$4$-мерное семейство ортогональных пар в $\mathfrak{sl}(6)$

Рассмотрим простую алгебру Ли $L$. Ортогональным разложением алгебры Ли $L$ называется разложение $L= \bigoplus_{i=1}^{h+1} H_i$ в прямую сумму картановских подалгебр, ортогональных относительно формы Киллинга. Ортогональные разложения простых алгебр Ли изучались А. И. Кострикиным и его учениками. Выяснилось, что наиболее сложным случаем являются алгебры $\mathfrak{sl}(n)$. Для них была высказана гипотеза, впоследствии названная гипотезой Винни-Пуха, а именно: алгебра Ли $\mathfrak{sl}(n)$ допускает ортогональное разложение тогда и только тогда, когда $n=p^m$, где $p$ — простое число. До сих пор неизвестно, существует ли ортогональное разложение алгебры $\mathfrak{sl}(6)$. Первым шагом к решению задачи ортогональных разложений в $\mathfrak{sl}(n)$ является классификация ортогональных пар, то есть классификация пары ортогональных картановских подалгебр с точностью до сопряжения. Гипотетически, в случае $\mathfrak{sl}(6)$ ортогональные пары параметризуются $4$-мерным многообразием и набором изолированных точек. В своём докладе я расскажу, как построить $4$-мерное многообразие. Если позволит время, я попытаюсь рассказать стратегию доказательства этого результата.
Мой доклад основан на совместной работе с А. И. Бондалом.