| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Обзоры Интегрируемые полиномиальные гамильтоновы системы и симметрические степени плоских алгебраических кривых В. М. Бухштаберa, А. В. Михайловbc a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b University of Leeds, Leeds, UK c Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10007 
Реферативные базы данных:
      ВведениеИнтегрируемые гамильтоновы системы – очень большая область исследований, постановки задач которой во многом мотивированы классическими и современными задачами механики и физики (см. [19], [43], [52], [4], [2], [31], [32]). Большим вкладом в эту область являются замечательные результаты Игоря Моисеевича Кричевера. Широкую известность получил его обзор [33]. В центре внимания нашего обзора – интегрируемые полиномиальные гамильтоновы системы, ассоциированные с симметрическими степенями плоских алгебраических кривых. Симметрические степени $\operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2$ плоскости комплексного переменного $\mathbb{C}^2$ являются особыми алгебраическими многообразиями, алгебраические функции на которых можно отождествить с алгебраическими функциями на декартовом произведении $\mathbb{C}^2 \times \cdots \times \mathbb{C}^2$, инвариантными относительно действия группы $S_N$ перестановок сомножителей. Рассмотрим пространство $\mathbb{C}^{2N}=\mathbb{C}^{N}\times\mathbb{C}^{N}$ с координатами $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$, где $\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_N)$, $\boldsymbol{y}=(y_1,\dots,y_N)$, как симплектическое пространство кокасательного расслоения $T^*\mathbb{C}^{N}=T^*\mathbb{C}\times \cdots\times T^*\mathbb{C}$. Мы вводим каноническое рациональное преобразование $\varphi\colon \mathbb{C}^{2N}\to\mathbb{C}^{2N}$ от координат $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ к координатам $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, где $\boldsymbol{q}=(q_1,\dots,q_N)$ и $\boldsymbol{p}=(p_1,\dots,p_N)$, определяемое производящей функцией $G=\displaystyle\sum_{i,n=1}^N\frac{1}{n}x_i^n p_n$. Получаем, что $nq_n$, $n=1,\dots,N$, задаются симметрическими полиномами Ньютона. Преобразование $\varphi$ разлагается в композицию $N!$-листного разветвленного накрытия $\pi\colon \mathbb{C}^{2N}\to \operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2$ и бирационального изоморфизма $\widehat\varphi\colon \operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^{2N}$. Пусть $\mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ – поле рациональных функций на $T^*\mathbb{C}^{N}$. Обозначим через $\mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})^S \subset \mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ поле $S_N$-инвариантных функций и отождествим его с полем рациональных функций на алгебраическом многообразии $\operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2$. Это поле содержит кольцо $S_N$-инвариантных полиномов $\mathfrak{S}=\mathbb{C}[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]^S$. Каноническая скобка Пуассона рациональных функций от $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ задает скобку Пуассона в поле $\mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})^S$ и в кольце $\mathfrak{S}$. Напомним, что кольцо $\mathfrak{S}=\mathbb{C}[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]^S$ как координатное кольцо алгебраического многообразия $\operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2$ имеет $(N+3)N/2$ мультипликативных образующих и классическая задача его описания далека от решения (см. [27], [13]). Бирациональный изоморфизм $\widehat\varphi\colon \operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^{2N}$ позволил отождествить пуассоново поле $\mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})^S$ с пуассоновым полем $\mathbb{C}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ и доказать, что пуассоново кольцо $\mathfrak{S}$ лежит в пуассоновом кольце полиномов $\mathbb{C}[\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}]$. Мы получаем явный вид полиномиального обращения отображения $\widehat\varphi$, которое каждому $S$-инвариантному полиному $p(x,y)\in \mathfrak{S}$ ставит в соответствие его представление в виде полинома от $\boldsymbol{q}$ и $\boldsymbol{p}$. Пусть $F(x,y)\kern-0.4pt\in\kern-0.4pt\mathbb{C}[x,y]$ и $\partial_y F(x,y)\kern-0.4pt\ne\kern-0.8pt 0$. Рассмотрим вектор-столбец $\boldsymbol{F(x,\kern-0.4pt y)}\kern-0.8pt= (F(x_1,y_1),\dots,F(x_N,y_N))^\top$ и положим
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=W{\boldsymbol F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}= \bigl(H_1(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\dots, H_N(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\bigr),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $W$ – матрица, обратная к матрице Вандермонда $V=(x_k^j)$, $k=1,\dots,N$, $j=0,\dots,N-1$. Рациональная по $\boldsymbol{x}$ и полиномиальная по $\boldsymbol{y}$ функция $H_k(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$, $k=1,\dots,N$, определяет интегрируемую гамильтонову систему типа Штеккеля
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t_k}\,x_i=\{H_k,x_i\}= \frac{\partial H_k}{\partial y_i}\,,\qquad \frac{\partial}{\partial t_k}\,y_i= \{H_k,y_i\}=-\frac{\partial H_k}{\partial x_i}\,.
\end{equation}
\tag{2}
$$
В классической теории Штеккеля предполагается, что полиномы $F(x,y)$ квадратично зависят от $y$ (см. [49], [45], [51]). В нашей конструкции мы предполагаем только, что $F(x,y)$ нетривиально зависит от $y$, т. е. $\partial_yF(x,y)\ne 0$. Этого достаточно для того, чтобы функции $H_k(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$, $k=1,\dots,N$, были функционально независимы и, следовательно, каждая рациональная функция $H_k(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ была функцией Гамильтона полностью интегрируемой гамильтовой системы типа Штеккеля. Пересечение поверхностей уровня $H_s(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=h_s$, $h_s\in\mathbb{C}$, $s=1,\dots,N$, является полуалгебраическим многообразием в $\mathbb{C}^{2N}$,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{G}=\biggl\{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\in\mathbb{C}^{2N}\colon x_i\ne x_j, \ \text{если} \ i\ne j,\ \text{и}\ F(x_i,y_i)=\sum_{s=1}^N h_s x_i^{s-1},\ i=1,\dots,N\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
которое $S_N$-инвариантно со свободным действием группы $S_N$. Хотя каждая компонента $H_k(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ вектора $\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ является рациональной функцией от $\boldsymbol{x}$, используя каноническое преобразование $\varphi\colon \mathbb{C}^{2N}\to\mathbb{C}^{2N}$, мы показываем, что: (a) в новых переменных $\boldsymbol{p}$, $\boldsymbol{q}$ соответствующие вектор-функции ${\mathcal{H}}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ однозначно определяются условием $\varphi^*\mathcal{H}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})= \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$; (b) $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, $k=1,\dots,N$, являются полиномами от $\boldsymbol{q}$, $\boldsymbol{p}$; (c) полиномы $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, $k=1,\dots,N$, функционально независимы; (d) для всех $1\leqslant n,m \leqslant N$ имеем $\{\mathcal{H}_n(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}), \mathcal{H}_m(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})\}=0$, где $\{\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\}$ – скобка Пуассона в $\mathbb{C}^{2N}$ с координатами $\boldsymbol{q}$, $\boldsymbol{p}$. Таким образом, в $\mathbb{C}^{2N}$ мы получаем иерархию из $N$ коммутирующих полиномиальных гамильтоновых систем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t_k}\,q_i= \{\mathcal H_k,q_i\}=\frac{\partial\mathcal H_k}{\partial p_i}\,,\quad \frac{\partial}{\partial t_k}\,p_i=\{\mathcal H_k,p_i\}= -\frac{\partial\mathcal H_k}{\partial q_i}\,,\qquad k=1,\dots,N,
\end{equation}
\tag{3}
$$
полностью интегрируемых в квадратурах. Эта система задает кривую
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\biggl\{(x,y)\in\mathbb{C}^{2}\colon F(x,y)= \sum_{s=1}^N h_s x^{s-1},\ h_s\in\mathbb{C}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $h_s=H_s(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$. В нашем подходе мы не накладываем никаких условий на род этой кривой и не требуем, чтобы она была регулярной. Образом отображения $\varphi\colon \mathcal{G}\to\mathbb{C}^{2N}$ является полуалгебраическое многообразие
$$
\begin{equation*}
\widehat{\Gamma}=\{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})\in \mathbb{C}^{2N}\setminus \widehat{\Delta}\colon \mathcal{H}_s(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})=h_s, \ h_s\in\mathbb{C}, \ s=1,\dots,N\},
\end{equation*}
\notag
$$
диффеоморфное пространству орбит $\mathcal{G}/S_N$. Здесь $\widehat{\Delta}$ – образ дискриминантного многообразия
$$
\begin{equation*}
\widehat{\Delta}=\{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})\in \mathbb{C}^{2N}\!\colon \widehat{\mathcal{D}}(\boldsymbol{p})=0\},\qquad \varphi^*(\widehat{\mathcal{D}}(\boldsymbol{p}))= \prod_{1\leqslant i<j\leqslant N}(x_i-x_j)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно из определения (1) функций $H_k({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})$ следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \{H_k,x_i\}&=(-1)^{N-k}\,\frac{\partial e_{N-k+1}}{\partial x_i}\{H_N,x_i\}, \\ \{H_k,y_i\}&=(-1)^{N-k}\,\frac{\partial e_{N-k+1}}{\partial x_i}\{H_N,y_i\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Используя эти формулы, мы можем переписать иерархию уравнений (2) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial x_i}{\partial t_k}&= (-1)^{N-k}\,\frac{\partial e_{N-k+1}}{\partial x_i}\, \frac{\partial H_N}{\partial y_i}\,, \\ \frac{\partial y_i}{\partial t_k}&= -(-1)^{N-k}\,\frac{\partial e_{N-k+1}}{\partial x_i}\, \frac{\partial H_N}{\partial x_i}\,, \end{aligned}\qquad k=1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Следовательно, достаточно найти только функцию Гамильтона $H_N$, чтобы восстановить всю иерархию (2), так как выражения $\partial e_{N-k+1}/\partial x_i$ не зависят от исходного полинома $F(x,y)$. Рассмотрим в пространстве $\mathbb{C}^{2N}=\mathbb{C}^{N}\times\mathbb{C}^{N}$ иерархию совместных систем гидродинамического типа
$$
\begin{equation}
\frac{\partial x_i}{\partial t_k}=(-1)^{N-k}\, \frac{\partial e_{N-k+1}}{\partial x_i}\, \frac{\partial x_i}{\partial t_N}\,,\qquad \frac{\partial y_i}{\partial t_k}=(-1)^{N-k}\, \frac{\partial e_{N-k+1}}{\partial x_i}\, \frac{\partial y_i}{\partial t_N}\,,
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $e_{n}=e_{n}({\boldsymbol{x}})$ – это $n$-я элементарная симметрическая функция от $x_1,\dots,x_N$. Обратим внимание, что система (6) является полиномиальной. Уравнения (6) описывают иерархию систем гидродинамического типа в римановых координатах. Наше каноническое преобразование $\varphi\colon \mathbb{C}^{2N}\to\mathbb{C}^{2N}$ переводит эти уравнения в уравнения, описывающие полиномиальную иерархию систем гидродинамического типа в координатах $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ пространства $\mathbb{C}^{2N}$. Новая система получена в явном виде. Она интегрируется на основе наших гамильтоновых полиномиальных систем в координатах $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$. Опишем содержание обзора. В разделе 1 дано построение интегрируемой в квадратурах гамильтоновой системы в $\mathbb{C}^{2N}$ с координатами $\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_N)$ и $\boldsymbol{y}=(y_1,\dots,y_N)$ по каждому натуральному числу $N$ и произвольному полиному $F(x,y)$ такому, что $\partial_y F(x,y)\ne 0$. В случае $F(x,y)=f(x)y^2+g(x)$ эти системы были введены в работе П. Штеккеля (см. [49], [5]), поэтому рассматриваемые системы названы системами типа Штеккеля. В разделе 2 по каждой динамической системе типа Штеккеля в пространстве $\mathbb{C}^{2N}=T^*\mathbb{C}\times \dots\times T^*\mathbb{C}$ с координатами $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ построены полиномиальные гамильтоновы интегрируемые в квадратурах динамические системы в $\mathbb{C}^{2N}$ с координатами $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, где $\boldsymbol{q}=(q_1,\dots,q_N)$ и $\boldsymbol{p}=(p_1,\dots,p_N)$. Это построение использует производящую функцию $G$, которая, согласно формализму гамильтоновой механики (см. монографию [3]), задает каноническое преобразование $\varphi \colon \mathbb{C}^{2N} \to \mathbb{C}^{2N}$. Доказаны свойства преобразования $\varphi$, обусловленные видом функции $G=\displaystyle\sum_{i,n}^N \frac{1}{n}x_ip_n$, даны формулы для вычисления полиномиальных гамильтонианов $\mathcal{H}_1(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}), \dots,\mathcal{H}_N(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ и показано, как записать всю иерархию, используя только один гамильтониан $\mathcal{H}_N(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, определенный полиномом $F(x,y)$. В разделе 3 собраны результаты теории гиперэллиптических функций на якобиане $\operatorname{Jac}\Gamma$ неособой гиперэллиптической кривой
$$
\begin{equation*}
\Gamma_\lambda=\{(x,y)\in \mathbb{C}^{2}\colon y^2=4f(x,\lambda)\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $f(x,\lambda)=x^{2g+1} +\displaystyle\sum_{k=2}^{2g+1}\lambda_{2k}x^{2g-k+1}$ и $\lambda=(\lambda_4,\dots,\lambda_{4g+2})\in \mathbb{C}^{2g}$ – такой вектор параметров, что все корни уравнения $f(x,\lambda)=0$ различны. (Доказательства этих результатов см. в [7]–[9].) В этом разделе и далее существенно используются градуированные переменные и параметры. Имеем: $|x|=2$, $|y|=2g+1$, $|\lambda_{2k}|=2k$, и, следовательно, $f(x,\lambda)$ – однородный полином веса $|f|=4g+2$. Здесь же дано краткое построение гиперэллиптической сигма-функции кривой $\Gamma$, которая при фиксированном $\lambda\in \mathbb{C}^{2g}$ является целой функцией градуированных переменных $\tau=(\tau_1,\dots,\tau_{2g-1})\in \mathbb{C}^{g}$, $|\tau_{2k-1}|=1-2k$, и задается рядом
$$
\begin{equation*}
\sigma(\tau;\lambda)=\sum_{|\xi|\geqslant 0}p_\xi(\lambda)\tau^\xi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi=(i_1,\dots,i_g) \in \mathbb{Z}^g$, $i_k\geqslant 0$, $|\xi|=i_1+\dots+i_g$, $\tau^\xi=\tau_1^{i_1} \cdots \tau_{2g-1}^{i_g}$ и $p_\xi(\lambda)$ – однородный полином веса $|p_\xi|=i_1+\cdots+(2g-1)i_g-d$, $d=g(g+1)/2$. Таким образом, сигма-функция $\sigma(\tau;\lambda)$ задается однородным рядом веса $-d$. Отметим, что этот ряд сходится для всех значений $\lambda\in \mathbb{C}^{2g}$ и $\sigma(\tau;0)=\tau_1^d+\cdots$ совпадает с известным полиномом Адлера–Мозера. В разделе 3 приведены явные формулы преобразования сигма-функции $\sigma(\tau;\lambda)$ при сдвигах аргумента $\tau$ на периоды голоморфных дифференциалов кривой $\Gamma$. Из этих формул следует, что определен сигма-дивизор
$$
\begin{equation*}
D_\lambda(\tau)= \{\tau\in\operatorname{Jac}\Gamma\colon\sigma(\tau;\lambda)=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
и для любых $k$, $l$ формула
$$
\begin{equation*}
\wp_{k,l}=\wp_{k,l}(\tau;\lambda)= -\partial_{2k-1}\partial_{2l-1}\ln\sigma(\tau;\lambda),\quad\text{где}\quad \partial_{2k-1}=\frac{\partial}{\partial \tau_{2k-1}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
задает однородную мероморфную функцию веса $|\wp_{k,l}|=2(k+l-1)$ на $\operatorname{Jac}\Gamma$, полюсы которой лежат на многообразии $D_\lambda(\tau)$. Отображение Абеля $A_g \colon \operatorname{Sym}^g\Gamma \to \operatorname{Jac}\Gamma$ индуцирует такой кольцевой изоморфизм $A_g^*$ поля мероморфных функций на $\operatorname{Jac}\Gamma$ и поля рациональных функций на $\operatorname{Sym}^g\Gamma$, что
$$
\begin{equation*}
A_g^*\wp_{2n}=(-1)^{n-1}e_n(\boldsymbol{x}),\qquad A_g^*\partial_1\wp_{2n}=2p_{g+1-n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $e_n(\boldsymbol{x})$ обозначают $n$-е элементарные симметрические функции от $\boldsymbol{x}$, а $p_k$ – заданные преобразованием $\varphi$ симметрические рациональные функции от переменных $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$, для которых $y_i^2=4f(x_i,\lambda)$, $i=1,\dots,g$. В разделе 3 дана аналогичная интерпретация теоремы Б. А. Дубровина и С. П. Новикова (см. [20]) об унирациональности универсального расслоения якобианов гиперэллиптических кривых. С этой теоремой непосредственно связан следующий результат, показывающий ключевую роль функции $\wp_{2}$: для всех $g\geqslant 1$ и $k\geqslant 1$ гиперэллиптическая функция $\wp_{2}$ удовлетворяет совместной системе уравнений
$$
\begin{equation*}
\partial_{2k-1}\wp_{2}=\partial_1\psi_{2k},\qquad k=1,\dots,g+1,
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентной $g$-стационарной иерархии Кортевега–де Фриза (КдФ). Здесь $\psi_{2k}$ – полином от $\wp_{2},\wp_{2}',\dots,\wp_{2}^{(2k-2)}$, $\partial_{2g+1}\wp_{2}=0$ и $\partial_1 \psi_{2(g+1)}=0$ – $g$-е стационарное уравнение КдФ, т. е. уравнение Новикова. В разделе 4 в явном виде описано разложение преобразования $\varphi$ в композицию
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}^{2N}\stackrel{\psi}\longrightarrow \mathbb{C}^{2N} \stackrel{\xi}\longrightarrow \mathbb{C}^{2N}
\end{equation*}
\notag
$$
такую, что $\psi$ – каноническое преобразование от координат $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ к координатам $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})$, отвечающее производящей функции
$$
\begin{equation*}
G_\psi=\sum_{n=1}^N (-1)^{n-1}e_n(\boldsymbol{x})P_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, координаты $(-1)^{n-1}Q_n$, $n=1,\dots,N$, задаются элементарными симметрическими функциями $e_n(\boldsymbol{x})$. В этой композиции $\xi$ – каноническое преобразование от координат $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})$ к координатам $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, которое является полиномиальным изоморфизмом и задается производящей функцией Здесь и далее координаты $Q_k$ в выражении для преобразования $G$ рассматриваются как функции от $\boldsymbol{x}$, а в выражении для преобразования $G_\psi$ – как функции от $\boldsymbol{q}$. В разделе 5 описана иерархия полиномиальных гамильтоновых систем в $\mathbb{C}^{2N}$ с координатами $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, соответствующая полиному
$$
\begin{equation}
F(x,y)=y^2-x^{2g+1}-\lambda_{2}x^{2g}-\cdots-\lambda_{4g+2-2N}x^{N},\qquad 1\leqslant N \leqslant 2g+1.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Получен явный вид полиномиальных гамильтонианов $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, $k=1,\dots,g$. Пересечение поверхностей уровня этих гамильтонианов
$$
\begin{equation*}
\{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}) \in \mathbb{C}^{2N}\colon \mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})=h_k \in \mathbb{C},\ k=1,\dots,N\}
\end{equation*}
\notag
$$
бирационально изоморфно алгебраическому многообразию $\operatorname{Sym}^N\Gamma$, где
