О дифференциальных характеристических классах метрик и связностей

Дифференциальный характеристический класс геометрической величины $\gamma$ на многообразии (например, римановой или кэлеровой метрики, связности и т. п.) — это дифференциальная форма $\omega=\omega(\gamma)$, удовлетворяющая трём условиям:
(A: естественность) компоненты формы $\omega$ выражаются через компоненты величины $\gamma$ и их частные производные по локальным координатам до определённого порядка алгебраическими формулами, имеющими один и тот же вид во всех системах локальных координат;
(B: замкнутость) $d\omega=0$;
(C: гомотопическая инвариантность) класс когомологий $[\omega]$ не изменяется при деформациях $\gamma$.
Примерами служат классы Понтрягина и Чжэня, которые представляются дифференциальными формами, зависящими от тензора кривизны римановой или кэлеровой метрики по известным формулам. В 1973 году П. Гилки (P. Gilkey) получил характеризацию дифференциальных характеристических классов римановых метрик, что позволило Атье, Ботту и Патоди дать новое изящное доказательство теоремы Атьи–Зингера об индексе эллиптического дифференциального оператора. Чуть позже Гилки обобщил этот результат на дифференциальные характеристические классы старшей степени кэлеровых метрик. Оригинальные доказательства Гилки были довольно кустарными, длинными и технически сложными. В римановом случае Атья, Ботт и Патоди предложили более короткое и концептуальное доказательство, основанное на классической теории инвариантов.
В докладе будет рассказано об общем подходе к классификации дифференциальных характеристических классов методом теоретико-инвариантной редукции, предложенном П. И. Кацыло и развитом в работе Кацыло–Тимашёва (2008). Суть заключается в сведении задачи к описанию эквивариантных полиномиальных отображений между пространствами тензоров, которое можно получить методами теории представлений и инвариантов классических групп. В частности, будет получена характеризация дифференциальных характеристических классов метрик (римановых и кэлеровых) и линейных связностей в касательном расслоении.