Математика вокруг проблемы $n$ тел: интегрируемые системы и КАМ-теория. Лекция 3

Если поступить очень жестоко и отобрать у математика карандаш и бумагу, он будет смотреть на небо в поисках новых задач. Вопрос о движении планет (в математическом мире встречающийся под кодовым названием «Задача $n$ тел») является чрезвычайно сложным – настолько сложным, что даже для специальных подслучаев случая $n=3$ каждый год публикуется огромное количество работ. Разобрать все аспекты этой задачи невозможно даже за семестровый курс. Мы, однако, не испугаемся, и попробуем поиграться в математику, которая здесь возникает.
Основной мотивацией для нас будет задача двух тел: задача о движении одной планеты вокруг Солнца в предположении о том, что как будто бы никаких других планет в округе нет. В этом случае траектории системы описываются коническими сечениями, а замкнутые орбиты являются эллипсами. В реальности все намного сложнее, однако в первом приближении планеты действительно ходят по эллипсам вокруг Солнца. Этот факт был экспериментально подмечен Иоганном Кеплером, а затем выведен Ньютоном из законов всемирного тяготения. Мы пройдем их путем, а также окинем эту историю более современным взглядом.
Задача двух тел является одним из примеров так называемой интегрируемой гамильтоновой системы: динамической системы, в которой сохраняется не только энергия, а ещё достаточное количество дополнительных физических величин. Мы поговорим об общей теории таких систем, а также посмотрим на некоторые замечательные примеры.
Одной из целей курса является понятно объяснить, что такое теория Колмогорова–Арнольда–Мозера, рассматривая игрушечные примеры.

Программа курса
1. Проблема двух тел, закон всемирного тяготения и законы Кеплера. «Нам повезло»: теорема Бертрана, выделяющая ньютоновский потенциал из всех прочих.
2. Интегрируемые гамильтоновы системы: арнольдовские торы на примерах. Проблема двух тел, волчки, геодезические на поверхностях вращения и на эллипсоиде.
3. Сложность задачи трёх тел – появление хаоса в окрестности периодической траектории (по аналогии с возмущением геодезических на торах вращения). Подкова Смейла в окрестности орбиты Ляпунова.
4. Надежда на некоторую простоту задачи трёх тел – квазипериодичность траекторий. Теорема КАМ в игрушечной модели теории возмущений (косом произведении на цилиндре). Как возникает теория чисел в гамильтоновой динамике: диофантовы числа вращения и «выживающие торы».
Очень хочется, чтобы курс вышел понятным школьникам: целевой аудиторией таким образом будут 10–11 классы, однако вероятно, что и студентам будет интересно.
Очень желательно знакомство с анализом: не бояться дифферецировать функции одной (а лучше – нескольких переменных), оперировать с рядами, интегрировать функции одной переменной, решать простейшие дифференциальные уравнения, иметь интуитивное представление о мере. Также желательно уметь работать со скалярным и векторным произведением в трехмерном пространстве. Если что-то из этого вам не знакомо, бояться приходить не стоит, и без всего этого аппарата общий смысл происходящего будет ясен.