Векторные поля на поверхностях. Лекция 3

Исследование векторных полей начал Анри Пуанкаре в качественной теории дифференциальных уравнений. Эта теория имеет приложения во многих областях естествознания. С тех пор векторные поля являются одним из важнейших объектов топологии, теории динамических систем и их приложений.
Важная базовая проблема этой теории – на каких поверхностях существуют ненулевые касательные векторные поля (а также на каких поверхностях существует набор из двух, трех, ... линейно независимых касательных векторных полей). В этом спецкурсе мы увидим, как при ее решении естественно появляются важнейшие базовые методы топологии.
Для изучения спецкурса достаточно интуитивного представления о поверхностях и владения основами математического анализа. Для имеющих дополнительные знания будет предложен интересный дополнительный материал (например, о классификации векторных полей). Основная часть материала будет изучаться в виде решения задач участниками с последующим разбором на занятии.
Литература: Алгебраическая топология с геометрической точки зрения (части параграфов 3, 4, 8, 9).
Trying to solve the following problems before the beginning of the course will help you decide whether to take the course, if you are undecided. It is also sensible to try to solve them before the course begins if you are sure that you will take the course. These problems are by no means obligatory, and not succeeding in solving them does not mean that you shouldn't take the course. The solutions will be discussed on the first lecture.
3.3, 3.4, 3.5.a, 3.6.a, 3.7.ac*, 4.1.a, 4.8*.
Дополнительные задачи (для имеющих дополнительные знания): 3.11.ad, 3.12.b, 3.21, 4.1.b*, 4.7.c, 8.1 (для $n=2$), 8.11.a, 8.22.a.

Программа курса
(По желанию участников курса, активно решающих задачи, первый или последний пункт могут быть опущены.)
1. Векторные поля на плоскости. Основная теорема топологии.
2. Векторные поля на двумерных поверхностях. Теорема Эйлера–Пуанкаре.
3. Векторные поля на трехмерных поверхностях. Теорема Хопфа.
4. Наборы векторных полей. Простое доказательство теоремы Штифеля о параллелизуемости ориентируемых трехмерных поверхностей.