Кососимметрические коварианты простой алгебры Ли со значениями в присоединённом представлении (по работе C. de Concini, P. Papi, C. Procesi)

Пусть $G$ — простая комплексная алгебраическая группа с алгеброй Ли $\mathfrak g$. Хорошо известна структура внешней алгебры над $\mathfrak g$ как $G$-модуля: она изоморфна сумме $2^r$ копий модуля $\mathrm{End}~V(\rho)$, где $r = \mathrm{rk}\, g$, а $V(\rho)$ — неприводимый $G$-модуль со старшим весом $\rho$, равным сумме фундаментальных весов. В частности, алгебра $A$ внешних инвариантов алгебры $\mathfrak g$ имеет размерность $2^r$. Классический результат состоит в том, что $A$ является алгеброй Грассмана над однородными образующими $P_1, ... , P_r$ степеней $2m_1+1, ... , 2m_r+1$ (где $m_i$ — экспоненты алгебры $\mathfrak g$), получаемыми из базисных симметрических инвариантов алгебры $\mathfrak g$ отображением трансгрессии. Аналогично, присоединённое представление встречается во внешней алгебре $(2^r)r$ раз. Более тонкий вопрос о том, как копии присоединённого представления распределяются по внешним степеням $g$, был поставлен Джозефом. Формула для полинома Пуанкаре пространства $M$ эквивариантных гомоморфизмов внешней алгебры в $\mathfrak g$, предположенная Джозефом, была доказана Базловым (2001). Вид этой формулы наводит на мысль о том, что $M$ является свободным модулем ранга $2r$ над подалгеброй в $A$, порождённой $P_1, ... , P_{r-1}$, причём базисные элементы модуля имеют степени $2m_i-1, 2m_i$. О доказательстве этого факта и пойдёт речь в докладе.