Финальное распределение диффузионного процесса: полумарковский подход

Рассматривается одномерный непрерывный полумарковский процесс на интервале $[0,\infty)$, переходные производящие функции которого удовлетворяют однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка. Предполагается, что коэффициенты этого уравнения обеспечивают отрицательные значения решения задачи Дирихле внутри любого интервала при нулевых значениях на концах интервала. Решение задачи Дирихле на заданном интервале при единичных значениях на краях интервала интерпретируется как условная вероятность для процесса выйти из интервала хоть раз на интервале времени от нуля до бесконечности при заданной начальной точке процесса внутри интервала. Доказывается, что при любой начальной точке внутри интервала такой процесс имеет предел при $t\to\infty$. Выводится формула для условной функции распределения предельной точки процесса, если процесс не выходит из интервала никогда при заданной начальной точке внутри интервала. Исследуется положение предельной точки для процесса, отражающегося от границ интервала. При сохранении полумарковского характера процесса в ситуации отражения допустимые продолжения составляют семейство, зависящее от некоторого параметра, возникающего в качестве произвольной постоянной в общем решении соответствующего дифференциального уравнения первого порядка типа Бернулли. При этом нулевое значение параметра соответствует мгновенному отражению, а положительное — эластичному отражению. В последнем случае распределение предельной точки — это вероятностное распределение на замкнутом интервале, имеющее атомы на краях интервала.