Обобщенные кольца и алгебраическая компактификация $\operatorname{Spec}Z$

Категория обобщенных колец, или коммутативных алгебраических монад, является естественным расширением категории обычных коммутативных колец, которое при этом содержит интересные объекты, ранее не имевшие хорошего формального определения, такие, как «поле из одного элемента» $F_1$, «кольцо целых в архимедовой точке» $Z_\infty=O_R$ и т.п. Многие факты коммутативной алгебры и алгебраической геометрии могут быть распространены на обобщенный случай, вплоть до построения содержательной теории пересечений. Мы обсудим общие свойства этой теории и проиллюстрируем их на примере построения «алгебраической компактификации $\operatorname{Spec}Z$» – обобщенной схемы, содержащей $\operatorname{Spec}Z$ в качестве открытой подсхемы, и «архимедову точку», соответствующую архимедову нормированию $Q$. Эта конструкция в конечном итоге приводит к построению полностью алгебраического варианта аракеловской геометрии, пригодной, например, для работы с моделями неполных или особых многообразий над $Q$.