Non-crossing разбиения типа B и эллиптические случайные матрицы

Разбиение $\pi_n$ множества $\{1,2,\dots, n\}$ называется non-crossing, если для любых четырех индексов $1 \leq i < j < k < l \leq n$ и блоков $B_1,B_2 \in \pi_n$ из соотношений $i,k \in B_1$ и $j,l\in B_2$ следует, что $B_1=B_2$. Исчисление non-crossing разбиений играет важную роль в анализе предельных спектральных распределений случайных матриц. Например, $n$-ый момент $M_n$ спектрального распределения матрицы $X^2 X^{*2}$, где $X$ – матрица с независимыми стандартными гауссовскими элементами, выражается как
$$M_n = \sum_{\pi \in NC(n)} \prod_{B \in \pi} \kappa_{|B|},$$
где $\kappa_i$ – количество non-crossing разбиений из $i$ элементов. С другой стороны, non-crossing разбиения возникают в теории кластерных алгебр и систем корней. В частности, разбиения, описанные выше, связаны с группой симметрий $A_n$ стандартного $n$-мерного симплекса. Если рассмотреть разбиения, связанные с группой симметрий $B_n$ стандартного $n$-мерного октаэдра, то окажется, что они также имеют приложения в теории случайных матриц.