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\biggl\{(x,y)\in\mathbb{C}^{2}\colon F(x,y)= \sum_{k=1}^N \lambda_{2(2g+1-N+k)} x^{N-k}\biggr\},\quad \lambda_{2(2g+1-N+k)}=h_{N-k+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы иметь возможность использовать результаты теории гиперэллиптических функций, необходимо перейти от координат $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ в $\mathbb{C}^{2N}$ к координатам $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ в этом пространстве. Преобразование координат $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}) \to (\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ является полиномиальным изоморфизмом, но оно не является каноническим. Указан вид скобки Пуассона в $\mathbb{C}^{2N}$ в координатах $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, и получены результаты о гамильтоновых уравнениях, соответствующих гамильтонианам $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$. В разделе 6 в условиях раздела 5 при $N=g$ рассмотрено пространство $\mathbb{C}^{3g}=\mathbb{C}^{2g}\times\mathbb{C}^{g}$ с координатами $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p};\lambda)$, где координаты $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ являются каноническими относительно скобки Пуассона $\{\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\}$ в $\mathbb{C}^{2g}$. Для каждого фиксированного $\lambda=(\lambda_4,\dots,\lambda_{2g+2})\in \mathbb{C}^{g}$ полином
$$
\begin{equation*}
F(x,y)=y^2-x^{2g+1}-\lambda_{4}x^{2g-1}-\cdots-\lambda_{2g+2}x^{g}
\end{equation*}
\notag
$$
задает в $\mathbb{C}^{2g}$ иерархию динамических систем с гамильтонианами $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, $k=1,\dots,g$, вид которых указан в разделе 5. Эти гамильтонианы определяют гамильтоновы поля $\dfrac{\partial}{\partial t_k}= \{ \mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}),\,\cdot\,\}$. Показано, что при переходе к неканоническим координатам $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ в $\mathbb{C}^{2g}$ над кольцом $\Lambda_g=\mathbb{C}[\lambda_4,\dots,\lambda_{2g+2}]$ однозначно определены однородные дифференциальные полиномы $\mathcal{G}_{2n}= \mathcal{G}_{2n}(u,u',\dots,u^{(2n-2)})=2^{2n-1}Q_n$, $n=1,\dots,g$, веса $|\mathcal{G}_{2n}|=2n$, где $u=\mathcal{G}_{2}$. Например, $\mathcal{G}_{4}=u''-3u^2-4\lambda_4$. Теорема 1. Функция $u=2Q_1$ удовлетворяет иерархии и дифференциальному уравнению Таким образом, в $\mathbb{C}^{2g}$ потоки $\partial_{2k-1}$, $k=1,\dots,g$, задают $g$-стационарную иерархию КдФ относительно функции $u=2Q_1$ при постоянном векторе параметров $\lambda\in \mathbb{C}^{g}$. Доказательство этой теоремы не использует теорию абелевых функций. В разделе 7 рассмотрено вложение $\widehat i \colon \operatorname{Sym}^g \Gamma \to \operatorname{Sym}^g \mathbb{C}^{2}$, индуцированное вложением $i \colon \Gamma \subset \mathbb{C}^{2}$. Показано, что в случае неособой кривой $\Gamma$ отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sym}^g\Gamma \stackrel{\widehat i}{\longrightarrow} \operatorname{Sym}^g \mathbb{C}^{2} \stackrel {\widehat\varphi}{\longrightarrow} \mathbb{C}^{2g}
\end{equation*}
\notag
$$
разлагается в композицию $ \operatorname{Sym}^g\Gamma \stackrel{A_g}{\longrightarrow} \operatorname{Jac}\Gamma \stackrel{J}{\longrightarrow} \mathbb{C}^{2g}$, где $J$ – мероморфное отображение, задаваемое гиперэллиптическими функциями. Отображение $J$ униформизует совместную поверхность уровня гамильтонианов $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, $k=1,\dots,g$. Показано, что поток $\partial_1$, задаваемый гамильтонианом $\mathcal{H}_g(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, позволяет последовательно выразить переменные $p_g,Q_2,p_{g-1},Q_3,\dots,p_2,Q_g,p_1$ в виде однородных полиномов от функций $Q_1, Q_1',\dots,Q_1^{(2g-1)}$ с коэффициентами в $\Lambda_g=\mathbb{C}[\lambda_4,\dots,\lambda_{2g+2}]$. Гамильтониан $\mathcal{H}_g(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ называется порождающим. Используя результаты раздела 6, мы получаем, что полиномиальная над кольцом $\Lambda_g$ замена переменных
$$
\begin{equation*}
Q_n=\frac{1}{2^{2n-1}}\mathcal{G}_{2n}(u,u',\dots,u^{(2g-2)}),\qquad p_n=\frac{1}{2^{2n}}\mathcal{G}_{2(g+1-n)}'
\end{equation*}
\notag
$$
задает в пространстве $\mathbb{C}^{2g}$, $g>0$, с градуированными координатами Дубровина–Новикова $u,u',\dots,u^{(2g-1)}$, $|u^{(k)}|=2+k$, симплектическую структуру с однородной скобкой Пуассона $\{\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\}$ веса $-(2g+3)$. Например, $\{u^{(2g-1)},u\}=2^{2g+1}$. Эта скобка приведена в явном виде при $g=2$ и при $g=3$. В разделе 8 описана иерархия полиномиальных гамильтоновых систем в $\mathbb{C}^{2N}$ с координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, соответствующая полиному (7) в случае $N=g+1$. Для фиксированного вектора параметров $\lambda=(\lambda_4,\dots,\lambda_{2g})$ гамильтонианы
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_{g+1},\quad \mathcal{H}_g,\quad \dots,\quad \mathcal{H}_1,\qquad |\mathcal{H}_k|=4g+4-2k,
\end{equation*}
\notag
$$
задают потоки с временами $\tau_{-1},\tau_{1},\dots,\tau_{2g-1}$, $|\partial_{2k-3}|=2k-3$, $k=1,\dots,g+1$. Показано, что и в этом случае порождающим является гамильтониан $\mathcal{H}_g(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$. Соответствующая ему динамическая система позволяет последовательно выразить переменные $Q_1,p_g,Q_2, p_{g-1},\dots,Q_g,p_1,Q_{g+1}$ в виде полиномов от функций $v=p_{g+1}$, $v',\dots,v^{(2g+2)}$ с коэффициентами в кольце $\mathbb{C}[\lambda_4,\dots,\lambda_{2g}]$. Система уравнений $\partial_{2k-3}v=\{\mathcal{H}_{g+2-k},v\}$ представляет собой потенцированную $g$-иерархию КдФ. Решение этой системы в случае неособой кривой $\Gamma$ задается гиперэллиптической $\zeta$-функцией $\partial_1\ln\sigma(\tau)$, где $\tau=(\tau_{1},\dots,\tau_{2g-1})$. В разделе 9 рассмотрена иерархия динамических систем для $N=g+2$. Метод интегрирования этих систем показан на примере $N=4$ и $g=2$. В пространстве $\mathbb{C}^{8}$ введен аналог координат Дубровина–Новикова и вычислена скобка Пуассона этих координатных функций. В случае неособой гиперэллиптической кривой получен явный ответ в терминах функций $\zeta_k=\partial_k\ln\sigma(\tau_1,\tau_3)$, $k=1,3$, и $\wp_2=-\partial_1^2\ln\sigma(\tau_1,\tau_3)$. В заключительном разделе 10 показано, что общие решения наших полиномиальных гамильтоновых систем в $\mathbb{C}^{2N}$ дают решения определенного класса систем гидродинамического типа. Получен явный вид таких систем в канонических координатах $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ и в координатах $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$. Таким образом, получено явное решение этих систем в случаях, описанных в разделах 6, 7 и 9. В настоящей работе рассмотрены динамические системы в классической постановке, когда зависимые переменные являются коммутирующими комплекснозначными функциями. Хорошо известны интегрируемые иерархии, включая иерархию уравнения КдФ, которые допускают обобщение на некоммутативный случай, когда зависимые переменные принимают значения в свободной ассоциативной алгебре (см. [39], [47], [48], [44]). В [37] предложен новый подход к проблеме квантования, стартующий с таких систем. Результаты работы [37] позволяют поставить задачу получения квантовых аналогов конструкций и результатов, которым посвящен данный обзор. 1. Динамические системы типа ШтеккеляПоложим $q_n=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^N x_i^n$ и рассмотрим отображение
$$
\begin{equation}
\mathcal{V} \colon \mathbb{C}^{N}\to \mathbb{C}^{N},\qquad \mathcal{V}(\boldsymbol{x})=(q_1,\dots,q_N).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Дифференциал отображения $\mathcal{V}$ в точке $\boldsymbol{x}$ задается $(N\times N)$-матрицей $V^\top$, где
$$
\begin{equation}
V=V(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix} 1&x_1&x_1^2& \dots &x_1^{N-1} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 1&x_N&x_N^2& \dots &x_N^{N-1} \end{pmatrix}=(x_k^{j-1}),\qquad k,j=1,\dots,N,
\end{equation}
\tag{9}
$$
– матрица Вандермонда и $^\top$ – знак транспонирования. Имеем Введем алгебраическое многообразие $\mathcal{D}_{\boldsymbol{x}}= \{\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{N}\!\colon \det V(\boldsymbol{x})=0\}$. Введем также $N$-мерные векторы-столбцы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \delta_k=(\delta_{i,k})^\top,\qquad \mathcal{E}=\bigl((-1)^{N-1}e_N,\dots,(-1)^{k-1}e_k,\dots,e_1\bigr)^\top, \\ X=X(x)=(1,\dots,x^{N-1})^\top, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_{i,k}$ – символ Кронекера ($\delta_{k,k}=1$ и $\delta_{i,k}=0$, $i\ne k$) и $e_k$ – $k$-я элементарная симметрическая функция переменных $x_1,\dots,x_N$. Заметим, что $k$-я строка матрицы Вандермонда $V$ задается вектором $X(x_k)$. Рассмотрим матрицу $V^\top V$. Получаем матрицу $V^\top V(\boldsymbol{q})$, у которой на месте $(1,1)$ стоит $N$, а на месте $(k,l)$ стоит симметрическая функция $\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^{k+l-2}$, записанная в виде полинома от $\boldsymbol{q}$. Например, при $N=2$
$$
\begin{equation*}
V^\top V(\boldsymbol{q})=\begin{pmatrix} 2 & q_1 \\ q_1 & 2q_2 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем алгебраическое многообразие $\mathcal{D}_{\boldsymbol{q}}= \{\boldsymbol{q}\in\mathbb{C}^{N}\!\colon \det(V^\top V(\boldsymbol{q}))=0\}$. Отображение $\mathcal{V}$ задает диффеоморфизм полуалгебраических многообразий
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}_* \colon \mathbb{C}^{N}\setminus\mathcal{D}_{\boldsymbol{x}}\to \mathbb{C}^{N}\setminus\mathcal{D}_{\boldsymbol{q}}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
E=E(x;\boldsymbol{x})=\prod_{i=1}^N(x-x_i),\qquad E_k=-\frac{\partial}{\partial x_k}E=\prod_{i\ne k}(x-x_i).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Лемма 2. Элементы $W_{n,k}$ матрицы, обратной к $(N\times N)$-матрице Вандермонда $V$, задаются формулой Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
E=x^N-e_1x^{N-1}+\cdots+(-1)^{N}e_N=x^N-\mathcal{E}\cdot X(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где “$\,\cdot\,$” – знак евклидова скалярного произведения. Следовательно, Таким образом, Получаем, что вектор $\dfrac{1}{E_k(x_k)}\,\dfrac{\partial\mathcal{E}}{\partial x_k}$ равен $k$-му столбцу матрицы $W$ такой, что $WV=I$, где $I$ – единичная матрица. Лемма доказана. В пространстве $\mathbb{C}^{N}$ с фиксированным базисом определено действие симметрической группы $S_N$ перестановками координат. Таким образом, определено представление $S_N \to \mathrm{U}(N)$, которое перестановке $\sigma \in S_N$ ставит в соответствие матрицу $M_\sigma \in \mathrm{U}(N)$ этой перестановки, где $\mathrm{U}(N)$ – группа унитарных матриц и, следовательно, $\sigma\boldsymbol{x}=M_\sigma\boldsymbol{x}$. Введем в пространстве $\mathbb{C}^{2N}=\mathbb{C}^{N}\times\mathbb{C}^{N}$ диагональное действие группы $S_N$, т. е. $\sigma(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})= (\sigma \boldsymbol{x},\sigma \boldsymbol{y})$, и пусть $\operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2$ – факторпространство $\mathbb{C}^{2N}/S_N$ пространства $\mathbb{C}^{2N}$ по этому действию. Пусть $f \colon \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ – некоторая комплекснозначная функция двух переменных. Положим ${\boldsymbol f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})= \bigl(f(x_1,y_1),\dots,f(x_N,y_N)\bigr)^\top$. Получаем отображение ${\boldsymbol f}\colon \mathbb{C}^{2N} \to \mathbb{C}^{N}$. Очевидно, что ${\boldsymbol f(\sigma(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}))}=M_\sigma{\boldsymbol f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}$. Лемма 3. Векторы $\boldsymbol{W}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y};f)= W({\boldsymbol{x}}){\boldsymbol f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}$ и $\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y};f)= V^\top({\boldsymbol{x}}){\boldsymbol f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}$ инвариантны относительно действия группы $S_N$, т. е. Другими словами, обратная матрица Вандермонда $W$ является левым симметризатором, а матрица Вандермонда $V$ является правым симметризатором вектор-функции ${\boldsymbol f}$. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{W}(\sigma(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y});f)&= W({ \sigma \boldsymbol x}){\boldsymbol f} (\sigma(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}))=W({\boldsymbol{x}}) M_\sigma^\top M_\sigma{\boldsymbol f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}= \boldsymbol{W}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y};f), \\ \boldsymbol{V}(\sigma(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y});f)&= V^\top({ \sigma \boldsymbol x}){\boldsymbol f} (\sigma(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}))= V^\top({\boldsymbol{x}}) M_\sigma^\top M_\sigma{\boldsymbol f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}= \boldsymbol{V}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y};f), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает лемму. Пусть $F(x,y)\kern-0.8pt\in\kern-0.8pt\mathbb{C}[x,y]$ и $\partial_y F(x,y)\kern-0.8pt\ne\kern-0.8pt 0$. Рассмотрим вектор-столбец ${\boldsymbol F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}= \bigl(F(x_1,y_1),\dots,F(x_N,y_N)\bigr)^\top $ и положим
$$
\begin{equation}
{\boldsymbol H}({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})=W{\boldsymbol F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}= \bigl(H_1({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}}), \dots,H_N({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})\bigr),
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $W$ – матрица, обратная к матрице Вандермонда. Предложение 4. Компоненты вектора ${\boldsymbol H}({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})\kern-1pt=\kern-1pt (H_1\kern-0.5pt({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}}),\dots,H_{\kern-1pt N}({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})), $ определенного формулой ${\boldsymbol H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=W{\boldsymbol F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}$, являются функционально независимыми функциями, рациональными по $x$ и полиномиальными по $y$. Скобки Пуассона между компонентами этого вектора равны нулю, т. е. Доказательство. Компоненты вектора ${\boldsymbol F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}$ функционально независимы. Поскольку матрица $W$ невырождена и не зависит от ${\boldsymbol y}$, градиенты по ${\boldsymbol{y}}$ компонент вектора $\boldsymbol{H}({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})$ линейно независимы. Поэтому компоненты вектора ${\boldsymbol H}({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})$ функционально независимы. Из формулы
$$
\begin{equation*}
H_n({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})=\sum_{i=1}^N W_{n,i}F(x_i,y_i)
\end{equation*}
\notag
$$
и определения скобок Пуассона мы получаем
$$
\begin{equation}
\{H_n(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),H_m({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})\}=A(n,m)-A(m,n),
\end{equation}
\tag{16}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A(n,m)=\sum_{i,j,k=1}^N \frac{\partial W_{n,i}F(x_i,y_i)}{\partial y_k}\cdot \frac{\partial W_{m,j}F(x_j,y_j)}{\partial x_k}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы доказать обращение в нуль скобок Пуассона, используем тождество
$$
\begin{equation}
\frac{\partial W_{n,j}}{\partial x_i}= -W_{n,i}\sum_{s=1}^N(s-1)x_i^{s-2}W_{s,j},
\end{equation}
\tag{17}
$$
которое непосредственно вытекает из формулы $\dfrac{\partial}{\partial x_i}W= -W\biggl(\dfrac{\partial}{\partial x_i}V\biggr)W$. Так как $W$ не зависит от переменных ${\boldsymbol y}$, мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A(n,m)&=\sum_{j,k=1}^N W_{n,k}\frac{\partial F(x_k,y_k)}{\partial y_k}\cdot \frac{\partial W_{m,j}}{\partial x_k}F(x_j,y_j) \\ &\qquad+\sum_{k=1}^N W_{n,k}\frac{\partial F(x_k,y_k)}{\partial y_k}\cdot W_{m,k}\frac{\partial F(x_k,y_k)}{\partial x_k} \\ &=-\sum_{k,j,s=1}^N W_{n,k}\frac{\partial F(x_k,y_k)}{\partial y_k}\cdot W_{m,k}(s-1)x_k^{s-2}W_{s,j}F(x_j,y_j) \\ &\qquad+\sum_{j,k=1}^N W_{n,k} \frac{\partial F(x_k,y_k)}{\partial y_k}\cdot W_{m,k}\frac{\partial F(x_k,y_k)}{\partial x_k} \\ &=\sum_{k=1}^N W_{n,k}W_{m,k}\frac{\partial F(x_k,y_k)}{\partial y_k} \biggl(\frac{\partial F(x_k,y_k)}{\partial x_k}- \sum_{s,j=1}^N (s-1)x_k^{s-2}W_{s,j}F(x_j,y_j)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь очевидно, что $A(n,m)=A(m,n)$, и, следовательно, скобка Пуассона (16) обращается в нуль. Предложение доказано. В предложении 4 дано явное доказательство в важном для нас специальном случае следующего общего результата. Предложение 5 (О. К. Шейнман [46]). Пусть дана система уравнений на вектор $\boldsymbol{H}=(H_1,\dots,H_N)$, где $F_i$ – гладкие функции. Тогда компоненты вектора $\boldsymbol{H}$, рассматриваемые как функции от $\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{y}$ и определенные в области $U\subset\mathbb{C}^{2N}$, где $((N-1)\times N)$-матрица имеет ранг $N-1$ при некотором $k$, $1\leqslant k \leqslant N$, коммутируют относительно канонической скобки Пуассона в $\mathbb{C}^{2N}$ с координатами $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$. Системы (18), линейные относительно вектора $\boldsymbol{H}({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})$, возникают в системах типа Штеккеля. Системы (18), нелинейные относительно вектора $\boldsymbol{H}({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})$, возникают при применении метода разделения переменных к системам Хитчина (см. [28]). Предложение 6. (i) Каждая из определенных в предложении 4 рациональных функций $H_k({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})$ задает гамильтонову систему типа Штеккеля (ii) Все гамильтоновы системы (19) для $k=1,\dots,N$ совместны. (iii) Системы типа Штеккеля (19) интегрируемы в квадратурах. В классической системе Штеккеля с $H_k$, заданными формулой (15), полином $F(x,y)$ является квадратичным по $y$, точнее, он имеет вид В этом случае имеется естественная геометрическая интерпретация полученной динамической системы и ее первых интегралов (см. [49], [5]). В нашем подходе полином $F(x,y)$ может иметь любую степень по $x$ и $y$ с условием $F_y(x,y)\not\equiv 0$. Поэтому наши системы (19) мы называем системами типа Штеккеля.2. Полиномиальные гамильтоновы системы, интегрируемые в квадратурахИмеет место разложение
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}^{2N}=T^*\mathbb{C}^N=\mathbb{C}^2\times \cdots \times \mathbb{C}^2=(\mathbb{C}^2)^N,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{C}^2$ рассматривается как пространство кокасательного расслоения $T^*\mathbb{C}$. Относительно канонической симплектической структуры в $T^*\mathbb{C}^N$ действие симметрической группы $S_N$ перестановками сомножителей является действием симплектоморфизмами. Это определяет соответствующую структуру на симметрическом произведении
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2=\mathbb{C}^{2N}/S_N.
