Средние величины: многокритериальный подход

Предложен новый подход к определению понятия средней величины для конечного множества $X$ чисел $x_{1}, x _{2},\dots,x_{n}$: удаленность произвольной точки $x$ от каждой отдельной точки $x_{i}$ оценивается расстоянием $f_{i}(x)$ между ними, а удаленность точки $x$ от всего множества $X$ характеризуется векторным критерием $(f_{1}(x), f_{2}(x),\dots,f_{n}(x))$; при помощи этого критерия задается отношение предпочтения в удаленности; средней величиной считается точка $x^*$, недоминируемая по такому отношению. Исследованы свойства и структура средних для нескольких отношений предпочтения, в том числе отношения Парето и отношения, порождаемого информацией о равноважности критериев. Выяснена взаимосвязь между введенными средними величинами и основными статистическими средними — медианой, средними арифметической, квадратической, геометрической и гармонической. Рассмотрены вопросы построения множеств таких средних, предложен эффективный метод построения для случая, когда одинаково важные критерии имеют шкалу первой порядковой метрики. Обсуждены направления возможных обобщений введенного понятия на многомерный случай.