Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах I

Валюации на выпуклых множествах - это специальный класс конечно аддитивных мер, чaсто возникающий в различных вопросах выпуклой и интегральной геометрии. Цель этих лекций - дать краткое введение в эту область, включая некоторые важные результаты последних лет.
Исторически валюации впервые явно возникли в 1900 году, хоть и под другим названием, в решении М. Деном третьей проблемы Гильберта о неравносоставленности многогранников одинакового объема в 3-х мерном Евклидовом пространстве. С тех пор в теории валюаций был достигнут значительный прогресс, как во внутренних вопросах теории, так и в приложениях. Был получен ряд результатов о классификации специальных классов валюаций (напр. валюаций, инвариантных относительно различных групп), недавно были обнаружены новые структуры на так называемых гладких валюациях (напр. умножение). Эти результаты были применены к интегральной геометрии.
В этих лециях мы будем обсуждать исключительно трансляционно инвариантные валюации на n-мерном векторном пространстве, непрерывные в метрике Хаусдорфа. Мы опишем некоторые классические результаты для них: теоремы Хадвигера, Макмуллена, Клайна-Шнaйдера. Затем перейдем к более недавним результатaм: теорема о неприводимости (и, как следствие, доказательство гипотезы Макмуллена о плотности смешанных объемов в пространстве трансляционно инвариантных непрерывных валюаций), умножение и его свойства. Часть результатов будет дана с доказательствами или их идеями, но далеко не всегда. Если останется время, обсудим связь с интегральной геометрией.
Никаких специальных знаний из выпуклой геометрии не предполагается. Тем не менее будет полезно знакомство с ними на уровне стандартного курса функционального анализа (теорема Хана-Банаха и т.д.). Также предполагается знакомство теорией меры и теорией групп на базисном уровне.