\end{equation*}
\notag
$$
Проекция $\pi\colon\mathbb{C}^{2N} \to \operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2$ является накрытием, разветвленным вдоль алгебраического многообразия
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}=\{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\in (\mathbb{C}^2)^N\!\colon\det V(\boldsymbol{x})=0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство $\operatorname{Sym}^N \mathbb{C}^2=\operatorname{Sym}^N T^*\mathbb{C}$ представляет собой особое алгебраическое многообразие. Алгебраические функции на $\operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2$ можно отождествить с алгебраическими функциями на $(\mathbb{C}^2)^N$, инвариантными относительно действия группы $S_N$. Обозначим через $(\mathbb{C}^2)^{[N]}$ схему Гильберта $N$ точек на $\mathbb{C}^2$. Она является гладким симплектическим алгебраическим многообразием, параметризующим идеалы коразмерности $N$ в кольце полиномов $\mathbb{C}[x,y]$. В работе [22] вычислены числа Бетти многообразия $(\mathbb{C}^2)^{[N]}$. Проекция $(\mathbb{C}^2)^{[N]} \to \operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2$ дает разрешение особенностей. Полуалгебраическое многообразие $(\mathbb{C}^2)^N \setminus \mathcal{D}$ является $S_N$-инвариантным со свободным действием группы $S_N$. Рассмотрим гамильтонианы $H_k({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})$ системы типа Штеккеля (19). Предложение 7. Пересечение поверхностей уровня $H_k({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})\kern-0.8pt=\kern-0.8pt h_k$, $h_k\kern-0.8pt\in\kern-0.8pt\mathbb{C}$, $k=1,\dots,N$, является полуалгебраическим многообразием в $\mathbb{C}^{2N}$, которое $S_N$-инвариантно со свободным действием группы $S_N$. Согласно формализму гамильтоновой механики канонические преобразования симплектических многообразий задаются производящими функциями (см. [3], [34]). Преобразование $\mathcal{V}\colon \mathbb{C}^{N}\to \mathbb{C}^{N}$ (см. (8)) мы продолжаем до канонического преобразования $T^*\mathbb{C}^N \to T^*\mathbb{C}^N$ симплектического многообразия $T^*\mathbb{C}^N$. Предложение 8. Имеет место каноническое рациональное преобразование $\varphi\colon \mathbb{C}^{2N}\to\mathbb{C}^{2N}$ от координат $({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})$ к координатам $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, $\boldsymbol{q}=(q_1,\dots,q_N)$, $\boldsymbol{p}=(p_1,\dots,p_N)$, определяемое производящей функцией Преобразование $\varphi$ задается формулами Скобка Пуассона в новых переменных имеет вид Доказательство. Формула для $q_n$ очевидна. Выражение для $p_n$ получается из формулы умножением на матрицу $W$, обратную матрице Вандермонда. Предложение доказано. Предложение 9. Преобразование $\varphi$ разлагается в композицию разветвленного накрытия и бирационального изоморфизма Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе вытекает из существования диффеоморфизма $\widehat{\mathcal{V}}$ (см. (11)). Предложение доказано. Рассмотрим поле $\mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ рациональных функций от переменных $\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{y}$. Имеем $\mathbb{C}[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]\subset \mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$. Обозначим через $\mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})^{S_N}$ поле рациональных функций, инвариантных относительно действия группы $S_N$ на $\mathbb{C}^{2N}$, и через $\mathfrak{S}_N=\mathbb{C}[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]^{S_N}$ кольцо инвариантных полиномов. Отождествим, как обычно, поле $\mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})^{S_N}$ с полем рациональных функций на $\operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2$, а кольцо $\mathbb{C}[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]^{S_N}$ с кольцом полиномов на $\operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2$. Нетрудно проверить, что для любых $\Phi_1$ и $\Phi_1$ из $\mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})^{S_N}$ скобка Пуассона
$$
\begin{equation}
\{\Phi_1,\Phi_2\}= \langle\nabla_{\boldsymbol{y}}\Phi_1,\nabla_{\boldsymbol{x}}\Phi_2\rangle- \langle \nabla_{\boldsymbol{x}}\Phi_1,\nabla_{\boldsymbol{y}}\Phi_2\rangle
\end{equation}
\tag{23}
$$
задает $S_N$-инвариантную функцию. Более того, если $\Phi_1$ и $\Phi_1$ принадлежат кольцу $\mathfrak{S}_N$, то и $\{ \Phi_1,\Phi_2 \} \subset \mathfrak{S}_N$. Известно (см., например, [27]), что кольцо $\mathfrak{S}_N$ изоморфно факторкольцу кольца полиномов от $\mathrm{s}_{n,m}$ по идеалу сизигий $J_N$. Изоморфизм задается отображением
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \phi \colon \mathbb{C}[\mathrm{s}_{n,m};0< n+m\leqslant N,\ m,n\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}]/J_N\to \mathfrak{S}_N, \\ \phi\colon \mathrm{s}_{n,m}\mapsto \mathfrak{n}_{n,m}= \sum_{i=1}^N x_i^n y_i^m. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Полиномы $\mathfrak{n}_{n,m}$ называют мультисимметрическими полиномами Ньютона или, короче, 2-полиномами Ньютона. Образующие идеала $J_N$ описаны в [13] в терминах 2-гомоморфизмов Фробениуса $\mathbb{C}[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}] \to \mathbb{C}$. Пусть $\mathbb{C}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ – поле рациональных функций на $\mathbb{C}^{2N}$ в координатах $\boldsymbol{q}$, $\boldsymbol{p}$. Бирациональная эквивалентность $\widehat\varphi \colon \operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2 \to\mathbb{C}^{2N}$ индуцирует изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\varphi\colon \mathbb{C}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}) \to \mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})^{S_N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\mathfrak{n}_{k,0}=\mathfrak{n}_{k}=\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i^k$. Далее нам потребуется следующий результат, доказательство которого мы приведем, следуя работе [14]. Предложение 10. Имеет место формула Доказательство. Пусть $\boldsymbol{c}_1,\dots,\boldsymbol{c}_{N+1}$ – вектор-столбцы матрицы $M$. Заменим первый столбец $\boldsymbol{c}_1$ на столбец
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{c}_1-e_1\boldsymbol{c}_2+\cdots+(-1)^N e_N\boldsymbol{c}_{N+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что от такой замены детерминант матрицы $M$ не изменится. Согласно классической формуле Ньютона (см. [36]) мы получаем, что в первом вектор-столбце новой матрицы первые $N$ координат равны нулю, а последняя равна $N!\,E(x;\boldsymbol{x})$. Предложение доказано. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{N}_N(t;\boldsymbol{x})=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\mathfrak{n}_{k}(x)t^k\quad\text{и}\quad \widehat E(t;\boldsymbol{x})=\prod_{i=1}^N (1-x_it).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеет место формула $\ln \widehat E(t;\boldsymbol{x})=-\mathcal{N}_N(t;\boldsymbol{x})$. Из предложения 10 получаем следующее утверждение. Следствие 11. В кольце $\mathbb{C}[\boldsymbol{x}]^{S_N}[[t]]$ ряд $\mathcal{N}_N(t;\boldsymbol{x})$ задается формулой Введем ряд
$$
\begin{equation}
\mathcal{N}(t;\boldsymbol{q})=\sum_{k=1}^\infty q_{k}(\boldsymbol{q})t^k \in \mathbb{C}[\boldsymbol{q}][[t]]
\end{equation}
\tag{25}
$$
такой, что $\widehat\varphi^*\mathcal{N}(t;\boldsymbol{q})= \mathcal{N}_N(t;\boldsymbol{x})$. Согласно следствию 11 мы имеем $\mathcal{N}(t;\boldsymbol{q})=-\ln\mathcal{M}_N(t;\boldsymbol{q})$, где
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}_N(t;\boldsymbol{q})=\frac{1}{N!}\det\begin{vmatrix} q_1&1&0&\dots&0&0 \\ 2q_2&q_1&2&\dots&0&0 \\ \vdots&\vdots&\vdots& \dots &\vdots&\vdots \\ N q_{N}& (N-1)q_{N-1}&(N-2)q_{N-2}&\dots&q_1& N \\ 1 &t&t^{2}&\dots&t^{N-1}& t^N \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Теорема 12. Образ кольца $\mathbb{C}[\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}]$ содержит кольцо $\mathfrak{S}_N$, иными словами, любой $S_N$-симметрический полином от переменных $\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{y}$ представляется в виде полинома от переменных $\boldsymbol{q}$, $\boldsymbol{p}$. Доказательство. По определению координат $q_k$ имеем
$$
\begin{equation}
\widehat\varphi^* q_k=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^N x_i^k,\qquad k=1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Согласно классическим результатам (см. [36]) полиномы $\widehat\varphi^* q_1,\dots,\widehat\varphi^* q_N$ алгебраически независимы и образуют мультипликативный базис кольца $\mathbb{C}[\boldsymbol{x}]^{S_N}$, а гомоморфизм $\widehat\varphi^*\colon \mathbb{C}[\boldsymbol{q}] \to \mathbb{C}[\boldsymbol{x}]^{S_N}$ является изоморфизмом. Следовательно, любой симметрический полином от $\boldsymbol{x}$ принадлежит образу кольца $\mathbb{C}[\boldsymbol{q}]$. В частности, $\mathfrak{n}_{k,0} \in \operatorname{Im}\widehat\varphi^*$. Из определения преобразования $\widehat\varphi^*$ (см. (21)) мы имеем, что $\widehat\varphi^*p_k=\displaystyle\sum_{i=1}^N W_{k,i}y_i$. Следовательно, Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^N y_i=\sum_{n=1}^N\biggl(\,\sum_{i=1}^N x_i^{n-1}\biggr) \widehat\varphi^* p_n=\widehat\varphi^*\biggl(N p_1+\sum_{n=2}^N (n-1)q_{n-1}p_n\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, согласно (28) мы имеем
$$
\begin{equation}
x_i^n y_i^m=\sum_{\boldsymbol{m}\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}^N} \frac{m!\,\delta\bigl(m-\sum_{j=1}^N m_j\bigr)}{m_1!\cdots m_N!}\, x_i^{\alpha_{n,\boldsymbol{m}}}\widehat\varphi^*(p_1^{m_1}\cdots p_N^{m_N}),
\end{equation}
\tag{29}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \delta(k)=0,\quad\text{если}\quad k\ne 0,\quad\text{и}\quad \delta(0)=1, \\ \boldsymbol{m}=(m_1,\dots,m_N),\qquad m_k\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}, \\ \alpha_{n,\boldsymbol{m}}=n+\sum_{j=1}^{N-1}jm_{j+1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^N x_i^n y_i^m= \widehat\varphi^*\biggl(Np_1^m \delta (n) +\sum_{\boldsymbol{m}\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}^N}\! \frac{m!\,\delta\bigl(m-\sum_{j=1}^N m_j\bigr)}{m_1!\cdots m_N!}\, \alpha_{n,\boldsymbol{m}}q_{\alpha_{n,\boldsymbol{m}}}(\boldsymbol{q}) p_1^{m_1}\cdots p_N^{m_N}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\mathfrak{n}_{n,m} \in \widehat\varphi^*\mathbb{C}[\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}]$ для всех $n,m\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Теорема доказана. Кольцо $\widehat\varphi^*\mathbb{C}[\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}]\subset \mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})^{S_N}$ шире кольца инвариантных полиномов
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}=\mathbb{C}[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]^{S_N} \subset \mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})^{S_N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Например, $\widehat\varphi^*(p_k)=\displaystyle\sum_{i=1}^N W_{k,i} y_i$ является инвариантной рациональной функцией и не принадлежит кольцу $\mathfrak{S}$. Наше доказательство теоремы 12 является конструктивным и дает явное полиномиальное обращение бирациональной эквивалентности $\widehat\varphi \colon \operatorname{Sym}^N\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^{2N}$. Для любого полинома $F(x,y) \in \mathbb{C}[x,y]$ мы вводим $N$ функций
$$
\begin{equation*}
H_n(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})= \sum_{i=1}^N W_{n,i}(\boldsymbol{x})F(x_i,y_i),\qquad n=1,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $H_n(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ рациональны по $\boldsymbol{x}$, полиномиальны по $\boldsymbol{y}$ и согласно лемме 3 являются $S_N$-симметричными. Следовательно, определены рациональные функции $\mathcal{H}_n(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ такие, что $\widehat\varphi^* \mathcal{H}_n(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})= H_n(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$. Следующий результат является одним из ключевых в нашей работе. Теорема 13. Пусть $F(x,y) \in \mathbb{C}[x,y]$. Тогда однозначно определены полиномы $\mathcal{H}_n(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ такие, что где $H_n(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})= \displaystyle\sum_{i=1}^N W_{n,i}(\boldsymbol{x})F(x_i,y_i)$, $n=1,\dots,N$. Доказательство. Ввиду линейности конструкции функций $\mathcal{H}_n(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, достаточно проверить утверждение теоремы для мономов $x^ny^m$, $n\geqslant 0$, $m\geqslant 0$. Рассмотрим сначала мономы $x^k$, $k\geqslant 0$. По определению $\varphi^*q_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i^n$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial x_i}=\sum_{n=1}^N x_i^{n-1}\frac{\partial}{\partial q_n}\,,\qquad i=1,\dots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial q_n}=\sum_{i=1}^N W_{n,i} \frac{\partial}{\partial x_i}\,,\qquad n=1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
H_n(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y};x^{k-1})= \sum_{i=1}^N W_{n,i}(\boldsymbol{x}) x_i^{k-1}= \widehat\varphi^*\,\frac{\partial q_{k}(\boldsymbol{q})}{\partial q_n} \in {\mathbb{C}}[\boldsymbol{q}],
\end{equation*}
\notag
$$
где $n=1,\dots,N$ и $k\in \mathbb{N}$. Таким образом, для всех полиномов $x^k$ утверждение теоремы доказано. Обращаем внимание, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_n(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p};x^{k-1})=\delta_{n,k}, \qquad 1\leqslant k\leqslant N.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Перейдем к общему случаю. Зададим в кольце $\mathbb{C}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ структуру $\mathbb{C}[\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}]$-модуля, используя мономорфизм $\varphi^*$, т. е. будем рассматривать $\varphi^*$ как гомоморфизм $\mathbb{C}[\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}]$-модулей. Имеем $y_j=\displaystyle\sum_{n=1}^N p_n x_j^{n-1}$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
x_j^r y_j^s=x_j^r\biggl(\,\sum_{n=1}^N p_n x_j^{n-1}\biggr)^s= \sum_{k\geqslant r}g_k(\boldsymbol{p})x_j^k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $g_k(\boldsymbol{p})$ – полиномы от $p_1,\dots,p_N$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_n(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p};x^ry^s)= \sum_{j=1}^N W_{n,j} \sum_{k\geqslant r}g_k(\boldsymbol{p})x_j^k= \sum_{k\geqslant r}g_k(\boldsymbol{p}) \mathcal{H}_n(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p};x^{k+1})\in \mathbb{C}[\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}].
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Пусть $F(x,y) \in \mathbb{C}[x,y]$, $\partial_y F(x,y)\ne 0$ и
$$
\begin{equation*}
\varphi^*\mathcal{H}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})= \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})= W\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})= \bigl(F(x_1,y_1),\dots,F(x_N,y_N)\bigr),\quad \mathcal{H}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})= \bigl(\mathcal{H}_1(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}),\dots, \mathcal{H}_N(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из предложения 4 получаем следующий результат. Теорема 14. Полиномы $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, $k=1,\dots,N$, коммутируют, т. е. и функционально независимы. Пусть $\mathcal{G}$ – полуалгебраическое многообразие в $\mathbb{C}^{2N}$ с координатами $\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{y}$ (см. предложение 7). Следствие 15. (i) Полиномы $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, $k=1,\dots,N$, определяют $N$ коммутирующих гамильтоновых систем в $\mathbb{C}^{2N}$ (ii) Пересечение полиномиальных поверхностей уровня гамильтонианов
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})=h_k, \qquad h_k\in\mathbb{C}, \quad k=1,\dots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
является образом многообразия $\mathcal{G} \subset \mathbb{C}^{2N}$ при отображении $\varphi\colon \mathbb{C}^{2N} \to \mathbb{C}^{2N}$ и диффеоморфно фактору $\mathcal{G}/S_N$ многообразия $\mathcal{G}$ (см. предложение 7) по свободному действию группы $S_N$. Из теории интегрируемых систем в $\mathbb{R}^{2N}$ (см. [4; гл. 5]) и в $\mathbb{C}^{2N}$ (см. [2]) следует, что все гамильтоновы системы из следствия 15 полностью интегрируемы в квадратурах. Обратим внимание, что в полученных результатах мы не накладываем никаких условий на род кривой
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\biggl\{(x,y)\in\mathbb{C}^{2}\colon F(x,y)= \sum_{k=1}^N h_k x^{k-1}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и не требуем, чтобы кривая $\Gamma$ была регулярной. Предложение 16. Все $N$ гамильтоновых систем в иерархии (32) можно записать, используя только один гамильтониан $\mathcal{H}_N(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$: Доказательство. Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{A}}_k=\sum_{n=0}^{k}(-1)^n e_{n}\Phi^{k-n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
V\widehat{\mathcal{A}}_k W=\sum_{n=0}^{k}(-1)^n e_{n}(V\Phi W)^{k-n}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Из определения матриц $V$, $\Phi$, $W$ и тождества $E(x_i;\boldsymbol{x})=0$ (см. (12)) следует, что где $\operatorname{diag}\boldsymbol{x}$ – диагональная матрица, у которой $i$-й диагональный элемент равен $x_i$. Следовательно, согласно (35) имеет место формула
$$
\begin{equation*}
V\widehat{\mathcal{A}}_k W=\operatorname{diag}\boldsymbol{b}_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\boldsymbol{b}_k=(b_{k1},\dots,b_{kN})$ и Покажем, что $b_{ki}=(-1)^{k-1}\,\dfrac{\partial e_{k}}{\partial x_i}$ . Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}=\mathcal{E}(\tau;\boldsymbol{x})= 1-\tau e_1+\cdots+(-1)^N\tau^N e_N.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}=\prod_{j=1}^N(1-x_j\tau),\qquad \ln\mathcal{E}=\sum_{j=1}^N\ln(1-x_j\tau).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\frac{\partial e_{1}}{\partial x_i}\,\tau+\cdots+ (-1)^k\,\frac{\partial e_{k}}{\partial x_i}\,\tau^k+\cdots+ (-1)^N\,\frac{\partial e_{N}}{\partial x_i}\,\tau^N&= -\frac{\tau}{1-x_i\tau}\mathcal{E} \\ &=-\tau\mathcal{E}(\tau)(1+x_i\tau+\cdots). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая коэффициенты при $\tau^k$, получаем формулу
$$
\begin{equation}
b_{ki}=(-1)^{k-1}\,\frac{\partial e_{k}}{\partial x_i}\,.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Используя тот факт, что преобразование $\widehat\varphi\colon \operatorname{Sym}^N(\mathbb{C}^2)\to\mathbb{C}^{2N}$ является бирациональной эквивалентностью, и формулу $\varphi^* (\mathcal{A}_k(\boldsymbol{q}))=WA_k(\boldsymbol{x})V$ (см. предложение 16), получаем утверждение теоремы. 3. Гиперэллиптические функцииДадим краткий обзор определений и результатов теории гиперэллиптических функций, которые потребуются далее. Детали см. в [6]–[11]. Введем семейство гиперэллиптических кривых
$$
\begin{equation}
\Gamma_\lambda=\{(x,y)\in\mathbb{C}^2\colon y^2=4f(x,\lambda)\},
\end{equation}
\tag{39}
$$
где
$$
\begin{equation*}
f(x,\lambda)=x^{2g+1}+\sum_{k=2}^{2g+1}\lambda_{2k}x^{2g-k+1}= \prod_{i=1}^{2g+1}(x-\alpha_i)\quad\text{и}\quad \sum_{i=1}^{2g+1}\alpha_i=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим пространство $\mathbb{C}^{2g}$ с координатами $\lambda=(\lambda_4,\dots,\lambda_{4g+2})$. Положим
$$
\begin{equation*}
D(V_\lambda)=\prod_{i>j}(\alpha_i-\alpha_j)^2\in \mathbb{C}[\lambda].
\end{equation*}
\notag
$$
Дискриминантное многообразие $\mathcal{D}(\Gamma_\lambda)\subset\mathbb{C}^{2g}$ семейства $\Gamma_\lambda$ задается уравнением $D(\Gamma_\lambda)=0$. Кривая $\Gamma_\lambda$ является неособой и имеет род $g$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\lambda\in \mathcal{B}=\mathbb{C}^{2g}\setminus\mathcal{D}(\Gamma_\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом разделе мы будем иметь дело только с неособыми кривыми $\Gamma_\lambda$. В тех случаях, когда это возможно, мы будем кривую $\Gamma_\lambda$, $\lambda\in \mathcal{B}$, обозначать просто $\Gamma$. Выполнив замену переменных $(x,y) \to \bigl(\xi^{-2},2\xi^{-(2g+1)}\rho(\xi)\bigr)$, получаем равенство $\rho^2(\xi)=1+\widetilde\rho(\xi)$, где
$$
\begin{equation*}
\widetilde\rho(\xi)=\lambda_4\xi^4+\cdots+\lambda_{4g+2}\xi^{4g+2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
U_{\lambda}=\{\xi\in\mathbb{C}\colon \widetilde\rho(\xi)<1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В окрестности $U_{\lambda}$ ряд $\rho(\xi)=(1+\widetilde\rho(\xi))^{1/2}$ сходится равномерно. Таким образом, переменную $\xi\in\mathbb{C}$ можно взять в качестве локальной координаты в окрестности $\mathcal{C}_\lambda\subset \Gamma_\lambda$ точки $\infty=(+\infty,+\infty)\in \Gamma_\lambda$, где $\mathcal{C}_\lambda$ – образ окрестности $U_{\lambda}$ при гомеоморфизме $U_{\lambda}\to \mathcal{C}_\lambda \colon \xi \mapsto (x,y)$. Введем в $\mathcal{C}_\lambda$ функции
$$
\begin{equation*}
u_i({x},{y})=\int_{\infty}^{({x},{y})}x^{i-1}\,\frac{\mathrm{d}x}{y}\,,\qquad i=1,\dots,g.
\end{equation*}
\notag
$$
В $U_{\lambda}$ получаем функции
$$
\begin{equation*}
u_i(\xi )= -\int_{0}^{\xi}\xi^{2(g-j)}\,\frac{\mathrm{d}\xi}{\rho(\xi)}= -\frac{1}{2(g-i)+1}\,\xi^{2(g-i)+1}\bigl(1+O(\xi^4)\bigr),\qquad i=1,\dots,g.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее символ Ландау $O(f(\xi))$ используется в обычном смысле, т. е. обозначает слагаемое вида $f(\xi)F(\xi)$, где $F(\xi)$ – функция, голоморфная в точке $\xi=0$. Далее нам потребуются также функции в $\mathcal{C}_\lambda$:
$$
\begin{equation*}
r_g(x,y)=\int_{\infty}^{(x,y)}x^g\,\frac{\mathrm{d}x}{y}\,,\qquad g\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и при $g>1$ функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_j(x,y)&=\int_{\infty}^{(x,y)}\biggl((2(g-j)+1)x^{2(g-j)} \\ &\qquad+\sum_{i=2}^{2(g-j)}(2(g-j)+1-i)\lambda_{2i}x^{2(g-j)-i}\biggr) x^j\,\frac{\mathrm{d}x}{y}\,,\qquad j=1,\dots,g-1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В $U_{\lambda}$ получаем функции
$$
\begin{equation*}
r_j(\xi)=\frac{\rho(\xi)}{\xi^{2(g-j)+1}}-\xi^{2(g-j)+3} \biggl(\frac{\lambda_{4(g-j+1)}}{2(g-j)+3}+O(\xi^2)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $u_i(x,y)$ и $r_i(x,y)$, $i=1,\dots,g$, линейно независимы. Следовательно, их дифференциалы $\mathrm{d}u_i(x,y)$ и $\mathrm{d}r_i(x,y)$, $i=1,\dots,g$, образуют базисы абелевых дифференциалов первого и второго рода на кривой $\Gamma_\lambda$ соответственно. По построению функции $u_i(x,y)$ и $r_i(x,y)$, $i=1,\dots,g$, являются однозначными в области $\mathcal{C}_\lambda\subset \Gamma_\lambda$. Их продолжение на всю кривую $\Gamma_\lambda$ приводит к многозначным функциям, которые становятся однозначными при переходе к соответствующему накрытию кривой. Обозначим через $\mathcal{W}_\lambda$ универсальное абелево накрытие кривой $\Gamma_\lambda$, т. е. пространство пар $\mathcal{W}_\lambda=\{((x,y),[\gamma])\}$, где $(x,y)\in \Gamma_\lambda$ и $\gamma$ – путь на $\Gamma_\lambda$ из точки $\infty$ в точку $(x,y)$, принадлежащий классу $[\gamma]$ эквивалентности путей. Напомним, что пути $\gamma'$ и $\gamma''$ считаются абелево эквивалентными, когда замкнутый путь, идущий от $\infty$ до $(x,y)$ вдоль $\gamma'$ и возвращающийся к начальной точке вдоль $\gamma''$, гомологичен нулю. Значения интегралов $u_i(x,y)$ и $r_i(x,y)$, $i=1,\dots,g$, не зависят от выбора представителя класса $[\gamma]$. В группе гомологий $H_1(\Gamma_\lambda;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^{2g}$ замкнутых ориентированных путей на $\Gamma_\lambda$ выберем базис циклов $\gamma_1,\dots,\gamma_{2g}$, каждый из которых задается замкнутой гладкой кривой без самопересечений, причем циклы $\gamma_i$ и $\gamma_j$ не пересекаются, если $|j-i|\ne g$, а циклы $\gamma_i$ и $\gamma_{i+g}$ пересекаются трансверсально в единственной точке $(a_i,b_i)\in \mathcal{C}_{\lambda}$. Выберем ориентацию базисных циклов $\gamma_1,\dots,\gamma_{2g}$ таким образом, чтобы их матрица пересечения была симплектической, т. е.
$$
\begin{equation*}
J_{i,j}=\gamma_i\circ\gamma_j=\operatorname{sign}(j-i)\,\delta_{g,|j-i|},\qquad i,j=1,\dots,2g,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_{k,l}$ – символ Кронекера. Зафиксируем в области $\mathcal{C}_{\lambda}$ систему гладких, без самопересечений путей $\beta_{i}$, $i=1,\dots,g$, с единственной общей начальной точкой $\infty$, оканчивающихся соответственно в точках $(a_i,b_i)$, $i=1,\dots,g$, и таких, что путь $\beta_i$ не имеет других общих точек с базисными циклами $\gamma_1,\dots,\gamma_{2g}$ кроме своей конечной точки $(a_i,b_i)$. Введем $(g \times g)$-матрицы полупериодов $\omega$, $\omega'$, $\eta$, $\eta'$ с матричными элементами
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \omega_{i,j}&=\frac{1}{2}\oint_{\gamma_j}\mathrm{d}u_i(x,y),&\qquad \omega'_{i,j}&=\frac{1}{2}\oint_{\gamma_{g+j}}\mathrm{d}u_i(x,y), \\ \eta_{i,j}&=-\frac{1}{2}\oint_{\gamma_j}\mathrm{d}r_i(x,y),&\qquad \eta'_{i,j}&=-\frac{1}{2}\oint_{\gamma_{g+j}}\mathrm{d}r_i(x,y), \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $i,j=1,\dots,g$. Используя данное выше описание базисных дифференциалов и базисных циклов, мы получаем следующее. 1Выполняется тождество Лежандра
$$
\begin{equation*}
\Omega J \Omega^\top=\frac{1}{2}\pi\imath J, \qquad\text{где}\quad \Omega=\begin{pmatrix} \omega&\omega' \\ \eta&\eta' \end{pmatrix}, \quad J=\begin{pmatrix} \hphantom{-}0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}, \quad \imath^2=-1.
