О суммах произведений

Феномен сумм произведений — это аддитивно-комбинаторное утверждение, которое, грубо говоря, состоит в том, что любое конечное подмножество кольца (например, целых чисел), отличное от подкольца, имеет либо большую сумму, либо большое произведение. Данное чисто комбинаторное утверждение имеет глубокие следствия в теории чисел, криптографии и теоретической информатике. Мы дадим небольшой обзор имеющихся здесь результатов и скажем несколько слов о последних достижениях в этой области.