Необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа

В работе рассматривается задача о движении односвязного твердого тела по инерции в безграничном объеме безвихревой идеальной несжимаемой жидкости в постановке Кирхгофа [1-3]. Как известно, уравнения этой задачи по своей структуре аналогичны уравнениям движения классической задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эти уравнения в общем случае также не являются интегрируемыми и для их интегрируемости не хватает еще одного дополнительного интеграла. Классические случаи интегрируемости были найдены еще в прошлом веке А. Клебшем, В. А. Стекловым, А. М. Ляпуновым, С. А. Чаплыгиным. В работе [4] было показано, что задачи Кирхгофа в общем случае не являются интегрируемыми. а также найдены необходимые условия интегрируемости, которые в некоторых случаях являются достаточными. В данной работе исследуются необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа с точки зрения существования дополнительных аналитических и однозначных интегралов (в комплексном смысле).
Аналитические результаты иллюстрируются численным построением отображения Пуанкаре и возмущенных асимптотических поверхностей (сепаратрис). Трансверсальное пересечение сепаратрис может служить численным доказательством неинтегрируемости, в том числе, при больших значениях возмущающего параметра.