Пример гиперциклического одномерного возмущения унитарного оператора

Непрерывный линейный оператор $T$ в банаховом пространстве (или пространстве Фреше) $X$ назывют гиперциклическим, если найдется вектор $x\in X$, орбита которого$\{T^n x\}_{n=0}^\infty$ всюду плотна в $X$ (именно орбита, а не ее линейная оболочка!). Первые примеры гиперциклических операторов были построены Биркгофом (оператор сдвига $f\mapsto f(\cdot +1)$ в пространстве всех целых функций $Hol(\mathbb{C})$), Маклейном (оператор дифференцирования в $Hol(\mathbb{C})$) и Ролевичем (оператор $2S^*$, где $S^*$ – обратный сдвиг в $\ell^2(\mathbb{N})$). Систематическое изучение явления гиперцикличности началось в 1980-х годах в работах Китаи, Гетнера, Годфруа и Дж. Шапиро.
Ясно, что тождественный оператор – один из самых "негиперциклических" операторов. В то же время известно, что в гильбертовом пространстве существуют гиперциклические операторы вида $I+K$, где оператор $K$ компактен и лежит в любом идеале Шаттена. Если $R$ – оператор конечного ранга, то оператор $I+R$ не может быть гиперциклическим. Однако, заменяя оператор $I$ некоторым унитарным оператором, можно получить гиперциклический оператор. В 2010 году Шкарин построил такой унитарный оператор $U$, что для некоторого оператора $R$ ранга 2 оператор $U+R$ – гиперциклический. Оставшийся открытым вопрос, можно ли взять $R$ ранга 1, был вскоре решен утвердительно Софи Гриво.
В докладе будет дан краткий обзор теории гиперциклических операторов, а также приведено новое доказательство теоремы Гриво, основанное на функциональной модели одномерных возмущений унитарных операторов.