Изгибаемые кросс-политопы и эллиптические функции Якоби

В 1897 году Р. Брикар нашел три типа изгибаемых самопересекающихся октаэдров в трехмерном евклидовом пространстве. С тех пор этот результат обобщался в нескольких направлениях. Во-первых, были построены примеры несамопересекающихся изгибаемых многогранников (первый пример принадлежит Р. Коннелли, 1977). Во-вторых, были построены аналоги октаэдров Брикара в пространстве Лобачевского и в сферическом пространстве. В-третьих, были предприняты попытки построения изгибаемых многогранников в старших размерностях. До недавнего времени эти попытки удавались только в размерности 4, где были построены изгибаемые самопересекающиеся кросс-политопы (А. Вальц, 1998, Х. Штахель, 2000). Высказывалось предположение, что в размерностях 5 и выше изгибаемых многогранников не бывает, так как возникающие системы алгебраических уравнений на длины ребер становятся "слишком сильно переопределенными". Это предположение оказалось неверным. В докладе будет рассказана конструкция изгибаемых самопересекающихся кросс-политопов в пространствах постоянной кривизны (евклидовом, сферическом и пространстве Лобачевского) произвольных размерностей. Более того, будет дана классификация всех изгибаемых кросс-политопов.
Конструкция почти всех типов изгибаемых кросс-политопов (точнее, всех, кроме одного) опирается на теорему сложения для эллиптической функции Якоби dn. В теории изгибаемых многогранников эллиптические функции Якоби впервые были использованы И.В. Изместьевым для параметризации изгибаемых четырёхугольников на двумерной сфере. В докладе будет рассказано, как эллиптические функции возникают в задачах об изгибаемости.