Аннотация:
Ацтекский бриллиант – это ромб на клетчатой бумаге, стороны которого образуют угол 45 градусов с линиями сетки. Теорема об ацтекском бриллианте утверждает, что количество способов замостить ацтекский бриллиант доминошками размера $1\times2$ равно $2^{n(n+1)/2}$, где $n$ – это половина длины диагонали ромба. Мы приведем три концептуально различных доказательства этой теоремы.
Первое доказательство основано на описании так называемой функции высоты, сопоставляемой разбиению фигуры на доминошки. Возникающая при этом комбинаторика оказывается связанной со знакочередующимися матрицами и возникающей в задачах статистической физики моделью «квадратного льда». Во втором доказательстве подсчет конфигураций доминошек сводится к перечислению так называемых монотонных треугольников. Третий подход основан на подсчете числа наборов непересекающихся путей (метод Гесселя–Вьенно).
Несмотря на все приведенные выше страшные слова, никаких специальных предварительных знаний не требуется, и большая часть курса будет доступна школьникам. Впрочем, для понимания последнего доказательства полезно знать, что такое определитель матрицы.
За рамками нашего курса останутся такие (безусловно, интересные) вопросы, как асимптотическое поведение случайного замощения ромба на доминошки, теорема о полярном круге, а также связь рассматриваемых задач с теорией представлений. Часть этих вопросов была освещена в курсе В. А. Клепцына, прочитанном на ЛШСМ-2013.
Обратная связь: