, что
$$
\begin{equation*}
M=\alpha\operatorname{sym} \Omega+\beta\operatorname{skew}\Omega= \alpha(\Omega-k\operatorname{skew}\Omega), \qquad \operatorname{skew}\Omega=\frac{1}{2}(\Omega-\Omega^{\top}),
\end{equation*}
\notag
$$
и введем матрицы
$$
\begin{equation}
X=\frac{1}{\alpha}M=\Omega-k\operatorname{skew}\Omega \in \operatorname{sl}(n),\quad Y=k\operatorname{skew}\Omega \in \operatorname{so}(n),
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $X+Y=\Omega$. В терминах переменных (2) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X&=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}, \\ Y&=\frac{\alpha-\beta}{2\beta}\begin{pmatrix} 0 & b-c \\ c-b & 0 \end{pmatrix} \\ &=\frac{k}{2(k-1)}\begin{pmatrix} 0 & c-b \\ b-c & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Теорема 4.1 [28], [38]. Геодезическая естественно редуктивной метрики (1) на $\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$ при $g(0)=g_0$, $\Omega(0)=\Omega_0$ может быть задана явной формулой где $X_0$, $Y_0$ вычислены по формулам (22) с $\Omega=\Omega_0$. Доказательство. Выполнение уравнения Эйлера–Пуанкаре можно проверить прямым вычислением. Мы имеем
$$
\begin{equation*}
\dot g=g_0e^{tX_0}X_0e^{tY_0}+g_0e^{tX_0}Y_0e^{tY_0}= g_0e^{tX_0}\Omega_0e^{tY_0},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $\Omega=g^{-1}\dot g=e^{-tY_0}\Omega_0e^{tY_0}$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot\Omega&=e^{-tY_0}\Omega_0Y_0e^{tY_0}-e^{-tY_0}Y_0\Omega_0e^{tY_0}= e^{-tY_0}[\Omega_0,Y_0]e^{tY_0} \\ &=\bigl[e^{-tY_0}\Omega_0e^{tY_0},e^{-tY_0}Y_0e^{tY_0}\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $e^{tY_0} \in \operatorname{SO}(n)$, то
$$
\begin{equation*}
e^{-tY_0}Y_0e^{tY_0}=\frac{k}{2}e^{-tY_0}(\Omega_0-\Omega_0^{\top})e^{tY_0} =\frac{k}{2}(\Omega-\Omega^{\top}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\dot\Omega=\biggl[\Omega,\frac{k}{2}(\Omega-\Omega^{\top})\biggr]= \frac{k}{2}[\Omega^{\top},\Omega],
\end{equation*}
\notag
$$
что совпадает с (21). Теорема доказана. Рассмотрим симметрическое пространство $X_n=\operatorname{SL}(n,\mathbb R)/\operatorname{SO}(n)$ (имеющее тип $AI$ согласно классификации Картана [30]) и естественную проекцию $\pi\colon\operatorname{SL}(n,\mathbb R)\to X_n$. Следствие 4.2. Проекции геодезических на группе $\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$ с естественно редуктивной метрикой на симметрическое пространство $X_n$ имеют постоянную геодезическую кривизну. Доказательство. Напомним, что геодезическая кривизна $\kappa$ кривой $\gamma(s)$, параметризованной длиной дуги $s$, на римановом многообразии $M$ определяется как норма ковариантной производной поля векторов скорости в связности Леви-Чивиты: (см., например, [21]). Из формулы (24) мы видим, что, поскольку $e^{tY_0} \in \operatorname{SO}(n)$ тривиально действует на $X_n$, проекции геодезических являются орбитами однопараметрических групп $e^{tX_0} \in \operatorname{SL}(n,\mathbb R)$. Так как $\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$ действует на $X_n$ изометриями, геодезическая кривизна постоянна вдоль орбит. Следствие доказано.
