Пределы подалгебр Мищенко–Фоменко

Пусть $g$ - полупростая алгебра Ли и $P(g)$ - соответствующая алгебра Пуассона, то есть симметрическая алгебра пространства $g$, снабженная стандартной скобкой Пуасссона. Каждый элемент алгебры $P(g)$, рассматриваемый как полиномиальная функция на дуальном пространством $g^*$, определяет гамильтонову систему на $g^*$. В связи с этим представляет интерес нахождение "больших" коммутативных (в смысле скобки Пуассона) подалгебр алгебры $P(g)$, а точнее, коммутативных подалгебр максимальной возможной степени трансцендентности, равной размерности $b(g)$ борелевской подалгебры алгебры $g$. Каждый элемент такой подалгебры определяет вполне интегрируемую гамильтонову систему на $g^*$.
Метод сдвига инвариантов, восходящий к Манакову (1976) и сформулированный и обоснованный в общем виде в работе Мищенко и Фоменко (1978), связывает с каждым регулярным элементом a алгебры $g$ некоторую большую (в указанном выше смысле) свободную коммутативную однородную подалгебру $C(a)$ алгебры $P(g)$. Коммутативные подалгебры такого вида будем называть подалгебрами Мищенко–Фоменко.
Если элемент $a$ стремится к сингулярному элементу $a_0$ таким образом, что подалгебра $C(a)$ стремится к некоторому пределу, то этот предел будет коммутативной однородной подалгеброй. В докладе будет доказано, что предельная подалгебра имеет ту же степень трансцендентности, т.е. тоже является большой.
Ситуация, когда элемент $a$ стремится к $a_0$, оставаясь в фиксированной картановской подалгебре, была детально исследована в работах докладчика (1990) и Шувалова (2002). В частности, в последней работе было доказано, что в этой ситуации предельная подалгебра всегда свободна. Вопрос о том, не будет ли всегда предельная подалгебра свободной (или хотя бы конечнопорожденной), остается открытым.
В докладе будут приведены примеры пределов подалгебр Мищенко–Фоменко, отличные от тех, которые были рассмотрены в указанных выше работах, и будет обсуждена проблема описания многообразия всех квадратичных гамильтонианов, содержащихся в пределах подалгебр Мищенко–Фоменко.