\end{equation*}
\notag
$$
2Матрицы $\omega$ и $\eta$ неособые, а матрицы $\tau_\omega=\omega^{-1}\omega'$ и $\tau_\eta=\eta^{-1}\eta'$ – симметричные с положительно определенными мнимыми частями. Пусть $(u_1,\dots,u_g)$ – координаты в $\mathbb{C}^{g}$. Введем в двойственном пространстве $(\mathbb{C}^{g})^{*}= \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}^g,\mathbb{C})$ координаты $(r_1,\dots,r_g)$ и отождествим это пространство с $\mathbb{C}^{g}$ при помощи билинейного спаривания С кривой $\Gamma$ связаны следующие главнополяризованные абелевы многообразия:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Jac}\Gamma=\mathbb{C}^g/L\quad\text{и}\quad \operatorname{Jac}^{*}\Gamma=\mathbb{C}^g/L^{*},
\end{equation*}
\notag
$$
где $L$ – это $\mathbb{Z}^{2g}$-решетка в $\mathbb{C}^g$, порожденная столбцами матрицы $(2\omega,2\omega')$, а $L^{*}$ – это $\mathbb{Z}^{2g}$-решетка в $\mathbb{C}^g$, порожденная столбцами матрицы $(2\eta,2\eta')$. Многообразие $\operatorname{Jac}\Gamma$ называется якобианом кривой $\Gamma$. Формулы
$$
\begin{equation*}
A(x,y)=(u_1(x,y),\dots,u_g(x,y))^\top\quad\text{и}\quad A^{*}(x,y)=(r_1(x,y),\dots,r_g(x,y))^\top
\end{equation*}
\notag
$$
задают соответственно голоморфное вложение $A\colon \Gamma\to \operatorname{Jac} \Gamma$, которое называется отображением Абеля, и мероморфное отображение $A^{*}\colon \Gamma\to \operatorname{Jac}^{*}\Gamma$. В локальных координатах имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{\xi\to 0}A_{i}(\xi)=0\quad\text{и}\quad \lim_{\xi\to 0}A^{*}_{i}(\xi)=\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
однако
$$
\begin{equation*}
\lim_{\xi\to 0}A^{*}_{i}(\xi)A_{i}(\xi)=-\frac{1}{2(g-i)+1}\,,\qquad i=1,\dots,g.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображения $A$ и $A^{*}$ индуцируют накрывающие их отображения $\mathcal{W}\to\mathbb{C}^{g}$ и $\mathcal{W}^*\to(\mathbb{C}^{g})^{*}$, которые мы будем обозначать теми же символами $A$ и $A^{*}$. Образы индуцированных отображений обозначим через $A(\mathcal{W})$ и $A^{*}(\mathcal{W})$. Таким образом, по определению
$$
\begin{equation*}
A((x,y),[\gamma])=\int_{\gamma}\mathrm{d}A(x,y),\qquad A^{*}((x,y),[\gamma])=\int_{\gamma}\mathrm{d}A^{*}(x,y),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{d}A(x,y)=(\mathrm{d}u_1(x,y),\dots,\mathrm{d}u_g(x,y))^\top$ и $\mathrm{d}A^{*}(x,y)=(\mathrm{d}r_1(x,y),\dots,\mathrm{d}r_g(x,y))^\top$. Пусть $\chi$ – цикл, т. е. замкнутый ориентированный путь, проходящий через точку $\infty$. Положим
$$
\begin{equation*}
A[\chi]=A(\infty,[\chi])=\oint_{\chi}\mathrm{d}A(x,y)\quad\text{и}\quad A^*[\chi]=A^*(\infty,[\chi])=\oint_{\chi}\mathrm{d}A^*(x,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть векторы $k,k'\in\mathbb{Z}^{g}$ задают разложение цикла $\chi$ по базисным циклам, т. е. где, как обычно, для замкнутого пути $\chi$ путь $-\chi$ есть тот же путь, но в обратном направлении. Тогда
$$
\begin{equation*}
A[\chi]=2\omega k+2\omega k', \qquad A^{*}[\chi]=-2\eta k-2\eta k'.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\ell=(1,1,\dots,1)$ и $\ell'=(g,g-1,\dots,1)$. Определение 18. Гиперэллиптической сигма-функцией, ассоциированной с кривой $\Gamma$, будем называть целую функцию на $\mathbb{C}^g$, обладающую свойством В работах В. М. Бухштабера, Д. В. Лейкина и В. З. Энольского построена теория гиперэллиптических функций, в которой важную роль играет градуировка переменных и параметров. Положим
$$
\begin{equation*}
\deg \xi=-1,\quad \deg x=2,\quad \deg y=2g+1,\quad \deg \lambda_{2k}=2k.
\end{equation*}
\notag
$$
В этой градуировке полином $F(x,y)=y^2-f(x,\lambda)$ является однородным степени $4g+2$. Функции $u_i(\xi)$ и $r_j(\xi)$ задаются однородными рядами по $\xi$, где
$$
\begin{equation*}
\deg u_i(\xi)=2i-2g-1,\quad \deg r_i(\xi)=2g-2i+1,\qquad 1\leqslant i \leqslant g.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы будем использовать вектор переменных
$$
\begin{equation*}
\tau=(\tau_{2k-1},\ k=1,\dots,g),\quad\text{где}\quad \tau_{2k-1}=u_{g-k+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем $\deg\tau_{2k-1}=1-2k$. Теория и приложения одномерных и многомерных тета-функций широко известны (см., например, [18], [41]). В одномерном случае успешно используются эллиптические функции Вейерштрасса. Важные результаты о гиперэллиптических аналогах этих функций были получены Ф. Клейном (см. [29]). С самых первых работ в этом направлении многомерная сигма-функция строилась как модифицированная тета-функция. Целью модификации (проблема Ф. Клейна) было получение следующего фундаментального свойства, принципиально отличающего сигма-функции от тета-функций, которое мы приводим в современной формулировке. Теорема 19. Гиперэллиптическая сигма-функция $\sigma(\tau;\lambda)$ является целой функцией от $\tau\in \mathbb{C}^g$ и $\lambda\in \mathbb{C}^{2g}$, которая задается однородным рядом где $\tau^\omega=\tau_1^{i_1}\cdots \tau_{2g-1}^{i_g}$ и $p_\omega(\lambda)$ – однородный полином степени Нормируем сигма-функцию условием
$$
\begin{equation*}
\sigma(\tau_*,0)=\tau_1^{g(g+1)/2},\quad\text{где}\quad \tau_*=(\tau_1,0,\dots,0).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получаем (см. работу [11]), что функция $\sigma(\tau,0)$ совпадает с полиномом Адлера–Мозера (см. [1]). Определение 20. Гиперэллиптической функцией, ассоциированной с кривой $\Gamma$, называется мероморфная функция на якобиане $\operatorname{Jac}\Gamma$ кривой $\Gamma$. Из формулы (40) следует, что функции
$$
\begin{equation*}
\wp_{2k}(\tau;\lambda)=\wp_{2k}= -\frac{\partial^2}{\partial\tau_1\,\partial\tau_{2k-1}}\ln\sigma,\qquad k=1,\dots,g,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\wp_{2i-1,2k-1}(\tau;\lambda)=\wp_{2k-1,2i-1}(\tau;\lambda)= -\frac{\partial^2}{\partial\tau_{2i-1}\,\partial\tau_{2k-1}}\ln\sigma,\qquad 1<i\leqslant j\leqslant g,
\end{equation*}
\notag
$$
являются гиперэллиптическими. Введем универсальное расслоение $\pi\colon \mathcal{U}_g \to \mathcal{B}_g$ якобианов $J_\lambda=\operatorname{Jac}\Gamma_\lambda$ гиперэллиптических кривых. Рассмотрим коммутативную диаграмму в которой отображение $\varphi$ при фиксированном $\lambda\in \mathcal{B}_g$ является проекцией
$$
\begin{equation*}
\lambda\times \mathbb{C}^g \to \mathbb{C}^g/L_\lambda= \operatorname{Jac}\Gamma_\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\mathcal{F}=\mathcal{F}_g$ такое поле функций на $\mathcal{U}_g$, что для любой $f\in \mathcal{F}$ функция $\varphi^*(f)$ является мероморфной на $\mathcal{B}_g\times \mathbb{C}^g \subset\mathbb{C}^{3g}$ и для любых $u \in \mathbb{C}^g$ и $2\Omega \in L_\lambda$. Положим $\partial_{2k-1}=\dfrac{\partial}{\partial \tau_{2k-1}}$ и $f'=\dfrac{\partial}{\partial \tau_1}f$. Пусть $\omega=(k_1,\dots,k_s;j_1,\dots,j_s)$, где $1\leqslant k_1< \dots < k_s$, $1\leqslant s\leqslant g$, $j_q> 0,q=1,\dots,s$, $j_1+\cdots+j_s\geqslant 2$, и
$$
\begin{equation*}
\wp_\omega=\wp_\omega(\tau)=-\partial^{j_1}_{2k_1-1} \cdots \partial^{j_s}_{2k_s-1} \ln\sigma(\tau).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя введенную выше градуировку, мы получаем, что гиперэллиптические функции $\wp_\omega$ задаются однородными рядами и Обозначим через $\mathcal{P}$ подалгебру в поле $\mathcal{F}$, порожденную функциями $\wp_\omega$ для всех $\omega$. Из общей теории абелевых функций следует, что $\mathcal{F}$ является полем частных алгебры $\mathcal{P}$. Теорема 21. Все алгебраические соотношения между гиперэллиптическими функциями $\wp_\omega$ порождаются следующими однородными соотношениями: Следствие 22. Для всех $g\geqslant 1$ имеют место следующие соотношения. (i) Полагая $i=1$ в (41), получаем (ii) Полагая $i=2$ в (41), получаем (iii) Полагая $i=k=1$ в (42), получаем Так как $\wp_{2i}'=\partial_{2i-1}\wp_{2}$, то из (43) получаем следующее утверждение. Следствие 23. Для любого $g>1$ функция $u=2\wp(\tau)$ удовлетворяет уравнению КдФ В случае $g=1$ функция $u$ удовлетворяет стационарному уравнению КдФ Теорема 25. (i) Проекция универсального расслоения $\pi_g\colon \mathcal{U}_g \to \mathcal{B}_g \subset \mathbb{C}^{2g}$ задается полиномиальным отображением (ii) Уравнения $\pi^*_g(\lambda_{2k})= \lambda_{2k}(\mathfrak{P}_1,\dots,\mathfrak{P}_g)=\lambda_{2k}={\rm const}$ задают слой $\operatorname{Jac}\Gamma_\lambda$ расслоения над точкой $\lambda$. Пример 3.2. Пусть $g\geqslant 1$. Тогда: (a) из уравнения (43) получаем где $\wp_{3,3}=3(\wp_2\wp_4+\wp_6)-\wp''_4/2$.Приводимая ниже теорема является обобщением теоремы Б. А. Дубровина и С. П. Новикова (см. [20]) об унирациональности пространства универсального расслоения якобианов гиперэллиптических кривых. Рассмотрим пространство $\mathbb{C}^{3g}$ с координатами $\mathfrak{X}_1,\dots,\mathfrak{X}_g$, где
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{X}_q=(x_{2q,0},x_{2q,1},x_{2q,2}),\qquad \deg x_{2q,i}=2q+i,\quad i=0,1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
и пространство $\mathbb{C}^{2g}$ с координатами $\lambda_4,\dots,\lambda_{4g+2}$, $\deg \lambda_{2k}=2k$. Положим Теорема 26. (i) Имеют место однородные полиномиальные отображения $\psi\colon \mathcal{U}_g \to \mathbb{C}^{3g}$ и $p_g\colon \mathbb{C}^{3g} \to \mathbb{C}^{2g}$ такие, что коммутативна диаграмма где $i\colon \mathcal{B}\to \mathbb{C}^{2g}$ – каноническое вложение. Отображение $\psi$ определяется тем, что гомоморфизм $\psi^*\colon A\to \mathcal{F}$ задает изоморфизм $A\to\mathcal{P}$, а отображение $p_g$ определяется отображением $\psi$ согласно коммутативности диаграммы. (ii) Для каждого $\lambda_* \in \mathcal{B}_g$ композиция задает униформизацию афинного алгебраического многообразия в $\mathbb{C}^{3g}$, заданного системой уравнений $\lambda_{2k}(\mathfrak{P}_1,\dots,\mathfrak{P}_g)=\lambda_{*,2k}$, $k=2,\dots,2g+1$.Следствие 27. Для любого $g\geqslant 1$ семейство неособых гиперэллиптических кривых задает в $\mathbb{C}^{3g}$ иерархию из $g$ совместных полиномиальных динамических систем, которые имеют $2g$ общих полиномиальных интегралов и интегрируются набором гиперэллиптических функций $\mathfrak{P}_1,\dots,\mathfrak{P}_g$. Пример 3.3. При $g=2$ в пространстве $\mathbb{C}^{6}$ с координатами мы имеем иерархию из двух совместных динамических систем. Система I:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} x'_{2,0}&=x_{2,1},&\quad x'_{2,1}&=x_{2,2},&\quad x'_{2,2}&=4(x_{2,0}x_{2,1}+x_{4,1}), \\ x'_{4,0}&=x_{4,1},&\quad x'_{4,1}&=x_{4,2},&\quad x'_{4,2}&=4(2x_{2,0}x_{4,1}+x_{2,1}x_{4,0}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Для описания системы II используем тот факт, что операторы, задающие системы I и II, коммутируют, т. е. что $(f')^\cdot=(f^\cdot)'$. Система II:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \dot x_{2,0}&=x_{4,1},&\quad \dot x_{2,1}&=x'_{4,1},&\quad \dot x_{2,2}&=4(2x_{2,0}x_{4,1}+x_{2,1}x_{4,0}), \\ \dot x_{4,0}&=x_{2,1}x_{4,0}-x_{2,0}x_{4,1},&\quad \dot x_{4,1}&=(\dot x_{4,0})',&\quad \dot x_{4,2}&=(\dot x_{4,0})''. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Системы I и II имеют четыре общих полиномиальных интеграла
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_4&=\frac{1}{2}\bigl(x_{2,2}-6x_{2,0}^2-4x_{4,0}\bigr), \\ \lambda_6&=-\frac{1}{4}\bigl[2x_{2,0}(x_{2,2}+4x_{4,0})- 8x_{2,0}^3-x_{2,1}^2-2x_{4,2}\bigr], \\ \lambda_8&=-\frac{1}{2}\bigl(x_{2,0}x_{4,2}+x_{2,2}x_{4,0}- 8x_{2,0}^2x_{4,0}-2x_{4,0}^2-x_{2,1}x_{4,1}\bigr), \\ \lambda_{10}&=\frac{1}{4}\bigl(8x_{2,0}x_{4,0}^2- 2x_{4,0}x_{4,2}+x_{4,1}^2\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обратим внимание, что координаты $x_{2,2}$ и $x_{4,2}$ выражаются через остальные координаты в виде полиномов с коэффициентами, зависящими от $\lambda_4$ и $\lambda_6$. Следовательно, при фиксированных $\lambda_4$ и $\lambda_6$ системы I и II эквивалентны совместным полиномиальным динамическим системам в $\mathbb{C}^4$ с координатами $x_{2,0}$, $x_{2,1}$, $x_{4,0}$ и $x_{4,1}$. Так как эти системы имеют два общих полиномиальных гамильтониана со значениями $\lambda_8$ и $\lambda_{10}$, то они интегрируются в квадратурах. В случае, когда кривая $\Gamma_\lambda$ неособая, обе системы интегрируются набором гиперэллиптических функций
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{P}_2(\tau_1,\tau_{3})=(\wp_2,\wp'_2,\wp''_2)\quad\text{и}\quad \mathfrak{P}_4(\tau_1,\tau_{3})=(\wp_4,\wp'_4,\wp''_4).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя соотношения (41) и (42), можно показать, что иерархии из $g$ совместных полиномиальных динамических систем в $\mathbb{C}^{3g}$ (см. следствие 27) при фиксированных значениях параметров $\lambda_4,\dots,\lambda_{2g+2}$ эквивалентны иерархиям из $g$ совместных полиномиальных динамических систем в $\mathbb{C}^{2g}$ с координатами $x_{2,0},x_{2,1},\dots,x_{2g,0},x_{2g,1}$ и $g$ общими гамильтонианами со значениями $\lambda_{2g+4},\dots,\lambda_{4g+2}$. Далее, в разделе 7, будет показано, что эти параметрические семейства динамических систем совпадают с нашими интегрируемыми полиномиальными динамическими системами, построение которых не использует теорию гиперэллиптических функций. Координатное кольцо $\Lambda=\Lambda_g=\mathbb{C}[\lambda_4,\dots,\lambda_{4g+2}]$ пространства параметров $\mathcal{B}_g$ можно отождествить с его образом в кольце $\mathcal{F}_g$ при гомоморфизме $\pi_g^* \colon \Lambda \to \mathcal{F}_g$, индуцированном проекцией $\pi_g \colon \mathcal{U}_g \to \mathcal{B}_g$. Обозначим через $\mathcal{P}_\Lambda$ алгебру полиномов над кольцом $\Lambda$, порожденную гиперэллиптической функцией $\wp_2=\wp_2(\tau_1,\dots,\tau_{2g-1})$ и всеми ее производными по $\tau_1$. Как показывает предыдущий пример, при $g=2$ кольцо $\mathcal{P}_\Lambda$ совпадает с кольцом $\Lambda\otimes_{\mathbb{C}}\mathcal{P}$. Теорема 28. Изоморфизм $\mathcal{P}_\Lambda\cong \Lambda\otimes_{\mathbb{C}}\mathcal{P}$ имеет место для всех $g\geqslant 1$. Доказательство. Так как дифференцирования по $\tau_1,\dots,\tau_{2g-1}$ коммутируют и тривиально действуют на $\lambda$, то достаточно показать, что $\wp_{2k-1,2l-1}\in \mathcal{P}_\Lambda$ для всех $1\leqslant k\leqslant l$. Символом “$\thickapprox$” обозначим равенство по модулю идеала в $\Lambda\otimes_{\mathbb{C}}\mathcal{P}$, порожденного кольцом $\mathcal{P}_\Lambda$. Имеем $\wp_{1,1}\thickapprox 0$. Допустим по индукции, что $\wp_{2k'-1,2l'-1}\thickapprox 0$, если $k'+l'\leqslant n$. Тогда из соотношений (41) и (42) получаем для всех $i+k=n$. Из этой системы следует, что $\wp_{2k-1,2l-1}\thickapprox 0$, если $k+l=n+1$. Теорема доказана. Следствие 29. Для всех $k\geqslant 1$ и $g\geqslant 1$ существуют однородные дифференциальные полиномы $\Psi_{2k}= \Psi_{2k}\bigl(\wp_2,\dots,\wp_2^{(2k-2)}\bigr)\in \mathcal{P}_\Lambda$ такие, что $\Psi_{2k}=\wp_{2k}$, $1\leqslant k\leqslant g$, и $\Psi_{2k}=0$ при $k>g$. Пример 3.4. (a) Пусть $g=1$. Тогда $\Psi_2=\wp_2$ и имеет место дифференциальное уравнение (b) Пусть $g=2$. Тогда $\Psi_2=\wp_2$, $\Psi_4=\wp_4=\wp_2''/4-3\wp_2^2/2-\lambda_4/2$ и имеет место дифференциальное уравнение
$$
\begin{equation*}
(\wp_2')^2=4(\wp_2^3+\lambda_4\wp_2+\lambda_6)+16\wp_2\wp_4-2\wp_4''.
\end{equation*}
\notag
$$
При $k> 1$ и $g> 2$ существует явная рекурсия, выражающая полиномы $\Psi_{2k}$ в виде дифференциальных полиномов от $\Psi_{2}=\wp_2,\dots,\Psi_{2k-2}$ и их производных по $\tau_1$. Напомним, что по определению $\wp'_{2k}=\partial_{2k-1}\wp_2$. Теорема 30. Для всех $k\geqslant 1$ и $g\geqslant 1$ гиперэллиптическая функция $\wp_{2}(\tau)$ удовлетворяет совместной системе уравнений эквивалентной $g$-стационарной иерархии КдФ. Для любого $N>1$ отображение Абеля $A\colon \Gamma\to \operatorname{Jac}\Gamma$ продолжается до отображения $A_N\colon \operatorname{Sym}^N \Gamma\to \operatorname{Jac}\Gamma$ по формуле
$$
\begin{equation*}
A_N\bigl((x_1,y_1),\dots,(x_N,y_N)\bigr)=\sum_{i=1}^N A(x_i,y_i).
\end{equation*}
\notag
$$
При $N\geqslant g$ отображение $A_N$ сюръективно. Отображение $A_g\colon \operatorname{Sym}^g \Gamma\to \operatorname{Jac}\Gamma$ является бирациональной эквивалентностью. Формулировка теоремы Якоби об обращении отображения Абеля $A_g$ в терминах гиперэллиптических функций $\wp_\omega$ является эффективной. Приведем ее, следуя работам [7]–[9] и используя введенные выше обозначения. Теорема 31. Пусть $\tau\in \operatorname{Jac} \Gamma$ – такая точка, что $\sigma(\tau;\lambda)\ne 0$. Тогда Следствие 32. Отображение Абеля индуцирует кольцевой изоморфизм $A_g^*$ поля мероморфных функций на $\operatorname{Jac}\Gamma$ и поля рациональных функций на $\operatorname{Sym}^g\Gamma$, который задается формулами 4. Элементарные симметрические полиномы как координаты в $\operatorname{Sym}^N\mathbb{C}$В разделах 1 и 2 мы использовали каноническое преобразование $\varphi\colon \mathbb{C}^{2N} \to \mathbb{C}^{2N}$ от координат $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ к координатам $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, где $\varphi^*q_k$ задаются полиномами Ньютона $\mathfrak{n}_k$, т. е. мультипликативными образующими координатного кольца пространства $\operatorname{Sym}^N\mathbb{C}$. Из теоремы 31 следует, что при определенных условиях для описания решений интегрируемых иерархий в терминах гиперэллиптических функций желательно использовать мультипликативный базис в кольце $\mathbb{C}[\boldsymbol{x}]^{S_N}$, задаваемый элементарными симметрическими функциями $e_k=e_k(\boldsymbol{x})$. Это связано с тем, что точка $\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_N)$ дает набор корней уравнения
$$
\begin{equation*}
E(x,\boldsymbol{x})=x^N-e_1x^{N-1}+\cdots+(-1)^Ne_N=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В координатах $Q=(Q_1,\dots,Q_N)$, где $Q_k=(-1)^{k-1}e_k$, это уравнение принимает вид т. е. вид уравнения (46), коэффициенты которого – гиперэллиптические функции. Далее мы покажем, что уравнения (47), задающие точки $\boldsymbol{y}=(y_1,\dots,y_N)$, также естественно возникают в нашем подходе к построению интегрируемых систем. Таким образом, мы получаем обобщение теоремы Якоби обращения отображения Абеля. Из контекста ясно, что мы можем рассматривать координаты $Q_1,\dots,Q_N$ как полиномы от $q_1,\dots,q_N$. Доказательство. Используя формулы (30), (37) и (38), мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial {Q}_k}{\partial q_n}&=\sum_{i=1}^N W_{n,i} \frac{\partial Q_{k}}{\partial x_i}=\sum_{i=1}^N\,\sum_{m=0}^{k-1}(-1)^{m} e_{m}W_{n,i}x_i^{k-m-1} \\ &=\sum_{m=0}^{k-1}(-1)^{m}e_{m}\,\frac{\partial q_{k-m}}{\partial q_n}= \sum_{m=0}^{k-1}(-1)^{m}e_{m}\delta_{k-m,n}=-\widehat{Q}_{k-n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Рассмотрим производящую функцию
$$
\begin{equation*}
G_\psi=\sum_{n=1}^N (-1)^{n-1}e_n(\boldsymbol{x}) P_n
\end{equation*}
\notag
$$
канонического преобразования $\psi\colon \mathbb{C}^{2N} \to \mathbb{C}^{2N}$ от координат $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ к координатам $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})$. Получаем
$$
\begin{equation}
Q_n =\frac{\partial G_\psi}{\partial P_n}=(-1)^{n-1}e_n,
\end{equation}
\tag{49}
$$
$$
\begin{equation}
y_i =\frac{\partial G_\psi}{\partial x_i}= \sum_{n=1}^N (-1)^{n-1}\,\frac{\partial e_n}{\partial x_i} P_n.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Предложение 34. Каноническое преобразование $\xi\colon \mathbb{C}^{2N} \to \mathbb{C}^{2N}$ от координат $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})$ к координатам $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ является полиномиальным изоморфизмом симплектических пространств и задается формулами где $r_1+2r_2+\cdots+gr_g=m$, $r_i\geqslant 0$, и Производящая функция преобразования $\xi$ имеет вид где ${Q}_n={Q}_n(\boldsymbol{q})$ – полином $(-1)^{n-1}e_n(\boldsymbol{x})$, записанный в координатах $\boldsymbol{q}$, и Доказательство. Формулы (51) и (53) – это классические формулы, записанные в наших обозначениях. Они связывают полиномы Ньютона $\mathfrak{n}_k$ с элементарными симметрическими полиномами $e_k$. Используя равенства
$$
\begin{equation*}
y_i=\frac{\partial G}{\partial x_i}=\sum_{n=1}^N x_i^{n-1} p_n= \frac{\partial G_\psi}{\partial x_i}= \sum_{k=1}^N (-1)^{k-1}\, \frac{\partial e_k}{\partial x_i} P_k,
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^N x_i^{n-1} p_n=\sum_{k=1}^N (-1)^{k-1}\, \frac{\partial e_k}{\partial x_i} P_k,\qquad i=1,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, согласно (30) и лемме 33 Предложение доказано. Так как координаты $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})$ в $\mathbb{C}^{2N}$ являются каноническими, то их скобки Пуассона имеют вид
$$
\begin{equation*}
\{P_n,Q_m\}=\delta_{n,m},\qquad \{Q_n,Q_m\}=\{P_n,P_m\}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Классическая формула Ньютона (см. [36]), связывающая полиномы $e_k$ и $\mathfrak{n}_k$ от $\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_N)$, в переменных ${Q}_k={Q}_k(\boldsymbol{q})$ и $\boldsymbol{q}=(q_1,\dots,q_N)$ принимает вид Из формулы (54) получаем, что $\partial{Q}_k/\partial q_k=(-1)^{k-1}$.Следующие примеры иллюстрируют утверждение леммы 33:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 2{Q}_2={Q}_1q_1-2q_2 \quad\Longrightarrow\quad 2\,\frac{\partial {Q}_2}{\partial q_1}=2{Q}_1; \\ 3{Q}_3={Q}_2q_1-2{Q}_1q_2+3q_3 \quad\Longrightarrow\quad 3\frac{\partial {Q}_3}{\partial q_1}={Q}_2+{Q}_1q_1-2q_2=3{Q}_2; \\ 3\frac{\partial {Q}_3}{\partial q_2}= \frac{\partial {Q}_2}{\partial q_2}q_1-2{Q}_1=3{Q}_1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя индукцию, можно получить другое доказательство леммы 33 и вывести аналогичные формулы для $\partial q_k/\partial\widehat{Q}_n$ при $k\leqslant N$.