5. Случай $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ и гиперболические магнитные геодезическиеПри $n=2$ пространство $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)/\operatorname{SO}(2)$ является гиперболической плоскостью $\mathbb H^2$, и поэтому проекции геодезических являются кривыми постоянной геодезической кривизны в $\mathbb H^2$. Известно, что в модели Пуанкаре на верхней полуплоскости они являются окружностями или их дугами, расположенными в верхней полуплоскости, в зависимости от того, будет ли геодезическая кривизна $\kappa$ больше или меньше гауссовой кривизны $K$ (см., например, [29] и [3]). Чтобы сделать все это более явным, используем формулы (24) для геодезических на $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ с метрикой (13), полагая для удобства $k=2$ (что отвечает метрике Сасаки). В этом случае
$$
\begin{equation*}
X=\Omega-2\operatorname{skew}\Omega=\Omega^{\top}=\frac{1}{2}M, \qquad Y=\Omega-\Omega^{\top},
\end{equation*}
\notag
$$
или, в явном виде в координатах (2),
$$
\begin{equation}
\Omega= \begin{pmatrix} a & c \\ b & -a \end{pmatrix}, \qquad X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix} 0 & c-b \\ b-c & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Отметим, что $X^2=\Delta I$, $Y^2=-(b-c)^2I$, где $I$ – единичная матрица и $\Delta=a^2+bc$, и поэтому при $\Delta\ne 0$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
e^{Xt}= \operatorname{ch} (\sqrt{\Delta}\,t)I+ \frac{ \operatorname{sh} (\sqrt{\Delta}\,t)}{\sqrt{\Delta}}X, \qquad e^{Yt}=\begin{pmatrix} \cos((b-c)t) & -\sin((b-c)t) \\ \sin((b-c)t) & \cos((b-c)t) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\Delta=0$, то $X^2=0$ и $e^{Xt}=I+Xt$. Подставляя эти выражения в уравнение (24), мы получаем явную формулу для геодезической на группе $G=\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$, проходящей через $g(0)=g_0$ в направлении $\dot g(0)=g_0\Omega \in T_{g_0}G$:
$$
\begin{equation}
g(t)=g_0\biggl( \operatorname{ch} (\sqrt{\Delta}\,t)I+ \frac{ \operatorname{sh} (\sqrt{\Delta}t)}{\sqrt{\Delta}}X\biggr) \begin{pmatrix} \cos((b-c)t) & -\sin((b-c)t) \\ \sin((b-c)t) & \cos((b-c)t) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Предположим для простоты, что $g_0=I$, тогда действие правой части на $i \in \mathbb H^2$ дает проекцию этой геодезической на $\mathbb H^2$ в явном виде:
$$
\begin{equation}
z(t)=\frac{i(e^{2\sqrt{\Delta}\,t}\sqrt{\Delta}-ibe^{2\sqrt{\Delta}\,t}+ e^{2\sqrt{\Delta}\,t}\,a+\sqrt{\Delta}-a+ib)} {e^{2\sqrt{\Delta}\,t}\sqrt{\Delta}+ice^{2\sqrt{\Delta}\,t}- e^{2\sqrt{\Delta}\,t}\,a+\sqrt{\Delta}+a-ci}\,.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Предполагая, что $c\ne 0$, можно проверить, что
$$
\begin{equation*}
z(t)-\biggl(\frac{a}{c}+\frac{c-b}{2c}\,i\biggr)= -\biggl(\frac{a}{c}-\frac{b+c}{2c}\,i\biggr) \frac{Z(t)}{\overline{Z(t)}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
Z(t)=e^{2\sqrt{\Delta}\,t}\sqrt{\Delta}- e^{2\sqrt{\Delta}\,t}\,a-ice^{2\sqrt{\Delta}\,t}+\sqrt{\Delta}+a+ic.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\biggl|z(t)-\frac{2a+(c-b)i}{2c}\biggr|^2= \biggl|\frac{2a-(b+c)i}{2c}\biggr|^2= \frac{4a^2+(b+c)^2}{4c^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
что дает евклидову окружность (или ее дугу, принадлежащую верхней полуплоскости). В случае $c=0$ мы будем иметь часть прямой
$$
\begin{equation*}
z(t)=\frac{b(e^{2\sqrt{\Delta}\,t}-1)+2aie^{2\sqrt{\Delta}\,t}}{2a}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя, получаем следующий результат. Теорема 5.1. Проекция $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$-геодезической, проходящей через единицу группы в направлении $\Omega$, заданном соотношением (14) при $c\ne 0$ и $\Delta=a^2+bc<0$, на гиперболическую плоскость $\mathbb{H}^2$ является евклидовой окружностью с центром и радиусом Если $\Delta>0$, то проекции являются дугами таких окружностей, лежащими в верхней полуплоскости. При $c=0$ мы получаем часть прямой $2ax-by+b= 0$, принадлежащую верхней полуплоскости. Три различных случая в зависимости от знака $\Delta$ показаны на рис. 1. Поскольку евклидовы окружности известны как кривые постоянной геодезической кривизны, естественно рассмотреть это соответствие более подробно. Вычисление символов Кристоффеля [22]
$$
\begin{equation*}
\Gamma^k_{ij}=\frac{1}{2}g^{kl}(g_{li,j}+g_{lj,i}-g_{ij,l})
\end{equation*}
\notag
$$
для гиперболической метрики $ds^2=\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2}$ дает (здесь $x^1=x$, $x^2=y$):
$$
\begin{equation*}
\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}=\Gamma^2_{22}=-\frac{1}{y^2}\,, \quad \Gamma^2_{11}=\frac{1}{y^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
остальные обращаются в нуль. Уравнение геодезических
$$
\begin{equation*}
\frac{D\dot x}{ds}=\ddot{x}^k+\Gamma^k_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j=0
\end{equation*}
\notag
$$
в нашем случае для $z=x+iy$ принимает вид Уравнение для кривых $z(s)$ постоянной геодезической кривизны $\kappa$ с натуральным параметром $s$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{d^2z}{ds^2}+\frac{i}{y}\biggl(\frac{dz}{ds}\biggr)^2= i\kappa\,\frac{dz}{ds}\,,
\end{equation}
\tag{28}
$$
где по определению величина скорости $\|dz/ds\|$ (вычисленная в гиперболической метрике) равна 1. При другом параметре $t$, когда скорость $V=\|dz/dt\|$ постоянна (так что $s=Vt$), мы имеем уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{d^2z}{dt^2}+\frac{i}{y}\biggl(\frac{dz}{dt}\biggr)^2= i\kappa V\,\frac{dz}{dt}\,.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Отметим, что его правая часть может быть интерпретирована как сила Лоренца в магнитном поле, определенном 2-формой $B\,d\sigma=B\,dx\wedge dy/y^2$ с плотностью $B=\kappa V$. Тем самым, эти же уравнения описывают магнитные геодезические на гиперболической плоскости (см., например, [3], [41]). Используя явную формулу (27), можно проверить, что проекция соответствующей геодезической (26) имеет постоянную скорость $V=\sqrt{4a^2+(b+c)^2}$ и удовлетворяет уравнению (29) при где знак геодезической кривизны выбирается при помощи уравнения (28).Теорема 5.2. Проекция геодезической на $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ с метрикой (13) и моментом $M$, заданным соотношением (2), на гиперболическую плоскость $\mathbb H^2$ является кривой постоянной геодезической кривизны с параметром $t=s/\sqrt{4a^2+(b+c)^2}$ , где $s$ – длина дуги. Эквивалентным образом, она может быть описана как магнитная геодезическая в постоянном магнитном поле с плотностью $B=b-c$. Для ненормализованных метрик (1) факторпространство $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)/\operatorname{SO}(2)$ имеет гауссову кривизну $K=-2\alpha^{-1}$, а геодезическая кривизна проекции имеет вид так что отношение
