О стохастическом правиле «Buy and Hold» в финансовой математике

Рассмотрим $(B,S)$ – модель финансового рынка, состоящего из банковского счета $B=(B_t)_{t\ge 0}$ и акции $S=(S_t)_{t\ge 0}$ с
$$ dB_t=rB_t\,dt, \qquad B_0=1, \qquad dS_t=S_t(\mu\,dt+\sigma\,dW_t), \quad S_0=1, $$
где $W=(W_t)_{t\ge 0}$ – винеровский процесс. Пусть $M_T=\max_{t\in[0,T]}S_t$ и $P_t=S_t/B_T$, $t\in[0,T]$. Для функций полезности $v=v(x)$ (например, $v(x)=x$, $v(x)=\log x$) рассматривается вопрос отыскания момента (продажи акции) $\tau^*$ такого, что
\begin{equation} E v\biggl(\frac{P_{\tau^*}}{M_T}\biggr)=\sup_{\tau\leq T}E v\biggl(\frac{P_{\tau}}{M_T}\biggr), \end{equation}
где $\tau$ – моменты остановки.
Оказалось, что для линейной и логарифмической функций полезности оптимальным является момент $\tau^*=T$ при $\nu>0$ и $\tau^*=0$ при $\nu\le 0$, где $\nu=\mu-r-\frac12\sigma^2$. (Это известное правило «Buy and Hold».)
Далее мы рассматриваем модель, где параметр $\mu$ может спонтанно изменяться. Более точно, пусть $dS_t=S_t(\mu(t,\theta)\,dt+\sigma\,dW_t)$, где $\mu(t,\theta)$ равно $\mu_1$ при $t<\theta$ и $\mu_2$ при $t>\theta$; $\theta$ – случайный момент, не зависящий от $W=(W_t)_{t\le T}$. Предполагается, что $\nu_1=\mu_1-r-\frac12\sigma^2>0$ и $\nu_2=\mu_2-r-\frac12\sigma^2<0$. Задача состоит в том, чтобы найти снова оптимальный момент $\tau^*$ в постановке (1). Для случая экспоненциального распределения $\theta$ и логарифмической функции полезности найден оптимальный момент $\tau^*$. Этот момент имеет вид
$$ \tau^*= \inf\{t\le T:\pi_t\ge g^*(t)\}, $$
где $\pi_t=P(\theta\le t|F_t^s)$ и $g^*=g^*(t)$ – некоторая функция (стохастическое правило «Buy and Hold»).