Нелинейные управляемые системы: применение формальных степенных рядов и свободных алгебр в задаче аппроксимации

Мы рассмотрим нелинейные (вещественно аналитические) управляемые системы, линейные или аффинные по управлению и покажем, как можно применять формальные степенные ряды и свободные алгебры для исследования локальных свойств таких систем. Например, пусть линейная по управлению $n$-мерная (вполне неголономная) система содержит $m$ управлений. В свободной градуированной алгебре Ли, порожденной $m$ образующими, эта система единственным образом определяет «свою» градуированную подалгебру (core Lie subalgebra) коразмерности $n$. Обратное тоже верно: каждая градуированная подалгебра коразмерности $n$ отвечает какой-то вполне неголономной системе. Эта подалгебра полностью определяет однородную аппроксимацию системы: оказывается, что однородная аппроксимация – это произвольная однородная система, которая имеет ту же подалгебру, что и исходная. При этом и понятие однородной системы тоже можно ввести алгебраически. Мы покажем, как на этом языке явно построить однородную аппроксимацию (для этого нужно рассмотреть свободную ассоциативную алгебру с теми же $m$ образующими), объясним, в каком смысле она единственна, и охарактеризуем все так называемые привилегированные координаты – координаты, в которых однородная аппроксимация приближает исходную систему. Если линейная по управлению система задана на $n$-мерном гладком многообразии, то она определяет на нем субриманову метрику, так что такой подход позволяет исследовать и локальные аппроксимации субримановых метрик. Для систем, аффинных по управлению, основная мотивация – исследование задачи быстродействия на основе анализа соответствующей нелинейной проблемы моментов. Доклад основан на совместных работах Г. М. Скляра и докладчика.