$$
\begin{equation*}
\mathcal C:=\frac{\kappa^2}{K^2}=\frac{(b-c)^2}{4a^2+(b+c)^2}
\end{equation*}
\notag
$$
не зависит от выбора метрики. В зависимости от значения $\mathcal C$ соответствующие кривые на гиперболической плоскости называются или гиперциклами – при $\mathcal C<1$, или гороциклами – при $\mathcal C=1$, или гиперболическими окружностями – при $\mathcal C>1$ (см. [16]). Специальный случай гиперциклов с $\mathcal C=0$ отвечает обычным геодезическим с нулевой геодезической кривизной. Г. Хедлунд [29], вероятно, был первым, кто исследовал свойства этих кривых на факторе $\mathcal M^2_\Gamma=\Gamma\backslash \mathbb{H}^2$ гиперболической плоскости по фуксовой группе $\Gamma \subset \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$. Позже они изучались В. И. Арнольдом [3] (см. также недавние работы Г. Патернайна и др. [13], [47], И. А. Тайманова [57], Х. Миранды [41] и ссылки в этих работах). Напомним, что геодезический поток на поверхности $\mathcal M^2$ называется транзитивным, если существует геодезическая, которая всюду плотна в расслоении единичных касательных векторов поверхности $\mathcal M^2$. Пусть $\Gamma \subset \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ – кокомпактная фуксова группа, так что фактор $\mathcal M^2_\Gamma=\Gamma\backslash \mathbb{H}^2$ компактен. Теорема 5.3 (Г. Хедлунд [29], В. И. Арнольд [3]). Магнитный геодезический поток (28) на $\mathcal M^2_\Gamma$ транзитивен тогда и только тогда, когда $\kappa\leqslant 1$. Метрическая энтропия $h(\kappa)$ такого потока равна По всей видимости, этот результат верен для любых кофинитных фуксовых групп $\Gamma$ с факторами $\mathcal M^2_\Gamma$ конечной площади, но мы не смогли найти это в литературе. Напомним, что показатель Ляпунова потока $f_t$, $t \in \mathbb R$, на римановом многообразии $M$ может быть определен (см., например, [48]) как
$$
\begin{equation*}
\lambda(f)=\limsup_{t\to+\infty}\frac{1}{t}\ln\|df_t(x)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
В эргодическом случае эта величина не зависит от $x \in M$ и является показателем расходимости бесконечно близких орбит. В нашем случае мы можем применить формулу Песина [48], согласно которой Общий случай гиперцикла с $\kappa<1$ может быть сведен к случаю геодезического потока с $\kappa=0$, так как известно, что гиперциклы являются эквидистантными кривыми по отношению к геодезическим (см. [3], [29]). Наиболее деликатный случай гороциклов, т. е. $\kappa=1$, был разобран Хедлундом в [29]. В случае $\kappa>1$ все орбиты периодические. Тайманов [57] интерпретировал эти результаты в терминах интегрируемости соответствующих магнитных геодезических потоков на $\mathcal M^2_\Gamma$. Действительно, поскольку геодезическая кривизна магнитных геодезических равна $\kappa=B/V$, где $B$ – плотность магнитного поля, а $V$ – скорость, условие интегрируемости $\kappa>1$ эквивалентно условию $V<B$. Мы используем эти результаты для изучения геодезического потока на 3-многообразии $\mathcal M^3_\Gamma=\Gamma\backslash \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$. 6. Геодезические потоки на фуксовых факторах группы $\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$Пусть $\Gamma\subset G=\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ – конечно порожденная фуксова группа с компактным фактором $\Gamma\backslash \mathbb H^2=\mathcal M_\Gamma^2$. Рассмотрим $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$-многообразие Известно (см., например, [58]), что в компактном случае
$$
\begin{equation*}
\mathcal M_\Gamma^3=S\mathcal M_\Gamma^2 \subset T\mathcal M_\Gamma^2
\end{equation*}
\notag
$$
является расслоением единичных касательных векторов соответствующей поверхности $\mathcal M_\Gamma^2$ рода $g\geqslant 2$. В некомпактном случае (например, для $\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)$) фактор может оказаться орбифолдом, поэтому следует быть более осторожным. Пусть
$$
\begin{equation*}
\Omega=g^{-1}\dot g \in \mathfrak g\quad\text{и}\quad M=A(\Omega)=\alpha\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \in \mathfrak g^*
\end{equation*}
\notag
$$
– левая угловая скорость и левый момент, как и выше. Отметим, что $a$, $b$, $c$ могут рассматриваться как левоинвариантные функции на $T^*\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$. Введем теперь правый момент:
$$
\begin{equation*}
\widehat M=gMg^{-1}=\alpha\begin{pmatrix} \widehat a & \widehat b \\ \widehat c & -\widehat a \end{pmatrix}\in \mathfrak g^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно (см. [3]), что $\widehat M$ сохраняется. Это можно проверить непосредственно, используя уравнения Эйлера–Пуассона (17). Матричные элементы $\widehat a$, $\widehat b$, $\widehat c$ правого момента $\widehat M$ являются линейными функциями на $\mathfrak g^*$ и, следовательно, правоинвариантными функциями на $T^*G$. В терминах этих функций, используя соотношения (25), гамильтониан геодезического потока на $T^*\mathcal M^3_\Gamma=\Gamma\backslash T^*G$ для метрики (1) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
H=\frac{1}{2}(M,\Omega)= \frac{\alpha}{4\beta}\bigl(\beta[4a^2+(b+c)^2]-\alpha(b-c)^2\bigr),
\end{equation}
\tag{32}
$$
что является корректно определенной функцией на $T^*\mathcal M^3_\Gamma$. Еще одним очевидным интегралом является функция Казимира соответствующей скобки Пуассона на $\mathfrak g^*$:
$$
\begin{equation*}
\Delta=-\det M=-\det\widehat M=a^2+bc=\widehat a^2+\widehat b\widehat c.
