Об экстремальных значениях гауссовского хаоса: метод Лапласа

Пусть $\xi$ — $d$-мерный гауссовский случайный вектор и $h(\cdot)$ — вещественнозначная однородная функция положительной степени. В докладе обсуждается поведение распределения больших значений гауссовского хаоса $h(\xi)$. Важными примерами гауссовского хаоса являются произведение координат, квадратичная форма и детерминант случайной матрицы. Используя асимптотический метод Лапласа, мы исследуем субэкспоненциальность и другие асимптотические поведения распределения хвоста случайной величины $h(\xi)$, а также его плотности. При этом, даже в случае изучения квадратичных форм, «классический» метод Лапласа, когда максимум фазы достигается в единственной точке, становится неприменим. Будет рассмотрено, как можно обобщить этот метод на случай достижения фазой максимума на некотором многообразии положительной размерности. Будут обсуждаться также другие методы исследования хвоста распределения гауссовского хаоса.
Работа выполнена совместно с Энкелейдом Хашорвой, университет г. Лозанны.