Когда $1=0$... Лекция 4

Предполагается прочесть четыре лекции. Первые две будут популярны и общепонятны, а третья и четвёртая будут содержать довольно поверхностные обзоры некоторых перспективных направлений современной математики.
1. О геометрии над конечными полями. Конечные поля $F_q$ и математика над ними. Проективные пространства над $F_q$ и подсчёт некоторых конфигураций. Формальная подстановка $q=1$ и комбинаторная интерпретация получаемых результатов.
2. Группы Шевалле и группы перестановок. О теории конечных групп, их характеров и представлений. Простые группы; современное состояние их классификации. Группы перестановок $S_n$ как «группы Шевалле» $GL_n F_1$.
3. Линейная алгебра над $F_1$ и гомотопическая топология. Беглый обзор комплексов, гомологий и производных категорий. Симплициальные комплексы и классическая алгебраическая топология. Об «алгебраической топологии» над конечными полями. Гомологической алгебра над $F_1$ и стабильные гомотопические группы.
4. Разное. Обобщённые кольца Дурова и $F_\varnothing$, $F_{\pm1}$, $F_{\infty\surd1}$. Анализ на множестве корней из единицы (по Хабиро, Концевичу, Манину). О геометрии Аракелова. О тропической математике.