\end{equation*}
\notag
$$
Для интегрируемости по Лиувиллю нам нужен еще один аналитический интеграл. На группе $G$ мы можем взять, например, функцию $F=\widehat b-\widehat c$, связанную с левой $\operatorname{SO}(2)$-инвариантностью метрики, но она не является $\Gamma$-инвариантной. Чтобы найти инвариантные функции, нужно изучить действие подгруппы $\Gamma \subset G$ на пространстве правых моментов $\widehat M$, которое в нашем случае совпадает с $\mathfrak g^*$. Действие группы $G$ сохраняет функцию $\Delta$, которая определяет псевдоевклидову структуру на $\mathfrak g^*$ и тем самым задает изоморфизм группы $\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ с компонентой единицы $\operatorname{SO}(2,1)_0$ группы $\operatorname{SO}(2,1)$. Конус $\{\Delta=\widehat a^2+\widehat b \widehat c=0\}$ делит $\mathfrak g^*$ на две открытые области: $\{\Delta>0\}$ и $\{\Delta<0\}$, расслоенные на одно- и двуполостные гиперболоиды $\{\Delta=\delta\}$ соответственно (см. рис. 2). Половинка двуполостного гиперболоида $H_\delta$, заданная условиями $\Delta=\delta$, $\delta<0$, представляет собой хорошо известную модель гиперболической плоскости $\mathbb H^2$, так что действие группы $\Gamma$ будет здесь дискретным. Из теории автоморфных функций следует, что существует непостоянная вещественно-аналитическая $\Gamma$-инвариантная функция $F$ на $H_\delta$. Мы можем продолжить ее по однородности до функции $F(m)$, определенной в области $\{\Delta < 0\} \subset \mathfrak g^*$. Напротив, для однополостного гиперболоида $\{\Delta=\delta,\ \delta>0\}$ известно, что орбиты общего положения группы $\Gamma$ всюду плотны (см., например, [19; разд. VI, свойство 2.12]). Приведем набросок доказательства этого факта, любезно предоставленный нам Джоном Паркером. Прежде всего напомним следующее соответствие Клейна [32] между однополостным гиперболоидом и двулистным накрытием пространства геодезических на гиперболической плоскости. Напомним также, что модель Клейна гиперболической плоскости представляет собой внутренность коники на вещественной проективной плоскости. Точки вне коники соответствуют по поляритету прямолинейным хордам внутри коники, которые в точности являются прямыми в модели Клейна. Представив эту конику уравнением $\Delta=0$, мы получаем требуемое соответствие. Согласно Хедлунду [29], почти каждая гиперболическая геодезическая является всюду плотной на факторе, поэтому то же самое верно и для орбит общего положения действия группы $\Gamma$ на однополостных гиперболоидах $H_\delta$ с $\delta>0$. В итоге мы получаем следующее утверждение. Теорема 6.1. Геодезический поток на $T^*\mathcal M^3_\Gamma$ не имеет гладких правоинвариантных интегралов $F$, независимых от $\Delta$, в части фазового пространства $T^*\mathcal M^3_\Gamma$, заданной неравенством $\Delta\geqslant 0$. Мы можем теперь ослабить условие, что функция $F$ должна быть правоинвариантной, доказав тем самым наш основной результат. Напомним, что топологическая энтропия $h_{\rm top}(\phi)$ геодезического потока $\phi_t$ на $M=S\mathcal M$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
h_{\rm top}(\phi):=\lim_{\varepsilon \to 0}\,\limsup_{T\to+\infty} \frac{\log N(\phi,T,\varepsilon)}{T},
\end{equation*}
\notag
$$
где $N(\phi, T,\varepsilon)$ – минимальное число точек в множестве $X=X(\varepsilon)\subset M$ таком, что для любого $v\in M$ существует $w\in X$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{0\leqslant t\leqslant T}d(\phi_t v,\phi_{t}w)<\varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
(детали и историю этого понятия см. в обзоре А. Б. Катка [31]). Топологическая энтропия удовлетворяет неравенству для метрической энтропии $h_\mu(\phi)$, определенной относительно любой эргодической $\phi$-инвариантной меры $\mu$. Она также обладает следующими свойствами (см., например, [34]).Пусть $\phi_t$ и $\psi_t$ – потоки на компактных многообразиях $X$ и $Y$ соответственно, а $f\colon X \to Y$ – отображение такое, что $\psi_t\circ f=f \circ \phi_t$. Тогда:
Теорема 6.2. Геодезический поток на $T^*\mathcal M_\Gamma^3$ интегрируем по Лиувиллю в аналитическом смысле в открытой области фазового пространства, заданной неравенством $\Delta=a^2+bc<0$. В области $\Delta>0$ не существует гладких интегралов, независимых от $H$ и $\Delta$. На интегральном уровне $\mathcal C<1$ система имеет положительную топологическую энтропию Доказательство. Как мы уже видели, уровень $\Delta=\delta<0$ определяет в $\mathfrak g^*$ двуполостный гиперболоид $H_\delta$, половинка которого может быть отождествлена с гиперболической плоскостью. Пусть, как и прежде, $F$ – вещественно-аналитическая $\Gamma$-инвариантная функция на $H_\delta$, продолженная на открытую область $\{\Delta < 0\} \subset \mathfrak g^*$ по однородности. Продолжим ее далее на соответствующую область в $T^*G$ при помощи правых сдвигов до функции $F(\widehat M)$. Условие $\Gamma$-инвариантности функции $F(\widehat M)$ дает нам корректно определенную функцию $F$ на факторе $T^*\mathcal M_\Gamma^3=\Gamma\backslash T^*G$. Легко видеть, что $H$, $\Delta$ и $F$ являются тремя независимыми аналитическими интегралами на $T^*\mathcal M_\Gamma^3$, коммутирующими относительно скобки Пуассона. Таким образом, геодезический поток вполне интегрируем по Лиувиллю в этой области даже в аналитической категории. Отметим, что еще один интеграл мы получим, взяв независимую с $F$ вещественно-аналитическую $\Gamma$-инвариантную функцию (он, разумеется, уже не будет коммутировать с $F$). Лиувиллевы торы оказываются поэтому двумерными, что согласуется с явным описанием геодезических выше. Проблема, однако, заключается в том, что явно выписать автоморфный интеграл $F(\widehat M)$ возможно лишь в специальных случаях (см. следующий раздел). Это связано с неэффективностью решения проблемы униформизации в компактном гиперболическом случае. При $\Delta>0$ мы можем получить более сильный результат, проверив, что геодезический поток не имеет инвариантных трехмерных торов Лиувилля с фиксированными значениями $H$ и $\Delta=\delta>0$. Действительно, предположим, что такой тор $T^3 \subset T^*\mathcal M_\Gamma^3$ существует, и рассмотрим его проекцию на $\mathcal M_\Gamma^3$. В рассматриваемом случае $\mathcal C<1$, поэтому система имеет положительный показатель Ляпунова, и проекции расходятся с экспоненциальной скоростью, что невозможно, поскольку на торе Лиувилля они являются обычными обмотками. Чтобы показать, что топологическая энтропия удовлетворяет неравенству (33), рассмотрим геодезические потоки на расслоениях единичных касательных векторов многообразий $\mathcal M_\Gamma^3$ и $\mathcal M^2_\Gamma$. Мы видели, что геодезические на $\mathcal M_\Gamma^3$, расположенные на интегральном уровне $\mathcal C=\kappa^2<1$, проектируются в магнитные геодезические на $\mathcal M^2_\Gamma$ с геодезической кривизной $\kappa$. Пусть $X(\kappa) \subset S \mathcal M_\Gamma^3$ – объединение всех этих геодезических, а $f$ – проекция этого множества на $Y=S\mathcal M^2_\Gamma$. Поскольку соответствующий магнитный геодезический поток на $Y$ имеет метрическую энтропию $h=\sqrt{1-\kappa^2}=\sqrt{1-\mathcal C}$ , то согласно свойствам топологической энтропии для геодезического потока на $X(\kappa)$ мы имеем неравенство (33). Теорема доказана. Чтобы теперь вывести утверждение теоремы 6.2 для кофинитных фуксовых групп $\Gamma$ с некомпактными факторами $\mathcal M^2_\Gamma$, мы можем использовать результаты Б. Гуревича и С. Каток [27], которые показали, что (правильно понятая) топологическая энтропия геодезического потока на $S \mathcal M^2_\Gamma$ в этом случае также равна 1 (см. [27; теорема 12]). 7. Геодезические на модулярном 3-многообразии и узлыРассмотрим теперь специальный случай модулярной группы $\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)$. В этом случае факторпространство $\mathcal M^2=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)\backslash \mathbb H^2$ является орбифолдом с двумя особыми точками $i$ и $e^{i\pi/3}$, отвечающими эллиптическим элементам в $\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)$ порядка 2 и 3 соответственно (см. рис. 3). Модулярная поверхность является естественным пространством модулей эллиптических кривых с классической функцией $j(\tau)\colon \mathcal M^2 \to \mathbb C$ (известной как Hauptmodul), устанавливающей ее биекцию с $\mathbb C$. Геодезические на модулярной поверхности $\mathcal M^2$ были детально исследованы Э. Артином в знаменитой работе [4], где для их описания он использовал символическую динамику и теорию непрерывных дробей. В частности, Артин показал, что периодические геодезические на модулярной поверхности соответствуют прямым в модели Клейна, определенным уравнениями с целыми коэффициентами, которые инвариантны относительно подходящего гиперболического элемента $g \in \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)$. Всякий такой элемент сохраняет индефинитную бинарную квадратичную форму $Q$ с целыми коэффициентами, так что мы получаем взаимно однозначное соответствие между периодическими геодезическими на $\mathcal M^2$ и множеством целочисленных индефинитных бинарных квадратичных форм, рассматриваемых с точностью до пропорциональности. Рассмотрим теперь модулярное 3-многообразие $\mathcal M^3=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)\backslash \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$. В этом случае в области $\{\Delta<0\}$ пространства $S\mathcal M^3$ интегралы, дополнительные к $H$ и $\Delta$, можно построить явно, взяв вещественную и мнимую части Hauptmodul’я $j$, рассматриваемого как функция на одной из половинок гиперболоида $\{\Delta =-1\} \subset \mathfrak g^*$, отождествленного с верхней полуплоскостью $\mathbb H^2$. Неинтегрируемость геодезического потока в области $\{\Delta>0\}$ можно доказать, используя те же самые аргументы, что и ранее; положительность топологической энтропии будет следовать из результатов Гуревича и Каток [27]. Важное наблюдение, по-видимому принадлежащее Квиллену (см. [39]), состоит в том, что1 открытое многообразие $\mathcal{M}^3$ топологически эквивалентно дополнению в $S^3$ к узлу-трилистнику $\mathcal K$, являющемуся торическим узлом типа $(2,3)$: Отметим, что фундаментальная группа этого дополнения является группой кос $B_3$, так что модулярное 3-многообразие является фактором
