Выразимость и разрешимость

Высказывания математического языка (в том числе, содержащие переменные, от значения которых зависит истинность утверждений) можно записывать на формальном языке математической логики. (Например, можно использовать значок $\forall$ вместо выражения «для всех».)
Однако даже и без точного описания языка математической логики (которое, впрочем, будет дано) можно понять, что значит объяснить (выразить) одно из свойств чисел через другое, например, выразить свойство «быть простым числом» через свойство «делиться». В лекции будут рассмотрены примеры задач, относящихся к выразимости и невыразимости.
Среди высказываний математического языка можно выделить те, которые не содержать переменных и называть их утверждениями. Было бы хорошо иметь общий способ, пусть даже и очень громоздкий, который про любое утверждение, касающееся чисел (или иных математических объектов) и отношений между ними, позволяет установить, истинно оно или ложно. Будут приведены примеры, когда такой способ есть, и когда его нет.
Желательно знакомство с курсом математики в объеме начальной школы и бытовое представление об оси действительных чисел.