| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Сообщения Московского математического общества Об интерполяционных свойствах полиномов Эрмита–Паде С. П. Суетин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10000 
Реферативные базы данных:
      1.Пусть
$$
\begin{equation}
f_1(z)=\widehat{\sigma}_1(z):=\int_E\frac{d\sigma_1(x)}{z-x}\,,\quad f_2(z):=\int_E\frac{h(x)\,d\sigma_1(x)}{z-x}\,,\qquad z\notin{E},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\sigma_1$ – положительная мера с носителем $\operatorname{supp}\sigma_1$ на компакте $E\subset\mathbb R$, $h$ – функция, голоморфная на $E$: $h\in\mathscr H(E)$. Если $h(z)=\widehat{\sigma}_2(z)$, где $\sigma_2$ – положительная мера такая, что $\operatorname{supp}\sigma_2\subset F$, $F\subset\mathbb R\setminus{E}$ – компакт, то пара функций $f_1$, $f_2$ образует систему Никишина (см. [6], а также [7], [5], [10] и имеющуюся там библиографию). Пусть $Q_{\mathbf n,j}$, $j=0,1,2$, – полиномы Эрмита–Паде 1-го типа для набора $[1,f_1,f_2]$ и мультииндекса $\mathbf n=(n-1,n,n)$, т. е. $\deg{Q_{\mathbf n,j}}\leqslant n$ и выполняется соотношение
$$
\begin{equation}
(Q_{\mathbf n,0}+Q_{\mathbf n,1}f_1+Q_{\mathbf n,2}f_2)(z)= O(z^{-2n-2}),\qquad z\to\infty.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Для произвольного полинома $Q\in\mathbb C[z]\setminus0$ пусть $\chi(Q):=\sum_{\zeta:Q(\zeta)=0}\delta_\zeta$ – мера, считающая нули полинома $Q$ с учетом их кратностей. Для произвольной меры $\mu$ с компактным носителем на $\mathbb R$ определим $V^\mu(z):=-\displaystyle\int\log{|z-t|}\,d\mu(t)$ – логарифмический потенциал меры $\mu$. Из (2) при $h(z)=\widehat{\sigma}_2(z)$ получаем следующее соотношение ортогональности:
$$
\begin{equation}
\int_E(Q_{\mathbf n,1}+ Q_{\mathbf n,2}\widehat{\sigma}_2)(x)x^j\,d\sigma_1(x)=0,\qquad j=0,\dots,2n.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Пусть $\operatorname{conv}{E}$ и $\operatorname{conv}{F}$ – выпуклые оболочки компактов $E$ и $F$ соответственно. Если $\operatorname{conv}{E}\cap\operatorname{conv}{F}=\varnothing$, то из (3) следует, что функция $L_{\mathbf n}(z):= Q_{\mathbf n,1}(z)+Q_{\mathbf n,2}(z)\widehat{\sigma}_2(z)$ имеет на компакте $\operatorname{conv}{E}$ по крайней мере $2n+1$ простой нуль $x_{n,k}$, $k=1,\dots,2n+1$. Положим $\omega_{2n+1}(z):=\prod_{k=1}^{2n+1}(z-x_{n,k})$. Предположим, что компакты $E$ и $F$ состоят из конечного числа отрезков и $\operatorname{conv}{E}\cap\operatorname{conv}{F}=\varnothing$. Тогда из (3) вытекает, что полиномы $Q_{\mathbf n,2}$ удовлетворяют следующему условию ортогональности:
$$
\begin{equation}
\int_F\frac{Q_{\mathbf n,2}(t)t^j}{\omega_{2n+1}(t)}\,d\sigma_2(t)=0,\qquad j=0,\dots,n-1.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Пусть $\lambda_E$ и $\lambda_F$ – единственные единичные меры с носителями на $E$ и $F$ соответственно, являющиеся решением следующей векторной задачи равновесия (см. [3], [6], [1]):
$$
\begin{equation*}
4V^{\lambda_E}(x)-V^{\lambda_F}(x)\equiv{\rm const}_E,\quad x\in E;\qquad V^{\lambda_E}(t)-V^{\lambda_F}(t)\equiv{\rm const}_F,\quad t\in F.
\end{equation*}
\notag
$$
На основе соотношений (3) и (4) классическим теоретико-потенциальным методом, предложенным А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым [3] (см. также [1]), устанавливается следующий результат. Теорема 1 (см. [3], [6], [1]). Пусть компакты $E=\bigsqcup_{j=1}^p E_j$ и $F=\bigsqcup_{s=1}^q F_s$, где $E_j$ и $F_s$ – вещественные отрезки, таковы, что $\operatorname{conv}{E}\cap\operatorname{conv}{F}=\varnothing$. Предположим, что $\sigma_1'>0$ п. в. на $E$ и $\sigma'_2>0$ п. в. на $F$. Тогда при $n\to\infty$ где сходимость понимается как $*$-слабая сходимость в пространстве мер. 2.Изменим геометрическую составляющую задачи, а именно, откажемся от условия $\operatorname{conv}{E}\cap\operatorname{conv}{F}=\varnothing$ (сохранив условие $E\cap F=\varnothing$). Кроме того, расширим класс функций, участвующих в представлении (1): допустим, что $h(z)$ – комплекснозначная функция. Тогда непосредственно из условия (3) уже нельзя извлечь существование нулей функции $L_{\mathbf n}$. Тем не менее для некоторого (вполне естественного с точки зрения теории аппроксимации) класса комплекснозначных функций $h(z)$ из соотношения (3) вытекает содержательное утверждение, связанное с нулями функции $L_{\mathbf n}$. Пусть $F_s=[a_s,b_s]$, $a_s<b_s$, $s=1,\dots,q$, $w^2=\prod_{s=1}^q(z-a_s)(z-b_s)$, $w(z)$ – такая голоморфная в $\mathbb C\setminus{F}$ ветвь функции $w$, что $w(z)/z^q\to1$ при $z\to\infty$. Положим в (1) где $r(z)\in\mathbb C(z)$ – комплексная рациональная функция с полюсами вне компакта $F$, $r_0(z)$ – сумма главных частей функции $(w(z))^{-1}r(z)$; тем самым $h(z)\in\mathscr H(\widehat{\mathbb C}\setminus{F})$.Теорема 2. Пусть вещественные компакты $E$ и $F$ не пересекаются и состоят из конечного числа отрезков, и пусть $\sigma_1'>0$ п. в. на $E$. Пусть в представлении (1) для $f_2$ функция $h$ задана равенством (6). Тогда существует последовательность $\{\Omega_n\}_{n=n_0}^\infty$ полиномов такая, что: 1) функции $(Q_{\mathbf n,1}+Q_{\mathbf n,2}h)(z)/\Omega_n(z)$ при всех $n\geqslant n_0$ голоморфны в некоторой фиксированной окрестности компакта $E$; 2) $(2n)^{-1}\chi(\Omega_n)\to \lambda_E$ при $n\to\infty$; в частности, $\deg\Omega_n/n\to2$ при $n\to\infty$. Доказательство теоремы 2 опирается на метод Гончара–Рахманова–Шталя ($\operatorname{GRS}$-метод), разработанный в 1985–1987 гг. (см. [8], [4]), а также на новый подход к изучению предельного распределения нулей полиномов Эрмита–Паде, предложенный в [9], в основе которого – теория потенциала на римановых поверхностях (см. [2]).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sue21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|