Алгебраические и топологические методы в комбинаторике. Лекция 1

Занятие 1. На этом занятии мы изучим ряд нетривиальных и очень красивых задач о пересечениях подмножеств конечного множества. Полученные результаты мы применим к двум классическим проблемам комбинаторной геометрии – проблеме Борсука о разбиении множеств на части меньшего диаметра и проблеме раскраски пространства.
Занятие 2. Здесь мы продолжим исследования, связанные с задачами Борсука и др. В конечном счете мы разовьем весьма тонкую линейно-алгебраическую технику, которая позволит нам добиться особенно глубоких результатов относительно указанных задач.
Занятие 3. Разработанную на предыдущих двух занятиях алгебраическую технологию мы применим к задаче о числах Рамсея – одной из самых интригующих и важных задач современной «экстремальной» комбинаторики. Потом обсудим теорему Эрдеша–Гинзбурга–Зива: среди любых $2n-1$ целых чисел есть n чисел, сумма которых делится на $n4, – и ее многомерные обобщения.
Занятие 4. На этом занятии мы посмотрим на задачи о пересечениях множеств с принципиально новой – топологической – точки зрения. Обсудим мы и совершенно новый ракурс проблемы Борсука. В конечном счете мы изучим основные идеи топологического метода в задачах «экстремальной» комбинаторики и комбинаторной геометрии.
Лекции будут доступны старшеклассникам.