5. Динамические системы и симметрические степени гиперэллиптических кривыхРассмотрим семейство кривых
$$
\begin{equation}
\Gamma_{2g+1}=\Gamma_{2g+1,\lambda}=\{(x,y)\in \mathbb{C}^2\colon y^2=x^{2g+1}+\lambda_{2}x^{2g}+\lambda_{4}x^{2g-1}+\cdots+\lambda_{4g+2}\}.
\end{equation}
\tag{55}
$$
Напомним, что в нашем подходе не требуется регулярность кривой $\Gamma_{2g+1}$. Как и выше, будем использовать градуировку: $|x|=2$, $|y|=2g+1$ и $|\lambda_n|=n$. Зафиксируем целое число $N$, $1\leqslant N\leqslant 2g+1$, и введем однородный полином $F(x,y)$ градуировки $4g+2$,
$$
\begin{equation}
F(x,y)=y^2-x^{2g+1}-\lambda_{2}x^{2g}-\cdots-\lambda_{4g+2-2N}x^{N},
\end{equation}
\tag{56}
$$
со свободными параметрами $\lambda_{2},\dots,\lambda_{4g+2-2N}$. Используя матрицу $W$, обратную матрице Вандермонда $V$, введем $N$ рациональных гамильтонианов (см. формулу (1))
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} H_1(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \\ \vdots \\ H_N(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \end{pmatrix}=W\begin{pmatrix} F(x_1,y_1) \\ \vdots \\ F(x_N,y_N) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
которые функционально независимы, находятся в инволюции относительно стандартной скобки Пуассона (см. предложение 4) и мультисимметричны (см. лемму 3). Как описано выше, мы приходим к иерархии из $N$ совместных интегрируемых систем типа Штеккеля (19). Используя каноническое преобразование $\varphi\colon \mathbb{C}^{2N} \to \mathbb{C}^{2N}$ от координат $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ к координатам $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, получаем иерархию из $N$ совместных интегрируемых полиномиальных гамильтоновых систем (см. теорему 14 и следствие 15) с полиномиальными гамильтонианами $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})\in \mathbb{C}[\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}]$, $k=1,\dots,N$. Пересечение поверхностей уровня гамильтонианов
$$
\begin{equation*}
\{(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})\in\mathbb{C}^{2N}\colon \mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})=h_k\in{\mathbb{C}},\ k=1,\dots,N\}
\end{equation*}
\notag
$$
бирационально изоморфно алгебраическому многообразию $\operatorname{Sym}^N\Gamma_{2g+1}$ с параметрами $\lambda_{4g+4-2k}=h_k$, $k=1,\dots,N$ (см. следствие 15). Нетрудно проверить, что преобразование $\varphi$ становится однородным относительно градуировки
$$
\begin{equation}
|q_k|=2k,\quad |p_k|=2g+3-2k,\quad |\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})|=4g+4-2k,\quad k=1,\dots,N,
\end{equation}
\tag{57}
$$
и, следовательно, соответствующие гамильтоновы векторные поля получают градуировку
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial\,\cdot\,}{\partial t_{k}}\biggr|= |\{\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}),\,\cdot\,\}|=2g+1-2k,\qquad k=1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{58}
$$
Для того чтобы сохранить полезное соответствие индексации полей и их градуировки, положим $t_s=\tau_{2g+1-2s}$, $s=1,\dots,N$. В новых переменных $\tau=(\tau_{2k-1})$, $g-N+1\leqslant k\leqslant g$, мы получаем, что $\biggl|\dfrac{\partial\,\cdot\,}{\partial\tau_{2k-1}}\biggr|=2k-1$. Отметим, что $\tau=(\tau_1,\dots,\tau_{2g-1})$ при $N=g$ и $\tau=(\tau_{-1},\tau_1,\dots,\tau_{2g-1})$ при $N=g+1$. Положим $\Phi(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})= \displaystyle\sum_{n,m=1}^N p_np_m q_{n+m-1}- q_{2g+2}-\lambda_{2}q_{2g+1}-\cdots -\lambda_{4g+2-2N}q_{N+1}$. Теорема 35. Гамильтонианы $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ иерархии, построенной по полиному $F(x,y)$ вида (56), задаются формулой Доказательство. По определению
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_k=\sum_{i=1}^N W_{k,i}\biggl(y_i^2-x_i^{2g+1}- \sum_{j=1}^{2g+1-N}\lambda_{2j}x_i^{2g+1-j}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя формулы
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^N W_{k,i}x_i^{n-1}= \frac{\partial q_n(\boldsymbol{q})}{\partial q_k}\,, \qquad y_i=\sum_{m=1}^N x_i^{m-1}p_m
\end{equation*}
\notag
$$
(см. доказательство теоремы 13), получаем формулу (59). Теорема доказана. В наших первых работах по построению и исследованию иерархий полиномиальных гамильтоновых систем использовались канонические координаты $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ в симплектическом пространстве $\mathbb{C}^{2N}$ (см. [12]). В разделе 4 мы описали полиномиальное каноническое преобразование $\xi\colon \mathbb{C}^{2N} \to \mathbb{C}^{2N}$ от координат $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})$ к координатам $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$. В следующем разделе 6 мы рассмотрим случай, когда использование координат $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ приводит к построению решений иерархий в терминах гиперэллиптических функций (см. раздел 3). Преобразование координат $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P}) \to (\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ является полиномиальным и обратимым. Координаты $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ не являются канонически сопряженными относительно соответствующей скобки Пуассона. Лемма 36. При замене координат $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}) \to (\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ в $\mathbb{C}^{2N}$ скобка Пуассона в канонических координатах $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ переходит в скобку Пуассона в координатах $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ такую, что для любых $a,b \in \mathbb{C}[\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p}]$ имеет место формула Доказательство. Формула (60) следует из формул
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial q_N}=\frac{\partial}{\partial Q_N}\,,\qquad \frac{\partial}{\partial q_n}=\sum_{m=1}^N\frac{\partial Q_m}{\partial q_n}\, \frac{\partial }{\partial Q_m}=\frac{\partial }{\partial Q_n}- \sum_{m=1}^{N-n}Q_{m}\frac{\partial }{\partial Q_{m+n}}\,,\quad 1\leqslant n < N,
\end{equation}
\tag{61}
$$
которые непосредственно вытекают из леммы 33. Далее нам потребуется также следующий результат. Лемма 37. Пусть $n=n_1+n_2+\cdots+n_s$. Имеют место формулы Доказательство. Будем использовать производящую функцию $\mathcal{N}(t;\boldsymbol{q})= \displaystyle\sum_{k=1}^\infty q_k(\boldsymbol{q}) t^k$ (ср. с (25)). Имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal{N}(t;\boldsymbol{q})= -\ln\mathcal{M}_N(t;\boldsymbol{Q}),\quad\text{где}\quad \mathcal{M}_N(t;\boldsymbol{Q})=1-t Q_1-\cdots-t^N Q_N
\end{equation}
\tag{65}
$$
(ср. с предложением 10 и формулой (24)). Взяв производную по $Q_{n_1}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty \frac{\partial q_k}{\partial Q_{n_1}}\,t^k= \frac{t^{n_1}}{\mathcal{M}_N(t;\boldsymbol{Q})}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathcal{M}_N(t;\boldsymbol{Q})=1-(\boldsymbol{t},\boldsymbol{Q})$, где $\boldsymbol{t}=(t,t^2,\dots,t^N)$, то
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty \frac{\partial^s q_k}{\partial Q_{n_1}\cdots \partial Q_{n_s}} t^k= (s-1)!\,\frac{t^{n}}{(\mathcal{M}_N(t;\boldsymbol{Q}))^s}\,.
\end{equation}
\tag{66}
$$
Из (66) следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^s q_k}{\partial Q_{n_1}\cdots \partial Q_{n_s}}=0, \quad\text{если } k< n.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $A(t;\boldsymbol{q})=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \dfrac{\partial^s q_{n+k}}{\partial Q_{n_1}\cdots \partial Q_{n_s}}t^k$. Имеем $A(t;\boldsymbol{q})=(s-1)!\, \dfrac{1}{(\mathcal{M}_N(t;\boldsymbol{Q}))^s}$ . Рассмотрим ряд Тейлора функции $1/(\mathcal{M}_N(t;\boldsymbol{Q}))^s$ в точке $t=0$. Коэффициенты этого ряда при $t^k$, $k=0,1,2$, дают формулы (62), (63) и (64). Лемма доказана. Явное выражение для полиномов $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ дает формула (59). Формула (51) дает явное выражение для полиномов $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})= \mathcal{H}_k(\boldsymbol{q}(\boldsymbol{Q}),\boldsymbol{p})$. Предложение 38. Пусть $F(x,y)=y^2-f(x)$. Тогда гамильтоновы уравнения, соответствующие гамильтониану $\mathcal{H}_N(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ для $n=1,\dots,N$, записываются в виде Доказательство. Используя тот факт, что полиномы $Q_n$ не зависят от $\boldsymbol{y}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (Q_n)_{t_{N}}&=\{\mathcal{H}_N,Q_n\}=\sum_{i=1}^N \frac{\partial H_N}{\partial y_i}\,\frac{\partial Q_n}{\partial x_i}= \sum_{i=1}^N\frac{\partial }{\partial y_i}\biggl(\,\sum_{j=1}^N \frac{y_j^2-f(x_j)}{E_j(x_j)}\biggr)\frac{\partial Q_n}{\partial x_i} \\ &=2\sum_{i=1}^N \frac{\partial Q_n}{\partial x_i}\, \frac{y_i}{E_i(x_i)}=2\sum_{i=1}^N W_{N-n+1,i}y_i=2p_{N-n+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Формула (68) следует из формулы (61). Предложение доказано. Предложение 39. Пусть $F(x,y)=y^2-f(x)$. Тогда для каждого $n=1,\dots,N$ гамильтоновы уравнения для $Q_1$, соответствующие гамильтониану $\mathcal{H}_n$, записываются в виде Доказательство. Как и выше, используя тот факт, что полиномы $Q_n$ не зависят от $\boldsymbol{y}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (Q_1)_{t_{n}}&=\{\mathcal{H}_n,Q_1\}=\sum_{i=1}^N \frac{\partial H_n}{\partial y_i}\,\frac{\partial Q_1}{\partial x_i} \\ &=\sum_{i=1}^N\frac{\partial }{\partial y_i}\sum_{j=1}^N W_{n,j}(y_i^2-f(x_j))=2\sum_{i=1}^N W_{n,i} y_i=2p_n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
6. Случай $N=g$ и иерархия Кортевега–де ФризаРассмотрим пространство $\mathbb{C}^{3g}=\mathbb{C}^{2g}\times\mathbb{C}^{g}$ с координатами $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ и $\lambda=(\lambda_{4},\dots,\lambda_{2g+2})$. Для каждого $\lambda\in\mathbb{C}^{g}$ полином
$$
\begin{equation}
F(x,y)=y^2-x^{2g+1}-\lambda_{4}x^{2g-1}-\cdots-\lambda_{2g+2}x^g
\end{equation}
\tag{70}
$$
задает в пространстве $\mathbb{C}^{2g}$ иерархию динамических систем с гамильтонианами $\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, $k=1,\dots,g$. Эти гамильтонианы определяют гамильтоновы поля $\dfrac{\partial\,\cdot\,}{\partial t_k}= \{\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}),\,\cdot\,\}$. Напомним, что координаты $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ являются каноническими относительно скобки Пуассона $\{\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\}$. Для перехода к неканоническим координатам $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ будем использовать классическую формулу (51). Отметим, что $q_m\approx Q_m$ при $m\leqslant g$ и $q_m\approx 0$ при $m > g$. Здесь символ “$\approx$” обозначает равенство по модулю полиномов, разложимых в кольце $\mathbb{C}[Q_1,\dots,Q_g]$. Как и выше, будем использовать градуировку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |q_m|=2m, \quad |Q_m|=2m,\qquad m=1,\dots,g, \\ |p_k|=2g+3-2k,\quad |\mathcal{H}_k(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})|=4g+4-2k,\qquad k=1,\dots,g, \\ \biggl|\frac{\partial\,\cdot\,}{\partial t_{k}}\biggr|=2g+1-2k,\qquad k=1,\dots,g. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $t_k=\tau_{2g+1-2k}$, $\partial_{2k-1}= \dfrac{\partial}{\partial \tau_{2k-1}}$ и $(\,\cdot\,)'=\partial_1(\,\cdot\,)$. В результате мы получаем градуированное кольцо $L_g=\Lambda_g[\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p}] \cong \Lambda_g[\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}]$, где $\Lambda_g=\mathbb{C}[\lambda_{4},\dots,\lambda_{2g+2}]$. На $L_g$ действуют коммутирующие дифференцирования $\partial_{2k-1}$, $k=1,\dots,g$, такие, что $\partial_{2k-1}\lambda_{2s}=0$ и $|\partial_{2k-1}\pi|=2k-1+n$, если $\pi\in L_g$ – однородный полином степени $n$. Обозначим через $\mathcal{L}_1\subset L_g$ подкольцо, порожденное тремя $g$-мерными векторами $\boldsymbol{Q}=(Q_1,\dots,Q_g)$, $\boldsymbol{Q}'=(Q_1',\dots,Q_g')$ и $\boldsymbol{Q}''=(Q_1'',\dots,Q_g'')$. Теорема 40. Кольцо $\mathcal{L}_1$ является замкнутым относительно дифференцирований $\partial_1,\dots,\partial_{2g-1}$ и совпадает с кольцом $L_g$. Доказательство. Покажем, что у вложения $i_1\colon \mathcal{L}_1\subset L_g$ имеется обратное отображение $j_1\colon L_g\to \mathcal{L}_1$, устанавливающее изоморфизм $L_g \cong \mathbb{C}[\boldsymbol{Q},\boldsymbol{Q}',\boldsymbol{Q}'']$. Согласно предложению 38 имеем $Q_n'=2p_{g-n+1}$. Следовательно, определено вложение
$$
\begin{equation*}
j\colon \mathbb{C}[\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p}]\to \mathcal{L}_1,\qquad j(Q_n)=Q_n,\quad j(p_n)=\frac{1}{2}Q_{g-n+1}'.
\end{equation*}
\notag
$$
Укажем вложение
$$
\begin{equation*}
j\colon \Lambda_g=\mathbb{C}[\lambda_{4},\dots,\lambda_{2g+2}] \to \mathcal{L}_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (68) имеем $p_n'=-\dfrac{\partial}{\partial q_n}\mathcal{H}_g$. Используя формулу $\mathcal{H}_g=\dfrac{\partial}{\partial q_g} \Phi(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})=-(q_{2g+2}+\lambda_4q_{2g}+\cdots+ \lambda_{2g+2}q_{g+1})+\sum_{s=1}^{2g-1}\biggl(\,\sum p_np_m\biggr)q_s, \\ 1\leqslant n,m \leqslant g,\quad n+m=s+1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_1''=2p_g'&=-2\,\frac{\partial}{\partial q_g}\mathcal{H}_g= -2\,\frac{\partial^2}{\partial q_g^2}\Phi(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})= 2\,\frac{\partial^2}{\partial q_g^2}(q_{2g+2}+\lambda_4q_{2g}) \\ &=2\,\frac{\partial^2}{\partial Q_g^2}(q_{2g+2}+\lambda_4q_{2g}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя формулы (62) и (64), получаем Положим $j(\lambda_4)=Q_1''/2-2Q_2-3Q_1^2$. Предположим, по индукции, что уже определены полиномы $j(\lambda_{2k'})$ для $k'< k$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber Q_k''&=2p_{g-k+1}'=-2\,\frac{\partial \mathcal{H}_g}{\partial q_{g-k+1}}= -2\,\frac{\partial^2}{\partial q_{g-k+1}\,\partial q_g} \Phi(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}) \\ \nonumber &=2\,\frac{\partial^2}{\partial q_{g-k+1}\,\partial q_g}(q_{2g+2}+ \lambda_4q_{2g}+\cdots+\lambda_{2k}q_{2g-k+1}) \\ &\qquad-2\sum_{s=2g-k+1}^{2g-1} \biggl(\,\sum p_np_m\biggr) \frac{\partial^2 q_s}{\partial q_{g-k+1}\,\partial q_g}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{72}
$$
Согласно (71) и (62) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 q_{2g-k+1}}{\partial q_{g-k+1}\,\partial q_g}= \frac{\partial^2 q_{2g-k+1}}{\partial Q_{g-k+1}\,\partial Q_g}=1,
\end{equation*}
\notag
$$
и так как $\dfrac{\partial^2 q_s}{\partial q_{g-k+1}\,\partial q_g}\in \mathbb{C}[Q_1,\dots,Q_{s-2g+k-1}]$, получаем явное выражение для полинома $j(\lambda_{2k}) \in \mathcal{L}_1$. Непосредственно из построения отображения $j_1\colon L_g \to \mathcal{L}_1$ следует, что композиция $L_g \xrightarrow{j_1} \mathcal{L}_1 \xrightarrow{i_1} L_g$ является тождественным отображением и гомоморфизмы $j_1$ и $i_1$ коммутируют с действием операторов $\partial_1,\dots,\partial_{2g-1}$. Теорема доказана. Пусть $\mathcal{L}_2\subset L_g$ – подкольцо, порожденное параметрами $\lambda_{4},\dots,\lambda_{2g+2}$, функцией $Q_1$ и всеми ее $\partial_1$-производными, т. е. функциями $\partial_1^m Q_1=Q_1^{(m)}$, $m=1,2,\dots$ . Теорема 41. Кольцо $\mathcal{L}_2$ является замкнутым относительно дифференцирований $\partial_1,\dots,\partial_{2g-1}$ и совпадает с кольцом $L_g$. Более того, имеет место изоморфизм $L_g \cong \Lambda_g\bigl[Q_1,Q_1',\dots,Q_1^{(2g-1)}\bigr]$. Доказательство. Для вложения $i_2\colon \mathcal{L}_2\subset L_g$ построим обратное отображение $j_2\colon L_g\to \mathcal{L}_2$, устанавливающее требуемый изоморфизм. Обозначим через $\widetilde{L}_g$ и $\widetilde{\mathcal{L}}_2$ факторы колец $L_g$ и $\mathcal{L}_2$ по идеалам, порожденным параметрами $\lambda_{4},\dots,\lambda_{2g+2}$. Так как $\partial_{2k-1}\lambda_{2s}=0$, то достаточно построить отображение $\widetilde{j}_2\colon \widetilde{L}_g\to \widetilde{\mathcal{L}}_2$. Пусть символ $\approx$ обозначает равенство по модулю полиномов, разложимых в кольце $\widetilde{L}_g$. Используя формулы $Q_n'=2p_{g-n+1}$ и $p_{g-n+1}'=-\dfrac{\partial\mathcal{H}_g}{\partial q_{g-n+1}}$ , получаем $Q_n'' \approx 2\dfrac{\partial^2 q_{2g+2}}{\partial q_{g-n+1}\,\partial q_g}$ . Согласно (61)
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial q_{g-n+1}}=\frac{\partial}{\partial Q_{g-n+1}}- \sum_{m=1}^{n-1}Q_m\frac{\partial}{\partial Q_{g+m-n-1}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2}{\partial q_{g-n+1}\,\partial q_g}= \frac{\partial^2}{\partial Q_{g-n+1}\,\partial Q_g}- \sum_{m=1}^{n-1}Q_m \frac{\partial^2}{\partial Q_{g+m-n-1}\,\partial Q_g}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $Q_n'' \in L_g$ – однородный полином веса $2n+2$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial Q_n''}{\partial Q_{n+1}}=2\,\frac{\partial^3 q_{2g+2}} {\partial Q_{n+1}\,\partial Q_{g-n+1}\,\partial Q_g}=4.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $Q_n'' \approx 4Q_{n+1}$. Используя индукцию по $n$, завершаем построение отображения $j_2\colon L_g\to \mathcal{L}_2$ такого, что
$$
\begin{equation*}
j_2(Q_{n+1}) \approx 4^{-n}j_2\bigl(Q_{1}^{(2n)}\bigr)\quad\text{и}\quad j_2(p_n)=\frac{1}{2}j_2(Q_{g-n+1})'.
