Теорема Громова о граничной жесткости I

Теорема Громова о граничной жесткости плоских метрик (1983) утверждает следующее: если риманова метрика в области евклидова пространства задает такие же расстояния между точками края, как и евклидова метрика, то эта риманова метрика изометрична евклидовой. Доказательство теоремы Громова, по существу, является комбинацией классических результатов из разных областей. А именно, теорема следует из интегральной формулы Сантало, выражающей риманов объем через длины геодезических, и неравенства Безиковича, оценивающего риманов объем снизу через расстояния между точками края. Неравенство Безиковича, в свою очередь, имеет относительно элементарное доказательство, в котором комбинируются методы геометрической теории меры и алгебраической топологии. В цикле из четырех лекций я расскажу доказательство теоремы Громова и некоторые близкие результаты.
Лекции почти независимы друг от друга, каждая из них будет посвящена одному из аспектов доказательства. Первая лекция - вводная, она посвящена свойствам расстояний в римановых многообразиях, постановке задачи о граничной жесткости и плану доказательства теоремы Громова. Вторая лекция посвящена интегральной геометрии, в первую очередь формуле Сантало и ее приложениям, в частности, конформной теореме о граничной жесткости (т.н. обратной задаче кинематики). Если позволит время, будет рассказано и о некоторых систолических неравенствах. Третья лекция посвящена неравенству Безиковича и, насколько позволит время, элементам геометрической теории меры и теории заполняющих объемов. Четвертая лекция - топологическая, на ней будет рассказано о степени отображения по Брауэру (с точки зрения дифференциальной топологии).
Предварительные сведения: необходимо понимание того, что такое гладкое многообразие. Желательно, хотя формально не обязательно, начальное представление о римановых метриках и геодезических. На лекциях будут использоваться некоторые теоремы из анализа: теорема Лиувилля о сохранении фазового объема (для случая геодезического потока римановой метрики), теорема Радемахера о дифференцируемости почти всюду липшицевых отображений, теорема Сарда о регулярных значениях гладкого отображения. Эти теоремы будут сформулированы и разъяснены, но предварительное знакомство с ними, безусловно, не повредит.