Как автоморфизмы действуют на вложения? (http://arxiv.org/abs/1402.1853)

Мы работаем в гладкой категории. Следующая задача была предложена Э. Рисом в 2002 году: описать действие само-диффеоморфизмов произведения $S^P\times S^Q$ на множестве изотопических классов вложений $S^P \times S^Q \hookrightarrow \mathbb{R}^m$. Пусть $g\colon S^P \times S^Q \hookrightarrow \mathbb{R}^m$ вложение такое, что $g|_{a \times S^Q}\colon a \times S^Q \to \mathbb R^m - g (b \times S^Q)$ нульгомотопно для некоторых различных точек $a$, $b$ в $S^P$.
\smallskip
Теорема. Если $F$ является само-диффеоморфизмом произведения $S^P \times S^Q$, идентичным на окрестности сферы $a \times S^Q$ для некоторого $a$ в $S^P$ и $P<Q$, $2m > 3P +3Q +3$, то $gF$ изотопно $g$.
\smallskip
Пусть $N$ — ориентированное $(P+Q)$-многообразие и $f\colon N \hookrightarrow \mathbb R^m$, $g\colon S^P \times S^Q \hookrightarrow\mathbb R^m$ вложения. Как следствие получаем, что при определенных условиях для сохраняющих ориентацию вложений $s \colon S^P \times D^Q \hookrightarrow N$ параметрическая вложенная связная сумма $f \#_s g$ зависит только от $f$, $g$ и класса гомологии $s| _ {S^P\times 0}$.