\end{equation*}
\notag
$$
Из формулы (69) получаем Поэтому кольцо $\mathcal{L}_2$ замкнуто относительно действия операторов $\partial_1,\dots,\partial_{2g-1}$. Так как $Q_{g+1}=0$, то образ отображения $j_2$ лежит в $\Lambda_g\bigl[Q_1,Q_1',\dots,Q_1^{(2g-1)}\bigr]$. По построению, отображения $i_2j_2$ и $j_2i_2$ являются тождественными. Теорема доказана. Положим $u=u(\tau_1,\dots,\tau_{2g-1})=2Q_1$. Из теоремы 41 вытекает следующее утверждение. Следствие 42. Однозначно определены однородные дифференциальные полиномы веса $|\mathcal{G}_{2n}|=2n$. Положим $\mathcal{K}_{2n+1}=\mathcal{G}_{2n}'$. Имеем $\mathcal{G}_{2}=u$ и $\mathcal{K}_3=u'$. Формула (71), а именно приводит к формулам
$$
\begin{equation*}
\mathcal{G}_{4}=u''-3u^2-4\lambda_4\quad\text{и}\quad \mathcal{K}_{5}=u'''-6uu'.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (69) функция $u$ удовлетворяет уравнению КдФ (см. [30]) где $\dot u=\partial_3u$. Теорема 43. Функция $u=2Q_1$ удовлетворяет иерархии и дифференциальному уравнению Приведем элементы алгебраической теории иерархии КдФ (детали см. в монографии [47]), достаточные для изложения следствий из теоремы 43. Пусть $u=u(x)$ – бесконечно дифференцируемая функция скалярной переменной $x$. Положим $\partial=\partial/\partial x$ и $u_k=(\partial^k u)$, $k=0,1,2,\dots$ . Дифференциальным рядом $A$ степени $m$ (обозначение $\deg A=m$) будем называть выражения вида
$$
\begin{equation}
A=\sum_{i=m}^{-\infty} a_i\partial^i,\qquad a_m\ne 0,
\end{equation}
\tag{77}
$$
где $a_i$ – полином от $u_k$ с коэффициентами в кольце $\Lambda_g=\mathbb{C}[\lambda_4,\dots,\lambda_{4g+2}]$. Обозначим через $(\partial^k a)$ результат $k$-кратного применения операции $\partial$ к $a$. По определению, $(\partial\lambda_{2i})=0$ для всех $i$. Введем кольцо $\Pi$ всех дифференциальных рядов конечного порядка. Умножение в кольце $\Pi$ задается по правилу умножения рядов Лорана с учетом правила коммутации
$$
\begin{equation}
\partial^k a \partial^l=\sum_{i=0}^{\infty} \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}a^{(i)}\partial^{k+l-i},
\end{equation}
\tag{78}
$$
где $k$, $l$ – любые целые числа, $a^{(i)}=(\partial^i a)$ и $\begin{pmatrix} k \\ i\end{pmatrix}=\dfrac{1}{i!}k(k-1)\cdots(k-i+1)$. Например,
$$
\begin{equation*}
\partial a=a\partial+a',\quad \partial^{-1}a=a\partial^{-1}-a'\partial^{-2}+a''\partial^{-3}-\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a'=(\partial a)$ и $a''=(\partial^2 a)$. Коэффициент $a_{-1}$ ряда $A\in \Pi$ называется вычетом этого ряда и обозначается $\operatorname{res}A$. В кольце $\Pi$ определен коммутатор: $[A,B]=AB-BA$ для любых $A$ и $B$ из $\Pi$. Например, $[a,\partial]=-a'$. Нетрудно проверить, что имеет место следующий важный факт: где $P=P(A,B)$ – полином от коэффициентов рядов $A$ и $B$. Например,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{res}[a\partial,b\partial^{-1}]=P',\quad\text{где}\quad P=ab.
\end{equation*}
\notag
$$
В статье [38] приведена явная общая формула. Пусть $\deg A=m$, $\deg B=n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{res}[A,B]=P',\quad \text{где}\quad P(A,B)=\sum_{p\leqslant m, q\leqslant n}^{p+q+1>0} \begin{pmatrix} q \\ p+q+1 \end{pmatrix} \sum_{s=0}^{p+q}(-1)^s a_q^{(s)} b_p^{(p+q-s)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим оператор Шрёдингера $\mathcal{L}=\partial^2-u$ с потенциалом $u=u(x,t)$ и оператор
$$
\begin{equation}
A_3=\partial^3-\frac{3}{4}(u\partial+\partial u)= \partial^3-\frac{3}{2} u\partial-\frac{3}{4}u'.
\end{equation}
\tag{80}
$$
Как впервые было показано П. Лаксом (см. [35]), имеет место формула Зададим в кольце $\Pi$ действие оператора $\partial_t$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\partial_t(a\partial^k)=a_t\partial^k,\quad\text{где}\quad a_t=(\partial_ta).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем: $\partial_t \mathcal{L}=-u_t$. Следовательно, в кольце $\Pi$ уравнение КдФ (см. (74)) можно записать в виде В 1967 г. Г. Гарднер, Дж. Грин, М. Крускал и Р. Миура показали (см. [26]), что собственные значения оператора Шрёдингера $\mathcal{L}=\partial^2-u$, где $u=u(x,t)$ – решение уравнения КдФ, являются интегралами уравнения (74). Формула П. Лакса (82), опубликованная в работе 1968 г. (см. [35]), объяснила это фундаментальное открытие и легла в основу многочисленных исследований в разных направлениях математической и теоретической физики.Формула $\mathcal{L}^{1/2}\mathcal{L}^{1/2}=\mathcal{L}=\partial^2-u$ с начальным условием $\mathcal{L}^{1/2}=\partial+\cdots$ однозначно определяет оператор $\mathcal{L}^{1/2}\in \Pi$. Вычисляя рекуррентно коэффициенты ряда $\mathcal{L}^{1/2}$, получаем:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}^{1/2}=\partial-\frac{1}{2}u\partial^{-1}+ \frac{1}{4}u'\partial^{-2}-\frac{1}{8}(u''+u^2)\partial^{-3}+ \frac{1}{16}(u'''+6uu')\partial^{-4}+\cdots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждый оператор $A\in \Pi$ можно однозначно записать в виде $A=A_{+}+A_{-}$, где $A_{+}=\displaystyle\sum_{i=m}^0 a_i\partial^i$. Введем последовательность дифференциальных операторов
$$
\begin{equation*}
A_n=(\mathcal{L}^{n/2})_{+}=\partial^n+\cdots,\qquad n=0,1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем: $A_0=1$, $A_1=\partial$, $A_{2k}=\mathcal{L}^{k}$ и $A_{2k+1}=(\mathcal{L}^{k}\mathcal{L}^{1/2})_{+}$. Для любого $n> 1$ коэффициенты операторов $A_n$ являются дифференциальными полиномами от $u$. Пример 6.1. Имеем: Следующие результаты описывают фундаментальные свойства последовательности операторов $A_{2k+1}$, $k=0,1,2,\dots$ . Лемма 44. Для любого целого $k\geqslant 0$ коммутатор $[A_{2k+1},\mathcal{L}]$ является оператором умножения на однородный дифференциальный полином веса $2k+3$ от функции $u$: Доказательство. Имеем: $[\mathcal{L}^{(2k+1)/2},\mathcal{L}]=0$ и где $(\mathcal{L}^{(2k+1)/2})_{-}=l_{-1}\partial^{-1}+ l_{-2}\partial^{-2}+\cdots$ . Так как $A_{2k+1}$ является дифференциальным оператором, получаем Лемма доказана. Лемма 45. Пусть $L$ – дифференциальный оператор порядка $m$ такой, что коммутатор $[L,\mathcal{L}]$ является оператором умножения на функцию. Тогда Доказательство. Имеем: $L=l_{m}\partial^{m}+l_{m-1}\partial^{m-1}+\cdots$, где $l_{m}\ne 0$. Следовательно, $[L,\partial^2-u]=-2l_{m}'\partial^{m+1}+\widehat{L}$, где $\widehat{L}$ – оператор порядка не выше $m$. Так как $[L,\partial^2-u]$ является оператором умножения на функцию, то $l_{m}'=0$, т. е. $l_{m}\in \Lambda_g$. Положим $l_{m}=c_0$. Так как $A_{m}=\partial^{m}+\cdots$, то оператор $\widetilde{L}=L-c_0A_{m}$ имеет порядок меньше $m$. Так как коммутатор $[\widetilde{L},\mathcal{L}]$ является оператором умножения на функцию, мы можем при помощи индукции по $m$ завершить доказательство. Введем дифференциальные полиномы $B_{2k+2}(u)$ такие, что Положим $x=\tau_1$, $t=\tau_3$ и далее будем считать, что $u$ – гладкая функция от $\tau_1,\dots,\tau_{2k-1},\dots$ . Пусть $\partial_{2k-1}={\partial}/{\partial\tau_{2k-1}}$ и $|\partial_{2k-1}|=2k-1$. Теорема 47. Уравнения (86) при $k=1,2,\dots$ задают совместную систему уравнений. Доказательство. Имеем:
$$
\begin{equation*}
-4^{k}\partial_{2k+1}\mathcal{L}=4^{k}\partial_{2k+1}u= B_{2k+2}'(u)=-4^{k}[A_{2k+1},\mathcal{L}].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, уравнения (86) можно записать в форме уравнений Лакса Проверка равенства
$$
\begin{equation}
\partial_{2k_1+1}\partial_{2k_2+1}u=\partial_{2k_2+1}\partial_{2k_1+1}u
\end{equation}
\tag{88}
$$
опирается на тождество Якоби для коммутаторов операторов и на тот факт, что $[(L_1)_{-},(L_2)_{-}]_{+}=0$ для любых операторов $L_1$ и $L_2$ из $\Pi$ (детали см. в [47], теорема 2.1.16). Теорема доказана. Определение 49. Дифференциальное уравнение где $c_k\in \Lambda_g$ – константы, называется $g$-м стационарным уравнением КдФ или уравнением Новикова (см. [42]). Определение 50. Система дифференциальных уравнений называется $g$-й иерархией КдФ с параметрами $c_{2},\dots,c_{2g},c_{2g+2}$. Теперь приступим к следствиям из теоремы 43. Положим, как и выше,
$$
\begin{equation*}
u_{2n}=\mathcal{G}_{2n}(u,u',\dots,u^{(2n-2)})=2^{2n-1}Q_n, \qquad n=1,\dots,g,
\end{equation*}
\notag
$$
где $u=u_2=2Q_1$. Положим $\mathcal{A}_{1}=\partial_1$ и введем, следуя работе [15], дифференциальные операторы третьего порядка
$$
\begin{equation}
\mathcal{A}_{2k+1}=\partial_x^2\partial_{2k-1}- \frac{1}{2}(u_2\partial_{2k-1}+\partial_{2k-1} u_2)- \frac{1}{4}(u_{2k}\partial_1+\partial_1u_{2k}),\quad k=1,\dots,g,
\end{equation}
\tag{90}
$$
которые задают однородные операторы веса $2k+1$. Первые операторы имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{A}_{3}&=\partial_1^3-\frac{3}{2}u_2\partial_1-\frac{3}{4}u_2', \\ \mathcal{A}_{5}&=\partial_1^2\partial_3- \frac{1}{2}(u_2\partial_3+\partial_3u_2)- \frac{1}{4}(u_4\partial_1+\partial_1u_4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В кольце дифференциальных операторов от $\tau_1,\dots,\tau_{2g-1}$ рассмотрим подкольцо $\mathfrak{D}_g$, порожденное коммутирующими операторами $\partial_1,\dots,\partial_{2g-1}$ и операторами умножения на функции $u_2,\dots,u_{2g}$. Лемма 51. Коммутатор $[\mathcal{A}_{2k+1},\mathcal{L}]$ является оператором умножения на функцию тогда и только тогда, когда где $u'_{2k}=\partial_1 u_{2k}$. Если условие (91) выполняется, то Доказательство. Непосредственное вычисление дает формулу
$$
\begin{equation}
[\mathcal{A}_{2k+1},\mathcal{L}]=2(-u_{2k}''+\partial_{2k-1}u_2')\partial_1+ (- u_{2k}'+\partial_{2k-1} u_2)\partial_1^2+U,
\end{equation}
\tag{93}
$$
где
$$
\begin{equation}
U=\partial_{2k-1} u_2''-u_2\partial_{2k-1} u_2- \frac{1}{2} u_{2k} u_2'-\frac{3}{4} u'''_{2k}.
\end{equation}
\tag{94}
$$
Пусть оператор $[\mathcal{A}_{2k+1},\mathcal{L}]$ является умножением на функцию $U$. Тогда коэффициенты при $\partial_1$ и $\partial_1^2$ в (93) должны равняться нулю. Следовательно, должно выполняться уравнение (91). Обратно, пусть выполняется (91). Тогда из равенства $\partial_{2k-1}u_2=u_{2k}'$ следует, что функция $U$ преобразуется к виду Лемма доказана.Иерархия динамических систем на $\mathbb{C}^{2g}$ с координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ задает действие операторов $\partial_1,\dots,\partial_{2g-1}$ на функциях $u_2,\dots,u_{2g}$. Эти функции, как дифференциальные полиномы от $u_2$ по $\partial_1$, определяют однородные операторы $\mathcal{A}_{1},\dots,\mathcal{A}_{2g-1}$, где $|\mathcal{A}_{2k-1}|=2k-1$. Используя леммы 44 и 45, характеризующие введенные выше операторы $A_1,\dots,A_{2g-1}$, получаем следующий результат. Теорема 52. (i) Функция $u=u_2$ удовлетворяет $g$-й иерархии КдФ. (ii) Функция $v$ такая, что $v'=u$, удовлетворяет потенцированной иерархии КдФ
$$
\begin{equation*}
4^{k-1}\partial_{2k-1}v=\mathcal{G}_{2k}+\alpha_{2k},\qquad k=2,\dots,g,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_{2k}$ – функция, не зависящая от $\tau_1$. (iii) Справедливы равенства $\mathcal{A}_3=A_3$ и $\mathcal{A}_{2k+1}=A_{2k+1}+c_4 A_{2k-3}+\cdots+c_{2k}A_1$, $k>1$, где $c_{2i}\in \Lambda_g$ – однородные элементы веса $2i$. (iv) Операторы $\mathcal{L}$ и $\mathcal{A}_{g}$ коммутируют, и, следовательно, существует полином $F(x,y)=y^2-x^{2g+1}+\cdots$ такой, что $F(\mathcal{A}_{g},\mathcal{L})=0$. Утверждение (iv) теоремы является следствием теоремы Бурхнала–Чаунди (см. [16], [17]). Чтобы в явном виде выразить однородный полином веса $2g+2$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial\mathcal{H}_g}{\partial q_{1}}&= \frac{\partial^2\Phi(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})} {\partial q_{1}\partial q_g}= -\frac{\partial^2}{\partial q_{1}\partial q_g}(q_{2g+2}+ \lambda_4q_{2g}+\cdots+\lambda_{2g}q_{g+1}) \\ &\qquad+\sum_{s=g+1}^{2g-1} \biggl(\,\sum p_np_m\biggr) \frac{\partial^2 q_s}{\partial q_{1}\,\partial q_g}\,,\qquad n+m=s+1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в виде полинома от $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, а следовательно, в виде однородного дифференциального полинома от $Q_1$, надо воспользоваться формулами (61) при $N=g$.
7. Продолжение отображения Абеля на $\operatorname{Sym}^g\mathbb{C}^{2}$Рассмотрим в $\mathbb{C}^{2g}$ с координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ иерархию полиномиальных гамильтоновых систем, соответствующую полиному $F(x,y)=y^2-f(x)$, где $f(x)=x^{2g+1}+\lambda_4x^{2g-1}+\cdots+\lambda_{2g+2}x^g$, с фиксированными параметрами $\lambda_4,\dots,\lambda_{2g+2}$ и с гамильтонианами $\mathcal{H}_{g-k+1}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, $k=1,\dots,g$. Рассмотрим поверхность
$$
\begin{equation*}
J(\Gamma)=\{(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})\in \mathbb{C}^{2g}\colon \mathcal{H}_{g-k+1}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})=h_{g-k+1},\ k=1,\dots,g\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $h_{g-k+1}=\lambda_{2(g+k+1)}$ – такие значения, что кривая
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\{(x,y)\in \mathbb{C}^{2}\colon y^2=x^{2g+1}+\lambda_4x^{2g-1} +\cdots+\lambda_{4g+2}\}
\end{equation*}
\notag
$$
является неособой. Образ мероморфного вложения $\widehat\psi\colon \operatorname{Jac}\Gamma \to \mathbb{C}^{2g}$ униформизует поверхность $J(\Gamma)$. Теорема 53. (i) Мероморфное вложение где $Q_k=\wp_{2k}$, $p_k=\wp'_{2g+2-2k}/2$, задает униформизацию поверхности $J(\Gamma)$. (ii) Имеет место коммутативная диаграмма где $\widehat i$ – вложение, соответствующее вложению $i\colon \Gamma\subset \mathbb{C}^{2}$, $A_g$ – бирациональная эквивалентность, задаваемая отображением Абеля, $\widehat\varphi$ – бирациональная эквивалентность, задаваемая рациональным преобразованием $\varphi\colon \mathbb{C}^{2g} \to \mathbb{C}^{2g}$ от координат $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ к координатам $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$. Доказательство. Сопоставляя уравнение (48) с уравнением (46):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_i^g-x_i^{g-1}Q_1-x_i^{g-2}Q_2-\cdots-Q_g&=0, \\ x_i^g-x_i^{g-1}\wp_2 -x_i^{g-2} \wp_4-\cdots-\wp_{2g}&=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
мы видим, что переменные $Q_k$ можно отождествить с гиперэллиптическими функциями $\wp_{2k}$. Далее, сопоставляя уравнение (22) с уравнением (47):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, y_i&=p_1+x_i p_2+x_i^2 p_2+\cdots+x_i^{g-1}p_g, \\ 2y_i&=\wp_{2g}' +x_i\wp_{2g-2}'+x_i^2\wp_{2g-4}'+\cdots+x_i^{g-1}\wp_2', \end{aligned}
\end{equation}
\tag{95}
$$
мы видим, что переменные $p_k$ и гиперэллиптические функции $(1/2)\wp_{2g+2-2k}'$ также можно отождествить. Здесь коэффициент $1/2$ появился из-за разного шкалирования переменной $y$ в уравнениях (39) и (55). Используя теоремы 26, 30 и 31, завершаем доказательство. Пример 7.1. Пусть $g=N=1$. В этом случае $F(x,y)=y^2-x^3-\lambda_4 x$. Имеем Кривая $\Gamma$ задается уравнением $\mathcal{H}(Q,p)=\lambda_6$. В $\mathbb{C}^{2}$ с координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, $|Q|=2$, $|p|=3$, гамильтонова система имеет вид Следовательно, $Q''=6Q^2+2\lambda_4$, и функция $u=2Q$ удовлетворяет стационарному уравнению КдФ $u'''=6uu'$. Решение этого уравнения выражается в терминах эллиптической функции Вейерштрасса $Q=\wp(z;g_2,g_3)$ кривой $\Gamma=\{(x,y)\colon y^2=4x^3-g_2 x-g_3\}$, где $g_2=-4\lambda_4$, $g_3=-4\lambda_6$. Мероморфное отображение $\widehat\psi\colon \Gamma= \operatorname{Jac}\Gamma \to \mathbb{C}^{2}$, $\tau_1 \mapsto (x=\wp(\tau_1)$, $y=\wp'(\tau_1))$, задает униформизацию Вейерштрасса эллиптической кривой $\Gamma$. Замена переменных $Q=u/2$, $p=u'/4$ задает в $\mathbb{C}^2$ с градуированными координатами $u$, $u'$, $|u|=2$, $|u'|=3$, однородную скобку Пуассона веса $-5$ такую, что $\{u',u\}=2^3$. Пример 7.2. Пусть $g=N=2$. В этом случае $F(x,y)=y^2-x^5-\lambda_4 x^3-\lambda_6 x^2$. В $\mathbb{C}^4$ с координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, $|Q_k|=2k$, $|p_k|=7-2k$, $k=1,2$, получаем иерархию двух динамических систем с коммутирующими гамильтонианами Положим $v_2=u/2$. Используя уравнения (96)–(98), мы можем выразить все координаты $v_k$, $k=2,\dots,5$, в виде дифференциальных полиномов от функции $u$:
$$
\begin{equation*}
v_2=\frac{1}{2}u,\quad v_3=\frac{1}{4} u',\quad v_4=\frac{1}{8}(u''-3 u^2-4\lambda_4),\quad v_5=\frac{1}{16}(u'''-6uu').
\end{equation*}
\notag
$$
В результате мы получаем пространство $\mathbb{C}^4$ с градуированными координатами Дубровина–Новикова $u$, $u'$, $u''$, $u'''$, $|u^{(k)}|=2+k$. В этом пространстве определена скобка Пуассона со следующими ненулевыми значениями на координатных функциях:
$$
\begin{equation*}
\{u''',u\}=\{u',u''\}=2^5, \qquad \{u''',u''\}=5\cdot 2^6 u.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение (99) в координатах Дубровина–Новикова принимает вид
$$
\begin{equation}
u^{(4)}-10uu''-5(u')^2+10 u^3+8\lambda_4u-16\lambda_6=0.
\end{equation}
\tag{104}
$$
Дифференцируя уравнение (104), получаем 2-стационарное уравнение КдФ, или 2-уравнение Новикова, Уравнение (100) в координатах Дубровина–Новикова принимает вид уравнения КдФ решением которого является гиперэллиптическая функция $u=2\wp_2$ рода 2. Из уравнений (96) и (97) следует уравнение а из уравнений (98) и (99) следует уравнение
$$
\begin{equation}
2v_4''=16v_4 v_2-(v_2')^2+4(v_2^3+\lambda_4 v_2+\lambda_6).
