Четности, графы и квантовые инварианты в теории классических и виртуальных узлов

Если диаграмма узла сложна, то она «присутствует» в любой диаграмме того же узла.
В теории виртуальных узлов этот тезис реализуется посредством скобки четности: в силу моей теоремы 2009 года если все перекрестки диаграммы нечетны и диаграмма несократима, то из любой другой эквивалентной ей диаграммы ее можно получить посредством разведений.
Встречаются довольно сложные диаграммы, все перекрестки которых четные. В этом случае вместо скобки четности (значение которой тривиально) можно использовать квантовые инварианты со значениями в графах: $\mathrm{so}$, $\mathrm{sl}$, $\mathrm{g}_{2}$. Эти инварианты строятся по диаграмме узла и принимают значение в линейных комбинациях классов эквивалентности графов особого вида. Эквивалентность описывается комбинаторно, и в случае когда диаграмма узла достаточно сложна, фактически инвариантом является граф, по которому в некоторых случаях можно восстановить диаграмму. Это приводит к мгновенным следствиям, связанным с минимальностью, обратимостью и частичной классификацией.
В теории классических узлов эти методы могут быть применены частично, например, с использованием расслоенных узлов и топологических методов (Мантуров–Крисман, Мантуров–Краснов).
В докладе будет обсуждаться ряд направлений и задач, связанных, в частности:
1) С получениями аналогов четностей из графов — квантовых инвариантов.
2) С построениями инвариантов классов гомотопий графов на поверхностях, групп и трехмерных многообразий (Мантуров–Федосеев).
3) С построениями инвариантов кобордизмов узлов и их обобщений.
4) С перенесением методов четностей на более высокие размерности.