Алгебры операторов Лакса, градуировки полупростых алгебр и интегрируемые системы

В 2001 г. И.М. Кричевер определил операторы Лакса со спектральным параметром на римановой поверхности в терминах параметров Тюрина голоморфных расслоений на римановых поверхностях, и применил эту конструкцию к исследованию систем типа Хитчина/Калоджеро и их обобщений, в частности к доказательству их гамильтоновости.
В 2006 г. в совместной работе И.М. Кричевера и автора были обнаружены мультипликативные свойства операторов Лакса этого класса, и построены их аналоги со значениями в классических алгебрах Ли. Рассматриваемые как мероморфные функции спектрального параметра, эти операторы образуют бесконечномерные алгебры Ли, непосредственно обобщающие алгебры петель. Они являются почти градуированными и обладают нетривиальными центральными расширениями. Из особых алгебр Ли позднее удалось построить алгебру операторов Лакса для $G_2$. Выяснилась следующая закономерность: замкнутость операторов Лакса относительно коммутатора и гамильтоновость соответствующих уравнений эквивалентны одним и тем же соотношениям на параметры Тюрина. Некоторые свойства операторов Лакса, такие как порядки их полюсов в точках Тюрина, оставались необъясненными.
В докладе будет рассмотрена общая конструкция алгебр операторов Лакса для произвольной комплексной полупростой алгебры Ли, позволяющая дать единое доказательство их основных свойств. Будет показано как в рамках этой конструкции возникают параметры Тюрина, что вероятно указывает на связь голоморфных расслоений и полупростых алгебр Ли. Если позволит время, в аналогичных терминах будет дана конструкция $M$-операторов и сформулирована теорема о существовании коммутативной иерархии лаксовых уравнений.