\end{equation}
\tag{106}
$$
Используя отождествление $Q_k$ с $\wp_{2k}$, $p_k$ с $\wp'_{2g+2-2k}/2$ и формулы (43)–(45), получаем, что уравнения (105) и (106) интегрируются в гиперэллиптических функциях $\wp_{2}$ и $\wp_{4}$ рода 2. Пример 7.3. Пусть $g=N=3$. В этом случае $F(x,y)=y^2-x^7-\lambda_4 x^5-\lambda_6 x^4-\lambda_8 x^3$. В $\mathbb{C}^6$ с координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, $|Q_k|=2k$, $|p_k|=9-2k$, $k=1,2,3$, получаем иерархию из трех динамических систем с коммутирующими гамильтонианами $\mathcal{H}_1$, $\mathcal{H}_2$ и $\mathcal{H}_3$, Как и выше, введем градуированные координаты с индексами, соответствующими их весам:
$$
\begin{equation*}
Q_1\to v_2,\quad p_3\to v_3,\quad Q_2\to v_4,\quad p_2\to v_5,\quad Q_3\to v_6,\quad p_1\to v_7.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем пространство $\mathbb{C}^6$ с координатами $v_k$, $k=2,\dots,7$, и с однородной скобкой Пуассона веса $-9$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \{a,b\}&=\sum_{k=1}^3 \biggl(\frac{\partial a}{\partial v_{9-2k}}\, \frac{\partial b}{\partial v_{2k}}-\frac{\partial b}{\partial v_{9-2k}}\, \frac{\partial a}{\partial v_{2k}}\biggr)-\sum_{l=1}^2 v_{2l} \biggl(\frac{\partial a}{\partial v_7}\,\frac{\partial b}{\partial v_{2l+2}}- \frac{\partial b}{\partial v_7}\,\frac{\partial a}{\partial v_{2l+2}}\biggr) \\ &\qquad-v_2\biggl(\frac{\partial a}{\partial v_5}\, \frac{\partial b}{\partial v_6}-\frac{\partial b}{\partial v_5}\, \frac{\partial a}{\partial v_6}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом пространстве коммутирующие однородные полиномиальные гамильтонианы $h_{10}$, $h_{12}$ и $h_{14}$, полученные заменой переменных из $\mathcal{H}_{3}$, $\mathcal{H}_{2}$ и $\mathcal{H}_{1}$, задают совместные полиномиальные динамические системы. Динамическая система, определяемая гамильтонианом $h_{10}$, примет вид
$$
\begin{equation}
v_5' =2v_6+4v_4v_2-v_3^2+v_2^3+\lambda_4v_2+\lambda_6,
\end{equation}
\tag{110}
$$
$$
\begin{equation}
v_7' =4v_6v_2+v_4^2+3v_4v_2^2-2v_5v_3-v_3^2v_2+v_2^4+ \lambda_4(v_4+v_2^2)+\lambda_6v_2+\lambda_8,
\end{equation}
\tag{112}
$$
где $f'=\partial_1 f$. Используя уравнения (101)–(111), мы можем выразить все координаты $v_k$, $k=2,\dots,7$, в виде дифференциальных полиномов от функции $u=2v_2$. Имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_2=\frac{1}{2}u,\quad v_3=\frac{1}{4}u',\quad v_4=\frac{1}{8}(u''-3u^2-4\lambda_4),\quad v_5=\frac{1}{16}\mathcal{K}_5, \\ v_6=\frac{1}{32}\bigl(u^{(4)}-10uu''-5(u')^2+10u^3+8\lambda_4u- 16\lambda_6\bigr),\quad v_7=\frac{1}{64}(\mathcal{K}_7+8\lambda_4\mathcal{K}_3). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате мы получаем пространство $\mathbb{C}^6$ с градуированными координатами Дубровина–Новикова $u,u',\dots,u^{(7)}$, $|u^{(k)}|=2+k$. В этом пространстве определена скобка Пуассона со следующими ненулевыми значениями на координатных функциях:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \{u^{(5)},u\}=\{u',u^{(4)}\}=\{u''',u''\}=2^7, \qquad \{u^{(5)},u''\}=\{u''',u^{(4)}\}=7\cdot 2^8u, \\ \{u''',u^{(5)}\}=7\cdot 2^8 u',\qquad \{u^{(4)},u^{(5)}\}=2^{10}\lambda_4-7\cdot 2^9 u''-7\cdot 3^2\cdot 2^8u^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение (112) соответствует 3-стационарному уравнению КдФ
$$
\begin{equation*}
Q_3''+2\,\frac{\partial\mathcal{H}_3}{\partial q_1}=0,\quad\text{где}\quad \frac{\partial}{\partial q_1}=\frac{\partial}{\partial Q_1}- Q_1\frac{\partial}{\partial Q_2}-Q_2\,\frac{\partial}{\partial Q_3}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Динамические системы с гамильтонианами $\mathcal{H}_2$ и $\mathcal{H}_1$ задаются уравнениями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (Q_1)_{\tau_3}&=\{\mathcal{H}_2,Q_1\}\quad\Longleftrightarrow\quad 4u_{\tau_3}=\mathcal{K}_5, \\ (Q_1)_{\tau_5}&=\{\mathcal{H}_1,Q_1\}\quad\Longleftrightarrow\quad 16u_{\tau_5}=\mathcal{K}_7+8\lambda_4\mathcal{K}_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае $N=g>1$ мы имеем $g$ совместных гамильтоновых систем с однородными полиномиальными гамильтонианами $\mathcal{H}_1,\dots,\mathcal{H}_g$, $|\mathcal{H}_k|=4g+4-2k$, $k=1,\dots,g$. В $\mathbb{C}^{2g}$ с координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, $|Q_k|=2k$, $|p_k|=2g+3-2k$, гамильтониан $\mathcal{H}_{g-s+1}$ веса $2g+2s+2$ задает поток с натуральным параметром $\tau_{2s-1}$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial\tau_{2s-1}}=\{\mathcal{H}_{g-s+1},f\},\qquad s=1,\dots,g.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим, как и выше, $f'=\partial f/\partial\tau_1$. Теорема 54. Из гамильтоновой системы можно последовательно выразить переменные $p_g,Q_2,p_{g-1},Q_3,\dots,Q_g,p_1$ в виде однородных полиномов от $Q_1,Q_1',Q_1'',\dots$ над кольцом $\Lambda_g=\mathbb{C}[\lambda_4,\dots,\lambda_{2g+2}]$. Доказательство. Согласно предложению 38 имеет место формула Таким образом, мы пришли к задаче: выразить переменные $Q_n$, $n=1,\dots,g$, в виде однородных полиномов веса $2n$ от $Q_1,\dots,Q_g$. Решение этой задачи дают полиномы $\mathcal{G}_{2n}$ (см. следствие 42). Эти полиномы строятся индуктивно на основе формулы где $\Psi$ – однородный полином веса $2n+2$ от переменных $Q_k$, $p_s$ веса меньше $2n+2$. Теорема доказана. Динамические системы, задаваемые гамильтонианами $\mathcal{H}_{g-k+1}$, $k=2,\dots,g$, дают уравнение $g$-й иерархии КдФ
$$
\begin{equation*}
\partial_{2k-1}Q_{1}=\{\mathcal{H}_{g-k+1},Q_1\}=2p_{g-k+1}=Q_{k}'.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение
$$
\begin{equation*}
Q_{g}''+2\biggl(\frac{\partial}{\partial Q_{1}}- \sum_{m=1}^{g-1}Q_m\frac{\partial}{\partial Q_{m+1}}\biggr)\mathcal{H}_{g}=0
\end{equation*}
\notag
$$
дает $g$-е стационарное уравнение КдФ. В общем случае $N=g>1$ можно ввести градуированные координаты $v_k$, $k=2,\dots,2g+1$, $|v_k|=k$, полагая $Q_k=v_{2k}$, $p_k=v_{2g-2k+3}$, $k=1,\dots,g$. Получаем пространство $\mathbb{C}^{2g}$ с координатами $v_k$, $k=2,\dots,2g+1$, и с однородной скобкой Пуассона веса $-(2g+3)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \{a,b\}&=\sum_{k=1}^g\biggl(\frac{\partial a}{\partial v_{2g-2k+3}}\, \frac{\partial b}{\partial v_{2k}}-\frac{\partial b}{\partial v_{2g-2k+3}}\, \frac{\partial a}{\partial v_{2k}}\biggr) \\ &\qquad-\sum_{k=1}^{g-1}\,\sum_{l=1}^{g-k} v_{2l} \biggl(\frac{\partial a}{\partial v_{2g-2k+3}}\, \frac{\partial b}{\partial v_{2k+2l}}- \frac{\partial b}{\partial v_{2g-2k+3}}\, \frac{\partial a}{\partial v_{2k+2l}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом пространстве коммутирующие однородные полиномиальные гамильтонианы $h_{2g+2k+2}=h_{2g+2k+2}(v_2,\dots,v_{2g+1})$, $k=1,\dots,g$, полученные заменой переменных из гамильтонианов $\mathcal{H}_{k}=\mathcal{H}_k(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, $|\mathcal{H}_{k}|=4g-2k+4$, $k=1,\dots,g$, задают совместные полиномиальные динамические системы. Несложно переписать утверждение теоремы 54 в терминах координат $v_k$, $k=2,\dots,2g+1$, и гамильтонианов $h_{2g+2l+2}$, $l=1,\dots,g$. Положим $v=u/2$. Используя динамическую систему, задаваемую гамильтонианом $h_{2g+4}$, мы можем выразить все координаты $v_k$, $k=2,\dots,2g+1$, в виде полиномов от функции $u$ и ее производных над кольцом $\mathbb{Q}[\lambda_4,\dots,\lambda_{2g+2}]$. В результате мы получим пространство $\mathbb{C}^{2g}$ с градуированными координатами Дубровина–Новикова $u,u',\dots,u^{(2g-1)}$, $|u^{(k)}|=2+k$, и с однородной скобкой Пуассона веса $-(2g+3)$. 8. Случай $N=g+1$ и потенцированная иерархия Кортевега–де ФризаРассмотрим в $\mathbb{C}^{2g+2}$, $g\geqslant 1$, с однородными координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, $|Q_k|=2k$, $|p_k|=2g+3-2k$, $k=1,\dots,g+1$, и скобкой Пуассона
$$
\begin{equation*}
\{a,b\}=\sum_{n=1}^{g+1} \biggl(\frac{\partial a}{\partial p_n}\, \frac{\partial b}{\partial Q_n}-\frac{\partial b}{\partial p_n}\, \frac{\partial a}{\partial Q_n}\biggr)-\sum_{n=1}^{g}\,\sum_{m=1}^{g+1-n} Q_{m}\biggl(\frac{\partial a}{\partial p_n}\, \frac{\partial b}{\partial Q_{n+m}}-\frac{\partial b}{\partial p_n}\, \frac{\partial a}{\partial Q_{n+m}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
иерархию полиномиальных гамильтоновых динамических систем, соответствующую полиному
$$
\begin{equation*}
F(x,y)=y^2-x^{2g+1}-\lambda_4x^{2g-1}-\cdots-\lambda_{2g}x^{g+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_4,\dots,\lambda_{2g}$, $|\lambda_{2k}|=2k$, – свободные градуированные параметры. Для фиксированных $\lambda_4,\dots,\lambda_{2g}$ гамильтонианы $\mathcal{H}_{g+1},\dots,\mathcal{H}_1$, $|\mathcal{H}_k|=4g+4-2k$, задают потоки с временами $\tau_{-1},\tau_1,\dots,\tau_{2g-1}$ такими, что $|\partial_{2k-3}|=|\partial/\partial\tau_{2k-3}|=2k-3$, $k=1,\dots,g+1$. Имеем
$$
\begin{equation}
\partial_{2k-3}a=\{\mathcal{H}_{g+2-k},a\},\qquad k=1,\dots,g+1.
\end{equation}
\tag{114}
$$
Пример 8.1. Пусть $g=1$, $N=2$. Имеем Первые три уравнения этой системы позволяют выразить координаты $v_k$, $k=2,3,4$, в виде дифференциальных полиномов от функции $v=v_1$:
$$
\begin{equation*}
v_1=v,\quad v_2=v'+v^2,\quad v_3=\frac{1}{2}(2v v'+v''),\quad v_4=\frac{1}{2}\bigl(2v^2v'+4(v')^2+2vv''+v'''\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Четвертое уравнение приводит к уравнению Следовательно, функция $u=-2v'$ удовлетворяет стационарному уравнению КдФ Два коммутирующих гамильтониана $\mathcal{H}_2$ и $\mathcal{H}_1$ в координатах $v$, $v'$, $v''$, $v'''$ принимают вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_2=-3(v')^2-\frac{1}{2}v''',\qquad \mathcal{H}_1=-2(v')^3-\frac{1}{2}v'''v'+\frac{1}{4}(v'')^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Ненулевые скобки Пуассона между координатными функциями $v$, $v'$, $v''$, $v'''$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\{v,v'''\}=2,\qquad \{v',v''\}=-2,\qquad \{v'',v'''\}=-24v'.
\end{equation*}
\notag
$$
В этих координатах гамильтониан $\mathcal{H}_2$ задает поле $D_{-1}=\partial/\partial v$, а гамильтониан $\mathcal{H}_1$ – поле Для функции $u=-2v'$ получаем уравнения Пусть $4h_4^3+27h_6^2 \ne 0$. Тогда $u=2\wp(\tau_1,g_2,g_3)$, где $g_k=-4h_{2k}$, $k=2,3$. Так как $D_{-1}v=1$, мы получаем где $\zeta$ и $\wp=-\zeta'$ – эллиптические функции Вейерштрасса. Пример 8.2. Пусть $g=2$, $N=3$. В этом случае рассматривается однородный полином $F(x,y)=y^2-x^5-\lambda_4 x^3$ веса 10. В пространстве $\mathbb{C}^6$ с координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, $|Q_k|=2k$, $|p_k|=7-2k$, $k=1,2,3$, задается иерархия из трех гамильтоновых полиномиальных систем с коммутирующими гамильтонианами $\mathcal{H}_1$, $\mathcal{H}_2$ и $\mathcal{H}_3$, $|\mathcal{H}_k|=12-2k$, $k=1,2,3$: Гамильтонианы задают потоки с временами $\tau_{-1}$, $\tau_1$, $\tau_3$ такими, что $|\partial_k|=|\partial/\partial_{\tau_k}|=k$. Положим $\partial_1 f=f'$ и $\partial_3 f=\dot{f}$. Тогда совместные динамические системы можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} (Q_1)_{\tau_{-1}}&=2p_3,&\quad (p_1)_{\tau_{-1}}&=Q_2+Q_1^2-Q_1 p_3^2-2p_2p_3+\lambda_4, \\ (Q_2)_{\tau_{-1}}&=2p_2, &\quad (p_2)_{\tau_{-1}}&=Q_1-p_3^2, \\ (Q_3)_{\tau_{-1}}&=2p_1, &\quad (p_3)_{\tau_{-1}}&=1; \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} Q_1'&=2p_2, &\quad p_1'&=Q_3-Q_2 Q_1-Q_1^3+2p_2 p_3+p_3^2 Q_1^2-\lambda_4 Q_1, \\ Q_2'&=2(p_1-p_2 Q_1+p_3 Q_2), &\quad p_2'&=2Q_2-2p_2 p_3+\lambda_4, \\ Q_3'&=2(p_3 Q_3-p_1 Q_1), &\quad p_3'&=Q_1-p_3^2; \\ \dot Q_1&=2p_1, &\quad \dot p_1&=Q_1 Q_3-p_3^2 Q_3+Q_1 Q_2 p_3^2-Q_2^2 \\ &&&\quad+2p_2 p_3 Q_2-Q_1^2 Q_2-\lambda_4 Q_2, \\ \dot Q_2&=2(p_3 Q_3-p_1 Q_1), &\quad \dot p_2&=Q_3-Q_1 Q_2-Q_1^3+p_3^2 Q_1^2+2p_2 p_3 Q_1-\lambda_4 Q_1, \\ \dot Q_3&=2(p_2 Q_3-p_1 Q_2), &\quad \dot p_3&=Q_2+Q_1^2-p_3^2 Q_1-2p_2 p_3+\lambda_4. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
В $\mathbb{C}^6$ введем индексы градуированных координат, соответствующие их весам:
$$
\begin{equation*}
p_3\to v_1,\quad Q_1\to v_2,\quad p_2\to v_3,\quad Q_2\to v_4,\quad p_1\to v_5,\quad Q_3\to v_6.
\end{equation*}
\notag
$$
В этих обозначениях динамическая система с временем $\tau_1$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} v_1'&=v_2-v_1^2, &\quad v_4'&=2(v_5+v_1 v_4-v_2 v_3), \\ v_2'&=2 v_3, &\quad v_5'&=v_6-v_2 v_4+2v_1 v_2 v_3-v_2^3+v_1^2 v_2^2-\lambda_4 v_2, \\ v_3'&=2v_4-2v_1 v_3+\lambda_4, &\quad v_6'&=2(v_1 v_6-v_2 v_5). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Первые пять уравнений этой системы позволяют выразить координаты $v_k$, $k=2,\dots,6$, в виде дифференциальных полиномов от функции $v=v_1$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_2&=v'+v^2, \\ 2v_3&=v''+2vv', \\ 4v_4&=v'''+4vv''+2(v')^2+4v^2v'-2\lambda_4, \\ 8v_5&=v^{(4)}+2vv'''+12v'v''+12v(v')^2+4\lambda_4 v, \\ 8v_6&=v^{(5)}+2vv^{(4)}+16v'v'''+2v^2v'''+12(v'')^2 +24vv'v'' \\ &\qquad+24(v')^3+12 v^2(v')^2+8\lambda_4 v'+4\lambda_4 v^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Шестое уравнение системы приводит к уравнению
$$
\begin{equation}
v^{(6)}+20v^{(4)}v'+8\bigl(5v'''+15(v')^2+\lambda_4\bigr)v''=0.
\end{equation}
\tag{115}
$$
Три коммутирующих гамильтониана в координатах $v,v',\dots,v^{(5)}$ принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{H}_1&=\frac{1}{64}\bigl(-192\lambda_4(v')^3-32\lambda_4^2 v'- 80\lambda_4 v'''v'-48\lambda_4(v'')^2-4\lambda_4 v^{(5)} \\ &\qquad+24v^{(4)}v'v''-288(v')^5-240 v'''(v')^3-12 v^{(5)}(v')^2 \\ &\qquad-32(v''')^2 v'-24v'''(v'')^2+(v{}^{(4)})^2-2v'''v^{(5)}\bigr), \\ \mathcal{H}_2&=\frac{1}{16}\bigl(4\lambda_4^2-8\lambda_4(v')^2- 60(v')^4-40 v'''(v')^2-2v^{(5)}v'+2 v^{(4)}v''-(v''')^2\bigr), \\ \mathcal{H}_3&=\frac{1}{8}\bigl(-8\lambda_4 v'-40(v')^3- 20 v'''v'-10(v'')^2-v^{(5)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ненулевые скобки Пуассона между координатными функциями $v,v',\dots,v^{(5)}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \{v,v^{(5)}\}=\{v^{(4)},v'\}=\{v'',v'''\}=2^3,\qquad \{v^{(5)},v''\}=\{v''',v^{(4)}\}=5\cdot 2^5v', \\ \{v''',v^{(5)}\}=5\cdot 2^5v'',\qquad \{v^{(5)},v^{(4)}\}=2^6\lambda_4-5\cdot 7 \cdot 2^6(v')^2+5\cdot 2^5v'''. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{116}
$$
Гамильтонианам $\mathcal{H}_3$, $\mathcal{H}_2$, $\mathcal{H}_1$ соответствуют векторные поля
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_{-1}&=\frac{\partial}{\partial v}\,, \\ D_1&=\sum_{k=0}^4 v^{(k+1)}\frac{\partial}{\partial v^{(k)}}- \bigl[20v^{(4)}v'+8\bigl(5v'''+15(v')^2+\lambda_4\bigr)v''\bigr] \frac{\partial}{\partial v^{(5)}}\,, \\ D_3&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^5 D_1^{k}\big(2\lambda_4+6(v')^2+ v'''\big)\frac{\partial}{\partial v^{(k)}}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 55. Динамические системы с временами $\tau_1$ и $\tau_3$ задают потенцированную 2-иерархию КдФ. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\dot v=D_3v=\frac{1}{4}\bigl(v'''+6(v')^2+2\lambda_4\bigr), \qquad 4\dot v'=v^{(4)}+12v'v''.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, функция $u=-2v'$ удовлетворяет уравнению КдФ Из уравнения (115) следует, что функция $u$ удовлетворяет уравнению Лемма доказана. Пусть уравнение $y^2=x^5+\lambda_4x^3+\lambda_6x^2+\lambda_8x+\lambda_{10}$ задает неособую кривую. Тогда функция $u=-2\wp_2(\tau_1,\tau_3)=2\partial_1^2\ln \sigma(\tau_1,\tau_3)$ удовлетворяет 2-иерархии КдФ. Следствие 56. Совместное решение динамических систем с временами $\tau_{-1},\tau_1,\tau_3$ задается функцией где $\zeta_1(\tau_1,\tau_3)=\partial_1\ln\sigma(\tau_1,\tau_3)$ и $\sigma(\tau_1,\tau_3)$ – сигма-функция неособой гиперэллиптической кривой рода 2. Рассмотрим теперь в $\mathbb{C}^{2g+2}$, $g\geqslant 1$, с координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ иерархию гамильтоновых динамических систем с гамильтонианами $\mathcal{H}_1,\dots,\mathcal{H}_{g+1}$, $|\mathcal{H}_k|=2g+4-2k$, соответствующую полиному
$$
\begin{equation*}
F(x,y)=y^2-x^{2g+1}-\lambda_4x^{2g-1}-\cdots-\lambda_{2g}x^{g+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти гамильтонианы задают потоки с временами $\tau_{-1},\tau_1,\dots,\tau_g$, $|\partial_k|=k$. Положим $f'=\partial_1 f$. Теорема 57. (i) Динамическая система Доказательство этой теоремы опирается на результаты разделов 5–7 и проводится аналогично детально описанному выше доказательству для случая $g=2$. 9. Иерархия динамических систем в случае $g=2$, $N=4$Рассмотрим в пространстве $\mathbb{C}^{2g+4}$, $g\geqslant 1$, с однородными координатами $(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$, $|Q_k|=2k$, $|p_k|=2g+3-2k$, $k=1,\dots,g+2$, и скобкой Пуассона
$$
\begin{equation*}
\{a,b\}=\sum_{n=1}^{g+2}\biggl(\frac{\partial a}{\partial p_n}\, \frac{\partial b}{\partial Q_n}-\frac{\partial b}{\partial p_n}\, \frac{\partial a}{\partial Q_n}\biggr)-\sum_{n=1}^{g+1}\,\sum_{m=1}^{g+2-n} Q_{m}\biggl(\frac{\partial a}{\partial p_n}\, \frac{\partial b}{\partial Q_{n+m}}- \frac{\partial b}{\partial p_n}\,\frac{\partial a}{\partial Q_{n+m}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
иерархию полиномиальных гамильтоновых динамических систем, соответствующую полиному
$$
\begin{equation*}
F(x,y)=y^2-x^{2g+1}-\lambda_4x^{2g-1}-\cdots-\lambda_{2(g-1)}x^{g+2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_4,\dots,\lambda_{2(g-1)}$, $|\lambda_{2k}|=2k$, – свободные градуированные параметры. Для фиксированных $\lambda_4,\dots,\lambda_{2(g-1)}$ гамильтонианы $\mathcal{H}_{g+2},\dots,\mathcal{H}_1$, $|\mathcal{H}_k|=4g+4-2k$, $k=1,\dots,g+2$, задают потоки с временами $\tau_{-3},\tau_{-1},\tau_1,\dots,\tau_{2g-1}$, $|\partial_{2k-5}|=|\partial/\partial\tau_{2k-5}|=2k-5$, $k=1,\dots,g+2$. Имеем
$$
\begin{equation}
\partial_{2k-5}a=\{\mathcal{H}_{g+3-k},a\},\qquad k=1,\dots,g+2.
