Эйлерова характеристика и $S^1$-расслоения. Лекция 1

Знаменитая формула Эйлера утверждает, что для всякого выпуклого многогранника справедливо равенство $\text{В}-\text{Р}+\text{Г}=2$, где $\text{В}$, $\text{Р}$ и $\text{Г}$ – числа вершин, ребер и граней многогранника, соответственно. Тесно связанная с этим равенством, но очень непохожая по форме «теорема о невозможности причёсывания ёжика» утверждает, что непрерывное поле касательных векторов на сфере обязано иметь особые точки. В курсе речь пойдет об обобщениях приведенных утверждений, связанных с топологией и дифференциальной геометрией кривых и поверхностей. Все объекты, с которыми мы столкнемся, достаточно просты, их легко изобразить или представить себе, поэтому большая часть курса будет доступна и школьникам (готовым принять на веру интуитивно очевидные утверждения, связанные с непрерывностью). В действительности, значительная часть развития топологии XX века как раз и состоит из далёких обобщений формулы Эйлера. В частности, к таким обобщениям относятся гомологии, теория препятствий, характеристические классы и теория Морса. И хотя все эти понятия в курсе явно затронуты не будут, неявно курс можно рассматривать как элементарную иллюстрацию к этому кругу топологических идей.