$$
\begin{equation*}
\mathcal M^3=\widetilde{\operatorname{SL}(2,\mathbb R)}/B_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним (см., например, [1]), что торический узел $K_{p,q}$ типа $(p,q)$ – это специальный тип узлов, задаваемый парой взаимно простых целых чисел $p$ и $q$. Его можно реализовать на поверхности стандартного полнотория в $\mathbb R^3$, намотав кривую $p$ раз вокруг оси вращения тора и $q$ раз вокруг центральной окружности полнотория. При $p=2$, $q=3$ мы получаем трилистник, показанный слева на рис. 4. Чтобы доказать гомеоморфизм (34), заметим, что фактор
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)\backslash \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)= \operatorname{SL}(2,\mathbb Z)\backslash \operatorname{SL}(2,\mathbb R)
\end{equation*}
\notag
$$
может быть интерпретирован как пространство модулей решеток $\mathcal L$ на евклидовой плоскости с фиксированной площадью фактора или, что то же самое, пространство эллиптических кривых $\mathbb C/\mathcal L$ с точностью до подобия. Соответствующая $\wp$-функция удовлетворяет уравнению Вейерштрасса с дискриминантом $D=g_2^3-27g_3^2\ne 0$. Пересечение единичной сферы $S^3 \subset \mathbb C^2(g_2,g_3)$ с множеством $\{D=0\}$ является торическим узлом типа $(2,3)$, известным как трилистник. Другое объяснение основано на том, что естественное отображение $\mathcal M^3 \to \mathcal M^2$ является расслоением Зейферта с двумя особыми слоями над орбифолдными точками порядка 2 и 3, откуда вытекает, что отсутствующий слой над бесконечно удаленной точкой является торическим узлом типа $(2,3)$. Другие интересные связи можно найти в статье Я. Мостового [45]. Отметим, что имеется глубокая теорема Гордона–Люке [26], утверждающая, что любой узел в 3-сфере определяется с точностью до изоморфизма топологическим типом своего дополнения (для зацеплений, однако, это неверно). Гомеоморфизм (34) играет ключевую роль в замечательной работе Жиса [24] о связи замкнутых геодезических на модулярной поверхности $\mathcal M^2$ с периодическими орбитами в знаменитой системе Лоренца [36]
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dot x=\sigma(-x+y), \\ \dot y=r x -y -xz, \\ \dot z=-b z+xy, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
зависящей от положительных вещественных параметров $\sigma$, $r$, $b$, где наиболее существенный для нас параметр $r$ имеет физический смысл относительного числа Рэлея. Исторически это было одним из первых компьютерных наблюдений хаотического аттрактора. Выбрав значения $\sigma=10$, $b=8/3$ и $r=28$, Лоренц обнаружил своеобразное поведение системы, известное сегодня как “бабочка Лоренца” и показанное слева на рис. 5. Известно (см., например, [55]), что в формальном пределе при $r\to \infty$ лоренцева динамика становится периодической (см. рис. 5 справа), так что хаос исчезает для больших $r$ (см. [60]2 и [49]). Для больших $r$ система Лоренца может рассматриваться как возмущение предельного случая $r=\infty$ и имеет не более трех периодических орбит (см. [60], [49], [42]). Бирман и Уильямс [8] исследовали периодические траектории системы Лоренца в хаотической области с топологической точки зрения. Они обнаружили, что эти траектории заузлены очень специальным образом, и изучили соответствующий класс узлов. В частности, они показали, что все такие узлы являются простыми и узлами Нойвирта и содержат в качестве подкласса все алгебраические узлы, включая все торические узлы [8]. Замечательным образом, как было показано Жисом [24], тот же самый изотопический класс узлов возникает в результате канонического поднятия в $\mathcal M^3 \simeq S^3\setminus \mathcal K$ периодических геодезических с модулярной поверхности! Некоторые из поднятых геодезических, которые могут быть “занумерованы” примитивными элементами группы $\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$, показаны на рис. 6, заимствованном из [25].3 Жис назвал эти поднятия модулярными узлами и доказал, что их коэффициенты зацепления с трилистником $\mathcal K$ задаются теоретико-числовой функцией Радемахера, что позволило П. Сарнаку [51] произвести пересчет модулярных геодезических по этому коэффициенту зацепления. В нашем контексте все это относится к нулевому уровню интеграла геодезического потока на $S\mathcal M^3$. Соответствующие геодезические имеют вид
$$
\begin{equation*}
g(t)=g_0 e^{tX}, \qquad X=\begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Геодезические, рассмотренные Жисом, соответствуют $a=1$, $b=0$. В общем случае периодические геодезические будут давать эквивалентные узлы, так что все периодические геодезические на $\mathcal M^3$ при $\mathcal C=0$ образуют модулярные узлы. Заметим, что $\mathcal C=0$ – наиболее хаотический уровень с максимальной энтропией $h=1$. Рассмотрим теперь наиболее интегрируемый, предельный случай, когда $\mathcal C\to\infty$. При больших $\mathcal C$ проекции на $\mathcal M^2$ соответствующих геодезических на $\mathcal M^3$ становятся маленькими окружностями, превращающимися в точки при $\mathcal C=\infty$, что и происходит, когда $a=b+c=0$. В этой ситуации геодезические на $\mathcal M^3$ становятся слоями расслоения Зейферта $\mathcal M^3 \to \mathcal M^2$, которые с топологической точки зрения являются узлами-трилистниками (как и сам узел $\mathcal K$, который можно понимать как слой над бесконечно удаленной точкой). В системе Лоренца они соответствуют периодическим орбитам в пределе $r=\infty$. Это означает, что при больших значениях $\mathcal C$ проекции соответствующих торов Лиувилля являются вложенными двумерными торами, заузленными в виде трилистника. Частотами движения являются
$$
\begin{equation*}
\omega_1=\frac{\beta-\alpha}{2\beta}\,|b-c|, \quad \omega_2=\sqrt{-\Delta}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\omega_1$ – частота вдоль слоя-трилистника, а $\omega_2$ – частота вдоль гиперболической окружности. В частном случае, когда отношение
$$
\begin{equation}
\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{\beta-\alpha}{2\beta}\, \frac{|b-c|}{\sqrt{-\Delta}}=\frac{p}{q}\,, \qquad p,q \in \mathbb Z_+,
\end{equation}
\tag{35}
$$
рационально, траектории становятся периодическими и образуют специальный класс сателлитных узлов трилистника, называемых кабельными узлами [1]. Они могут быть реализованы как торические узлы $K_{p,q}$ на полнотории, заузленном в виде трилистника (см. рис. 4 справа). Отметим, что, выбирая параметры $a$, $b$, $c$, а также параметры метрики $\alpha$, $\beta$, мы можем реализовать любые значения $p$, $q$, так что любой кабельный узел трилистника может быть реализован таким способом. Теорема 7.1. Периодические геодезические модулярного 3-многообразия $\mathcal M_\Gamma^3$ с достаточно большими значениями $\mathcal C$ заполняют двумерные торы Лиувилля с частотами, удовлетворяющими (35). Они представляют собой кабельные узлы трилистника в $S^3\setminus\mathcal K$ с параметрами $p$, $q$, имеющие коэффициент зацепления $l=6p$ с узлом $\mathcal K$. Любой кабельный узел трилистника может быть реализован таким способом. Таким образом, в интегрируемом пределе класс модулярных узлов заменяется классом кабельных узлов трилистника. В системе Лоренца похожее изменение показано на рис. 5. Поучительно посмотреть, что происходит в случае, когда
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\Gamma(2)/\{\pm I\}\subset \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Gamma(2) \subset \operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$ – главная конгруэнц-подгруппа, состоящая из матриц, конгруэнтных единичной по модулю 2. Факторпространство $\mathcal M^2_{\Gamma(2)}$ в этом случае является сферой с тремя выколотыми точками, а фундаментальная область – объединением двух идеальных треугольников (см. рис. 3). Соответствующее 3-многообразие может быть топологически представлено как пространство дополнения:
$$
\begin{equation*}
\mathcal M^3_{\Gamma(2)}\simeq S^3\setminus \mathcal L,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal L$ – зацепление трех слоев расслоения Хопфа с попарными коэффициентами зацепления 1, показанное на рис. 7 (не путать со знаменитыми кольцами Борромео, попарные коэффициенты зацепления которых равны нулю). Отметим, что в этом случае такое представление не единственно, поскольку топология дополнения к зацеплению не определяет этого зацепления в отличие от случая узлов [26]. Периодические геодезические для больших значений $\mathcal C$ будут кабельными узлами для слоев расслоения Хопфа, которые в этом случае будут обычными торическими узлами. Напомним, что узел $K \subset S^3$ называется гиперболическим, если его дополнение допускает гиперболическую структуру (полную метрику постоянной отрицательной кривизны). Тёрстон [59] доказал, что единственными негиперболическими узлами являются торические и сателлитные узлы. Дополнения к сателлитным узлам не допускают никакой геометрической структуры в смысле Тёрстона [59], [18], тогда как для торических узлов они допускают $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$-геометрию. Чтобы это увидеть, мы просто заменим модулярную поверхность с двумя орбифолдными точками порядка 2 и 3 на гиперболическую поверхность $\mathcal M^2_{p,q}$ с одним каспом и двумя орбифолдными точками порядка $p$ и $q$. Не все модулярные узлы являются гиперболическими (хотя для многих из них это так), но их зацепления с трилистником $\mathcal K$ всегда гиперболические, как показано П. Фулоном и Б. Хассельблатом [23]. Объемы соответствующих гиперболических дополнений модулярных узлов в $\mathcal M^3$ исследованы в недавних работах [6], [12]. 