\end{equation}
\tag{117}
$$
Рассмотрим подробно случай $g=2$, $N=4$. Полиному $F(x,y)=y^2-x^5$ соответствуют четыре коммутирующих гамильтониана:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{H}_1&=p_3^2 Q_4+p_4^2 Q_1^2 Q_4+2 p_2 p_4 Q_4+2 p_3 p_4 Q_1 Q_4+ p_4^2 Q_2 Q_4+p_1^2-Q_1 Q_4, \\ \mathcal{H}_2&=p_3^2 Q_3+2 p_4 p_3 Q_1 Q_3+2 p_4 p_3 Q_4+p_4^2 Q_1^2 Q_3+ 2 p_2 p_4 Q_3+p_4^2 Q_2 Q_3 \\ &\qquad+p_4^2 Q_1 Q_4+2 p_1 p_2-Q_1 Q_3-Q_4, \\ \mathcal{H}_3&=2 p_4 p_2 Q_2+p_4^2 Q_2^2+p_3^2 Q_2+p_4^2 Q_1^2 Q_2+ 2 p_3 p_4 Q_1 Q_2+2 p_3 p_4 Q_3 \\ &\qquad+p_4^2 Q_1 Q_3+p_4^2 Q_4+p_2^2+2 p_1 p_3-Q_1 Q_2-Q_3, \\ \mathcal{H}_4&=p_4^2 Q_1^3+2 p_3 p_4 Q_1^2+p_3^2 Q_1+2 p_2 p_4 Q_1+ 2 p_4^2 Q_2 Q_1+2 p_3 p_4 Q_2 \\ &\qquad+p_4^2 Q_3+2 p_2 p_3+2 p_1 p_4-Q_1^2-Q_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти гамильтонианы задают потоки с временами $\tau_3,\tau_1,\tau_{-1},\tau_{-3}$, $|\tau_k|=k$ (см. формулу (117)). В $\mathbb{C}^8$ введем градуированные координаты с индексами, соответствующими их весам:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{6} p_4&\to v_{-1},&\quad p_3&\to v_1,&\quad Q_1&\to v_2,&\quad p_2&\to v_3, \\ Q_2&\to v_4,&\quad p_1&\to v_5,&\quad Q_3&\to v_6,&\quad Q_4&\to v_8, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $|v_k|=k$. Гамильтониан $\mathcal{H}_2$ задает векторное поле $\partial_1$ с временем $\tau_1$. Пусть $\partial_1 f=f'$. Введем функции $u=1/v_{-1}$ и $w=(1+3v_1v_{-1})/(3v_{-1}^3)$, $|u|=1$ и $|w|=3$. Динамическая система с временем $\tau_1$ позволяет получить следующие формулы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_{-1}&=\frac{1}{u}\,, \\ v_{1}&=\frac{1}{3u^2}(u^3-3w), \\ v_{2}&=\frac{1}{3u}(3uu'+u^3+6w), \\ v_{3}&=\frac{1}{6u^2}(u^2u''-6wu'+2u^3u'+6uw'), \\ v_{4}&=-\frac{1}{9u^2}(9u^3u''+9u^4u'+9u^2w'-6u^3w+u^6+9w^2), \\ v_{5}&=\frac{1}{6u^2}(-6uu'w'-6w(u')^2+2u^3(u')^2-6u(u')^3 \\ &\qquad+6u^2u'u''+3u^2w''+2u^3w'-6ww'), \\ v_{6}&=-\frac{1}{18u^2}(9u'''u^4-18u^2wu''+6u^5u''- 36u^2u'w'-12u^3wu'+18w^2u'+2u^6u' \\ &\qquad+18u^4(u')^2-18u^2(u')^3+18u^3u'u''+18u^3w''-6u^4w'-36uww'), \\ v_{8}&=-\frac{1}{36u^2}\bigl(9u^{(4)}u^5+36u^4(u'')^2-36u^3u'w''+ 48u^4u'w'+36u^2(u')^2w' \\ &\qquad+72uwu'w'-24u^3w(u')^2+72uw(u')^3+36w^2(u')^2+4u^6(u')^2 \\ &\qquad+48u^4(u')^3+36u^2(u')^4+36u'''u^4u'-72u^2wu'u''+60u^5u'u'' \\ &\qquad-72u^3(u')^2u''+18u^4w'''-24u^5w''-36u^2ww''+4u^6w' \\ &\qquad-24u^3ww'+36w^2w'\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение $v_5'=\{\mathcal{H}_2,v_5\}$ дает уравнение Уравнение (118) позволяет исключить производные $w^{(k)}$, $k\geqslant 2$, из формул, задающих гамильтонианы и гамильтоновы векторные поля. Запишем гамильтонианы $\mathcal{H}_1,\dots,\mathcal{H}_4$ в координатах $w,w',u,u',\dots,u^{(5)}$ и обозначим их через $h_{10},h_{8},h_{6},h_{4}$ в соответствии с их весами. Тогда гамильтонианы $h_{10},h_{8},h_{6},h_{4}$ принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_{10}&=\frac{1}{64}\big(-8 u^{(5)}w'+(u^{(4)})^2-96(u'')^2w'- 256(u')^3w'-128u'(w')^2-128(u')^5 \\ &\qquad-8u^{(5)}(u')^2-96u'''u'w'-96u'''(u')^3+48(u')^2(u'')^2+ 24u^{(4)}u'u''\big), \\ h_{8}&=\frac{1}{8}\bigl(-4 u'''w'-16(u')^2w'-24(u')^4-u^{(5)}u'+ u^{(4)}u''-16 u'''(u')^2+8(w')^2\bigr), \\ h_{6}&=\frac{1}{8}\bigl(-u^{(5)}-10(u'')^2-16u'w'-32(u')^3-16u'''u'\bigr), \\ h_{4}&=\frac{1}{2}\bigl(-u'''-2(u')^2+4 w'\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующие гамильтоновы векторные поля принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &h_4: &\quad D_{-3}&=\frac{\partial}{\partial w}\,, \\ &h_6: &\quad D_{-1}&=\frac{\partial}{\partial u}\,, \\ &h_8: &\quad D_1&=\sum_{k=0}^4 u^{(k+1)}\frac{\partial}{\partial u^{(k)}}- 4\bigl(5u^{(4)}u'+9 u'''u''+28(u')^2u''+4 u''w'\bigr) \frac{\partial}{\partial u^{(5)}} \\ &&&\qquad+w'\frac{\partial}{\partial w}+\frac{1}{4}\bigl(u^{(4)}+4u'u''\bigr) \frac{\partial}{\partial w'}\,, \\ &h_{10}: &\quad D_3&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^5 D_1^{k}\bigl(w'+(u')^2\bigr)\, \frac{\partial}{\partial u^{(k)}}-u'\bigl(w'+(u')^2\bigr)\, \frac{\partial}{\partial w} \\ &&&\qquad-D_1\bigl(u'(w'+(u')^2)\bigr)\, \frac{\partial}{\partial w'}\,. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрировав уравнение (118), получаем уравнение где $\alpha$ – константа интегрирования по времени $\tau_1$. Из формулы для гамильтониана $h_4$ следует, что $2\alpha=h_4$, т. е. $\alpha$ не зависит и от времени $\tau_3$. Используя этот результат, мы можем записать уравнение $v_8'=\{\mathcal{H}_2,v_8\}$ в виде
$$
\begin{equation}
u^{(6)}+16\alpha u''+20u^{(4)}u'+40u'''u''+120(u')^2u''=0.
\end{equation}
\tag{120}
$$
Уравнение (120) совпадает с 2-стационарным уравнением КдФ на координату $u'$. Уравнение $\dot u=\{h_{10},u\}$ принимает вид Уравнение (121) совпадает с потенцированным уравнением КдФ. Исключая координату $w'$ из формул для гамильтоновых векторных полей, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &h_4: &\quad \overline{D}_{-3}&=\frac{\partial}{\partial w}, \\ &h_6: &\quad \overline{D}_{-1}&=\frac{\partial}{\partial u},\\ &h_8: &\quad \overline{D}_1&=\sum_{k=0}^4 u^{(k+1)} \frac{\partial}{\partial u^{(k)}}-4\bigl(4\alpha u''+5u^{(4)}u'+ 10u'''u''+30(u')^2u''\bigr)\frac{\partial}{\partial u^{(5)}} \\ &&&\qquad+\frac{1}{4}\bigl(\alpha +u'''+2(u')^2\bigr) \frac{\partial}{\partial w}\,, \\ &h_{10}:&\quad \overline{D}_3&=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^5 D_1^{k} \bigl(4\alpha+u'''+6(u')^2\bigr)\frac{\partial}{\partial u^{(k)}}- \frac{1}{4}u'\bigl(4\alpha+u'''+6(u')^2\bigr)\frac{\partial}{\partial w}\,. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Исключая координату $w'$ из формул для гамильтонианов, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_{10}&=\frac{1}{64}\bigl(-8\alpha u^{(5)}+(u^{(4)})^2-96\alpha(u'')^2- 128\alpha^2u'-384\alpha(u')^3-288(u')^5 \\ &\qquad-2u'''u^{(5)}-12u^{(5)}(u')^2-24u'''(u'')^2-160\alpha u'''u'- 240u'''(u')^3 \\ &\qquad-32(u''')^2u'+24u^{(4)}u'u''\bigr), \\ h_{8}&=\frac{1}{16}\bigl(16\alpha^2-(u''')^2-16\alpha(u')^2-60(u')^4- 2u^{(5)}u'+2u^{(4)}u''-40u'''(u')^2\bigr), \\ h_{6}&=\frac{1}{8}\bigl(-u^{(5)}-10(u'')^2-16\alpha u'- 40(u')^3-20u'''u'\bigr), \\ h_{4}&=2\alpha. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В пространстве $\mathbb{C}^8$ переход от координат $(Q_k,p_k)$, $k=1,\dots,4$, к координатам $w,w',u,u',\dots,u^{(5)}$ определяет однородную скобку Пуассона веса $-7$, которая принимает следующие ненулевые значения на координатных функциях:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \{u^{(5)},u\}&=\{u',u^{(4)}\}=\{u''',u''\}= 4\{w',u''\}=4\{u''',w\}=2^3, \\ \{u^{(4)},u'''\}&=\{u'',u^{(5)}\}=5\{w,u^{(5)}\}= 5\{u^{(4)},w'\}=5\cdot 2^5u', \\ \{u^{(5)},u'''\}&=4\{u^{(5)},w'\}=5\cdot 2^5u'', \\ \{u^{(5)},u^{(4)}\}&=2^7\bigl(18(u')^2-w'-u'''\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В пространстве $\mathbb{C}^8$ с координатами $w,w',u,u',\dots,u^{(5)}$ и описанной скобкой Пуассона рассмотрим иерархию динамических систем, задаваемую гамильтоновыми векторными полями $D_{-3}$, $D_{-1}$, $D_{1}$, $D_{3}$ с гамильтонианами $h_{4}$, $h_{6}$, $h_{8}$, $h_{10}$. Теорема 59. Пусть $\lambda_{2k}=h_{2k}$, $k=2,\dots,5$, – такие значения гамильтонианов, что кривая $\Gamma$, задаваемая уравнением $y^2=x^5+\lambda_4x^3+\lambda_6x^2+\lambda_8x+\lambda_{10}$, является неособой. Тогда решение иерархии гамильтоновых систем задается следующими функциями: Доказательство. Согласно теоремам 58 и 30 имеет место формула
$$
\begin{equation*}
u=\zeta_1(\tau_1,\tau_3)+c_1(\tau_{-3},\tau_{-1},\tau_3).
\end{equation*}
\notag
$$
Применив оператор $D_{3}$, получаем Согласно (119) имеем Следовательно,
$$
\begin{equation*}
4\bigl(-\wp_4-\wp_2^2+\dot{c}\bigr)=2h_4+2\wp_2^2-\wp_2'', \qquad 4\dot{c}_1=4\wp_4+6\wp_2^2-\wp_2''+2h_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя формулу (43), получаем
$$
\begin{equation*}
4\dot{c}_1=4\wp_4+6\wp_2^2+2h_4-6\wp_2^2-4\wp_4-2\lambda_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\dot{c}_1=0$. Используя операторы $D_{-3}$ и $D_{-1}$, видим, что $c_1=\tau_{-1}$. Имеем Следовательно, Согласно формуле (43) и, значит, Проинтегрировав это уравнение, получаем
$$
\begin{equation*}
6w=2\zeta_3-\wp_2'+2h_4\tau_{1}+c_3(\tau_{-3},\tau_{-1},\tau_3).
\end{equation*}
\notag
$$
Применим оператор $D_{3}$ и формулу (44):
$$
\begin{equation*}
-6u'\bigl(w'+(u')^2\bigr)=\wp_2\bigl(-\wp_2''-2\wp_4+2h_4+6\wp_2^2\bigr)= -\wp_4''-2\wp_{3,3}+\dot{c}_3=-6\wp_2\wp_4+\dot{c}_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись еще раз формулой (43), получаем, что $\dot{c}_3=0$. Используя операторы $D_{-3}$ и $D_{-1}$, приходим к равенству $c_3=\tau_{-3}$. Теорема доказана. 10. Явные решения систем гидродинамического типаКвазилинейная система первого порядка
$$
\begin{equation*}
u_t^i+v_j^i(\boldsymbol{u})u_x^j=0,\qquad i,j=1,\dots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
называется системой гидродинамического типа. Такие системы возникают в задачах газовой динамики, теории многослойной воды (уравнения Бенни), методе усреднения Уизема (так называемые уравнения медленной модуляции параметров) и во многих других физических приложениях. При заменах $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}(\boldsymbol{w})$ матрица $v_j^i(\boldsymbol{u})$ преобразуется как $(1,1)$-тензор. (См. [5], [21], [23]–[25], [40], [50].) Инвариантами Римана для систем гидродинамического типа называются такие координаты в $\boldsymbol{u}$-пространстве, что система диагональна, т. е. матрица $v_j^i(\boldsymbol{u})$ диагональна при всех $\boldsymbol{u}=(u_1,\dots,u_N)$. Рассмотрим систему уравнений газа Чаплыгина
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_t&=UU_x+V^{-3}V_x=\frac{1}{2}\biggl(U^2-\frac{1}{V^2}\biggr)_x, \\ V_t&=VU_x+UV_x=(UV)_x. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта система уравнений в римановых координатах $u$, $v$ принимает вид где $u=U-1/V$, $v=U+1/V$. При $v=u$ получаем уравнение Э. Хопфа Это простейшее уравнение, описывающее разрывные течения, или течения с ударными волнами. Рассмотрим пространство $\mathbb{C}^N$ c координатами $x_1,\dots,x_N$. Введем семейство диагональных систем гидродинамического типа
$$
\begin{equation}
\frac{\partial x_i}{\partial t_k}=(-1)^{N-k}\, \frac{\partial e_{N-k+1}}{\partial x_i}\, \frac{\partial x_i}{\partial t_N}\,,\qquad 1\leqslant i, k\leqslant N,
\end{equation}
\tag{125}
$$
где $e_{N-k+1}(\boldsymbol{x})$ – элементарные симметрические функции. Согласно [24] это семейство является совместным. Рассмотрим кокасательное расслоение $T^*\mathbb{C}^N$ с координатами $y_1,\dots,y_N$ в кокасательном пространстве к точке $x_1,\dots,x_N$. Пространством этого расслоения является $\mathbb{C}^{2N}$ с канонической скобкой Пуассона
$$
\begin{equation*}
\{y_i,x_j\}=\delta_{i,j}, \quad \{x_i,x_j\}=\{y_i,y_j\}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Дополним (125) семейством систем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial y_i}{\partial t_k}=(-1)^{N-k} \frac{\partial e_{N-k+1}}{\partial x_i}\, \frac{\partial y_i}{\partial t_N}\,, \qquad 1\leqslant i, k\leqslant N,
\end{equation}
\tag{126}
$$
на координаты $y_1,\dots,y_N$. Получившаяся в результате система (125), (126) снова является системой гидродинамического типа. В случае $N=2$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial x_1}{\partial t_1}&= -x_2\,\frac{\partial x_1}{\partial t_2}\,,&\quad \frac{\partial x_2}{\partial t_1}&= -x_1\,\frac{\partial x_2}{\partial t_2}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{125*}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial y_1}{\partial t_1}&= -x_2\,\frac{\partial y_1}{\partial t_2}\,,&\quad \frac{\partial y_2}{\partial t_1}&= -x_1\,\frac{\partial y_2}{\partial t_2}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{126*}
$$
Система (125*) принимает вид (125) при $u=-x_1$, $v=-x_2$. В разделе 1 показано, что для любого полинома
$$
\begin{equation*}
F(x,y)\in\mathbb{C}[x,y],\quad \frac{\partial}{\partial y}F(x,y)\ne 0,
\end{equation*}
\notag
$$
существует иерархия из $N$ полиномиальных гамильтоновых систем в $\mathbb{C}^{2N}$, интегрируемых по Лиувиллю. Лемма 60. Общее решение $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ совместных гамильтоновых систем (19) дает решение семейства систем гидродинамического типа (125) и (126) с начальным условием где вектор-функции $\boldsymbol{x}(t_N)$, $\boldsymbol{y}(t_N)$ являются решениями гамильтоновой системы Лемма 61. Преобразование $\varphi$ переводит семейство диагональных систем гидродинамического типа (6) в семейство систем гидродинамического типа Теорема 62. Общее решение $\boldsymbol{q}(t_1,\dots,t_N)$, $\boldsymbol{p}(t_1,\dots,t_N)$ полиномиальных гамильтоновых систем (33) дает решение семейства систем гидродинамического типа (127) с начальным условием $\boldsymbol{q}(0,\dots,0,t_N)$, $\boldsymbol{p}(0,\dots,0,t_N)$, которое является решением гамильтоновой системы Пример 10.1. Пусть $N=2$ и $F(x,y)=y^2-x^3$. Имеем преобразование от координат $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ к координатам $(\boldsymbol{q},\,\boldsymbol{p})$: Интегрируемая гамильтонова система типа Штеккеля с гамильтонианами $H_1$ и $H_2$ в координатах $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \frac{\partial x_1}{\partial t_1}&=-\frac{2 x_2 y_1}{x_1-x_2}\,, &\qquad \frac{\partial y_1}{\partial t_1}&= -x_2\,\frac{2x_1^3-3 x_2x_1^2+x_2^3+y_1^2-y_2^2}{(x_1-x_2)^2}\,, \\ \frac{\partial x_2}{\partial t_1}&=-\frac{2x_1 y_2}{x_2-x_1}\,, &\qquad \frac{\partial y_2}{\partial t_1}&=-x_1\,\frac{x_1^3-3 x_2^2 x_1+ 2x_2^3-y_1^2+y_2^2}{(x_1-x_2)^2}\,, \\ \frac{\partial x_1}{\partial t_2}&=\frac{2 y_1}{x_1-x_2}\,, &\qquad \frac{\partial y_1}{\partial t_2}&= \frac{2x_1^3-3 x_2x_1^2+x_2^3+y_1^2-y_2^2}{(x_1-x_2)^2}\,, \\ \frac{\partial x_2}{\partial t_2}&=\frac{2 y_2}{x_2-x_1}\,, &\qquad \frac{\partial y_2}{\partial t_2}&=\frac{x_1^3-3 x_2^2 x_1+2x_2^3-y_1^2+ y_2^2}{(x_1-x_2)^2}\,. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{131}
$$
В координатах $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ полиномиальные гамильтонианы имеют вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_1=-\frac{1}{2} p_2^2 q_1^2+p_2^2 q_2+p_1^2+ \frac{q_1^3}{2}-q_2 q_1,\quad \mathcal{H}_2=p_2^2 q_1+2 p_1 p_2-q_2-\frac{q_1^2}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующие динамические системы имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \frac{\partial}{\partial t_{1}}q_1&=2p_1,&\qquad \frac{\partial}{\partial t_{2}}q_1&=2p_2, \\ \frac{\partial}{\partial t_{1}}p_1&= \frac{1}{2}(2 p_2^2 q_1-3 q_1^2+2q_2),&\qquad \frac{\partial}{\partial t_{2}}p_1&=q_1-p_2^2, \\ \frac{\partial}{\partial t_{1}}q_2&=-p_2(q_1^2-2 q_2),&\qquad \frac{\partial}{\partial t_{2}}q_2&=2(p_2 q_1+p_1), \\ \frac{\partial}{\partial t_{1}}p_2&=q_1-p_2^2,&\qquad \frac{\partial}{\partial t_{2}}p_2&=1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $h_1$ и $h_2$ имеют такие значения, что кривая $\Gamma$ является неособой. Тогда общее решение систем в координатах $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ задается формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_1&=2 c_1 t_{2}+t_{2}^2+c_2, \\ q_2&=2c_1t_{2}^3+(c_1^2+2 c_2)t_{2}^2+2(c_1 c_2+c_3)t_{2}+ \frac{1}{2}t_{2}^4+c_4, \\ p_1&=(c_2-c_1^2) t_{2}+c_3, \\ p_2&=c_1+ t_{2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{132}
$$
где $c_2=c_1^2+c_1'$, $c_3=c_1 c_1'+c_1''/2$, $c_4=2 c_1' c_1^2+c_1''c_1+5(c_1')^2/2+c_1'''/2+c_1^4/2$, $c_1^{(4)}+12c_1'c_1''=0$. Здесь $c_1'=\partial c_1/\partial t_1$. Следовательно, где $\zeta(\,\cdot\,)$ – дзета-функция Вейерштрасса кривой $\{y^2=4x^3-g_2x-g_3\}$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ – произвольные константы и $g_2^3-27g_3^2 \ne 0$. Функции $q_1(t_1,t_2)$, $q_2(t_1,t_2)$, $p_1(t_1,t_2)$, $p_2(t_1,t_2)$ (см. формулы (132)) дают явное решение системы гидродинамического типа (130). Явное решение системы Штеккеля (131) можно получить, использовав преобразование (128). Обратим внимание, что функции, задающие решение в координатах $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$, не являются мероморфными. Семейство систем гидродинамического типа (127) полностью определяется системой (125), (126) при помощи канонического преобразования $\varphi$ от координат $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ к координатам $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$. Замена переменных $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})\to (\boldsymbol{Q},\boldsymbol{p})$ переводит систему (127) в систему вида
$$
\begin{equation}
\frac{\partial J\boldsymbol{Q}}{\partial t_{N-k}}= \mathcal{A}_k(\boldsymbol{Q})\, \frac{\partial J\boldsymbol{Q}}{\partial t_{N}},\qquad \frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial t_{N-k}}= \mathcal{A}_k(\boldsymbol{Q})\frac{\partial\boldsymbol{p}}{\partial t_{N}}\,,
\end{equation}
\tag{133}
$$
где и матрицы $\mathcal{A}_k(\boldsymbol{Q})$, $k=1,\dots,N-1$, имеют вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{A}_k(\boldsymbol{Q})=\sum_{n=0}^{k}Q_{n}\Phi^{k-n+1},\qquad k=0,\dots,N-1.
\end{equation}
\tag{134}
$$
Пример 10.2. В случае $N=4$ имеем Теорема 63. Общие решения $\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{t})$, $\boldsymbol{p}(\boldsymbol{t})$, где $\boldsymbol{t}=(t_1,\dots,t_N)$, полиномиальных гамильтоновых систем Используя явный вид решений полиномиальных гамильтоновых иерархий при $N=g$ (см. раздел 6), при $N=g+1$ (см. раздел 8) и при $N=4$, $g=2$ (см. раздел 9), мы получаем явные решения систем гидродинамического типа в этих случаях.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BucMik21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|