К исследованию систем типа Хенона-Хейлеса

Рассматривается трехпараметрическое семейство систем с двумя степенями свободы вида
$$\frac{d^2 x_1}{dt^2} + x_1 =-2 \varepsilon x_1 x_2 \qquad (*) \\ \frac{d^2 x_2}{dt^2} + x_2 - x_2^2 = \varepsilon (-x_1^2 + \delta \dot{x}_2 + \gamma x_2 \dot{x}_2),$$
где $\varepsilon > 0$. Приводится аналитическое исследование поведения траекторий системы (*) при малых $\varepsilon$. Данное исследование связано, прежде всего, с анализом резонансных зон.
Наряду с исходной системой рассматривается «близкая» система
$$\ddot{x}_2 + x_2 - x_2^2 = \varepsilon (-A^2 \sin^2 t + \delta \dot{x}_2 + \gamma x_2 \dot{x}_2) , \qquad (**).$$
Установлено хорошее совпадение результатов для отображения Пуанкаре, индуцированного уравнением (**) при $\delta = \gamma = 0$, и для отображения, построенного Хеноном и Хейлесом.
В дополнении к этому для системы (*) численно анализируется переход к нерегулярной динамике при увеличении параметра $\varepsilon$ и $\delta = \gamma = 0$. Установлено, что переход к нерегулярной динамике связан, в частности, с бифуркацией удвоения периода (сценарий Фейгенбаума), причем $\varepsilon_{\infty} \approx 0.95$.