8. Топологическая точка зренияОбсудим нашу задачу с топологической точки зрения. Существование метрики с интегрируемым геодезическим потоком на многообразии $M^n$ накладывает ограничения на его топологию. Первые такие ограничения были обнаружены В. В. Козловым, который доказал, что двумерное замкнутое ориентируемое многообразие $\mathcal M^2_g$ рода $g > 1$ не допускает такой метрики с аналитическим дополнительным интегралом [33]. Многомерный случай был исследован Таймановым [56]. Он доказал, что если $M^n$ допускает геодезический поток, интегрируемый по Лиувиллю в вещественно-аналитическом смысле, то $\dim H_1(M^n,\mathbb R)\leqslant n$ и фундаментальная группа $\pi_1(M^n)$ почти коммутативна (т. е. содержит коммутативную подгруппу конечного индекса). В этом случае для расслоения единичных касательных векторов $\mathcal M^3=S\mathcal M^2_g$ поверхности $\mathcal M^2_g$ рода $g$ оба условия Тайманова нарушаются. Действительно, фундаментальная группа $\pi_1(\mathcal M^3)$ порождается элементами $a_1,\dots,a_g$, $b_1,\dots,b_g,\gamma$ с соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_i\gamma=\gamma a_i,\quad b_i\gamma=\gamma b_i \qquad (i=1,\dots,g), \\ \gamma^{2-2g}=(a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1})\cdots(a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [22; гл. 1, разд. 4]). Из этого следует, что $\pi_1(\mathcal M^3)$ не является почти коммутативной и $\dim H_1(\mathcal M^3,\mathbb R)=2g>3=\dim \mathcal M^3$, так что по теореме Тайманова не существует аналитических интегрируемых геодезических потоков на $\mathcal M^3$, что согласуется с нашими результатами. Это согласуется также с теоремой Динабурга [20], утверждающей, что если фундаментальная группа $\pi_1(M^n)$ многообразия $M^n$ имеет экспоненциальный рост, то топологическая энтропия геодезического потока любой римановой метрики на $M^n$ положительна (см. также [37]). Следует упомянуть также важный результат Батлера [15], который установил, что если 3-многообразие $M^3$ допускает интегрируемый геодезический поток с гладкими (не обязательно аналитическими) интегралами и “ручным” множеством особых слоев, то фундаментальная группа $\pi_1(M^3)$ содержит полициклическую подгруппу конечного индекса и при этом не более чем четырехступенчатую. Это означает, что замкнутое $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$-многообразие не допускает интегрируемых геодезических потоков такого типа даже в гладкой категории. Обзор других результатов по топологическим препятствиям к интегрируемости можно найти в [9]. Отметим, что первые примеры интегрируемых геодезических потоков с гладкими интегралами и положительной топологической энтропией, найденные Болсиновым и Таймановым [11], являются $\operatorname{Sol}$-многообразиями, которые с топологической точки зрения представляют собой торические расслоения над окружностью, “скрученные” при помощи гиперболических элементов $A \in \operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$. Любопытно, что исторически именно эти многообразия были первыми примерами трехмерных многообразий, рассмотренными Пуанкаре в 1892 г. (см. [54]). Очень интересно было бы выяснить, какие типы узлов могут возникать как периодические геодезические на модулярном 3-многообразии для всех значений интеграла $\mathcal C$. Ответ, скорее всего, пока недоступен, но даже нахождение возможных топологических ограничений было бы очень интересным. Аналогичный вопрос может быть поставлен для системы Лоренца с произвольными значениями $r$. Отметим, что для больших $r$ (по крайней мере для $b$, не являющихся близкими к $3\sigma/2-1/2$) система имеет не более трех периодических орбит, каждая из которых реализует тривиальный узел [42]. Интересно, что кабельные узлы трилистника (и вообще итерированные торические узлы), возникающие в интегрируемой области, имеют очень интересные связи с теорией двойных аффинных алгебр Гекке (см. недавние работы Ю. Береста и П. Самюэльсона [5], [50] и И. Чередника и И. Даниленко [17]). Отметим также, что итерированные торические узлы являются в точности узлами с нулевой топологической энтропией, понимаемой как минимальная топологическая энтропия диффеоморфизма диска, надстройка которого согласована с данным узлом (см. [35]). Мы очень благодарны Дмитрию Алексеевскому, Юрию Бересту, Ивану Череднику, Ивану Дынникову, Анатолию Нейштадту, Грэму Сигалу, Кэролайн Сириес и Джону Паркеру за исключительно полезные и стимулирующие обсуждения. Мы также благодарим Джоса Лейса за любезное разрешение использовать его великолепные изображения модулярных узлов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BolVesYe21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|