Инвариантные кривые дискретных динамических систем в окрестности положения равновесия

В работе рассматриваются дискретные динамические системы, определяемые итерациями некоторого гладкого отображения, осуществляющего локальный диффеоморфизм некоторой окрестности начала координат, для которого начало координат является неподвижной точкой. Получены критерии существования локально-инвариантных кривых, примыкающих к неподвижной точке, и приводятся формулы их разложении в обобщенно-степенные ряды. Показана связь между существованием таких кривых и существованием так называемых асимптотических траекторий, стремящихся к неподвижной точке при неограниченном возрастании (убывании) числа итераций. Наибольший интерес представляет проблема существования инвариантных кривых, асимптотика движения вдоль которых является обобщенно-степенной. Для иллюстрации получены критерии существования асимптотических траекторий в некоторых критических случаях (когда собственные числа матрицы линейного приближения лежат на единичной окружности). Рассмотрена также задача о существовании движений материальной точки в однородном поле силы тяжести, асимптотических к периодическим подскокам над критической некоторой гладкой кривой.